View
230
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Bevis i Geometri
Kristian RanestadMatematisk Institutt, Universitetet i Oslo
23. April, 2012
Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Bevis i Geometri
Matematikk
- a regne
- a resonnere/argumentere
Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Bevis i Geometri
Geometri -hvorfor?
Argumentasjon og bevis, mer enn regning etter oppskrifter.
Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Bevis i Geometri
Geometri i skolen
Grunnskolen:-Figurer, maling og første formler-Konstruksjon-Kongruens og formlikhet
Videregaende skole:-Trigonometri og flere formler-Geometri med og uten koordinater (vektorer og likninger vssyntetisk geometri)
Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Bevis i Geometri
Grunnlag for argumentasjon og bevis
Nar vi argumenterer bruker vi kjente begreper og setninger.
Begreper: Trekant, vinkel,samsvarende vinkler, midtnormal etc
Setninger: Vinkelsumsetningen, Pytagoras,kongruenssetningene, formlikhetssetningene etc
Av hver slag er det ikke sa mange vi trenger!
Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Bevis i Geometri
Argumentasjon inngar ofte nar en skal beregne vinkler ellersider i en trekant.
I andre oppgaver kreves argumentasjon, men nesten ikkeberegninger.
Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Bevis i Geometri
Formlike trekanter
To trekanter 4ABC og 4DEF er formlike,
4ABC ∼ 4DEF ,
dersom vinklene er parvis like, altsa ∠A = ∠D, ∠B = ∠E og∠C = ∠F og de tilsvarende sidekantene er proporsjonale, detvil si
AB
DE=
BC
EF=
AC
DF.
A B
C
D E
F
Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Bevis i Geometri
Formlikhetssetningen
4ABC ∼ 4DEF hvis og bare hvis et av følgende fire kriterierer oppfyllt:
1. Trekantene har to parvis like vinkler.2. Trekantene har en lik vinkel, og de tilhørende sidekantene
er proporsjonale, for eksempel er ∠A = ∠D og ABAC
= DEDF
3. Sidekantene er parvis proporsjonale, for eksempel erABDE
= BCEF
= ACDF
.4. Forholdet mellom lengdene til sidekantene er det samme i
de to trekantene, for eksempel er ABBC
= DEEF
og BCAC
= EFDF
A B
C
D E
F
Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Bevis i Geometri
Kongruente trekanter
To trekanter 4ABC og 4DEF er kongruente,
4ABC ∼= 4DEF ,
dersom vinklene er parvis like,
∠A = ∠D, ∠B = ∠E , ∠C = ∠F
og de tilsvarende sidekantene er like,
AB = DE , BC = EF , AC = DF .
A B
C
D E
F
Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Bevis i Geometri
Kongruenssetningen
4ABC ∼= 4DEF hvis og bare hvis et av følgende fire kriterierer oppfyllt:
1. Trekantene har parvis like sider (SSS),
AB = DE , BC = EF , AC = DF .
2. I de to trekantene er en vinkel og de tilhørendesidekantene like (SAS),
∠A = ∠D, AB = DE , AC = DF .
3. I de to trekantene er to vinkler og den mellomliggendesidekanten like (ASA),
∠A = ∠D, ∠B = ∠E , AB = DE .
4. I de to trekantene er to sider og den motstaende vinkelentil den største av disse like (SSA),
AB = DE ≥ BC = EF , ∠C = ∠F .Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Bevis i Geometri
Oppgave
Vis at to vinkler i en trekant er like hvis og bare hvis to vinkleri trekanten er like.
Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Bevis i Geometri
Oppgave
Vis at to vinkler i en trekant er like hvis og bare hvis to sider itrekanten er like.
Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Bevis i Geometri
Hjelpetegning
A B
C
D
Vil vise:
∠A = ∠B ⇔ 4ADC ∼= 4BDC ⇔ AC = BC
Det vil si (siden resten følger av definisjonen av kongruens):
∠A = ∠B ⇒ 4ADC ∼= 4BDC ⇐ AC = BC
Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Bevis i Geometri
Definisjoner er viktige!
A B
C
D
Hvilken linje er CD? Midtnormal pa AB , normal fra C ,halveringslinje til ∠C , median fra C ?
Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Bevis i Geometri
A B
C
D
Kan CD være midtnormal? I sa fall pastar man at normalenfra C deler AB pa midten, eller at midtnormalen pa AB gargjennom C . Begge deler ma vi argumentere for....
Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Bevis i Geometri
A B
C
D
Hvis CD er normalen fra C , kan vi bruke kongruenssetningen.4ADC og 4BDC er da rettvinklede med felles katet, Hvis∠A = ∠B er de kongruente, og hvis hypotenusene AC og BCer like store, sa er de ogsa kongruente.
Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Bevis i Geometri
A B
C
D
Hvis CD halverer ∠C , kan vi bruke kongruenssetningen. I4ADC og 4BDC er CD felles og vinklene i C like store. Hvis∠A = ∠B er alle vinklene parvis like store mens en side erfelles, sa trekantene er kongruente. Hvis AC og BC er likestore, sa er de ogsa kongruente.
Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Bevis i Geometri
Mer
Halveringslinjesetningen. I en trekant 4ABC vil ei linjegjennom hjørnet C dele linjestykket AB innvendig i forholdetACCB
hvis og bare hvis linja halverer vinkelen i C .
AB
C
D
La linja skjære AB i D. Da sier setningen:
AC
CB=
AD
DB⇔ ∠ACD = ∠DCB
Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Bevis i Geometri
Bevis av halveringslinjesetningen
A B
C
D
E
Bevis. Trekk linja gjennom A parallelt med BC til skjæring Emed linja gjennom CD. Da er
∠AED = ∠BCD, sa 4ADC ∼ 4BDC ogAD
DB=
AE
BC.
Men
AE = AC ⇔ ∠AED = ∠ACD ⇔ ∠BCD = ∠ACD,
sa ACCB
= ADDB
⇔ ∠ACD = ∠DCB og setningen følger.Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Bevis i Geometri
Motivasjon
Hva med et mer overraskende resultat?
Noe jeg kanskje ikke visste fra før?
Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Bevis i Geometri
Cevas setning
La D,E ,F være punkter pa sidekantene henholdsvis BC , ACog AB i trekanten 4ABC . Da gar linjene AD, BE og CFgjennom samme punkt hvis og bare hvis
AF
FB· BD
DC· CE
EA= 1.
A B
C
D
E
F
Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Bevis i Geometri
Bevis av Ceva
Først skal vi vise at dersom linjene AD, BE og CF gargjennom samme punkt, sa gjelder produktrelasjonen. Vi kallerderfor det felles skjæringspunktet for P . Sa lager vi enhjelpefigur: Trekk en linje gjennom C parallell med AB , ogforleng AD og BE til skjæring i henholdsvis G og K meddenne linja.
A B
C
D
E
F
KG
Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Bevis i Geometri
Bevis av Ceva, fortsettelse
Da har følgende par av trekanter toppvinkler og samsvarendevinkler ved parallelle linjer. De har derfor parvis like vinkler oger formlike.
4ABD ∼ 4CDK
4ABE ∼ 4CEG
4AFP ∼ 4KCP
4FBP ∼ 4CGP
Da er sidekantene parvis proporsjonale:
BD
CD=
AB
CK,
CE
EA=
CG
AB
AF
FP=
CK
CP,
FP
FB=
CP
CG
Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Bevis i Geometri
Bevis av Ceva, fortsettelse
Mulipliserer vi de to venstresidene i de to siste ligningene medhverandre, og tilsvarende med høyre sidene far vi
AF
FB=
CK
CG
Multipliserer vi venstresiden i denne, med venstresidene i de toførste, og tilsvarende med høyresidene far vi:
AF
FB· BD
CD· CE
EA=
CK
CG· AB
CK· CG
AB
Men pa høyre side er faktorene i teller de samme somfaktorene i nevner, sa vi kan forkorte og far
AF
FB· BD
CD· CE
EA=1.
Dermed er første del av setningen vist.Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Bevis i Geometri
Bevis av Ceva, fortsettelse
For a vise motsatt vei, antar vi at produktrelasjonen holder forpunktene D,E ,F (uten a anta at de tre linjene har et fellespunkt). Altsa at
AF
FB· BD
CD· CE
EA=1.
Anta sa videre at AD og BE møtes i punktet P , og atforlengelsen av linja CP treffer AB i G . Av første del vet vi atproduktrelasjonen holder for punktene D,E ,G , sa
AG
GB· BD
CD· CE
EA=1
Sammenligner vi de to produktrelasjonene far vi
AF
FB=
AG
GB
Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Bevis i Geometri
Bevis av Ceva, fortsettelse
Na legger vi til 1, skrevet pa en spesiell mate, pa begge siderog far
AF
FB+
FB
FB=
AG
GB+
GB
GB,
AF + FB
FB=
AG + GB
GBog
AB
FB=
AB
GB.
Derfor FB = GB , sa F og G er samme punkt. Dermed er ogsaandre del av setningen vist.
Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Bevis i Geometri
Bruk av Ceva
SetningMedianene i en trekant har et felles punkt.
Bevis: Hvis
AF = FB ,BD = CD,CE = EA
sa erAF
FB· BD
CD· CE
EA=1 · 1 · 1 = 1.
Sa setningen følger av Ceva.
A B
C
DE
F
Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Bevis i Geometri
Mer bruk av Ceva
SetningHøydene i en trekant har et felles punkt.
SetningHalveringslinjene for vinklene i en trekant har et felles punkt.
kan begge vises ved hjelp av Ceva’s setning.
Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Bevis i Geometri
Viktige bevisteknikker i plangeometri
- syntetiske (kongruens/formlikhet, geometriske steder)- analytiske (koordinater, likninger, vektorer, algebra)
Se hefte til evu-kurs i geometri pa siden:www.mn.uio.no/math/personer/vit/ranestad/foredrag-norske/
Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Bevis i Geometri
Takk for oppmerksomheten
Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Bevis i Geometri
Recommended