View
239
Download
4
Category
Preview:
Citation preview
77
BAB 4
PENGANALISAAN RANGKAIAN DENGAN PERSAMAAN DIFERENSIAL
ORDE DUA ATAU LEBIH TINGGI
4.1 Pendahuluan
Persamaan-persamaan diferensial yang dipergunakan pada penganalisaan yang
lalu hanya terbatas pada persamaan-persamaan diferensial orde pertama dengan koefisien
konstanta. Selanjutnya akan dibahas persamaan diferensial dengan batasan yang sama
yaitu linieritas dan koefisien konstan akan tetapi dengan orde yang lebih tinggi. Adapun
prosedur matematika diberikan berikut ini termasuk dalam metode penyelesaian klasik
dimana metode klasik ini memberikan pengertian-pengertian yang lebih mudah/baik
mengenai penafsiran persamaan diferensial dan persyaratan suatu penyelesaian.
Pada umumnya persamaan diferensial homogen orde dua dengan koefisien
konstan diperlihatkan sebagai berikut.
0ia
dtdia
dtida 212
2
0 (4.1)
Adapun penyelesaian persamaan diferensial ini harus berbentuk sedemikian rupa
sehingga penyelesaian itu sendiri apabila diturunkan pertama dan kedua dikalikan
dengan suatu koefisien konstan jumlahnya menjadi nol, hal ini mungkin terjadi kalau
hasil penyelesaiannya berbentuk eksponensial yang dimisalkan dengan :
st.K)t(i (4.2)
sehingga :
st.s.K
dtdi
(4.3)
dan :
st2
2
2
.s.Kdt
id
(4.4)
dimana K dan s merupakan konstanta yang nyata, imajiner atau kompleks.
Selanjutnya apabila Persamaan (4.2), (4.3) dan (4.4) disubstitusikan ke dalam
Persamaan (4.1) akan diperoleh :
0KasKaKsa st2
st1
st20 (4.5)
78
oleh karena harga stK tidak akan pernah nol untuk harga t yang terbatas/finite, maka
Persamaan (4.5) dapat dibuat menjadi :
0asasa 212
0 (4.6)
adapun Persamaan (4.6) ini persyaratan agar stK merupakan hasil penyelesaian, yang
disebut juga dengan persamaan karakteristik atau auksiliari yang memiliki akar-akar :
20
21
00
121 aa4a
a21
a2as;s
(4.7)
oleh sebab itu terdapat dua bentuk eksponensial dari penyelesaian persamaan diferensial
homogen dari Persamaan (4.1), yaitu :
)b.....(..........Ki
)a.....(..........Kits
12
ts11
2
1
(4.8)
karena i1 dan i2 masing-masing merupakan penyelesaian persamaan diferensial dari
Persamaan (4.5), sehingga jumlah penyelesaian-penyelesaian ini adalah :
i3 = i1 + i2 (4.9)
dengan demikian i3 juga merupakan suatu penyelesaian, dimana hal ini dapat
diperlihatkan dengan mensubstitusikan Persamaan (4.9) ke dalam Persamaan (4.5) yang
hasilnya adalah :
0)ii(a
dt)ii(da
dt)ii(da 212
2112
212
0
(4.10)
atau :
00
0iadt
dia
dtid
aiadtdi
adt
ida 22
212
22
0121
121
2
0
(4.11)
atau :
0 + 0 = 0
sehingga i3 menyetakan penyelesaian dari Persamaan (4.5), maka secara umum dapat
dinyatakan penyelesaian Persamaan (4.5) ini adalah :
ts
2ts
121 .K.K)t(i (4.12)
Adapun harga-harga s1 dan s2 yang ditentukan dengan Persamaan (4.7) dapat merupakan
bilangan nyata, imajiner ataupun kompleks dan ini tergantung dari harga-harga a0, a1 dan
a2 dari persamaan diferensial homogen tersebut.
79
4.2 Respons Rangkaian RLC Seri Dengan Input Unit Step
Perhatikan rangkaian di bawah ini :
Gambar 4.1 Rangkaian seri RLC dengan input tegangan searah
dengan mengabaikan semua kondisi awal, maka pada saat t = 0 saklar ditutup, sehingga
dapat dituliskan persamaan tegangan pada rangkaian adalah :
oVdtiC1i.R
dtdiL
(4.13)
bila dideferensialkan satu kali maka diperoleh :
0
Ci
dtdi.R
dtidL 2
2
(4.14)
atau :
0iC1
dtd.R
dtdL 2
2
atau :
0
C1
dtd.R
dtdL 2
2
(4.15)
misalkan : dtds
sehingga :
0
C1s.Rs.L 2
(4.16)
Persamaan (4.16) ini disebut sebagai persamaan karakteristik rangkaian di atas. Adapun
akar-akar persamaan karakteristik ini adalah :
CL4R
L21
L2Rs;s 2
21 (4.17)
maka bentuk umum penyelesaian dari persamaan diferensial :
ts
2ts
121 .K.Ki (4.18)
80
dalam hal ini ada tiga kemungkinan, yaitu :
1. Bilamana : R2 > CL4
( keadaan overdamped / teredam lebih)
Dalam kondisi ini besaran
CL4R 2
adalah positif, sehingga akar-akar s1 dan s2 adalah nyata. Untuk menentukan hraga K1 dan K2 dapat dicari dari kondisi awal yang diketahui.
Pada saat saklar ditutup ( t = 0 ), maka i(0+) = 0. Hal ini disebabkan sifat dari L dan C
yang tidak dapat berubah dengan seketika, maka pada t = 0, bagian dari 0dtiC1
, oleh karena itu Persamaan (4.13) untuk t = 0, adalah :
o
)0( Vdt0C10.R
dtdi
L
maka : LV
dtdi o)0(
(4.19)
sehingga terlihat terdapat dua kondisi awal, yaitu : i(0+) = 0 dan LV
dtdi o)0(
, dan jika
hrga-harga ini disubstitusikan ke dalam Persamaan (4.18) akan diperoleh :
0s2
0s1
21 .K.K0)0(i atau : K1 + K2 = 0 (4.20)
Kemudian jika Persamaan (4.18) dideferensialkan satu kali diperoleh :
ts
22ts
1121 .Ks.Ks
dtdi
(4.21)
karena LV
dtdi o)0(
pada saat t = 0, maka Persamaan (4.21) menjadi :
0s22
0s11
o)0( 21 .Ks.KsL
Vdt
di
sehingga di dapat :
LV
KsKs o2211
(4.22)
dari Persamaan (4.20) dan (4.21) akan diperoleh :
)ss(LV
K21
o1
dan )ss(LV
K12
o2
81
dan jika harga-harga K1 dan K2 ini disubstitusikan ke dalam Persamaan (4.14), maka
diperoleh penyelesaian persamaan ini untuk kondisi R > CL4
adalah :
tsts
21
o21
)ss(L
Vi
(4.23)
Kalau persamaan (4.23) ini digambarkan bentuknya adalah :
)ss(L
VK
21
o
1
)ss(L
VK
21
o
2
ts2
ts1
21 .K.K
ts1
1.K
ts2
2.K
t
Gambar 4.2 Kurva arus pada rangkaian seri RLC dengan input step pada kondisi R > C
L4
Gambar 4.2, menggambarkan sifat kurva yangmemperlihatkan variasi ts
11.K dan
ts2
2.K dengan waktu dan juga variasi arus total ts2
ts1
21 .K.K dengan waktu.
2. Bilamana : R2 = CL4
( keadaan critical damped / teredam lebih)
Pada kondisi ini besaran
CL4R 2
menjadi nol, oleh karena itu akar persamaan
karakteristik Persamaan (4.16) adalah nyata dan sama, sehingga penyelesaian
Persamaan (104) menjadi :
st
21 )KK(i (4.24)
kalau dimisalkan : K = (K1 + K2), maka persamaan di atas berbentuk :
stKi (4.25)
82
Hal ini belumlah bentuk penyelesaian yang sempurna karena penyelesaian
dari persamaan deferensial orde dua harus mengandung dua konstanta yang berbeda,
oleh karena itu Persamaan (4.25) harus dimodifikasi. Misalkan diasumsikan
penyelesaian Persamaan (4.25) berbentuk :
st.yi (4.26)
dimana y adalah besaran yang akan dicari.
Substitusikan Persamaan (4.26) ke dalam Persamaan (4.14) dengan suatu
ketentuan bahwa y memenuhi persamaan diferensial :
0
dtyd2
2
(4.27)
dan kemudian bila diintegrasikan dua kali berturut-turut akan menghasilkan :
tKKy 21 (4.28)
dan kalau Persamaan (4.28) ini disubstitusikan ke Persamaan (4.26) diperoleh :
st2
st1 tKKi (4.29)
dimana dalam hal ini : L2Rs
.
Di dalam hal ini kondisi awal juga sama dengan : 0)0(i dan LVo)0(
dtdi
.
Apabila harga-harga ini disubstitusikan ke Persamaan (4.29) akan
diperoleh : 0s
20s
1 0KK0)0(i sehingga diperoleh K1 = 0. dan jika harga K1 ini disubstitusikan ke Persamaan (4.29)
maka diperoleh :
st
2 tKi (4.30)
dan apabila Persamaan (4.30) dideferensialkan satu kali maka didapat :
stst
2 stKdtdi
(4.31)
dan selanjutnya bila kondisi awal LVo)0(
dtdi
, pada t = 0 disubstitusikan ke
Persamaan (4.31) ini akan diperoleh :
0s0s2 .0.sK
LVo)0(
dtdi
83
sehingga diperoleh LVoK 2 , dan apabila harga K2 ini disubstitusikan ke
Persamaan (4.30), maka diperoleh persamaan arus yang mengalir pada rangkaian
untuk kondisi R = CL4
, yaitu :
st.t.
LVoi
(4.32)
dan kalau digambarkan kurvanya adalah :
t
st.t.L
Voi
i
Gambar 4.3 Kurva arus pada rangkaian seri RLC dengan input step pada kondisi R > C
L4
3. Bilamana : R2 < CL4
(keadaan underdamped / kurang teredam)
Pada kondisi ini besaran
CL4R 2
adalah negatif, oleh karena itu akar-akar
persamaan karakteristik dari Persamaan (4.16) bilangan kompleks yang dimisalkan :
)b......(..........jBAs)a......(..........jBAs
2
1
(4.33)
dimana :
L2
RCL4
BdanL2RA
2
(4.34)
oleh karena itu Persamaan (4.18) menjadi :
t)jBA(
2t)jBA(
1 KKi (4.35) atau :
jBt2
jBt1
At KKi (4.36) karena :
84
BtsinjBtcosdanBtsinjBtcos jBtjBt
maka Persamaan (4.36) menjadi :
BtsinjBtcosKBtsinjBtcosKi 21At (4.37)
apabila kondisi awal : i(0+) = 0, untuk t = 0, disubstitusikan ke dalam Persamaan
(4.37) maka akan diperoleh :
0.Bsinj0.BcosK0.Bsinj0.BcosK0)0(i 210.A
atau :
K1 + K2 = 0 (4.38)
Selanjutnya diferensialkan Persamaan (4.37) satu kali dan kemudian substitusikan
LVo)0(
dtdi
kedalamnya untuk t = 0 :
BtcosjBtsinBKBtcosjBtsinBKA
BtsinjBtcosKBtsinjBtcosKA)0(dtdi
21At
21At
(4.39)
kemudian substitusikan kondisi awal LVo)0(
dtdi
untuk t = 0 ke dalam
Persamaan (4.39) di atas, maka diperoleh :
0.Bcosj0.BsinBK0.Bcosj0.BsinBKA
0.Bsinj0.BcosK0.Bsinj0.BcosKAL
Vo)0(dtdi
210A
210A
atau :
2121 KKjBKKAL
Vo
karena menurut Persamaan (4.38) : K1 + K2 = 0, maka :
1BK2jL
Vo
(4.40)
oleh karena itu diperoleh :
BL2jVoKdan
BL2jVoK 21
kemudian substitusikan harga-harga K1 dan K2 ke dalam Persamaan (4.37) sehingga
diperoleh :
BtsinjBtcos
BL2jVoBtsinjBtcos
BL2jVoi At
atau :
85
Btsin
BLVoi At
(4.41)
apabila harga A dan B pada Persamaan (4.34) disubstitusikan ke dalam Persamaan
(4.41) di atas, akan didapat :
tL2
RCL4
sinR
CL4
L2L
Voi
2t
L2R
2
atau :
t.L4
RLC1sin.
4R
CL
.Voi2
2
2
tL2
R
(4.42)
terlihat bahwa dalam keadaan ini arus berosilasi, dan kalau bagian eksponensial
tL2
R dihilangakan, maka arus i murni sinusoidal dengan frekuensi resonansi
(natural angular frequency).
ikdetradian
L4R
LC1
2
2n
(4.43) atau :
ikdetsiklus
L4R
LC1
21
2f 2
2n
n
(4.44)
kalau Persamaan (4.42) digambarkan :
4R
CL
Vo2
4R
CL
Vo2
t
t
86
Gambar 4.4 Kurva arus dari rangkaian seri RLC dengan input unti step pada kondisi R < C
L4
Contoh :
Saklar pada rangkaian di bawah ini ditutup pada saat t = 0, dengan mengabaikan
semua kondisi awal elemen rangkaian, carilah bentuk persamaan arus i.
Jawab :
Bila saklar ditutup, persamaan tegangan pada rangkaian adalah :
Vdti
C1i.R
dtdiL (a)
atau :
LVdti
LC1i.
LR
dtdi
atau :
1,0200dti
)10.100).(1,0(1i.
1,0200
dtdi
6
atau :
2000dti10.10i.2000dtdi 4
kalau dideferensialkan :
0i.10.10
dtdi.2000
tdid 4
2
2
(b)
atau :
0i10.10
dtd.2000
tdd 4
2
2
(c)
misalkan : s
dtd
, maka Persamaan (c) menjadi : 0i10.10s.2000s 42
atau : 010.10s.2000s 42
adapun akar-akar persamaan karakteristik ini adalah :
87
31,511.2
)10.10(420002000s
42
1
68,19481.2
)10.10(420002000s
42
2
dari rangkaian dapat dilihat :
622
10.11,0.2
200L2
R
dan 5
6 10.1)10.100).(1,0(
1LC1
ternyata : LC1
L2R 2
atau R2 > CL4
, sehingga bentuk umum dari Persamaan (b)
adalah [lihat Persamaan (4.23)] atau :
ts2
ts1
21 .K.Ki
sehingga :
t.68,1948
2t.31,51
1 .K.Ki (d)
karena kondisi awal diabaikan dan sifat L yang tidak dapat berubah dengan seketika,
maka pada t = 0, arus :
i(0+) = 0 (e)
bila Persamaan (e) ini disubstitusikan kedalam Persamaan (d) untuk t = 0, diperoleh :
0.68,1948
20.31,51
1 .K.K
0
)0(i
sehingga diperoleh :
0 = K1 + K2 (f)
dan demikian juga pada C yang tidak bisa berubah dengan seketika, sehingga 0dti
C1
maka kalau harga-harga ini disubstitusikan ke dalam Persamaan (a) akan diperoleh :
V
0
dtiC1
0
)0(i.R)0(dtdiL
sehingga :
1,0200
LV)0(
dtdi
atau :
88
detAmp /2000)0(
dtdi
(g)
selanjutnya diferensialkan Persamaan (d) satu kali, maka :
t.68,1948
2t.31,51
1 .K.68,1948.K.31,51dtdi
(h)
selanjutnya substitusikan Persamaan (g) ke dalam Persamaan (h) untuk t = 0, maka :
0.68,19482
0.31,511 .K.68,1948.K.31,51
2000
)0(dtdi
atau :
21 K.68,1948K.31,512000 (i)
maka dari Persamaan (h) dan (i) diperoleh :
K1 = 1 dan K2 = -1
Kemudian harga-harga K1 dan K2 ini disubstitusikan ke dalam Persamaan (d) maka
diperoleh:
.Amp.i t.68,1948t.31,51 inilah bentuk persamaan arus yang mengalir pada rangkaian setelah saklar ditutup.
Contoh :
Perhatikan rangkaian di bawah ini :
dengan mengabaikan kondisi awal, pada saat t = 0 saklar ditutup. Carilah bentuk
persamaan arus i pada rangkaian.
Jawab :
Adapun persamaan tegangan pada rangkaian setelah saklar ditutup adalah :
Vdti
C1i.R
dtdiL (a)
89
atau :
LVdti
LC1i.
LR
dtdi
atau :
110dti
)04,0).(1(1i.
110
dtdi
atau :
10dti25i.10dtdi
kalau dideferensialkan satu kali :
0i.25
dtdi.10
tdid
2
2
(b)
atau :
0i25
dtd.10
tdd
2
2
(c)
misalkan : s
dtd
, maka Persamaan (c) menjadi : 0i25s.10s2
atau : 025s.10s2
adapun akar-akar persamaan karakteristik ini adalah :
52
)25.1(41010s
2
1
dan
52
)25.1(41010s
2
2
terlihat bahwa :
251.2
10L2
R 22
dan 25
)04,0).(1(1
LC1
maka :
LC1
L2R 2
atau R2 = CL4
sehingga bentuk umum penyelesaian Persamaan (b),[lihat Persamaan (4.32)] adalah :
tKKi 21t
dimana : 5
210
L2R
, sehingga :
tKKi 21t5
(d)
karena sifat L yang tidak dapat berubah dengan seketika, maka pada t = 0 arus :
i(0+) = 0 (e)
selanjutnya bila Persamaan (e) disubtitusikan ke dalam Persamaan (d) diperoleh :
90
0
0.KK)0(i 210.5
atau : K1 = 0 (f)
bilamana harga K1 = 0 disubtitusikan ke dalama Persamaan (d), maka diperoleh :
tK.i 2t5 (g)
demikian juga dengan C yang tidak dapat berubah dengan seketika, maka tegangan pada
C pada t = 0+ :
0dt)0(i
C1
(h)
maka jika harga-harga i(0+) = 0 dan 0dt)0(i
C1
disubstitusikan kedalam Persamaan (a) untuk t = 0, didapat :
00
Vdt)0(iC1)0(i.R)0(
dtdiL
atau didapat :
detAmp /10
LV)0(
dtdi
bila Persamaan (d) dideferensialkan satu kali, maka :
t5
22t5 .KtK.5)0(
dtdi
(i)
kalau harga detAmp /10)0(
dtdi
, di substitusikan ke dalam Persamaan (i) untuk t = 0,
maka diperoleh :
10
.K0.K.5)0(dtdi 0.5
220.5
maka diperoleh K2 = 10, dan kalau harga ini disubstitusikan ke dalam Persamaan (g),
maka diperoleh persamaan arus pada rangkaian setelah saklar ditutup adalah :
Amp.t10i t5
Contoh :
91
Perhatikan rangkaian di bawah ini :
dengan mengabaikan semua kondisi awal, carilah bentuk persamaan arus i pada
rangkaian setelah saklar ditutup pada saat t = 0.
Jawab :
Adapun persamaan tegangan pada rangkaian setelah saklar ditutup adalah :
Vdti
C1i.R
dtdiL (a)
atau :
LVdti
LC1i.
LR
dtdi
atau :
1,0100dti
)10.50).(1,0(1i.
1,050
dtdi
6
atau :
1000dti10.2i.500dtdi 5
dideferensialkan satu kali :
0i.10.2
dtdi.500
tdid 5
2
2
(b)
atau :
0i10.2
dtd.500
tdd 5
2
2
(c)
misalkan : s
dtd
, maka Persamaan (c) menjadi :
0i10.2s.500s 52 atau :
010.2s.500s 52 adapun akar-akar persamaan karakteristik ini adalah :
92
8,370j2502
)10.2(4500500s
52
1
8,370j2502
)10.2(4500500s
52
2
dari rangkaian terlihat :
500.621,0.2
50L2
R 22
dan 000.200
)10.50).(1,0(1
LC1
6
ternyata :
LC1
L2R 2
atau R2 < CL4
sehingga untuk mendapatkan penyelesaian dari Persamaan (b) digunakan bentuk
Persamaan (4.39) dengan :
2501,0.2
50L2
R
dan :
8,3701,0.2
50)10.50).(1,0(
1L2
RLC1
2
6
2
sehingga :
t8,370sinjt8,370cosKt8,370sinjt8,370cosKi 21t250
atau :
t8,370sin)KK(jt8,370cos)KK(i 2121t250
(d) misalkan :
K3 = K1 + K2 dan K4 = j (K1 + K2)
Maka Persamaan (d) menjadi :
t8,370sinKt8,370cosKi 43t250
(e)
kondisi awal elemen diabaikan dan karena sifat dari L yang tidak dapat berubah dengan
seketika, maka pada t = 0, arus :
i(0+) = 0 (f)
demikian juga dengan C yang sifatnya tidak dapat berubah dengan seketika, sehingga
0dtiC1
maka pada saat t = 0+, dari Persamaan (a) didapat :
V
0
dt)0(iC1
0
)0(i.R)0(dtdiL
(g)
93
sehingga diperoleh :
det
Amp /10001,0
100LV)0(
dtdi
(h)
dan apabila Persamaan (f) disubstitusikan kedalam Persamaan (e) untuk t = 0, diperoleh :
0.8,370sinK0.8,370cosK
0
)0(i 430.250
maka diperoleh :
K3 = 0
Kemudian diferensialkan Persamaan (e) satu kali :
t8,370sin4Kt8,370cos3Kt250.250t8,370cos8,370t8,370sin3K.8,370t250dtdi
atau :
t8,370cos)KK.8,370(t8,370sin)KK.8,370(
dtdi
3443t250
(i)
kemudian substitusikan Persamaan (h) ke Persamaan (i) untuk t = 0 :
0.8,370cos)
0
KK.8,370(0.8,370sin)K
0
K.8,370(
1000
)0(dtdi
34430.250
sehingga :
1000 = 370,8.K4 maka :
7,28,370
1000K 4
kemudian harga-harga K3 dan K4 yang diperoleh disubstitusikan ke dalam Persamaan (e)
sehingga didapat persamaan arus yang mengalir pada rangkaian setelah saklar ditutup
adalah :
.Ampt8,370sin.7,2i t250
4.3 Response Rangkaian Paralel RLC Dengan Sumber Searah
Rangkaian di bawah ini memperlihatkan rangkaian paralel RLC dengan sumber
arus searah Io dengan semua kondisi awal elemen pasif diabaikan dan pada saat t = 0
saklar pada rangkaian akan dibuka.
94
Gambar 4.5 Rangkaian paralel RLC dengan sumber searah
Bila saklar terbuka, maka menurut hukum arus Kirchhoff dapat dituliskan :
Iodtv
L1v.G
dtdvC (4.45)
dideferensialkan satu kali :
0
LCv
dtdv
CG
dtvd2
2
(4.46)
atau :
0v.
LC1
dtd
CG
dtd
2
2
(4.47)
bilamana : s
dtd
, maka Persamaan (139) menjadi :
0v.
LC1s
CGs2
(4.48)
Persamaan (4.48) sering disebut sebagai persamaan karakteristik dari rangkaian pada
Gambar 4.5, dan persamaan ini dapat dibentuk menjadi :
(s - s1) (s – s2)v = 0 (4.49)
dengan akar-akar :
LC4G
C21
C2Gs 2
1
LC4G
C21
C2Gs 2
2
misalkan : C2G
dan L
C4GC21 2
, sehingga :
)(s1 dan )(s2
sehingga Persamaan (4.49) menjadi :
0v.)(s)(s terlihat bahwa harga β bisa potitif; nol dan imaginer / negatif,
95
Kemunkinan I :
LC4G2
harga β adalah positif dimana s1 dan s2 nyata.
Dari Persamaan (4.49) yang berbentuk :
(s - s1) (s – s2)v = 0
dimisalkan :
(s – s2)v = u (4.50)
maka Persamaan (4.49) menjadi:
(s - s1) u = 0
karena s
dtd
, maka :
0u.sdtdu
1
atau :
dtsu
du1
kalau di integralkan :
'Kts)u(Ln 1 atau :
ts'K'Kts 11u
karena K'K , maka :
ts1Ku (4.51)
apabila Persamaan (4.51) ini disubstitusikan kedalam Persamaan (4.50), maka didapat :
ts2
1K )vs - (s
karena s
dtd
, maka : ts
21K vs -
dtd
atau :
ts2
1K v.s - dtdv
kalau ruas kiri dan kanan persamaan ini dikalikan dengan faktor integrasi ts2 ,maka
hasilnya:
t)ss(ts
2ts 2122 K .v.s -
dtdv
(4.52)
96
karena : ts
2tsts 222 s).v(d
maka Persamaan (4.52) menjadi : t)ss(ts 212 .K).v(d
kalau diintegralkan :
t)ss(ts 212 .K).v(d atau :
"K.
)ss(K.v t)ss(
21
ts 212
(4.53)
bilamana ruas kiri dan kanan Persamaan (4.53) dikalikan dengan ts2 , maka :
tstst)ss(
21
tsts 222122 ".K..)ss(
K..v
atau :
tsts
21
21 "K.)ss(
Kv
(4.54)
kalau dimisalkan :
)ss(KK
211
dan K2 = K”
maka Persamaan (4.54) menjadi :
ts
2ts
121 .K.Kv (4.55)
ini adalah bentuk umum penyelesaian dari Persamaan (4.45) unutk kondisi LC4G 2
, dimana K1 dan K2 dapat ditentukan dari kondisi awal rangkaian.
Apabila saklar dibuka pada saat t = 0, maka :
v(0+) = 0 (4.56)
hal ini disebabkan tegangan pada terminal kapasitor C tidak dapat berubah dengan
seketika, demikian pula halnya dengan arus yang mengalir pada L pada t = 0, yaitu
0dtvL1
, dengan demikian Persamaan (4.45) untuk t = 0 menjadi :
Io
0
dt)0(vL1
0
)0(v.G)0(dtdvC
sehingga diperoleh :
97
CIo)0(
dtdv
(4.57)
Selanjutnya apabila Persamaan (4.56) disubtitusikan ke dalam Persamaan (4.55)
untuk t = 0 akan diperoleh :
0.s2
0.s1
21 .K.K
0
)0(v
atau : K1 + K2 = 0 (4.58)
selanjutnya diferensialkan Persamaan (4.55) satu kali :
ts22
ts11
21 .Ks.K.sdtdv
kemudian substitusikan Persamaan (4.57) untuk t = 0 ke dalam persamaan di atas,
sehingga :
0.s22
0.s11
21 .Ks.K.s
CIo
)0(dtdv
sehingga diperoleh :
2211 KsKsCIo
(4.59)
dari Persamaan (4.58) dan (4.59) diperoleh :
)ss(C
IoK
211
dan )ss(C
IoK
212
bilamana harga K1 dan K2 disubstitusikan kedalam Persamaan (4.55), maka didapat
bentuk persamaan tegangan v pada rangkaian Gambar 4.5 bilamana saklar dibuka pada
t = 0 adalah :
tsts
21
21)ss(
CIo
v
(4.60)
Persamaan (4.60) ini bentuknya sama dengan Persamaan (4.28) untu rangkaian seri RLC
dimana bagian Vo/L digantikan dengan Io/C, demikian juga kurva pada Gambar 4.2,
berlaku pada persamaan (4.60) hanya dengan menggantikan perpotongan kurva dengan
sumbu y digantikan dengan )ss(C/Io
21 seperti kurva berikut ini.
98
)ss(C
IK
21
o
1
)ss(C
IK
21
o
2
ts2
ts1
21 .K.K
ts1
1.K
ts2
2.K
t
Gambar 4.6 Kurva tegangan pada rangkaian paralel RLC dengan input searah pada kondisi L
C42G
Contoh :
Perhatikan rangkaian ini :
dengan mengabaikan semua kondisi awal elemen pasif, maka pada t = 0 saklar dibuka,
carilah bentuk persamaan tegangan v, dan berapa besar tegangan v setelah saklar dibuka
selama 0,1 detik.
Jawab :
Persamaan arus pada rangkaian setelah saklar dibuka adalah :
Iodtv
L1v.G
dtdvC (a)
atau :
10dtv12/11v.
7/11
dtdv1
atau :
10dtv12v.7dtdv
bila dideferensialkan satu kali, maka diperoleh :
99
0v12
dtdv7
dtvd2
2
atau :
0v.12
dtd7
dtd
2
2
misalkan : s
dtd
, maka : 0v.12s7s2
atau : 012s7s2
akar-akar persamaan ini adalah :
312.1.4721
27s 2
1
412.1.4721
27s 2
2
selanjutnya :
49)7(G 22 dan 12
)12/1(1.4
LC4
maka : LC4G 2
, sehingga bentuk umum penyelesaian Persamaan (a) adalah Persamaan (147), yaitu :
ts
2ts
121 .K.Kv (b)
dimana : s1 = -3 dan s2 = -4, sehingga Persamaan (b) menjadi :
t4
2t3
1 .K.Kv (c)
Apabila saklar dibuka pada t = 0, maka :
v(0+) = 0 (d)
hal ini disebabkan oleh karena sifat dari C tidak dapat berubah dengan seketika,
demikian juga karena sifat dari L yang tidak dapat berubah dengan seketika, maka arus
yang mengalir pada L pada t = 0, yaitu :
0dtv
L1
(e)
kalau Persamaan (d) dan (e) disubstitusikan kedalam Persamaan (a) untuk t = 0, maka :
Io
0
dt)0(vL1
0
)0(v.G)0(dtdvC
atau :
100
det/volt10
110
CIo)0(
dtdv
(f)
Selanjutnya apabila Persamaan (d) disubtitusikan ke dalam Persamaan (c) pada t = 0,
akan diperoleh :
0.42
0.31 .K.K
0
)0(v
atau : K1 + K2 = 0 (g) Kemudian bilamana Persamaan (c) diferensialkan satu kali, akan diperoleh :
t42
t31 .K4.K.3
dtdv
dan apabila Persamaan (f) disubstitusikan ke dalam persamaan ini untuk t = 0, maka :
0.42
0.31 .K4.K.3
10
)0(dtdv
atau : -3K1 - 4K2 = 10 (h) dari Persamaan (g) dan (h) diperoleh :
K1 = 10 dan K2 = -10
bilamana harga K1 dan K2 ini disubstitusikan kedalam Persamaan (c), maka didapat
bentuk persamaan tegangan v bilamana saklar dibuka pada t = 0 adalah :
volt10v t4t.3 sedangkan besar tegangan v setelah saklar dibuka selama 0,1 detik adalah :
volt705,010v )1,0(4)1,0.(3det)1,0(
Kemungkinan II :
LC4G2
dimana β adalah nol dan s1 = s2
Adapun akar-akar :
LC4G
C21
C2Gs 2
1
dan L
C4GC21
C2Gs 2
2
dimana :
C2G
dan L
C4GC21 2
101
akan tetapi karena : LC4G 2
, maka : β = 0, sehingga : C2Gss 21
, dengan
demikian Persamaan (4.49) menjadi :
0vss (4.61) kalau dimisalkan : uvs (4.62) maka Persamaan (4.61) menjadi :
0us
karena : s
dtd
, maka persamaan di atas menjadi :
0udtdu
atau :
dtu
du
kalau diintegralkan :
dtu
du
atau : 'Kt)u(Ln
atau : 'Ktu
atau : 'Ktu
dan karena K'K , maka : tKu
dengan demikian Persamaan (4.62) menjadi :
tKvs (4.63)
karena s
dtd
, maka Persamaan (4.63) menjadi : tKv
dtdv
kalau dikalikan dengan faktor integrasi : t , maka persamaan di atas menjadi :
K.v
dtdv tt
(4.64)
karena : ttt .v
dtdv).v(d
maka Persamaan (4.64) menjadi :
102
K).v(d t
bila diintegralkan :
dtK).v(d t
atau : 'KKt.v t
bila dikalikan dengan t , maka :
tt '.K.t.Kv kalau dimisalkan :
K1 = K’ dan K2 = K
maka persamaan di atas menjadi :
t
2t
1 .t.K.Kv (4.65)
dimana C2G
, dan Persamaan (4.65) ini adalah bentuk penyelesaian umum dari
Persamaan (4.45) untuk kondisi LC4G 2
, dimana K1 dan K2 dapat dicari dari kondisi awal rangkaian.
Adapun kondisi awal dari rangkaian seperti pada Persamaan (4.56) yaitu :
0)0(v (4.66)
dan Persamaan (4.57) yaitu :
CIo)0(
dtdv
(4.67)
Selanjutnya apabila Persamaan (4.66) disubtitusikan ke dalam Persamaan (4.65) untuk t
= 0 akan diperoleh :
0.2
0.1 .0.K.K
0
)0(v
atau : K1 = 0 (4.68)
Kemudian diferensialkan Persamaan (4.65) satu kali :
t.2
t.2
t.1 .t.K.K.K.
dtdv
bilamana Persamaan (4.67) dan (4.68) disubstitusikan kedalam persamaan di atas untuk
t = 0, akan diperoleh :
103
0.
20.
20.
1 .0.K.K.
0
K.
CIo
)0(dtdv
sehingga diperoleh :
CIoK2
(4.69)
selanjutnya bilamana harga K1 dan K2 dari Persamaan (4.68) dan (4.69) disubstitusikan
kedalam Persamaan (4.65), maka diperoleh persamaan tegangan v pada rangkaian
Gambar 4.5, untuk kondisi LC4G 2
sebagai berikut :
to .t.
CI
v (4.70)
dengan : C2G
Adapun kurva dari Persamaan (4.70) ini adalah :
to .t.CIv
Gambar 4.7 Kurva arus pada rangkaian paralel RLC dengan input arus searah pada kondisi L
C42G
Contoh :
Perhatikan rangkaian berikut ini :
dengan mengabaikan semua kondisi awal dari elemen pasif, maka pada saat t = 0 saklar
dibuka, carilah bentuk persamaan tegangan v dan berapa besar v setelah saklar terbuka
selama 0,1 detik.
104
Jawab :
Adapun persamaan arus pada rangkaian setelah saklar dibuka ialah :
Iodtv
L1v.G
dtdvC (a)
atau :
4dtv9/1
1v.6/1
1dtdv1
atau :
4dtv9v.6dtdv
bila dideferensialkan satu kali, maka diperoleh :
0v9dtdv6
dtvd2
2
atau :
0v.9dtd6
dtd
2
2
misalkan : s
dtd
, maka : 0v.9s6s2
atau : 09s6s2
akar-akar persamaan ini adalah :
39.1.4621
26s 2
1
dan
39.1.4621
26s 2
2
terlihat bahwa :
36)6(G 22 dan 36
)9/1(1.4
LC4
maka : LC4G 2
, sehingga bentuk umum penyelesaian Persamaan (a) adalah
Persamaan (4.65), yaitu :
t2
t1 .t.K.Kv
dengan 3
1.2)6(
C2G
, sehingga :
t3
2t3
1 .t.K.Kv (b)
Apabila saklar dibuka pada saat t = 0, maka :
v(0+) = 0 (c)
105
hal ini disebabkan karena sifat dari C yang tidak dapat berubah dengan seketika,
demikian juga halnya dengan L yang tidak dapat berubah dengan seketika, maka arus
yang mengalir pada L pada t = 0 juga nol,sehingga :
0dtv
L1
(d)
kalau Persamaan (d) dan (e) disubstitusikan kedalam Persamaan (a) untuk t = 0, maka
didapat:
Io
0
dt)0(vL1
0
)0(v.G)0(dtdvC
atau :
det/volt4
14
CIo)0(
dtdv
(e)
Selanjutnya apabila Persamaan (c) disubtitusikan ke dalam Persamaan (b) untuk t = 0,
maka diperoleh :
0
.0.K.K)0(v 0.42
0.31
maka diperoleh :
K1 = 0 (f)
Selanjutnya diferensialkan Persamaan (b) satu kali :
t32
t32
t31 .t.K.3.K.K.3
dtdv
kemudian substitusikan Persamaan (e) dan (f) ke dalam persamaan di atas pada t = 0,
sehingga diperoleh :
0.3
20.3
20.3
1 .K3.K.
0
K.3
4
)0(dtdv
maka diperoleh :
K2 = 4 (g)
Substitusikan harga-harga K1 dan K2 pada Persamaan (f) dan (g) ke dalam Persamaan
(b), sehingga diperoleh bentuk persamaan tegangan v pada rangkaian untuk kondisi
LC4G 2
adalah :
106
volt.t.4v t.3 setelah saklar dibuka selama 0,1 detik, maka besar tegangan V adalah :
volt296,0).1,0.(4v 1,0.3det)1,0(
Kemungkinan III :
LC4G2
harga β adalah negatif dimana s1 dan s2 kompleks
Dalam keadaan ini 2G
LC4
, sedangkan C2G
, maka akar-akar merupakan
bilangan kompleks :
js1 dan js2
selanjutnya akar-akar ini disubstitusikan ke dalam Persamaan (4.55) sehingga didapat :
tj2
tj1 .K.Kv
atau :
tjt.2
tjt.1 .K.Kv
atau :
tj2
tj1
t. .K.Kv (4.71)
menurut rumus Euler’s bahwa :
tsinjtcostj dan tsinjtcostj
maka Persamaan (4.71) menjadi :
tsinjtcos.Ktsinjtcos.Kv 21t.
(4.72)
menurut Persamaan (4.56) pada t = 0 :
v(0+) = 0 (4.73)
selanjutnya menurut Persamaan (4.57) pada t = 0 :
CIo)0(
dtdv
(4.74)
dan kalau harga ini disubstitusikan kedalam Persamaan (4.72) untuk t = 0, diperoleh :
0.sinj0.cos.K0.sinj0.cos.K
0
)0(v 210.
107
atau : K1 + K2 = 0 (4.75)
Selanjutnya diferensialkan Persamaan (4.72) satu kali :
tcosjtsin.Ktcosjtsin.K
tsinjtcos.Ktsinjtcos.Kdtdv
21t.
21t.
(4.76)
Selanjutnya substitusikan Persamaan (4.74) ke dalam Persamaan (7.76) untuk t = 0,
maka didapat :
0.cosj0.sin.K0.cosj0.sin.K
0.sinj0.cos.K0.sinj0.cos.K
CIo
)0(dtdv
210..
210.
atau :
2121 KKjKK
CIo
(4.77)
kalau Persamaan (4.75) disubstitusikan ke dalam Persamaan (4.77), akan diperoleh :
1K2jCIo
(4.78)
dari Persamaan (4.75) dan (4.77) diperoleh :
C2jIoK1
(4.79)
dan : C2jIoK2
(4.80)
selanjutnya substitusikan Persamaan (4.79) dan (4.80) kedalam Persamaan (4.72) akan
diperoleh :
tsinjtcos.
C2jIotsinjtcos.
C2jIov t.
(4.81) atau :
tsin
CIov t
(4.82)
maka diperoleh persamaan tegangan v pada rangkaian Gambar 4.5, untuk kondisi
LC4G 2
dimana 2G
LC4
, seandainya harga α dan β disubtitusikan ke dalam Persamaan (4.82), akan diperoleh :
108
tGLC4sin
GLC4C
Iov 2
2
tC2
G
atau :
tC2
GLC4
sinG
LC4
C2CIov
2t
C2G
2
atau :
tC2
C4G
LC1C2
sin
4G
LC2
C2CIov
2
2
tC2
G
2
atau :
tC4
GLC1sin
4G
LC
.Iov 2
2
2
tC2
G
(4.83)
terlihat v merupakan osilasi tegangan berbentuk sinus yang amplitudonya tidak konstan
dan menurun secara eksponensial dengan konstanta waktu GC2
dengan frekuensi ayunan ( angular frequency ) :
det/rad
C4G
LC1
2
2
n (4.84)
kalau Persamaan (4.83) digambarkan kurvanya adalah :
4G
LC
.Io2
tC2
G
4G
LC
.Io2
tC2
G
tC2
G
tC2
G
Gambar 4.8 Kurva tegangan pada rangkaian paralel RLC dengan input arus searah pada kondisi L
C42G
Contoh :
Perhatikan rangkaian di bawah ini :
109
pada saat t = 0 saklar dibuka, carilah bentuk persamaan tegangan v pada rangkaian.
Jawab :
Adapun persamaan arus pada rangkaian setelah saklar dibuka ialah :
Iodtv
L1v.G
dtdvC (a)
bila Persamaan (a) dideferensialkan satu kali, maka didapat L :
0
Lv
dtdvG
dtvdC 2
2
(b)
dengan mensibtusikan harga-harga C, G dan L maka diperoleh :
0v.2
dtdv2
dtvd2
2
(c)
misalkan : s
dtd
, maka Persamaan (c) menjadi :
0v.2s2s2 (d)
atau :
02s2s2 (e)
adapun akar-akar Persamaan (e) adalah :
1j11.2.4221
22s 2
1
1j11.2.4221
22s 2
2
dari rangkaian terlihat bahwa :
45,0
1G2
2
dan 8
5,01.4
LC4
110
sehingga ternyata bahwa LC4G 2
, maka bentuk umum penyelesaian Persamaan (a)
adalah Persamaan (4.55) dengan mensubstitusikan harga-harga s1 dan s2 ke dalam
Persamaan (4.55) ini akan diperoleh :
t1j12
t1j11 .K.Kv
atau : jt
2jt
1t .K.Kv
karena : tsinjtcostj dan tsinjtcostj
maka :
tsinjtcos.Ktsinjtcos.Kv 21t
atau :
tsin.jKjKtcos.KKv 2121t
bila dimisalkan :
321 K)KK( dan 421 K)jKjK(
maka :
tsin.Ktcos.Kv 43t
(f)
Karena tegangan pada C tidak dapat berubah dengan seketika, maka menurut
Persamaan (4.56), maka v(0+) = 0, dan demikian pula halnya arus pada L tidak dapat
berubah dengan seketika, maka 0dtv
L1
, selanjutnya apabila harga ini
disubstitusikan ke dalam Persamaan (a) untuk t = 0, maka diperoleh :
Io
0
dt)0(vL1
0
)0(v.G)0(dtdvC
sehingga diperoleh :
det/volt2
12
CIo)0(
dtdv
(g)
Selanjutnya bila harga v(0+) = 0 disubtitusikan ke dalam Persamaan (f) akan diperoleh :
0sin.K0cos.K
0
)0(v 430
111
maka diperoleh : K3 = 0 (h)
apabila harga K3 ini disubstitusikan kedalam Persamaan (f), maka didapat :
tsin.Ktcos.0v 4t
atau :
tsin.K.v 4t (i)
bilamana persamaan (i) dideferensialkan satu kali maka didapat :
tcos.K.tsin.K.dtdv
4t
4t
atau :
tsintcosK.
dtdv
4t
(j)
Apabila Persamaan (g) disubstitusikan ke dalam Persamaan (j) untuk t = 0, diperoleh :
0sin0cosK.
2
)0(dtdv
40
sehingga diperoleh : K4 = 2 (k)
dan bilamana harga-harga K3 dan K4 disubstitusikan kedalam Persamaan (f) maka
diperoleh bentuk persamaan tegangan v bilamana saklar dibuka pada saat t = 0 adalah :
tsin2v t
112
4.4 Soal Latihan
1. Dengan mengabaikan semua kondisi awal, maka carilah bentuk persamaan arus i
setelah saklar ditutup dan cari juga besar arus pada rangkaian setelah saklar ditutup
selema 0,1 detik
2. Rangkaian di bawah ini sudah dalam keadaan steady state maka pada t = 0 saklar
dibuka. Carilah bentuk persamaan v dan i setelah saklar dibuka.
3. Rangkaian di bawah sudah mencapai keadaan steady state, pada saat t = 0 saklar
dibuka, carilah bentuk persamaan v setelah saklar dibuka dan cari juga besar v
setelah saklar dibuka selama 0,2 detik.
4. Perhatikan rangkaian di bawah ini carilah persamaan v pada rangkaian di bawah ini.
113
Recommended