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Série SDurée de l'épreuve : 4 h
11 janvier 2017
Bac Blanc deMathématiques-----------------------------------------------
- Enseignement spécifique -
L’utilisation d’une calculatrice est autorisée. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
Exercice 1 : (5 points)( ) est le suite définie par = 0 et pour tout entier naturel : = .
1. On considère l'algorithme suivant :
Variables : est un réel et sont deux entiers naturels
Entrée : Saisir Traitement :
Sorties :
Affecter à la valeur 0Pour allant de 0 à Afficher Affecter à la valeur Fin Pour
Applique l'algorithme à la main lorsque la valeur saisie en entrée est = 3 ? Interpréter les résultats.2. a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel : ≥ .
b) En déduire la limite de la suite ( ).3. Démontrer que la suite ( ) est croissante sur N.4. Soit ( ) la suite définie, pour tout entier naturel par : = .
a) Démontrer que la suite ( ) est géométrique.b) En déduire que, pour tout entier naturel : = .
5. Soit A un réel positif.a) Pourquoi peut-on affirmer qu'il existe un entier tel que : ≥ ⇒ ≥ A ?b) Déterminer à l'aide de la calculatrice le plus petit entier tel que : ≥ ⇒ ≥ .c) Proposer un algorithme qui permet d'afficher la valeur de obtenue à la question précédente.n0
UN K
N
UK N
3U ¡ 2K + 3
n un n
un
un
vn n vn un ¡ n+ 1vn
n un 3n + n¡ 1
n0 n n0 un
n0 n n0 un 103
UU
un u0 n un+1 3un ¡ 2n+ 3
N
Exercice 2 : (5 points)1. Résoudre dans C l'équation :
( )( ) = 0. Donner les solutions sous forme algébrique.
2. On se place dans le plan complexe muni du repère orthonormé (O ; , ) d'unité 3 cm. On considère les nombres complexes = et = - . On note A et B les points d'affixes respectives et . a) Montrer que les points A et B appartiennent à un même cercle de centre O dont on précisera rayon.b) Placer les points A et B.c) Démontrer que le triangle OAB est rectangle et isocèle.d) K est le milieu du segment [AB]. Placer K et déterminer son affixe .
3. Soit C le point du plan tel que = .
a) Calculer l'affixe du point C.b) Placer le point C.c) Démontrer que le quadrilatère OACB est un carré.
4. Soit un nombre complexe distinct de . On pose : = .
a) Déterminer et tracer l'ensemble e des points M d'affixe du plan complexe tels que est un imaginaire pur.b) Déterminer et tracer l'ensemble f des points M d'affixe du plan complexe tels que | | = 1.
Exercice 3 : (2 points) Embarqué en mer sur son voilier, Arthur reçoit un sms de sa petite amie Bulle qui l'attend impatiemment au Monumen Nasional de Jakarta. Il se met donc à ramer à toute vitesse pour la rejoindre. En mer, Arthur progresse à la vitesse de 4 km.h mais il sait qu'une fois qu'il aura mis pied à terre, il pourra continuer à pied à la vitesse de 5 km.h . La situation est schématisée ci-dessous :
Arthur est en A tandis que Bulle est en B. On prend pour origine du repère le point O situé à la perpendiculaire de la côte passant par A. On souhaite déterminer la position du point H tel que le trajet A – H – B soit le plus rapide possible. Le trajet [AH] est parcouru à la rame, le trajet [HB] est parcouru à pied.On rappelle la formule = qui permet d'exprimer la vitesse en fonction de la distance et du temps.
1. On note OH = , en km, et la durée totale du parcours A – H – B, en heures. Montrer que pour tout réel de l'intervalle [0 ; 6] on a : = – ( )
2. Montrer que : =
3. A quel endroit de la côte, Arthur doit-il accoster pour rejoindre Bulle au plus vite ?
z
iz + 1 + ip3 z2 ¡ 2z + 4
1 + ip3a b
p3 + i a b
~u ~v
k
¡!OC
¡!OK
12
c
Zz¡az¡b
Z
z Z
z b
-1
-1
x t(x)
x t(x)px2 + 11
415 x¡ 6
vdt
t0(x) 5x¡4px2+1
20px2+1
Exercice 4 : (4 points)On se place dans l'espace, muni du repère orthonormé (O ; , , ).On donne les points A' (2 ; 0 ; 0), B' (0 ; 2 ; 0) et C' (0 ; 0 ; 3).
1. Justifier qu'une représentation paramétrique du plan (A'B'C') est :
avec ∈ R et ∈ R.
2. Donner une représentation paramétrique des droites (AC) et (BC).3. La droite (AC) coupe le plan (A'B'C') en K.
a) Placer K.b) Calculer les coordonnées de K.
4. On donne L (0 ; 4 ; - 3).a) Montrer que L, B et C sont alignés.b) Montrer que L appartient au plan (A'B'C').c) Placer L.
5. Déterminer l'intersection des plans (ABC) et (A'B'C')6. Démontrer que les droites (AB), (A'B') et (KL) sont parallèles.
¡!OA
¡!OB
¡!OC
8<:x = 2¡ t¡ 2sy = tz = 3s
t s
Exercice 5 : (4 points)
est la fonction définie sur ]- ∞ ; 3[ ∪ ]3 ; + ∞[ par : = .Un logiciel a permis d'obtenir la représentation graphique de la fonction ci-dessous :
1. Utiliser cette capture d'écran pour conjecturer :a) Les limites de en - ∞, + ∞ et en 3.
b) Une équation de l'asymptote verticale à cf.2. Vérifier par le calcul l'exactitude de vos conjectures.3. Dresser, en justifiant, le tableau des variations de .
4. Soit un réel strictement positif. Justifier que l'équation = admet exactement deux solutions sur R.
5. a) Déterminer les réels , et tels que, pour tout réel ≠ 3 : = + .
b) Déterminer [ ] et [ ]. Quelle conséquence graphique peut-on en déduire ?
f f(x)2(x¡4)2x¡3
cf
f
xa b c f(x)c
x¡3ax+ b
limx!-1
f(x)¡ (ax+ b) f (x)¡ (ax+ b)limx!+1
f
f
mf(x) m
Correction du bac blanc de janvier 2017Exercice 1 : ( ) est le suite définie par = 0 et pour tout entier naturel : = .
1. On considère l'algorithme suivant : Variables : est un réel
et sont deux entiers naturelsEntrée : Saisir Traitement :
Sorties :
Affecter à la valeur 0Pour allant de 0 à Afficher Affecter à la valeur Fin Pour
Applique l'algorithme à la main lorsque la valeur saisie en entrée est = 3 ? Interpréter les résultats.
Valeur de 0 1 2 3Valeur de affichée 0 3 × 0 – 2 × 0 + 3 = 3 3 × 3 – 2 × 1 + 3 = 10 3 × 10 – 2 × 2 + 3 = 29
Les valeurs affichées correspondent à : = 0 ; = 3 ; = 10 et = 292. a) On note : p( ) : « ∀ ∈ N, ≥ »
Démontrons que la propriété p( ) est vraie par récurrence :
▪ Initialisation :Pour = 0 on a : = 0 ≥ 0. Donc p(0) est vraie.
▪ Hérédité :Soit ∈ N. Démontrons que si p( ) est vraie alors p( ) l'est aussi, c'est-à-dire que ≥ .Si p( ) est vraie alors : ≥
≥ car > 0 ≥
≥ Or : ∀ ∈ N, = et : > On en déduit : ≥ .Ce qui signifie que p( ) est vraie.
▪ Conclusion : p(0) est vraie et la propriété p( ) est héréditaire donc : ∀ ∈ N, ≥
b) ∀ ∈ N, ≥ et : = + ∞.On en déduit, d'après le théorème de comparaison : = + ∞.
3. Démontrons que la suite ( ) est croissante sur N, c'est-à-dire que : ∀ ∈ N, ≥ .∀ ∈ N, – = – = = Or, on a démontré à la question 2a que : ∀ ∈ N, ≥ ⇔ ≥ 0On en déduit : ∀ ∈ N, ≥ ≥ 0 ⇔ – ≥ 0 ⇔ ≥ .Ainsi, la suite ( ) est croissante sur N.
4. Soit ( ) la suite définie, pour tout entier naturel par : = .a) ∀ ∈ N, = = =
= = On en déduit que la suite ( ) est géométrique de raison 3.
b) La suite ( ) est géométrique de raison = 3.Calcul du 1er terme : = = 0 – 0 + 1 = 1On en déduit : ∀ ∈ N, = = Or : ∀ ∈ N, = ⇔ = = .
un n
vn n vn un ¡ n+ 1
vn
K
nn
n
u0n
kk k + 1
k
uk+1 k + 1
uk k3uk 3k 33uk ¡ 2k 3k ¡ 2k3uk ¡ 2k + 3 k + 3
uk+1
uk+1 3uk ¡ 2k + 3 k + 3 k + 1k
k + 1
k + 1
n n un n
n un n nlimn!+1
limn!+1
un
un n unun+1n un+1 un 3un ¡ 2n+ 3 un 2un ¡ 2n+ 3 2(un ¡ n) + 3
n un n un ¡ n2(un ¡ n) + 3n un+1 un un+1 un
un
3
n vn+1 un+1 ¡ (n+ 1) + 1 3un ¡ 2n+ 3¡ n¡ 1 + 1 3un ¡ 3n+ 33(un ¡ n+ 1)vn+1 3vn
vnv0 u0 ¡ 0 + 1
n vn v0 £ qn 3n
q
vn un ¡ n+ 1 un 3n + n¡ 1n
un u0 n un+1 3un ¡ 2n+ 3
UN K
N
UK N
UU 3U ¡ 2K + 3
U
N
u0 u1 u2 u3
vn + n¡ 1
5. Soit A un réel positif.a) On a démontré à la question 2b que : = + ∞.On en déduit que, par définition d'une suite divergente vers + ∞, il existe un entier tel que :
≥ ⇒ ≥ A.
b) En utilisant le tableur de la calculatrice on voit que : = et = ≥ = .De plus, la suite ( ) est croissante sur N.On en déduit que le plus petit entier tel que : ≥ ⇒ ≥ est : =
c) L'algorithme suivant permet d'afficher la valeur de obtenue à la question précédente :
Variables : est un réel est un entier naturel
Traitement : Affecter à la valeur 0Affecter à la valeur 0Tant que < Affecter à la valeur + 1 Affecter à la valeur (*)Fin Tant que
Sortie : Afficher
(*) ou Affecter à la valeur
Exercice 2 :1. Résolvons dans C l'équation :
( )( ) = 0. Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul. Donc :
( )( ) = 0 ⇔ = 0 ou = 0
= 0 ⇔ = - ⇔ = = = = -
Résolvons à présent l'équation = 0 dans C :∆ = = = = - < 0L'équation admet deux solutions complexes conjuguées :
= = = = et : =
Finalement, l'ensemble des solutions de l'équation ( )( ) = 0 est :
S = {- ; ; }
2. On se place dans le plan complexe muni du repère orthonormé (O ; , ) d'unité 3 cm. On considère les nombres complexes = et = - . On note A et B les points d'affixes respectives et .
a) OA = | | = | | = = = = 2
De même : OB = | | = | - | = = = 2OA = OB = 2. On en déduit que les points A et B appartiennent au cercle de centre O et de rayon 2.b) Les points A et B sont sur le cercle c de centre O et de rayon 2. De plus, A a pour affixe = tandis que B a pour affixe = - . On en déduit que A est le point du cercle d'abscisse 1 et que B et celui d'ordonnée 1. Ce qui permet de placer A et B (voir figure en fin d'exercice).
n0n n0 un
n0 n n0 un 103
n0
iz + 1 + ip3 z2 ¡ 2z + 4
~u ~va 1 + i
p3 b
p3 + i a b
limn!+1
un
un
u6 734 u7 2193 1031000
n0 7
UN
UU 1000
N
N NU 3N +N ¡ 1
N
iz + 1 + ip3 iz 1¡ i
p3 z
-1¡ip3
i(-1¡i
p3)i
i2-i¡i2
p3
-1
z2 ¡ 2z + 4b2 ¡ 4ac
p3 + i
(-2)2 ¡ 4£ 1£ 4 4¡ 16 12
z1-b¡i
pj¢j
2a2¡ip12
22¡2i
p3
21¡ i
p3 1 + i
p3z2
iz + 1 + ip3 z2 ¡ 2z + 4
p3 + i 1 + i
p3 1¡ i
p3
iz + 1 + ip3 z2 ¡ 2z + 4 iz + 1 + i
p3 z2 ¡ 2z + 4
1 + ip3
q12 + (
p3)2
p1 + 3
p4
p4
p3 + i
q(-p3)2 + 12
a¡ 0
b¡ 0
a 1 + ip3 b
p3 + i
3U ¡ 2(N ¡ 1) + 3U
c) OA = OB = 2. Donc le triangle OAB est isocèle en O.De plus : BA = | | = | | = | |
BA = = = = D'une part : AB = 8 D'autre part : OA + OB = 2 + 2 = 4 + 4 = 8Donc : AB = OA + OBOn en déduit, d'après la réciproque du théorème de Pythagore que le triangle OAB est rectangle en O.
d) K est le milieu du segment [AB] donc : = = = +
3. Soit C le point du plan tel que = .
a) = ⇔ = 2 ⇔ = ⇔ = = +
b) On a : = si et seulement si K est le milieu de [OC], c'est-à-dire si et seulement si C est le symétrique de O par rapport à K. Ce qui permet de placer le point C.
c) Le quadrilatère OACB est un parallélogramme puisque ses diagonales [AB] et [OC] se coupent en leur milieu K. On a démontré à la question 2c que le triangle OAB est à la fois rectangle et isocèle en O.On en déduit que les côtés consécutifs [OA] et [OB] sont à la fois perpendiculaires et de même longueur. Par conséquent, le parallélogramme OACB est un carré.
4. Soit un nombre complexe distinct de . On pose : = .
a) Soit ≠ . On pose : = où et sont deux réels.
= = = =
=
=
=
= +
M ( ) ∈ e ⇔ est un imaginaire pur ⇔ ∈ R ⇔ Re ( ) = 0
M ( ) ∈ e ⇔ = 0 ⇔ = 0
M ( ) ∈ e ⇔ = 0M ( ) ∈ e ⇔ = 0M ( ) ∈ e ⇔ M ( ) ∈ e ⇔ ⇔
On reconnaît l'équation cartésienne du cercle c' de centre K ( ; ) et de rayon . doit être distinct de = - . Vérifions si le point B (- ; 1) appartient à ce cercle :
= = = = = . Ainsi, B appartient au cercle c'.
Finalement, l'ensemble e est le cercle de centre K ( ; ) et de rayon , privé du point B.
¡!OK
12
¡!OC
z b Zz¡az¡b
a¡ b 1 + ip3 +
p3¡ i (1 +
p3) + i(
p3¡ 1)q
(1 +p3)2 + (
p3¡ 1)2
p1 + 2
p3 + 3 + 3¡ 2
p3 + 1
p8 2
p2
2
2 2 2 2
2 2 2
ka+b2
1+ip3¡p3+i
21¡p3
2 ip3+12
¡!OK
12
¡!OC
¡!OC
¡!OK c¡ 0 2(k ¡ 0) c 2k i1¡
p3 (
p3 + 1)
¡!OK
12
¡!OC
Zz¡az¡b
z b z x+ iy x yx+iy¡1¡i
p3
x+iy+p3¡i
x+iy¡1¡ip3
(x+p3)+i(y¡1)
(x+iy¡1¡ip3)[(x+
p3)¡i(y¡1)]
[(x+p3)+i(y¡1)][(x+
p3)¡i(y¡1)]
Z
Z
Z
Zx2+x(
p3¡1)+y2¡y(1+
p3)
(x+p3)2+(y¡1)2 i
x(1¡p3)+y(
p3+1)¡4
(x+p3)2+(y¡1)2
z Z Z
zx2+x(
p3¡1)+y2¡y(1+
p3)
(x+p3)2+(y¡1)2 x2 + x(
p3¡ 1) + y2 ¡ y(1 +
p3)
z (x+p3¡12 )2 ¡ (
p3¡12 )2 + (y ¡ 1+
p3
2 )2 ¡ (1+p3
2 )2
z (x+p3¡12 )2 ¡ 3¡2
p3+1
4 + (y ¡ 1+p3
2 )2 ¡ 1+2p3+34
z (x+p3¡12 )2 + (y ¡ 1+
p3
2 )2 = 84
z
1¡p3
21+p3
2
p2
(-p3 +
p3¡12 )2 + (1¡ 1+
p3
2 )2 ( -2p3+p3¡1
2 )2 + (2¡1¡p3
2 )2 ( -p3¡12 )2 + (1¡
p3
2 )2
( -p3¡12 )2 + (1¡
p3
2 )2 3+2p3+1
4 + 1¡2p3+34
84
(x+p3¡12 )2 + (y ¡ 1+
p3
2 )2 = 2
2
p3
1¡p3
21+p3
2
p2
(x+p3¡12 )2 + (y ¡ 1+
p3
2 )2 =p22
Z i
[(x¡1)+i(y¡p3)][(x+
p3)+i(1¡y)]
(x+p3)2+(y¡1)2
(x¡1)(x+p3)¡(y¡
p3)(1¡y)+i[(y¡
p3)(x+
p3)+(x¡1)(1¡y)]
(x+p3)2+(y¡1)2
(x2+p3x¡x¡
p3¡y+y2+
p3¡p3y)+i(xy+
p3y¡
p3x¡3+x¡xy¡1+y)
(x+p3)2+(y¡1)2
z bp3 + i
b) M ( ) ∈ f ⇔ | | = 1 ⇔ | | = 1 ⇔ ≠ et | | = | |M ( ) ∈ f ⇔ M ≠ B et AM = BMUn point est équidistant des extrémités d'un segment si et seulement s'il appartient à la médiatrice de ce segment. De plus, A et B étant distincts, si M appartient à la médiatrice de [AM], M est nécessairement distinct de B. On en déduit que l'ensemble f est la médiatrice de [AB].
Exercice 3 : Embarqué en mer sur son voilier, Arthur reçoit un sms de sa petite amie Bulle qui l'attend impatiemment au Monumen Nasional de Jakarta. Il se met donc à ramer à toute vitesse pour la rejoindre. En mer, Arthur progresse à la vitesse de 4 km.h mais il sait qu'une fois qu'il aura mis pied à terre, il pourra continuer à pied à la vitesse de 5 km.h . La situation est schématisée ci-dessous :
Arthur est en A tandis que Bulle est en B. On prend pour origine du repère le point O situé à la perpendiculaire de la côte passant par A. On souhaite déterminer la position du point H tel que le trajet A – H – B soit le plus rapide possible. Le trajet [AH] est parcouru à la rame, le trajet [HB] est parcouru à pied.On rappelle la formule = qui permet d'exprimer la vitesse en fonction de la distance et du temps.
1. On note OH = , en km. Le triangle OAH étant rectangle en O on a, d'après le théorème de Pythagore :AH = OH + OA = + 1. On en déduit : AH = .On note la durée totale du parcours A – H – B, en heures. = ⇔ = En mer, Arthur avance à la vitesse de 4 km.h , tandis qu'à pied il avance à 4 km.h . Donc : ∀ ∈ [0 ; 6], = + = + = + = – ( )
z Zz¡az¡b z ¡ bz ¡ az b
z
e
f
c
-1
-1
vdt
x
t(x) vdt t
dv
-1 -1
t(x)xAH4
BH5
px2+14
OB¡OH5
px2+14
6¡x5
14
px2 + 1
15 x¡ 6
2 2 2 2xpx2 + 1
2. ∀ ∈ [0 ; 6], = – ( ) = –
On en déduit : = – = × – × 1
= – =
3. ∀ ∈ [0 ; 6], ≥ 0. On en déduit que a le même signe que . > 0 ⇔ > 0 ⇔ > ⇔ > > 0 ⇔ > 0 ⇔ > 0
Le polynôme du 2nd degré est du signe contraire de 9 entre ses racines (- et ). On en déduit le tableau de variations suivant :
0 6
– +
La fonction admet un minimum en = .
Ainsi, pour rejoindre Bulle au plus vite, Arthur doit accoster au point H de [OB] tel que OH = km.
Exercice 4 : On se place dans l'espace, muni du repère orthonormé (O ; , , ).On donne les points A' (2 ; 0 ; 0), B' (0 ; 2 ; 0) et C' (0 ; 0 ; 3).
1. Le point A' (2 ; 0 ; 0) appartient au plan (A'B'C').
De plus, les vecteurs non colinéaires et dirigent le plan (A'B'C').
Le vecteur étant colinéaire au vecteur , on en déduit que :
, avec ∈ R et ∈ R, est une représentation paramétrique du plan (A'B'C').
Autre méthode : On peut également vérifier que le système donné a des solutions lorsqu'on remplace ,et par les coordonnées des points A', B' et C'.
2. La droite (AC) passe par A (1 ; 0 ; 0) et est dirigée par .
Donc : , avec ∈ R, est une représentation paramétrique de la droite (AC).
La droite (BC) passe par B (0 ; 1 ; 0) et est dirigée par .
Donc : , avec ∈ R, est une représentation paramétrique de la droite (BC).
3. La droite (AC) coupe le plan (A'B'C') en K.a) Le point K est le point d'intersection des droites (AC) et (A'C') qui est incluse dans le plan (A'B'C').
¡!OA
¡!OB
¡!OC
t0(x)
5x¡4px2+1
20px2+1
t(x)14
px2 + 1 1
5 x¡ 614
15
pu(x) v(x)
14
15
u0(x)
2pu(x)
v0(x) 14
15
2x2px2+1
t0(x) 1£4£px2+1
5£4px2+1
5£x5£4
px2+1
x 20px2 + 1 t0(x) 5x¡ 4
px2 + 1
5x¡ 4px2 + 1 5x 4
px2 + 1 25x2 16(x2 + 1)t0(x)
t0(x) 9x2 ¡ 16 (3x¡ 4)(3x+ 4)9x2 ¡ 16
x
x 43
43
43
t0(x)
t(x)
O
43t x
43
¡¡!A’B’
0@-220
1A ¡¡!
A’C’
0@-203
1A
~u¡¡!A’B’
0@-110
1A
8<:x = 2¡ t¡ 2sy = tz = 3s
t s
¡!AC
0@-101
1A
k
8<:x = 1¡ ky = 0z = k
¡!BC
0@ 0-11
1A
8<:x = 0y = 1¡ k0z = k0
k0
xy z
b) K est le point d'intersection de (A'B'C') : et de (AC) :
Pour déterminer K on résout le système suivant :
⇔ ⇔ ⇔
Puis on remplace par - 3 dans le système d'équations paramétriques de (AC) :
⇔ Finalement, K a pour coordonnées (4 ; 0 ; - 3).
4. On donne L (0 ; 4 ; - 3).
a) On a : et : . On constate que : =
Les vecteurs et sont colinéaires donc les droites (LC) et (LB) sont parallèles, avec un point commun. On en déduit que les points L, B et C sont alignés.
b) On a L (0 ; 4 ; - 3) et (A'B'C') : , avec ∈ R et ∈ R,
⇔ ⇔
On en déduit que L est le point du plan (A'B'C') de paramètres = 4 et = - 1.c) L (0 ; 4 ; - 3). On note P (0 ; 4 ; 0) et Q (0 ; 0 ; -3)On place L en construisant le parallélogramme OPLQ.Remarque : On peut aussi placer L en tant que point d'intersection des droites (BC) et (B'C'). Ces droitesétant sécantes, leur point d'intersection est également le point d'intersection de (BC) et du plan (A'B'C').
5. On sait que L appartient à (A'B'C').De plus, puisque les points L, B et C sont alignés, L appartient à (BC) qui est incluse dans (ABC).Donc : L ∈ (ABC) ∩ (A'B'C'). De même : K ∈ (ABC) ∩ (A'B'C'). On en déduit que : (KL) = (ABC) ∩ (A'B'C').
6. On a , et
On en déduit : = 2 = 4 Ces trois vecteurs étant colinéaires, les droites (AB), (A'B') et (KL) sont parallèles.
8<:x = 2¡ t¡ 2sy = tz = 3s
8<:x = 1¡ ky = 0z = k
8<:1¡ k = 2¡ t¡ 2s0 = tk = 3s
8<:1¡ 3s = 2¡ 2st = 0k = 3s
8<:-s = 1t = 0k = 3s
8<:s = -1t = 0k = -3
k8<:x = 1 + 3y = 0z = -3
8<:x = 4y = 0z = -3
¡!LB
0@ 0-33
1A ¡!
LC
0@ 0-44
1A ¡!
LC43
¡!LB
¡!LC
¡!LB
8<:x = 2¡ t¡ 2sy = tz = 3s
t s
8<:0 = 2¡ t¡ 2s4 = t-3 = 3s
8<:0 = 2¡ 4¡ 2st = 4s = -1
8<:s = -1t = 4s = -1
t s
¡¡!A’B’
0@-220
1A¡!
AB
0@-110
1A ¡!
KL
0@-440
1A
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Exercice 5 :
est la fonction définie sur ]- ∞ ; 3[ ∪ ]3 ; + ∞[ par : = .Un logiciel a permis d'obtenir la représentation graphique de la fonction ci-dessous :
1. Utiliser cette capture d'écran pour conjecturer :a) On peut conjecturer : = - ∞ = + ∞ = - ∞ = + ∞
b) La droite d'équation = 3 semble être asymptote verticale à cf.
2. ∀ ∈ ]- ∞ ; 3[ ∪ ]3 ; + ∞[, = = = La limite en l'infini d'une fonction rationnelle est celle du quotient de ses termes de plus hauts degrés.
Donc : = = = = - ∞.De même : = = + ∞. Etude des limites à gauche et à droite de 3 :
= = = > 0De plus, on a : < 3 ⇔ < 0. On en déduit : = et =
Ainsi, par quotient de limites, on a : = = - ∞ et : = = + ∞
3. ∀ ∈ ]- ∞ ; 3[ ∪ ]3 ; + ∞[, = =
= =
= = =
2 > 0 et ∀ ∈ ]- ∞ ; 3[ ∪ ]3 ; + ∞[, > 0. Donc a le même signe que le polynôme du 2nd degré .∆ = = 36 – 32 = 4 > 0On en déduit deux racines distinctes :
= = = = 2 et = = = 4Le trinôme est du signe de = 1 > 0 à l’extérieur des racines.
f f(x)2(x¡4)2x¡3
f
cf
f(x)limx!-1
f(x)limx!+1
limx!3x<3
f(x) f(x)limx!3x>3
x
f(x)2(x¡4)2x¡3x
2(x2¡8x+16)x¡3
2x2¡16x+32x¡3
limx!-1
f(x) limx!-1
2x2¡16x+32x¡3 lim
x!-12x2
x limx!-1
2x
f(x) 2xlimx!+1
limx!+1
limx!3
2(x¡ 4)2 2(3¡ 4)2 2£ (-1)2 2
limx!3x<3
x¡ 3 x¡ 3 0+limx!3x>3
0¡
limx!3x<3
f(x) limx!3x<3
2(x¡4)2x¡3 f(x)
2(x¡4)2x¡3lim
x!3x>3
limx!3x>3
x¡ 3x
x f(x) 2x2¡16x+32x¡3
u(x)v(x)
f 0(x)u0(x)v(x)¡v0(x)u(x)
v2(x)(4x¡16)(x¡3)¡1(2x2¡16x+32)
(x¡3)24x2¡12x¡16x+48¡2x2+16x¡32
(x¡3)2f 0(x) 2x2¡12x+16(x¡3)2
x (x¡ 3)2f 0(x)
2(x2¡6x+8)(x¡3)2
x2 ¡ 6x+ 8b2 ¡ 4ac
x1-b¡p¢
2a6¡p4
26¡22 x2
-b+p¢
2a6+22
x2 ¡ 6x+ 8 a
Enfin : = = = - 8 et : = = = 0 On en déduit le tableau de variations de :
- ∞ 2 3 4 + ∞+ – – +
- 8- ∞ - ∞
+ ∞ + ∞0
4. Soit un réel strictement positif. ▪ D'après le tableau de variations, on sait que le maximum de la fonction sur ]- ∞ ; 3[ est - 8.
étant strictement positif, l'équation = n'a pas de solution sur ]- ∞ ; 3[. ▪ La fonction est continue et strictement décroissante sur l'intervalle ]3 ; 4].
∀ ∈ ]3 ; 4], ∈ [0 ; + ∞[ et > 0.Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation = admet une unique solution sur ]3 ; 4].
▪ La fonction est continue et strictement croissante sur l'intervalle ]4 ; + ∞[.∀ ∈ ]4 ; + ∞[, ∈ ]0 ; + ∞[ et > 0.Donc l'équation = admet une unique solution sur ]4 ; + ∞[
Finalement, l'équation = admet exactement deux solutions sur R.
5. a) Déterminons les réels , et tels que, pour tout réel ≠ 3 : = + .
= + = = =
Or : =
On en déduit, par identification : ⇔ ⇔
⇔ ⇔
Finalement, pour tout réel ≠ 3 : = + .
b) Pour tout réel ≠ 3, on a : = +
Donc : = On a : = - ∞ et = + ∞.
On en déduit, par quotient de limites : = et = .Ainsi : [ ] = et [ ] = .On en déduit que la droite d'équation = est asymptote oblique à la courbe c en - ∞ et en + ∞
m
f(x) m
a b c x f(x) ax+ bc
x¡3
limx!-1
limx!+1
f
x
f 0(x)
f(x)
f(2)2(2¡4)22¡3
2£4-1 f(4)
2(4¡4)24¡3
2£01
f(x) mm
f
f
x f(x) m
f(x) m
®f
x f(x) m
¯
f(x) m
f(x) ax+ bc
x¡3(ax+b)(x¡3)+c
x¡3ax2¡3ax+bx¡3b+c
x¡3ax2+(b¡3a)x+(c¡3b)
x¡3
f(x)2x2¡16x+32
x¡3 8<:a = 2b¡ 3a = -16c¡ 3b = 32
8<:a = 2b¡ 6 = -16c¡ 3b = 32
8<:a = 2b = -16 + 6c¡ 3b = 328<
:a = 2b = -16 + 6c¡ 3b = 32
8<:a = 2b = -10c+ 30 = 32
8<:a = 2b = -10c = 2
x f(x) 2x¡ 10 2x¡3
f(x) 2x¡ 10 2x¡3x
f(x)¡ (2x¡ 10) 2x¡3
x¡ 3limx!-1
x¡ 3limx!+1
limx!-1
limx!+1
2x¡3
2x¡30¡ 0+
f(x)¡ (2x¡ 10) 0¡ f(x)¡ (2x¡ 10) 0+
2x¡ 10y f
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