BELİRLİ İNTEGRAL

KONUNUN AŞAMALARIKONUNUN AŞAMALARI

KAPALI ARALIĞIN PARÇALANMASI

KAPALI ARALIĞIN PARÇALANMASI

BELİRLİ İNTEGRAL VE İNTEGRALLENEBİLİR FONKSİYON

BELİRLİ İNTEGRAL VE İNTEGRALLENEBİLİR FONKSİYON

BELİRLİ İNTEGRALİN ÖZELLİKLERİ

BELİRLİ İNTEGRALİN ÖZELLİKLERİ

KAPALI ARALIĞIN PARÇALANMASI

KAPALI ARALIĞIN PARÇALANMASI

a b

x0 < x1<x2<x3<......<xk-1<xk<.......<xn-1<xn

P={x0 ,x1,x2,x3,......,xk-1,xk, ......., xn-1,xn }

[a,b] aralığının bir parçalanması (bölüntüsü)

[a,b] aralığının bir parçalanması (bölüntüsü)

Her bir [xk-1, xk] kapalı alt aralığı için;

Her bir [xk-1, xk] kapalı alt aralığı için;

xk= xk –xk-1 sayısı xk= xk –xk-1 sayısı

[xk-1, xk] kapalı alt aralığının uzunluğu

[xk-1, xk] kapalı alt aralığının uzunluğu

x1= x1 –x0 x1= x1 –x0

x2= x2 –x1 x2= x2 –x1

x3= x3 –x2 x3= x3 –x2

xn= xn –xn-1 xn= xn –xn-1

....................

Alt aralıkların uzunlukları olmak üzere

Alt aralıkların uzunlukları olmak üzere

[a.b] aralığının uzunluğu

[a.b] aralığının uzunluğu

b-a = x1+ x2+ x3+..........+ xn

b-a = x1+ x2+ x3+..........+ xn

x1= x1 –x0 x1= x1 –x0

x2= x2 –x1 x2= x2 –x1

x3= x3 –x2 x3= x3 –x2

xn= xn –xn-1 xn= xn –xn-1

....................

Alt aralıklarının uzunlukları

birbirine eşitse

Alt aralıklarının uzunlukları

birbirine eşitse

P bölüntüsüne P bölüntüsüne

[a,b] aralığının DÜZGÜN BÖLÜNTÜSÜ denir.

[a,b] aralığının DÜZGÜN BÖLÜNTÜSÜ denir.

P düzgün bir bölüntü ise;

P düzgün bir bölüntü ise;

[a,b] aralığını, n eşit parçaya bölen P bölüntüsü-nün herhangi bir alt aralığının uzunluğu, P bölün- tüsünün normunu (aralık genişliğini) verir.

[a,b] aralığını, n eşit parçaya bölen P bölüntüsü-nün herhangi bir alt aralığının uzunluğu, P bölün- tüsünün normunu (aralık genişliğini) verir.

xk=n

ab = P

ÖRNEK:

ÖRNEK:

[2,7] ARALIĞI İÇİN

[2,7] ARALIĞI İÇİN

P={2,11/3,16/3,7} bölüntüsü, düzgün bir bölüntüdür.

P={2,11/3,16/3,7} bölüntüsü, düzgün bir bölüntüdür.

x1=

x1=

3

52

3

11 x2=

x2=

3

5

3

11

3

16 x3=

x3=

3

5

3

167

3

5

3

27P

3

5

3

27P

m1m2

m3 m4mn

y=f(x)

x1 x3x2 xk xn

x

y

0 a=x0 x1 x2 x3.......xk-1 xk ..........xn-1 xn=b

ALT TOPLAMALT TOPLAM

)P,f(A

n

1kkk x.m Δ nn2211 x.m......x.mx.m ΔΔΔ

M1M2

M3 MKMn

y=f(x)

x1 x3x2 xk xn

x

y

0 a=x0 x1 x2 x3.......xk-1 xk ..........xn-1 xn=b

ÜST TOPLAMÜST TOPLAM

)P,f(Ü

n

1kkk x.M Δ nn2211 x.M......x.Mx.M ΔΔΔ

x

y

0

y=f(x)

a=x0 t1 x1 t2 x2

f(t1)

x1

f(t2)

x2

xk-1 xktk

f(tk)

xk

xn-1 xntn

xn

f(tn)

RİEMANN TOPLAMIRİEMANN TOPLAMI

)P,f(R

n

1kkk x).t(f Δ

nn2211 x).t(f......x).t(fx).t(f ΔΔΔ

n

1kkk x).t(f Δ

n

1kkk x.M Δ

n

1kkk x.m Δ

Alt Toplam

Rieman Toplamı

Üst Toplam

Bu toplamlar arasındaki sıralama

ÖRNEK:

ÖRNEK:

f:[0,2] R, f(x)=x2 fonksiyonu için;

f:[0,2] R, f(x)=x2 fonksiyonu için;

[0,2] aralığını, 4 eşit parçaya bölerek;

[0,2] aralığını, 4 eşit parçaya bölerek;

Alt toplamınıAlt toplamını

Üst toplamını

Üst toplamını

Riemann toplamını bulalım:

Riemann toplamını bulalım:

x1= x2= x3= x4=

2

1

4

02

4

ab

P={0, 1/2 , 1 , 3/2 , 2}

P, düzgün bir bölüntü olduğundan

P, düzgün bir bölüntü olduğundan

Alt toplamı

Alt toplamı

y=x2

)P,f(A

n

1kkk x.m Δ

m1=f(0)=0m1=f(0)=0 m2=f(1/2)=1/4m2=f(1/2)=1/4

m3=f(1)=1m3=f(1)=1 m4=f(3/2)=9/4m4=f(3/2)=9/4

)P,f(A

n

1kkk x.m Δ 44332211 x.mx.mx.mx.m ΔΔΔΔ

2

1

4

9

2

11

2

1

4

1

2

10 2

1

4

9

2

11

2

1

4

1

2

10

4

74

7

y

x0 1/2 1 3/2 2

Üst toplamı

Üst toplamı

y=x2

y

x0 1/2 1 3/2 2

)P,f(Ü

n

1kkk xΔ.M

M1=f(1/2)=1/4M1=f(1/2)=1/4 M2=f(1)=1/4M2=f(1)=1/4

M3=f(3/2)=9/4M3=f(3/2)=9/4 M4=f(2)=4M4=f(2)=4

)P,f(Ü

n

1kkk xΔ.M 44332211 xΔ.MxΔ.MxΔ.MxΔ.M

21

421

49

21

121

41

21

421

49

21

121

41

4

15415

Riemann toplamı:

Riemann toplamı:

y=x2

y

x0 1/2 1 3/2 2

)P,f(R

n

1kkk xΔ).t(f

2xx

)t(f k1kk

2xx

)t(f k1kk

41

221

0t1

4

12

21

0t1

43

2

121

t2

43

2

121

t2

45

223

1t3

4

52

23

1t3

47

2

223

t4

47

2

223

t4

41

43

45

47

)P,f(Ü

n

1kkk xΔ.M 44332211 xΔ.MxΔ.MxΔ.MxΔ.M

)P,f(Ü 4321 xΔ).47

(fxΔ).45

(fxΔ).43

(fΔ).41

(f

21

1649

21

1625

21

169

21

161

821821

f:[a,b] R sınırlı bir fonksiyon ve [a,b] aralığının bir bölüntüsü P olsun.

s)P,f(Ülim)P,f(Alim0P0P

ise, f fonksiyonu, [a,b] aralığında İNTEGRALLENEBİ-LİR FONKSİYONDUR. Bu “s” sayısına da, f fonksiyo- nunun [a,b] aralığındaki BELİRLİ İNTEGRALİ denir.

sdx).x(fb

a

sdx).x(fb

a

0P olması ne demektir?

[a,b] aralığının, [xk-1,xk] alt aralıklarının uzunlukla-rının SIFIRA yaklaşması demektir.

Bu durumda, alt ve üst toplamlarda elde edilen dik- dörtgenlerin taban uzunlukları küçülecek ve dolayısı ile, alt ve üst toplam birbirine yaklaşacaktır.

Bu durumda, alt ve üst toplamlarda elde edilen dik- dörtgenlerin taban uzunlukları küçülecek ve dolayısı ile, alt ve üst toplam birbirine yaklaşacaktır.

P parçalanması, düzgün bir parçalanma

olduğundan;

P parçalanması, düzgün bir parçalanma

olduğundan;

n0P

b

a

n

1kkkn

dx).x(fxΔ).t(flim

b

a

n

1kkkn

dx).x(fxΔ).t(flim

ÖRNEK:

3

0

2dxx belirli integralini, tanıma göre hesaplayalım:

[0,3] aralığını, n eşit parçaya bölersek;

[0,3] aralığını, n eşit parçaya bölersek;

k{0,1,2,....,n} için,

k{0,1,2,....,n} için, n

3n

03n

abxΔP k

n

3n

03n

abxΔP k

;seçilirseolarakxΔ.kat kk ;seçilirseolarakxΔ.kat kk

nk3

n3

.k0tk nk3

n3

.k0tk

n

1kP

3

0

2

n3

).nk3

(flimdxx

n

1kP

3

0

2

n3

).nk3

(flimdxx

n

1k

23P

n

1k2

2

Pk

n27

limn3

nk9

lim

n

1k

23P

n

1k2

2

Pk

n27

limn3

nk9

lim

6

)1n2).(1n.(nn27

lim30P

6

)1n2).(1n.(nn27

lim30P

3

23

n n6)nn3n2.(27

lim

3

23

n n6)nn3n2.(27

lim

96

2.279

62.27

3

0

2 9dxx 3

0

2 9dxx

İNTEGRAL HESABIN TEMEL TEOREMİ

İNTEGRAL HESABIN TEMEL TEOREMİ

f: [a,b] R fonksiyonu, [a,b] aralığında integralle-nebilen bir fonksiyon olsun. F:[a,b] R fonksiyonu(a,b) aralığında türevli ve x(a,b) için, F’(x)=f(x)ise,

.dır)a(F)b(F)x(Fdx)x(fb

a

b

a .dır)a(F)b(F)x(Fdx)x(f

b

a

b

a

ÖRNEK:

:bulalımegraliniintbelirlidx)4x3(2

1 :bulalımegraliniintbelirlidx)4x3(

2

1

dx)4x3( cx42

x3 2

142.42

2.3)2(F

2

142.42

2.3)2(F

2

2

111.4

2

1.3)1(F

2

2

111.4

2

1.3)1(F

2

2

17

2

1114)1(F)2(Fdx)4x3(

2

1

2

17

2

1114)1(F)2(Fdx)4x3(

2

1

f ve g fonksiyonları, [a,b] aralığında integralle-nebilir iki fonksiyon ve a,b,c R ise;

b

a

b

a

b

a

dx)x(gdx)x(fdx)]x(g)x(f[ b

a

b

a

b

a

dx)x(gdx)x(fdx)]x(g)x(f[

π

2/π

dx)xcosxsin.3( = π

2/π

xdxsin.3 + π

2/π

xdxcos

= 3(-cosx)

+ sinx

3(-cosx)

+ sinx

-3.[(cos - cos(/2)]

+ [sin - sin (/2)]

[-3.((-1)+3.0)] + (0-1)

2 2

b

a

b

a

dx)x(f.cdx)x(f.c b

a

b

a

dx)x(f.cdx)x(f.c

8

3

8

3

dx.xln.4dx.xln.4 8

3

8

3

dx.xln.4dx.xln.4

5

1

35

1

3 dx.x.5dx.x.5

5

1

35

1

3 dx.x.5dx.x.5

6

2

6

2 xdx

.3xdx.3

6

2

6

2 xdx

.3xdx.3

a

a

0dx)x(f a

a

0dx)x(f

0dx.xln3

3

0dx.xln3

3

0dx.x1

1

3

0dx.x1

1

3

0xdx2

2

0xdx2

2

a

b

b

a

dx)x(fdx)x(f a

b

b

a

dx)x(fdx)x(f

5

1

1

5

22 dxx3dxx3 5

1

1

5

22 dxx3dxx3

1241125153x

.3 335

1

3

1241125153x

.3 335

1

3

124)124()1251()51(3x

.3 331

5

3

124)124()1251()51(3x

.3 331

5

3

c

b

b

a

c

a

dx)x(fdx)x(fdx)x(f c

b

b

a

c

a

dx)x(fdx)x(fdx)x(f

[a,c] aralığında integrallenebilir bir f fonksiyonu için, a<b<c ise;