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Rodrigo Bird Burgos
Avaliação de Cargas Críticas e Comportamento Pós-Crítico Inicial de Pórticos Planos
Dissertação de Mestrado
Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Mestre pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil da PUC-Rio.
Orientadores: Raul Rosas e Silva Luiz Fernando Campos Ramos Martha
Rio de Janeiro, fevereiro de 2005
Rodrigo Bird Burgos
Avaliação de Cargas Críticas e Comportamento Pós-Crítico Inicial de Pórticos Planos
Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Mestre pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil da PUC-Rio. Aprovada pela Comissão Examinadora abaixo assinada.
Prof. Raul Rosas e Silva Orientador
Departamento de Engenharia Civil - PUC-Rio
Prof. Luiz Fernando Campos Ramos Martha Co-orientador
Departamento de Engenharia Civil - PUC-Rio
Prof. Paulo Batista Gonçalves Departamento de Engenharia Civil - PUC-Rio
Prof. Luiz Eloy Vaz Coppe/UFRJ
Prof. José Eugênio Leal Coordenador(a) Setorial do Centro Técnico Científico - PUC-Rio
Rio de Janeiro, 23 de fevereiro de 2005
Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, do autor e do orientador.
Rodrigo Bird Burgos Graduou-se em Engenharia Civil pela PUC-Rio, em dezembro de 2002, com ênfase em Estruturas e Geotecnia. Recebeu bolsa da ANP (Agência Nacional do Petróleo) entre 2000 e 2002 pelo Programa Interdepartamental de Petróleo e Gás.
Ficha Catalográfica
Burgos, Rodrigo Bird
Avaliação de cargas críticas e comportamento pós-crítico inicial de pórticos planos / Rodrigo Bird Burgos ; orientadores: Raul Rosas e Silva, Luiz Fernando Campos Ramos Martha. – Rio de Janeiro : PUC, Departamento de Engenharia Civil, 2005.
v., 120 f. : IL. ; 29,7 cm
Dissertação (mestrado) – Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Departamento de Engenharia Civil.
Incluí referências bibliográficas.
1. Engenharia Civil – Teses. 2. Estabilidade estrutural. 3. Cargas críticas. 4. Pórticos. 5. Flambagem. 6. Elementos finitos. I. Silva, Raul Rosas e. II. Martha, Luiz Fernando Campos Ramos. III. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento de Engenharia Civil. IV. Título.
CDD: 624
À minha esposa, Juliana. À minha mãe, Maria Nélida.
À memória de meu pai, Rodolfo Cesar Burgos.
Agradecimentos
Ao professor Raul Rosas e Silva pela amizade, dedicação, paciência e
ensinamentos, desde os tempos de graduação.
Ao professor Luiz Fernando Martha pela motivação e ajuda.
Aos professores integrantes da banca examinadora.
À secretária Ana Roxo, pela inesgotável paciência, e aos demais integrantes do
Departamento de Engenharia Civil da PUC-Rio.
À minha esposa, Juliana, pelo amor, pela companhia, pela paciência e ajuda
principalmente no período em que tive de me dedicar exclusivamente ao término
da dissertação.
Aos meus pais, Rodolfo e Maria Nélida, pelo incentivo, amor e dedicação
infinita.
Aos meus sogros, Itamar e Teresa, pela ajuda e carinho.
Ao CNPQ pelo auxílio financeiro.
Resumo
Burgos, Rodrigo Bird; Silva, Raul Rosas; Martha, Luiz Fernando. Avaliação de Cargas Críticas e Comportamento Pós-Crítico Inicial de Pórticos Planos. Rio de Janeiro, 2005. 120p. Dissertação de Mestrado - Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
Nesta dissertação estuda-se a flambagem e o comportamento pós-crítico
inicial de pórticos planos através da formulação de elementos finitos com graus
de liberdade adicionais para posterior implementação no programa de análise
FTOOL. Realizaram-se análises linearizadas para a determinação das cargas
críticas clássicas e modos de flambagem de colunas com diferentes condições de
contorno. Em um segundo momento, realizaram-se testes numéricos no sentido
de prever a estabilidade do caminho pós-crítico (sensibilidade a imperfeições) de
algumas estruturas cujos resultados analíticos são conhecidos. Finalmente,
criaram-se alguns exemplos no FTOOL para comprovar a sua eficácia na
obtenção de cargas críticas e avaliação do comportamento pós-crítico inicial de
pórticos planos. Utilizou-se o pórtico de Roorda como exemplo para a detecção
da sensibilidade a imperfeições, devido à sua simplicidade e ao conhecimento
dos seus resultados analíticos.
Palavras-chave
estabilidade estrutural, cargas críticas, pórticos, bifurcação, flambagem,
elementos finitos
Abstract
Burgos, Rodrigo Bird; Silva, Raul Rosas (Advisor); Martha, Luiz Fernando (Co-advisor). Evaluation of Critical Loads and Initial Post-Buckling Behavior of Portal Frames. Rio de Janeiro, 2005. 120p. MSc Dissertation – Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
The buckling and post-buckling behavior of portal frames are studied by
the formulation of finite elements with additional degrees of freedom in order to
implement a new routine for obtaining critical loads in FTOOL, a structural
analysis educational interactive system. Linearized analyses were performed in
order to obtain critical loads and buckling modes for columns with different
boundary conditions. Later, numerical tests were done in order to predict the
stability of the post-critical path (sensitivity to imperfections) of some structures
which analytical results are known. Finally, some examples were modeled in
FTOOL to verify its accuracy in obtaining critical loads of portal frames.
Roorda’s frame was used as an example for the detection of the sensitivity to
imperfections, based on its simplicity and knowledge of its analytical results.
Keywords
structural stability, critical loads, portal frames, bifurcation, buckling,
finite elements method
Sumário
1 INTRODUÇÃO 15
1.1. Motivação e objetivos 15
1.2. Organização da tese 18
1.3. Representação do ponto decimal 19
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 20
2.1. Estabilidade de Estruturas 20
2.1.1. Critérios de Estabilidade Estrutural 21
2.1.2. Formas de Instabilidade 24
2.1.3. Métodos Aproximados para a Obtenção de Cargas Críticas 28
2.1.4. Análise Matricial 34
2.1.5. Sensibilidade a Imperfeições 35
2.2. Método dos Elementos Finitos 35
2.2.1. O Elemento de Pórtico Plano 39
2.2.2. Matrizes de Rigidez Elástica e Geométrica 42
2.2.3. Obtenção do Problema de Autovalor 46
2.2.4. Análise Dinâmica 48
2.2.5. Formulação Hierárquica no MEF 51
3 ELEMENTOS COM GRAUS DE LIBERDADE ADICIONAIS 54
3.1. Elemento BSB2 55
3.1.1. Função de forma do grau de liberdade adicional 55
3.1.2. Matrizes de Rigidez, de Massa e Geométrica 56
3.1.3. Matriz de Rotação 58
3.2. Elemento BSB3 59
3.2.1. Funções de Forma dos Graus de Liberdade Adicionais 60
4 ESTUDO DOS PONTOS DE BIFURCAÇÃO 63
5 TESTES NUMÉRICOS EM COLUNAS 66
5.1. Cálculo de Cargas Críticas 66
5.1.1. Coluna Engastada e Livre 67
5.1.2. Coluna Bi-apoiada 69
5.1.3. Coluna Bi-engastada 71
5.1.4. Coluna Engastada e Apoiada 73
5.1.5. Coluna com Engaste e Apoio Deslizante 75
5.1.6. Coluna com Apoios Simples e Deslizante 77
5.2. Avaliação do Tipo de Bifurcação 79
5.2.1. Bifurcação Simétrica Estável 81
5.2.2. Bifurcação Simétrica Instável 84
5.2.3. Bifurcação Assimétrica 86
6 IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL 90
6.1. Modificações introduzidas no FRAMOOP 91
6.2. Modificações Introduzidas no FTOOL 93
7 TESTES NUMÉRICOS EM PÓRTICOS 96
7.1. Quadros Planos – Obtenção de Cargas Críticas 96
7.2. Pórtico de Roorda – Comportamento Pós-Crítico Inicial 101
8 CONCLUSÕES 108
8.1. Comentários sobre este Trabalho 108
8.2. Sugestões para Trabalhos Futuros 109
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 111
APÊNDICE A - EXEMPLO DE IMPLEMENTAÇÃO NO MATHCAD 114
Lista de símbolos
Romanos
A – área da seção transversal
C – constante arbitrária
d – vetor dos deslocamentos da estrutura
di – graus de liberdade do elemento
dx – deslocamento na direção x
dy – deslocamento na direção y
E – módulo de elasticidade
f – vetor de forças da estrutura I – momento de inércia da seção reta
k – rigidez da mola
KE – matriz de rigidez elástica da estrutura
KG – matriz geométrica da estrutura
kE – matriz de rigidez elástica do elemento
kG – matriz geométrica do elemento
L – comprimento do elemento
m – massa de uma partícula
m – matriz de massa do elemento
M – matriz de massa da estrutura
Ni – funções de forma
n – número de funções adicionais
P – força axial
Pcr – carregamento crítico
Pimp – carregamento crítico para a estrutura imperfeita
qi – coordenadas generalizadas
Q(x) – função de carregamento transversal
qb – vetor dos deslocamentos estáticos
rz – rotação segundo o eixo z
U – energia interna de deformação
u – vetor dos deslocamentos axiais
V – energia potencial das cargas externas
v – vetor dos deslocamentos transversais e rotações
Gregos
Π – energia potencial total
∆Π – variação da energia potencial total
δ – parâmetro de deslocamento
δο – imperfeição inicial
λ – parâmetro de carga
λcr – fator de carga crítico
λimp – fator de carga crítico para a estrutura imperfeita
σ – tensão axial
ε – deformação axial
∆ – deslocamento
κ – curvatura
ω − freqüência de vibração
ρ − massa por unidade de volume
α − ângulo que o elemento faz com o eixo x
λR − carga crítica de Rankine
λC − carga crítica clássica
λP − carga de colapso elasto-plástico
ξ – multiplicador escalar do autovetor normalizado
Lista de tabelas
Tabela 5.1 – Resultados para a coluna engastada e livre 67
Tabela 5.2 – Resultados para a coluna bi-apoiada 69
Tabela 5.3 – Resultados para a coluna bi-engastada 71
Tabela 5.4 – Resultados para a coluna engastada e apoiada 73
Tabela 5.5 – Resultados para a coluna com engaste e apoio deslizante
75
Tabela 5.6 – Resultados para a coluna com apoios simples e deslizante
77
Tabela 7.1 – Cargas críticas de quadros planos 98
Tabela 7.2 – Resultados para o quadro plano testado no FTOOL 99
Tabela 7.3 – Quadrados das freqüências de vibração para o exemplo 99
Tabela 7.4 – Deslocamentos correspondentes ao primeiro modo
de flambagem do pórtico de Roorda 102
Tabela 7.5 – Deslocamentos estáticos do pórtico de Roorda
submetido ao carregamento crítico 103
Tabela 7.6 – Deslocamentos para o primeiro modo crítico do pórtico de
Roorda com carregamento alternativo 105
Tabela 7.7 – Deslocamentos estáticos do pórtico de Roorda submetido
ao carregamento crítico alternativo 106
Lista de figuras
Figura 2.1 – Posições de equilíbrio estático 21
Figura 2.2 – Pontos críticos 25
Figura 2.3 – Bifurcação simétrica estável 26
Figura 2.4 – Bifurcação simétrica instável 27
Figura 2.5 – Bifurcação assimétrica 27
Figura 2.6 – Região linear da curva tensão x deformação 29
Figura 2.7 – Deformações na flambagem 30
Figura 2.8 – Exemplo de discretização 36
Figura 2.9 – Elemento de viga 39
Figura 2.10 – Funções de forma do elemento de viga 40
Figura 2.11 – Elemento de treliça 41
Figura 2.12 – Funções de forma do elemento de treliça 41
Figura 2.13 – Elemento de pórtico plano 41
Figura 3.1 – Elemento BSB2 55
Figura 3.2 – Função de forma do grau de liberdade adicional 56
Figura 3.3 – Elemento BSB3 59
Figura 3.4 – Função de forma do grau de liberdade d7 60
Figura 3.5 – Função de forma do grau de liberdade d8 61
Figura 3.6 – Funções de forma adicionais para o elemento BSB3-H 62
Figura 4.1 – Formas linearizadas de bifurcação 64
Figura 5.1 – Coluna engastada e livre 67
Figura 5.2 – Deslocamentos da coluna engastada e livre 68
Figura 5.3 – Coluna bi-apoiada 69
Figura 5.4 – Deslocamentos para a coluna bi-apoiada 70
Figura 5.5 – Coluna bi-engastada 71
Figura 5.6 – Deslocamentos para a coluna bi-engastada 72
Figura 5.7 – Coluna engastada e apoiada 73
Figura 5.8 – Deslocamentos para a coluna engastada e apoiada 74
Figura 5.9 – Coluna engastada e com apoio deslizante 75
Figura 5.10 – Deslocamentos para a coluna engastada e com apoio
deslizante 76
Figura 5.11 – Coluna com apoios simples e deslizante 77
Figura 5.12 – Deslocamentos para a coluna com apoios simples e
deslizante 78
Figura 5.13 – Caminhos de equilíbrio da coluna de Euler com imperfeição
inicial 80
Figura 5.14 – Modelo de coluna com bifurcação simétrica estável 81
Figura 5.15 – Deslocamentos para a coluna com bifurcação estável 82
Figura 5.16 – Caminho pós-crítico linearizado para o exemplo 5.2.1 83
Figura 5.17 – Coluna com bifurcação simétrica instável 84
Figura 5.18 – Deslocamentos da coluna com bifurcação simétrica instável
85
Figura 5.19 – Caminho pós-crítico linearizado para o exemplo 5.2.2 86
Figura 5.20 – Coluna com bifurcação assimétrica 87
Figura 5.21 – Deslocamentos da coluna com bifurcação assimétrica 88
Figura 5.22 – Caminho pós-crítico linearizado para o exemplo 5.2.3 89
Figura 6.1 – Etapas de processamento no FTOOL 90
Figura 6.2 – Discretização de uma barra de pórtico 92
Figura 6.3 – Interface gráfica do FTOOL (em detalhe as modificações
introduzidas) 94
Figura 7.1 – Modos de flambagem de quadros planos 97
Figura 7.2 – Quadro plano testado no FTOOL 98
Figura 7.3 – Relação entre o carregamento axial e o quadrado da primeira
freqüência de vibração 100
Figura 7.4 – Pórtico de Roorda 101
Figura 7.5 – Primeiro modo de flambagem do pórtico de Roorda 102
Figura 7.6 – Caminho pós-crítico linearizado para o pórtico de Roorda 104
Figura 7.7 – Pórtico de Roorda com carregamento alternativo 104
Figura 7.8 – Modo de flambagem para o pórtico de Roorda
com carregamento alternativo 105
Figura 7.9 – Caminho pós-crítico linearizado para o pórtico de Roorda
submetido ao carregamento alternativo 107
1 INTRODUÇÃO
1.1. Motivação e objetivos
A estabilidade estrutural é um objeto de estudo desde o século XVIII,
quando Euler (1744) obteve para uma coluna bi-apoiada sob a ação de uma carga
concentrada de compressão aplicada em seu topo, sem a consideração do peso
próprio, a carga crítica de flambagem. Desde então, diversos tipos de estruturas
com diferentes condições de contorno e carregamento têm sido estudadas, no
intuito de avaliar a sua estabilidade, através da determinação das cargas críticas de
flambagem e do caminho pós-crítico de equilíbrio, que são de grande importância
no desenvolvimento de um projeto estrutural.
Com o surgimento do Método dos Elementos Finitos (MEF), o estudo da
estabilidade estrutural deixou de ser restrito a colunas com condições de contorno
bem estabelecidas, passando a ser possível a realização de uma análise em
estruturas mais complexas.
Neste trabalho utiliza-se a chamada linearização clássica do problema de
estabilidade, em que as cargas de flambagem são obtidas através de uma análise
de autovalor. Partindo da hipótese de que as deflexões e rotações que antecedem a
perda de estabilidade podem ser desprezadas, toma-se como base a configuração
indeformada da estrutura para a formulação das equações de equilíbrio.
Uma estrutura pode ter um comportamento não-linear, ainda que constituída
de um material que obedeça à lei de Hooke. Para valores relativamente grandes de
deslocamentos, a deflexão lateral de um membro pode trazer como conseqüência
o aparecimento de momentos fletores adicionais (denominados de segunda ordem)
em virtude da presença de um esforço normal. A esse tipo de comportamento dá-
se o nome de não-linearidade geométrica. Nesses casos, torna-se necessário o uso
INTRODUÇÃO 16
da configuração deformada da estrutura para a formulação das equações de
equilíbrio, o que foge ao escopo desta dissertação.
No caso da análise de estruturas reticuladas pelo MEF, é desaconselhável o
uso de um elemento de pórtico padrão por barra para a obtenção de cargas de
flambagem pela solução do problema de autovalor, devido ao fato de as funções
de forma desse elemento não levarem em conta a existência de uma força axial de
compressão. Esta questão pode ser solucionada com a subdivisão de uma barra de
pórtico em vários elementos para aumentar o grau de precisão do MEF. Outra
solução possível para este problema é o uso de uma análise não-linear completa,
que tem a desvantagem de ser muito exigente do ponto de vista computacional,
além de envolver muitas tomadas de decisões, como os valores de incremento de
carga ou de deslocamento, embora seja mais realista.
O programa FTOOL (Martha, 1999) foi desenvolvido para o ensino de
conceitos de análise estrutural. Uma de suas principais vantagens é o uso de uma
interface gráfica amigável, que permite ao usuário, de forma simples e intuitiva,
manipular eficientemente os dados de entrada do modelo estrutural (pré-
processamento). A partir da definição da estrutura, o programa executa uma
análise linear, baseada no Método da Rigidez Direta (Martha, 1993), e apresenta
os resultados de uma forma gráfica explícita (pós-processamento).
Sendo o FTOOL um programa com objetivos acadêmicos, utilizado como
auxílio em disciplinas de graduação para que os alunos se familiarizem com a
análise de estruturas, não seria apropriado exigir que os graduandos tivessem
conhecimento do Método dos Elementos Finitos, a fim de dividir uma barra em
vários elementos, ou conhecessem as possibilidades de uma análise não-linear de
estruturas.
Um problema apresentava-se então: como obter uma boa aproximação da
carga crítica de quadros modelados por elementos de pórtico plano com apenas
um elemento por barra utilizando uma análise linear? Uma barra bi-engastada, por
exemplo, por não ter nenhum grau de liberdade livre, apresentaria uma carga
INTRODUÇÃO 17
crítica absurdamente grande, devido à falsa rigidez concedida à estrutura nessa
modelagem.
A solução encontrada foi utilizar graus de liberdade adicionais, no interior
dos elementos, cujas funções de forma fossem formuladas de tal maneira que não
alterassem os deslocamentos nodais. Esses graus de liberdade existem apenas para
o cálculo da carga crítica e das freqüências de vibração, não aparecendo na
estrutura de dados da análise estática linear. Como não há força associada (os
graus de liberdade adicionais não pertencem a um nó do elemento), não há
necessidade de se modificar a estrutura de dados de nós e carregamentos dos
elementos finitos. Como os graus de liberdade extras pertencem a apenas uma
barra, não há contribuição de mais de um elemento num mesmo ponto da matriz
de rigidez global, fazendo com que o espalhamento das matrizes locais na matriz
global seja executado sem a necessidade de se utilizar a matriz de rotação para
esses graus de liberdade.
Foram testados vários modelos, com um e dois graus de liberdade
adicionais, cujas funções de interpolação foram obtidas tanto pela formulação
nodal convencional como a hierárquica. Foram implementadas para os graus de
liberdade adicionais funções na forma de polinômios de quinto grau e funções
trigonométricas (Lages, 1992).
Todos os testes para os novos elementos foram feitos no programa Mathcad
para seis tipos de colunas: bi-apoiada, engastada e livre, engastada e apoiada, bi-
engastada, com engaste e apoio deslizante e com apoio simples numa extremidade
e deslizante na outra. Após bem sucedidos os testes no Mathcad, procedeu-se à
implementação no programa de análise FRAMOOP, que é utilizado como uma
biblioteca do FTOOL. Foram feitos novamente testes numéricos para a
verificação dos exemplos e só então foram introduzidas modificações na interface
gráfica do FTOOL.
INTRODUÇÃO 18
1.2. Organização da tese
Além da introdução, esta tese conta com os seguintes capítulos:
• Capítulo 2 – Aqui se encontram todos os fundamentos teóricos que
serviram de base para este trabalho. Discutem-se os conceitos
básicos de Estabilidade Estrutural, Método dos Elementos Finitos e
Análise Matricial de Estruturas.
• Capítulo 3 – Neste capítulo são apresentados os elementos finitos
BSB2 e BSB3, sendo que este último é formulado tanto com funções
trigonométricas quanto polinomiais. São apresentadas matrizes de
rigidez, de massa e geométrica, assim como as matrizes de rotação
correspondentes.
• Capítulo 4 – Nesta seção, discute-se a caracterização dos pontos de
bifurcação obtidos a partir do problema de autovalor aplicado à
análise linear da estabilidade de pórticos. A partir da caracterização
do ponto de bifurcação, é possível fazer uma previsão da
sensibilidade da estrutura a imperfeições, baseando-se nos estudos
feitos por Guimarães (1999) e Waszczyszyn et al. (1994).
• Capítulo 5 – Neste capítulo, são apresentados os resultados
numéricos obtidos para os diferentes tipos de elementos com o
objetivo de chegar à conclusão de qual o melhor elemento para a
implementação no FTOOL.
• Capítulo 6 – Neste capítulo são apresentadas todas as modificações
introduzidas no FTOOL, tanto no programa de análise
(FRAMOOP), quanto na interface gráfica.
• Capítulo 7 – São apresentados alguns exemplos de pórticos
analisados no FTOOL para a comprovação de sua eficácia.
INTRODUÇÃO 19
• Capítulo 8 – Aqui são apresentadas as conclusões e sugestões para
trabalhos futuros.
• Apêndice A – Neste apêndice é mostrada a implementação em
Mathcad do elemento BSB2.
1.3. Representação do ponto decimal
Neste trabalho optou-se por utilizar um ponto (“.”) para identificar as casas
decimais de números reais, ao invés de utilizar uma vírgula, como é a convenção
no Brasil. Isto foi necessário para que não houvesse uma incoerência entre o texto
da dissertação e o programa FTOOL que, por ter a sua interface em inglês, adota o
ponto como símbolo decimal.
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
2.1. Estabilidade de Estruturas
Uma estrutura em equilíbrio estático pode, eventualmente, ser deslocada de
sua posição original. Perturbações externas, como a ação do vento ou um impacto
qualquer, poderiam ocasionar esse deslocamento. A resposta do sistema estrutural
ao distúrbio vai estar relacionada, entre outras coisas, à natureza do equilíbrio na
posição original.
Analisando o problema de forma simples e sob um ponto de vista dinâmico,
mais geral, pode-se afirmar que se a posição original corresponder a um estado de
equilíbrio estável, a amplitude da vibração da estrutura é limitada e diminuirá com
a remoção do distúrbio devido a efeitos de atrito e amortecimento. Caso contrário,
a amplitude da vibração aumenta, caracterizando um estado de equilíbrio instável.
Existe também o chamado equilíbrio neutro ou indiferente, quando não surgem
vibrações da estrutura próxima à configuração de equilíbrio.
A Figura 2.1 mostra um sistema constituído por uma esfera de massa m
repousando em três superfícies potenciais distintas. Nesses pontos extremos, onde
a inclinação é nula, verifica-se o equilíbrio estático. Na figura 2.1a, o equilíbrio é
estável, já que qualquer perturbação levará a esfera a voltar para o estado inicial.
Na figura 2.1b, o equilíbrio é instável, pois uma perturbação fará a esfera se
afastar desse ponto e entrar em movimento, buscando um outro nível de energia.
Já na figura 2.1c, o equilíbrio é indiferente, pois, para qualquer perturbação
condizente com as condições de contorno, a esfera continuará com a mesma
quantidade de energia potencial.
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 21
g
Figura 2.1 – Posições de equilíbrio estático
2.1.1. Critérios de Estabilidade Estrutural
Na literatura, três critérios são normalmente empregados para a
determinação da estabilidade estática de um sistema conservativo. Abaixo está
uma breve descrição de cada um desses três critérios, dando-se mais ênfase ao
Critério Energético de Estabilidade, que é o mais amplamente utilizado e servirá
de base para as demais deduções neste capítulo.
2.1.1.1. Critério Estático de Estabilidade
Verifica-se, neste critério, se as forças estáticas originadas em resposta à
existência de pequenos deslocamentos, relacionados a uma determinada posição
de equilíbrio, tendem a fazer com que a estrutura retorne para a configuração
original. A tendência a restaurar o sistema ao seu estado original de equilíbrio
representa uma condição de equilíbrio estável. Pode-se aplicar esse critério ao
exemplo das figuras 2.1a e 2.1b, verificando-se que a resultante das forças peso
(na direção da aceleração da gravidade) e normal (perpendicular à superfície) faz
a esfera retornar à posição original no primeiro caso e a afasta da configuração de
equilíbrio no segundo. No caso da figura 2.1c, as forças peso e normal estão
sempre em equilíbrio, caracterizando a condição neutra.
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 22
2.1.1.2. Critério Dinâmico de Estabilidade
Este critério estabelece o comportamento dinâmico do sistema quando
submetido a pequenas perturbações em torno da posição de equilíbrio. Tais
perturbações podem ficar limitadas a todo instante ou desestabilizar o sistema,
afastando-o do equilíbrio. Este comportamento relaciona-se com a solução das
equações diferenciais que governam o sistema: se as freqüências naturais de
vibração da estrutura são reais, tem-se que o equilíbrio é estável; quando ao
menos uma freqüência torna-se nula, estamos diante de um ponto crítico; se
alguma freqüência torna-se imaginária, o equilíbrio passa a ser instável. Para
sistemas não-conservativos, só o critério dinâmico é capaz de prever o
comportamento da estrutura e obter seus pontos críticos, o que não é o caso dos
exemplos estudados neste trabalho. Estudos sobre o comportamento de sistemas
não-conservativos podem ser obtidos nos trabalhos de Suanno (1988) e Guimarães
(1999).
2.1.1.3. Critério Energético de Estabilidade
Aplicável a sistemas conservativos, esse critério é baseado no Teorema de
Lagrange, estabelecendo que se a energia potencial, assumida como uma função
contínua das coordenadas generalizadas, tem um mínimo relativo em determinada
posição de equilíbrio, então essa posição de equilíbrio é estável. Em sistemas
estruturais elásticos e sob ação de cargas conservativas, a energia potencial total é
definida como:
Π = U + V (2.1)
onde U é a energia interna de deformação elástica e V é o potencial das forças
externas conservativas. Desvios em relação a uma determinada posição de
equilíbrio irão ocasionar uma variação na energia potencial, devido ao acúmulo de
energia de deformação no sistema somado ao trabalho realizado pelas forças
externas, como pode ser visto em (2.2).
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 23
∆Π = ∆U + ∆V (2.2)
Para sistemas discretizados, como no caso do Método dos Elementos
Finitos, onde os deslocamentos são referidos às coordenadas generalizadas qi, essa
variação é expressa por:
∆Π = Π (q1 + δq1,…,qn + δqn, λ) - Π (q1,…,qn, λ ) (2.3)
onde n é o número de coordenadas generalizadas do sistema, q1,…,qn representam
uma determinada posição inicial de equilíbrio, δq1,..., δqn são deslocamentos em
relação à referida posição, e λ é o parâmetro de carga, assumido constante durante
os deslocamentos.
O Princípio da Energia Potencial Estacionária diz que, num estado de
equilíbrio, a energia potencial do sistema será sempre um extremo (máximo ou
mínimo), portanto:
0qΠ)(
i
=∂∆∂ (2.4)
O resultado de (2.4) corresponde, para cada qi, a uma equação de equilíbrio
estático em sistemas conservativos discretizados e a solução do sistema de
equações gerado descreve o comportamento da estrutura quando sujeita a
perturbações no seu estado inicial. Muitas vezes essas equações têm um grau de
não-linearidade muito grande, fazendo com que o sistema seja de difícil solução
analítica.
Para verificar se uma posição de equilíbrio que satisfaz a equação (2.4) é
estável ou instável, faz-se necessário avaliar se a energia na referida posição trata-
se de um máximo ou um mínimo. Caso seja um mínimo, todas as perturbações
possíveis levam a um aumento da energia potencial e o sistema está em equilíbrio
estável (Princípio da Energia Potencial Mínima de Lagrange). Caso contrário,
estamos diante de uma posição de equilíbrio instável.
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 24
Para sistemas com um grau de liberdade, avaliar o sinal da segunda derivada
da variação da energia potencial é suficiente para determinar se o ponto estudado
trata-se de um máximo ou um mínimo de energia potencial. Para sistemas com
mais de um grau de liberdade, é necessário avaliar a segunda variação da energia
potencial, que é dada pela seguinte forma quadrática, obtida pela expansão da
equação (2.3) em Séries de Taylor até o termo de segunda ordem:
δ2(∆Π) = ∑ ∑⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
∂∂∆∂
i jj
ji
2
i δqqqΠ)(δq (2.5)
A matriz formada pelas derivadas parciais segundas em relação às
coordenadas generalizadas qi determinará a estabilidade da posição de equilíbrio
representada pelos deslocamentos δqi. Caso a forma quadrática seja positiva-
definida, o equilíbrio é estável para o nível de carga dado. Se δ2(∆Π) é nula para
algum δqi, δqj, sua forma quadrática não é mais positiva-definida e a estabilidade
da posição original de equilíbrio vai depender do sinal das variações de maior
ordem em ∆Π. Nessa situação, diz-se que a carga crítica foi alcançada. Se,
aumentando-se a carga, δ2(∆Π) passa a ser menor que zero em relação ao mesmo
δqi, δqj, o estado de equilíbrio original é considerado instável.
O critério energético é amplamente utilizado na análise da estabilidade de
sistemas estruturais conservativos, em virtude da sua relativa simplicidade em
relação ao critério dinâmico no que diz respeito à aplicação de métodos numéricos
e obtenção de resultados analíticos.
2.1.2. Formas de Instabilidade
O comportamento do sistema estrutural quando a carga crítica é alcançada
está relacionado com o tipo de carregamento atuante e, eventualmente, com as
condições de contorno geométricas. Para sistemas sob ação de cargas
conservativas, uma formulação estática, baseada na energia potencial, é suficiente
para descrever tal comportamento.
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 25
Uma determinada configuração de equilíbrio tem sua característica
modificada quando um determinado nível de carregamento (medido pelo
parâmetro de carga λ) é alcançado, ou seja, a forma como a energia potencial se
comporta para pequenas perturbações é alterada. A este nível de carregamento
dá-se o nome de carga crítica e o ponto correspondente na curva parâmetro de
carga x parâmetro de deslocamento é denominado ponto crítico.
Um ponto crítico pode ser um ponto limite ou de bifurcação. O primeiro
configura-se como um extremo na curva parâmetro de carga x parâmetro de
deslocamento, porém sem a existência de estados adjacentes de equilíbrio para um
mesmo carregamento, que é a característica de um ponto de bifurcação. A
obtenção de pontos limites normalmente exige uma análise não-linear, já que
ocorrem apenas em estruturas que apresentam grande não-linearidade geométrica.
Figura 2.2 – Pontos críticos
λ
δ
AB
C
0
Na figura 2.2, B é um ponto limite, A é um ponto de bifurcação e AC é um
caminho de equilíbrio adjacente. No ponto A, pode-se notar que, para um mesmo
nível de carga, a estrutura pode se comportar de duas formas diferentes.
Analisando-se a estabilidade das configurações de equilíbrio é possível prever,
numa estrutura real, qual caminho é o preferencial.
Para caracterizar um ponto de bifurcação é necessário estudar cada um dos
caminhos de equilíbrio possíveis quanto à sua estabilidade. Segundo este critério,
há três tipos básicos de bifurcação, que serão vistos adiante.
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 26
2.1.2.1. Bifurcação Simétrica Estável
Este tipo de bifurcação caracteriza-se por apresentar um caminho de
equilíbrio adjacente no qual a estrutura ganha rigidez, podendo absorver mais
carga. A posição original do sistema torna-se instável e qualquer perturbação, por
mínima que seja, leva o mesmo a uma nova configuração de equilíbrio, que é
estável.
λ λcr
δ
Figura 2.3 – Bifurcação simétrica estável
2.1.2.2. Bifurcação Simétrica Instável
Este tipo de bifurcação caracteriza-se por apresentar um caminho de
equilíbrio adjacente no qual a estrutura perde rigidez, não podendo absorver mais
carga. A posição original do sistema torna-se instável e qualquer perturbação, por
mínima que seja, leva o mesmo a uma condição em que o equilíbrio não pode
mais ser alcançado, analogamente ao que aconteceria com a esfera na posição B
da figura 2.1.
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 27
λ
λcr
δ
Figura 2.4 – Bifurcação simétrica instável
2.1.2.3. Bifurcação Assimétrica
Este tipo de bifurcação é uma combinação dos dois anteriores, no qual o
sistema se comporta de forma estável para uma perturbação positiva (ou
negativa), porém torna-se instável para perturbações de sinal contrário.
λ
λ cr
δ
Figura 2.5 – Bifurcação assimétrica
Neste trabalho serão consideradas apenas situações nas quais o caminho de
equilíbrio pré-crítico pode ser admitido como levemente não-linear, ou seja,
situações em que as rotações nos elementos, anteriores à flambagem, podem ser
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 28
desconsideradas, tornando possível o uso da chamada linearização clássica para a
determinação da carga crítica que, neste caso, representa sempre um ponto de
bifurcação.
2.1.3. Métodos Aproximados para a Obtenção de Cargas Críticas
O princípio da energia potencial estacionária diz que uma estrutura sempre
se deformará de tal forma que o estado de equilíbrio atingido leve a um valor
extremo (máximo ou mínimo) na energia do sistema.
No entanto, para algumas estruturas, é difícil obter-se o valor da energia
potencial, já que seus deslocamentos e as funções que os descrevem não são
previamente conhecidos. Para resolver essa questão, é possível aproximar a
deformada verdadeira da estrutura por uma forma de deflexão presumida, como
acontece no Método dos Elementos Finitos.
A partir dessa hipótese, surgiram dois métodos aproximados para a obtenção
de cargas críticas: os quocientes de Rayleigh e Timoshenko.
2.1.3.1. Quociente de Rayleigh
Como foi visto no item 2.1, para a obtenção de cargas críticas é necessário
que se conheça a variação da energia potencial do sistema. Esta é formada por
duas parcelas, U e V. A energia de deformação por unidade de volume de uma
estrutura é dada pela área sob a curva tensão x deformação, que é de fácil
obtenção analítica na região em que o material é linear, como pode ser visto na
figura 2.6. Esta energia deve ser integrada em todo o volume da estrutura para que
se obtenha a energia de deformação total do sistema (Timoshenko, 1984).
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 29
σ
ε E
0
Figura 2.6 – Região linear da curva tensão x deformação
U = dV dεEε21dV σεdε
V
2
V∫ ∫∫ ∫ = (2.6)
Na equação acima, E é o módulo de Young do material. Na expressão da
energia potencial, a parcela V é dada pelo trabalho realizado pelas forças externas
na direção dos deslocamentos da estrutura. Esse trabalho é sempre negativo, já
que a força externa se opõe ao retorno do sistema à sua posição original.
V = ∑ ∆−i
iiP (2.7)
Numa viga, sabe-se que grande parte da deformação pode ser atribuída à
flexão, sendo que a parcela correspondente à deformação axial pura (energia de
membrana) pode ser desprezada. Sabe-se também que a deformação por flexão é
dada por:
yκε −= (2.8)
onde y é a distância da fibra neutra ao ponto em que se quer averiguar a
deformação e κ é a curvatura da viga.
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 30
Segundo as hipóteses de pequenas deformações, κ pode ser aproximada pela
seguinte expressão:
2
2
dxv(x)dκ = (2.9)
onde v(x) é a função que descreve o deslocamento transversal na viga.
Substituindo-se as equações (2.8) e (2.9) na fórmula da energia de
deformação e retirando-se da integral a expressão do momento de inércia I da
seção transversal da viga, chega-se a:
∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
L
0
2
2
2
dxdxv(x)d
2EIU (2.10)
Deve-se agora obter uma expressão para o deslocamento ∆ que o relacione
com v(x) para a inclusão do efeito do trabalho das forças externas na energia
potencial (Gonçalves, 1994).
Figura 2.7 – Deformações na flambagem
Usando o elemento infinitesimal do eixo da coluna deformado, mostrado na
figura 2.7, pode-se afirmar, pelo teorema de Pitágoras, que:
(ds)2 = (dx - du)2 + dv2 (2.11)
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 31
Dividindo-se (2.11) por (dx)2, obtém-se:
222
dxdv
dxdudx
dxds
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ (2.12)
Como as deformações axiais puras (membrana) podem ser desprezadas,
tem-se que ds ≈ dx e, portanto:
2/12
dxdv11
dxdu
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−= (2.13)
Usando Séries de Taylor, pode-se fazer a seguinte aproximação:
dxdxdv
21du
2
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= (2.14)
Sabe-se que:
∫=L
0
du∆ (2.15)
Substituindo (2.14) em (2.15) e utilizando o resultado em (2.7), chega-se à
expressão completa da energia potencial. Aplicando-se o Princípio da Energia
Potencial Estacionária, chega-se à seguinte equação:
0dxdx
dv(x)2Pdx
dxv(x)d
2EI L
0
2L
0
2
2
2
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡∫∫ (2.16)
Como a força axial é constante, pode ser retirada da integral, e a equação
(2.16) pode ser reescrita de forma a obter o valor de P pelo quociente de Rayleigh,
que é dado pela equação (2.17).
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 32
∫
∫
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
=L
0
2
L
0
2
2
2
R
dxdx
dv(x)
dxdxv(x)dEI
P (2.17)
Uma generalização do quociente de Rayleigh para estruturas com mais de
um grau de liberdade leva ao problema de autovalor utilizado na Análise Matricial
de Estruturas para a obtenção de cargas críticas. A precisão desse método depende
da escolha da função aproximadora. Funções trigonométricas geram melhores
resultados do que polinômios, já que os modos críticos de colunas obtidos
analiticamente são dados por funções seno e cosseno.
2.1.3.2. Quociente de Timoshenko
A diferença básica entre os quocientes de Rayleigh e Timoshenko está na
obtenção da energia de deformação U. Enquanto o primeiro a formula a partir da
expressão da energia em função da curvatura, o segundo utiliza a seguinte relação
entre o momento fletor na viga e a curvatura para obter essa energia:
M = - EIκ (2.18)
A energia de deformação pode ser, portanto, reescrita da seguinte forma:
∫∫ ==L
0
2L
0
2 dxM2EI1dxκ
2EIU (2.19)
Utiliza-se então a própria função aproximadora para calcular o momento
fletor em qualquer ponto da coluna, pela seguinte relação:
v(x)PM = (2.20)
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 33
Substituindo (2.19) em (2.18), a energia de deformação fica:
[ ]∫=L
0
22 dxv(x)P2EI1U (2.21)
Aplicando o Princípio da Energia Potencial Estacionária da mesma forma
como na seção anterior, chega-se à seguinte equação:
[ ]
∫∫ =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−
L
0
2L
0
22
0dxdx
dv(x)2Pdx
2EIv(x)P
(2.22)
Como a força axial é constante e não nula pode ser simplificada e retirada da
integral, e a equação (2.22) pode ser reescrita de forma a obter o valor de P pelo
quociente de Timoshenko.
[ ]∫
∫ ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
= L
0
2
L
0
2
T
dxEI
v(x)
dxdx
dv(x)
P (2.23)
A aproximação pelo quociente de Timoshenko é sempre mais precisa do que
a de Rayleigh. A desvantagem, no entanto, é que o quociente de Timoshenko só
pode ser usado para estruturas estaticamente determinadas (isostáticas), já que só
nesses casos o momento fletor pode ser expresso em função da curva que descreve
o deslocamento transversal (Bazant, 1991).
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 34
2.1.4. Análise Matricial
A equação matricial de equilíbrio estático para um sistema discretizado pode
ser obtida a partir da aplicação da equação (2.4) a um funcional de energia
potencial total Π, dado em função das coordenadas generalizadas qi:
fdK E = (2.24)
onde KE é a matriz de rigidez elástica, d é o vetor de deslocamentos nodais e f é o
vetor de cargas, todos referidos ao sistema de eixos global da estrutura.
Em problemas de flambagem, nos quais as rotações que antecedem o estado
crítico podem ser desconsideradas, a expressão acima é modificada pela inclusão
da matriz de rigidez geométrica KG, que depende da força axial:
( ) fdKK GE =+ (2.25)
A carga crítica, para estes casos, irá corresponder a um ponto de bifurcação,
ou seja, a configuração de equilíbrio original e uma outra configuração de
equilíbrio adjacente poderão existir para um mesmo valor de carga.
Expressando (2.25) em uma forma incremental, tem-se:
( ) δfδdKK GE =+ (2.26)
A partir da afirmação anterior, pode-se dizer que existe um nível de carga no
qual é possível ocorrer um incremento nos deslocamentos, sem que essa carga
sofra uma modificação significativa. Obtém-se, portanto:
δd
( ) 0δdKK GE =+ (2.27)
A expressão acima corresponde à formulação estática para a determinação
da carga crítica.
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 35
2.1.5. Sensibilidade a Imperfeições
Se uma estrutura imperfeita exibe uma carga limite menor que a carga
crítica da estrutura dita perfeita, então essa estrutura é denominada como sensível
ao efeito da imperfeição (Bazant, 1991).
O equilíbrio no estado crítico é estável se a carga P para o estado de
equilíbrio pós-crítico adjacente é maior que a carga de bifurcação da estrutura
perfeita. Nesse caso, os estados de equilíbrio pós-crítico são estáveis e a estrutura
é insensível a imperfeições.
Por outro lado, o equilíbrio no estado crítico é instável se existem estados
adjacentes de equilíbrio para os quais a carga P é menor que a carga de bifurcação
da estrutura perfeita. As imperfeições fazem diminuir a carga que torna a estrutura
instável. Também pode ser provado (Koiter, 1960) que a sensibilidade a
imperfeições em estruturas que exibem bifurcação assimétrica é maior em
comparação com aquelas que exibem bifurcação simétrica e também instável.
Essas conclusões serão de grande importância para a caracterização do
ponto de bifurcação obtido da análise do problema de autovalor generalizado,
como será visto adiante.
2.2. Método dos Elementos Finitos
O Método dos Elementos Finitos (MEF), um procedimento numérico para a
análise de estruturas e meios contínuos, nasceu devido à necessidade de se
obterem resultados numéricos para problemas nos quais a solução analítica era
complicada ou, em alguns casos, impossível (Cook, 1989).
Dois conceitos básicos resumem o método: a discretização do contínuo e as
funções de interpolação.
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 36
A discretização consiste em se dividir um meio contínuo em um número
finito de elementos que estarão conectados entre si apenas por seus vértices (nós),
por exemplo. Um princípio fundamental dessa discretização diz que dois
elementos de uma determinada dimensão só podem se interceptar em uma
entidade de dimensão inferior. Por exemplo, dois elementos de barra só podem se
conectar através de seus nós, porém dois elementos de placa poderiam se
interceptar tanto em seus nós quanto em suas arestas. Uma imagem que
exemplifica a discretização é a de uma folha de papel cortada em diversos
“elementos” menores, que permanecem ligados através de seus vértices, como
mostra a figura 2.8.
Figura 2.8 – Exemplo de discretização
O contínuo, com infinitos graus de liberdade, é então representado por um
modelo discreto que tem um número finito de graus de liberdade, no qual as
integrações são substituídas por somas finitas e as equações do contínuo são
reduzidas a sistemas de equações algébricas.
As relações constitutivas que governam o contínuo são usadas como base
para a formulação dos elementos e o objetivo da solução é tornar-se o mais
próxima possível do comportamento real do sistema.
O MEF foi concebido como um procedimento de análise estrutural, mas
hoje em dia também é utilizado para problemas de transferência de calor,
escoamento de fluidos, distribuição de campos elétricos e magnéticos, entre
outros.
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 37
No caso da análise estrutural, o objetivo principal é obter a solução para a
distribuição de tensões e deformações em todo o domínio da estrutura. Uma vez
que o campo de deslocamentos é descrito apenas pelos deslocamentos dos nós dos
elementos, faz-se necessário um recurso que relacione os valores nodais do campo
com os valores no interior do elemento. Surgem então as funções de forma (ou de
interpolação), que são escritas para que o deslocamento em qualquer ponto do
elemento possa ser calculado tomando-se como base apenas os valores dos
deslocamentos nos nós (Assan, 1999).
∑=i
ii u(x)Nu(x) (2.28)
onde u(x) é a função que descreve um deslocamento qualquer no interior do
elemento, Ni(x) são as funções de forma e ui são os deslocamentos nodais.
A relação entre o campo de deslocamentos e o campo de forças em um
elemento é obtida através de uma matriz, chamada matriz de rigidez, que funciona
para o elemento de forma análoga ao coeficiente k de uma mola elástica que segue
a Lei de Hooke.
F = k x (2.29)
Os coeficientes dessa matriz são obtidos a partir do Princípio da Energia
Potencial Estacionária, de forma semelhante ao que é feito no quociente de
Rayleigh.
Para problemas dinâmicos, nos quais a variável tempo deve ser considerada,
é necessária a introdução de outra matriz, chamada matriz de massa, que
desempenha um papel análogo à massa de uma partícula na equação clássica da
dinâmica para sistemas com um grau de liberdade:
f(t)k xx(t)dtd m 2
2
=+ (2.30)
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 38
Na expressão (2.30), m é a massa da partícula, k a rigidez da mola e f(t) uma
força aplicada que varia com o tempo.
A matriz de massa consistente é assim denominada porque nela adotam-se
para as acelerações as mesmas funções de interpolação utilizadas para os
deslocamentos na obtenção da matriz de rigidez elástica do elemento, como
veremos adiante.
Em problemas de estabilidade deve ser também introduzida a matriz
geométrica, como já mencionado na seção 2.1.3.3, cuja forma de obtenção é
semelhante à da matriz de rigidez, desta vez considerando parcelas de ordem
superior na aproximação das deformações.
O MEF pode ser interpretado como uma generalização dos procedimentos
adotados em uma análise estrutural convencional de sistemas reticulados. De fato,
a formulação matricial obtida pelo Método dos Deslocamentos (ou da Rigidez) em
estruturas aporticadas é o próprio MEF na sua formulação em deslocamentos.
A diferença básica entre a análise de pórticos e o MEF está no próprio
modelo estrutural. Em ambos os casos, o modelo estrutural é formado pela
montagem de componentes ou elementos estruturais individuais. No primeiro
caso, os elementos aparecem quase que naturalmente a partir da própria
concepção da estrutura. No segundo, a estrutura é modelada por um número finito
de elementos (regiões) para representar um meio contínuo (Martha, 1994).
Neste trabalho será utilizado o elemento de pórtico plano, cuja descrição é
feita a seguir. No Capítulo 3 serão apresentadas algumas modificações que podem
tornar este elemento mais preciso para a análise de estabilidade.
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 39
2.2.1. O Elemento de Pórtico Plano
O elemento de pórtico plano (por vezes designado como elemento de viga
ou barra em programas de análise) é formulado através da combinação das
funções de forma de dois elementos básicos: o elemento de viga e o elemento de
treliça.
Como foi dito na seção anterior, o MEF aplicado a estruturas aporticadas
confunde-se com o próprio Método dos Deslocamentos para análise de tais
estruturas. Isto ocorre porque as funções de interpolação para elementos de viga
são as soluções exatas da equação diferencial característica dessa estrutura:
Q(x)dx
v(x)dEI IV
IV
= (2.31)
onde Q(x) é uma função que descreve o carregamento transversal aplicado à viga.
Um dos fundamentos do MEF é o de que o carregamento só pode ser
aplicado nas regiões de interseção dos elementos, ou seja, nos nós, no caso de
barras. Sendo assim, o valor de Q(x) é sempre nulo na equação (2.31), o que leva
a um polinômio de terceiro grau como solução da equação diferencial para v(x).
No caso de haver algum carregamento distribuído no elemento, este será
transformado em cargas aplicadas nos nós, conhecidas como “cargas equivalentes
nodais”.
d 3 d 6
d 2 d 5
Figura 2.9 – Elemento de viga
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 40
O campo de deslocamentos do elemento é descrito pelas seguintes funções:
3
3
2
2
2 Lx2
Lx3-1(x)N += (2.32)
2
32
3 Lx
Lx2-1(x)N += (2.32)
3
3
2
2
5 Lx2
Lx3(x)N −= (2.34)
2
32
6 Lx
Lx-(x)N += (2.35)
0 0.5 1
0.5
1
N 2 x ( )
x L
0 0.5 1
0.1
0.2
N3 x( )
xL
0 0.5 1
0.5
1
N 5 x ( )
x L
0 0.5 1
0.2
0.1N6 x( )
xL
Figura 2.10 – Funções de forma do elemento de viga
Numa barra de uma estrutura aporticada, além dos deslocamentos
transversais ao seu eixo e das rotações, há também deslocamentos axiais. Para
modelar tais deslocamentos, utilizam-se as funções do elemento de treliça, já que
esta é uma estrutura formada apenas por escoras e tirantes, elementos que só
apresentam esforços axiais.
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 41
d1 d4
Figura 2.11 – Elemento de treliça
O campo de deslocamentos do elemento é descrito pelas seguintes funções,
que são as soluções exatas para o problema de tensões e deformações axiais no
caso de estruturas lineares:
Lx-1(x)N1 = (2.36)
Lx(x)N4 = (2.37)
0 0.5 1
0.5
1
N 1 x ( )
x L
0 0.5 1
0.5
1
N4 x( )
xL
Figura 2.12 – Funções de forma do elemento de treliça
Utilizando como hipótese simplificadora o fato de não haver qualquer
interação entre os efeitos axiais e transversais, pode-se “somar” as contribuições
de cada um dos elementos acima, formando o elemento de pórtico plano.
d 3 d 6 d 1 d 4 d 2 d 5
Figura 2.13 – Elemento de pórtico plano
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 42
A matriz das funções de forma relaciona os campos de deslocamentos u(x) e
v(x) com os deslocamentos nodais da seguinte forma:
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
6
5
4
3
2
1
6532
41
dddddd
(x)N(x)N0(x)N(x)N000(x)N00(x)N
v(x)u(x)
(2.38)
A matriz de rigidez do elemento de pórtico plano pode ser obtida tanto pelos
coeficientes de rigidez do método dos deslocamentos (Método da Rigidez Direta)
quanto pelo critério mais geral dos MEF (utilizando as funções de forma e o
Princípio da Energia Potencial Estacionária), levando aos mesmos resultados.
Cada coeficiente i,j tem como significado físico a força que surge na direção i
quando é imposto um deslocamento unitário na direção j.
A matriz geométrica é obtida também pelo Princípio da Energia Potencial
Estacionária, desta vez considerando-se para a formulação da energia de
deformação parcelas que são desconsideradas para a análise linear estática.
2.2.2. Matrizes de Rigidez Elástica e Geométrica
Em problemas lineares relacionados à mecânica dos corpos deformáveis
elásticos, os deslocamentos são proporcionais às cargas. O problema da
flambagem, entretanto, tem como característica básica a desproporção que surge
entre o deslocamento e a carga quando um certo nível de carregamento é
alcançado, em virtude da possibilidade de ocorrer um incremento considerável nos
deslocamentos sem que ocorra um incremento significativo da carga aplicada, em
decorrência da perda de rigidez da estrutura. Configura-se, portanto, a não-
linearidade geométrica para esse tipo de problema.
Apesar de haver ainda uma certa divergência quanto à obtenção da matriz de
rigidez geométrica para elementos tridimensionais (Vasquez, 1987), para um
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 43
elemento de viga-coluna no plano sua formulação tornou-se clássica, havendo
apenas uma pequena diferença com relação a serem ou não consideradas as
contribuições axiais para formação desta matriz. Para alguns autores, basta
considerar a parte do elemento de pórtico que se deforma transversalmente ao seu
eixo. A consideração ou não das contribuições dos termos originados pelo
elemento de treliça não afeta os resultados de maneira significativa (Guimarães,
1999).
Para a análise de estabilidade por elementos de pórtico plano, a aproximação
feita na seção 2.1.3, que desconsiderava a parcela correspondente à deformação
axial pura (energia de membrana), não pode ser utilizada. A deformação
longitudinal passa a ser dada por:
yκdxduε −= (2.39)
Levando-se em conta os efeitos da deformação axial que foram
desconsiderados em (2.13), a energia de deformação pode ser reescrita da seguinte
forma:
∫∫∫∫ ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=
L
0
2L
0
2L
0
2
2
2L
0
2
dxdxdv
2Pdx
dxdu
2Pdx
dxvd
2EIdx
dxdu
2EAU (2.40)
Alguns autores desconsideram o terceiro membro do lado direito da equação
(2.40), o que modifica a matriz geométrica nas linhas 1 e 4. Essa diferença tem se
mostrado pouco importante, já que os efeitos de flexão são mais relevantes para a
flambagem do que os de membrana. De qualquer forma, optou-se por manter esse
termo já que a matriz geométrica torna-se mais completa deste modo.
Substituindo as expressões de u(x) e v(x) dadas pelo MEF em (2.40) e
aplicando o Princípio da Energia Potencial Estacionária, chega-se a uma
formulação matricial para as equações de equilíbrio, de onde podem ser extraídas
as matrizes de rigidez e geométrica.
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 44
+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= ∫∫ v
NNvu
NNu v
TvTu
TuT
L
02
2
2
2L
0
dxdx
)(ddx
)(d2EIdx
dx)d(
dx)d(
2EAU
+ vNN
vuNN
u vT
vTuT
uT
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∫∫L
0
L
0
dxdx
)d(dx
)d(2Pdx
dx)d(
dx)d(
2P (2.41)
Na expressão (2.41), Nu é a matriz que contém as funções de forma do
elemento de treliça, Nv é a matriz que contém as funções de forma do elemento de
viga, u é o vetor de deslocamentos axiais e v o vetor dos deslocamentos
transversais e rotações.
[ ](x)N(x)N 41=uN (2.42)
{ }41 dd=Tu (2.43)
[ ](x)N(x)N(x)N(x)N 6532=vN (2.44)
{ }6532 dddd=Tv (2.45)
A matriz de rigidez do elemento é dada por:
∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
L
0
jiE dx
dx(x)dN
dx(x)dN
EAkji,
(2.46)
∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
L
02j
2
2i
2
E dxdx
(x)Nddx
(x)NdEIkji,
(2.47)
A expressão (2.46) vale para i e j iguais a 1 e 4. A expressão (2.47) vale para
i e j iguais a 2, 3, 5 e 6. Como explicado anteriormente, não há interação entre
efeitos de membrana e de flexão, portanto os termos não incluídos nas expressões
anteriores são nulos.
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 45
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−−
−
−
−
−
=
L4EI
L6EI0
L2EI
L6EI0
L6EI
L12EI0
L6EI
L12EI0
00L
EA00LEA
L2EI
L6EI0
L4EI
L6EI0
L6EI
L12EI0
L6EI
L12EI0
00L
EA00L
EA
22
2323
22
2323
Ek (2.48)
A matriz geométrica é dada por:
∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
L
0
jiG dx
dx(x)dN
dx(x)dN
Pkji,
(2.49)
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−−
−
−−
−
−
=
15L2
1010
30L1
1010
101
5L60
101
5L60
00L100
L1
30L1
1010
15L2
1010
101
5L60
101
5L60
00L100
L1
PGk (2.50)
Nessas expressões, E representa o módulo de elasticidade longitudinal ou
módulo de Young do material, I é o momento de inércia da seção reta, A
representa a área dessa seção, L é o comprimento do elemento e P é a força axial
atuante no elemento.
Deve-se observar que a dedução das funções de forma relacionadas ao
deslocamento v(x) do eixo central do elemento de viga (N2, N3, N5 e N6) não leva
em conta a existência de uma força de compressão axial.
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 46
A equação diferencial de uma viga submetida a um carregamento axial P é
dada pela equação abaixo (Silva & Soares, 1974).
Q(x)dxv(x)d
dxv(x)dEI 2
2
IV
IV
=+ P (2.51)
As funções de forma que resultam da solução exata da equação diferencial
são diferentes para o caso de a força axial ser de compressão ou tração (Weaver &
Gere, 1980), o que dificulta a implementação.
2.2.3. Obtenção do Problema de Autovalor
A linearização clássica na análise de estabilidade parte do princípio de que
as rotações que antecedem a flambagem são desprezíveis, ou seja, as equações de
equilíbrio da estrutura são sempre referidas à sua configuração indeformada.
A análise da flambagem usando a matriz de rigidez geométrica KG, pode ser
feita com base na seguinte hipótese:
refGG KK λ= (2.52)
refff λ= (2.53)
Nas expressões (2.52) e (2.53), KGref é a matriz de rigidez geométrica obtida
a partir de um carregamento de referência, fref, e λ é o parâmetro escalar
multiplicador da carga.
O uso dessas equações implica em considerar que não ocorrerão mudanças
significativas na distribuição dos esforços caso as cargas fi sejam multiplicadas
por λ, bastando, portanto, multiplicar a matriz de rigidez geométrica por esse
mesmo fator. Essa hipótese não inclui efeitos de segunda ordem (não-linearidade
geométrica), pois neste tipo de análise supõe-se que os deslocamentos e esforços
variam linearmente com o carregamento. Em alguns casos, como o de estruturas
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 47
muito esbeltas, nas quais a não-linearidade geométrica é acentuada, essa hipótese
não é válida, sendo necessário o uso de uma análise não-linear completa.
Aplicando as expressões (2.52) e (2.53) na equação (2.27), chega-se ao
problema de autovalor para o caso da formulação estática:
( ) 0δdKKrefGE =+ crλ (2.54)
Os autovalores são os valores de λcr para os quais o vetor δd representa uma
solução não trivial, δd ≠ 0. Os autovetores δd obtidos para cada autovalor são os
modos críticos da estrutura.
Modificando-se a equação (2.54) de forma conveniente, pode-se notar que a
mesma é uma generalização do quociente de Rayleigh, que pode ser representado
pela seguinte forma geral:
δdKδdδdKδd
refGT
ET
−=crλ (2.55)
Portanto, vê-se que a determinação da carga crítica, feita a partir da equação
(2.54), passa por duas fases principais, que são: a determinação dos esforços
axiais nos elementos, feita a partir da resolução estática do sistema submetido a
um determinado carregamento de referência e, posteriormente, a resolução de um
problema linear de autovalor generalizado.
Em situações práticas, relacionadas à estabilidade, é importante conhecer as
duas primeiras cargas críticas, com o propósito de detectar uma eventual interação
ou proximidade entre modos de flambagem ou modos de vibração. No entanto, a
discretização da estrutura em um elemento por barra faz com que haja uma perda
de precisão na análise, tornando confiável apenas o valor da primeira carga crítica
para pórticos planos modelados dessa forma. Para problemas conservativos em
pórticos planos, presume-se que a possibilidade de haver interação entre modos de
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 48
flambagem próximos é pequena, sendo, portanto, suficiente a obtenção da
primeira carga crítica apenas.
Deve-se lembrar que a carga crítica obtida pelo problema de autovalor
linearizado deve ser apenas utilizada como uma referência, já que em muitos
casos uma estrutura pode sofrer um colapso quando submetida a um carregamento
consideravelmente menor do que o esperado. Para estruturas em que existe a
possibilidade de grandes deslocamentos e rotações, o grau de não-linearidade
geométrica torna-se muito elevado para que se possa considerar confiável um
resultado obtido por uma análise linear. Nesses casos, inclusive, é possível que o
material já tenha se deformado a tal ponto que sua a relação tensão x deformação
não seja mais linear.
Diversas formas de obtenção de cargas de colapso de estruturas podem ser
encontradas na literatura, como o conceito de Rankine-Merchant (Horne &
Merchant, 1965), pelo qual pode-se chegar a um valor de carga de colapso a partir
da seguinte expressão:
PCR λλλ111
+= (2.56)
onde λR é o valor da carga de Rankine, λC, a carga crítica clássica e λP a carga de
colapso elasto-plástico da estrutura. A carga de colapso elasto-plástico de
estruturas é obtida a partir da formação de rótulas plásticas (Gabbay, 1977).
2.2.4. Análise Dinâmica
Problemas dinâmicos são governados pela equação característica, dada em
(2.30), generalizada para mais de um grau de liberdade no caso de vibrações
harmônicas (Paz, 1997):
( ) f(t)d(t)KM E =+− 2ω (2.57)
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 49
Na expressão (2.57), M é a matriz de massa, ωi são as freqüências naturais
de vibração da estrutura e f(t) é o vetor de forças que, neste caso, dependem do
tempo, assim como os deslocamentos.
Quando f(t) = 0, a equação (2.57) transforma-se num problema de
autovalor generalizado, semelhante ao que foi visto na seção anterior para o
cálculo de cargas críticas, no qual, para cada autovalor ωi, o autovetor di obtido
corresponde a um modo de vibração natural da estrutura descarregada.
A matriz de massa, em alguns casos, é formada pela distribuição da massa
da estrutura pelos seus nós, o que resulta em uma matriz diagonal. Entretanto,
para uma formulação consistente da matriz de massa é necessário fazer uso das
funções de forma dos elementos, da seguinte forma:
(2.58) ∫=L
0jiji, (x)dx(x)NNρAm
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−
−
−
=
105L
21011L0
140L
42013L0
21011L
3513L0
42013L
709L0
003L00
6L
140L
42013L0
105L
21011L0
42013L
709L0
21011L
3513L0
006L00
3L
ρA
3232
22
3232
22
m (2.59)
Quando é necessário incluir o efeito da flambagem numa análise dinâmica, a
equação (2.57) é modificada pela inclusão da matriz geométrica, da seguinte
forma:
( ) f(t)d(t)KKM GE =++− λω2 (2.60)
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 50
Caso a matriz geométrica seja multiplicada por um fator de carga crítico,
obtido do problema de autovalor em (2.54), faz-se necessário que a freqüência de
vibração correspondente a esse modo crítico se anule. Esta propriedade é utilizada
para a obtenção de cargas críticas em problemas dinâmicos e pode também servir
para verificar a precisão da carga crítica obtida pela análise de autovalor.
( ) 0dKKM GE =++− i2i λω (2.61)
Nota-se pela equação acima que, quando λi = λcr , necessariamente ωi = 0,
para que a equação (2.54) continue sendo satisfeita. Conclui-se portanto que uma
análise de autovalor baseada em (2.61), fazendo λi = λcr, dará como resultado,
para a primeira freqüência de vibração, um valor nulo.
Pode-se também concluir pela equação (2.61) que as freqüências naturais de
vibração da estrutura são modificadas pela inclusão da matriz geométrica. Se a
estrutura está submetida a uma carga axial de compressão, por exemplo, a
primeira freqüência de vibração irá diminuir à medida que a carga aumenta, até
chegar a um valor nulo quando a primeira carga crítica é atingida.
Reescrevendo a equação (2.61) pode-se obter uma relação entre os fatores
de carga críticos λi e os quadrados das freqüências naturais de vibração ωi2.
Verifica-se, portanto, que essa relação é linear desde que o vetor d não seja nulo
(solução trivial) e não haja fatores de carga com valores muito próximos
(interação modal), o que permite o uso de interpolações e extrapolações lineares
para a determinação da carga crítica de estruturas que apresentem apenas um
modo significativo.
( ) dMdKK GE2ii ωλ =+ (2.62)
Outras relações entre cargas e freqüências de vibração podem ser obtidas
para carregamentos não nodais. Jurjo (2001) formulou uma relação entre o peso
próprio e a primeira freqüência natural de vibração de uma coluna engastada e
livre.
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 51
2.2.5. Formulação Hierárquica no MEF
A formulação clássica dos elementos finitos envolve o uso de aproximações
polinomiais definidas a partir dos nós dos elementos. Diversos trabalhos têm
utilizado a chamada formulação hierárquica, em que as funções de interpolação
nas arestas ou faces dos elementos são definidas a partir de parâmetros não
nodais, mantendo-se a compatibilidade através de pequenas alterações nos
algoritmos tradicionais.
Na formulação hierárquica adota-se uma metodologia em que as funções de
forma são simplesmente acrescidas, enriquecendo a solução aproximada, sem
interferência nas funções existentes. Isto é possível uma vez que os graus de
liberdade generalizados são mantidos como incógnitas.
As funções trigonométricas, por sua simplicidade e alto grau de
convergência, constituem-se num recurso interessante para o enriquecimento dos
elementos. Tais funções são amplamente utilizadas em métodos aproximados de
análise estrutural, como o de Rayleigh-Ritz, para descrever o campo de
deslocamentos de uma viga, por exemplo.
Lages (1992) apresentou uma metodologia na qual combinavam-se funções
polinomiais e trigonométricas para a análise de problemas em estado plano de
tensões e deformações.
Cada função de forma adicional acrescenta um grau de liberdade “fictício”
ao elemento, que será mantido como incógnita já que não está associado a um nó.
A grande vantagem da formulação hierárquica é, portanto, a possibilidade do
aumento na precisão dos elementos sem a necessidade de uma maior
discretização, mantendo-se a estrutura de dados original intacta, pois apenas os
graus de liberdade nodais são calculados na análise.
Neste trabalho, a formulação hierárquica é utilizada na formulação de
elementos para a análise da estabilidade de pórticos planos, já que os elementos de
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 52
pórtico padrão apresentam resultados pobres na obtenção de cargas críticas no
caso de se discretizar a estrutura com um elemento por barra.
Tomando por base o trabalho de Lages, formularam-se funções hierárquicas
para enriquecer os elementos de pórtico, satisfazendo as suas condições de
contorno, com o intuito de não alterar os valores dos deslocamentos nodais.
Apenas o campo de deslocamentos de viga (flexão) foi enriquecido, sendo
mantida a formulação clássica para os deslocamentos de treliça (axiais).
Combinando-se funções polinomiais cúbicas e funções seno, foi gerada uma
família de funções da seguinte forma:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛++++= x
Lnπsendxcxbxa(x)N 32
nH (2.63)
onde n vai de 1 até o número de funções adicionais e L é o comprimento do
elemento. Os coeficientes a, b, c e d devem ser obtidos com a imposição das
seguintes condições de contorno:
NH(0)n = 0 (2.64)
NH(L)n = 0 (2.65)
0dx
(x)dN
0x
nH ==
(2.66)
0dx
(x)dN
Lx
nH ==
(2.67)
As condições de contorno impostas garantem que os valores dos
deslocamentos e rotações nodais não serão alterados pelas funções adicionais. A
família de funções resultante tem a seguinte forma geral, mostrada na equação
(2.68):
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 53
( )[ ] ( )[ ] ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+−+−−++−= x
Lnπsenx11
Lnπx12
Lnπx
Lnπ(x)N 3n
32n
2nH (2.68)
As matrizes de rigidez, de massa e geométrica são acrescidas de uma linha e
uma coluna para cada função adicional, mas a parcela relativa ao elemento finito
original não é modificada.
A matriz de rigidez do elemento enriquecido, por exemplo, é dada por:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡= HH
EHP
E
PHE
PPE
E kkkkk (2.69)
onde kEPP é a matriz de rigidez original do elemento pela formulação polinomial e
kEHP, kE
PH e kEHH são dadas por:
∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==
L
02
jH2
2i
2
ij,HP
Eji,PH
E dxdx
(x)Nddx
(x)NdEIkk (2.70)
∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
L
02
jH2
2iH
2
ji,HH
E dxdx
(x)Nddx
(x)NdEIk (2.71)
No caso da formulação polinomial e trigonométrica, as matrizes kEHP e kE
PH
são nulas, garantido o total desacoplamento entre os graus de liberdade nodais e
adicionais na matriz de rigidez, o que permite que a análise linear elástica
permaneça inalterada. É importante lembrar que nas matrizes geométrica e de
massa não existe esse desacoplamento, sendo esta a razão de a formulação
hierárquica ser especialmente útil para problemas de estabilidade e dinâmica.
ESTUDO DOS PONTOS DE BIFURCAÇÃO
4 ESTUDO DOS PONTOS DE BIFURCAÇÃO
No caso da estabilidade linear elástica “clássica”, todos os pontos críticos
obtidos a partir do problema de autovalor são pontos de bifurcação. Pontos limites
só podem ser obtidos através de uma análise não-linear completa, que foge ao
escopo deste trabalho.
A caracterização do ponto de bifurcação permite avaliar a sensibilidade da
estrutura às imperfeições. Sabe-se que, na prática, não há estruturas perfeitas,
sendo muito importante determinar qual o comportamento pós-crítico do sistema
caso haja imperfeições na sua geometria, na aplicação do carregamento ou em
ambos.
Há diversas formas de se determinar o tipo de bifurcação de uma estrutura,
sendo que a mais comum é verificar o sinal do determinante da matriz de rigidez
tangente na vizinhança do ponto crítico, já que tal procedimento é análogo a
verificar o sinal da forma quadrática da segunda variação da energia potencial
(Parente, 2000). Essa metodologia é de fácil entendimento, porém implica em
esforço computacional. Na literatura podem-se encontrar maneiras mais simples
de caracterização de pontos de bifurcação a partir do problema de autovalor
generalizado (Guimarães, 1999; Waszczyszyn, 1994).
De uma maneira intuitiva, podemos concluir que, se uma estrutura apresenta
bifurcação simétrica estável, sua rigidez tangente aumenta com as deformações,
fazendo com que a mesma suporte mais carga. Sendo assim, é de se esperar que
uma nova análise de autovalor, realizada na estrutura submetida a um certo nível
de deformação, leve a um valor de carga crítica maior do que na estrutura
indeformada. Analogamente, se a carga crítica diminui para o caso da estrutura
deformada, o sistema apresenta bifurcação simétrica instável. Pode acontecer,
ainda, de o valor da carga crítica aumentar para certo nível de deformação e
ESTUDO DOS PONTOS DE BIFURCAÇÃO 64 64
diminuir para outro de sinal contrário; neste caso, o ponto crítico é caracterizado
por uma bifurcação assimétrica, que também é instável. Tal raciocínio pode ser
visto no esquema da figura 4.1, onde λimp é o autovalor para a estrutura deformada
(imperfeita) e λcr é o autovalor da estrutura perfeita. Pode-se notar que no caso da
figura 4.1a o valor de λimp aumenta qualquer que seja o parâmetro de
deslocamento (bifurcação simétrica estável). No caso da figura 4.1b, o valor de
λimp é menor do que λcr qualquer que seja δ (bifurcação simétrica instável). Já no
caso da figura 4.1c, λimp é maior do que λcr para valores positivos de δ e menor do
que λcr para valores negativos de δ (bifurcação assimétrica). Deve-se lembrar que
os gráficos da figura 4.1 representam uma linearização do caminho pós-crítico
que, neste caso, é avaliado em apenas três pontos.
diminuir para outro de sinal contrário; neste caso, o ponto crítico é caracterizado
por uma bifurcação assimétrica, que também é instável. Tal raciocínio pode ser
visto no esquema da figura 4.1, onde λ
imp é o autovalor para a estrutura deformada
(imperfeita) e λcr é o autovalor da estrutura perfeita. Pode-se notar que no caso da
figura 4.1a o valor de λimp aumenta qualquer que seja o parâmetro de
deslocamento (bifurcação simétrica estável). No caso da figura 4.1b, o valor de
λimp é menor do que λcr qualquer que seja δ (bifurcação simétrica instável). Já no
caso da figura 4.1c, λimp é maior do que λcr para valores positivos de δ e menor do
que λcr para valores negativos de δ (bifurcação assimétrica). Deve-se lembrar que
os gráficos da figura 4.1 representam uma linearização do caminho pós-crítico
que, neste caso, é avaliado em apenas três pontos.
1 1
1
λimp/λcr
λimp/λcr
λimp/λcr
δ
δ
δ
(a)
(c)
(b)
Figura 4.1 – Formas linearizadas de bifurcação Figura 4.1 – Formas linearizadas de bifurcação
Avaliando-se a matriz tangente da estrutura no ponto de bifurcação e
adicionando-se uma perturbação na direção do autovetor correspondente à
Avaliando-se a matriz tangente da estrutura no ponto de bifurcação e
adicionando-se uma perturbação na direção do autovetor correspondente à
ESTUDO DOS PONTOS DE BIFURCAÇÃO 65
primeira carga crítica pode-se facilmente avaliar o comportamento do ponto de
bifurcação, da seguinte forma:
KE (qB + ξv) + λ+imp KG (qB + ξv) = 0 (4.1)
KE (qB - ξv) + λ−imp KG (qB - ξv) = 0 (4.2)
Nas equações acima, qB é o vetor dos deslocamentos da análise linear para a
estrutura perfeita submetida ao carregamento crítico, v é o autovetor normalizado
correspondente ao primeiro autovalor obtido da análise de estabilidade
linearizada, λ+imp e λ−
imp são os novos valores para os fatores de carga críticos, na
vizinhança do ponto de bifurcação e ξ é um multiplicador escalar menor que a
unidade.
Resolve-se o sistema de equações, usando a matriz de rigidez elástica
original (estrutura perfeita) e, posteriormente, através dos deslocamentos obtidos,
somados a um valor proporcional ao primeiro modo de flambagem, forma-se um
novo campo de coordenadas nodais. Obtidas as coordenadas nodais da estrutura
deformada, acrescidas de uma perturbação, utiliza-se o procedimento usual para
formar as novas matrizes de rotação dos elementos. As novas matrizes de rigidez
e geométrica da estrutura são então formadas a partir da nova geometria. Tal
procedimento é análogo ao realizado por Guimarães (1999), com a ressalva de que
as “imperfeições” neste caso são proporcionais ao modo de flambagem da
estrutura, além do fato de o comprimento das barras ser recalculado após a
modificação das coordenadas dos nós, resultando na modificação não apenas da
matriz de rigidez, mas também da matriz geométrica, já que esta depende do
comprimento da barra e do esforço axial na mesma, que também é modificado
com a variação na geometria da estrutura.
TESTES NUMÉRICOS EM COLUNAS
5 TESTES NUMÉRICOS EM COLUNAS
Os elementos finitos propostos serão agora testados em termos de resultados
numéricos. Os exemplos utilizados são condizentes com a hipótese de que as
rotações anteriores à flambagem são suficientemente pequenas, podendo ser
desconsideradas.
Nesta fase, todos os testes foram realizados com o auxílio do programa
Mathcad. Uma descrição mais detalhada do que foi implementado encontra-se no
Apêndice A.
Primeiramente, serão calculadas as primeiras cargas críticas para as seis
condições de contorno usuais em colunas submetidas a um carregamento axial.
Num segundo momento, serão analisados três exemplos para o estudo do
ponto de bifurcação. Cada exemplo estudado tem como resultado analítico um
tipo de bifurcação: a primeira é do tipo simétrica estável, a segunda, simétrica
instável e a terceira, assimétrica (também instável). Para esta análise foi utilizado
apenas o elemento BSB2.
5.1. Cálculo de Cargas Críticas
As cargas críticas são obtidas através da resolução do problema de autovalor
generalizado, no que é conhecido como a análise de estabilidade “clássica”.
Foram estudados modelos com um e 2 elementos BSB1 (padrão) e com um
elemento BSB2, BSB3-H e BSB3-P por barra. Para não haver interferência das
unidades adotadas e facilitar a visualização imediata das cargas críticas obtidas,
optou-se por utilizar um valor unitário para todos os parâmetros do modelo, ou
seja, E = L = I = 1. O único parâmetro com um valor diferente da unidade é a
TESTES NUMÉRICOS EM COLUNAS 67
área da seção transversal, A = 100, definida desta forma para manter uma relação
coerente com o momento de inércia I. Caso o valor da área fosse unitário, as
rigidezes de treliça e viga teriam valores equivalentes, o que não representa uma
estrutura real.
5.1.1. Coluna Engastada e Livre
Procedeu-se ao cálculo da primeira carga crítica da coluna engastada e livre,
cujo valor analítico é Pcr = π2EI/(4L2). A figura 5.1 mostra o esquema da coluna
citada.
P
Figura 5.1 – Coluna engastada e livre
O valor de referência para a carga crítica é Pcr = π2/4 = 2.4674, já que as
outras grandezas envolvidas na fórmula são unitárias. Os resultados obtidos
podem ser vistos na tabela 5.1.
Valor analítico BSB1 BSB2 BSB3-H BSB3-P
Nº elementos 1 2 1 1 1
Carga crítica 2.4674 2.486 2.469 2.469 2.4675 2.4674
% de erro - 0.75 % 0.06 % 0.06 % 0.01 % 0 %
Tabela 5.1 – Resultados para a coluna engastada e livre
TESTES NUMÉRICOS EM COLUNAS 68
O valor obtido para o primeiro modo crítico, ou seja, o autovetor para a
primeira carga crítica é mostrado na equação (5.1) para o elemento BSB2.
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−−
=
0.00570 0.843560.53701
0000
v (5.1)
Os valores obtidos foram interpolados pelas funções de forma relativas aos
deslocamentos transversais e rotações do elemento BSB2 e o resultado da
distribuição do campo de deslocamentos pode ser visto na figura 5.2. Nota-se que
o resultado da interpolação é condizente com o modo crítico da coluna engastada
e livre, que é v(x) = C (1-cos(πx/2L)), sendo C uma constante arbitrária.
∑∑=
=
=
=
+=7i
5iii
3i
2iii (x)vN(x)vNv(x) (5.2)
0.6 0.3 00
0.25
0.5
0.75
1
x / L
v x( )
Figura 5.2 – Deslocamentos da coluna engastada e livre
TESTES NUMÉRICOS EM COLUNAS 69
5.1.2. Coluna Bi-apoiada
Procedeu-se ao cálculo da primeira carga crítica da coluna de Euler, cujo
valor analítico é Pcr = π2EI/L2. A figura 5.3 mostra o esquema da coluna bi-
apoiada.
P
Figura 5.3 – Coluna bi-apoiada
O valor de referência para a carga crítica é, portanto, Pcr = π2 = 9.8696. Os
resultados obtidos podem ser vistos na tabela 5.2.
Tabela 5.2 – Resultados para a coluna bi-apoiada
Valor analítico BSB1 BSB2 BSB3-H BSB3-P
Nº elementos 1 2 1 1 1
Carga crítica 9.8696 12 9.944 9.9579 9.8696 9.8751
% de erro - 21.58 % 0.75 % 0.89 % 0 % 0.06 %
O valor obtido para o primeiro modo crítico, ou seja, o autovetor para a
primeira carga crítica é mostrado na equação (5.3) para o elemento BSB2.
TESTES NUMÉRICOS EM COLUNAS 70
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
0.04828 - 0.70628
00
0.70628-00
v (5.3)
Os valores obtidos foram interpolados pelas funções de forma relativas aos
deslocamentos transversais e rotações do elemento BSB2 e o resultado da
distribuição do campo de deslocamentos pode ser visto na figura 5.4. Nota-se que
o resultado da interpolação é condizente com o modo crítico da coluna bi-apoiada,
que é v(x) = C sen(πx/L), sendo C uma constante arbitrária.
∑∑=
=
=
=
+=7i
5iii
3i
2iii (x)vN(x)vNv(x) (5.4)
0.3 0.15 00
0.25
0.5
0.75
1
x / L
v x( )
Figura 5.4 – Deslocamentos para a coluna bi-apoiada
TESTES NUMÉRICOS EM COLUNAS 71
5.1.3. Coluna Bi-engastada
Procedeu-se ao cálculo da primeira carga crítica da coluna bi-engastada,
cujo valor analítico é Pcr = 4π2EI/L2. A figura 5.5 mostra o esquema da coluna.
P
Figura 5.5 – Coluna bi-engastada
O valor de referência para a carga crítica é, portanto, Pcr = 4π2 = 39.4784.
Os resultados obtidos podem ser vistos na tabela 5.3.
Valor analítico BSB1 BSB2 BSB3-H BSB3-P
Nº elementos 1 2 1 1 1
Carga crítica 39.4784 - 40 39.4784 41.0652 42
% de erro - - 1.32 % 0 % 4.02 % 6.39 %
Tabela 5.3 – Resultados para a coluna bi-engastada
O valor obtido para o primeiro modo crítico, ou seja, o autovetor para a
primeira carga crítica é mostrado na equação (5.5) para o elemento BSB2.
TESTES NUMÉRICOS EM COLUNAS 72
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
1 000000
v (5.5)
Os valores obtidos foram interpolados pelas funções de forma relativas aos
deslocamentos transversais e rotações do elemento BSB2 e o resultado da
distribuição do campo de deslocamentos pode ser visto na figura 5.6. Nota-se que
o resultado da interpolação é condizente com o modo crítico da coluna
bi-engastada, que é v(x) = C (1-cos(2πx/L)), sendo C uma constante arbitrária.
∑∑=
=
=
=
+=7i
5iii
3i
2iii (x)vN(x)vNv(x) (5.6)
0 0.6 1.20
0.25
0.5
0.75
1
x / L
v x( )
Figura 5.6 – Deslocamentos para a coluna bi-engastada
TESTES NUMÉRICOS EM COLUNAS 73
5.1.4. Coluna Engastada e Apoiada
Procedeu-se ao cálculo da primeira carga crítica da coluna engastada e
apoiada, cujo valor analítico é Pcr = π2EI/(0.701L)2. A figura 5.7 mostra o
esquema da coluna.
P
Figura 5.7 – Coluna engastada e apoiada
O valor de referência para a carga crítica é Pcr = 2.035π2 = 20.0846. Os
resultados obtidos podem ser vistos na tabela 5.4.
Valor analítico BSB1 BSB2 BSB3-H BSB3-P
Nº elementos 1 2 1 1 1
Carga crítica 20.0846 30 20.71 20.9711 20.2228 20.2858
% de erro - 49.37 % 3.11 % 4.41 % 0.69 % 1 %
Tabela 5.4 – Resultados para a coluna engastada e apoiada
O valor obtido para o primeiro modo crítico, ou seja, o autovetor para a
primeira carga crítica é mostrado na equação (5.7) para o elemento BSB2.
TESTES NUMÉRICOS EM COLUNAS 74
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
0.11406 0.99347-
00000
v (5.7)
Os valores obtidos foram interpolados pelas funções de forma relativas aos
deslocamentos transversais e rotações do elemento BSB2 e o resultado da
distribuição do campo de deslocamentos pode ser visto na figura 5.8. Nota-se que
o resultado da interpolação é condizente com o modo crítico da coluna engastada
e apoiada.
∑∑=
=
=
=
+=7i
5iii
3i
2iii (x)vN(x)vNv(x) (5.8)
0 0.2 0.40
0.25
0.5
0.75
1
x / L
v x( )
Figura 5.8 – Deslocamentos para a coluna engastada e apoiada
TESTES NUMÉRICOS EM COLUNAS 75
5.1.5. Coluna com Engaste e Apoio Deslizante
Procedeu-se ao cálculo da primeira carga crítica da coluna com engaste
numa extremidade e apoio deslizante na outra, cujo valor analítico é Pcr = π2EI/L2.
A figura 5.9 mostra o esquema da coluna.
P
Figura 5.9 – Coluna com engaste e apoio deslizante
O valor de referência para a carga crítica é, portanto, Pcr = π2 = 9.8696. Os
resultados obtidos podem ser vistos na tabela 5.5.
Valor analítico BSB1 BSB2 BSB3-H BSB3-P
Nº elementos 1 2 1 1 1
Carga crítica 9.8696 10 9.944 10 9.8715 9.8698
% de erro - 1.32 % 0.75 % 1.32 % 0.02 % 0.01 %
Tabela 5.5 – Resultados para a coluna engastada e com apoio deslizante
O valor obtido para o primeiro modo crítico, ou seja, o autovetor para a
primeira carga crítica é mostrado na equação (5.9) para o elemento BSB2.
TESTES NUMÉRICOS EM COLUNAS 76
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
0010000
v (5.9)
Os valores obtidos foram interpolados pelas funções de forma relativas aos
deslocamentos transversais e rotações do elemento BSB2 e o resultado da
distribuição do campo de deslocamentos pode ser visto na figura 5.10. Nota-se
que o resultado da interpolação é condizente com o modo crítico da coluna com
engaste e apoio deslizante, que é v(x) = C (1-cos(Pix/L)), sendo C uma constante
arbitrária.
(5.10) ∑∑=
=
=
=
+=7i
5iii
3i
2iii (x)vN(x)vNv(x)
0 0.5 10
0.25
0.5
0.75
1
x / L
v x( )
Figura 5.10 – Deslocamentos para a coluna engastada e com apoio deslizante
TESTES NUMÉRICOS EM COLUNAS 77
5.1.6. Coluna com Apoios Simples e Deslizante
Procedeu-se ao cálculo da primeira carga crítica da coluna com apoio
simples numa extremidade e deslizante na outra, cujo valor analítico é
Pcr = π2EI/(4L2). A figura 5.11 mostra o esquema da coluna.
P
Figura 5.11 – Coluna com apoios simples e deslizante
O valor de referência para a carga crítica é, portanto, Pcr = π2/4 = 2.4674.
Os resultados obtidos podem ser vistos na tabela 5.6.
Valor analítico BSB1 BSB2 BSB3-H BSB3-P
Nº elementos 1 2 1 1 1
Carga crítica 2.4674 2.486 2.469 2.469 2.4675 2.4674
% de erro - 0.75 % 0.06 % 0.06 % 0.01 % 0 %
Tabela 5.6 – Resultados para a coluna com apoios simples e deslizante
O valor obtido para o primeiro modo crítico, ou seja, o autovetor para a
primeira carga crítica é mostrado na equação (5.11) para o elemento BSB2.
TESTES NUMÉRICOS EM COLUNAS 78
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
0.005700
0.537010
0.8435600
v (5.11)
Os valores obtidos foram interpolados pelas funções de forma relativas aos
deslocamentos transversais e rotações do elemento BSB2 e o resultado da
distribuição do campo de deslocamentos pode ser visto na figura 5.12. Nota-se
que o resultado da interpolação é condizente com o modo crítico da coluna com
apoios simples e deslizante, que é v(x) = C cos(πx/2L), sendo C uma constante
arbitrária.
(5.12) ∑∑=
=
=
=
+=7i
5iii
3i
2iii (x)vN(x)vNv(x)
0 0.3 0.60
0.25
0.5
0.75
1
x / L
v x( )
Figura 5.12 – Deslocamentos para a coluna com apoios simples e deslizante
TESTES NUMÉRICOS EM COLUNAS 79
5.2. Avaliação do Tipo de Bifurcação
Para a caracterização do comportamento da estrutura na vizinhança do ponto
crítico, será somado ao vetor de deslocamentos obtido da análise linear elástica
um vetor correspondente ao modo crítico, ou seja, as matrizes elástica e
geométrica serão calculadas no seguinte ponto (o coeficiente que multiplica o
autovetor não é relevante, já que este indica apenas uma direção preferencial de
deslocamento da estrutura):
KE = KE (qB + ξv) (5.13)
KG = KG (qB + ξv) (5.14)
Nas equações acima, qB é o vetor dos deslocamentos da análise linear para a
estrutura perfeita submetida ao carregamento crítico, v é o autovetor normalizado
correspondente ao primeiro autovalor obtido da análise de estabilidade linearizada
e ξ é um multiplicador escalar menor que a unidade.
Para a verificação da simetria ou não da bifurcação, as matrizes são
avaliadas também no seguinte ponto:
KE = KE (qB - ξv) (5.15)
KG = KG (qB - ξv) (5.16)
O vetor de deslocamentos qB pode ser obtido da análise linear elástica para
P = Pcr. Neste caso, optou-se pela não utilização de qB, já que o deslocamento
axial provocado pela carga P numa análise linear elástica pode ser desprezado. A
nova geometria da estrutura foi dada pela introdução de v na formação das novas
coordenadas. Vale lembrar que apenas as modificações nas coordenadas x e y do
elemento serão introduzidas, já que o eixo do mesmo é representado por uma
barra rígida não podendo, portanto, haver variação de rotações ao longo do
TESTES NUMÉRICOS EM COLUNAS 80
elemento. Em outras palavras, os deslocamentos introduzidos pelo autovetor v são
deslocamentos de corpo rígido e não deformações.
A mudança de coordenadas acarreta uma mudança na matriz de
transformação, que agora deve levar em consideração o ângulo que o elemento faz
com o eixo x. As matrizes de rigidez e geométrica são, portanto, modificadas em
relação aos seus valores para a estrutura perfeita.
Como visto no Capítulo 4, uma nova análise de autovalor é feita para a
estrutura modificada e as cargas críticas obtidas (para valores positivos e
negativos do autovetor) são comparadas com o valor para a estrutura perfeita.
A solução analítica para caminhos de equilíbrio correspondentes aos das
colunas imperfeitas mostra que não existe uma carga de flambagem para estas
estruturas (Bazant, 1991). Entretanto, a formulação matricial utilizada permite
calcular um valor para o parâmetro de carga crítico da estrutura imperfeita, o qual
está sendo denominado λimp. A figura abaixo mostra o caminho pós-crítico
analítico para a coluna de Euler imperfeita (δo ≠ 0), onde se pode notar a
inexistência de uma carga de bifurcação.
Figura 5.13 – Caminhos de equilíbrio da coluna de Euler com imperfeição inicial
TESTES NUMÉRICOS EM COLUNAS 81
Três exemplos clássicos foram formulados, com resultados analíticos já
conhecidos, cada um correspondendo a um tipo de bifurcação. O parâmetro de
deslocamento utilizado foi o deslocamento transversal ao eixo da coluna, que é
um valor existente no modo crítico de todos os exemplos estudados. O elemento
utilizado para a modelagem foi o BSB2.
5.2.1. Bifurcação Simétrica Estável
Procedeu-se ao cálculo do primeiro fator de carga crítico da coluna rígida
com apoio fixo em x e y e uma mola rotacional de rigidez finita em z, cujo valor
analítico é λcr = k/L, sendo k a constante de rigidez da mola, que foi estabelecida
unitária, de forma análoga ao que foi feito na seção anterior. A figura 5.14 mostra
o esquema da coluna.
P k
Figura 5.14 – Modelo de coluna com bifurcação simétrica estável
O valor obtido para o fator de carga crítico utilizando o elemento BSB2 foi
λcr = 0.74, que é bem distante do esperado, λteórico = 1. No entanto, para uma
análise qualitativa do tipo de bifurcação, o erro não é relevante.
O valor obtido para o modo crítico, ou seja, o autovetor para a primeira
carga crítica é mostrado na equação (5.17).
TESTES NUMÉRICOS EM COLUNAS 82
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
0.00045-0.67393 0.59382
00.43954
00
v (5.17)
Os valores obtidos foram interpolados pelas funções de forma relativas aos
deslocamentos transversais e rotações do elemento BSB2 e o resultado da
distribuição do campo de deslocamentos pode ser visto na figura 5.15. Nota-se
que a coluna mantém-se quase reta, o que indica o deslocamento de corpo rígido.
∑∑=
=
=
=
+=7i
5iii
3i
2iii (x)vN(x)vNv(x) (5.18)
0 0.3 0.60
0.25
0.5
0.75
1
x / L
v x( )
Figura 5.15 – Deslocamentos para a coluna com bifurcação estável
Seguindo o procedimento descrito no Capítulo 4, procedeu-se à
transformação das matrizes de rigidez e geométrica para as novas coordenadas,
tanto para valores positivos quanto negativos de v. Tal transformação é feita
TESTES NUMÉRICOS EM COLUNAS 83
introduzindo-se o ângulo α entre a barra e o eixo x na matriz de rotação. Uma
descrição mais detalhada de toda a implementação pode ser encontrada no
Apêndice A.
Após a transformação das matrizes de rigidez e geométrica, foi feita uma
nova análise de autovalor, a partir da qual foram obtidos os fatores de carga
λ+imp = 0.92 e λ−
imp = 0.92, correspondentes, respectivamente, a valores positivos
e negativos de v.
Usando como parâmetro o deslocamento transversal, denominado δ, foi
elaborado um gráfico que pode ser visto na figura 5.16:
0.5 0 0.5
0.5
1
λ imp/λ cr
δ
Figura 5.16 – Caminho pós-crítico linearizado para o exemplo 5.2.1
Para esse exemplo, os valores de λimp são maiores que λcr, correspondente à
estrutura perfeita, levando a um ∆λ positivo, tanto para valores positivos quanto
negativos de v. Fisicamente, o valor de λimp não ocorreria, porém, numericamente,
esse valor é detectado e, sendo maior que λcr, constata-se que o sistema não se
mostra sensível à existência da imperfeição. O resultado da bifurcação simétrica
estável é compatível com o analítico.
TESTES NUMÉRICOS EM COLUNAS 84
5.2.2. Bifurcação Simétrica Instável
Procedeu-se ao cálculo do primeiro fator de carga crítico da coluna com
apoio fixo em x e y no nó 1 e uma mola translacional no nó 2, cujo valor analítico
é λcr =kL, sendo k a constante de rigidez da mola, que foi estabelecida unitária, de
forma análoga ao que foi feito na seção anterior. A figura 5.17 mostra o esquema
da coluna.
P k
Figura 5.17 – Coluna com bifurcação simétrica instável
O valor obtido para o fator de carga crítico utilizando o elemento BSB2 foi
λcr = 1, que é igual ao teórico, λteórico = 1.
O valor obtido para o primeiro modo crítico, ou seja, o autovetor para a
primeira carga crítica é mostrado na equação (5.19).
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
00.54974 0.54974
00.54974
00
v (5.19)
TESTES NUMÉRICOS EM COLUNAS 85
Os valores obtidos foram interpolados pelas funções de forma relativas aos
deslocamentos transversais e rotações do elemento BSB2 e o resultado da
distribuição do campo de deslocamentos pode ser visto na figura 5.18. Nota-se
que a coluna mantém-se quase reta, o que indica o deslocamento de corpo rígido.
∑∑=
=
=
=
+=7i
5iii
3i
2iii (x)vN(x)vNv(x) (5.20)
0 0.3 0.60
0.25
0.5
0.75
1
x / L
v x( ) Figura 5.18 – Deslocamentos da coluna com bifurcação simétrica instável
Seguindo o procedimento descrito no Capítulo 4, procedeu-se à
transformação das matrizes de rigidez e geométrica para as novas coordenadas,
tanto para valores positivos quanto negativos de v. Tal transformação é feita
introduzindo-se o ângulo α entre a barra e o eixo x na matriz de rotação.
Após a transformação das matrizes de rigidez e geométrica, foi feita uma
nova análise de autovalor, a partir da qual foram obtidos os fatores de carga de
λ+imp = 0.54 e λ−
imp = 0.54, correspondentes, respectivamente, a valores positivos
e negativos de v.
TESTES NUMÉRICOS EM COLUNAS 86
Usando como parâmetro o deslocamento transversal, denominado δ, foi
elaborado um gráfico que pode ser visto na figura 5.19:
0.5 0 0.5
0.5
1
λ imp/λ cr
δ
Figura 5.19 – Caminho pós-crítico linearizado para o exemplo 5.2.2
Para esse exemplo, os valores de λimp são menores que λcr, correspondente à
estrutura perfeita, levando a um ∆λ negativo, tanto para valores positivos quanto
negativos de v. Fisicamente, o valor de λimp não ocorreria, porém, numericamente,
esse valor é detectado e, sendo menor que λcr, constata-se que o sistema mostra-se
sensível à existência da imperfeição. O resultado da bifurcação simétrica instável
é compatível com o analítico.
5.2.3. Bifurcação Assimétrica
Procedeu-se ao cálculo do primeiro fator de carga crítico da coluna com
apoio fixo em x e y e uma mola translacional de rigidez k inclinada a 45º no nó 2,
cujo valor analítico é λcr = k/2L. A constante de rigidez da mola foi estabelecida
unitária, de forma análoga ao que foi feito na seção anterior. A figura 5.20 mostra
o esquema da coluna.
TESTES NUMÉRICOS EM COLUNAS 87
P k
Figura 5.20 – Coluna com bifurcação assimétrica
O valor obtido para o fator de carga crítico utilizando o elemento BSB2 foi
λcr = 0.5, que é igual ao teórico, λteórico = 0.5.
O valor obtido para o modo crítico, ou seja, o autovetor para a primeira
carga crítica é mostrado na equação (5.21):
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
00.57735 0.57735
00.57735
00
v (5.21)
Os valores obtidos foram interpolados pelas funções de forma relativas aos
deslocamentos transversais e rotações do elemento BSB2 e o resultado da
distribuição do campo de deslocamentos pode ser visto na figura 5.21. Nota-se
que a coluna mantém-se quase reta, o que indica o deslocamento de corpo rígido.
TESTES NUMÉRICOS EM COLUNAS 88
∑∑=
=
=
=
+=7i
5iii
3i
2iii (x)vN(x)vNv(x) (5.22)
0 0.3 0.60
0.25
0.5
0.75
1
x / L
v x( )
Figura 5.21 – Deslocamentos da coluna com bifurcação assimétrica
Seguindo o procedimento descrito no Capítulo 4, procedeu-se à
transformação das matrizes de rigidez e geométrica para as novas coordenadas,
tanto para valores positivos quanto negativos de v. Tal transformação é feita
introduzindo-se os ângulos α e θ entre a barra e o eixo x e entre a mola e o eixo x,
respectivamente, na matriz de rotação.
Após a transformação das matrizes de rigidez e geométrica, foi feita uma
nova análise de autovalor, a partir da qual foram obtidos os fatores de carga
λ+imp = 0.42 e λ−
imp = 0.63, correspondentes, respectivamente, a valores positivos
e negativos de v.
Usando como parâmetro o deslocamento transversal, denominado δ, foi
elaborado um gráfico que pode ser visto na figura 5.22.
TESTES NUMÉRICOS EM COLUNAS 89
0.5 0 0.5
0.5
1
λ imp/λ cr
δ
Figura 5.22 – Caminho pós-crítico linearizado para o exemplo 5.2.3
Para esse exemplo, os valores de λimp são maiores que λcr para valores
negativos de v, e menores para valores positivos de v. Fisicamente, os valores de
λimp não ocorreriam, porém, numericamente, esses valores são detectados e
constata-se que o sistema mostra-se sensível à existência da imperfeição, já que a
bifurcação é assimétrica.
IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL
6 IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL
PLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL
6 IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL
O FTOOL, um programa gráfico interativo para análise de pórticos planos, é
formado por dois componentes principais: o módulo FRAMOOP e a interface
gráfica propriamente dita.
O FTOOL, um programa gráfico interativo para análise de pórticos planos, é
formado por dois componentes principais: o módulo FRAMOOP e a interface
gráfica propriamente dita.
O FRAMOOP é, na verdade, uma simplificação do FEMOOP, um programa
de análise estrutural baseado no Método dos Elementos Finitos (Guimarães,
1992), em que foram mantidos apenas os algoritmos necessários para a análise de
pórticos planos. O FRAMOOP é responsável por toda a análise numérica do
FTOOL, não tendo interface gráfica. A entrada de dados neste programa é feita
por um arquivo neutro (Neutral File) e a resposta é dada também em forma de
arquivo.
O FRAMOOP é, na verdade, uma simplificação do FEMOOP, um programa
de análise estrutural baseado no Método dos Elementos Finitos (Guimarães,
1992), em que foram mantidos apenas os algoritmos necessários para a análise de
pórticos planos. O FRAMOOP é responsável por toda a análise numérica do
FTOOL, não tendo interface gráfica. A entrada de dados neste programa é feita
por um arquivo neutro (Neutral File) e a resposta é dada também em forma de
arquivo.
Pós-processamento
Visualização (FTOOL)
ProcessamentoArquivo Neutro
(DAT)
Análise (FRAMOOP)
Arquivo Neutro (POS)
Pré-processamento Modelagem
(FTOOL)
Material Seção Reta Apoios Cargas
Deslocamentos Esforços
Figura 6.1 – Etapas de processamento no FTOOL Figura 6.1 – Etapas de processamento no FTOOL
IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL 91
A interface gráfica do FTOOL é baseada na manipulação direta de
entidades, utilizando um sistema de janelas, com menus em cascata e botões. São
utilizados na sua implementação o sistema de interface IUP/LED (Levy, 1993;
Prates, 1994) e o sistema gráfico CD (Canvas Draw), ambos desenvolvidos pelo
TecGraf/PUC-RJ. Na fase de pré-processamento, toda a estrutura é criada através
do uso de uma biblioteca de modelagem chamada HED (Half-Edge Data
Structure), implementada por Celes (1990), e os atributos do modelo são escritos
num arquivo neutro (com extensão DAT) que será analisado pelo FRAMOOP.
Após o processamento do arquivo neutro, outro arquivo (com extensão POS) é
gerado e o arquivo DAT apagado. Nesta fase, a de pós-processamento, os
resultados contidos no arquivo POS são lidos e apresentados pelo FTOOL.
A seguir serão mostradas de forma separada as modificações realizadas no
programa de análise (FRAMOOP) e na interface gráfica (FTOOL).
6.1. Modificações introduzidas no FRAMOOP
Foi escolhido o elemento BSB3-H para a análise da estabilidade de pórticos,
devido à sua maior precisão na obtenção de cargas críticas de colunas, como
apresentado no capítulo anterior.
Para a análise de autovalor foi utilizado um algoritmo presente no
FEMOOP, mas retirado do mesmo na implementação original do FRAMOOP. Tal
algoritmo já era utilizado com sucesso para a obtenção dos modos de vibração das
estruturas modeladas. As modificações introduzidas foram a substituição da
matriz de massa pela matriz geométrica e a retirada da rotina que extraía a raiz
quadrada dos autovalores, já que estes eram dados pelos quadrados das
freqüências de vibração, o que não acontece para os fatores de carga críticos.
Para a implementação da análise de estabilidade, pensou-se primeiramente
em introduzir os graus de liberdade adicionais na matriz de rigidez local do
elemento e condensá-la antes de somá-la na matriz de rigidez global da estrutura.
Tal proposta foi descartada, já que o fato de as equações correspondentes aos
IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL 92
graus de liberdade adicionais serem desacopladas das demais fazia com que a
matriz de rigidez do elemento BSB3-H resultasse idêntica à do BSB1.
Num segundo momento, propôs-se criar matrizes de rigidez elástica, de
massa e geométrica locais com duas linhas e duas colunas adicionais, de forma a
manter os graus de liberdade extras nas matrizes globais. A tentativa, no entanto,
foi dificultada pela estrutura de dados do FRAMOOP, que obriga todos os graus
de liberdade do elemento a pertencerem a um nó, já que todas as rotinas de análise
linear e de obtenção de autovalores dependem dessa formulação para a numeração
das equações de equilíbrio.
Diante das dificuldades encontradas, a solução encontrada foi a de
aproveitar a estrutura de dados original do FRAMOOP, que prevê a possibilidade
de serem analisados pórticos tridimensionais. Tal estrutura apresentava doze graus
de liberdade por elemento, sendo que apenas seis eram utilizados; os demais eram
descartados criando-se apoios “fictícios” nessas direções, o que não influenciava
em nada a análise linear bidimensional. Qualquer um desses seis graus de
liberdade ignorados poderia ser modificado de forma a se comportar segundo as
funções de forma obtidas para o elemento BSB3-H. O grande obstáculo, no
entanto, era a necessidade de que cada par de graus de liberdade adicionais
permanecesse associado a apenas um elemento, o que era impossibilitado pelo
fato de os mesmos pertencerem a um nó da estrutura, que seria compartilhado por
dois ou mais elementos.
Muito embora a proposta inicial do trabalho fosse a de se discretizar cada
barra da estrutura com apenas um elemento, esta foi rechaçada para que a
estrutura original do programa não fosse sobremaneira modificada. A solução,
portanto, foi dividir cada barra do modelo em dois elementos, da seguinte forma:
1 3 2
1 2
Figura 6.2 – Discretização de uma barra de pórtico
IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL 93
Pode-se notar que as orientações dos dois elementos que formam uma barra
são opostas. Esta foi a solução encontrada para satisfazer a necessidade de o grau
de liberdade adicional pertencer a somente uma barra, não podendo ser
compartilhado. Dois graus de liberdade antes ignorados, as rotações segundo os
eixos x e y, foram escolhidos para a implementação das funções de forma
adicionais. A escolha das rotações ao invés de deslocamentos foi feita devido à
necessidade de a matriz de rotação não modificar os graus de liberdade internos,
como visto anteriormente. Como as rotações não são modificadas pela matriz de
rotação, sendo multiplicadas por um, a escolha de tais graus de liberdade deu-se
naturalmente. As rotações então se transformaram em deslocamentos e a solução
para simular graus de liberdade no interior de uma barra foi dividi-la em dois
elementos cujo segundo nó estivesse na metade da mesma, como pode ser visto na
figura 6.1. Os graus de liberdade adicionais são sempre pertencentes ao segundo
nó do elemento, permanecendo o primeiro intacto.
Para manter a filosofia inicial deste trabalho, que era a de não obrigar um
usuário inexperiente a dividir uma barra de uma estrutura em mais de um
elemento, modificou-se o programa FTOOL de modo a manter a visualização de
apenas um elemento por barra, realizando a discretização internamente, como
poderá ser visto na próxima seção.
6.2. Modificações Introduzidas no FTOOL
A principal modificação introduzida no FTOOL foi a de reimplemementar a
forma como o arquivo neutro é escrito, subdividindo internamente cada barra da
estrutura em dois elementos com orientação oposta. Os nós inicial e final das
barras são mantidos inalterados e é criado um nó adicional que só existirá nos
arquivos DAT e POS, mas não será visualizado pelo usuário.
A criação dos nós adicionais não altera a estrutura de dados da parte gráfica
do FTOOL, como vértices e arestas, já que tais nós existem apenas nos arquivos
neutros, sendo considerados somente pelo FRAMOOP. Elementos adicionais
também são criados de forma a conectar os nós adicionais, tendo sempre a
IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL 94
característica de que, numa mesma barra, dois elementos têm orientações opostas.
Os nós extras são liberados das restrições impostas originalmente às rotações em
torno de x e y, sendo que neste caso tais rotações representam deslocamentos.
Na interface gráfica foram introduzidos poucos elementos novos, para não
alterar de maneira excessiva a aparência do programa. Foram criados dois novos
itens na lista que escolhe o tipo de visualização, além de dois botões que permitem
a navegação entre os modos de vibração da estrutura. A figura 6.2 mostra em
detalhe essas modificações.
Figura 6.3 – Interface gráfica do FTOOL (em detalhe as modificações introduzidas)
Caso a opção Stability seja escolhida, automaticamente os botões de
apresentação de diagramas ficam desabilitados e somente o botão de visualização
da deformada pode ser pressionado. Uma vez selecionada, essa opção mostra o
primeiro modo de flambagem da estrutura e o fator de carga crítico
correspondente. Com o item Dinamics ocorre o mesmo, mas desta vez os botões
de navegação entre os modos de vibração são habilitados. Quando se pressiona o
IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL 95
botão de visualização da deformada, são mostrados o primeiro modo de vibração
da estrutura e a freqüência correspondente. À medida que são pressionados os
botões de navegação é possível visualizar os demais modos de vibração, até o
décimo. Deve-se lembrar que a obtenção dos modos de vibração leva em conta os
esforços existentes nas barras da estrutura, ou seja, é incluída a matriz geométrica
nesta análise.
CONCLUSÕES
8 CONCLUSÕES
8.1. Comentários sobre este Trabalho
Neste trabalho foram descritos elementos com graus de liberdade adicionais,
modelados por funções de forma polinomiais e trigonométricas, para a avaliação
de cargas críticas de pórticos planos e o estudo de seu comportamento pós-crítico
inicial.
De acordo com o esperado, a formulação hierárquica utilizando uma
combinação de funções polinomiais e trigonométricas mostrou-se eficaz na
obtenção de cargas críticas, já que os resultados analíticos para os modos críticos
de colunas são dados por funções trigonométricas.
Diversos testes foram realizados no intuito de avaliar o comportamento
pós-crítico inicial, linearizado, de colunas cujos resultados analíticos eram
conhecidos. Todos os testes e previsões, implementados no programa Mathcad,
foram coerentes com os resultados teóricos.
Para a implementação da análise de pórticos pelo Método dos Elementos
Finitos, foi utilizado o programa FTOOL, já que além do cálculo de cargas críticas
seria possível também visualizar os modos de flambagem. Superadas algumas
dificuldades inerentes à adaptação dos novos elementos a uma estrutura de dados
pré-existente, a implementação foi realizada com sucesso e todos os resultados
obtidos ficaram dentro de uma margem de erro tolerável.
É válido ressaltar a importância do Método dos Elementos Finitos,
constituindo-se em uma ferramenta computacional de grande versatilidade. Deve-
se também reafirmar a utilidade do uso da análise linearizada da flambagem, pelo
CONCLUSÕES 109
menos para exemplos em que os deslocamentos e rotações antecedentes à perda
de estabilidade sejam desprezíveis.
Os algoritmos para extração de autovalores e autovetores mostraram-se
muito eficientes tanto na obtenção de cargas críticas e modos de flambagem,
quanto no cálculo de freqüências e modos de vibração. A estrutura de dados
topológica existente no FTOOL e a total separação entre as partes de visualização
e análise foram fundamentais para a implementação das modificações desejadas
sem que fosse necessário alterar demasiadamente o código original. Deve-se
lembrar também que as alterações efetuadas não introduziram qualquer tipo de
problema ou falha no funcionamento do sistema e todas as funções que constavam
da versão original permaneceram intactas.
A avaliação do caminho pós-crítico em pórticos foi feita introduzindo-se
manualmente as imperfeições no arquivo neutro para análise no FRAMOOP. Este
procedimento ainda não está automatizado, devido a dificuldades encontradas na
implementação de uma nova análise no FTOOL, já que este está preparado para
reconhecer apenas dois estágios de utilização, que são a fase de pré e
pós-processamento.
8.2. Sugestões para Trabalhos Futuros
Os seguintes tópicos são sugeridos como continuações possíveis deste
trabalho:
• Implementação de algoritmos para a análise de sistemas não
conservativos, com a possibilidade de inclusão de cargas seguidoras
e dirigidas para um ponto no FTOOL.
• Implementação de novas entidades gráficas no FTOOL, como arcos
e anéis, com a possibilidade de combinação destes com os elementos
de pórtico já existentes.
CONCLUSÕES 110
• Implementação de uma análise dinâmica completa, com a
possibilidade de serem incluídas forças e deslocamentos dependentes
do tempo, uma vez que já são calculados e visualizados com sucesso
os modos de vibração de pórticos planos.
• Automatização do processo de avaliação dos pontos críticos das
estruturas estudadas, com a possibilidade de visualização do
caminho pós-crítico inicial dentro do próprio programa.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ASSAID, L. M. B. Tecnicas para a determinação de cargas de flambagem a partir das frequencias naturais de vibração. Tese de Mestrado, Departamento de Engenharia Civil, PUC-RJ, 1989.
ASSAN, A. E. Método dos Elementos Finitos: primeiros passos. São Paulo: Editora da Unicamp, 1999.
BARNETT, S; STOREY, C. Matrix methods in stability theory. London: Nelson, 1970
BAZANT, Z. P.; CEDOLIN, L. Stability of structures: elastic, inelastic, fracture, and damage theories. New York: Oxford University Press, 1991.
CELES, W. Um pós-processador genérico de elementos finitos sólidos baseados na representação da fronteira dos elementos. Tese de Mestrado, Departamento de Informática, PUC-RJ, 1990.
CELES, W.; MARTHA, L. F.; GATTASS, M. Uma estrutura de dados eficiente para pós-processamento de elementos finitos sólidos. XI Congresso Brasileiro de Engenharia Mecânica, 105-108, 1991
CHEN, W. F.; LUI, E. M. Structural stability: theory and implementation. New York: Elsevier, 1987.
COOK, R. D.; MALKUS, D. S.; PLESHA, M. E. Concepts and applications of finite element analysis. New York: Wiley, 1989.
CROLL, J. G. A.; WALKER, A. C. Elements of structural stability. London: MacMillan, 1972.
EULER, L. De Curvis Elasticis, 1744.
FARSHAD, M. Stability of structures. Amsterdam: Elsevier, 1994.
GABBAY, A. – Conceito de Rankine-Merchant e o cálculo automatizado de cargas aproximadas de colapso de pórticos planos, Tese de Mestrado, Departamento de Engenharia Civil, PUC-RJ, Agosto 1977.
GUIMARÃES, L. G. S. Disciplina de programação orientada a objetos para análise e visualização bidimensional de modelos de elementos finitos. Tese de Mestrado, Departamento de Engenharia Civil, PUC-RJ, Agosto 1992.
GUIMARÃES, W. M. – Avaliação do efeito das imperfeições sobre a flambagem de estruturas sob a ação de cargas dependentes dos deslocamentos. Tese de Mestrado, Departamento de Engenharia Civil, PUC-RJ, Abril 1999.
GONÇALVES, P. B. Uma introdução à instabilidade de estruturas. Notas de aula do curso de Instabilidade das Estruturas, PUC-RJ, Agosto 1994
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 112
HORNE, M.R.; MERCHANT, W. The stability of frames. London: Pergamon Press Ltd, 1965.
JURJO, D. L. B. R. Estabilidade de colunas sujeitas ao peso próprio. Tese de Mestrado, Departamento de Engenharia Civil, PUC-RJ, Maio 2001.
KOITER, W. T. The theory of thin elastic shells. Proceedings of Symposium on the theory of thin elastic shells, Tecnological University of Delft, Amsterdam, 1960
LAGES, E. N. Formulação hierarquica-espectral de elementos finitos. Tese de Mestrado, Departamento de Engenharia Civil, PUC-RJ, Agosto 1992.
LEVY, C. H. IUP/LED: um sistema portátil de interface com o usuário. Tese de Mestrado, Departamento de Informática, PUC-RJ, Agosto 1993.
MARTHA, L. F. O método da rigidez direta sob um enfoque matricial. Notas de aula do curso de Análise de Estruturas III, PUC-RJ, Agosto 1993.
MARTHA, L. F. Curso de Elementos Finitos. Notas de aula, PUC-RJ, Agosto 1994.
MARTHA, L. F. FTOOL: A Structural Analysis Educational Interactive Tool. Proceedings of Workshop in Multimedia Computer Techniques in Engineering Education, Institute of Structural Analysis, Technical University of Graz, Austria, 1999, pp. 51-65.
PARENTE, E. J. Otimização de estruturas sujeitas a instabilidade global: aplicação a treliças planas. Tese de Mestrado, Departamento de Engenharia Civil, PUC-RJ, Abril 1995.
PARENTE, E. J. Análise de sensibilidade e otimização de forma de estruturas geometricamente não-lineares. Tese de Doutorado, Departamento de Engenharia Civil, PUC-RJ, Março 2000.
PAZ, M. Structural Dynamics: theory and computation. New York: Chapman & Hall, 1997.
PRATES, R. O. Visual LED: uma ferramenta interativa para geração de interfaces gráficas, Tese de Mestrado, Departamento de Informática, PUC-RJ, Agosto 1994.
SILVA, R. R.; SOARES, W. J. Bifurcação do equilíbrio em pórticos planos. Rio de Janeiro: PUC, Departamento de Engenharia Civil, 1974.
SILVESTRE, N; CAMOTIM, D. An asymptotic-numerical method to analyze the post-buckling behavior, imperfection sensitivity and mode interaction in frames. Universidade Técnica de Lisboa, 2003.
SUANNO, R.L.M. – Análise da estabilidade de estruturas sob a ação de cargas não-conservativas, Tese de Mestrado, Departamento de Engenharia Civil, PUC-RJ, Março 1988.
TECGRAF, Canvas Draw – Manual. PUC-RJ, 2002. Disponível na internet através do site http://www.tecgraf.puc-rio.br/cd.
TECGRAF, FTOOL – Manual (Versão 2.11). PUC-RJ, 2002. Disponível na internet através do site http://www.tecgraf.puc-rio.br/ftool.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 113
TECGRAF, Neutral File Format. Disponível na internet através do site http://www.tecgraf.puc-rio.br/neutralfile.
TIMOSHENKO, S.P.; GERE, J. E. Mecânica dos sólidos. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 1998.
VASQUEZ, J.A.R. – Estudo comparativo de matrizes geométricas para análise da estabilidade de pórticos espaciais. Tese de Mestrado, Departamento de Engenharia Civil, PUC-RJ, Novembro 1987.
VIANNA, A.. C. Modelagem geométrica completa para modelos bidimensionais de elementos finitos. Tese de Mestrado, Departamento de Informática, PUC-RJ, Agosto 1992.
WASZCZYSZYN, Z; CHICHON, C; RADWANSKA, M. Stability of structures by finite element methods. Amsterdam: Elsevier, 1994.
WEAVER, W., GERE, J.M. Matrix analysis of framed structures, New York: D. Van Nostrand Company, 1980.
WEAVER, W., JOHNSTON, P.R. – Finite elements for structural analysis, New Jersey: Prentice-Hall, 1984
APÊNDICE A
APÊNDICE A EXEMPLO DE IMPLEMENTAÇÃO NO MATHCAD
Neste apêndice serão mostradas as implementações feitas em Mathcad para
a obtenção de cargas críticas com o elemento BSB2. Serão apresentados dois
exemplos: a coluna engastada e livre e o caso em que há bifurcação assimétrica.
Atributos do material, seção reta, comprimento e carregamento axial:
E 1= I 1= A 100= ρ 1= L 1= P 1=
Funções de forma dos graus de liberdade principais:
N x( )
1xL
−
1 3x2
L2⋅− 2
x3
L3⋅+
x 2x2
L⋅−
x3
L2+
xL
3x2
L2⋅ 2
x3
L3⋅−
x2−
Lx3
L2+
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
= dN x( )
xN x( )1
dd
xN x( )2
dd
xN x( )3
dd
xN x( )4
dd
xN x( )5
dd
xN x( )6
dd
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
= ddN x( )
2xN x( )1
d
d
2
2xN x( )2
d
d
2
2xN x( )3
d
d
2
2xN x( )4
d
d
2
2xN x( )5
d
d
2
2xN x( )6
d
d
2
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
=
Função de forma adicional:
NH x( )12
1 cos 2 π⋅xL
⋅⎛⎜⎝
⎞⎠
−⎛⎜⎝
⎞⎠
⋅= dNH x( )x
NH x( )dd
= ddNH x( ) 2xNH x( )d
d
2=
APÊNDICE A 115
Montagem das matrizes de rigidez e geométrica:
KE
100
0
0
100−
0
0
0
0
12
6
0
12−
6
0
0
6
4
0
6−
2
0
100−
0
0
100
0
0
0
0
12−
6−
0
12
6−
0
0
6
2
0
6−
4
0
0
0
0
0
0
0
194.81818
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
=
KG
1
0
0
1−
0
0
0
0
1.2
0.1
0
1.2−
0.1
0
0
0.1
0.13333
0
0.1−
0.03333−
0.5
1−
0
0
1
0
0
0
0
1.2−
0.1−
0
1.2
0.1−
0
0
0.1
0.03333−
0
0.1−
0.13333
0.5−
0
0
0.5
0
0
0.5−
4.9348
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
=
As condições de contorno são impostas através de molas com valores
grandes de rigidez. Para o exemplo da coluna engastada e livre:
cmola1 1 1020⋅= cmola4 0 1020
⋅=
cmola2 1 1020⋅= cmola5 0 1020
⋅=
cmola3 1 1020⋅= cmola6 0 1020
⋅=
Imposição das condições de apoio na matriz de rigidez:
KE2 KE=
i 1 6..=
KE2i i,KE2i i,
cmolai+=
APÊNDICE A 116
Resolvendo o problema de autovalores para a carga crítica:
InvPcritico eigenvals KE21−
− KG⋅⎛⎝
⎞⎠=
InvPcriticoT 0 0.40502− 0 0.04278− 0.01087− 0 0( )=
Pcritico InvPcritico2( ) 1−=
Pcritico 2.46904−=
Obtenção do autovetor:
InvVcritico eigenvec KE21−
− KG⋅ InvPcritico2,⎛
⎝⎞⎠
=
InvVcriticoT 0 0 0 0 0.53701− 0.84356− 5.70204 10 3−
×( )=
Visualização dos deslocamentos transversais:
v x( )
2
3
i
N x( )i InvVcriticoi⋅∑
= 5
6
i
N x( )i InvVcriticoi⋅∑
=
+ NH x( ) InvVcritico7⋅+=
0.7 0.35 00
0.5
1
x
v x( )
APÊNDICE A 117
Para o exemplo da bifurcação assimétrica é necessário introduzir as matrizes
de rigidez e rotação da mola que se encontra inicialmente a 45°:
θπ
4=
KM
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
= RM
cos θ( )sin θ( )−
0
0
0
0
0
sin θ( )cos θ( )
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
cos θ( )sin θ( )−
0
0
0
0
0
sin θ( )cos θ( )
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
=
KM RMT( ) KM⋅ RM⋅= KM
0.5
0.5
0
0
0
0
0
0.5
0.5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.5
0.5
0
0
0
0
0
0.5
0.5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
=
Condições de contorno da coluna:
cmola1 1 1020⋅= cmola4 0 1020
⋅=
cmola2 1 1020⋅= cmola5 0 1020
⋅=
cmola3 0 1020⋅= cmola6 0 1020
⋅=
Imposição das condições de apoio e da rigidez da mola na matriz de rigidez:
KE2 KE=
i 1 6..=
KE2i i,KE2i i,
cmolai+ KMi i,+=
APÊNDICE A 118
Resolvendo o problema de autovalores para a carga crítica:
InvPcritico eigenvals KE21−
− KG⋅⎛⎝
⎞⎠=
InvPcriticoT 0 0.66667− 0.10042− 2− 0.01667− 8.2413− 10 3−
× 0( )=
Pcritico InvPcritico4( ) 1−=
Pcritico 0.5−=
Obtenção do autovetor:
InvVcritico eigenvec KE21−
− KG⋅ InvPcritico4,⎛
⎝⎞⎠
=
InvVcriticoT 0 0 0.57735 0 0.57735 0.57735 0( )=
Obtenção da matriz de rotação da barra cujas coordenadas foram
modificadas a partir da soma do autovetor. As matrizes de rigidez e geométrica
são modificadas:
α asin 0.57735( )=
R
cos α( )sin α( )−
0
0
0
0
0
sin α( )cos α( )
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
cos α( )sin α( )−
0
0
0
0
0
sin α( )cos α( )
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
=
KE2 RT( ) KE⋅ R⋅=
KG2 RT( ) cos α( )⋅ KG⋅ R⋅=
APÊNDICE A 119
A matriz da mola é modificada a partir da inclusão do seu novo ângulo:
θ atancos α( )
L 0.57735+⎛⎜⎝
⎞⎠
=
KM RMT( ) KM⋅ RM⋅=
Uma nova resolução do problema de autovalor é realizada:
InvPcritico eigenvals KE21−
− KG2⋅⎛⎝
⎞⎠=
InvPcriticoT 0 1.63299− 0.54433− 0.01361− 0.08199− 6.72899− 10 3−
× 0( )=
Pcritico InvPcritico2( ) 1−=
Pcritico 0.61237−=
Obtenção da matriz de rotação da barra cujas coordenadas foram
modificadas a partir da subtração do autovetor. As matrizes de rigidez e
geométrica são modificadas:
α asin 0.57735−( )=
R
cos α( )sin α( )−
0
0
0
0
0
sin α( )cos α( )
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
cos α( )sin α( )−
0
0
0
0
0
sin α( )cos α( )
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
=
KE2 RT( ) KE⋅ R⋅=
KG2 RT( ) cos α( )⋅ KG⋅ R⋅=
APÊNDICE A 120
A matriz da mola é modificada a partir da inclusão do seu novo ângulo:
θ atancos α( )
L 0.57735−⎛⎜⎝
⎞⎠
=
KM RMT( ) KM⋅ RM⋅=
Uma nova resolução do problema de autovalor é realizada:
InvPcritico eigenvals KE21−
− KG2⋅⎛⎝
⎞⎠=
InvPcriticoT 0 2.36945− 0.49323− 0.01361− 0.08199− 6.72899− 10 3−
× 0( )=
Pcritico InvPcritico2( ) 1−=
Pcritico 0.42204−=
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