BAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com file · Web viewBAB I NOTASI -...

BAB I NOTASI

KELOMPOK 2

NAMA KELOMPOK :1. DEVI WINDA MARANTIKA (1101125015)2. DODI PERDANA PUTRA (1101125017)3. FITRAH BUDI SATRIA (1101125022)4. FITRIAH CHOIRUNNISA (1101125023)5. MEGA PUSPITA DEWI (1101125122)6. MEI PUSPITA WATI (1101125049)7. MOH. FAQIH FEBRIANA (1101125123)8. NOPITA SARI (1101125057)9. NURUL METRIANA (1101125064)10. PANCA ADITHYA (1101125134)11. PITRI YULIANTI (1101125065)12. SHINTYA INDAH PERMATASARI (1101125076)13. VINA ALMIRA AMALIA (1101125083)14. YAYAH SHULHIYYAH (1101125149)15. HANUM SORAYA

1. Carilah nilai dari :

KELOMPOK 2 [BAB I NOTASI]

a.∑r=1

4.3=12

b.∑k=2

k=2+3+4+5

∑k=2

c.∑t=3

2 t 2=2 (3 )2+2 (4 )2

∑t=3

2 t 2=2 (9 )+2 (16 )

∑t=3

2 t 2=18+32

∑t=3

2 t 2=50

d.∑t= 4

2t=24+25+26

∑t= 4

2t=16+32+64

∑t= 4

2t=112

e.∑x=1

(x+3 )=(1+3 )+ (2+3 )+ (3+3 )+ (4+3 )

∑x=1

(x+3 )=4+5+6+7

∑x=1

(x+3 )=22

BAB 1 NOTASI Page 2

f.∑x=−4

2 x ( x−1 )=[2 (−4 ) (−4−1 ) ]+ [2 (−3 ) (−3−1 ) ]+[2 (−2 ) (−2−1 ) ]+ [2 (−1 ) (−1−1 ) ]+[2 (0 ) (0−1 ) ]+ [2 (1 ) (1−1 ) ]

∑x=−4

2 x ( x−1 )=−8 (−5 )+(−6 ) (−4 )+ (−4 ) (−3 )+ (−2 ) (−2 )+0 (−1 )+2 (0 )

∑x=−4

2 x ( x−1 )=40+24+12+4−1+0

∑x=−4

2 x ( x−1 )=79

1. Carilah nilai dari :a.

∑j=1

∑i=1

( i+ j )=∑i=1

(∑j=13

i+ j )∑j=1

∑i=1

(i+ j )=∑i=1

( (i+1 )+( i+2 )+( i+3 ) )

∑j=1

∑i=1

(i+ j )=∑i=1

(3 i+6 )

∑j=1

∑i=1

(i+ j )=(( (3×1 )+6 )+( (3×2 )+6 ) )

∑j=1

∑i=1

(i+ j )=(3+6 )+ (6+6 )

∑j=1

∑i=1

(i+ j )=9+12

∑j=1

∑i=1

(i+ j )=21

BAB 1 NOTASI Page 3

b.∑j=1

∑i=1

mij=(∑i=13

mi)(∑j=12

m j)∑j=1

∑i=1

mij=(m1+m2+m3 ) (m1+m2 )

∑j=1

∑i=1

mij=m12+m1m2+m1m2+m2

2+m1m3+m2m3

∑j=1

∑i=1

mij=m12+2m1m2+m2

2+m1m3+m2m3

c.∑y=1

∑x=2

(x+2y )=∑x=2

(∑y=13

x+2y)∑y=1

∑x=2

(x+2y )=∑x=2

(( x+21 )+(x+22 )+(x+23 ))

∑y=1

∑x=2

(x+2y )=∑x=2

( ( x+2 )+( x+4 )+( x+8 ) )

∑y=1

∑x=2

(x+2y )=∑x=2

(3 x+14 )

∑y=1

∑x=2

(x+2y )=((3 (2 )+4 )+(3 (3 )+4 )+ (3 (4 )+4 ) )

∑y=1

∑x=2

(x+2y )=(6+4 )+(9+4 )+ (12+4 )

∑y=1

∑x=2

(x+2y )=39

d.BAB 1 NOTASI Page 4

∑n=−2

∑m=−1

(2m+1 ) (n+2 )=( ∑m=−1

(2m+1 ))(∑n=−2

(n+2 ))∑n=−2

∑m=−1

(2m+1 ) (n+2 )= [ (2 (−1 )+1 )+ (2 (0 )+1 )+(2 (1 )+1 ) ]

[ (−2+2 )+(−1+2 )+(0+2 )+ (1+2 ) ]

∑n=−2

∑m=−1

(2m+1 ) (n+2 )= [−1+1+3 ] [0+1+2+3 ]

∑n=−2

∑m=−1

(2m+1 ) (n+2 )= (3 ) (6 )

∑n=−2

∑m=−1

(2m+1 ) (n+2 )=18

2. Nyatakan dalam bentuk Notasi ∑ :

a. 5+5+5+5

notasinya :∑i=1

5 (1 )i

b. (7−1 )+(7−2 )+ (7−3 )+ (7−4 )

notasinya :∑i=1

(7−i )

c. 2+5+8+11+14

notasinya :∑i=1

(3 i+2 )

d. (−6 )+ (−4 )+(−2 )+0+2+4

notasinya :∑i=−3

e. 1.22+2.32+3.42+4.52

notasinya :∑k=1

k ( k+1 )2

f. 3+32+33+34+35

notasinya=∑k=1

3. Nyatakan dalam notasi ∑ :

BAB 1 NOTASI Page 5

a. x11 y11+x12 y21+x13 y31+x14 y 41

notasinya :∑i=1

∑j=1

(x1 i y j1 )

b. ( p1+q1 )+ ( p2+q1 )+( p1+q2 )+( p2+q2 )+ ( p1+q3 )+( p2+q3 )

notasinya :

c. a41b13+a42b23+a43b33+a44 b43

notasinya : ∑i= j=1

a4 ib j 3

∏i=1

2=2.2 .2=8

b.∏k=2

3k=(3×2 ) (3×3 )

∏k=2

3k=6×9

∏k=2

c.∏y=1

∏x=1

xy=(∏x=12

x)(∏y=13

y )∏y=1

∏x=1

xy=(1.1 ) (2.1 ) (1.2 ) (2.2 ) (1.3 ) (2.3 )

∏y=1

∏x=1

xy=1.2.2 .4 .3 .6

∏y=1

∏x=1

xy=288

d.∏q=0

∏p=−1

( p+1 ) (q−1 )=[∏p=−1

(p+1 )][∏q=02

(q−1 )]BAB 1 NOTASI Page 6

∏q=0

∏p=−1

( p+1 ) (q−1 )=[ (−1+1 ) (0+1 ) (1+1 ) (2+1 ) (3+1 ) ] [ (0−1 ) (1−1 ) (2−1 ) ]

∏q=0

∏p=−1

( p+1 ) (q−1 )=(0×1×2×3 ) (−1×0×1 )

∏q=0

∏p=−1

( p+1 ) (q−1 )=0

∑m=2

∏n=1

(m−n )=¿∑m=2

(∏n=13

(m−n ))¿

∑m=2

∏n=1

(m−n )=¿∑m=2

( (m−1 ) (m−2 ) (m−3 ) )¿

∑m=2

∏n=1

(m−n )=¿∑m=2

(m2−3m+2 ) (m−3 ) ¿

∑m=2

∏n=1

(m−n )=¿∑m=2

(m3−6m2+9m−6 )¿

∑m=2

∏n=1

(m−n )=¿ ((23−6 (22 )+9 (2 )−6 )+(33−6 (32 )+9 (3 )−6 ) (43−6 (42 )+9 (4 )−6 ))¿

∑m=2

∏n=1

(m−n )=¿ (8−24+18−6 )+(27−54+27−6 )+ (64−96+36−6 ) ¿

∑m=2

∏n=1

(m−n )=¿ (−4 )+(−6 )+ (−2 )¿

∑m=2

∏n=1

(m−n )=¿−12¿

BAB 1 NOTASI Page 7

∏x=1

∑y=1

xy=∏x=1

(∑y=13

xy )∏x=1

∑y=1

xy=∏x=1

( x1+x2+x 3 )

∏x=1

∑y=1

xy=∏x=1

( x+2 x+3x )

∏x=1

∑y=1

xy=∏x=1

(6 x )

∏x=1

∑y=1

xy=(6×1 ) (6×2 )

∏x=1

∑y=1

xy=6×12

∏x=1

∑y=1

6. Perhatikan bahwa :1=12 2n−1=1 ,2n=2, n=1 , Sn=n2=12=1

1+3=4=22 2n−1=3 ,2n=4 , n=2 , Sn=n2=22=4

1+3+5=9=32 2n−1=5 ,2n=6 , n=3 , Sn=n2=32=9

1+3+5+7=16=42 2n−1=7 ,2n=8 , n=4 , Sn=n2=42=16

Dengan menggunakan pola yang Nampak carilah :a. 1+3+5+…+99

2n−1=99

2n=100

Sn=n2=502=2500

b. 1+3+5+…+5555

2n−1=5555

2n=5556

n=2778

Sn=n2=27782=771728

c. 1+3+5+…+1001 2n−1=1001

BAB 1 NOTASI Page 8

2n=1002

Sn=n2=5012=251001d. 1+3+5+…+99999

2n−1=99999

2n=100000

n=50000

Sn=n2=500002=25×108Dengan pengalaman menyelesaikan soal a, b,c, dan d :e. Carilah rumus untuk mencari 1+3+5+…+ (2n−1 )

1=1=12

1+3=4=22

1+3+5=9=32

Pola nampak dan dapat diduga dari tiga kasus atau keadaan diatas adalah :1+3+5+…+(2n−1 )=n2untuk setiapn∈N

f. Selidiki secara induksi matematis apakah rumus yang diperolh benar ?1+3+5+…+(2n−1 )=n2untuk setiapn∈N

(i) Missal n=1( (2×1 )−1 )=12

(2−1 )=1

1=1benar

(ii) Misal n=k

1+3+5+…+(2k−1 )=k2 , asumsikanbenar

(iii) Harus di tunjukkan n=k+1

BAB 1 NOTASI Page 9

1+3+5+…+(2k−1 )+(2 (k+1 )−1 )=( k+1 )2

k 2+2k+1=(k+1 )2

(k+1 )2=(k+1 )2

TERBUKTI

7. Perhatikan bahwa :11.2

=12=11−12

=16=12−13

=13− 14

a. Carilah 11.2+ 12.3

+ 12.3

=( 11−12 )+( 12−13 )11.2

+ 12.3

=6−3+3−26

+ 12.3

=46=23

b. Carilah 11.2+ 12.3

+ 13.4

+ 12.3

+ 13.4

=( 11−12 )+( 12−13 )+( 13−14 )11.2

+ 12.3

+ 13.4

=12−6+6−4+4−312

BAB 1 NOTASI Page 10

+ 12.3

+ 13.4

c. Carilah 11.2+ 12.3

+ 13.4

+ 14.5

+ 12.3

+ 13.4

+ 14.5

=( 11−12 )+( 12−13 )+( 13−14 )+( 14−15 )11.2

+ 12.3

+ 13.4

+ 14.5

=60−30+30−20+20−15+15−1260

+ 12.3

+ 13.4

+ 14.5

d. Berdasarkan pola yang anda duga, carilah rumus jumlah :11.2

+ 12.3

+ 13.4

+ 14.5

+…+ 1n (n+1 )

Jawab :Sn=

+ 12.3

+ 13.4

+ 14.5

+…+ 1n (n+1 )

=11−12

=12−13

=13−14

dst ⋮

1n (n+1 )

=1n− 1n+1

Sn=11− 1n+1

=n+1−1n+1

= nn+1

Sehinga dapat ditunjukan suatu pola bahwa :Sn=

+ 12.3

+ 13.4

+ 14.5

+…+ 1n (n+1 )

= nn+1

e. Selidiki dengan induksi matematis apakah rumus anda benar ?11.2

+ 12.3

+ 13.4

+ 14.5

+…+ 1n (n+1 )

= nn+1

(i) Missal n=11

1 (1+1 )= 11+1

12=12, Benar

(ii) Missal n=k

+ 12.3

+ 13.4

+ 14.5

+…+ 1k (k+1 )

= kk+1

, Asumsikanbenar

(iii) Harus ditunjukan n=k+1

+ 12.3

+ 13.4

+ 14.5

+…+ 1k (k+1 )

+ 1(k+1 ) (k+2 )

= k+1k+2

+ 1(k+1 ) (k+2 )

= k+1k+2

k (k+2 )+1(k+1 ) (k+2 )

= k+1k+2

k2+2k+1(k+1 ) (k+2 )

= k+1k+2

(k+1 ) (k+2 )(k+1 ) (k+2 )

= k+1k+2

k+1k+2

= k+1k+2

TERBUKTI8. Buktikan dengan induksi matematis :

a. 12+32+52+…+(2n−1 )2=13n (2n−1 ) (2n+1 )

(i) Missal n=1(2 (1 )−1 )2=13 (1 ) (2 (1 )−1 ) (2 (1 )+1 )

(1 ) (3 )

1=1 ,Benar

(ii) Missal n=k

12+32+52+…+(2k−1 )2=13k (2k−1 ) (2k+1 ) , Asumsikan Benar

(iii) Harus ditunjukan n=k+1

12+32+52+…+(2k−1 )2+ (2 ( k+1 )−1 )2=13 (k+1 ) (2 ( k+1 )−1 ) (2 (k+1 )+1 )

13k (2k−1 ) (2k+1 )+(2k+1 )2=1

3(k+1 ) (2k+1 ) (2k+3 )

(4 k3−k )+3 (4 k2+4 k+1 )3

(k+1 ) (2 k+1 ) (2k+3 )

4 k3+12k 2+11 k+33

(k+1 ) (2k+1 ) (2k+3 )

(k+1 ) (2k+1 ) (2k+3 )=13

( k+1 ) (2k+1 ) (2k+3 )

TERBUKTI

b. 1+4+7+10+…+ (3n−2 )=12n (3n−1 )

(i) Missal n=1(3n−2 )=1

2n (3n−1 )

(3 (1 )−2 )=12 (1 ) (3 (1 )−1 )

1=1 , Benar

(ii) Misal n=k

1+4+7+10+…+(3k−2 )=12k (3k−1 ) , AsumsikanBenar

(iii) Harus ditunjukkan n=k+1

1+4+7+10+…+(3k−2 )+ (3 (k+1 )−2 )=12 (k+1 ) (3 (k+1 )−1 )

12k (3k−1 )+ (3k+1 )=1

2(k+1 ) (3k+2 )

(3k2−k )+2 (3k+1 )2

(k+1 ) (3k+2 )

3k2+5k+22

(k+1 ) (3k+2 )

(k+1 ) (3k+2 )=12

( k+1 ) (3k+2 )

TERBUKTI

c. 1.3+2.4+3.5+…+n (n+2 )=16n (n+1 ) (2n+7 )

(i) Missal n=1BAB 1 NOTASI Page 14

n (n+2 )=16n (n+1 ) (2n+7 )

1 (1+2 )=16

(1 ) ( (1 )+1 ) (2 (1 )+7 )

1.3=16

(2 ) (9 )

(ii) Missal n=k

1.3+2.4+3.5+…+k ( k+2 )=16k (k+1 ) (2k+7 ) , AsumsikanBenar

(iii) Harus ditunjukkan n=k+1

1.3+2.4+3.5+…+k ( k+2 )+(k+1 ) ( (k+1 )+2 )=16 (k+1 ) ( (k+1 )+1 ) (2 (k+1 )+7 )

16k ( k+1 ) (2k+7 )+ (k+1 ) (k+3 )=1

6(k+1 ) (k+2 ) (2k+9 )

(k2+k ) (2k+7 )+6 (k2+4k+3 )6

(k+1 ) (k+2 ) (2k+9 )

(2k3+9k2+7k )+ (6k2+24 k+18 )6

( k+1 ) ( k+2 ) (2k+9 )

2k3+15k2+31k+186

(k+1 ) (k+2 ) (2k+9 )

( k+1 ) ( k+2 ) (2k+9 )=16

( k+1 ) ( k+2 ) (2k+9 )

TERBUKTI

9. Buktikan dengan induksi matematis :a. ∑

n2=16k ( k+1 ) (2k+1 ) , untuk setiap n∈Z+¿ ¿

12+22+32+…+k 2=16k (k+1 ) (2k+1 )

Harus ditunjukan n=k+1

12+22+32+…+k 2+( k+1 )2=16

(k+1 ) ( ( k+1 )+1 ) (2 ( k+1 )+1 )

16k ( k+1 ) (2k+1 )+(k2+2k+1 )=1

6(k+1 ) (k+2 ) (2 k+3 )

(k2+k ) (2k+1 )+6 (k2+2k+1 )6

(k+1 ) (k+2 ) (2k+3 )

(2k3+3k2+k )+(6k2+12k+6 )6

(k+1 ) (k+2 ) (2k+3 )

2k3+9k2+13k+66

(k+1 ) (k+2 ) (2k+3 )

( k+1 ) ( k+2 ) (2k+3 )=16

( k+1 ) ( k+2 ) (2k+3 ) , TERBUKTI

b. ∑m=1

m3={12 t ( t+1 )}2

13+23+33+43+…+m3={m2 (m+1 )}2

Bukti :(i) Untuk m=1

13={12 (1+1 )}2

1=1(ii) Untuk m=k

13+23+33+43+…+k3={k2 (k+1 )}2 ASUMSIKAN BENAR

(iii) Akan dibuktikan untuk m=k+1

13+23+33+43+…+k3+(k+1)3={k+12 ((k+1)+1 )}2

{k2 (k+1 )}2

+(k+1 )3={(k+1) (k+2 )2 }

{k2 (k+1 )}2

+(k+1 )2 (k+1 )={(k+1) (k+2 )2 }

(k+1 )2[ k222+ (k+1 )]={(k+1) (k+2 )2 }

(k+1 )2[ k2+4 k+422 ]={(k+1) (k+2 )2 }

{(k+1) (k+2 )2 }

={(k+1) (k+2 )2 }

TERBUKTI

c. ∑x=1

x ( x+1 )=13y ( y+1 ) ( y+2 ) , untuk setiap n∈Z+¿ ¿

1.2+2.3+3.4+…+ y ( y+1 )=13y ( y+1 ) ( y+2 )

Harus ditunjukkan x= y+1

1.2+2.3+3.4+…+ y ( y+1 )+ ( y+1 ) ( ( y+1 )+1 )=13 ( y+1 ) ( ( y+1 )+1 ) ( ( y+1 )+2 )

13y ( y+1 ) ( y+2 )+ ( y+1 ) ( y+2 )=1

3( y+1 ) ( y+2 ) ( y+3 )

( y2+ y ) ( y+2 )+3 ( y2+3 y+2 )3

( y+1 ) ( y+2 ) ( y+3 )

( y3+3 y2+2 y )+(3 y2+9 y+6 )3

( y+1 ) ( y+2 ) ( y+3 )

y3+6 y2+11 y+63

( y+1 ) ( y+2 ) ( y+3 )

( y+1 ) ( y+2 ) ( y+3 )=13

( y+1 ) ( y+2 ) ( y+3 ) , TERBUKTI

10. Buktikan dengan induksi matematis :a. 4 n<(n2−7 ) untuk semua nϵ Z dan n≥6Jawab :(i) Untuk n=6

4 (6)<((6)2−7 )24< (36−7 )

24<29 BENAR(ii) Untuk n=k

4 k<(k2−7 ) ASUMSIKAN BENAR(iii) Harus ditunjukkan bahwa n=k+1Karena 4 (k+1 )=4k+4dan 4k<(k2−7 )Maka :4 (k+1 )<{(k2−7 )+4 }4 (k+1 )<(k2−3 )Karena (k−6 )≥0untuk k ≥6 maka (k−6 )≥−3 untuk k ≥6 sehingga :4 (k+1 )<k 2+k−6

4 (k+1 )<k 2+2k−6(karena2k>k)

4 (k+1 )<k 2+2k+1−7

4 (k+1 )<(k+1)2−7TERBUKTIb. (cosθ+ isin θ )n=cosnθ+i sin nθ untuk semua n∈Z dann≥0

(i) Untuk n=0(cosθ+ isin θ )n=cosnθ+i sin nθ

(cosθ+ isin θ )0=cos0θ+i sin 0θ

1=1 , BENAR

Untuk n=1BAB 1 NOTASI Page 18

(cosθ+ isin θ )n=cosnθ+i sin nθ

(cosθ+ isin θ )1=cos1θ+ isin 1θ

cosθ+ isinθ=cosθ+i sinθ ,BENAR

(ii) Untuk n=k

(cosθ+ isin θ )k=coskθ+ isin kθ , ASUMSIKAN BENAR

(iii) Untuk n=k+1

(cosθ+ isin θ )k +1=cos (k+1)θ+ isin(k+1)θ

(cosθ+ isin θ )k (cosθ+i sinθ )=cos (kθ+θ )+isin (kθ+θ )

(cos kθ+i sin kθ)(cos θ+isin θ )=(coskθ cosθ−sin kθ sin θ )+¿

i(sin kθcosθ+coskθ sin θ)

cos kθ cosθ+cos kθ isin θ+i sin kθ cosθ+ i2 sin kθ sinθ=¿

cos kθ cosθ−sin kθ sin θ+i sin kθ cosθ+i coskθ sin θ

Karena i=√−1, dan i2=−1 maka :cos kθ cosθ+cos kθ isinθ+i sin kθcosθ+(−1)sin kθ sin θ=¿

cos kθ cosθ+cos kθ isin θ+i sin kθ cosθ−sin kθ sin θ=¿

cos kθ cosθ−sin kθ sin θ+i sin kθ cosθ+i coskθ sin θ=¿

TERBUKTIc. n<2n untuk semua nϵ ZJawab :(i) Untuk n=1

1<2→ BENAR(ii) Untuk n=k

k<2k k ϵ Z ,0<k maka 20<2k

20+k<2k+k<2k+2k

20+k<2k+2k

20+k<2.2k

1+k<2k+1

k+1<2k+1

TERBUKTId. n3−n habis dibagi oleh 3(i) Untuk S(1)=1

S (1 )=13−1

S (1 )=0

Benar ,0habis dibagi3(ii) Anggaplah S (k )Benar

S(k)=k3−k habis dibagi 3(iii) Harus ditunjukkan bahwa S(k+1) benar, yaitu :S (k+1 )= (k+1 )3−( k+1 )

S (k+1 )=k3+3k2+3k+1−k−1

S (k+1 )=(k¿¿3−k )+3k2+3k ¿Karena k3−k habis dibagi 3, maka k3−k mempunyai factor 3, sehingga k3−k dapat dinyatakan dengan 3 t. Dengan demikian :(k¿¿3−k )+3 (k 2+k )=3 t+3 (k2+k )¿ mempunyai factor 3(k¿¿3−k )+3 (k 2+k )¿habis dibagi 3Sehingga :S (k+1 )=(k¿¿3−k )+3 (k 2+k )¿

S (k+1 )=3t+3 (k2+k )

S (k+1 )=3 ( t+k 2+k ) habis dibagi 3, S (k+1 ) BENARTERBUKTI

e. 1+2+22+…+2n=2n+1−1

20+21+22+…+2n=2n+1−1(i) Untuk n=02n=2n+1−1

20=20+1−1

1=21−1

1=1 BENAR(ii) Untuk n=k

20+21+22+…+2k=2k+1−1, ASUMSIKAN BENAR(iii) Harus dibuktikan n=k+1

20+21+22+…+2k+2k +1=2( k+1) +1−1

2k +1−1+2k+1=2k+2−1

2.2k +1−1=2k +2−1

2k +2−1=2k +2−1 TERBUKTIf. 2n<n ! untuk semua nϵ Z dann≥4(i) Untuk n=42n<n!

2 (4 )<4 !

8<4×3×2×1!

2k<k !(iii) Harus dibuktikan untuk n=k+1

2 (k+1 )<(k+1 )!Dimana :(k+1 )!=1×2×3×…×k× (k+1 )(k+1 )!=(k ! )(k+1 )<2k (k+1 ) sebab 2k<k !2 (k+1 )<(k+1 )! sebab 2<2k

TERBUKTIg. ¿n2 untuk semua nϵ Z dann>4(i) Untuk n=5

32>25 BENAR(ii) Untuk n=k

2k>k 2(iii) Untuk n=k+1

2k +1> (k+1 )2

2k .21>( k+1 )221 karena 2k>k 2h. n !<nn untuk semua nϵ Z dann>1(i) Untuk n=2

2 !<22

2×1<4

k !<kk ASUMSIKAN BENAR(iii) Akan dibuktikan untuk n=k+1

(k+1 )!<¿

(k+1 )!=1×2×3×…×k× (k+1 )

(k+1 )!=k ! (k+1 )

(k+1 )!<kk (k+1 ) sebab k !<kk¿ (k+1 ) k (k+1 ) sebab (k+1 )<k sehingga (k+1 )k<kk

Maka:(k+1 )!<¿

TERBUKTIBAB 1 NOTASI Page 22

i. 3+3.5+3.52+…+3.5n= 34

(5n+1−1 )

3.50+3.51+3. 52+…+3.5n=34

(5n+1−1 )

(i) Untuk n=03.50=3

4(50+1−1 )

3.1=34

3=3 BENAR(ii) Untuk n=k

3.50+3.51+3.52+…+3.5k=34

(5k+1−1 ) ASUMSIKAN BENAR(iii) Harus ditunjukan n=k+1

3.50+3.51+3.52+…+3.5k+3.5k +1=34

(5(k +1)+1−1 )

(5k +1−1 )+3. 5k+ 1=34

(5k+2−1 )

34(5¿¿k+1)−3

4+3.5k+1=3

4(5k+2−1 )¿

(5¿¿k+1)−34=34

(5k+2−1 )¿

154.5k .51−3

(5k +2−1 )

754.5k−3

(5k +2−1 )

52.345k−3

(5k +2−1 )

(5k +2−1 )=34

(5k+2−1 )

TERBUKTI11. Apakah pernyataan :Jika n>2 maka tidak ada x , y , z∈Z+¿¿ yang memenuhi hubungan x2+ y2=z2 merupakan suatu konjektur ? mengapa ?BAB 1 NOTASI Page 23

Jawab :Teorema terakhir Fermat menyatakan bahwa tidak ada bilangan bulat bukan-nol yang memenuhi persamaan: xn + yn = zn dengan n bilangan bulat lebih besar dari 2. Hubungan antara teori Fermat dan Taniyama-Shimura Jika p adalah bilangan prima ganjil, dan a, b, c adalah bilangan bulat positif memenuhi ap+bp=cp, maka persamaan y = x(x - a² p)(x + bp) akan mendefinisikan sebuah kurva elips hipotetis kurva Frey, yang harusnya ada jika (dan hanya jika) teorema terakhir Fermat salah. Setelah karya Yves Hellegouarch yang pertama kali menyebutkan kurva ini, Frey menunjukkan bahwa jika kurva tersebut benar-benar ada, maka ia akan memiliki sifat-sifat yang aneh, dan mengusulkan bahwa kurva tersebut mungkin tidak memiliki bentuk modular.12. Carilah rumus jumlahnya dan buktikan dengan induksi matematis :

a. 12.4

+ 14 .6

+ 16 .8

+…+ 1(2n ) (2n+2 )

Sn=12 .4

+ 14 .6

+ 16 .8

+…+ 1(2n )(2n+2)

=12( 12−14)

=12( 14−16)

=12( 16−18)

1(2n ) (2n+2 )

=12 [ 1(2n )

− 1(2n+2 ) ]

12 [ 12− 1

(2n+2 ) ]=12 [n+1−12n+2 ]=12 [ n2n+2 ]

∴S (n )= 12 .4

+ 14 .6

+ 16 .8

+…+ 1(2n ) (2n+2 )

= n2 (2n+2 )

Pembuktian dengan induksi matematis :(i) Untuk n=1

1(2n ) (2n+2 )

= n2 (2n+2 )

1(2.1 ) (2.1+2 )

= 12 (2.1+2 )

18=18, BENAR

(ii) Untuk n=k

+ 14 .6

+ 16 .8

+…+ 1(2k )(2+2)

= k2(2k+2)

ASUMSIKAN BENAR(iii) Akan dibuktikan untuk n=k+1

+ 14 .6

+ 16 .8

+…+ 1(2k )(2+2)

+ 1¿¿

k2(2k+2)

+ 1(2 k+2)(2 k+4)

= k+12(2k+4)

k (2 k+4 )+22 (2k+2 )(2k+4)

= k+12(2k+4 )

2 (k+1 )(k+1)2 (2k+2 ) (2k+4 )

2(2k+4 )

k+12(2k+4 )

= k+12(2k+4)

b. 11.3

+ 13 .5

+ 15.7

+…..+ 1(2n−1 ) (2n+1 )

S (n )= 11 .3

+ 13 .5

+ 15 .7

+… ..+ 1(2n−1 )(2n+1)

=12 (11−13 )

=12 ( 13−15 )

=12 ( 15−17 )

1(2n−1 )(2n+1)

=12 [ 12n−1

− 12n+1 ]

S (n )=[ 11− 12n+1 ]=12 [ 2n+1−12n+1 ]= 12 [ 2n2n+1 ]

∴ S (n )= 11 .3

+ 13 .5

+ 15 .7

+… ..+ 1(2n−1 )(2n+1)

= n2n+1

Pembuktian dengan induksi matematis :(i) Untuk n=1

1(2n−1 ) (2n+1 )

= n2n+1

1(2.1−1 )(2.1+1)

= 12.1+1

13=13BENAR(ii) Untuk n=k

+ 13 .5

+ 15.7

+…..+ 1(2k−1 )(2k+1)

= k2k+1ASUMSIKAN BENAR(iii) Akan dibuktikan untuk n=k+1

+ 13 .5

+ 15.7

+…..+ 1(2k−1 )(2k+1)

+ 1(2 (k+1 )−1 )(2 (k+1 )+1)

= k+12 (k+1 )+1

+ 1(2k+1 )(2k+3)

= k+12k+3

k (2k+3 )+1(2k+1 )(2k+3)

= k+12k+3

2k2+3k+1(2k+1 )(2k+3)

= k+12k+3

(2k+1 ) ( k+1 )(2k+1 ) (2k+3 )

= k+12k+3

k+12k+3

= k+12k+3TERBUKTI

c.12.5

+ 15.8

+ 18 .11

+… ..+ 1(3n−1 ) (3n+2 )

S (n )= 12.5

+ 15.8

+ 18.11

+… ..+ 1(3n−1 )(3n+2)

=13 ( 12−15 )

=13 ( 15−18 )

=13 (18− 1

11 )⋮

1(3n−1 ) (3n+2 )

=13 ( 13n−1

− 13n+2 )

S (n )=13 [ 12− 1

3n+2 ]=13 [3n+2−26 n+4 ]=13 [ 3n6n+4 ]S (n )=[ n

6 n+4 ]∴ 12.5

+ 15.8

+ 18.11

+… ..+ 1(3n−1 ) (3n+2 )

=[ n6 n+4 ]Pembuktian induksi matematis :(i) Untuk n=1

1(3.1−1 ) (3.1+2 )

=[ 16.1+4 ]

,BENAR

(ii) Untuk n=k

+ 15.8

+ 18.11

+…..+ 1(3k−1 ) (3k+2 )

=[ k6 k+4 ]ASUMSIKAN BENAR(iii) Akan dibuktikan untuk n=k+1

+ 15.8

+ 18.11

+…..+ 1(3 k−1 ) (3k+2 )

+ 1(3 (k+1 )−1 ) (3 (k+1 )+2)

=[ k+16 (k+1)+4 ]

[ k2(3 k+2) ]+ 1

(3k+2 )(3k+5)=[ k+16k+10 ]

k (3k+5 )+22 (3k+2 )(3k+5)

= k+12(3 k+5)

3k2+5k+22 (3k+2 )(3k+5)

= k+12(3 k+5)

k+12(3k+5)

= k+12(3k+5)

TERBUKTI13. Buktikan bahwa:a. 3membagi (n3+2n )untuk semuabilangan bulat n≥0Bukti : ambil s (n )=n3+2n

(i) s (0 )benar , sebab s (0 )=(0 )3+2.0=0+0 , dan0habis dibagi5 (ii) anggaplah S (k )=k3+2k habis dibagi3 (iii) harus di tunjukanbahwah s (k+1 )benar yaitu :s (k+1 )= (k+1 )3+2 (k+1 )

¿k3+3 k 2+3 k+1+2k+2=k 3+3 k2+5 k+3habis dibagi 3

s (k+1 )=k3+3k2+5k+3¿k3+2 k+3 (k2+k+1)

s (k+1 )=(k 3+2k )+3(k2+k+1) karena k3+2k habis dibagi3 ,makak3+2k mempunyai faktor 3 ,sehinggak3+2k dapat diyatakandengan3 t . dengandemikian : k3+2k=3 t→mempunyai faktor3

k3+2k→habis dibagi3

3 (k+1 )=(k3+2k )+3 (k2+k )

∴ s (n ) salahuntuk semuan≥0

b. 5membagi (n5+n )untuk semuabilangan bulat n≥0

Bukti : ambil s (n )=n5+n

(i) s (0 )benar , sebab s (0 )=(0 )5+0=0+0 , dan0habis dibagi5 (ii) anggaplah5 (k )=k5+k habisdibagi5 (iii) harus ditunjukkanbahwa s ( k+1 )benar , yaitu :

5 (k+1 )=(k+1 )5+(k+1 )¿k5+5k 4+10k3+10k2+5k+1+k+1¿k5+5k 4+10k3+10k2+6k+2habis dibagi5

5 (k+1 )=k5+5 k4+10k3+10k2+6k+2¿ (k 5+k )+5k 4+10k3+10k2+5k+2

5 (k+1 )=(k5+k )+5 (k4+2k 3+2k 2+k )+2

karena k5+khabis dibagi5 ,maka k5+k mempunyai faktor 5 ,sehinggak5+k dapat dinyatakandengan5 t .dengandemikian k5+k=5 t mempunyai faktor 5 k5+k habisdibagi5 Sehingga :5 (k+1 )=(k5+k )+5 (k4+2k 3+2k 2+k )+2

¿5 t+5 (k 4+2k3+2k2+k )+2

¿5 (t+(k 4+2k3+2k2+k ))+2,2 tidakhabis dibagi5atau s (k+1 ) salah ∴ s (n ) salahuntuk semuan≥0

14. Tunjukkan apakah bilangan-bilangan berikut merupakan bilangan perfect :a. 8Pembagi - pembagi 8 yang positif adalah 1,2,4 , dan8Jumlah pembagi – pembagi 8 yang positif adalah :1+2+4+8=15≠2×8=16Jadi, 8 bukan bilangan perfect

b. 10Pembagi - pembagi 10 yang positif adalah 1,2,5 , dan10Jumlah pembagi – pembagi 10 yang positif adalah :1+2+5+10=18≠2×10=20Jadi, 10 bukan bilangan perfect

c. 15Pembagi - pembagi 15 yang positif adalah 1,3,5 , dan15Jumlah pembagi – pembagi 15 yang positif adalah :1+3+5+15=24≠2×15=30Jadi,15 bukan bilangan perfect

d. 100Pembagi - pembagi 100 yang positif adalah 1,2,4,5,10,20,25,50 dan100Jumlah pembagi – pembagi 100 yang positif adalah :1+2+4+5+10+20+25+100=217≠2×100=200Jadi,100 bukan bilangan perfect

e. 56Pembagi - pembagi 56 yang positif adalah 1,2,4,7,8,14,28 dan56Jumlah pembagi – pembagi 56 yang positif adalah :1+2+4+7+8+14+28+56=120≠2×56=112Jadi,56 bukan bilangan perfect

f. 210Pembagi - pembagi 210 yang positif adalah 1,2,3,5,6,7,10,21,30,35,42,70,105 ,dan210Jumlah pembagi – pembagi 15 yang positif adalah :1+2+3+5+6+7+10+21+30+35+42+70+105+210=547≠

2×210=420Jadi,210 bukan bilangan perfect15. Tunjukkan apakah bilangan-bilangan berikut bersekawanan :a. 96dan108

pembagi−pembagi 96 yang positif adalah1,2,3,4,6,8,12,16,24,32,48

jumlah pembaginyadari 96 yang positif adalah1+2+3+4+6+8+12+16+24+32+48=156

pembagi−pembagi108 yang positif adalah1,2,3,4,6,9,12,18,27,36,54

jumlah pembaginyadari 108 yang positif adalah1+2+3+4+6+9+12+16+18+27+36+54=172

jadi ,96 dan108bukanbilangan bersekawan

b. 256dan320pembagi−pembagi256 yang positif adalah1,2,4,8,16,32,46,128

jumlah pembaginyadari 256 yang positif adalah1+2+4+8+16+32+46+128=237

pembagi−pembagi 320 yang positif adalah1,2,4,5,8,10,16,20,32,40,64,80,160

jumlah pembaginyadari 320 yang positif adalah1+2+4+5+8+10+16+20+32+40+64+80+160=442

jadi ,256dan320bukanbilanganbersekawan

c. 1000d an1200pembagi−pembagi1000 yang positif adalah1 ,2,3 ,4 ,5 ,8 ,10 ,20 ,25 ,40 ,

50 ,100 ,125,200 ,250 ,500

jumlah pembaginyadari 1000 yang positif adalah1+2+4+5+8+10+20+25+40+50+100+125+200+250+500=1340

pembagi−pembagi1200 yang positif adalah

1,2,3,5,6,8,10,12,15,16,20,24,25,30,40,48,50,60,75 ,80,100,120,150,200,240,600

jumlah pembaginyadari 1200 yang positif adal ah1+2+3+5+6+8+110+12+15+16+20+24+25+30+40+48+50+60+75+80+100+120+150+200+240+600=1800

d. 5025dan7500BAB 1 NOTASI Page 31

pembagi−pembagi5025 yang positif adalah1,3,5,15,25,67,75,201,335 ,

1005,1675

jumlah pembaginyadari 96 yang positif adalah1+3+5+15+25+67+75+201+335+1005+1675=3407

pembagi−pembagi7500 yang positif adalah

1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,25,30,50,60,75,100,125,150,250,300,375,500,625,750 ,

1250,1500,1875,2500,3750

jumlah pembaginyadari 7500 yang positif adalah1+2+3+4+5+6+10+12+15+20+25+30+50+60+75+100+125+150+250+300+375+500+625+750+1250+1500+1875+2500+3750=14368

16. Buktikan dengan induksi matematis :a. Buktikan :2n≥ (1+n )untuk semuabilanganbulat n≥1

bukti :

(i) untuk n=121≥ (1+1)2≥2benar

(ii) untuk n=k2k ≥ (1+k )asumsikanbenar

(iii) akandi buktikanuntuk n=k+12k +1≥(1+(k+1)) 2k .2≥ (k+1 )2 2k +1≥k+1+k+1 2k +1≥k+1 terbukti

b. Buktikan:8membagi 32n−1untuk semuabilanganbulat n≥0

bukti :

(i) untuk n=132 (0 )−1=1−1=0 , dan0habis dibagi8.benar

(ii) untuk n=k32k−1habis dibagi8.asumsikanbenar

(iii) akandi buktikanuntuk n=k+132 (k +1)−1=32k .32−1

¿32k .32−32+32−1

¿32 (32k−1 )+8

karena32k−1habis dibagi8 ,maka 32k−1mempunyai faktor 8 , sehingga32.k−1=8 t .dengandemikian :

32 (32k−1 )+8=32 .8 t+8

¿8 (32 t+1 ) jugahabis dibagi8.terbukti c. buktikan :2n3−3n2+n+31≥0untuk semuabilangan bulat n≥−2

bukti :

(i) untuk n=−22(−2)3−3 (−2)2+(−2 )+31≥0 −16−12−2+31≥0

1≥0benar (ii) untuk n=k

2k3−3 k2+k+31≥0asumsikan benar (iii) akandibuktikan untuk n=k+1

2(k+1)3−3 (k+1)2+ (k+1 )+31≥0

2 (k3+3k2+3k+1 )−3 (k 2+2k+1 )+k+1+31≥0

2k3+6k2+6 k+2−3k2−6k−3+k+1+31≥0 (2k3−3k2+k+31 )+6 k2≥0 terbukti karena ,2k3−3k2+k+31≥0

d. buktikan :n!≥2nuntuk semuabilanganbulat n≥4

bukti :

(i) untuk n=4

4 !≥2 .4

4 .3.2 .1≥2 .4

24≥8benar

(ii) untuk n=k

k !≥2k asumsikanbenar

(iii) akandibuktikan untuk n=k+1

(k+1 )!≥2(k+1)

k ! (k+1 )≥2(k+1)

k ! (k+1 )≥2k+2

k !≥2k kembali keasumsi awal

(k+1 )!≥2 ( k+1 ) terbukti

e. buktikan : dxn

dx=nxn−1untuk semuabilangan bulat n≥0

(i) untuk n=0dx0

dx=(0 ) x0−1

0=0benar

(ii) untuk n=kdxk

dx=kxk−1asumsikanbenar

(iii) akandibuktikan untuk n=k+1 dxk+1

dx=(k+1)xk+1−1= (k+1 ) xk

dxk . xdx

=kxk−1 . x+1 . xk

¿kxk+xk ¿ xk (k+1 ) terbukti

17. Diketahui : A (0 )=2 dan A (n )=5 A (n−1). Tunjukkan : A (n )=5n untuk semua bilangan bulat n≥1Jawab :(i) Untuk n=1A (n )=5n

A (1 )=51

A (1 )=5 BENAR(ii) Anggaplah A (0 ) , A (1 ) , A (2 ) ,.. , A (k−2 ) , A (k−1 ) , A (k ) semua benar, yaitu :A (k )=5k

A (k−1 )=5k−1

A (k−2 )=5k−2

A (1 )=51(iii) Harus ditunjukkan bahwa A (k+1 ) benar, yaitu :A (k+1 )=5k+1

A (k )=5 A (k−1)

A (k+1 )=5 A ( (k+1 )−1 )

A (k+1 )=5 A ( k )

A (k+1 )=5 (5k )

A (k+1 )=5k+1TERBUKTI18. Diketahui B (1 )=1 dan B (n )=4+B(n−1). Tunjukkan : B (n )=4n−3 untuk semua bilangan bulat n≥2.Jawab :(i) B (3 )benar sebab4 (3 )−3=9(ii) Anggaplah B (0 ) ,B (1 ) ,… .. ,B (k−2 ) ,B (k−1 ) ,B (k ) semua benar yaitu :

B (k )=4k−3

B (k−1 )=4 ( k−1 )−3

B (k−2 )=4 (k−2 )−3

B (1 )=4 (1 )−3=1

B (0 )=4 (0 )−3=−3 (iii) Haruslah ditunjukkan bahwa B(k+1) benar, yaitu : B (k+1 )=4k+1

B (k )=4+B(k−1)

B(k+1)=4+B( (k+1 )−1)

B (k+1 )=4+B(k)

B (k+1 )=4+4k−3

B (k+1 )=4k+1 TERBUKTI19. Diketahui C (0 )=3 ,C (1 )=7 , danC (n )=3C (n−1 )−2C(n−2). Tunjukkan : C (n )=−1+4 (2n) untuk semua bilangan bulat n≥0Jawab :

(i) C (0 ) benar sebab −1+4 (20 )=−1+4 (1 )=3

C (1 ) benar sebab −1+4 (21 )=−1+4 (2 )=7(ii) Anggaplah C (0 ) ,C (1 ) ,…. ,C (k−2 ) ,C (k−1 ) ,C (k ) semua benar yaitu :C ( k )=−1+4(2k)

C ( k−1 )=−1+4 (2k−1)

C ( k−2 )=−1+4 (2k−2)

C (1 )=−1+4 (21 )=7

C (0 )=−1+4 (20 )=3 (iii) Haruslah ditunjukkan bahwa C ( k+1 ) benar yaitu : C ( k+1 )=−1+4(2k+1)

C ( k )=3C (k−1 )−2C (k−2 )

C ( k+1 )=3C {( k+1 )−1}−2C {(k+1 )−2 }

C ( k+1 )=3C (k )−2C (k−1 )

C ( k+1 )=3 (−1+4 (2k ))−2 (−1+4 (2k−1 ))

C ( k+1 )=3 {−1+22 .2k }−2 {−1+22. .2k−1}

C ( k+1 )=3 {−1+2.2k+1 }−2 {−1+2k+1 }

C ( k+1 )=−3+6.2k+1+2−2.2k+1

C ( k+1 )=−1+2k +1 (6−2 )

C ( k+1 )=−1+2k +1 (4 )

C ( k+1 )=−1+4(2k+1)

TERBUKTI

20.Diketahui D (0 )=2, D (1 )=7dan D (n )=D (n−1 )−2D(n−2). Tunjukkan : D (n )=3 (2n)−(−1)n untuk semua bilangan bulat n≥0Jawab :

(i) D (0 )benar sebab3 (20 )−¿

D (1 )benar sebab3 (21 )−(−1 )1=7(ii) Anggaplah D (0 ) ,D (1 ) ,…. ,D (k−2 ) ,D (k−1 ) ,D (k ) semua benar, yaitu :D (k )=3 (2k )−(−1)k

D (k−1 )=3 (2k−1 )−(−1)k−1

D (k−2 )=3 (2k−2 )− (−1 )k−2

D (1 )=3 (21 )− (−1 )1=7

D (0 )=3 (20 )−¿(iii) Harus ditunjukkan bahwa D (k+1 ) benar, yaitu :D (k+1 )=3 (2k+1 )−(−1)k+1

D (k )=D ( k−1 )−2D (k−2 )

D (k+1 )=D ((k+1)−1 )−2D((k+1)−2)

D (k+1 )=D (k )−2D ( k−1 )

D (k+1 )=(3 (2k )−(−1)k )−2(3 (2k−1 )−(−1)k−1) D (k+1 )=3 (2k )−(−1)k−2.3 (2k−1 )+2 (−1 )k−1

D (k+1 )=3 (2k )−3 (2k )+ (−1 )k−1+2¿

D (k+1 )=3 (−1)k−1Tidak Terbukti

21. Diketahui :F (0 )=2 ,F (1 )=5 ,F (2 )=15dan F (n )=6 F (n−1 )−11F (n−2 )+6 F (n−3). Tunjukkan : F (n)=1−2n+2(3n) untuk semua bilangan bulat n≥0.Jawab :(i) F (0 ) benar sebab1– 20+2 (30 )=1−1+2 (1 )=2

F (1 ) benar sebab1– 21+2 (31 )=1−2+2 (3 )=5

F (2 ) benar sebab1– 22+2 (32 )=1−4+2 (9 )=15(ii) Anggaplah F (0 ) , F (1 ) ,…. ,F (k−2 ) , F (k−1 ) ,F ( k ) semua benar, yaitu :F (k )=1−2k+2(3k )

F (k−1 )=1−2k−1+2(3k−1)

F (k−2 )=1−2k−2+2(3k−2)

F (2 )=1−22+2 (32 )=15

F (1 )=1−21+2 (31 )=5

F (0 )=1−20+2 (30 )=2(iii) Harus ditunjukkan bahwa :F (k+1 )benar yaitu :F (k+1)=1−2k+1+2(3k +1)

F (k )=6 F ( k−1 )−11F (k−2 )+6 F (k−3 )

F (k+1 )=6 F ((k+1)−1 )−11F ((k+1)−2 )+6 F((k+1)−3)

F (k+1 )=6 F (k )−11F (k−1 )+6 F (k−2 )

F (k+1 )=6 (1−2k+2 (3k ))−11 (1−2k−1+2 (3k−1 ))+6 (1−2k−2+2 (3k−2 ))

F (k+1 )=6−3.22 .2k+4.3 (3k )−11+11.2k−1−22.3k−1+6−3.2 .2k−2+3.22 .3k−2

F (k+1 )=6−11+6−12.2k−1+11.2k−1−3.2k−1+36.3k−1−22.3k−1+4.3k−1

F (k+1 )=1−4 (2k−1 )+18 (3k−1 )

F (k+1 )=1−2k+1+2(3k +1)

TERBUKTI

22. Carilah P (n )sebagai fungsi n dan selidiki dengan induksi matematis :a. P (n )=P (n−1 )+6 P (n−2 ) , n∈Z ,n≥2 , P (0 )=3 , P (1 )=6b. P (n )=7 P (n−1 )−10 P (n−2 ) , n∈Z ,n≥2, P (0 )=2 , P (1 )=1c. P (n )=5 P (n−2 )−4 P (n−4 ) , n∈Z ,n≥4 , P (0 )=3 , P (1 )=2 ,P (2 )=6 ,P (3 )=8

BAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com file · Web viewBAB I NOTASI -...

Documents

ailuropodamelanoleuca20.files.wordpress.com€¦ · Web viewBAB I. PENDAHULUAN. Latar Belakang. Dasar makanan yang paling baik untuk pertumbuhan bakteri ialah medium yang mengandung

notasi (D) - repository.uma.ac.id

vashayu95.files.wordpress.com file · Web viewBAB II. TINJAUAN PUSTAKA. Komponen Teknologi Elektronika. 2.1.1 LDR (Light Dependent Resistant) LDR singkatan dari . Light Dependent

smart1713.files.wordpress.com · Web viewBAB I. PENDAHULUAN. Latar Belakang. Sistem perbankan dalam ekonomi Islam didasarkan pada konsep pembagian baik keuntungan maupun kerugian

Notasi Lagu Daerah

noraini1119.files.wordpress.com€¦ · Web viewBAB 4: ETIKA PERNIAGAAN DAN TANGGUNGJAWAB SOSIAL. Maksud Etika. Pengukuran individu terhadap nilai-nilai moral berkenaan dengan mana

nikmah010990.files.wordpress.com€¦ · Web viewBAB I. PENDAHULUAN. LATAR BELAKANG MASALAH. Matematika adalah salah satu pelajaran yang terkesan sulit dan menakutkan bagi sebagian

02 notasi algoritma

ikawidianati66.files.wordpress.com file · Web viewBAB 1. PENDAHULUAN. Latar Belakang. Saat ini perkembangan teknologi Internet sudah mencapai perkembangan yang sangat pesat. Aplikasi

Notasi Leibniz

Notasi Sigma

Notasi Algoritmik - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/2b-Notasi_Algoritmik.pdf · Notasi Algoritmik(1) • Notasi ini dipakai sebagai standardpenulisanteks algoritma dapat

Makalah notasi ilmiah

martuadaniel10.files.wordpress.com · Web viewBAB I. PENDAHULUAN. Latar Belakang. ... Setiap bentuk sistem pengembangan memiliki kelebihan dan kekurangan masing – masing, hal

Notasi Big O

lugtyastyono60.files.wordpress.com€¦ · Web viewBAB VI. TEKNIK DAN BENTUK INSTRUMEN PENILAIAN BERDASARKAN KURIKULUM 2013. PENILAIAN PENCAPAIAN KOMPETENSI SIKAP. Pengertian. Sikap

Lampiran 1. Notasi Proses Perlakuan - repository.poliupg.ac.idrepository.poliupg.ac.id/219/8/Lampiran.pdf · Lampiran 1. Notasi Proses Perlakuan Tabel 7.1. Notasi Variabel Penelitian

DAFTAR NOTASI

rasp921484406.files.wordpress.com€¦ · Web viewBAB II. TINJAUAN PUSTAKA. Bagian ini memuat uraian sistematis tentang teori, pemikiran, dan hasil penelitian terdahulu yang ada

Notasi Uml