Bevis i Geometri i skolen Grunnskolen:-Figurer, m aling og f˝rste formler-Konstruksjon-Kongruens og formlikhet Videreg aende skole:-Trigonometri og ere formler-Geometri med og uten

Bevis i Geometri

Kristian RanestadMatematisk Institutt, Universitetet i Oslo

23. April, 2012

Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Bevis i Geometri

Matematikk

- a regne

- a resonnere/argumentere


Geometri -hvorfor?

Argumentasjon og bevis, mer enn regning etter oppskrifter.


Geometri i skolen

Grunnskolen:-Figurer, maling og første formler-Konstruksjon-Kongruens og formlikhet

Videregaende skole:-Trigonometri og flere formler-Geometri med og uten koordinater (vektorer og likninger vssyntetisk geometri)


Grunnlag for argumentasjon og bevis

Nar vi argumenterer bruker vi kjente begreper og setninger.

Begreper: Trekant, vinkel,samsvarende vinkler, midtnormal etc

Setninger: Vinkelsumsetningen, Pytagoras,kongruenssetningene, formlikhetssetningene etc

Av hver slag er det ikke sa mange vi trenger!


Argumentasjon inngar ofte nar en skal beregne vinkler ellersider i en trekant.

I andre oppgaver kreves argumentasjon, men nesten ikkeberegninger.


Formlike trekanter

To trekanter 4ABC og 4DEF er formlike,

4ABC ∼ 4DEF ,

dersom vinklene er parvis like, altsa ∠A = ∠D, ∠B = ∠E og∠C = ∠F og de tilsvarende sidekantene er proporsjonale, detvil si

AB

DE=

BC

EF=

AC

DF.

A B

C

D E

F


Formlikhetssetningen

4ABC ∼ 4DEF hvis og bare hvis et av følgende fire kriterierer oppfyllt:

1. Trekantene har to parvis like vinkler.2. Trekantene har en lik vinkel, og de tilhørende sidekantene

er proporsjonale, for eksempel er ∠A = ∠D og ABAC

= DEDF

3. Sidekantene er parvis proporsjonale, for eksempel erABDE

= BCEF

= ACDF

.4. Forholdet mellom lengdene til sidekantene er det samme i

de to trekantene, for eksempel er ABBC

= DEEF

og BCAC

= EFDF

A B

C

D E

F


Kongruente trekanter

To trekanter 4ABC og 4DEF er kongruente,

4ABC ∼= 4DEF ,

dersom vinklene er parvis like,

∠A = ∠D, ∠B = ∠E , ∠C = ∠F

og de tilsvarende sidekantene er like,

AB = DE , BC = EF , AC = DF .

A B

C

D E

F


Kongruenssetningen

4ABC ∼= 4DEF hvis og bare hvis et av følgende fire kriterierer oppfyllt:

1. Trekantene har parvis like sider (SSS),

AB = DE , BC = EF , AC = DF .

2. I de to trekantene er en vinkel og de tilhørendesidekantene like (SAS),

∠A = ∠D, AB = DE , AC = DF .

3. I de to trekantene er to vinkler og den mellomliggendesidekanten like (ASA),

∠A = ∠D, ∠B = ∠E , AB = DE .

4. I de to trekantene er to sider og den motstaende vinkelentil den største av disse like (SSA),

AB = DE ≥ BC = EF , ∠C = ∠F .Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Bevis i Geometri

Oppgave

Vis at to vinkler i en trekant er like hvis og bare hvis to vinkleri trekanten er like.


Oppgave

Vis at to vinkler i en trekant er like hvis og bare hvis to sider itrekanten er like.


Hjelpetegning

A B

C

D

Vil vise:

∠A = ∠B ⇔ 4ADC ∼= 4BDC ⇔ AC = BC

Det vil si (siden resten følger av definisjonen av kongruens):

∠A = ∠B ⇒ 4ADC ∼= 4BDC ⇐ AC = BC


Definisjoner er viktige!

A B

C

D

Hvilken linje er CD? Midtnormal pa AB , normal fra C ,halveringslinje til ∠C , median fra C ?


A B

C

D

Kan CD være midtnormal? I sa fall pastar man at normalenfra C deler AB pa midten, eller at midtnormalen pa AB gargjennom C . Begge deler ma vi argumentere for....


A B

C

D

Hvis CD er normalen fra C , kan vi bruke kongruenssetningen.4ADC og 4BDC er da rettvinklede med felles katet, Hvis∠A = ∠B er de kongruente, og hvis hypotenusene AC og BCer like store, sa er de ogsa kongruente.


A B

C

D

Hvis CD halverer ∠C , kan vi bruke kongruenssetningen. I4ADC og 4BDC er CD felles og vinklene i C like store. Hvis∠A = ∠B er alle vinklene parvis like store mens en side erfelles, sa trekantene er kongruente. Hvis AC og BC er likestore, sa er de ogsa kongruente.


Mer

Halveringslinjesetningen. I en trekant 4ABC vil ei linjegjennom hjørnet C dele linjestykket AB innvendig i forholdetACCB

hvis og bare hvis linja halverer vinkelen i C .

AB

C

D

La linja skjære AB i D. Da sier setningen:

AC

CB=

AD

DB⇔ ∠ACD = ∠DCB


Bevis av halveringslinjesetningen

A B

C

D

E

Bevis. Trekk linja gjennom A parallelt med BC til skjæring Emed linja gjennom CD. Da er

∠AED = ∠BCD, sa 4ADC ∼ 4BDC ogAD

DB=

AE

BC.

Men

AE = AC ⇔ ∠AED = ∠ACD ⇔ ∠BCD = ∠ACD,

sa ACCB

= ADDB

⇔ ∠ACD = ∠DCB og setningen følger.Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Bevis i Geometri

Motivasjon

Hva med et mer overraskende resultat?

Noe jeg kanskje ikke visste fra før?


Cevas setning

La D,E ,F være punkter pa sidekantene henholdsvis BC , ACog AB i trekanten 4ABC . Da gar linjene AD, BE og CFgjennom samme punkt hvis og bare hvis

AF

FB· BD

DC· CE

EA= 1.

A B

C

D

E

F


Bevis av Ceva

Først skal vi vise at dersom linjene AD, BE og CF gargjennom samme punkt, sa gjelder produktrelasjonen. Vi kallerderfor det felles skjæringspunktet for P . Sa lager vi enhjelpefigur: Trekk en linje gjennom C parallell med AB , ogforleng AD og BE til skjæring i henholdsvis G og K meddenne linja.

A B

C

D

E

F

KG


Bevis av Ceva, fortsettelse

Da har følgende par av trekanter toppvinkler og samsvarendevinkler ved parallelle linjer. De har derfor parvis like vinkler oger formlike.

4ABD ∼ 4CDK

4ABE ∼ 4CEG

4AFP ∼ 4KCP

4FBP ∼ 4CGP

Da er sidekantene parvis proporsjonale:

BD

CD=

AB

CK,

CE

EA=

CG

AB

AF

FP=

CK

CP,

FP

FB=

CP

CG



Mulipliserer vi de to venstresidene i de to siste ligningene medhverandre, og tilsvarende med høyre sidene far vi

AF

FB=

CK

CG

Multipliserer vi venstresiden i denne, med venstresidene i de toførste, og tilsvarende med høyresidene far vi:

AF

FB· BD

CD· CE

EA=

CK

CG· AB

CK· CG

AB

Men pa høyre side er faktorene i teller de samme somfaktorene i nevner, sa vi kan forkorte og far

AF

FB· BD

CD· CE

EA=1.

Dermed er første del av setningen vist.Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Bevis i Geometri


For a vise motsatt vei, antar vi at produktrelasjonen holder forpunktene D,E ,F (uten a anta at de tre linjene har et fellespunkt). Altsa at

AF

FB· BD

CD· CE

EA=1.

Anta sa videre at AD og BE møtes i punktet P , og atforlengelsen av linja CP treffer AB i G . Av første del vet vi atproduktrelasjonen holder for punktene D,E ,G , sa

AG

GB· BD

CD· CE

EA=1

Sammenligner vi de to produktrelasjonene far vi

AF

FB=

AG

GB



Na legger vi til 1, skrevet pa en spesiell mate, pa begge siderog far

AF

FB+

FB

FB=

AG

GB+

GB

GB,

AF + FB

FB=

AG + GB

GBog

AB

FB=

AB

GB.

Derfor FB = GB , sa F og G er samme punkt. Dermed er ogsaandre del av setningen vist.


Bruk av Ceva

SetningMedianene i en trekant har et felles punkt.

Bevis: Hvis

AF = FB ,BD = CD,CE = EA

sa erAF

FB· BD

CD· CE

EA=1 · 1 · 1 = 1.

Sa setningen følger av Ceva.

A B

C

DE

F


Mer bruk av Ceva

SetningHøydene i en trekant har et felles punkt.

SetningHalveringslinjene for vinklene i en trekant har et felles punkt.

kan begge vises ved hjelp av Ceva’s setning.


Viktige bevisteknikker i plangeometri

- syntetiske (kongruens/formlikhet, geometriske steder)- analytiske (koordinater, likninger, vektorer, algebra)

Se hefte til evu-kurs i geometri pa siden:www.mn.uio.no/math/personer/vit/ranestad/foredrag-norske/


Takk for oppmerksomheten


Documents

Bevis i Geometri i skolen Grunnskolen:-Figurer, m aling og f˝rste formler-Konstruksjon-Kongruens og formlikhet Videreg aende skole:-Trigonometri og ere formler-Geometri med og uten