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修士論文

BGKモデルを用いた相対論的な運動論的方程式の

分散関係と相対論における散逸過程の研究

高本亮

京都大学大学院理学研究科物理学・宇宙物理学専攻物理学第二分野

天体核研究室

2009年 2月 16日

概要

近年の X線やガンマ線等の観測技術の発展に刺激され、パルサーを初めとしてガンマ

線バーストや AGNジェットなど高エネルギーの天体現象に対して興味が高まっている。

これらの現象の多くは相対論的な流体現象としての取り扱いが必要であり、実際世界中で

そのような研究が精力的に行なわれている。しかしこれまでの研究では多くの場合散逸の

ない理想流体として扱っており、散逸は適当な現象論的な形で導入するか、もしくは全く

考えないかのどちらかで、満足な形で取り扱われているとは言えない。散逸はガスの熱化

をもたらし観測される電磁波などのスペクトルと決定的に結びついているため、現状の理

論的解析では不十分である。

相対論的な流体に散逸をきちんと取り入れた研究が少ない理由は次の通りである。相

対論的な流体力学において散逸過程を取り扱うことを意図した最も簡単な定式化として

Eckart の理論 [1]と Landau による理論 [2]がある。しかしこれらの理論に基づく時間発

展では因果律が破れ、非物理的な不安定モードが含まれる [3] 。従って相対論的な流体力

学において散逸の過程を取り扱うための基礎方程式としては使えない。これらの因果律の

破れと不安定モードの発生という問題を解決するために様々な研究が行なわれており、例

えば最も有名な理論としては Israelと Stewartらによる Gradの moment展開を用いた

理論がある [4]。しかし相対論的な流体における実験検証が困難であることやボルツマン

方程式を近似なしで解くことが非常に困難であることから、これらの理論が実際どの程度

正確で適切なのかを確かめることは非常に困難である。

本研究ではこのような問題に対し、BGKモデルを用いたボルツマン方程式の線形摂動

を行い、得られた分散関係と比べることで散逸の理論がどの程度のスケールまで正しく再

現しているのかを判定する。BGKモデルは線形化された衝突項の全ての固有値（緩和時

間）を、その最も小さい固有値に置き換えるという近似であり、流体力学的なモードであ

る減衰音波と熱伝導に関しては十分短波長までボルツマン方程式から得られる正しい結果

を導くと期待される。この結果を用いて実際の相対論的天体現象を解析する際に使える、

散逸項の実用的な取り扱い方法を吟味する。

第 1章イントロダクション 1

第 2章運動論 7

2.1 非相対論的運動論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.1 分布関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.2 詳細釣り合いの原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.3 Boltzmann方程式の導出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1.4 H定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.5 平衡解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.6 巨視的方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.7 Chapman-Enskog展開 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1.8 気体の熱伝導 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1.9 気体の粘性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1.10 moment展開 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2 相対論的運動論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2.1 相対論的な分布関数と位置空間での物理量の定義 . . . . . . . . . 32

2.2.2 相対論的 Boltzmann方程式の導出 . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2.3 H定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.2.4 相対論的な平衡解と熱平衡状態 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.2.5 Eckart分解と Landau-Lifshitz分解 . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2.6 巨視的方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.2.7 Chapman-Enskog展開 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.2.8 moment展開 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.2.9 散逸の理論と安定性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

第 3章運動論的方程式の線形摂動 61

3.1 非相対論的 Boltzmann方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

iv 目次

3.1.1 BGKモデル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.1.2 線形解析と分散関係の導出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.1.3 Result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

分散関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

固有関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.1.4 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

流体力学的モードの長波長近似による導出 . . . . . . . . . . . . . 72

分散関係式から得られた解の考察 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.1.5 各項の大きさの比較 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

音波モード . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

熱伝導モード . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

その他のモード . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.1.6 continuous spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.2 相対論的 Boltzmann方程式－ Marle流の取り扱い . . . . . . . . . . . 79

3.2.1 Marleの BGK model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.2.2 Marle流の BGKモデルの修正 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.2.3 ボルツマン方程式の線形摂動と分散関係 . . . . . . . . . . . . . . 82

3.2.4 Result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

分散関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.2.5 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.3 相対論的 Boltzmann方程式－ Anderson-Witting流の取り扱い . . . . 95

3.3.1 Anderson-Wittingの BGK model . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.3.2 ボルツマン方程式の線形摂動と分散関係 . . . . . . . . . . . . . . 96

3.3.3 Result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.3.4 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

3.4 Israel-Stewart理論から得られた分散関係との比較 . . . . . . . . . . . . 110

第 4章まとめと今後の展望 113

付録 A 線形化された衝突項 115

付録 B moment展開の双曲性と分散関係 123

付録 C 位相速度の上限 125

付録 D Fredholm型積分方程式 127

目次 v

付録 E 分散関係式の計算の詳細 129

E.1 非相対論的な BGKモデル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

E.2 修正したMarleの BGKモデル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

E.3 Anderson-Wittingの BGKモデル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

付録 F 解析接続 139

F.1 非相対論的な BGKモデルの解析接続 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

F.2 Anderson-Wittingの BGKモデルの解析接続 . . . . . . . . . . . . . . 141

F.3 修正したMarleの BGKモデルの解析接続 . . . . . . . . . . . . . . . . 143

第 1章

イントロダクション

宇宙における高エネルギー天体現象

20世紀初頭まで人類は可視光でのみ宇宙を眺めてきた。可視光領域は電磁波の波長の

ごく限られた領域に過ぎなかったが、それでも人類はこの可視光を用いることで惑星の運

動や太陽の黒点活動、そして恒星や銀河などを観測してきた。この可視光のエネルギーは

1eV程度であり、約 1万度の温度の現象を観測していることになる。そして 20世紀中頃

から電波、赤外線、紫外線、そして特に X線とγ線での観測が始まったことにより、可視

光領域の観測では予想されていなかった様々な高エネルギーの天体現象が発見された。例

えばコンパクトオブジェクトとしては白色矮星、中性子星、ブラックホールなどそれまで

予想されていたとしても理論上の存在であると考えられていたような天体が実際に同定さ

れた。X線バーストや AGNジェット、パルサー、高エネルギー宇宙線などはこれらの天

体の特徴である強重力場や強磁場などにより起こると考えられている。また中心エンジン

は未だ不明であるが、γ線バーストとよばれる宇宙で最も激しく明るい現象もコンパクト

オブジェクト由来であると考えられている。一方大きなスケールの現象では銀河団からの

X線放射が観測されており、これは銀河団に大規模な高温プラズマが付随していると考え

られている。

このように様々な興味深い観測結果に伴い高エネルギー天体の理論的な理解もすすんで

きた。特に 60年代から 80年代はパルサーなど重要な天体の発見が相次いだこともあり、

観測結果を説明する様々な解析的モデルが立てられた。当時は観測結果がまだ少ないこと

もあり、最も基本的な仮定のみを行なったモデルが数多く作られた。その中で観測から否

定されなかったモデルが現在の高エネルギー天体の理論的な基礎になっている。現在は観

測技術の向上に伴い精密な観測データが増えてきており、さらにコンピュータの数値演算

能力が飛躍的に発展したことから、理論的な研究は基礎的なモデルを立てる段階からより

正確な描像を突き詰める段階に移ったといえるであろう。

2 第 1章イントロダクション

さて理論的な研究に必要な道具自体についてはどうであろうか？　まず低温の非相対論

的な現象はガスを流体とみなした場合、磁場や輻射を考慮した研究は、解析的なアプロー

チも数値的なアプローチも盛んに行なわれていてかなり理解がすすんでいるといえるだろ

う。ところが高温の相対論的な現象については話が変わってくる。まず一般相対論的な効

果を入れる場合は、重力場を含めて解析的に解くことはほとんど不可能なため数値相対論

を用いなければいけないが、新しい分野として発展が期待されているがいまだ十分進んで

いるとはいえないであろう。一般相対論的な重力の効果を考えない場合でも輻射流体や磁

気流体としての扱いは難しく、まだ本格的な数値シミュレーションなどは始まったばかり

である。このように流体に外場を入れると扱いが難しくなるのは当然であるが、相対論的

な流体の場合散逸を考慮するだけでも後に説明するように独特の困難が発生してしまう。

このため現在の解析では流体を完全流体として扱うか、衝撃波によるエネルギーの散逸

率のみを取り入れて計算する程度しか行なわれていない。宇宙流体の場合一般に熱伝導

や粘性などよりも輻射や磁場のほうが大きな影響を及ぼすことが多いが、散逸を入れる

ことでMRI（磁気回転不安定性）由来の乱流の saturation rateが定まったり、衝撃波や

reconnection など狭い領域で大量のエネルギーを散逸する現象をきちんと考慮すること

が出来るなど、解析に大きな影響を与える可能性は大きいと期待される。

上記の相対論的な流体に散逸を考慮することで起きる困難は微分方程式の性質に主に由

来している。非相対論の場合の散逸を考慮した流体方程式である Navier-Stokes方程式は

方程式系が放物型になっており、一般に因果律を守らない。非相対論の場合は速度に上限

が無かったため因果律の問題は発生しなかったが、光速の有限性が本質的である相対論的

力学ではこの因果律を守らないことは致命的であり、これに関係する非物理的で病的な不

安定性を誘起してしまう（セクション 2.2.9 を参照）。この問題を防ぐため近似を更に進

めた散逸項を用いる研究がなされているが、残念ながら実験の困難などからどの理論がど

の程度正しいのかなどはわかっていない。そこで本研究では流体近似のもとの式に相当す

る運動論的な方程式を研究することでこの困難の解決への指針を与える。

非相対論的な希薄気体の研究の歩み

運動論的な方程式の研究内容は広く知られてはいないので、運動論的方程式の研究の歩

みを簡単に説明しよう。

流体現象は通常 Navie-Stokes方程式を用いて解析されるが、この方程式は現象の特性

長が平均自由行程より十分に短い場合には適用できなくなる。そのため宇宙物理の分野や

プラズマ物理でしばしば興味をもたれる衝撃波の内部構造や波長が平均自由行程程度の音

波 [21] [22] [23]については Navier-Stokes方程式は全く予言能力を持たない。

このような現象を解析するには運動論的な解析が必要で、Boltzmann方程式を解く必

要がある。しかしこの方程式を一般的に解くことは非常に困難で、様々な近似法が研究

されてきた。その中で最も一般的に用いられているものは Chapman と Enskog により

開発されたもので、これは 0次近似をボルツマン分布として分布関数を Knudsen数（平

均自由行程を特性長で割ったもの）で展開し逐次的に解いていくという手法である [24]。

この方法は 0 次で Euler 方程式を、1 次で Navier-Stokes 方程式を再現し、それに加え

現象論的には求めることが出来なかった散逸係数の表式を与え、方程式のミクロな基礎

付けとなった。さらに高次まで展開することにより、より短波長領域の現象を記述する

ことを期待されたが、Burnett [25] [26] などの研究によると、残念ながら Knudsen 数

が 1 に比べて十分小さくないような現象に関しての精度はほとんど上がらない。これは

Chapman-Enskog近似が Knudsen数について展開するためで、Knudsen数が 1に比べ

て十分小さくない場合は展開の収束性が悪くなるためである。また Burnett 近似により

求まった項はとても複雑で非物理的な不安定性を含むため実用的ではない。分布関数をボ

ルツマン分布のまわりで展開する近似としては、Chen [27] [28]らによる衝突項を BGK

近似 [18]を用い逐次近似を用いない方法が近年提唱されており、Navier-Stokes方程式よ

りも Knudsen数が大きい領域でさらに良い近似になっているが、Knudsen数が 1に近い

か大きい現象に関しては精度は悪い。

別の手法としてはGrad [8] [9]により導入されたmoment methodがある。この手法は

分布関数を Knudsen数について展開するのではなく Hilbert展開を用いて各 momentの

発展方程式を解くというもので、momentとして密度、速度、温度、粘性、熱伝導を考慮

した 13 moment expansionでは leading orderで Navier-Stokes方程式を再現する。平

衡分布が 5個の momentしか持たないボルツマン分布であることから、一般に無限に現

れる momentのうち平衡分布の 5個以外は小さいと通常は期待しており、Knudsen数が

小さくない領域でも使えるための補正としては momentの数を増やすという方向が考え

られ多くの研究がなされているが [29] [30] [31] [32]、やはり Knudsen数が 1 付近より大

きい領域では正しい結果を導かない。また Grad とは別の方法で moment 展開したもの

としては Levermore [33] [34] の方法があるが、一般的な場合に使えるかどうかは不明で

ある。

相対論的な希薄気体の運動学の研究の歩み

非相対論的なボルツマン方程式の研究内容をそのまま応用する形で相対論的な運動論的

方程式の研究はすすんできた。運動論的方程式自体も理論的には興味深いが、ここでは特

に流体力学との関わりを中心に研究の歩みを説明しよう。相対論的な流体方程式の研究は

Eckartの理論 [1]や Landau [2]らにより独立に行なわれた。完全流体を考慮した場合導

かれた方程式系は全て一致していたが、散逸を考慮した場合は四元速度の定義がユニーク

4 第 1章イントロダクション

にならないなど、相対論的流体力学特有の性質が明らかになった。しかし最も深刻な性質

は、非相対論の場合の散逸項をそのまま相対論的な場合に適用した場合に発生する非物理

的で病的な不安定性の存在である [3]。この問題を解決するために流体力学の散逸項を現

象論的に求めるのではなく、流体近似のない運動論的な方程式から求めようと考えるの

は自然であろう。まず非相対論的な散逸項の拡張は、そのまま Chapman-Enskogの方法

を相対論的な運動論的方程式に適用することで得られた。しかし Chapman-Enskogの方

法は一次で一般に方程式系を放物型にし、近似を上げると微分の階数が増えてしまい扱

いにくい微分方程式になってしまう。そこで Israelと Stewartは Gradの moment展開

を行なうことで問題の解決を図った [4]。moment展開は一般に方程式系を双曲型にする

（付録 B 参照）ため、因果律を守り安定な方程式系が得られることが期待されており、確

かにパラメータを適切に選ぶことで安定で因果律を守ることがわかっている。ところが

moment展開はその近似法からどの程度まで良い近似なのかがはっきりしなく、実験結果

も無いため理論の正しさがわかっていない。

本論分の目的と構成

私はこの修士論文で運動論的な方程式の線形摂動を行い分散関係を得て、この運動論的

に正しい分散関係式と得られている相対論的な散逸理論を比較することで散逸理論の精度

を判定する。ただしボルツマン方程式は散逸項の複雑さから分散関係を得ることが難しい

ため、BGK近似を用いたボルツマン方程式の摂動方程式の厳密解を求め、それを用いて

流体方程式系の解析を行う。この方法は厳密解を用いているため BGK近似が成り立つ精

度で厳密に正しい分散関係が得られる。

BGK 近似がどれだけ正しいかについて非相対論の場合には、波長依存性についての

減衰波の実験 [21]との対比により一定の精度が得られることが分かっている [18]。また

BGK 近似の導出過程から高次の moment については近似が悪くなることも分かってい

る [19]。BGK近似の衝突項の意味は物理的で明白であり、また相対論へ拡張されたモデ

ルも非相対論の場合と大きく変わっていないため非相対論の場合と同様の近似の精度であ

ることが期待される。また得られた分散関係とボルツマン方程式の衝突項自身が持つ性質

から相対論的な BGK近似の精度についても議論する。

本文の構成は、まず第二章で非相対論的な運動論と相対論的な運動論の、特に散逸項の

導出を中心とした reviewを行なう。そして第三章で BGK近似を用いたボルツマン方程

式の線形摂動の方程式の一般解を導出し、それを用いて流体方程式系の分散関係を導出す

る。この章ではまず最初に BGK近似の特徴と散逸の性質を知るために非相対論の場合を

解析する。そして続いて相対論的な場合の BGKモデルを用いて粒子流速の静止系と熱流

の静止系でそれぞれ分散関係式を求め、この結果と Israel-Stewart理論の分散関係を比較

し議論をする。最後に第四章でまとめを行い、実用的な相対論的な散逸の理論について議

論を行なう。計算の詳細や発展的な内容は付録に載せた。

第 2章

運動論

この章では運動論の review をする。まず非相対論的な場合での Boltzmann 方程式を

導出し、その平衡解を求める。続いて巨視的方程式に移行し、散逸項を運動論的に求め

る。次に相対論的な運動論について review を行い、同様にして巨視的方程式を導出し、

そのときの散逸がどのように求まるかを見る。最後に求まった散逸項がどのように問題が

表れるかをみる。

この修士論文全体では電気的中性の原子あるいは分子からなる気体の運動論について扱

う。このため粒子同士の相互作用は常に直接衝突の間の非常に短い時間でのみ働くとし、

それ以外の時間は自由運動していると仮定する。物理的に表すと、分子間の平均距離を

r ∼ N−1/3 （N :単位体積中の分子数）とし、自身の固有の大きさ、つまり分子間の力の

作用半径を dとしたときに、気体度パラメータ Nd3 ∼ (d/r)3 が 1より十分小さいと仮定

する。この仮定は気体が十分希薄であることを意味し、粒子間の衝突として２体衝突のみ

を考えるという仮定に相当する。また考える気体粒子は原子もしくは単原子分子とする。

またこの修士論文では一貫して古典論のみを扱うが、エントロピーの定義などでプランク

定数が必要な部分はプランク定数を 1とする自然単位系を用いている。またボルツマン定

数も kB = 1とする。

2.1 非相対論的運動論

この章では非相対論的な運動論の review をする。この review は主にランダウ-リフ

シッツの物理的運動学 [5] に従う。また同じレベルの教科書としては Mihalas らの教科

書 [6]などがある。

8 第 2章運動論

2.1.1 分布関数

力学において物理系の記述は、原理的には全ての粒子の運動方程式を解くことによって

求められる。しかし気体運動論においては考えている粒子数が多いため、通常このような

ことはせずに統計的な記述が用いられる。気体の統計的な記述には、気体分子の位相空間

での分布関数 f(t, q, p) が使われる。ここで q は分子の一般化座標（まとめて q で表す）

で、pは分子の一般化運動量である。また分子の位相空間の体積要素を dµ = dqdpとする

と、fdµは与えられた体積要素内にある分子の平均数を表す。

定義 1. f(t, q, p)：分布関数

q：分子の一般化座標（まとめて q で表す）

p：分子の一般化運動量

fdµ = fdqdp：与えられた位相体積要素内の分子の平均数

f の引数は一般化座標と一般化運動量なのでそれらの選び方は任意だが、この修士論文

では q は分子の慣性中心の座標 rを、pは分子の並進運動量 pを意味するものとする。

また通常用いられる座標空間での粒子密度は次のように定義される。

定義 2. ∫f(t, r,p)d3p = n(t, r)：気体分子の空間分布の平均密度 (2.1)

この定義から ndV は体積要素 dV 内の平均分子数を表すが、ここで Boltzmann 方程

式を扱う場合無限小体積要素 dV とは次のような意味を持つ。

定義 3. dV：無限小体積要素

d3¿ dV ¿ L3

d：分子間の力の作用半径

L：系の特性的な大きさ

これは気体運動論において無限小の点が数学的な無限小ではなく物理的な大きさを持つ

ことを表し、これにより気体運動論の予言能力に制限が課されることになる。つまり気体

運動論においてこの下限のスケール未満の現象は追うことが出来ず、分子の位置をせいぜ

いその大きさの程度の精度で定義することを意味する。また時間スケールに関しても粒子

の平均速度でこの下限のスケールを横切る時間未満は分解できず、これにより時間スケー

ルの下限を定めることになる。

時間と空間に物理的な下限を設けることは次のことを意味する。古典力学では気体粒子

の古典的軌道が定められると、2つの粒子の衝突は完全に決定され、決定論的に時間発展

2.1 非相対論的運動論 9

が求まることになる。しかしここで物理的なスケールの下限があるとこのスケール未満の

現象が追えなくなり、結果として衝突の結果も不定となり、その結果の確率についてのみ

が予言できることになる。

ここまでで分子の大きさ d と平均分子間距離 r、系の特性長 L の相対関係は定まった

が、平均分子間距離 r と系の特性長 Lの相対関係は任意であった。しかし分布関数によ

り定義される密度 n の特性はこの比により差が生じる。この修士論文では巨視的な量に

興味があるため r ¿ Lという場合のみを考えることにする。もしこのような比でなかっ

た場合、考えている特性スケール内に十分な数の粒子数がいないことになり、nの揺らぎ

が nの時間平均と同程度になってしまい nが巨視的な量にはならなくなってしまうので

ある。

2.1.2 詳細釣り合いの原理

一方の pの値が区間 dpの中にあり、もう一方が区間 dp1 の中にあるような分子の衝突

を考える。この衝突の結果これらの粒子がそれぞれ区間 dp′ 、dp′1 にある pの値に移った

とする。（以降遷移 p, p1 → p′, p′1 と表す）この場合単位時間、単位体積当たりに起こる遷

移 p, p1 → p′, p′1 の衝突数は次のようになる。

w(p′, p′1; p, p1) fdp f1dp1 dp′dp′1 (2.2)

ここで w(p′, p′1; p, p1)は遷移 p, p1 → p′, p′1 を伴う遷移確率を表し、力学の問題を解く

ことにより得られる。この式は単位体積、単位時間当たりの衝突の数が衝突する粒子の数

fdpと衝突確率 w、遷移後の区間 dp′ に比例することから得られる。なお f ≡ f(t, r,p)、

f1 ≡ f(t, r,p1)としてある。

またこの wを用いて衝突の有効断面積は次のように定義される。

定義 4. dσ：衝突の有効断面積

dσ =w(p′, p′1; p, p1)|v − v1| dp′dp′1 (2.3)

wは次の一つの一般的な関係を満たす。∫

w(p′, p′1; p, p1)dp′dp′1 =∫

w(p, p1; p′, p′1)dp′dp′1 (2.4)

この関係は詳細釣り合いの原理と呼ばれる。

この原理は量子力学の言葉を用いると関係の導出が分かりやすくなる。量子力学では衝

突の個々の過程の確率振幅はユニタリー行列 S により表される。ここでユニタリー性の

条件は次のようになる。

10 第 2章運動論

S†inSnk = δik (2.5)

ここで特に i = k の場合

|Sni|2 = 1 (2.6)

となる。|Sni|2 は遷移 i → nなる衝突の確率なので、上式は与えられた初期状態から全て

の可能な状態への遷移確率の和をとると 1になる、という確率の規格化を意味する。

ところでユニタリー性の条件は次の形に書くことも出来る。∑

SinS†nk = δik (2.7)

この場合 i = k では ∑n

|Sin|2 = 1 (2.8)

となる。この場合は与えられた終状態への全ての可能な遷移の確率の和が 1に規格化され

ていることを示している。

以上の 2つから n = iという状態を変えない遷移を除くと次の等式が成り立つ。

|Sni|2 =∑

|Sin|2 (2.9)

この式を wを用いて表すと詳細釣り合いの原理の式になる。

2.1.3 Boltzmann方程式の導出

気体運動論において系の状態は分布関数 f により定められる。つまり系の時間発展を

追うにはこの f の時間発展方程式を求めればよい。なおこの論文では『衝突』という言葉

を通常の力学的な散乱の意味ではなく、運動論的な衝突という意味で用いる。運動論的な

衝突の意味は後ほど定義する。

まず衝突が全く無視できるような場合は各粒子が閉じた部分系になり、各々力学方程式

に従い発展することになる。位相空間内で粒子数は保存されるので、次の連続の式が成り

立つ。∂f

∂q(f q) +

∂p(fp) = 0 (2.10)

微分を展開すると次のようになる。

(q∂f

∂q+ p

)= 0 (2.11)

ここで衝突が無視できることから、Hamilton方程式を考える。

q =∂H∂p

, p =∂H∂q

(2.12)

この式より次のような関係が成り立つ。

∂2H∂q∂p

= −∂p

∂p(2.13)

これを用いると式 (2.11)の第三項が 0になり、次の式が得られる。

(q∂f

∂q+ p

)= 0 (2.14)

この式はリウヴィルの定理と呼ばれていて、粒子数が位相空間上の軌道に沿って一定で

あることを示している。微分 D/Dtは位相空間上の軌道に沿って取っていると考える。

衝突がある場合はリウヴィルの定理は成り立たず、衝突により位相空間上での軌道から

外れる粒子達が現れる。これらの寄与を考慮して輸送方程式を次のように書く。

∂t+ v · ∇f + p · ∂f

(2.15)

ここで (∂f/∂t)coll は衝突により分布関数が変化する速さである。以降この項を衝突積

分と呼ぶ。f の発展が解けるようにするためにこの衝突積分の具体的な形を求める。

衝突による f の変化とは、衝突により考えている位相空間上の点 (x,v)から出て行く

（転出事象）か入ってくる（転入事象）の 2つである。今考えている理論の精度では衝突

において位置は変化せず変化するのは pなので、運動量空間での転出・転入事象を考えれ

ば十分である。

まず転出事象において遷移 p, p1 → p′, p′1 を伴う衝突を考える。p が与えられ p1、p′、

p′1 が可能な全ての値を取るような、単位時間に体積 dV で起こる衝突の総数は

∫w(p′, p′1; p, p1)ff1d

3p1d3p′d3p′1 (2.16)

に等しい。

同様に転入事象として遷移 p′, p′1 → p, p1 を伴う衝突を考えればよい。するとこのよう

な衝突の総数は次のようになる。

∫w(p, p1; p′, p′1)f

′f ′1d3p1d

3p′d3p′1 (2.17)

転出事象数から転入事象数を差し引くと、全衝突の結果考えている位相空間上の点の粒

子数は毎秒

∫(w′f ′f ′1 − wff1)d3p1d

3p′d3p′1 (2.18)

だけ増加する。ここで簡単のため次のように置きなおしてある。

w ≡ w(p′, p′1; p, p1), w′ ≡ w(p, p1; p′, p′1) (2.19)

以上により衝突積分として次の式が得られる。(

(w′f ′f ′1 − wff1)d3p1d3p′d3p′1 (2.20)

第 2項に対して詳細釣り合いの原理 (2.4)を用いて変形すると次のような形になる。(

w′(f ′f ′1 − ff1)d3p1d3p′d3p′1 (2.21)

以上で衝突積分が求まったので輸送方程式が求まった。この修士論文では中性粒子のみ

を扱うので外場による運動量の変化を 0にする (p = 0)と、次のボルツマン方程式が得ら

れる。∂f

∂t+ v · ∇f =

∫w′(f ′f ′1 − ff1)d3p1d

3p′d3p′1 (2.22)

また衝突積分は式 (2.3)を用いて変形することができ、次の形に表すことも出来る。(

vrel(f ′f ′1 − ff1)dσd3p1 (2.23)

分布関数のところで述べたように、この方程式は分子間の力の作用半径 d程度のスケー

ル未満は分解できず、このスケール以上の現象についてのみ予言能力がある。

2.1.4 H定理

考えている気体が孤立系の場合、エントロピーが最大の状態へと移行して平衡分布とな

る。先に導出したボルツマン方程式が物理的な理論であるためにはこの時間発展を示す必

要がある。この章ではこれを示す。この章は一般的なボルツマン方程式の議論をしたいの

で外場がある場合を考える。

非平衡状態の気体のエントロピーは分布関数 f を用いて次のように表される。

S =∫

fdV d3p (2.24)

この式を時間微分するとリウヴィルの定理より次のようになる。

∫∂

)dV d3p = −

∫ln f

∂tdV d3p (2.25)

ボルツマン方程式の導出過程から自由運動部分は力学的に求めているため時間反転対象

性を保つと考えられ、エントロピー増大による時間反転の非対称性は衝突項に結びついて

いると考えられる。これは次のようにして示せる。

ボルツマン方程式より式 (2.25)に含まれる時間微分は次のように表せる。

∂t= −v · ∇f − F · ∂f

(2.26)

自由運動に当たる最初の二項を式 (2.25)に代入すると次のようになる。

−∫

[−v · ∇f − F · ∂f

]dV d3p =

∫ [v · ∇+ F · ∂

](f ln

)dV d3p (2.27)

この式はガウス積分により表面項になる。孤立系でエネルギーは有限な気体を仮定すると

位置空間と運動量空間の無限遠で f = 0となり、上の積分は 0となる。以上により自由運

動部分はエントロピーを増大させないことが示された。

以上の議論によりエントロピーの変化は次のようになる。

dt= −

∫ln f

dV d3p (2.28)

この積分を考えるにあたり、次のような更に一般の形を用いて変形していこう。セク

ション 2.1.1のように位相空間上の座標を q、pで代表させる。次の形の積分を考える。∫

φ(p)(

dp (2.29)

φは pの任意関数である。式 (2.20)を代入すると次のようになる。∫

φ(p)(

dp =∫

φ w(p, p1; p′, p′1)f′f ′1d

4p−∫

φ w(p′, p′1; p, p1)ff1d4p (2.30)

簡単のため d4p = dpdp1dp′dp′1 としてある。4 種類の p は全て積分変数なので積分の値

は変えずに変数の任意の置き換えができる。第 2項で p、p1 と p′、p′1 を入れ替えると次

の式になる。 ∫φ(p)

dp =∫

(φ− φ′)w′f ′f ′1d4p (2.31)

同様にして第 2項で p、p′ と p1、p′1 の入れ替えを行い、得られた積分の和を 1/2倍し、

関数 wの対称性を用いると次のようになる。∫

φ(p)(

dp =12

∫(φ + φ1 − φ′ − φ′1)w

′f ′f ′1d4p (2.32)

この φに m、p、(v − u)2/2を代入すると保存則より 0になることがわかる。φ = 1を

代入した式は次のように書き換えられる。∫ (

dp =∫

w′(f ′f ′1 − ff1)d4p = 0 (2.33)

式 (2.32)を用いて式 (2.28)を変形すると次のようになる。

∫w′f ′f ′1 ln

f ′f ′1ff1

d4pdV =12

∫w′ff1x lnx d4pdV (2.34)

ここでも先の d4pの表記を用いている。また x = f ′f ′1/ff1 である。この式から 0である

式 (2.33)の 1/2倍を差し引くと次のようになる。

∫w′ff1(x lnx− x + 1) d4pdV (2.35)

この被積分関数の括弧内は x > 0で負にならず、x = 1のときにのみ 0になる。また w′、

f、f1 は正なので結局次の式が示された。

dt≥ 0 (2.36)

これはエントロピー増大則そのものであり、H定理と呼ばれる。

注意すべきこととしては、式 (2.35)は被積分関数が正であるため d4pについて積分し

ても正になる。つまり衝突は気体のエントロピーを各体積要素ごとに増大させることを意

味する。なおこれはあくまで衝突の効果のみを考えた場合の話であり、自由運動まで考慮

すると自由運動により気体のエントロピーが値はそのままで別の場所に運ばれるというこ

とが起き得るため、一般にはエントロピーは各気体要素ごとに増大するとは限らない。

なおエントロピー増大則が出てきたのは、本質的には衝突項を式 (2.21) の形にしたこ

とに起因している。これはボルツマン方程式の更に基礎的な理論であるリウヴィルの定理

から動力学的にボルツマン方程式を導出する際にmolecular chaos仮定を入れた結果であ

る。この仮定により衝突現象がそれまでの物理過程によらず ff1vreldσd3p1d3pdV dt と

記述でき、この『それまでの物理過程を無視した』ということから時間反転の非対称性が

入ったのである。詳しい動力学的導出はランダウの教科書 [5]などを参照。

2.1.5 平衡解

式 (2.22) の平衡解を求める。左辺には時間と空間微分しか含まれていないので、運動

量 pのみに依存する任意の分布関数 f(p)は左辺を恒等的に０にする。また右辺を恒等的

に０にするにはこの分布関数 f(p)が次の関係を満たせばよい。

f(p′)f(p′1)− f(p)f(p1) = 0 (2.37)

この式の logを取ると次のようになる。

ln f(p′) + ln f(p′1) = ln f(p) + ln f(p1) (2.38)

この式は ln f(p)が 2体衝突の運動の保存量の線形結合で書けることを示している。こ

れらのうち運動量と角運動量は系の平行移動、回転により一般に消すことが出来るので、

ln f(p)は次の形に書くことが出来る。

ln f(p) = α + βε (2.39)

α、β は定数で εは系のエネルギーで、第一項が粒子数保存を、第二項がエネルギー保

存を表している。

この f を式 (2.1)を満たすように規格化し、平衡分布がエントロピーを最大にすること

から β を定めると、ボルツマン方程式の平衡解は次のようになることが分かる。

f0 =ρ

m(2πRT )3/2exp

[− ε

](2.40)

(2.41)

ここで mは粒子の質量、ρ = mnは質量密度、T は気体の温度を表している。この式は

統計力学で良く知られた Maxwell-Boltzmann 分布であり、粒子同士の衝突により f は

Maxwell-Boltzmann 分布へと緩和していくことを Boltzmann 方程式は示している。ま

たこの解は式 (2.35)の右辺を 0にする解でもあり、物理的な平衡解にもなっていること

が分かる。

この平衡分布について詳細に研究する理論としては統計力学がある。統計力学は膨大な

分野に応用されているためこの reviewでは説明は割愛する。統計力学の参考文献として

はランダウ-リフシッツの物理学教程 [7]などがある。

2.1.6 巨視的方程式

先に得られた Boltzmann方程式は気体の状態の時間発展の微視的記述を与える。流体

力学方程式はその粗い巨視的な記述のはずであり、Boltzmann方程式から導出できるは

ずである。この章ではそれがどのように行なわれるかを見ていく。

まず先に導入したスケールのほかに、次のようなスケールを導入する。

定義 5. 平均自由行程 l：分子が相次ぐ二つの衝突の間に通過する平均距離

l ∼ 1nσ

(2.42)

この量は、定義自身が気体中のどのような輸送現象を考えるかに依存するので、定性的

な意味しか持たないことに注意するべきである。

衝突断面積は分子の dを用いて σ ∼ d2 と書ける。n ∼ r−3 とすると、定義式より l は

次のように書きなおせる。

l ∼ r( r

(2.43)

気体中では r À dなので、l À r となる。

一般に流体力学近似は粒子同士が十分衝突できて、分布関数が平衡分布に近い場合に良

い近似になる。言い換えると気体の巨視的性質である温度、密度、速度などが変化する特

徴的な長さ Lが、気体の平均自由行程 l に対して L À l を満たす程度に十分長い場合に

流体近似は良い近似になる。このことを見ていこう。

式（2.1）において気体の数密度を定義したが、同様にして次の二つの量を定義する。

定義 6.∫

d3vvf(t, r,v) = u : 気体分子の平均速度 (2.44)∫

(v − u)2 f(t, r,v) =32ρRT ≡ ε : 気体分子の平均エネルギー (2.45)

巨視的な量 n、u、εの発展方程式は Boltzmann方程式

∂t+∇ · (vf) =

(2.46)

に m、p、(v − u)2/2 をかけて d3v で積分することにより得られる。ここで衝突は、衝

突に関係する粒子数、全エネルギー、全運動量を変えないはずなので、巨視的な量を変

化させないはずである。実際式 (2.32)において φにm、p、(v − u)2/2 を代入すると保

存則より 0になることがわかる。このことを用ると、Boltzmann方程式の両辺にm、p、

(v − u)2/2をかけて pで積分したものは次のようになる。

∂t+∇ · (ρu) = 0 (2.47)

∂tρuα +

∂Παβ

∂xβ= 0 (2.48)

∂tnε +∇ · q = 0 (2.49)

ここで Παβ は運動量流束密度テンソル、qはエネルギー流束を表し、それぞれ次のよう

に定義される。

Παβ =∫

mvαvβfd3p (2.50)

q =∫

(v − u)2 vfd3p (2.51)

これらの式から流体力学の方程式を導出しよう。そのためには分布関数 f の形を定め、

Παβ、qを巨視的な量で表さなければならない。そこで平均自由行程を l、系の特徴的な

スケールを Lとして、先に述べた通り l ¿ Lを仮定する。この時特徴的な時間スケール

L/vでは衝突は十分な回数が起こり、系は平衡に十分近いと考えられる。そこで第 0近似

として、気体は全体としては平衡にはなっていないが、局所的には熱平衡になっていると

考えられる。つまり分布関数として次の局所的平衡関数 f0(t,x)を考える。

f0(t,x,v) =ρ(t,x)

m(2πRT (t,x))3/2exp

[− 1

2RT (t,x)(v − u(t,x))2

](2.52)

ここで質量密度 ρ、平均速度 u、温度 T は真の f と同じものをとることにする。局所的平

衡関数は Boltzmann方程式の右辺を恒等的に 0にするが左辺は一般に 0にならず、正確

な意味で Boltzmann方程式の解にはなっていないことに注意するべきである。このこと

は次の散逸の取り扱いで詳しく述べる。

まず Παβ、qから巨視的な速度 uを引き抜こう。気体と共に運動する座標系 K′ 系の速

度を v′ とすると、v = v′ + uとなる。するとまず Παβ は

Παβ = ρ〈vαvβ〉 = ρ〈(uα + v′α)(uβ + v′β)〉 = ρ(uαuβ + 〈v′αv′β〉) (2.53)

となる。K′ 系は気体静止系で局所平衡分布では等方的であることを用いた。またこれ

より

〈v′αv′β〉 =13〈v′2〉δαβ =

mδαβ (2.54)

となる。ここで熱速度の自乗の平均が〈v′2〉 = 3T/m であることを用いた。これを Παβ

の式に代入し、nT = P とすると Παβ は巨視的な量から次のように表される。

Παβ = ρuαuβ + δαβP (2.55)

この式は P を圧力とみなせばオイラー方程式のと同等である。つまり気体の圧力は以上

のように定義される。Boltzmann方程式の仮定として十分希薄であると仮定したことか

ら理想気体の状態方程式が得られたことに注意するべきである。

次にエネルギー流速 qについても同様のことを行なう。気体と共に運動する座標系 K′

系の速度を v′ とすると次のような関係が得られる。

12mv2 =

12mv′2 + mu · v′ + 1

2mu2 (2.56)

この式を qの定義式に代入すると次のようになる。

q = nu[mu2

3〈v′2〉+ ε′

)(2.57)

この式は理想流体のエネルギー流速の式である。ここで気体の単位堆積あたりのエンタル

ピー h = P + nε′ を用いた。

以上により、オイラー方程式を運動論的に導出することが出来た。このオイラー方程式

や次の章で導出する散逸項まで含めた Navier-Stokes方程式を扱う理論は流体力学と呼ば

れる。この review では流体力学は扱わないが参考文献としてはランダウの流体力学 [2]

を挙げておく。

2.1.7 Chapman-Enskog展開

Navier-Stokes方程式を導出するには、f の f0 からのずれを考慮に入れなければならな

い。そこでまず分布関数 f を l/Lで展開することを考える。f を局所平衡関数 f0 の周り

で展開すると次のようになる。

f = f0 + f1l

+ · · · (2.58)

ここで局所平衡関数に関する付加条件を考慮する。局所平衡関数は式の形は式 (2.52)

で定義されるが、この中の ρ、u、T は任意の関数でも衝突項を 0にする。この式を意味

のあるものにするためには、これらの任意関数を物理的に決めてやらなくてはならない。

今考えている系は少なくとも局所的には、つまり特徴的なスケール L よりも十分小さい

スケールでは平衡状態になっている。つまりこの系では f ∼ f0 となっていて、この f0 か

らのずれを全て無視していることになる。言い換えると次の matching conditionと呼ば

れる条件から f0 を決めていることになる。∫

m(f − f0)d3p = 0,

∫vα(f − f0)d3p = 0,

∫12mv2(f − f0)d3p = 0 (2.59)

密度、平均速度に関しては定義通りだが、温度 T に関しては注意が必要である。本来温

度とは平衡分布であるMaxwell-Boltzmann分布のときにのみ存在する概念であり、非平

衡分布では定義されていなかった。このため matching conditionは非平衡気体での温度

の定義になっており、逆に言うと非平衡気体で温度を定義するためにはこの付加条件が必

要とされる。

展開した f を Boltzmann方程式に代入しよう。この際式の近似の次数は l/Lによって

決まるが、Boltzmann方程式の左辺に含まれる微分を無次元化するために両辺に平均自

由行程 lを掛けておく。すると左辺は全て微分が入っているので、l/Lの次数は 1次から

始まることになる。また右辺の衝突項は式 (2.23) より、f vrel dσ ∼ 1/l が打ち消され、

衝突項の l/Lの次数はそのまま展開した f の次数に等しくなる。よって次数別に式を立

てると次のようになる。

(2.60)

Dtf0 =

(∂f1

L(2.61)

Dtfn−1

)n−1

(2.62)

D/Dtは位相空間上の軌道に沿った微分を表している。

以上によりこの連立微分方程式を matching conditionを課して解いていけばいい。こ

の式は f0 を求めればそれ以降は漸化式として解いていけばよく、l/Lが十分小さければ

収束する数列をなしている。また fn が f0 により決まるということは、fn に関係する物

理量は全て f0 の物理量 ρ、u、T の勾配と関係付けられることになるということに注意す

るべきである。以上のような Boltzmann方程式の解の求め方は Chapman-Enskogの方

法と呼ばれる。（有限の fn で打ち切った場合は Chapman-Enskog近似と呼ばれる）具体

例と実用的な例として以降では f1 について考えていく。

まず f1 を次のように書く。

f = f0 + f1, f1 = −∂f0

∂εχ(p) =

f0χ (2.63)

ここで運動量を pで代表させる。

この χは matching conditionより、次の条件を満たさなければならない。∫

mχd3p = 0,

∫vαχd3p = 0,

∫12mv2χd3p = 0 (2.64)

分布関数は collisionによりまず局所的に局所平衡 f0に収束するべきだが、このmatching

conditionを課さなければ f0 がユニークに定まらず、f0 から ρ、u、T のみが異なる別の

f ′0 への緩和を記述する解が含まれてしまうことを注意するべきである。

では Chapman-Enskogの方法に従い f1 を求める式を導出しよう。まず 0次の方程式

(2.65)

は局所平衡関数 (2.52)が解になる。

ではこの f0 を 1次の方程式の左辺に代入しよう。この際簡単のためガリレイ変換を行

い、u = 0となる流体のある一点で考える。このあと求める散逸係数はガリレイ変換では

変化を受けないはずなので、一般にこのようにしても散逸係数は正しく求まる。すると少

し長い計算の後に次の式が得られる。

ε− cpT

Tv · ∇T +

[vαvβ

R− δαβ

]Vαβ

≡ f0

TI(χ) (2.66)

ここで次の量を定義した。

ε ≡ v2

2R, Vαβ ≡ 1

(∂uα

∂xβ+

∂uβ

∂xα

)(2.67)

また I(χ)は衝突積分から出てくる項で、次のように定義される。(

TI(χ) (2.68)

I(χ) =∫

w′f01(χ′ + χ′1 − χ− χ1)dp1 dp′ dp′1 (2.69)

また計算の途中で次の関係式を用いて時間微分を消し、T と V の勾配のみになるように

した。

∂t+∇ · (ρu) = 0 (2.70)

∂u∂t

+ u · ∇u = −∇P

ρ(2.71)

∂t+ u · ∇s = 0 (2.72)

cvdT − P

ρ2dρ = Tds (2.73)

P = ρRT (2.74)

上から連続方程式、オイラー方程式、熱輸送の一般式、熱力学第一法則、状態方程式であ

る。式 (2.66)を l/Lの 1次の式の左辺に代入すれば原理的に f1 が求まることになり、気

体の熱伝導係数と粘性係数を求めることが出来る。なお流体方程式において散逸項は完全

流体の項に比べて微小量にあたるため含まれていない。同様にして例えば f2 を求める場

合は f1 から得られる Navier-Stokes方程式を代入すればよい。

2.1.8 気体の熱伝導

温度勾配と速度勾配が線形独立だと仮定して、式 (2.66)の第一項を考えよう。

ε− cpT

Tv · ∇T = I(χ) (2.75)

この方程式の解を次の形で求める。

χ = g · ∇T (2.76)

ここで gは運動量のみの関数である。このような χを考えると、式 (2.75)は ∇T の係数

が等しいことを示す方程式になり、次のようになる。

ε− cpT

Tv = I(g) (2.77)

ここで matching condition(2.64) について考えよう。まず理論には特別な方向はない

と考えられるので、ベクトルパラメータを与える積分∫

f0gdpと∫

f0εgdpは 0になるこ

とが分かる。結局 matching conditionより得られる付加条件は次のようなものになる。∫

f0vgdp = 0 (2.78)

これ以上具体的に χを求めることはせずに、熱伝導率の表式について考えていこう。巨

視的運動がない場合、式 (2.51)より熱伝導は f = f0 + δf を代入すると次のようになる。

∫12(v − u)2vf0χdp =

∫12(v − u)2vf0(g · ∇T )dp (2.79)

ここで平衡分布は等方的であることを用いた。この式を成分で書くと次のようになる。

qα = −καβT

xβ(2.80)

καβ = − 1T

∫12(v − u)2f0vαgβdp (2.81)

ここで平衡気体の等方性のために καβ は単位テンソル δαβ を用いて次のようなスカ

ラーで書ける。

καβ = κδαβ , κ =καα

3(2.82)

以上より熱伝導は次のようになる。

q = −κ∇T (2.83)

ここでスカラー熱伝導率は次のようになる。

κ = − 13T

∫12(v − u)2f0v · gdp (2.84)

この量は輸送方程式の性質からも正である事が示せる。これは現象論ではエントロピーの

増大側から要請されていた条件で、ボルツマン方程式では H定理を満たすことから自然

にこの条件が要請されることに注意しよう。

最後に f1 に比例する項 g から求まった熱伝導率 κが、Chapman-Enskogの方法の要

請通り平均自由行程 lに比例することを示そう。まず衝突項は次のように評価できる。(

∼ − v

l(f − f0) = − vf0

l Tχ (2.85)

ここで式 (2.66)を用いた。この式と式 (2.68)を比較すると結局次の関係が得られる。

I ∼ − v

lχ (2.86)

この式と式 (2.75)を比べると、次の関係が得られる。

g ∼ l (2.87)

この式と式 (2.66)から f1 ∼ f0l/Lが得られ、これは Chapman-Enskogの方法の要請を

満たしていることが分かる。この g を用いて κを評価すると次のようになる。

κ ∼ cnlv (2.88)

ここで cは分子一個あたりの気体の熱容量である。この表式より熱伝導は平均自由行程 l

に比例し、平衡に到達する前の lが大きいような状況において大きくなることが分かる。

2.1.9 気体の粘性

先と同様に温度勾配と速度勾配が線形独立だと仮定して、今回は式 (2.66) の第二項を

考えよう。

まず流体力学より、粘性は運動量流速密度テンソルに含まれ、次のように二種類の粘性

が定義される。

Παβ = Pδαβ + ρuαuβ − σ′αβ (2.89)

σ′αβ = 2η

(Vαβ − 1

3δαβ∇ · u

)+ ζδαβ∇ · u (2.90)

式 (2.90)の第一項は流体の体積変化に関係しない変形に由来する粘性で、shear viscosity

と呼ばれる。第二項目は逆に体積変化に由来する粘性で、bulk viscosityと呼ばれる。こ

れらを別々に計算するために式 (2.66)を次のように変形しよう。

mvαvβ

(Vαβ − 1

3δαβ∇ · u

3− ε

)∇ · u = I(χ) (2.91)

まずは shear viscosityを計算しよう。そのために式 (2.91)で ∇ · u = 0と考える。す

ると次のような式が得られる。

(vαvβ − 1

3δαβv2

)Vαβ = I(χ) (2.92)

この式の左辺のテンソルは両方とも traceが 0であることに注意しよう。

この方程式の解を次の形で求めよう。

χ = gαβVαβ (2.93)

ここで gαβ は運動量のみの関数である。また Vαβ の traceが 0であることから、δαβ に

比例する項を加えることで χを変えずに gαβ の traceを 0にしてある。このような χを

考えると、式 (2.92)は Vαβ の係数が等しいことを示す方程式になり、次のようになる。

(vαvβ − 1

3δαβv2

)= I(gαβ) (2.94)

この gαβ はスカラー、ベクトル部分は含まれていないので matching conditionは自動的

に満たされる。

熱伝導の場合と同様にして gαβ の具体的な値を求めることはせずに、粘性係数の表式が

どのように与えられるかを見ていこう。式 (2.50) より、運動量流速密度テンソルのうち

散逸に関係する部分は次のように書ける。

σ′αβ = −m

∫vαvβf0χdp = ηαβγδVγδ (2.95)

ηαβγδ = −m

∫vαvβf0gγδdp (2.96)

四階テンソル ηαβγδ は添え字対 α, β、γ, δについてそれぞれ対称で、対 γ, δは縮約すると 0 になる。気体の等方性よりこのテンソルは単位テンソル δαβ のみで表され

るはずで、それは次のようになる。

ηαβγδ = η

[δαγδβδ + δαδδβγ − 2

3δαβδγδ

](2.97)

η = − m

∫vαvβf0gαβdp (2.98)

この表式を用いると σ′αβ = 2ηVαβ となり、η は求めるスカラー粘性係数であることが分

かる。

ではこの粘性係数 η を評価しよう。熱伝導のときと同様な評価を行なうと次のように

なる。

η ∼ mvnl (2.99)

この表式より粘性係数と熱伝導係数は同程度の大きさであることがわかる。具体的には次

のように書ける。

nc∼ η

mn∼ vl (2.100)

bulk viscosityの粘性係数を求めるには式 (2.91)の第二項が 0でない場合を考えればよ

く、次の式を考えることになる。(

3− ε

)∇ · u = I(χ) (2.101)

ここで次のような χを考える。

χ = g∇ · u (2.102)

shear viscosityの場合と同様に式 (2.101)は ∇ · uの係数が等しいことを示す方程式になり、次のようになる。

3− ε

cv= I(g) (2.103)

応力テンソル σ′αβ を shear viscosityの場合と同様に計算し、ζδαβ∇ ·uと比べると、粘性係数は次のように求まる。

ζ = − m

∫v2f0gdp (2.104)

ここで単原子気体の場合を考えよう。この場合 ε = mv2/2、cv = 3/2 なので、式

(2.101) の左辺は 0 になる。すると式 (2.103) は I(g) = 0 となり、g = 0 が得られる。

これを式 (2.104) に代入すると ζ = 0 となる。つまり非相対論の場合は単原子気体では

bulk viscosityの粘性係数は 0になることが分かる。

この reviewでは散逸係数を具体的には求めなかったが、散逸係数の具体的な形と実際

の求め方についてはランダウの教科書 [5] やMihalas [6]を参照。

2.1.10 moment展開

ボルツマン方程式の解を求める方法として、前の章では Chapman-Enskogの方法を説

明した。この方法は分布関数 f を平均自由行程 l と系の特徴的長さスケール L の比 l/L

で展開するという手法で、流体近似のような長波長領域では良い近似になっていたが、比

が小さくなくなるような短波長領域では l/L による展開の収束が悪くなり近似が悪くな

る。この問題は l/Lで展開する限り避けられない問題である。

この章では l/Lをあらわには用いない別の f の展開を説明する。これは分布関数 f を

Hermite polynomialsを用いて展開するもので、Grad [8] [9]らにより導入された。

まず局所平衡分布 (2.52)を考えよう。

f0(t,x,v) =ρ(t,x)

m(2πRT (t,x))3/2exp

[− c2

2RT (t,x)

](2.105)

c ≡ v − u (2.106)

この関数は matching condition により、分布関数 f の五個の局所的な量で定義されて

いる。

では分布関数 f(t,x,v)をこの局所平衡分布関数 f0(t,x,v)を重み関数として、ρ(t,x)、

u(t,x)、T (t,x)、a(n)(t,x)の無限この組に展開することを考えよう。この展開によりボ

ルツマン方程式は ρ、u、T、a(n) の無限個の moment の連立準線形微分方程式になる。

全ての微分方程式で時間微分は一階の線形微分となっている。また保存則に対応する ρ、

u、T の時間微分方程式以外は衝突項から a(n) の二次形式が現れる。一般にこれらの方程

式は単一の momentでは記述されず、厳密な解を得るには全ての方程式を解かなければ

ならない。そこで実用的な解法としては適当な a(m) までを考え、残りは a(n) = 0として

解く。一般にこの解法が良い近似になっている保証はなく、またこの moment 展開の収

束性に関してはわからないが、実験値との比較によれば長波長では比較的少ないmoment

数で良い近似になることがわかっている。

展開を考える前に物理量を無次元化しておこう。

ξ =c√RT

(2.107)

g =(RT )3/2

nf (2.108)

N、u、T の定義より、g には次のような条件が課される。∫

gdξ = 1 (2.109)∫

ξgdξ = 0 (2.110)∫

ξ2gdξ = 3 (2.111)

また無次元化された局所平衡関数は次のようになる。

(2π)3/2exp

[−ξ2

](2.112)

g を Hermite polynomialsを用いて次のように展開しよう。

g(ξ,x, t) = g0(ξ)∞∑

a(n)i (x, t)H(n)

i (ξ) (2.113)

= g0(ξ)(

a(0)i H(0) + a

(1)i H(1)

i +12!

a(2)ij H(2)

ij + · · ·)

f に直した場合は次のようになる。

f(ξ,x, t) = f0(ξ)∞∑

a(n)i (x, t)H(n)

i (ξ) (2.114)

Hermite polynomialsにおいてH(n)i は ξ 空間の n次のテンソルであり、a

(n)i も n次の

テンソルになっている。i = (i1 · · · in)は成分添え字で、今後は簡単のため Cartesian座

標で考える。また Hermite polynomialsは直交多項式で、次のような直交関係を満たす。

a(n)i =

∫gH(n)

i d3ξ =1n

∫fH(n)

i d3v (2.115)

最初のいくつかのH(n)i は次のようになっている。

H(0) = 1 (2.116)

H(1)i = ξi

H(2)ij = ξiξj − δij

H(3)ijk = ξiξjξk − (ξiδjk + ξjδik + ξkδij)

H(4)ijkl = ξiξjξkξl − (ξiξjδkl + ξiξkδjl + ξiξlδjk + ξjξkδil + ξjξlδik + ξkξlδij)

+(δijδkl + δikδjl + δilδjk)

H(n)i の特徴としては、H(m)

j とは n = mでかつ添え字 j が添え字 iを入れ替えものであ

る場合を除けば互いに独立で直交する。また ξi の係数としては ±1以外は現れない。

a(n)i については最初のいくつかは次のように定義される。

a(0) = 1 (2.117)

a(1)i = 0

a(2)ij =

a(3)ijk =

a(4)ijkl =

pRT− 1

p(pijδkl + pikδjl + pilδjk + pjkδil + pjlδik + pklδij)

+(δijδkl + δikδjl + δilδjk)

これらは定義により a(0) を除けば f = f0 の場合に全て 0になる。

a(3) の添え字を縮約することで次のように熱伝導を得る。

a(3)i = a

(3)irr =

RT(2.118)

このようにして Hermite 展開の係数で最初の意味のある moment として粘性テンソル

pij と熱流ベクトル qi が得られた。注意するべきことは、これらを特に取り上げたのは流

体近似で我々が特に慣れ親しんでいるからであり、これら以外の a(n)i も物理的に同等の

価値を持っているのである。

式 (2.113) を用いてボルツマン方程式を展開すると a(n)i についての無限階の連立微分

方程式になる。例えば a(2)ij については次のようになる。

∂a(2)ij

∂t+ ur

∂a(2)ij

∂xr+ a

∂xr+ (a(2)

ij + δij)1

Dt(2.119)

RT∂a

(3)ijr

∂xr+√

na(3)ijr

∂xr+

a(3)ijr

+∂ui

∂xj+

∂xi= J

D/Dtはラグランジュ微分である。また J(n)ij は衝突項からの寄与であり、次のようにし

て定義される。

J(n)i =

∞∑r,s=0

β(nrs)ijk a

(r)j a

(s)k (2.120)

i = (i1 · · · in), j = (j1 · · · jr), k = (k1 · · · ks)

β(nrs)ijk =

(θ,|ξ1 − ξ|√

)g0(ξ)g0(ξ1)H(r)

j (ξ)H(s)k (ξ1)[H(n)

i (ξ)]dθ dε dξ dξ1

(2.121)

上の式で次の定義を用いた。

[φ] = φ′ + φ′1 − φ− φ1 (2.122)

B は相互作用に関係する関数である。

式 (2.120) により J (n) は一般に a(n)i の二次形式の無限和になっていることがわかる。

そして式 (2.119)より a(2)i の時間微分方程式は全ての a

(n)i が含まれており、a

(2)i の時間

発展を解くには全ての連立微分方程式を解く必要があることが分かる。このことは一般の

a(n)i の時間微分方程式にも成り立つ。なお相互作用がポテンシャル U ∝ r−4 に従う場合

は特別で、この場合は式 (2.120)は有限個の和で閉じることが知られている。（このよう

な相互作用に従う粒子はMaxwell粒子と呼ばれる）

このように一般の相互作用の粒子の場合、これらの方程式を解くためには分布関数 f

はある有限個の a(n)i までに依存しないと近似し、無限階連立微分方程式を有限階にする

必要がある。単原子気体の流体近似を考える場合に良く用いられるのは、moment とし

て熱流、粘性までの 13個の moment を残す 13 moment expansionである。なお単原子

でない場合や相対論的な粒子の場合は bulk viscosityが残るため、これを加えた 14個の

momentが考慮される。このように近似すると f は次のようになる。

f = f0

2pRTvivj − qi

(1− v2

)(2.123)

これにより粘性テンソル pij と熱流ベクトル qi の方程式として次の式が得られる。

∂pij

∂xr(urpij) +

(∂qi

∂xj+

∂xi− 2

)(2.124)

+ pir∂uj

∂xr+ pjr

∂xr− 2

3δijprs

(∂ui

∂xj+

∂xi− 2

)+ βnpij = 0

∂xr(urqi) +

∂xj+

∂xi+

∂xr(2.125)

+ RT∂pir

∂xr+

∂xr− pir

∂Prs

+52p∂RT

∂xi+

23βnqi = 0

ここで Pij は応力テンソルである。この式は衝突のパラメータは次で与えられる β しか

入っていないことが分かる。

β(RT ) =25

√2π

∫ ∞

x6e−x2/2

B(θ, x√

2RT ) sin2 θ cos2 θ dθ

dx (2.126)

この β の解釈について考えてみよう。式 (2.124)、(2.125) において全ての量の位置の

依存性を無視すると次のような式になる。

∂pij

∂t+ βnpij = 0 (2.127)

23βnqi = 0 (2.128)

これらの式より、もし温度や平均速度の勾配がなかった場合は粘性 pij や熱流 qi は

1/βN 程度の時間で指数関数的に減衰することが分かる。ここで β は定義式 (2.120)から

β ∼ vrelσ であることが分かる。このことから 1/βnは自由走行時間程度であることが分

かる。

また式 (2.124)、(2.125)を Chapman-Enskog展開しよう。セクション 2.1.7の f1 に対

応する項まで残すことにすると次のようになる。

(∂ui

∂xj+

∂xi− 2

)+ βNp

(1)ij = 0 (2.129)

52p∂RT

∂xi+

23βNq

(1)i = 0 (2.130)

f1 までの精度という意味で p(1)ij 、q

(1)i とした。これは一次の Chapman-Enskog展開から

得られる粘性と熱伝導と同等であることがわかる。この式から散逸係数を計算すると次の

ようになる。

β∼ nlv (2.131)

κ =154

β∼ cnlv (2.132)

この式より確かに β の解釈は散逸係数の正しい物理量の依存性を導くことが分かる。λは

η に対応する量だが粘性の定義の違いから係数にmのずれが現れている。

では式 (2.124)、(2.125) の特徴を詳しく見てみよう。物理系の特徴的な時間が 1/βN

より十分長い場合を考えよう。式 (2.124)、(2.125)を次のように書き直す。

∂pij

∂t+ Aij + βNpij = 0 (2.133)

∂t+ Bi +

23βNqi = 0 (2.134)

Aij、Bi は 1/βnではほとんど定数だと仮定しよう。すると上の式は Aij、Bi を source

termとした非斉次常微分方程式とみなせる。すると一般解は式 (2.127)、(2.128)から得

られる粘性と熱伝導の初期条件の減衰を表す項と、次の定常状態を表す項の和になる。

pij = −Aij

βn(2.135)

qi = −32

βn(2.136)

このことより、粘性 pij と熱伝導 qi の初期条件が何であれ、極めて短い時間 1/βn で定

常状態である上の式に向かうことが分かる。また多くの場合 Aij と Bi の中で支配的に

なる項はそれぞれ速度勾配、温度勾配であり、これは Chapman-Enskog の一次の展開

よりも良い精度であることを示している。また系の特徴的な時間が 1/βN に近くなると

Chapman-Enskogの展開よりも良い精度になると期待できる。

(2.124)の特徴として、静止状態の気体の場合熱伝導 qi が平均速度 ui と全く同じ形で

式の中に現れることを述べておこう。これは相対論的な運動論の場合に述べる Landau-

Lifshitz四元速度を強く示唆している。

moment 展開から得られる方程式系の特徴を見てみよう。セクション 2.1.7 より

Chapman-Enskog の方法から Navier-Stokes 方程式が得られることを示したが、この

微分方程式は放物型になっており情報の伝播は無限の速さで行なわれる。このことは同

じ近似の精度の熱伝導方程式で、初期にデルタ関数的な熱の分布を与えると瞬時に正規

分布の形になり、無限遠さえも必ず有限の温度を持つようになることからも理解できる。

このことは速さに上限のない非相対論では問題にはならないが、光速という上限を持つ

相対論では深刻な問題を引き起こす。一方この章で説明した moment展開は式 (2.119)、

(2.124)、(2.125)から、方程式系は双曲型になることがわかる（これは全てのmomentに

いて成立する。詳細は付録 Bを参照）。双曲型の方程式は波動解を持ち情報の伝播は有限

の速度になり、因果律を守る理論が作れる。以上のことより相対論的な散逸の理論を考え

る場合には moment展開を用いることが有効であることがわかる。

最後に moment 展開の精度について述べよう。moment 展開はその展開法から

Chapman-Enskog の方法のように l/L の比の大きさに依存しないように思える。こ

のことは展開した moment を全て残した場合には厳密に正しい。しかし事実上無限個

の moment を解くことは現実的に不可能であり、実用的には上記の 13-moment 展開の

ように有限個の momentまでしか考慮できず、この有限個で打ち切るという操作により

moment展開の精度に波数依存性が入るのである。具体的に述べると、Hermite展開は式

(2.113)から分かるようにあくまで局所平衡分布の周りで展開を行なっている。このこと

は momentの次数が大きくなればなるほど局所平衡からのずれが大きい現象を表すこと

を示唆する。つまり次数の大きい momentは気体分子の衝突ではなく free streamingの

効果を反映しているのである。すると長波長領域では衝突が盛んであるため衝突の効果

を表す初めの少数の moment により現象は良く表されるが、短波長領域では粒子の free

streaming の効果が優勢になり高次の moment を考慮する必要が出てくるのである。ま

た一般に短波長になればなるほど展開の収束が悪くなり高次の momentを多数考慮必要

が出てくる。

有限個の moment を残した場合分散関係がどのような振る舞いをし、それが実際の分

散関係とどのように異なるのかを述べてこの章を締めよう。まず簡単のため温度と熱伝導

にのみ摂動が入った場合を考えよう。その場合エネルギー方程式と熱伝導の方程式は次の

ようになる。

∂δT

∂t+∇ · δq = 0 (2.137)

τ∂δ∇q

∂t+ δq = −κ∇δT (2.138)

τ は自由走行時間で κは熱伝導率である。これらは定数であると仮定しよう。

摂動量が exp[−nt + ikx]に比例するような解を考えよう。δT、δqが解を持つ条件とし

て次の分散関係が得られる。

n2 − 1τ

n + Kk2 = 0 (2.139)

K = κ/τcv とおいた。

この分散関係を nについて解くと次の解が得られる。

n =12τ

√1− 4τKk2

](2.140)

これを図示すると減衰率は次のようになる。

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0k

図 2.1 熱伝導の減衰率。K = 1、τ = 1としてある

k = 0 で n = 0 から通常の熱伝導によるエネルギーの減衰に対応するモードが、

n = 1/τ から熱伝導自身の減衰に対応するモードがあり、これらはある波数で coupleし

ていることがわかる。注意するべきことはまず熱伝導の減衰のモードは波数が大きくなる

につれて減衰率が小さくなってしまっている。また二つのモードが coupleするとそれ以

降は波数が大きくなっても減衰率はそれ以上大きくならなくなることがわかる。このこと

は考えているスケールがどれだけ小さくなっても減衰率が大きくならなかったり減少した

りするという点で物理的な直観に反しており、事実今回の BGK近似の結果や相互作用に

モデルをいれた線形化されたボルツマン方程式の分散関係の結果とも矛盾している。これ

らの特徴は moment展開に一般に当てはまることである。（付録 B参照）

2.2 相対論的運動論

この章では前章で説明した運動論を相対論的な形式に拡張する。相対論では座標変換に

対して理論が不変である必要があり、この章では運動論を共変な形式で作っていく。なお

簡単のためこの論文を通して座標変換はロレンツ変換のみを考える。このためそのままの

理論形式では一般相対論に対しては用いることは出来ないが、一般相対論への拡張は容易

である。この章ではラテン文字は空間添え字を、ギリシャ文字は四次元の添え字を表すも

のとする。また metricの符号系は (+−−−)を用いる。また光速 cは 1とする。

この章の reviewは主に de Groot [10]と C. Cercignani [11]の教科書に従う。

2.2.1 相対論的な分布関数と位置空間での物理量の定義

まず分布関数 f(x,p)を非相対論の場合と同様に定義する。この f はロレンツスカラー

であることを示そう。まず分布関数 f の定義より∫

fd3xd3pは全位相体積内の粒子数を

表す。これは座標によらない量であるので、f がロレンツスカラーであることを示すには

d3xd3pがロレンツスカラーであることを示せばよい。

まず運動量 p の四元体積 d4p はロレンツ変換に対してスカラー関数である。またデル

タ関数 δD(pµpµ −m2)は引数がスカラーで構成されているため、次の量はロレンツスカ

ラーになっている。∫

d4p δD(pµpµ −m2) (2.141)

この積分の被積分関数は次のように変形できる。∫

d4p δD(pµpµ −m2) =∫

2EδD(p0 − E)

∣∣∣∣p0>0, E=

√p2+m2

(2.142)

∣∣∣∣p0=

√p2+m2

式変形の中で次のデルタ関数の性質を用いた。

δD(φ(x)) =∑

1|φ′(ai)|δD(x− ai) (2.143)

式 (2.142)により、積分値はロレンツスカラーであるため次の量がロレンツスカラーであ

ることが示された。

dpxdpydpz

∣∣∣∣p0=

√p2+m2

(2.144)

2.2 相対論的運動論 33

考えている粒子の静止系を K系とし、K系に対して速さ V で動く座標系を K’系とし

よう。そのときロレンツ変換から次の式が成り立つ。

d3xd3p = γd3x′ · p0

(d3p′

)= d3x′d3p′ (2.145)

この式から d3xd3pがロレンツスカラーであることが示され、以上により分布関数 f はロ

レンツスカラーであることが示された。

ではこの f を用いて次の物理量を定義しよう。まず四元粒子流束 Nµ は次のように定

義される。

定義 7.

Nµ = (n, j) ≡∫

p0pµf : 四元粒子流束 (2.146)

ここで nは粒子数密度で jは三次元粒子流束である。

またエネルギー運動量テンソルは次のように定義される。

定義 8.

Tµν ≡∫

p0pµpνf : エネルギー運動量テンソル (2.147)

最後に四元エントロピー流束は次のように定義される。

定義 9.

Sµ ≡ −∫

p0pµf(ln f − 1) : 四元エントロピー流束 (2.148)

2.2.2 相対論的 Boltzmann方程式の導出

この章では相対論的なボルツマン方程式の導出を行なう。非相対論の場合と同様に粒子

は中性で短距離力のみが働くと仮定する。また縮退はしていないと仮定する。

ロレンツスカラー関数 f の時間発展方程式を求めよう。そのために先の証明と同様に

全位相空間の粒子数は時間に依存しないことを用いる。位相体積を dµ = d3xd3pとし全

位相空間の粒子数を N(t)と置いたとき、次の式が成り立つ。

∆N = f(t + ∆t,x + v∆t,p + F∆t)dµ(t + ∆t)− f(t,x,p)dµ(t) = 0 (2.149)

この式で v = p/p0 で、Fは外力を表す。この式を微少な時間 ∆tで展開することを考え

よう。そのためにまず dµの微笑時間変化を求めておく。時間変化は次のように座標変換

と考えられる。

dµ(t + ∆t) = |J |dµ(t) (2.150)

J =∂

(x1(t + ∆t), x2(t + ∆t), · · · , p3(t + ∆t)

∂ (x1(t), x2(t), · · · , p3(t))(2.151)

∆tを微小と考えるとヤコビアン J は次のようにして展開できる。

J = 1 +∂F i

∂pi∆t + O

[(∆t)2

](2.152)

f をテイラー展開したものと合わせると、式 (2.149)は次のように展開できる。

∂t+ vi ∂f

∂xi+ F i ∂f

∂pi+ f

∂F i

]dµ(t) (2.153)

=[∂f

∂t+ vi ∂f

∂xi+

∂(fF i)∂pi

]dµ(t) = 0

この式をロレンツスカラーにするために座標時間 t を固有時 s で書き直すと次のように

なる。

Ds= γ

∂t+ vi ∂f

∂xi+

∂(fF i)∂pi

]dµ(t) (2.154)

∂t+ vi ∂f

∂xi+

∂(fF i)∂pi

]dµ(t)

∂xν+

∂(fF i)∂pi

]dµ(t) = 0

第一項は共変な形なので第二項を共変な形に変形しよう。まず相対論的力学より次のよう

な四元化力が定義される。

Kµ =(

p · Fm

)(2.155)

pµKµ = 0 (2.156)

また式 (2.154)の ∂/∂pは座標 xを止めての偏微分だったが、更に p0 を独立変数として

考慮すると連鎖律より次のようになる。

∂p→ ∂p0

p∂p0

∂p0+

∂p(2.157)

これらを考慮して式 (2.154)の第二項を次のように変形する。

∂(fF i)∂pi

(fK · p

· (fK)]

(2.158)

=∂fK0

∂p0+

∂p· (fK)

=∂fKµ

∂pµ

以上により全粒子数の変化は次のように共変形式で書ける。

∂xν+

∂(fKν)∂pν

]dµ(t) = 0 (2.159)

非相対論の場合と同様にボルツマン方程式の精度によりつく無限小のスケールの下限未

満のスケールで起きる衝突の効果を入れると上の式の右辺は 0 ではなく衝突による項が

入ってくる。基本的な考え方は非相対論の場合と同じように衝突により p に入ってくる

粒子数から出て行く粒子数を引けばよく、式 (2.23) をそのまま拡張すればよい。その際

に問題になるのが相対速度 vrel と微分散乱断面積 dσ をいかに共変的に表すか、という問

題である。

まず次のような状況を考えよう。二本の衝突粒子のビームがあったとし、それぞれの粒

子の数密度を n1、n2 とする。このとき相対論的な散乱断面積を粒子２の静止系での全散

乱断面積 σ =∫

dσ、そして相対速度 vrel を粒子２の静止系での粒子１の速度と定義しよ

う。この定義によりこれらの量はロレンツスカラーである。すると粒子２の静止系で体積

dV の中で時間 dtの間に起こる衝突の数 dν は次のようになる。

dν = σvreln′1n′2dV ′ dt′ (2.160)

粒子２の静止系での量として ′ をつけた。dν は定義よりロレンツスカラーである。

この式を任意の座標系でも使えるように拡張しよう。任意の座標系での dν を次のよう

に表す。

dν = An1n2dV dt (2.161)

Aは粒子２の静止系で σvrel に等しくなる量であり、今から形を求める量である。

四元体積 dV dtはロレンツスカラーである。dν がロレンツスカラーなので、An1n2 は

ロレンツスカラーでなくてはならない。nの変換則について考えよう。一般の nについて

粒子の静止系での値に添え字 0をつけると、粒子数 ndV の不変性から粒子の静止系から

一般の系にロレンツ変換すると次のような関係が得られる。

n = γn0 =p0

mn0 (2.162)

この関係により、An1n2 の不変性は Ap01p

02 の不変性と同等であることが分かる。とこ

ろで Ap01p

02 は p0

1 のためにこのままの形では粒子２の静止系で σvrel にはならない。この

ため次の量を考えることにする。

p1µpµ2

= Ap01p

02 − p1 · p2

(2.163)

この量の分母はロレンツスカラーであり不変性を変えない。また粒子２の静止系で

p02 = m2、p2 = 0でありるためこの量は粒子２の静止系で σvrel になる。また粒子２の

静止系では A = σvrel より、Aは任意の静止系で次のようになる。

A = σvrelp1µpµ

(2.164)

この式を完全に共変形式にするために vrel を任意の基準系における運動量で表そう。

p1µpµ2 は粒子２の静止系で次のように書ける。

p1µpµ2 =

m1√1− v2

m2 (2.165)

これより

vrel =

√1− m2

(p1µpµ2 )2

(2.166)

この式は全て共変な量で書かれているので求めていた式である。またこの表式は p1 と p2

について対称であり、これは相対速度がどちらの粒子に対して定義するかによらないこと

に注意するべきである。

dν で n =∫

d3p f を代入した式を用いると非相対論の時と同様の議論で衝突項が計算

でき、次のようになる。(

dµ(t) = dµ(t)∫

(f ′f ′1 − ff1)pµpµ

vrelσd3p1 (2.167)

dµ(t)

以上より相対論的なボルツマン方程式は共変な形式で次のようになる。

pν ∂f

∂xν+ m

∂(fKν)∂pν

∫(f ′f ′1 − ff1)

pµpµ1

vrelσd3p1 (2.168)

両辺を p0 で割り整理すると次のようにも書ける。

∂xi+

∂(fF i)∂pi

(f ′f ′1 − ff1)pµpµ

vrelσd3p1 (2.169)

2.2.3 H定理

非相対論の場合と同様に得られた式 (2.168)が物理的な理論であることを確認するため

に H 定理を示そう。非相対論では適当な観測者を定めて全体積で積分してしまったが、

相対論では座標に依存しない共変形式で表したいので全体積で積分したエントロピーでは

なくセクション 2.2.1 で定義したエントロピー流束の発散が正であることを示す。自由運

動がエントロピーを増大させないのは非相対論の場合と同様にガウスの積分から容易に示

せるので、エントロピー流速の発散が正であることを示せば任意の座標系でエントロピー

が正であることが示せる。

定義より ∂µSµ は次のようになる。

∂µSµ = −∫

p0pµ∂µ [f(ln f − 1)] (2.170)

= −∫

p0ln f pµ∂µf

この式に式 (2.168)を用いると次のようになる。

∫d3p

p0ln f

∂(fKµ)∂pµ

−∫

p0ln f(f ′f ′1 − ff1)pµpµ

1vrelσd3p1

(2.171)

第一項は次のように変形できる。

∫d3p

p0ln f

∂(fKµ)∂pµ

= −m

∫d4p

∂pµδD(p2 −m2)θ(p0)f(ln f − 1)Kµ(2.172)

θ(p0)は階段関数である。この式は発散の形になっているのでガウスの定理により表面積

分になり、エネルギーが有限という条件から 0になる。

続いて第二項に移ろう。非相対論と同様の議論により衝突項において次の恒等式が成り

立つ。∫

φ(f ′f ′1 − ff1)pµpµ1vrelσ

(2.173)

∫(φ + φ1 − φ′ − φ′1)(f

′f ′1 − ff1)pµpµ1vrelσ

この式を用いて非相対論の場合と同様な議論をすると次の式が得られる。

∂µSµ = −14

f ′f ′1

(1− ff1

f ′f ′1

)f ′f ′1pµpµ

1vrelσd3p

(2.174)

(1− x) lnxは x > 0で負になり、x = 1で 0になる。以上より被積分関数内は必ず負で

あることが示され、次の結果が得られる。

∂µSµ ≥ 0 (2.175)

これにより式 (2.168)はエントロピーの増大則を満たすことが示された。

2.2.4 相対論的な平衡解と熱平衡状態

以降は外場がない場合を考えていく。非相対論の場合と同様に外場がない場合ボルツマ

ン方程式 (2.168)の左辺は運動量 pのみの関数は 0になる。次に右辺に注目すると、右辺

が恒等的に 0になるのは被積分関数が恒等的に 0になる場合で平衡分布関数 f0 は次の条

件を満たさなくてはならない。

f ′0f′01 − f0f01 = 0 (2.176)

この式の lnをとると次のようになる。

ln f ′0 + ln f ′01 − ln f0 − ln f01 = 0 (2.177)

非相対論の場合と同様に二体衝突でこの関係を満たす量は四元運動量と粒子数の保存則

の保存量のみなので ln f0 は次のように表せられる。

ln f0 = α + βµpµ (2.178)

この式から f0 は次のようになる。

4πm2TK2(ζ)exp

[−uµpµ

](2.179)

n、T、uµ の意味は後ほど明らかになる。なお uµ は uµuµ = 1のように規格化されてい

るとする。これは T の定義の仕方によりいつでも可能である。

この平衡分布関数は Maxwell-Juttner 分布と呼ばれる相対論的ボルツマン方程式の平

衡解である。またこの分布関数は式 (2.174) の右辺を 0にし、エントロピーは最大の状態

を表すため物理的な平衡解にもなっている。

様々な ζ についてこの分布関数をプロットすると次のようになる。これらは後に四元速

度に対応する uµ の静止系で計算したもので縦軸は分布の最大値を 1に規格化していると

する。

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

図 2.2 ζ = 100の平衡分布関数

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

図 2.3 ζ = 1の平衡分布関数

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

図 2.4 ζ = 0.01の平衡分布関数

横軸は光速 cで規格化した速さで、どの分布も光速までの粒子しか存在せず、相対論的

な要請を守っていることがわかる。また ζ = 100は非相対論的な極限に対応し、非相対論

的な平衡分布であるMaxwell分布に似た分布をしている。また相対論的な効果が顕著に

なり始める ζ = 1では分布関数は正規分布から大きく外れてきて、光速に近い速さを持つ

粒子が増えることがわかる。超相対論的な分布に内応する ζ = 0.01では光速に非常に近

い粒子達以外はほぼ同じ確率で存在するようになっているのがわかる。

ではこの平衡分布関数を用いて熱平衡状態の熱力学量を計算しよう。まず四元粒子流束

Nµ はセクション 2.2.1から次の形のはずである。

Nµ =∫

p0pµf0 =

4πm2TK2(ζ)

∫d3p

p0pµ exp

[−uµpµ

](2.180)

一方平衡状態は等方的なのでマクロな量のベクトルは uµ だけであり

Nµ = n′uµ (2.181)

となる。まず四元速度 uµ の静止系で計算しよう。更に次のように運動量空間の極座標で

考える。

d3p = p2dpdΩ = pp0dp0dΩ (2.182)

p = ‖p‖である。また次のように無次元化しておこう。

T(2.183)

式 (2.180)、(2.181)より両辺に uµ を掛け、uµ の静止系で考えると次のようになる。

n′ =n

4πm2TK2(ζ)

∫d3p

p0p0 exp

[−uµpµ

](2.184)

ζ2K2(ζ)

∫ ∞

dzz√

z2 − ζ2e−z (2.185)

ここで次の積分公式を用いる。

Kn(ζ) =2nn!(2n)!

∫ ∞

dz(z2 − ζ2)n−1/2e−z (2.186)

=2n−1(n− 1)!

(2n− 2)!1ζn

∫ ∞

dzz(z2 − ζ2)n−3/2e−z (2.187)

二つ目の等号は部分積分を行なっている。

これを式 (2.185)に用いると n′ = nが導かれ、Nµ = nuµ が示される。

では次にエネルギー運動量テンソルの計算に移ろう。セクション 2.2.1 から Tµν は次

の形のはずである。

Tµν =∫

p0pµpνf0 =

4πm2TK2(ζ)

∫d3p

p0pµpν exp

[−uµpµ

](2.188)

一方平衡状態は等方的なので二階テンソルを作り得るマクロな量は uµuν、ηµν だけで

あり

Tµν = neuµuν − Pγµν (2.189)

となる。γµν = ηµν − uµuν であり、次のセクション 2.2.5で詳しく説明される。

式 (2.189)からスカラー量 e、P は次のように f0 から与えられる。

ne = Tµνuµuν =∫

p0(pµuµ)2f0 (2.190)

P = −13Tµνγµν = −1

∫d3p

p0pµpνγµνf0 (2.191)

Nµ の場合と同様の計算を行なうと次のように計算できる。

P = nT (2.192)

e = mK1(ζ)K2(ζ)

+ 3T (2.193)

式 (2.192)は気体の状態方程式で、ボルツマン方程式の導出で暗に仮定されていた希薄気

体の結果である。また変形ベッセル関数は次の recurrence relationが成り立つ。

Kn+1(ζ) = 2nKn(ζ)

ζ+ Kn−1(ζ) (2.194)

この関係式を用いると式 (2.193)は次のようにも書き直せる。

e = mK3(ζ)K2(ζ)

− T (2.195)

式 (2.192)、(2.195)を用いるとエンタルピーは次のように計算できる。

h = e +P

K3(ζ)K2(ζ)

(2.196)

エネルギーとエンタルピーが得られたので比熱が次のように計算できる。まず定義より

次のようになる。

, cV =(

(2.197)

先に得られた結果よりこれらは次のように計算できる。

cP =Γ

Γ− 1=

dζ−1

K3(ζ)K2(ζ)

(2.198)

cV = cP − 1 (2.199)

Γは比熱比である。ここで変形ベッセル関数の recurrence relationを考える。

Kn(ζ)ζn

= −Kn+1(ζ)ζn

(2.200)

この式と式 (2.194)を用いると cP は次のように計算できる。

cP =Γ

Γ− 1= ζ2 +

(2.201)

またエントロピー密度 sを次のように定義する。

ns = Sµuµ = −∫

p0pµuµf(ln f − 1) (2.202)

熱平衡状態では f0 を代入すればよい。ここで係数部分を次のように書き換えておこう。

f0 = exp[µ− pµuµ

](2.203)

これを式 (2.202)に代入し、式 (2.185)、(2.190)を用いると次のように計算できる。

T(e− µ) + n (2.204)

よって次の関係式が得られる。

µ = e +P

n− Ts = h− Ts (2.205)

この式から µが化学ポテンシャルに対応することが分かる。

最後にここまでで得られた物理量の非相対論的極限と超相対論的極限を計算しよう。こ

れまで求めた物理量で T に関して線形でない量は全て ζ の形で変形ベッセル関数の中に

含まれている。そこで非相対論的な極限を ζ À 1とし、ζ ¿ 1と考えよう。この関係か

らも分かる通り相対論的な運動論では masslessの極限と高エネルギーの極限が自然に一

致する。

まずは非相対論的な極限を考えよう。そのために次の変形ベッセル関数の漸近展開を用

いる。

Kn(ζ) '√

2ζe−ζ

4n2 − 18ζ

+(4n2 − 1)(4n2 − 9)

2!(8ζ2)+ · · ·

](ζ À 1) (2.206)

これを用いると、式 (2.195)、(2.196)、(2.201)から次のような非相対論的極限の式が得ら

れる。

e ' m +32T +

m+ · · · (2.207)

h ' m +52T +

m+ · · · (2.208)

Γ ' 53− 5

m+ · · · (2.209)

これらより最低次で非相対論の結果が再現されていることが分かる。

超相対論的極限の場合は次の関係を用いる。

limζ→0

ζnKn(ζ) = 2n−1(n− 1)! (2.210)

すると同様にしてこの極限で次の関係が得られる。

e = 3T (2.211)h = 4T (2.212)

Γ =43

(2.213)

気体の状態方程式は変わらず P = nT が成り立ち、式 (2.211)から次の式が成り立つ。

3(2.214)

この式から次の式が成立することが分かる。

trTµν = 0 (2.215)

2.2.5 Eckart分解と Landau-Lifshitz分解

熱平衡気体では前章のように気体の四元速度が非相対論の場合と同様にユニークに定義

された。ところが一般の非平衡気体の相対論的な運動論では非相対論とは違い流体の四元

速度がユニークには定義できなくなる。この章ではこのことについて説明する。

まず分布関数 f を介さずに次のように time likeな四元速度 uµ を定義しよう。

定義 10.

uµ : 四元速度 (2.216)uµuµ = 1 (2.217)

この四元速度を用いて次の射影テンソルを定義する。

定義 11.

γµν : 空間射影テンソル (2.218)γµν = gµν − uµuν (2.219)

g は計量テンソルである。この修士論文では特殊相対論を扱っているので以降は計量テ

ンソルはMinkowski空間の計量テンソル ηµν として考える。

これらのテンソルを用いるてセクション 2.2.1で得た巨視的な量を既約分解し、更に平

衡部分と散逸部分に分解しよう。まずエネルギー運動量テンソルは次のように既約分解で

きる。

Tµν = ηµρηνσTρσ (2.220)= (γµρ + uµuρ)(γνσ + uνuσ)Tρσ

= (Tρσuρuσ)uµuν

+ (uρTρσγσµ)uν + (uρTρσγσν)uµ

γµργνσ − 13γµνγρσ

13γµνγρσ

この式を平衡分布 f0 は等方的であることに注意して次のように平衡部分と散逸部分に分

ける。

Tµν = neuµuν (2.221)+ (qµ + hEγµνNν)uν + uµ(qν + hEγνµNν)+ p〈µν〉 − (P + Π)γµν

同様にして四元粒子流束 Nµ を分解すると次のようになる。

Nµ = nuµ + νµ (2.222)

ここで粒子流束の散逸部分 νµ は次のように四元速度 uµ と直交する。

uµνµ = 0 (2.223)

この式に現れる物理量は次のように定義される

定義 12.

n ≡ Nµuµ : 粒子数密度 (2.224)

p〈µν〉 ≡(

γµργνσ − 13γµνγρσ

)Tρσ : 粘性テンソル (2.225)

P + Π ≡ −13γµνγρσTρσ : 熱力学的圧力 + bulk viscosity (2.226)

qµ ≡ uρTρσγσµ − hEγµνNν (2.227)

= uρTρσγσµ − hEνµ : 熱伝導

e ≡ 1n

Tρσuρuσ : 一粒子辺りのエネルギー密度 (2.228)

p〈µν〉は対称な tracelessテンソルである。また流体の内部エネルギー密度は勝手に散逸

しないとして T 00 ≡ Tµνuµuν には散逸項は含まれていない。また熱伝導は粒子流速では

運ばれないエネルギー流なので、四元速度と垂直に動く粒子達によって運ばれるエンタル

ピーは引き抜いて定義される。

uµ はベクトルなので uµ の方向を定めることは式 (2.221)、(2.222)より Tµν のベクト

ル成分である T 0µ と Nµ を定めることに対応する。代表的な方向の定め方としては次の

二つがある。

まず Eckart速度 [1]は次のように定義される。

定義 13.

uµE : Eckart velocity (2.229)Nµ = nuµ

E (2.230)Tµν = neuµ

EuνE (2.231)

+ (qµuνE + uµ

+ p〈µν〉 − (P + Π)γµν

この速度は四元粒子流束 Nµ の方向を uµ の方向にとったもので、非相対論の流体の速

度を相対論への拡張したものに対応する。uµE は f を用いて次のように定義される。

uµE ≡ Nµ

√NµNµ

∫d3p

p0pµf (2.232)

もう一つの有名な四元速度として Landau-Lifshitz速度 [2]は次のように定義される。

定義 14.

uµL : Landau− Lifshitz velocity (2.233)Nµ = nLuµ

L + νµ (2.234)Tµν = nLeLuµ

LuνL (2.235)

+ p(µν)L − (PL + ΠL)γµν

この速度は Tµν のエネルギー流束方向、つまり熱伝導の方向を uµ の方向に取ったもの

である。uµL は f を用いて次のように定義される。

uµL ≡

TµνuLν√uLρT ρσTστuτ

=uLν√

uLρT ρσTστuτL

∫d3p

p0pµpνf (2.236)

これら二つの四元速度に優劣はないが、Eckart速度は速度の概念が非相対論の場合と

同じであり考えやすいというメリットを持つ。また Landau-Lifshitz速度は非相対論と速

度の概念が異なり得られた結果をナイーブには解釈できないというデメリットはあるもの

の、Tµν の形が簡単になるというメリットがある。

最後にこの二つの速度の間の関係式を導出しよう。特に流体現象に興味があるので、散

逸項の二次のオーダーの項は小さいとして無視することにする。まず uµE と uµ

L を次のよ

うに関係付ける。

uµL = uµ

E + Uµ (2.237)

これらの二乗をとり、散逸部分 Uµ の一次まで残すと次のようになる。

uLµuµL = 1 = (uµ

E + Uµ)(uEµ + Uµ) ' 1 + 2UµuEµ (2.238)

この式から散逸の一次を残す近似では Uµ は uµE と直交することが分かる。この結果次の

関係式が成り立つ。

uLµuµE = 1 (2.239)

ところで四元粒子流束は次のように書ける。

Nµ = nuµE = nLuµ

L + νµ (2.240)

この式の両辺と uµL の内積をとり式 (2.239)を利用すると次のような結論が得られる。

n = nL (2.241)

つまり散逸の一次までを考慮する近似では Eckart速度の静止系の粒子数密度と Landau-

Lifshitz 速度の静止系での粒子数密度は一致する。またこの関係を用いると式 (2.237)、

(2.240)から次のことが分かる。

Uµ = −νµ

n(2.242)

エネルギー運動量テンソルについても同様のことを行なおう。まず次の式が成り立つ。

Tµν = neuµEuν

E + (qµuνE + uµ

Eqν) + p〈µν〉 − (P + Π)γµν (2.243)

= nLeLuµLuν

L + p(µν)L − (PL + ΠL)γµν

この式に式 (2.237)を代入して整理すると、散逸の一次を残す精度で次のような関係が得

られる。

PL = P, eL = e, ΠL = Π, p(µν)L = p〈µν〉, νµ = − 1

hEqµ (2.244)

ここで hE = e + P/nは一粒子当たりのエンタルピーである。この式から四元速度の変化

はベクトル部分以外は散逸の二次以上の変化しか与えず、ベクトル部分のみが散逸の一次

で変化を受けることが分かる。結局 Eckart速度と Landau-Lifshitz速度の関係は次のよ

うになる。

uµE = uµ

L −1

nhEqµ (2.245)

なお熱平衡状態では熱伝導 qµ は存在しないので Eckart 速度と Landau-Lifshitz 速度

の区別はなくなることに注意しよう。

最後になぜ相対論的な運動論では流体の速度がユニークに定義できなくなったのかを説

明しよう。非相対論的な流体では流体の速度は粒子流束の方向で与えられ次の式で定義さ

れた。

j = ρv (2.246)

この式で定義された速度は、方向は流体の運動の方向であり、その大きさは速度方向に垂

直な単位面積を通って単位時間内に流れる流体の質量に等しい。つまり流体の速度は流体

の慣性の移動する方向に等しくなるように定義された。

一方相対論的流体では、式 (2.207)から分かるようにエネルギーと質量が同じ意味を持

ち、流体の慣性が移動する方向とエネルギーの移動する方向の区別が原理的に不可能にな

る。このことは式 (2.221)、(2.222)から分かるように相対論的な運動論で一般に線形独立

なベクトル量が二種類出てきてしまうことに現れている。

2.2.6 巨視的方程式

前のセクションまでで定義された物理量を用いて巨視的な方程式、つまり流体方程式を

導出しよう。そのためにまずは保存則を導出する。まず外場がない場合のボルツマン方程

式は式 (2.168)から次のように書ける。

pµ∂µf =(

(2.247)

この式の両辺から 1、pν を掛けて d3p/p0 で積分し、式 (2.173)を用いると次の式が得ら

れる。

∂µNµ = 0 (2.248)∂µTµν = 0 (2.249)

この式はそれぞれ粒子数、四元運動量の保存則に対応する。

ではこの式を熱力学量に関してあらわな式に書き直そう。以降は一般の四元速度での表

式 (2.221)、(2.222) を用いて計算し、適宜 Eckart 速度、Landau-Lifshitz 速度での表式

を表す。

まず偏微分 ∂µ を四元速度 uµ を用いて次のような共変的な形にしよう。

∂µ = ηµν∂ν = uµuν∂ν + γµν∂ν ≡ uµD +∇µ (2.250)

D ≡ uµ∂µ∗=

∂t(2.251)

∇µ ≡ γµν∂ν∗= − ∂

∂xi(2.252)

∗=は uµ の静止系を表す記号で、D は四元速度 uµ の静止系での時間微分で、一般座標系

では非相対論での Lagrange微分に対応する。また ∇µ は四元速度の静止系での空間微分

に対応する量である。

まずは連続方程式 (2.248)はこれらの微分を用いて次のように計算できる。

Dn = −n∇µuµ −∇µνµ + νµDuν (2.253)

Eckart速度では νµ = 0となるので次のようになる。

Dn = −n∇µuµ (2.254)

Landau-Lifshitz速度では νµ = −qµ/hE なので次のようになる。

Dn = −n∇µuµ +∇µqµ

hE− qµ

hEDuν (2.255)

続いて運動方程式の導出に移ろう。運動方程式は運動量保存則から出てくるはずなの

で、式 (2.221)の両辺から γρν を作用させる。ここで簡単のため次の量を定義する。

Wµ ≡ uνTνργρµ = qµ + hEνµ (2.256)

すると Tµν は式 (2.221)から次のようになる。

Tµν = neuµuν + Wµuν + uµW ν+ p〈µν〉 − (P + Π)γµν (2.257)

この式を (2.256)に代入すると次の式が得られる。

nhEDuµ = ∇µP +∇µΠ− γµν∇σpνσ (2.258)

+ (pµνDuν − γµν DW ν −Wµ∇νuν −W ν∇νuµ)

これが相対論的な運動方程式である。速度 uµ の係数が質量ではなくエンタルピーになっ

ており、括弧内の相対論的な補正項が加わっていることに注意せよ。

Eckart速度ではWµ = qµ なので、運動方程式は次のようになる。

+ (pµνDuν − γµν Dqν − qµ∇νuν − qν∇νuµ)

続いて Landau-Lifshitz速度ではWµ = 0なので、運動方程式は次のようになる。

+pµνDuν

エネルギー方程式はエネルギー保存則から出てくるので、式 (2.221)の両辺から uν を

作用させる。すると次の式が得られる。

D(ne) = −nhE∇µuµ + pµν∇νuµ −∇µWµ + 2WµDuµ (2.261)

連続方程式 (2.255)を用いて Dnを消去すると次のようになる。

nDe = −P∇µuµ −Π∇µuµ + pµν∇νuµ −∇µWµ + e∇µνµ (2.262)+(2Wµ − eνµ)Duµ

式 (2.261)、(2.262)は Eckart速度では次のようになる。

D(ne) = −nhE∇µuµ + pµν∇νuµ −∇µqµ + 2qµDuµ (2.263)nDe = −P∇µuµ −Π∇µuµ + pµν∇νuµ −∇µqµ + 2qµDuµ (2.264)

Landu-Lifshitz速度では次のようになる。

D(ne) = −nhE∇µuµ + pµν∇νuµ (2.265)

nDe = −P∇µuµ −Π∇µuµ + pµν∇νuµ − e∇µqµ

hEqµDuµ (2.266)

最後にエネルギー保存則の別の形として、相対論的熱力学第一法則と呼ばれる式を導出

しよう。非相対論では熱力学第一法則は、エネルギーの変化を外部からの仕事 Pdn−1 と

散逸とに関係付けるものであった。そこで相対論でも De + PDn−1 = · · · という形で求めてみよう。

式 (2.262)、(2.253)を用いて Deと Dnを与えると次のようになる。

n(De+PDn−1) = −Π∇µuµ+pµν∇νuµ−∇µqµ−νµ∇µhE+(2qµ+hEνµ)Duµ (2.267)

右辺は全て散逸量なので、完全流体では右辺は 0になることが分かる。

Eckart速度では次のようになる。

n(De + PDn−1) = −Π∇µuµ + pµν∇νuµ −∇µqµ + 2qµDuµ (2.268)

Landau-Lifshitz速度では次のようになる。

n(De + PDn−1) = −Π∇µuµ + pµν∇νuµ +qµ

hE∇µhE − qµDuµ (2.269)

以上で流体方程式が全て得られた。この方程式系を閉じさせるには熱流 qµ、粘性 pµν

と Πの表式を全て与える必要がある。この操作は次からの章で行なう。

この章の終わりにここで得られた流体方程式が完全流体の場合を仮定して線形摂動を

行ない音波を求めてみよう。式 (2.253)、(2.258)、(2.262) は散逸がない場合次のように

なる。

Dn = −n∇µuµ (2.270)nhEDuµ = ∇µP (2.271)

nDe = −P∇µuµ (2.272)

これらの式を uµ の静止系で線形摂動を行なおう。摂動量は全てこの座標系で

exp(−ikµxµ) = exp(−iωt + ikx) (2.273)

に比例しているとするし、簡単のため縦波のみ考えるとして δui = δux とすると、上の式

は次のようになる。

−iωδn = −iknδux (2.274)−iωnhEδux = −ikδP (2.275)

−iωnδe = −ikPδux (2.276)

ここで次の関係式を考慮しよう。

δe = cV δT (2.277)δP = nδT + Tδn (2.278)

以上より次のような行列方程式を解けばよい。

ω −kn 0 00 ωnhE 0 −k0 −kP ωncV 0T 0 n −1

δnδux

δTδP

(2.279)

この方程式が解を持つ条件から次の分散関係が得られる。

n2ω(hEcV ω2 − cP Tk2

)= 0 (2.280)

この式から次の解が得られる。

ω = ±Csk (2.281)

Cs =√

T (2.282)

これは音波モードである。相対論的な効果として非相対論の場合の質量 mが流体の慣性

に対応するエンタルピー hE に修正されている。この音速に対してセクション 2.2.4で行

なったように非相対論的極限と超相対論的極限をとってみよう。まず非相対論的極限では

式 (2.208)、(2.209) から

hE ' m

Γ ' 53

よって音速は非相対論的な√

5T/3mになる。

同様にして超相対論的な場合は式 (2.212)、(2.213)より

hE ' 4T

Γ ' 43

なので、音速はこの極限で c/√

3になることが分かる。

2.2.7 Chapman-Enskog展開

前章では巨視的な方程式を求めたが、その中に含まれる散逸の項を流体力学的な変数で

表さない限り式は閉じない。この章では非相対論の Chapman-Enskogの方法を用いて散

逸の項を求めてみよう。なおこの章で求めた項は後で説明するように方程式系の性質から

そのままの形では因果律の破れや非物理的な不安定モードを含んでしまうため、物理現象

を求めるために用いることは出来ない。

Chapman-Enskog の形式的な方法論は相対論の場合も同様に適用でき、セクション

2.1.7 の方法を全く同様に用いればよい。ここでは一次の展開までを考えよう。すると

セクション 2.2.5 からこの精度では Eckart 速度と Landau-Lifshitz 速度では熱力学量に

差は生じないのでどちらか一方で求めた散逸項の表式が両方に適用できる。この章では

Eckart速度で計算しよう。

まず分布関数 f を次のように展開する。

f(t,x,p) ' f0(t,x,p) + f1(t,x,p) = f0(t,x,p)[1 + φ(t,x,p)] (2.283)

ここで f1 は平均自由行程 lと系の特徴的なスケール Lの比 l/Lの一次のオーダーの量で

あり、f0(t,x,p)は局所平衡関数である。

f0(t,x,p) =n

4πm2TK2(ζ)exp

[−uµpµ

](2.284)

この平衡分布は非相対論の場合と同様五個の物理量 n、T、ui で定義されるので五個の

matching conditionを課す必要がある。Eckart速度の場合は次の条件を課せばよい。∫

p0pµf0φ = 0 (2.285)

∫d3p

p0(pµuµ)2f0φ = 0 (2.286)

式 (2.285)は局所平衡分布 f0 の数密度 nと四元速度 uµ を、式 (2.286)はエネルギー密度

eを定義する。なお参考のため Landau-Lifshitz速度では次の条件を課せばよい。

∫d3p

p0pµf0φ = 0 (2.287)

∫d3p

p0pµpνf0φ = 0 (2.288)

非相対論の場合と同様にして 0次の解は局所平衡分布 f0 なので、ここでは一次の解を

考えよう。なお今回も f1 を求めることはせず、散逸項がどのような形になるかだけを見

ることにする。

一次の精度のボルツマン方程式は次の形になる。

pµ∂µf0 = I[φ] (2.289)

I[φ]は衝突項を表す。

非相対論の場合と同様に左辺の時間微分を完全流体の式 (2.270)、(2.271)、(2.272) を

用いて巨視的な物理量の勾配で表すと、左辺は次のように計算できる。

[13ζ2cV − (G2ζ2 − 4Gζ − ζ2)

(uµpµ

)(2.290)

− 13(ζ2 + 5Gζ − ζ2G2 − 4)

(uµpµ

)2]∇νuν − pµpν

T∇〈µuν〉

T 2(pνuν − hE)

(∇µT − T

nhE∇µP

)= I[φ]

この式で Gは次の量である。

G =K3(ζ)K2(ζ)

m(2.291)

この式から φは次の形でなければならないことが分かる。

φ =[a0 + a1u

µpµ + a2(uµpµ)2]∇νuν (2.292)

+ pµ(a3 + a4pνuν)[∇µT − T

nhE∇µP

]+ a5pµpν∇〈µuν〉

この φを式 (2.290)に代入し、matching condition(2.285)、(2.286)を課すことで五個の

係数 a0、a1、a2、a3、a4、a5 を求めればよい。ここからはそれらの係数を求めることは

せず、散逸項の具体的な形を求めよう。上の φ は平衡部分からのずれを表すので、bulk

viscosityΠ、熱伝導 qµ、粘性テンソル p〈µν〉を含むはずである。これらはセクション 2.2.5

の導出過程から分かる通りそれぞれスカラー、ベクトル、traceless な対称テンソルなの

で、結局式 (2.292)から次のように表されることになる。

Π = −µ∇µuµ (2.293)

qµ = κ

[∇µT − T

nhE∇µP

](2.294)

pµν = 2η∇〈µuν〉 (2.295)

bulk viscosityと粘性テンソルは非相対論の場合と同様な表式になっているが、熱伝導は

温度勾配だけではなく圧力勾配にも依存していて、圧力勾配の存在は熱流を減らすよう

に働いていることが分かる。これは次のように解釈できる。相対論的な効果により慣性

∇e = cV∇T の中には粒子の静止エネルギーmが含まれており、温度 T の勾配に比例す

る流れには当然粒子流束も含まれてしまう。熱伝導は粒子流束を含まないエネルギーの流

れなので、この粒子流束部分を圧力勾配力 ∇P によって取り除いているのである。

一方別の見方をするために次の熱力学恒等式を考える。

)= −

nT(2.296)

この式の µ は化学ポテンシャルのことである。この式を用いると熱伝導の式は次のよう

に変形できる。

qµ = −κnT 2

hE∇µ

)(2.297)

つまり相対論的な流体では熱伝導は化学ポテンシャルを温度でわったものの勾配に等しい

ことが理解できる。この量は統計力学において熱欲と温度と圧力が平衡にある部分系の状

態和と次のような関係にある。

Y (P, T ) =∫ ∞

e−(Ej+PV )/T = exp[−µ

](2.298)

この式から相対論の場合熱伝導は、温度平衡と圧力平衡のずれを同時に消すような方向に

流れると解釈できる。

散逸係数は係数 ai をきちんと計算することで次のような形になる。具体的な計算につ

いては参考文献 [10] [11]を参照。

µ = −P 2Tm2

(20G + 3ζ − 13G2ζ − 2Gζ2 + 2G3ζ2)2

(1− 5Gζ − ζ2 + G2ζ2)2(2.299)

κ = −3P 2m2(ζ + 5G−G2ζ)2

I1 − I2(2.300)

η = − 30P 2Tm2G2

2I1 − 6I2 + 3I3(2.301)

この式で I1、I2、I3 は具体的な散乱断面積を入れることで計算できる量である。これら

は例えば剛体球、つまりポテンシャル αr−n において n →∞の場合は次のように計算できる。

(20G + 3ζ − 13G2ζ − 2Gζ2 + 2G3ζ2)2ζ4K2(ζ)2

(1− 5Gζ − ζ2 + G2ζ2)2(2K2(2ζ) + ζK3(2ζ))(2.302)

64πσ

(ζ + 5G−G2ζ)2ζ4K2(ζ)2

(ζ2 + 2)K2(2ζ) + 5ζK3(2ζ)(2.303)

η =1564π

ζ4K3(ζ)2

(2 + 15ζ2)K2(2ζ) + (3ζ3 + 49ζ)K3(2ζ)(2.304)

これらの式から相対論的な流体では非相対論の場合と異なり、一般に単原子分子でも bulk

viscosityは働くことが分かる。

ではこの散逸係数 (2.302)、(2.303)、(2.304)の非相対論的極限、超相対論的極限でどう

なるかを見てみよう。まず非相対論的極限 ζ À 1はセクション 2.2.4と同様にベッセル関

数の漸近展開を用いると次のようになる。

µ ' 25256σ

(1− 183

+ · · ·)

(2.305)

κ ' 75256mσ

+ · · ·)

(2.306)

η ' 564σ

+ · · ·)

(2.307)

この式より最低次は非相対論の表式になっていることがわかる。更に bulk viscosityは非

相対論的極限で消えることが分かる。

同様にして超相対論的極限 ζ ¿ 1では次のようになる。

µ ' 1288π

+ 76 lnζ

2+ 6γ

)+ · · ·

](2.308)

κ ' 12πσ

(1− 1

4ζ2 + · · ·

)(2.309)

η ' 310π

ζ2 + · · ·)

(2.310)

非相対論的極限の場合と同様にこの極限でも bulk viscosityは消えることが分かる。

2.2.8 moment展開

Chapman-Enskog の方法とは別の解法として moment 展開があった。この章では

相対論的運動論にこの moment 展開を適用する。非相対論では単原子分子では bulk

viscosityは消えることが示されていたので 13個のmomentに展開するGrad 13-moment

expansionを用いたが、前章で示されたように相対論的な流体では bulk viscosityは残る

ことが示されたので、この章では 14 個の moment に展開することにする。この章でも

Eckart 速度の場合のみを計算する。この章は Cercignani の教科書 [11] に従う。計算の

詳細はこの教科書を参照。

まず moment の発展方程式をを記述するのに必要な量を定義しよう。外場のない場合

のボルツマン方程式の両辺に ψ = 1, pµ, pµpν を掛けて d3p/p0 で積分すると次の式が得

られる。

∂µNµ = 0 (2.311)∂µTµν = 0 (2.312)

∂µTµνρ = P νρ (2.313)

式 (2.313)の中の量は次のように定義される。

Tµνρ ≡∫

p0pµpνpρf (2.314)

P νρ ≡ 12

∫d3p

(p′νp′ρ + p′ν1 p′ρ1 − pνpρ − pν1pρ

1)ff1pµpµ1vrelσ (2.315)

これらの方程式は n, uµ, T, Π, pµν , qµ が 14個のmomentの時間発展を記述する方程式を

全て含んでいる。ところが Tµνρ は 14-moment より高次のmomentも含んでしまってい

るので、必要な momentだけを抜き出してやらなければならない。そこで分布関数 f を

14-momentのみが含まれる形で求めてその f を用いて Tµνρ を計算しよう。

uµ の静止系でのエントロピー密度を sとすると、セクション 2.2.1から f を用いて次

のように表される。

s ≡ −uµ

∫d3p

p0pµf(ln f − 1) (2.316)

14-momentを残すために次の 14個の constraintを課そう。

Nµuµ = uµ

∫d3p

p0pµf (2.317)

Tµνuµ = uµ

∫d3p

p0pµpνf (2.318)

T 〈µν〉ρuρ = uρ

∫d3p

p0p〈µpν〉pρf (2.319)

本来Nµ と Tµν に全てのmomentが含まれているのでそれを constraintとして課せばよ

いのだが、計算が煩雑になり導出される式は上の constraint から得られる式と同じなの

でこの論文ではこちらを課して考える。

ここで次の関数を考える。

F = −uµ

∫d3p

p0pµf(ln f − 1) + λ

(Nµuµ − uµ

∫d3p

p0pµf

)(2.320)

+ λν

(Tµνuµ − uµ

∫d3p

p0pµpνf

)+ λ〈µν〉

(T 〈µν〉ρuρ − uρ

∫d3p

p0p〈µpν〉pρf

この関数を f について変分すると、エントロピー増大側より 14-moment以外のmoment

は全て減衰した分布関数 f が得られる。Euler-Lagrange方程式を解くと f は次のように

求まる。

f = exp[−n(λ + λµpµ + λ〈µν〉p〈µpν〉)

](2.321)

この 14個の λ、λµ、λ〈µν〉には考えたい 14個のmomentが含まれている。そこでこれら

を次のように平衡部分と非平衡部分に分離する。

λ = λE + λNE , λµ = λEµ + λNE

µ , λ〈µν〉 = λNE〈µν〉 (2.322)

すると f は次のように書ける。

f = exp[−n(λE + λE

µ pµ)]× exp

[−n(λNE + λNE

µ pµ + λNE〈µν〉p

〈µpν〉)]

(2.323)

第一項は平衡部分なので局所平衡分布 f0 であり、さらに今平衡に近い場合を考えるとし

て非平衡部分の momentは 1より非常に小さいとすると f は次のように展開できる。

f = f0

1− n(λNE + λNE

µ pµ + λNE〈µν〉p

〈µpν〉)

(2.324)

λNEµ 、λNE

〈µν〉を uµ を用いて次のように分解しよう。

λNEµ = λuµ + λνγν

µ (2.325)

λNE〈µν〉 = Λuµuν +

12Λρ(γρ

µuν + γρνuµ) + Λρσ

µγσν −

13γρσγµν

)(2.326)

以上より分布関数 f は次のようになる。

f = f0

1− nλNE − n(λuµ + λνγν

µ)pµ (2.327)

[Λuµuν +

12Λρ(γρ

µuν + γρνuµ) + Λρσ

µγσν −

13γρσγµν

)]p〈µpν〉)

この f から Πqµp〈µν〉を求めよう。まず f を次の四元粒子流束の定義式に代入する。

Nµ =∫

p0pµf =

∫d3p

p0pµf0 (2.328)

得られた Nµ に uµ と γµν を作用させると次の二つの式が得られる。

λNE + λm

(G− 1

)+ Λm2

(1 + 3

)= 0 (2.329)

λµγµν + mGΛµγµν = 0

同様にして式 (2.327) を Tµν の定義式に代入する。得られた Tµν をセクション 2.2.5

のように分解すると次のような式が得られる。

p〈µν〉 = −2n2m2TG

ζΛ〈µν〉 (2.330)

Π = −n2T

[λNE + Gmλ +

(1 + 5

qµ = n2T

[Gmγµν λν +

(1 + 5

)m2γµνΛν

(G− 1

)+ λm

)+ Λm2

以上で 14個の式 (2.329)、(2.330)が得られ、これらの式を解くことで 14個の未定係数が

全て巨視的な量で表される。これらを代入すると求めたい分布関数 f は次の形になる。

f = f0

1 + α0

(α1 + α2uµpµ +

m2uµuνpµpν

)(2.331)

+ α3qµ

mpµ − 1

m2uνpµpν

p〈µν〉P

2Gm2pµpν

係数は次のように与えられる。

α0 =1− 5Gζ − ζ2 + G2ζ2

20G + 3ζ − 13G2ζ − 2Gζ2 + 2G3ζ2(2.332)

α1 =15G + 2ζ − 6G2ζ + 5Gζ2 + ζ3 −G2ζ3

1− 5Gζ − ζ2 + G2ζ2

α2 =3ζ

6G + ζ −G2ζ

1− 5Gζ − ζ2 + G2ζ2

α3 =ζ

ζ + 5G−G2ζ

この f を用いて散逸項の発展方程式を導こう。まず Tµνρ、Pµν は次のように計算で

きる。

Tµνρ = (nC1 + C2Π)uµuνuρ +16(nm2 − nC1 − C2Π)(ηµνuρ + ηµρuν + ηνρuµ)

(2.333)

+C3(ηµνqρ + ηµρqν + ηνρqµ)− 6C3(uµuνqρ + uµuρqν + uνuρqµ)

+C4(p〈µν〉uρ + p〈µρ〉uν + p〈νρ〉uµ)

Pµν = B1 (ηµν − 4uµuν)Π + B2(uµqν + uνqµ) + B3p〈µν〉 (2.334)

係数 Ci は次のように与えられる。

C1 =m2

ζ(ζ + 6G) (2.335)

C2 = −6m

2ζ3 − 5ζ + (19ζ2 − 30)G− (2ζ3 − 45ζ)G2 − 9ζ2G3

20G + 3ζ − 13G2ζ − 2ζ2G + 2ζ2G3

C3 = −m

ζ + 6G−G2ζ

ζ + 5G−G2ζ

Gζ(ζ + 6G)

また Bi は散乱断面積に関係する量で、セクション 2.2.7でも現れた Ii を含む。

B1 = − ζ

(1− ζ2 − 5ζG + ζ2G2)I1

20G + 3ζ − 13G2ζ − 2ζ2G + 2ζ2G3(2.336)

B2 =ζ

I1 − I2

ζ + 5G− ζG2

B3 =ζ

2I1 − 6I2 + 3I3

以上により得られた結果を発展方程式 (2.313)に代入すれば求めている式が得られる。

ここで散逸項の時間微分を除いた二次の量、つまり散逸項と勾配量の二次の項を落とす

と、次のような式になる。

2DΠ +

12(m2 + C1)Dn− ζ

2TnC ′1DT − 5C3∇µqµ (2.337)

+16(nm2 + 5nC1)∇µuµ = −3B1Π

5C3Dqµ − 16

[(m2 − C1)∇µn +

TnC ′1∇µT − C2∇µΠ

]− C4∇νp〈µν〉 (2.338)

−16(nm2 + 5nC1)Duµ = −B2q

C4Dp〈µν〉 + 2C3∇〈µqν〉 +13(nm2 − nC1)∇〈µuν〉 = B3p

〈µν〉 (2.339)

この式で ′ は ζ に関する微分を表す。最後に式 (2.337)、(2.338)に含まれる Dn、Duµ、

DT を消すために次の流体方程式を代入する。

Dn + n∇µuµ = 0 (2.340)

nhEDuµ = ∇µ(P + Π)−∇νp〈µν〉 −Dqµ

ncV DT = −P∇µuµ −∇µqµ

すると式 (2.337)、(2.338)は次のようになる。

2DΠ− n

2(m2 + C1)∇µuµ +

C ′1ζ2 + 5ζG− ζ2G2 − 1

(∇µqµ + P∇µuµ) (2.341)

−5C3∇µqµ +16(nm2 + 5nC1)∇µuµ = −3B1Π

5C3Dqµ − 16

[(m2 − C1)∇µn +

TnC ′1∇µT − C2∇µΠ

]− C4∇νp〈µν〉 (2.342)

− 16nhE

(nm2 + 5nC1)[∇µ(P + Π)−∇νp〈µν〉 −Dqµ

]= −B2q

以上により得られた式 (2.339)、(2.340)、(2.341)、(2.342)が 14-moment展開の基礎方程

式である。非相対論の場合と同様に、式 (2.339)、(2.341)、(2.342)はそれぞれ p〈µν〉、Π、

qµ の発展方程式になっている。なお式 (2.339)、(2.341)、(2.342)において p〈µν〉、Π、qµ

の緩和が十分進み、これらの時間微分と勾配を 0とおくと Chapman-Enskogの一次の展

開から得られた散逸項が得られることに注意せよ。

2.2.9 散逸の理論と安定性

流体を考える場合実用上は散逸の理論は最も使いやすくて長波長部分で十分良い近似に

なっているものを用いればよい。一方でこの論文ではここまで Chapman-Enskogの方法

とGradのmoment展開の二つを説明してきた。この理由は一般に Chapman-Enskogの

方法が相対論的な流体力学において病的な振る舞いを示してしまうことにある。

非相対論では流体力学の方程式としては Navier-Stokes方程式が一般に用いられる。こ

の方程式の散逸項は Chapman-Enskog の方法の一次の展開により求めた項であり、十

分良い近似で自然現象を再現することが知られている。また散逸項の物理的意味も明

解で、例えば熱伝導は式 (2.83) より温度勾配に比例しており、エネルギーの高いほう

から低いほうへ熱流が流れて全体を一様な平衡状態に緩和させる。ところで数学的には

Chapman-Enskog展開の一次から得られる Navier-Stokes方程式は放物型の微分方程式

であり、一般にこの方程式は因果律を守らないことが知られている。このことを具体的に

示すために非圧縮な静止流体の熱伝導現象を考える。この場合必要な方程式はエネルギー

方程式だけなので、解くべき式は次のようになる。

cP∂T

∂t+∇ · (−κ∇T ) (2.343)

簡単のため cP と κは定数だと仮定して整理すると次のような式になる。

∂t= χ4T (2.344)

χ ≡ κ/cP である。ー次元の場合、無限遠で T = 0で、初期に T (t = 0, x) = const×δD(x)

という条件で上の方程式を解くと次の解が得られる。

T (t, x) = const× 12√

πχtexp

(− x2

)(2.345)

この解は無限小の時間 ∆tの経過で無限遠に温度分布が発生し、明らかに x = 0の温度の

情報が無限の速さで伝播することが分かる。

このような無限の速さの情報の伝播は放物型の微分方程式の解に一般の性質である。と

ころで相対論的運動論の場合の Chapman-Enskogの方法の一次の展開から得られた散逸

項を考慮した流体方程式は、基本的に非相対論の微分方程式系と同等の放物型の方程式

になっている。このことはつまり Chapman-Enskogの方法で求めた散逸項を用いた流体

方程式から得られる解は、一般に情報が無限遠で伝播するような解を含み因果律を守ら

ない解が得られてしまうことを示してる。また線形摂動を行なうと、摂動が指数関数的

に増大する病的な非物理的不安定な解が得られることもわかっている [3]。不安定性の存

在は数学的には因果律の破れとは直接関係はないが、物理的に理解するなら次のような

説明が出来る。光速よりも早い情報の伝播手段がある場合、causal coneはそのより速い

ものを使って作られる。この causal cone を Lorentz 変換すると下の図のように、本来

の絶対的未来が今回用いた causal cone の絶対的過去の領域に含まれてしまう。つまり

Chapman-Enskogの一次の近似の散逸項を用いて計算すると、ある観測者が観測する平

衡状態へのエネルギー拡散には別の観測者にとっては絶対的未来からのエネルギー拡散が

含まれており、この絶対的未来からのエネルギーの流入により供給過多になり、病的な物

理量の発散が発生するのである。

図 2.5 因果律を守らない理論の causal coneの Lorentz変換。[12]より転載

一方 Gradの moment展開はセクション 2.1.10で具体例を示した通り、一般に方程式

系が双曲型になる。この場合音速が全て光速以下になり、このことから暗示されるよう

に因果律を守ることが研究により知られている。またこの場合方程式に病的な不安定性

が無いことも報告されている。このように moment展開は解くべき方程式系が倍以上に

なってしまうので、Chapman-Enskogの方法より性質が良いと結論できる。よって非相

対論的な流体では Chapman-Enskogの方法により計算された散逸項を用いれば十分であ

るが、相対論的な流体では moment展開により得られた散逸項を用いて計算を行なわな

ければならない。

第 3章

運動論的方程式の線形摂動

この章ではボルツマン方程式の線形摂動を行ない、希薄気体の分散関係を求める。セ

クション 2.2.9 で述べたように、相対論的な流体力学において非相対論の散逸項をその

まま拡張すると一般に非物理的な不安定性が発生する。この問題を解決する方法として

moment展開など、Chapman-Enskogの方法とは別の考え方から散逸項を求める研究が

盛んに行なわれている。それらの理論は長波長で Chapman-Enskogの一次の近似を再現

するが、短波長領域では近似の方法に関係して分散関係の振る舞いに違いが現れる。これ

らの理論がそれぞれどの程度正しいのかは、相対論的な流体の実験の難しさなどのため

に、ほとんどわかっていない。そこでこの論文では、希薄気体を扱う理論の中で実用上最

も原理的な式であるボルツマン方程式の線形摂動を行い、その分散関係と様々な散逸理論

から求めた分散関係を比べることで、どの散逸理論がどの程度の波長領域まで正しいのか

を判定する。ただしボルツマン方程式の線形摂動は衝突項の扱いの難しさから分散関係を

求めることが非常に困難なので、この論文では衝突項を BGK近似を用いて単純化した運

動論的な方程式の線形摂動を行なう。この近似は現在のところあくまで現象論的な近似に

なっているため、求まった分散関係がどの程度正しいのかについては注意が必要になる

が、衝突項としての定性的な性質は全て備えているため、得られた分散関係も定性的な性

質はボルツマン方程式を再現すると考えられる。

以下ではまず非相対論的な BGK近似を用いた運動論的方程式の線形摂動を行なう。非

相対論では Navier-Stokes方程式で十分に流体現象を再現できるため、この結果は流体現

象の解析には新しい知見はもたらさないが、流体近似の悪くなる短波長領域での散逸の振

る舞いの理解や BGK近似の精度についての知見を与えてくれる。また相対論的な運動論

的方程式の線形摂動の計算に必要な道具は全て非相対論的な場合から得られる。

次に相対論的な運動論的方程式の線形摂動を行なう。この場合 BGK近似の特性から、

相対論的な流体における四元速度の選択の任意性に関係して BGK近似もユニークにはな

らない。そこでこの論文では Eckart速度に対応したMarle [13]の BGK近似でまず計算

62 第 3章運動論的方程式の線形摂動

し、その後 Landau-Lifshitz 速度に対応した Anderson-Witting [14] の BGK 近似で計

算する。

3.1 非相対論的 Boltzmann方程式

3.1.1 BGKモデル

式 (2.22)からも分かる通り、ボルツマン方程式は衝突項の複雑さから、一般解を求める

ことは非常に難しく、また付録 Aからも分かる通り、線形摂動を行なっても一般の波数

k で分散関係を求めることは非常に困難である。そこで Bhatnagar、Gross、Krook [18]

らにより提案された次の形の衝突項の近似を用いる。この近似は BGK 近似と呼ばれて

いる。 (∂f

= −f(t,x,v)− f0(t,x,v)τ

f0(t,x,v) =ρ

m(2πRT )d/2e−

(v−u)2

2RT (3.2)

この f0(t,x,v)は局所平衡分布と呼ばれるもので、分布関数 f が localに平衡分布に近い

場合次の matching conditionと呼ばれる条件を通して非平衡状態での温度、速度、密度

を定義する。∫

(f0 − f) ψµd3v = 0 (3.3)

ψµ = m

(1, v,

12(v − u)2

BGK近似の意味は次のように空間的に一様な場合を考えると明らかになる。

∂t= −f(t,x,v)− f0(t,x,v)

τ(3.4)

この解を考えると f − f0 が e−t/τ で減衰し、τ 程度の時間でユニークな平衡状態 f0 へと

時間発展していくことがわかる。減衰は通常粒子同士の衝突により起こると考えられるの

で、パラメータとして導入した τ は粒子の mean flight time 程度であると考えられる。

この近似は f − f0 が小さい場合にのみ成立し波長依存性はないが、v の高次モーメント

では精度が落ちることが研究により知られている [19]。またこの近似は線形近似を行なっ

た場合は今回の線形近似の場合は付録 Aで説明する線形化されたボルツマン方程式から

基礎付けすることができ、パラメータ τ の起源も明らかになる。

またボルツマン方程式の衝突項の持つべき性質として 2体衝突の保存則から、衝突項の

速度の 0、1、2次モーメントは 0にならなくてはならない。BGK近似ではこれは次の条

3.1 非相対論的 Boltzmann方程式 63

件が課されることに等しい。∫

f0 − f

τψµd3v = 0 (3.5)

ψµ = m

(1, v,

12(v − u)2

matching condition(3.3)と保存則 (3.5)が両立するためには τ が v に依存しないこと

が必要で、逆にこれが課されると保存則から matching conditionが自明に成立する。通

常 mean flight time τ は速さ v に依存するが、今回は v を音速 Cs で置き換えて考えて

いる。

3.1.2 線形解析と分散関係の導出

この章ではボルツマン方程式の線形化した方程式を BGK近似を用いて分散関係を求め

る。計算の詳細は付録 Eに載せてある。

外場のないボルツマン方程式は次の通りである。

Df(t,x,v)Dt

∂t+ v · ∇

)f(t,x,v) =

ここで BGK近似を用いると(

= −f(t,x,v)− f0(t,x,v)τ

f0(t,x,v) =ρ(t,x)

m(2πRT (t,x))3/2e−

(v−u(t,x))2

2RT (3.8)

となる。この近似を用いるとボルツマン方程式は f0 を source term とした f に関する非

斉次の線形微分方程式に見えるが、実際は次の matching conditionを介して f0 は f に

非線型に依存している。∫

(f0 − f)ψµd3v = 0 (3.9)

ψµ = m

(1, v,

12(v − u)2

)(3.10)

分散関係を求めるためにまずは分布関数の線形摂動を考える。非摂動状態を緩和の終状

態である系全体での平衡ボルツマン分布 f0(v)とする。この時これからのずれを次のよう

に定義する。

δf = f − f0, δf0 = f0 − f0, δτ = τ − τ (τ：f0で平均した量) (3.11)

f0 は時間、空間に依存しないのでボルツマン方程式は線形近似で次のように変形で

きる。 (∂

∂t+ v · ∇

)δf = −δf − δf0

τ(3.12)

ここで τ は定数であり、以降 τ は τ と書くことにする。次のような形の解を考える。

δf = δfe−iω(t−t0)+ik·x (3.13)

すると式 (3.12)は次のようになる。(

1τ− iω + ik · v

)δf =

δf0 (3.14)

この式で δf0 は次のように計算できる。

δf0 = f0

v · δuRT0

2RT 20

− 32T0

](3.15)

f0 =ρ0

m(2πRT0)3/2e−v2/2RT0 (3.16)

先と同様 f0 は非摂動状態である。

δρ、δu、δT は matching conditionを用いて δf の積分で定義されるので、線形化され

たボルツマン方程式は次のようになる。(

)δf(v) (3.17)

d3v′f0(v)

· v′ + m

2RT 20

− 32T0

)(v′2

2RT0− 3

)]δf(v′)

ここで次のように無次元化する。

ωτ ≡ ω′,√

2RT0τk ≡ k′,v√

≡ v′ (3.18)

以降無次元量を表す ′ は省略することにする。

式を整理すると結局ボルツマン方程式は次のようになることが分かる。

δf(v) =∫

d3v′K(v,v′)δf(v′) (3.19)

K(v,v′) ≡ f0(v)1− iω + ik · v

ρ0+ 2v · v′ + m

(v2 − 3

)(v′2 − 3

)](3.20)

この式は 1− iω + ikv 6= 0の場合にのみ成り立つ式である。1− iω + ikv = 0の場合は

後ほど説明する。

この式は ω について縮退した固有値 1の Fredholm型第 2種斉次積分方程式になって

いることが分かる。特に積分核 K(v,v′) が変数分離可能な形なので、これは一般的な解

法に従い解くことができる。付録 D に従い上式の左から 1、v、v2 − 3/2 を掛けて積分

し、固有値方程式を求める。するとこれらの式は解析的に積分でき、ω と kの分散関係式

として次のように求まる（計算の詳細は付録 Eを参照）。

まず 1を作用させた式として次のようになる。

− iω

bδρ+

(δρ +

kk · δu

)1b−√πeb2Erfc(b)

(3.21)

b2 +12

)√πeb2Erfc(b)

δT = 0

ここで bは次のような量である。

b =1− iω

k(3.22)

次に k · vを作用させた式は次のようになる。

−k · δu + ib

)√πeb2Erfc(b)

δT (3.23)

(δρ +

kk · δu

) (1− b

√πeb2Erfc(b)

k× v ≡ kvy を作用させた式は次のようになる。

k −√πeb2Erfc(b)

δuy = 0 (3.24)

最後に v2/2を作用させた式は次のようになる。なお −3/2は式 (3.21)を考慮すれば同

値な式になるので簡単のため省いた。

[3k −

2b(1− b2) + (2b4 − b2 + 1)

√πeb2Erfc(b)

[3k − 2

b− (b2 − 1)

√πeb2Erfc(b)

−[2b

b− (b2 − 1)

√πeb2Erfc(b)

] k · δuk

= 0, (3.25)

式（3.21）を用いて δuを消去し、δρ、δT が解を持つ条件として行列式を計算すると、

分散関係式は次のようになる。

b2 − b

)√πeb2Erfc(b)

(3.26)

k − 2b +2k

(−1 + 2b2 − 2b

) (b + (1− b2)

√πeb2Erfc(b)

(1− kb) +(−1 + 2b2 − 2b

)(1− b

√πeb2Erfc(b))

3k −(2b(1− b2) + (2b4 − b2 + 1)

√πeb2Erfc(b)

k −√πeb2Erfc(b) = 0 (3.27)

この分散関係式により求まった ω を用いて固有関数 δρ、δu、δT を求めれば、δf は次

のようにして解が得られる。

δf(v) =∑

Cnf0(v)1− iωn + ik · v

[δρωn

ρ0+ 2v · δuωn +

(v2 − 3

)δTωn

]e−i(ωnt+k·x)

(3.28)

ここで Cn は定数係数である。

なお分散関係式に現れる補誤差関数 Erfc(z)は、|arg(z)| < π/4でのみ値を持つ。この

ことはこの分散関係から得られる ω の位相速度は、音速程度を上限に持つことを示す。

ところで式 (3.28)を求める過程で両辺に ψµを掛けて積分したが、これは式 (3.28)より

matching condition を課したことと等価になっている。すると上の議論より matching

condition は保存則と等価であるはずなので、得られた固有値方程式も保存則になってい

るはずである。これは式 (3.21)に bを掛けたものと式 (3.23)に iを掛けたものを足すこ

とで−ωδρ + k · δu = 0 (3.29)

という連続方程式が求まることからも正しいことが分かる。

終わりに 1− iω + ikv = 0の場合について考えよう。この場合分散関係は連続量 kvに

依存した continuous modeになっていて、この分散関係を満たす固有関数は式 (3.17)か

ら次の式を満たす。

0 =∫

d3v′f0(v)

· v′ + m

2RT 20

− 32T0

)(v′2

2RT0− 3

)]δf(v′) (3.30)

= δf0

つまりこのモードは巨視的な変数である ρ、u、T 以外の f のmomentに摂動を入れた

場合の減衰を表している。なおこのモードに関して式 (3.30) だけからは独立な固有モー

ドを求めることは出来ず、別の方法で求めなければならない。これに関してはセクション

3.1.6 で議論することにする。

3.1.3 Result

分散関係

　先に得られた分散関係を図示すると次のようになる。

0.1 1 10

(ω τ

k τ Cs

図 3.1 熱伝導を表す分散関係

0.1 1 10

(ω τ

k τ Cs

図 3.2 減衰音波を表す分散関係

0.1 1 10

(ω τ

k τ Cs

図 3.3 shear flowの分散関係の減衰部分

実線が ω の虚数部分で減衰率を表し、点線が ω の実数部分で振動数を表す。実線は

k2 に比例しており、Navier-Stokes 方程式の減衰項を長波長側できちんと再現できてい

ることが分かる。また Navier-Stokes方程式が短波長では近似が悪くなることも分かる。

shear flowと熱伝導は減衰項のみが得られ、希薄気体中では縦波のみが伝播することを確

認できる。

また次のようなモードも発見した。

0.1 1 10

(ω τ

k τ Cs

図 3.4 shear flowに付随する運動論的なモードの分散関係

0.1 1 10

(ω τ

k τ Cs

図 3.5 運動論的なモード 1の分散関係

0.1 1 10

(ω τ

k τ Cs

図 3.6 運動論的なモード 2の分散関係

これらは Im ω が 1から始まっており、流体近似では得られなかった運動論的なモード

を表している。後のセクションでこれらのモードの固有関数を調べ、これらがどのような

物理を表すかを議論する。

また減衰波の実験と合わせやすいようにプロットした図は次のようである。

0.01 0.1 1 10

(k/ ω

1 / τ ω

図 3.7 位相速度の実数部分

0.01 0.1 1 10

1 / τ ω

図 3.8 位相速度の虚数部分

この結果は同様の計算を行なった Bhatnagar らの仕事 [19] を再現し、Sirovich ら

の [35] 結果とも矛盾しない。

固有関数

各モードの物理的意味を調べるために固有関数を調べる。式 (3.21)、(3.23)、(3.25)に

得られた分散関係を代入し、δρ を 1として規格化し、密度、速度、温度の揺らぎに付い

て各モードをプロットすると次のようになる。

0.1 1 10k τ Cs

δ ρδ uδ T

図 3.9 熱伝導モードの固有関数

0.1 1 10k τ Cs

δ ρδ uδ T

図 3.10 減衰音波モードの固有関数

0.1 1 10k τ Cs

δ ρδ uδ T

図 3.11 運動論的モード 1のモードの固有関数

0.1 1 10k τ Cs

δ ρδ uδ T

図 3.12 運動論的モード 2の固有関数

熱伝導による緩和と予想された純粋に減衰のみして伝播しないモードは長波長で δT が

優勢で δuが 0であるので、確かに熱伝導による緩和であると考えられる。興味深いこと

にこのモードは波長が短くなるにつれて δuが大きくなり、これは純粋な熱伝導のみの散

逸は流体近似のみでしか成り立たないことが分かる。

また減衰音波モードは δρ、δuが優勢なのでこれは音波を表していると考えられる。こ

のモードは短波長で δT が他を凌駕するようになり、音波は長波長領域のみでの近似的描

像であることが分かる。残りの 2つのモードは同じような振る舞いをする。これらは密度

の摂動は小さく、速度、温度の摂動がどの波長領域でも大きい。ただしこれらは ωの虚数

部分のプロットからも分かる通り減衰が衝突時間よりも短く、また振動数と同程度か大き

いので波としては伝播せず、巨視的には現れないものである。

3.1.4 Discussion

流体力学的モードの長波長近似による導出

得られた分散関係式 (3.26)と (3.27)は非線型方程式であるので、解は数値的に求めた。

この章では分散関係式を長波長近似を用いて、特に流体力学的なモードを求めよう。

まずは shearモードの式 (3.27)について考える。長波長で ω = 0から始まるモードを

考えた場合媒介変数 (1 − iω)/k は大きな数になっているはずなので、分散関係式を bに

ついて漸近展開を行なおう。分散関係式に含まれる関数 Erfc(x)は次のように漸近展開で

きる。

Erfc(x) =2√π

∫ ∞

e−t2dt (3.31)

' e−x2

(1− 1

1 · 322x4

− · · · (−1)n (2n− 1)!!2nx2n

)(3.32)

これを用いて (3.27)を漸近展開すると次のようになる。

k − 1b

2b3+ O

)= 0 (3.33)

この式で b−4 以降を落として b = (1− iω)/k を代入し整理すると次のようになる。

2(−1 + iω)3k2 − 2(−1 + iω)iω = 0 (3.34)

この式を iω について解き、k3 まで残すと次のような解が得られる。

iω =k2

2+ O(k4) (3.35)

これは shear flow の式から得られた純粋に減衰する解になっている。他にも二つのモー

ドが現れ、k = 0で iω = 1となっているが、残念ながら運動論的なモードをそれほどよ

くは再現しない。

次に式 (3.26)の長波長近似に移ろう。先と同様に長波長で bが大きいと考え、bについ

ての漸近展開を行なう。流体力学的なモードが全て得られるように、式 (3.26)を ω の 4

次まで残すように展開すると、次のようになる。(− 1

)(3k − 8

+13b3− 21

)(3.36)

−(−kb + 2− 1

kb− 2

)(3k − 3

この式に b = (1 − iω)/k を代入し、ω を 4 次まで残す。ここで係数に k が現れるが、

長波長近似を見たいので最低次かもしくは k2 まで残すと次のようになる。

(72 + 268k2)(iω)4 − (12 + 212k2)(iω)3 + 78k2(iω)2 − 10k2(iω) + 5k4 = 0 (3.37)

この式を iω について解く。k2 のオーダーまで残し、k = 0で ω = 0を満たす解を集め

ると次の 3つが得られる。

iω =k2

2+ O(k3),

√56k + O(k3) (3.38)

一つ目が熱伝導を、二つ目が減衰音波を表している。またこの結果は付録 Aの式 (A.45)、

(A.46)とも合うことが分かる。付録 Aの最後より、線形化された BGK近似の方程式は

線形化されたボルツマン方程式の理論で固有値を全て λ11 = −1/τ に置き換えたものと等

しいことが分かっているが、式 (A.45)、(A.46)でこの操作を行なうと、ちょうど上の結果

と一致することが分かる。式 (A.45)、(A.46)に対して k が 1/√

2倍ずれているのは k の

規格化を、本文では√

2RT0 で行い、付録 Aでは√

RT0 で行なったことに起因している。

なおこの漸近展開は波数 k を固定した場合の減衰率 Im ω と振動数 Re ω の上限の存在

を示唆している。仮に減衰率と振動数がある kで無限に大きくなった場合 bの漸近展開は

近似が非常に良くなるはずだが、例えば式 (3.34) を見れば分かる通りそのような解は運

動論的なモードを再現しない。このことは高々漸近展開の近似が悪い程度の bになる程度

しか減衰率と振動数は大きくなれないことを意味している。

分散関係式から得られた解の考察

セクション 3.1.3で述べた通り、分散関係式の解析で我々は k = 0で ω = 0から始まる

モードとして、熱伝導、音波、shear flowを表すモードを得た。また k = 0で ω = −iか

ら始まる運動論的な緩和のモードもいくつか得ることが出来た。

まず流体力学的なモードに関しては長波長近似から分かったように、付録 Aで説明さ

れている線形化されたボルツマン方程式の分散関係の結果と長波長で非常に良く合い、ま

た shear flowを除けばモードの個数も等しい数が得られていることが分かる。

また運動論的なモードに関しては長波長近似は行なわなかったが、得られた解は全て

k = 0で ω = −iとなっており、付録 Aで行なった BGK近似の線形化されたボルツマン

方程式の基礎付けとも矛盾しない。また運動論的なモードのうち、ω = −iというモード

を次のように解析的に得られる。

式 (3.26)は式 (3.21)より一見 b 6= 0が要請されるように思えるが、これは括弧を展開

すれば 1/bはちょうど打ち消される。このことと式 (3.26)より分散関係は b = 0という

解を含む。これは任意の k で ω = −i、次元量に直すと ω = −iτ という分散関係を含む

ことを意味している。

今回得られた結果はいくつかの運動論的なモードを求めるのでとどめたが、線形化され

たボルツマン方程式の理論からは無数の解が存在しているはずであり、今回の結果以外の

解が得られる可能性は残っている。

また今回は得られた分散関係を Im ω < −1の領域に解析接続した。これは付録 F.1に

説明されている通り、因果律を満たす時間発展を求めることに関係する。また解析接続し

た分散関係は短波長側で実験をよく再現することも知られている [35]。

3.1.5 各項の大きさの比較

素朴に考えると減衰は collision を介して行われるので減衰時間 n は collision time よ

り短くならず、nは 1を超えることはなさそうであるが、計算してみると超える部分が出

てくる。この疑問を中心にして各モードについて運動方程式の各項の大きさを比較するこ

とで考察する。なお運動方程式の各項の絶対的な大きさに意味は無いので、全て運動量密

度を 1に規格化することで比較する。

音波モード

このモードは長波長で δρ、δuが優勢なので音波モードを表すと考えられる。

k のある値を超えると n は 1 を超え、無限大に大きくなっていく。これは緩和は

collision を介して行われるという直観に反する。しかしここで BGK 近似では緩和時間

τ が粒子の速さ v に依存していないことを考慮すると、ある k 以上では必ずしも粒子

は collisionをせずにむしろ collisionless的になると考えられる。するとある k 以上では

collisionをせずにエネルギーの高い粒子がその波長に対応する領域から拡散して混ざり合

うことで δE を減衰することになると考えられる。これは Chapman-Enskog近似で熱伝

導係数、粘性係数が平均自由行程に比例することからも理解できる。結局 kが大きくなる

につれて考える系の大きさ（波長）が小さくなり、collisionが起こらなくなり拡散が効く

ようになる。すると系のスケールが小さくなればなるほど拡散が早くなり、減衰時間は短

くなるので結果 nは無限に大きくなると考えられる。

このモードを用いて運動方程式の各項の大きさを比較した図が次の図である。

0.1 1 10

k τ Cs

momentum densitypressureviscosity

図 3.13 音波モードの固有ベクトルによる運動方程式の各項の大きさ

これより確かに音波モードでは長波長側では粘性は小さくほぼ理想流体で、短波長側に

ゆくほど粘性が大きくなっていくことが分かる。

熱伝導モード

このモードは固有ベクトルより熱伝導を表すと考えられる。それを運動方程式の各項の

大きさを比較した図を見ると良く分かり、

0.1 1 10

k τ Cs

図 3.14 熱伝導モードの固有ベクトルによる運動方程式の各項の大きさ

このように一様状態では運動量密度はなく、粘性と圧力勾配力を通して徐々に流体に運

動量が与えられているというのが分かる。またある波長で粘性がゼロになることも予言

する。

その他のモード

これらは流体方程式系からは予言されないモードで、純粋に運動論的なモードである。

これは同様の図をみると良く分かる。

0.1 1 10

k τ Cs

0.1 1 10

k τ Cs

図 3.15 運動論的モードの固有ベクトルによる運動方程式の各項の大きさ

これをみると明らかに一様状態でも粘性項のみがいて、摂動が入ることで運動量密度と

圧力勾配が発生しだしていることがわかる。流体近似では粘性は速度勾配により発生する

と考えられているため速度勾配のない一様状態で粘性のみが存在することは無いはずなの

で、このモードは粘性が分布関数の 2次のモーメントという独立変数であることから生じ

た純粋な運動論的効果であることが分かる。

3.1.6 continuous spectrum

セクション 3.1.2では離散固有値のほかに 1− iω + ikv = 0なる continuous spectrum

が得られた。このモードは vy、vz に関して縮退しており、また線形独立な固有関数は

式 (3.30) からは得ることが出来なかった。この章ではこの独立な固有モードを求めてみ

よう。この章の議論は C. Cercignani も相対論的なボルツマン方程式の場合に述べてい

る [40]。

考えている系にある速度 v0 のみを持つ粒子達のビームが入った状況を考えよう。その

場合 δf は次のようになる。

δf = δf1 + DδD(v − v0) (3.39)

δD は Diracのデルタ関数であり、ビームを表している。D は適当な係数で、δf1 はビー

ム以外の一般の摂動を表す。

式 (3.17)にこの δf を代入すると次のようになる。(

)δf1 +

(1τ− iω + ik · v0

)D (3.40)

d3v′f0(v)

· v′ + m

2RT 20

− 32T0

)(v′2

2RT0− 3

)]δf1(v′)

+f0(v)

· v0 + m

2RT 20

− 32T0

2RT0− 3

ここで continuous spectrumとして次の分散関係を考えよう。

ω = − i

τ+ k · v0 (3.41)

この ω を上の式に代入し整理すると次のようになる。

δf1 =∫

d3v′f0(v)iτk · (v − v0)

· v′ + m

2RT 20

− 32T0

)(v′2

2RT0− 3

)]δf1(v′)

(3.42)

+f0(v)

iτk · (v − v0)

· v0 + m

2RT 20

− 32T0

2RT0− 3

この式は Fredholm型第 2種非斉次積分方程式であり、積分核が分離可能型なのでセク

ション 3.1.2と同様の方法で解くことができる。式の簡単さのため shear flowで説明しよ

う。上の式の両辺から vy を掛けて積分すると次のようになる。

k −√πeb2Erfc(b)

δu1y =√

πeb2Erfc(b) D v0y (3.43)

b = − ik · v0

k= −iv0x (3.44)

よって continuous spectrum のときに固有関数 δu1y は波数 k に対して次のように振

舞う。

δu1y =[

k√πe−v2

0xErfc(−iv0x)− 1

D v0y (3.45)

δρ1、δu1、δT1 についても同様の計算で固有関数が求まる。

今回得られた continuous spectrumは v に関して縮退があるためどれだけのモードを

含むのかが見えにくくなっている。しかし式 (3.30) から少なくとも巨視的な五個の物理

量の摂動に関しては表すことが不可能であるため、全てのモードを含んでいないことが分

かる。この結果この continuous spectrumと離散固有値を合わせることで、δf の持つ全

ての初期条件自由度を表すことになる。

なおこの continuous spectrumは付録 Aから分かる通り、少なくともMaxwell粒子で

は BGK近似を用いたことに起因している。また [17]からポテンシャルが r−n の形の場

合、n > 2の場合は必ず離散的な可算無限個のモードになることはわかっている。実はこ

の continuous modeが張る空間も、f が全粒子数の有限性のために L2 であり、自由度は

可算無限個になっていると考えられる。

3.2 相対論的 Boltzmann方程式－ Marle流の取り扱い 79

3.2 相対論的 Boltzmann方程式－ Marle流の取り扱い

この章からは相対論的なボルツマン方程式を取り扱う。先の章と同様に衝突項として

BGKモデルを用いるが、相対論的な場合は四元速度の任意性に対応して BGKモデルに

も任意性が生じる。この章ではまず Eckart 速度に対応する Marle の BGK モデルを考

える。

3.2.1 Marleの BGK model

Marle [13]により提唱された相対論的なボルツマン方程式の衝突項の BGK近似は次の

ようなものである。(

= −m

τ(f(t,x,p)− f0(t,x,p)) (3.46)

ここで τ は pµ によらない量であり、また f0 は次のような関数である。

f0(t,x,p) =n(t,x)

4πm2T (t,x)K2(ζ(t,x))exp

[−pµuµ(t,x)

T (t,x)

](3.47)

T(3.48)

これは pµ の依存性は相対論的なボルツマン方程式の平衡解であるMaxwell-Juttner分布

であり、n、uµ、T は xµ の任意関数で uµ は u2 = 1を満たす量とする。これらの五個の

任意関数は次のように保存則を守るように決められる。

この衝突項を用いるとボルツマン方程式は次のようになる。

pµ∂µf = p0

∂t+ v · ∇

)f = −m

τ(f(t,x,v)− f0(t,x,v)) (3.49)

この式の両辺に二体衝突の保存量である粒子数と四元運動量に対応する量 1、pµ を掛けて

積分すると次のようになる。

∂µNµ = −m

∫d3p

p0(f − f0) (3.50)

∂µTµν = −m

∫d3p

p0pν(f − f0) (3.51)

粒子数、エネルギー、運動量の保存則よりこの二式の右辺は 0であり、この五個の条件に

より五個の任意関数 n、uµ、T が定まる。この右辺を 0にする式を書き直すと次のように

なる。∫

p0(f − f0) =

⟨1p0

⟩− nK1(ζ)

mK2(ζ)= 0 (3.52)

∫d3p

p0pµ(f − f0) = Nµ −Nµ

0 = 0 (3.53)

これらの式は matching conditionと呼ばれる。ここで注意すべきなのは、非相対論の場

合は保存則から課される f0 のmatching conditionが、密度 n、平均速度 u、エネルギー

eを一致させる条件になっていたのに対し、Marleの BGK modelは密度 nはきちんと一

致させる条件になっているが、エネルギーに対しては matching conditionが課されてお

らず、その代わりエネルギーの逆数 1/eの matching conditionが課されている。このこ

とは e0 を f0 で計算したエネルギー密度とした場合 e − e0 がゼロにならないことを意味

する。このことからMarleの BGKモデルでは、緩和の過程において e− e0 が 0に向か

う過程、つまり四元速度の静止系において時間成分にも bulk viscosityが存在することが

わかる。また特に重要なこととして、平均速度については式 (3.53) より四元速度として

Eckart速度を用いなければならないことを示している。

3.2.2 Marle流の BGKモデルの修正

前の章で説明したモデルは非相対論の BGKモデルをそのまま相対論的に拡張したもの

で、このモデルを用いて計算した散逸係数は非相対論的な極限では非相対論的な散逸係数

を再現するが、相対論的極限では剛体球を仮定した相対論的なボルツマン方程式から求め

た散逸係数と振る舞いが大きく異なることが知られている [11]。具体的にいうと散逸係数

を ζ = m/T の関数として表すと、剛体球仮定のボルツマン方程式の結果に対してMarle

の BGKモデルは相対論的な極限で 1/ζ のように振舞うのである。この問題に対して、散

逸係数は一般に自由走行時間 τ に比例し、式 (3.46) より BGKモデルのパラメータとし

て τ が入っていることを考えると、この τ を非相対論では 1で相対論的な極限で ζ がか

かるような ζ の関数が係数としてかかればいいと考えられる。この関数を求めよう。

まず τ の意味について考えよう。非相対論の BGK 近似において τ は緩和時間の意味

を持っている。これは次のようにして分かる。非相対論での BGKモデルを用いたボルツ

マン方程式は次のようになる。(

∂t+ v · ∇

)f = −1

τ(f(t,x,v)− f0(t,x,v)) (3.54)

この式で f の空間依存性を無視できるとすると式 (3.54)は時間に関する一階線形常微

分方程式になり、形式的に次のような解が得られる。

f(t) =[f(0) +

et/τf0(t′)dt′]

e−t/τ (3.55)

この式から τ 程度の時間で緩和が進むことがわかる。なお緩和時間は衝突時間程度なの

で、τ は自由走行時間とも解釈出来る。

では Marle の BGK モデルについて考えてみよう。同様にして空間依存性を無視する

と式 (3.49)より形式解は次のようになる。

f(t) =[f(0) +

1τ∗

et′/τ∗f0(t′)dt′]

e−t/τ∗ (3.56)

τ∗ =p0

mτ (3.57)

この式より一般の座標系では緩和時間は τ ではなく τ∗ になっていることがわかる。τ は

適当な座標系で注目している運動量の粒子の静止系に移った場合のその注目している粒子

達の緩和時間になっている。詳しく説明するとまず適当な座標系で分布関数が f(t,x,p)

だった場合のMarleの BGKモデルのボルツマン方程式は式 (3.49)より次のようになっ

ている。

pµ∂µf(t,x,p) = p0

∂t+ v · ∇

)f(t,x,p) = −m

τ(f(t,x,p)− f0(t,x,p)) (3.58)

この式は p = 0の座標に移ると次のようになる。

∂tf(t,x,0) = −m

τ(f(t,x,0)− f0(t,x,0)) (3.59)

この式は非相対論的な BGKモデルの空間依存性を無視した式と同じであり、この場合に

のみ τ が緩和時間になるということが分かる。

先の説明では散逸係数に入る自由走行時間として Marleの BGKモデルの場合も τ を

考えるていたのだが、以上の説明より実際は τ∗ を考えるべきであることがわかる。しか

し τ∗ は運動量に依存しているため散逸係数に入る自由走行時間としてはこれを運動量に

ついて何らかの平均をして非相対論の BGK近似の場合と同様に系の緩和時間 τ と関係付

ける必要がある。この緩和時間 τ は、一般の散逸係数が比例する自由走行時間である。

τ から出発してMarleの BGKモデルの中にある τ を表そう。以降この τ を τM とし

て表す。先の考察より τM は次のように表されることが分かる。

τM ≡⟨

⟩(3.60)

系は十分平衡に近いと考えて、局所平衡関数を用いてこの平均を計算しよう。この操作

は一般には正しい τM を与えないが、今回扱う線形摂動では十分な精度を与える。局所平

衡関数を用いると 3.2.1の式 (3.52)より次のようになる。

τM =m

∫d3p

p0f0τ =

K1(ζ)K2(ζ)

τ (3.61)

Kn は n次の変形ベッセル関数であり、新たに係数としてかかる関数K1(ζ)/K2(ζ)は、ζ

が大きい極限で 1になり ζ が 0 に十分近い極限で ζ/2を与える関数であり、ファクター

の違いを無視すれば求めていた条件を全て満たすことが分かる。この論文では以降この τ

を式 (3.61)に修正したMarleの BGKモデルを考える。

3.2.3 ボルツマン方程式の線形摂動と分散関係

外場のない場合に修正された Marle の BGK モデルのボルツマン方程式は次の通りで

ある。

Dsf = pµ∂µf = p0

∂t+ v · ∇

)f = − m

τM(f − f0) (3.62)

ここで f0 は次のような関数である。

4πm2TK2(ζ)exp

[−pµuµ

](3.63)

T(3.64)

この近似を用いるとボルツマン方程式は f0 を source term とした f に関する非斉次の

線形微分方程式に見えるが、実際は次の条件を介して f0 は f に非線型に依存している。∫

(f0 − f)ψµ d3p

p0= 0 (3.65)

ψµ = (1, pµ) (3.66)

ここで式 (3.65) は f0 の中の状態変数を f の状態変数と関係付けるための条件であり、

matching condition と呼ばれる。(セクション 3.2.1参照）

態である系全体での平衡ボルツマン分布 f0(pµ)とする。この時これからのずれを次のよ

うに定義する。

δf = f − f0, δf0 = f0 − f0, δτM = τM − τM (τM：f0で平均した量) (3.67)

f0 は時間、空間に依存しないのでボルツマン方程式は線形近似で次のように変形で

きる。(

∂t+ v · ∇

τM∗(3.68)

τM∗ =p0

mτM (3.69)

ここで τM∗ は世界点に依存しない量であり、以降 τM∗ は τM∗ と書くことにする。次の

ような形の解を考える。

δf = δfe−ikµxµ

= δfe−iω(t−t0)+ik·x (3.70)

1τM∗

− iω + ik · v)

δf =1

τM∗δf0 (3.71)

以降座標系を四元速度 uµ の静止系で考えることにすると、上の式で δf0 は次のように

計算できる。

δf0 = f0

(−1 +

K ′2

T0− p · δu

](3.72)

f0 =n0

4πm2T0K2(ζ0)exp

[− p0

](3.73)

先と同様 f0 は非摂動状態であり、δuはセクション 3.2.1より Eckart速度の空間成分の

変分を表す。またK ′n はKn の ζ による一階微分を表す。

δn、δu、δT は matching conditionを用いて δf の積分で定義されるので、線形化され

1τM∗

− iω + ik · v)

δf(p) (3.74)

d3p′

p′0f0(p)τM∗

[p′0

(−1 +

K ′2

)A(ζ)− p′0

T0− p · p′

]δf(p′)

δT に関して係数の変化は後の分散関係の計算に関係ないので A(ζ)としてまとめてある。

ωτ ≡ ω′, τk ≡ k′,p0

T0≡ z (3.75)

δf(p) =∫

d3p′

p′0K(p,p′)δf(p′) (3.76)

K(p,p′) ≡ f0(p)

1−(iω + ik · p

)K1zK2ζ

[p′0

(−1 + z +

K ′2

)A(ζ)− p′0

T0− p · p′

(3.77)

iω + ik · pp0

K2ζ6= 0 (3.78)

なお式 (3.78)が不成立の場合は後ほど扱う。

いることが分かる。特に積分核 K(p,p′) が変数分離可能な形なので、一般的な解法に従

い上式の左から 1、p、p0 を掛けて d3p/p0 で積分し固有値方程式を求める。するとこれ

らの式は解析的に積分でき、ω と k の分散関係式として次のように求まる。（計算の詳細

は E.2を参照）

まず 1を作用させた式として次のようになる。[K2

1k − ζK2P (0)− πK2e−c

]δn (3.79)

+[(−3− K1

) (kK2

1 − ζK2P (0))

+ ζK2 (kK1 − ζP (1))

−πK2e−c

(c− 2− K1

+[− iK2ζ

K1P (0)− iωP (1)

)−K1

−πK2e−c i

−iω(1 + c) +

]k · δu = 0

ここで P (n)と bは次のように定義される。

P (n) =∫ ∞

dy e−ζyyn arctanζ√

y2 − 1b

(3.80)

K1− iωy

)(3.81)

c = − K2ζ

K1Im(ω)if Im(ω) < −K2

K1(3.82)

1− ω2/k2

√−

+ 1− ω2

if Im(ω) > −K2

この cの定義については F.3で説明してある。

次に k · pを作用させた式は次のようになる。[ζ

(−iK1 + i

K1kP (0) +

kP (1)

ke−c

ω(1 + c) + i

]δn (3.83)

+[−iζ

(−3K1 − K2

K2ζ + ζK2

(−3P (0)− K1ζ

K2P (0) + ζP (1)

+ωζ2

(−3P (1)− K1ζ

K2P (1) + ζP (2)

ke−c

(1 + c)

K ′2

K2ζ + c2 + c + 1

K ′2

)]]δT

K2(1− iω)− K2ζ

K1P (0)− iωP (1)

K1P (1)− iωP (2)

)− ζK1

ke−c 1

ω2(c2 + 2c + 2) + 2iω

K1ζ(1 + c)−

k · δu = 0

k× p ≡ kpy を作用させた式は次のようになる。[2kK1 −

∫ ∞

dy e−ζy

[−bζ

√y2 − 1 +

b2 + ζ2(y2 − 1)

arctan

y2 − 1b

(3.84)

− π

ζe−c

(c2 + 2c + 2)

(1− ω2

)− 2iK2

k2K1ζω(1 + c) +

− ζ2

)]δuy = 0

最後に p0 を作用させた式は次のようになる。[ζP (1)−K1k +

ζe−c(1 + c)

]δn (3.85)

(−3P (1)− K1

K2ζP (1) + ζP (2)

ζe−c

(1 + c)

K ′2

K2ζ + c2 + c + 1

+[− iζ

K2 − ζ

K1P (1)− iωP (2)

ζe−c i

−iω(c2 + 2c + 2) +

K1ζ(1 + c)

]k · δu = 0

得られた式にはそのままの積分計算では得られない解析接続の補正項が加えてある。解析

接続について詳細は F.3に説明されている。

これらの式は matching conditionそのものであり、それはこれらが連続方程式、運動

方程式、エネルギー方程式と同値であることを示している。ところで Marle の BGK モ

デルの場合は非相対論の場合と違い、エネルギーの matching conditionがエネルギー方

程式に対応しておらず、δn、δuのみから出来る連続方程式を求めるには上の 3つ全てを

用いる必要があるはずである。そのことは式 (3.79)に iζ/K1k を掛けた式と式 (3.85)に

−ωζ/k を掛けた式と式 (3.83)を加えると確かに連続方程式 −iωδn + ik · δu = 0となる

ことからも確かめられる。

δρ、δu、δT が解を持つ条件として行列式を計算すると求める分散関係式が得られる。

この分散関係式により求まった ω を用いて固有関数 δρ、δu、δT を求めれば、δf は次の

ようにして解が得られる。

δf(v) =∑

Cnf0(v)

1−(iω + ik · p

)K1zK2ζ

(3.86)

×[δnωn

(−1 +

K ′2

)δTωn

T0− p · δuωn

]e−i(ωnt+k·x)

最後に式 (3.78) が不成立の場合を考えよう。この場合振動数 ω が連続変数 px に依存

するため continuous modeになっている。この場合は Cercignani [40]の論文にコメント

されているように、セクション 3.1.6と同様にして

δf = δf1 + DδD

(iω + ik · p

)(3.87)

の形を考え、式 (3.74)を満たすように δf1 を決めたものが固有関数になる。

3.2.4 Result

分散関係

先に得られた分散関係を図示していこう。まず熱伝導を表すモードは非相対論的な

ζ = 100、相対論的な効果が現れ始める ζ = 1、超相対論的な ζ = 0.01で次のようになる。

0.0001

0.01 0.1 1 10 100

wave number k τ c

図 3.16 ζ = 100の熱伝導の減衰率

0.0001

0.01 0.1 1 10 100

wave number k τ c

0.0001

0.01 0.1 1 10

wave number k τ c

図 3.18 ζ = 0.01の熱伝導の減衰率

これらは減衰率を描いた図で、Chapman-Enskog展開が予言するように長波長部分では

減衰率が k2に比例する。また短波長になるに従い k2からずれてきて、Chapman-Enskog

展開が短波長領域で近似が悪くなっていることも見て取れる。分散関係は全て純虚数であ

り、伝播することなく純粋に減衰するモードになっている。

ζ = 100に関してはセクション 3.1.3で得られた非相対論の場合の熱伝導の分散関係と

同様なものが得られており、修正された Marle の BGK モデルがきちんと非相対論的な

極限で非相対論の BGK モデルを再現することを確認できる。波数 k の違いは規格化の

違いから現れるもので、非相対論の場合と合わせるには ζ = 100の分散関係の図の横軸 k

の値を ∼ √ζ で割ればよい。ζ = 1、0.01については数値計算の精度が悪くなってきたと

ころで計算を止めている。

次に減衰音波を表すモードは ζ = 100、1、0.01で次のようになる。

0.01 0.1 1 10 100

(ω τ

wave number k τ c

図 3.19 ζ = 100の減衰音波の振動数

0.01 0.1 1 10

wave number k τ c

0.01 0.1 1 10

(ω τ

wave number k τ c

図 3.21 ζ = 0.01の減衰音波の振動数

0.0001

0.01 0.1 1 10 100

wave number k τ c

図 3.22 ζ = 100の減衰音波の減衰率

0.0001

0.01 0.1 1 10

(ω τ

wave number k τ c

0.0001

0.01 0.1 1 10

wave number k τ c

図 3.24 ζ = 0.01の減衰音波の減衰率

これらは全て ω が実数部分と純虚数部分をもっており、撹乱が伝播できる減衰音波の

モードを表していると考えられる。振動数と減衰率は全ての ζ で同様の振る舞いをしてい

ることがわかる。

ζ = 100 はセクション 3.1.3 で得られた音波モードをきちんと再現できている。また

ζ = 1、ζ = 0.01では k = 10付近で位相速度が光速を超えてしまう。これは付録 Cから

真のボルツマン方程式の分散関係では現れないはずのもので、この波数で BGK近似が悪

くなっていると考えられる。そのためこの論文ではこの波数で計算をやめている。

最後に shear flowについては ζ = 100、1、0.01で次のようになる。

0.0001

0.01 0.1 1 10 100

wave number k τ c

図 3.25 ζ = 100の shear flowの減衰率

0.0001

0.01 0.1 1 10 100

wave number k τ c

0.0001

0.01 0.1 1 10 100

wave number k τ c

図 3.27 ζ = 0.01の shear flowの減衰率

shear flow は減衰項のみが得られ、希薄気体中では縦波のみが伝播することを確認で

きる。また shear flowは ζ に関係なく同じような振る舞いをしていて、非相対論的な極

限 ζ = 100で、セクション 3.1.3の非相対論の BGKモデルの結果をきちんと再現できて

いる。

3.2.5 Discussion

この論文ではMarleの BGKモデルを用いることにより、四元速度として Eckart速度

を考えていることになった。セクション 3.2.3では分散関係式を求めたときに静止系で考

えていたので、求まった緩和過程は流体粒子の静止系でみた現象になっている。分散関

係についてはセクション 3.2.4 でみた通り長波長部分では Chapman-Enskog展開から予

想される通りになっており関数系として流体静止系特有のものは見えていない。流体静

止系の効果は k2 の係数にあたる散逸係数に表れると考えられるため、もう一つの有名な

BGKモデルである Anderson-Wittingのモデルの結果と後ほど比較しよう。また短波長

領域の振る舞いにも特徴的な効果が現れると期待される。

また今回用いた修正されたMarleの BGK近似は ζ の大きい極限では非相対論の BGK

モデルと一致するべきであるが、これは次のようにして分かる。セクション 3.2.4におい

て ζ = 100の分散関係では粘性と熱伝導の減衰率は一致している。これは本来のボルツマ

ン方程式では起こらない非相対論の BGKモデルを用いたことによる効果であり、Marle

の BGKモデルは ζ が大きい極限で非相対論の BGKに帰着できることを示している。ま

た ζ が大きくなると粘性と熱伝導の減衰率が一致しなくなってくることも見て取れ、相対

論的極限では衝突項の固有値が非相対論の固有値の振る舞いとは異なってくることを示唆

している。

moment展開の結果との比較

今回の計算では流体力学的なモードである熱伝導、減衰音波、shear flowのみを求めた。

ところで moment展開では粘性や熱伝導が自由度を持つ結果として k = 0で n 6= 0から

始まる運動論的なモードが現れるが、今回の解析では運動論的なモードは後に説明する

Anderson-Wittingの BGKモデルの非相対論的な場合の shear flowに伴うもののみを求

め、全ては求めなかった。一方相対論的な流体力学における散逸の取り扱いで、因果律を

満たし安定な理論として Israel-Stewartの理論 [4]が有名だが、この理論は基本的に相対

論的な moment展開を扱っていることになっている。先の議論より Israel-Stewartの散

逸理論は流体力学的なモードの振る舞いは今回の結果と長波長では十分あっている。しか

しこの理論では運動論的なモードは BGK 近似とは違い減衰率が k が大きくなるに従い

小さくなり、運動論的なモードと流体力学的なモードの coupleが nが 1/τ より小さい範

囲で起きると予言する。今回の結果はその結果には否定的でむしろ運動論的なモードとの

coupleはもし起きるならば nが 1/τ より大きい範囲で起き、運動論的なモードも k が大

きくなるに従い減衰率 nは大きくなっていくことを示している。このことは短波長に行く

に従い減衰率は大きくなるという物理的直観にも反さない。このことより Israel-Stewart

の散逸理論は長波長部分では流体力学的なモードはよい近似になっているが、短波長領域

に行くに従い精度が悪くなり、運動論的なモードとの coupleが近づくにつれてボルツマ

ン方程式とは異なる振る舞いをすると結論できる。

解析接続

最後に今回は F.3 で説明したように、分散関係式を求めるときの積分で解析接続を

行なった。このことはセクション 3.2.3 において式 (3.70) をラプラス変換だと考え、線

型方程式の初期値問題を解いたと考えることに相当している。この解析接続の結果とし

て得られた分散関係は減衰率は 1/τ を超えた領域まで存在している。また分散関係式

は解析接続の補正項の存在により解析関数ではなくなっている。Cercignani ら [41] は

Anderson-Wittingの BGKモデルにおいて境界値問題として分散関係を解いたが、彼ら

はこの論文で解析接続を位相速度が光速を超えるという理由で行なっていない。しかし今

回の解析でわかったようにMarleの BGKモデルでは解析接続はどの減衰率 nでも必要

であり、分散関係を求めるにあたり本質的である。また非相対論の BGKモデルの線形解

析を詳しく行った Sirovichら [35]は、解析接続を行なった結果は実験値をよく再現する

ことを報告している。以上の理由から分散関係において解析接続を行なうことは本質的

で、位相速度が光速を超えてしまうのは解析接続の結果ではなく単に BGK近似がその波

数で精度が落ちるということを示しているに過ぎないと考えられる。

3.3 相対論的 Boltzmann方程式－ Anderson-Witting流の取り扱い 95

3.3 相対論的 Boltzmann方程式－ Anderson-Witting流の取

り扱い

この章では Anderson-Witting による BGK モデル [14] を取り扱う。Marle の BGK

モデルが Eckart速度に対応していたのに対して、このモデルは Landau-Lifshitz速度に

対応している。

3.3.1 Anderson-Wittingの BGK model

Anderson とWitting [14] により提唱された相対論的なボルツマン方程式の衝突項の

BGK近似は次のようなものである。(

= −pνuνf(t,x,p)− f0(t,x,p)

τ(3.88)

ここで τ は pµ によらない量であり、四元速度 uµ の意味は後で説明する。また f0 は次の

ような関数である。

f0(t,x,p) =n(t,x)

4πm2T (t,x)K2(ζ(t,x))exp

[−pµuµ(t,x)

T (t,x)

](3.89)

T(3.90)

これは pµ の依存性は相対論的なボルツマン方程式の平衡解であるMaxwell-Juttner分布

であり、n、uµ、T は xµ の任意関数で uµ は u2 = 1を満たす量とする。これらの五個の

任意関数は次のように保存則を守るように決められる。

この衝突項を用いるとボルツマン方程式は次のようになる。

pµ∂µf = p0

∂t+ v · ∇

)f = −pνuν

f(t,x,p)− f0(t,x,p)τ

(3.91)

この式の両辺に二体衝突の保存量である粒子数と四元運動量に対応する量 1、pµ を掛けて

積分すると次のようになる。

∂µNµ = −uν

∫d3p

p0pν(f − f0) (3.92)

∂µTµρ = −uν

∫d3p

p0pνpρ(f − f0) (3.93)

粒子数、エネルギー、運動量の保存則よりこの二式の右辺は 0であり、この五個の条件に

より五個の任意関数 n、uµ、T が定まる。この右辺を 0にする式を書き直すと次のように

なる。

∫d3p

p0pν(f − f0) = uνNν − uνNν

0 = 0 (3.94)

∫d3p

p0pνpρ(f − f0) = uνT νρ − uνT νρ

0 = 0 (3.95)

これらの式は matching conditionと呼ばれる。ここで Anderson-Wittingの BGKモデ

ルでは、まず式 (3.94) より f0 の密度 n が f から定義されるものと一致することが要請

される。また式 (3.95) の第 0 成分より f0 のエネルギー密度 e が f から定義されるもの

と一致することが要請される。これらは非相対論の BGKモデルにおいて保存則から要請

される matching conditionと一致する。しかし相対論では式 (3.95)の空間成分から要請

される matching conditionは非常に重要な意味を持つ。式 (3.95)により四元速度 uµ の

静止系ではエネルギー流速 T 0µ は局所平衡分布関数 f0 で定義される T 0µ0 と一致するこ

とが要請される。局所平衡分布関数で定義される T 0µ0 には散逸は含まれないので、この

matching conditionは四元速度 uµ の静止系では熱流が存在しないこと、つまりこの四元

速度は Landau-Lifshitz速度であることを示している。

3.3.2 ボルツマン方程式の線形摂動と分散関係

外場のない場合の Anderson-Witting [14]の BGKモデルのボルツマン方程式は次の通

りである。

Dsf = pµ∂µf = p0

∂t+ v · ∇

)f = −uνpν f − f0

τ(3.96)

ここで f0 は次のような関数である。

4πm2TK2(ζ)exp

[−pµuµ

](3.97)

T(3.98)

K2 は二次の変形ベッセル関数である。

この BGK モデルは四元速度として Landau-Lifshitz 速度を採用しているモデルで、

matching conditionにより f0 から計算される密度 nとエネルギー密度 e は f から計算

されるものと一致する。(詳しくは 3.3.1を参照)

この近似を用いるとボルツマン方程式は f0 を source term とした f に関する非斉次の

線形微分方程式に見えるが、実際は次の条件を介して f0 は f に非線型に依存している。

∫d3p

p0pνψµ (f0 − f) = 0 (3.99)

ψµ = (1, pµ) (3.100)

ここで式 (3.99) は f0 の中の状態変数を f の状態変数と関係付けるための条件であり、

matching condition と呼ばれる。

態である系全体での平衡ボルツマン分布 f0(pµ)とする。この時これからのずれを次のよ

δf = f − f0, δf0 = f0 − f0, δτ = τ − τ (τ：f0で平均した量) (3.101)

f0 は時間、空間に依存しないので四元速度の静止系でボルツマン方程式は線形近似で

次のように変形できる。(

∂t+ v · ∇

τ(3.102)

ここで τ は世界点に依存しない量であり、以降 τ は τ と書くことにする。次のような

形の解を考える。

δf = δfe−ikµxµ

= δfe−iω(t−t0)+ik·x (3.103)

)δf =

δf0 (3.104)

座標系は四元速度 uµ の静止系で考えているので、上の式で δf0 は次のように計算で

きる。

δf0 = f0

(−1 +

K ′2

T0− p · δu

](3.105)

f0 =n0

4πm2T0K2(ζ0)exp

[− p0

](3.106)

先と同様 f0 は非摂動状態であり、δuはセクション 3.3.1より Landau-Lifshitz速度の空

間成分の変分を表す。またK ′n はKn の ζ による一階微分を表す。

δn、δu、δT は matching conditionを用いて δf の積分で定義されるので、線形化され

)δf(p) (3.107)

d3p′f0(p)

+(−1 +

K ′2

)A(ζ) p′0 − 1

T0− p · p′

]δf(p′)

δT に関して係数の変化は後の分散関係の計算に関係ないので A(ζ)としてまとめてある。

ωτ ≡ ω′, τk ≡ k′,p0

T0≡ z (3.108)

δf(p) =∫

d3p′K(p,p′)δf(p′) (3.109)

K(p,p′) ≡ f0(p)1− iω + ik · p

+(−1 + z +

K ′2

)A(ζ) p′0 − 1

T0− p · p′

(3.110)

1− iω + ik · pp06= 0 (3.111)

式 (3.111)が成り立たない場合については後ほど扱う。

いることが分かる。特に積分核 K(p,p′) が変数分離可能な形なので、一般的な解法に従

い上式の左から p0、p0 p、(p0)2 を掛けて d3p/p0 で積分し固有値方程式を求める。する

とこれらの式は解析的に積分でき、ω と k の分散関係式として次のように求まる。（計算

の詳細は E.3を参照）

まず p0 を作用させた式として次のようになる。

(ζQ(2)−K2k) δn +[(−3− K1ζ

)ζQ(2) + ζ2Q(3)

]δT (3.112)

(3K2 + ζK1 − bζ2Q(3)

)k · δu = 0

ここで Q(n)と bは次のように定義される。

Q(n) =∫ ∞

dy e−ζyyn arctan

√y2 − 1b y

(3.113)

b =1− iω

k(3.114)

次に p0 k · pを作用させた式は次のようになる。(3K2 + ζK1 − bζ2Q(3)

)δn (3.115)

+[−K1ζ

)+ (3 + ζ2)K2 − bζ2

(−3Q(3)− K1

K2ζQ(3) + ζQ(4)

[ζK3 − b

(12 + ζ2)K2 + 3ζK1 − bζ3Q(4)

]k · δu = 0

p0 k× p ≡ kp0py を作用させた式は次のようになる。[2kζK3 − ζ3

(b2 + 1)Q(4)−Q(2)

(12 + ζ2)K2 + 3ζK2

]δuy = 0 (3.116)

最後に (p0)2 を作用させた式は次のようになる。

[k(3K2 + ζK1)− ζ2Q(3)

]δn− i

[bζ3Q(4)− (ζ2 + 12)K2 − 3ζK1

]k · δu (3.117)

(3 + ζ2)K2 − ζK1

)− ζ2

(−3Q(3)− K1

K2Q(3)ζ + ζQ(4)

)]δT = 0

これらの式は matching conditionそのものであり、それはこれらが連続方程式、運動

方程式、エネルギー方程式と同値であることを示している。ところで Anderson- Witting

の BGKモデルの場合は四元速度が Landau-Lifshitz速度のため、非相対論とは違い連続

方程式は −iωδn + ik · δu = 0 という形にはならず、式 (3.95)から出てくるエネルギー

の連続方程式として次のような式が成り立つ。

∂µTµν =∂

∂tδ(ne) +∇ · (neδu) (3.118)

=− iωn0T0

[(3K2 + ζK1)δn +

(3 + ζ2)K2 − ζK1

+ iζK3

K2n0T0k · δu

matching condition によりこの式は δu の matching condition である式 (3.115) と δT

の matching condition である式 (3.117) から求まるはずである。そのことは式 (3.115)

に −1を掛けた式と式 (3.117)に bを掛けた式を加えると確かに連続方程式 (3.118) とな

ることからも確かめられる。

δρ、δu、δT が解を持つ条件として行列式を計算すると求める分散関係式が得られる。

この分散関係式により求まった ω を用いて固有関数 δρ、δu、δT を求めれば、δf は次の

ようにして解が得られる。

δf(v) =∑

Cnf0(v)1− iω + ik · p

(3.119)

×[δnωn

(−1 +

K ′2

)δTωn

T0− p · δuωn

]e−i(ωnt+k·x)

最後に式 (3.111)が不成立の場合を考えよう。この場合振動数 ω が連続変数 px に依存

するため continuous modeになっている。この場合は Cercignani [40]の論文にコメント

されているように、セクション 3.1.6、セクション 3.2.3と同様にして

δf = δf1 + DδD

(1− iω + ik · p

)(3.120)

の形を考え、式 (3.107)を満たすように δf1 を決めたものが固有関数になる。

3.3.3 Result

先に得られた分散関係を図示していこう。修正された Marle の BGK モデルの結果と

の比較はセクション 3.3.4で行なう。

まず熱伝導を表すモードは非相対論的な ζ = 100、相対論的な効果が現れ始める ζ = 1、

超相対論的な ζ = 0.01で次のようになる。

0.0001

0.01 0.1 1 10 100

wave number k τ c

0.0001

0.01 0.1 1 10

wave number k τ c

0.0001

0.01 0.1 1 10

wave number k τ c

図 3.30 ζ = 0.01の熱伝導の減衰率

これらは熱伝導の減衰率を描いた図で、Chapman-Enskog 展開が予言するように長

波長部分では減衰率が k2 に比例する。また短波長になるに従い k2 からずれてきて、

Chapman-Enskog 展開が短波長領域で近似が悪くなっていることも見て取れる。また

得られたモードは全て純虚数であり、伝播はせず純粋に減衰するモードを表している。

ζ = 1、0.01については数値計算の精度が悪くなってきたところで計算を止めている。

ζ = 100に関してはセクション 3.1.3で得られた非相対論の場合の熱伝導の分散関係と

同様なものが得られており、Anderson-Wittingの BGKモデルがきちんと非相対論的な

極限で非相対論の BGK モデルを再現することを確認できる。波数 k の違いは規格化の

違いから現れるもので、非相対論の場合と合わせるには ζ = 100の分散関係の図の横軸 k

の値を ∼ √ζ で割ればよい。

次に減衰音波を表すモードは ζ = 100、1、0.01で次のようになる。

0.01 0.1 1 10 100

(ω τ

wave number k τ c

0.01 0.1 1 10 100

(ω τ

wave number k τ c

0.01 0.1 1 10 100

(ω τ

wave number k τ c

図 3.33 ζ = 0.01の減衰音波の振動数

0.0001

0.01 0.1 1 10 100

wave number k τ c

0.0001

0.01 0.1 1 10 100

wave number k τ c

0.0001

0.01 0.1 1 10 100

wave number k τ c

図 3.36 ζ = 0.01の減衰音波の減衰率

これらは全て ω が実数部分と純虚数部分をもっており、撹乱が伝播できる減衰音波の

モードを表していると考えられる。振動数と減衰率は全ての ζ で同様の振る舞いをしてい

ることがわかる。

ζ = 100 はセクション 3.1.3 で得られた音波モードをきちんと再現できている。また

ζ = 1、ζ = 0.01では k = 10付近で位相速度が光速を超えてしまう。これは付録 Cから

真のボルツマン方程式の分散関係では現れないはずのもので、この波数で BGK近似が悪

くなっていると考えられる。そのためこの論文ではこの波数で計算をやめている。

最後に shear flowについては ζ = 100、1、0.01で次のようになる。

0.0001

0.01 0.1 1 10 100

wave number k τ c

0.0001

0.01 0.1 1 10 100

wave number k τ c

0.0001

0.01 0.1 1 10 100

wave number k τ c

図 3.39 ζ = 0.01の shear flowの減衰率

shear flowは減衰項のみが得られ、希薄気体中では縦波のみが伝播することを確認でき

る。また shear flowは ζ に関係なく同じような振る舞いをしていて、修正された Marle

の BGKモデルの場合と同様にして非相対論的な極限 ζ = 100で、セクション 3.1.3の非

相対論の BGKモデルの結果をきちんと再現できていることがわかる。

なお shear flow に関しては非相対論的なモードに関しては運動論的なモードが得られ

ており、次のようになる。

0.01 0.1 1 10 100

wave number k τ c

図 3.40 ζ = 100の shear flowの運動論的なモードの減衰率

0.01 0.1 1 10 100

(ω τ

wave number k τ c

図 3.41 ζ = 0.01の shear flowの運動論的なモードの振動数

このように moment展開が予言するような減衰率の減少は見られないことが分かる。

3.3.4 Discussion

この論文では Anderson-Wittingの BGKモデルを用いることにより、四元速度として

Landau-Lifshitz速度を考えていることになった。セクション 3.3.2では分散関係式を求

めたときに静止系で考えていたので、求まった緩和過程はエネルギー流速の静止系でみ

た現象になっている。分散関係についてはセクション 3.3.3 でみた通り長波長部分では

Chapman-Enskog展開から予想される通りになっており関数系としてエネルギー流束静

止系特有のものは見えていない。エネルギー流速静止系の効果は k2 の係数にあたる散逸

係数や短波長領域の振る舞い表れると考えられるため、もう一つの有名な BGKモデルで

あるMarleのモデルの結果と比較しよう。

なお今回用いた Anderson-Witting の BGK 近似は ζ の大きい極限では非相対論の

BGK モデルと一致するべきであり、確かにセクション 3.3.3 において ζ = 100 の分散

関係では粘性と熱伝導の減衰率は一致している。これは本来のボルツマン方程式では起

こらない非相対論の BGKモデルを用いたことによる効果であり、Anderson-Wittingの

BGKモデルは ζ が大きい極限で非相対論の BGKに帰着できることを示している。また

ζ が大きくなると粘性と熱伝導の減衰率が一致しなくなってくることも見て取れ、相対論

的極限では衝突項の固有値が非相対論の固有値の振る舞いとは異なってくることを示唆し

ている。

moment展開の結果との比較

今回の計算では流体力学的なモードである熱伝導、減衰音波、shear flow のみを求め

た。ところで moment展開では粘性や熱伝導が自由度を持つ結果として k = 0で n 6= 0

から始まる運動論的なモードが現れる。今回の解析では運動論的なモードは非相対論的

な場合の shear flow についてのみしか求めなかったが確かに存在することは分かった。

一方相対論的な流体力学における散逸の取り扱いで、因果律を満たし安定な理論として

Israel-Stewart の理論 [4] が有名だが、この理論は基本的に相対論的な moment 展開を

扱っていることになっている。今回の解析から Israel-Stewartの散逸理論の流体力学的な

モードは、Landau-Lifshitz速度の静止系でも長波長では十分良い近似になっていること

がわかる。しかし moment展開の特徴である運動論的なモードと流体力学的なモードの

coupleは nが 1/τ より小さい範囲で起きるという予言については今回の結果は否定的で、

修正された Marle の BGK モデルの場合と同様に運動論的なモードとの couple は n が

1/τ より大きい範囲で起き、運動論的なモードも k が大きくなるに従い減衰率 n は大き

くなっていくことを示している。このことは短波長に行くに従い減衰率は大きくなるとい

う物理的直観にも反さない。このことより Israel-Stewartの散逸理論は Landau-Lifshitz

速度の静止系でも長波長部分では運動論的なモードの存在も含めてよい近似になっている

が、短波長領域に行くに従い精度が悪くなり、運動論的なモードとの coupleが近づくに

つれてボルツマン方程式とは異なる振る舞いをすると結論できる。

Marleの BGKモデルとの比較

最後にセクション 3.2.4 の修正された Marle の BGK モデルの結果を比較しよう。今

回の Anderson-Wittingの BGKモデルは Landau-Lifshitz速度の静止系という、エネル

ギー流速の静止系で分散関係を求めたことになっているが、Marle の BGK モデルでの

Eckart速度の静止系である流体粒子の静止系で計算した分散関係とは、定性的には大き

な違いがみられないことが分かる。またどちらも非相対論的な極限である ζ = 100 では

セクション 3.1.3の非相対論的な BGKモデルを再現し、減衰音波モードは位相速度が光

速を超えるようになる。この問題はより原理的な式であるボルツマン方程式では付録 C

の議論から起こりえないことがわかるので、明らかに BGKモデルの近似の精度の問題で

あることがわかる。

3.4 Israel-Stewart理論から得られた分散関係との比較

Discussionの中で触れていた Israel-Stewart理論 [4]との比較をこの章でまとめよう。

Israel-Setewart理論はセクション 2.2.8で reviewを行なったmoment展開に基づく理論

で、式 (2.339)、(2.340)、(2.341)、(2.342)という方程式を用いる散逸の理論である。こ

こで見易さのため式 (2.339)、(2.341)、(2.342) を次のように書き直そう。

Π = −µ(∇νuν + β0Π− α0∇νqν) (3.121)

qµ = −κγµν

(1T∇νT + uν + β1qν − α0∇νΠ− α1∇ρp

)(3.122)

pµν = −2η(∇〈µuν〉 + β2p〈µν〉 − α1∇〈µqν〉) (3.123)

この α0、α1、β0、β1、β2 はセクション 2.2.8 で相互作用が与えられた場合に計算され

る量である。一方これらをパラメータとみなした場合、どのパラメータ領域の場合に

Israel-Stewart 理論が安定で因果律を守る理論であるかについては研究がなされてい

て [15]、次の条件が成り立てばよいことが分かっている。(

> 0 (3.124)(

> 0 (3.125)

β0, β1, β2 > 0 (3.126)

β1(ne + P )− 1 > 0 (3.127)(∂ne

> 0 (3.128)

ここで Θ = (ρ + P − nsT )/Tnであり、化学ポテンシャルの 1/T 倍の量である。この条

件が成り立てば座標系に依存せずに安定で因果律を守るようになる。

Isreal-Stewart理論が適切なパラメータ領域を選ぶことで安定で因果律を守る理論にな

ることは分かったが、この理論はどの程度良い近似になっているのだろうか？　セクショ

ン 2.2.7とセクション 2.2.8から moment展開の理論は、散逸項として平均自由行程 l と

系の特徴的長さスケール Lの比 l/Lの一次より高次の項を考慮した理論になっているこ

とが分かる。しかしこの補正項の導出は l/L の依存性が極めてわかりにくいものになっ

ているため、実際どの程度の波長領域まで Israel-Stewart 理論が正しいのかを理解する

ことは困難である。一方 moment展開の分散関係に注目してみると式 (2.339)、(2.341)、

(2.342) から、長波長領域では Chapman-Enskog の一次近似に一致し、さらに散逸量で

ある熱伝導、粘性の時間微分まで考慮に入れた結果、それらの自由度に対応する極めて短

3.4 Israel-Stewart理論から得られた分散関係との比較 111

い時間で減衰する運動論的なモードが存在することが分かる。一方短波長領域に関して

は、付録 Bから momentの展開を有限の個数で止めてしまうと減衰率に上限が生まれて

しまうことが知られている。長波長領域の振る舞いは物理的にも理解できるため正しいと

考えられるが、安定性のために取り入れた二次の精度の量の効果がどの程度の波長領域ま

で影響があるかは実験が極めて難しいことからも分かっていない。

では Israel-Stewart理論の分散関係を実際にみてみよう。自由度を増やしたことにより

分散関係を求めるには 14行 14列の行列式を解く必要があるが、非相対論的な極限と超相

対論的な極限での Longitudinal-modeについては簡単になり [11]、熱伝導と運動論的な

モードについて求めると次のようになる。

0.1 1 10

wave number k τ Cs

図 3.42 ζ = 100の Israel-Stewart理論の熱伝導と運動論的なモードの減衰率

0.1 1 10

wave number k τ Cs

図 3.43 ζ = 0.01の Israel-Stewart理論の熱伝導と運動論的なモードの減衰率

図 3.42、3.43 より実際に減衰率に上限が存在して、運動論的なモードは波数が大きく

なるにつれて減衰率が減少していることが分かる。

この論文ではボルツマン方程式の衝突項を BGK モデルの衝突項に近似した運動論的

方程式の分散関係を求めた。この近似は物理的直観に反せず、必要な物理法則を満たす

形の衝突項を用いているため、十分短波長領域までボルツマン方程式の分散関係を再

現すると期待できる。さらにボルツマン方程式の線形化された衝突項が満たすべき分散

関係の性質は分かっているため、この性質を守る波長まではボルツマン方程式の分散関

係を再現していると考えられる。ではこの得られた結果を用いて Israel-Stewart 理論の

検証を行なうと、まずどの ζ でも流体力学的なモードは cτk = 1 という波長程度まで

Chapman-Enskog の一次近似を守ることがわかる。また光速 c から音速 Cs に規格化の

パラメータを変えたとしても簡単な計算の後同じく Csτk = 1という波長程度まで k2 則

が守られていることが確認できる。また音波の場合は位相速度が光速になる波長を、熱伝

導は数値計算の精度が悪くなる直前の波長領域までは正しいと考えたとしても、moment

展開から予言されるような減衰率の上限は現れないことが確認できる。一方運動論的な

モードは全ては求めなかったが、同様にして減衰率の上限が現れないことから moment

展開での運動論的なモードは現実を再現しない。このことは非相対論の場合ではmoment

展開の運動論的なモードはボルツマン方程式の結果を全く再現しないことからも予想でき

る [36]。

以上結論としては、相対論的な流体において散逸を扱うためには適切なパラメータ領域

を指定した Israel-Stewart 理論を用いれば、安定で因果律を守るように解くことが出来

る。さらに流体近似の成り立つ長波長領域では、Israel-Stewart理論が記述するモードの

うち Chapman-Enskogの一次近似が予言する勾配の一次に比例する項はボルツマン方程

式の分散関係の結果を良い精度で再現する。一方で運動論的なモードはボルツマン方程式

の結果を全く再現しない。よって Israel-Stewart理論を用いて散逸を記述する場合は、運

動論的なモードはあまり精度を要求せずに方程式系の安定化のためだけに考慮すれば十分

である。

第 4章

まとめと今後の展望

私はこの論文でまず非相対論において衝突項を BGK近似した運動論的方程式の線形摂

動問題の解を求め、緩和や波の伝播を表す Cauchy問題の一般解を求めた。さらにこの解

を用いることで BGKモデルの範囲内で短波長領域でも厳密に正しい流体力学方程式系の

分散関係を求めた。さらに同様にして相対論的な BGK近似である、Marle の BGKモデ

ルと Anderson-Wittingの BGKモデルにおいて線形化された運動論的方程式の Cauchy

問題の解を求め、その解を用いて分散関係を求めた。この分散関係は衝突項の物理的な性

質を保った近似になっているため定性的にはボルツマン方程式の性質を再現すると考えら

れ、実験の難しい相対論的な希薄気体の研究において流体モデルの検証方法として用いる

ことが出来る。

また私は得られた分散関係と Israel-Stewart理論を比較することで、Israel-Stewart理

論が流体近似の成り立つ長波長領域でどの程度ボルツマン方程式を再現する理論なのかを

検証した。この結果 Isreal-Stewart理論は長波長側で流体力学的なモードである熱伝導と

減衰音波のモードはボルツマン方程式を十分良く再現しているが、運動論的な急速に緩和

するモードに関してはほとんどボルツマン方程式を再現しないことがわかった。

今後はこの結果を踏まえて相対論的散逸の実用的な解法の研究に取り組み、それを用い

て宇宙の高エネルギー現象を解析していきたい。また今回考慮しなかったオーム散逸につ

いては既に実用的な取り扱い方が分かっているので [15]、磁気流体近似においてオーム散

逸と熱伝導、粘性の全てを考慮して相対論的な流体を解く手法を確立していきたい。

114 第 4章まとめと今後の展望

謝辞

この修士論文を作成するにあたり大変多くの方にお世話になりました。この場を借りて

お礼を申し上げたいと思います。特に指導教員の犬塚准教授にはこの修士論文の研究テー

マのきっかけを与えて頂き、度々議論に付き合って頂きました。それらを通して研究に対

する姿勢や研究者としての姿など、物理だけではなく様々な大切なことを学ぶことが出来

ました。また天体核研究室の博士二年の武藤恭之さんと博士一年の村主崇行さんを初めと

する皆様には、研究に詰まった際に議論に付き合って頂き、また直前の時期に修士論文を

チェックして頂くなど大変お世話になりました。本当にどうもありがとうございました。

付録 A

線形化された衝突項

この章ではまず P. Resiboisの教科書 [16]に沿って線形化されたボルツマン方程式を説

明する。次のように平衡状態 f0 に小さな摂動が入った状態を考えよう。

f = f0 + δf,δf

f0¿ 1 (A.1)

すると線形化されたボルツマン方程式は次のようになる。(

∂t+ v · ∇

)δf = nCδf (A.2)

ここで C は次のように定義された collision operatorである。

Cδf ≡∫

∫dΩσ(χ; vrel)vrel[δf ′ϕ

′eq1 + ϕ′eqδf ′1 − δfϕeq

1 − ϕeqδf1] (A.3)

ϕeq =f0

N(A.4)

この式を ϕ′eqϕ′eq1 = ϕeqϕeq

1 を用いて変形すると次のようになる。

Cδf =∫

∫dΩσ(χ; vrel)vrelϕ

eqϕeq1

得られた collision operator はこれから説明するように非常によい性質を持っている。

セクション 2.1.4と同様の変形により任意の関数 k、hに対して次の式が成り立つ。∫

d3vϕeq(v)−1k(v)∗Ch(v) = −14

∫d3vd3v1

∫dΩσ(χ; vrel)vrelϕ

eqϕeq1 (A.6)

116 付録 A 線形化された衝突項

collision operator の性質から次のように Hilbert 空間を導入できる。まず内積を次の

ように定義する。

〈k|h〉 =∫

d3vϕeq(v)−1k(v)∗h(v) (A.7)

また collision operator C は式 (A.6)からエルミート演算子であることが分かる。

〈k|C|h〉 = 〈h|C|k〉∗ (A.8)

この性質から次のような固有値方程式を考えたとき、固有値 λ0j は実数になる。

nC|φ0j 〉 = λ0

j |φ0j 〉 (A.9)

さらに式 (A.6)から次のことが分かる。

〈h|C|h〉 ≤ 0 (A.10)

この性質から固有値は次のように必ず負になることが分かる。

λ0j =

〈φ0j |nC|φ0

j 〉〈φ0

j |φ0j 〉

≤ 0 (A.11)

式 (A.6)から等号は φ0j/ϕeq が二体衝突の保存量のときにのみ成り立つ。つまり collision

operator C はただ五個のみ 0の固有値を持つのである。

具体的な固有値問題は相互作用を決めない限り定まらないので、ここではまず固有値は

離散的であり固有関数 φ0j は Hilbert空間の完全系の基底になっていると仮定しよう。

φ0j (v)∗φ0

j (v′) = δ(v − v′)ϕeq(v) (A.12)

この式は次のようにも表す。∑

|φ0j 〉〈φ0

j | = 1 (A.13)

これらの結果からまず一様状態の場合に次のことが分かる。一様状態の線形化されたボ

ルツマン方程式は次のようになる。

∂tδf = nCδf (A.14)

この δf を次のように固有関数で展開する。

δf(t,v) =∑

0j (v)eλ0

j t (A.15)

c0j = 〈φ0

j |δf(t = 0)〉 =∫

d3vϕeq(v)−1φ0j (v)∗δf(0,v) (A.16)

この固有値方程式を解くと、t →∞では λ0j 6= 0の固有値の固有関数は全て減衰して 0に

なる。

limt→∞

δf(t,v) =5∑

c0αφ0

α(v) (A.17)

残った固有値は流体力学的な五個の摂動 δρ、δu、δT を表すものであり、この結果は十分

長いタイムスケールでは一様な気体に入れた摂動のうち巨視的な物理量以外は指数関数的

に減衰していくことを示している。

固有値問題の考察に戻ろう。先に述べた通りこの固有値問題を相互作用を定めずに一般

的に解くことは非常に難しく、また相互作用を定めたとしても依然として困難であるが、

collision operator C が速度空間で等方的であることから固有関数を次のように書ける。

φ0j (v) ≡ φ0

rlm(v) = φrl(v)Ylm(θv,Φv) (A.18)

ここで Ylm は球面調和関数である。

ここからはポテンシャルが U ∝ r−4 のMaxwell粒子について説明しよう。唯一この場

合は固有値と固有関数が厳密に求まっているのである。このポテンシャルの場合散乱断面

積は相対速度の逆数に比例するため次の式が成り立つ。

σ(χ, vrel)vrel ≡ F (χ) (A.19)

この関係式から collision operator C は次のようになる。

Cδf =∫

∫dΩF (χ)ϕeqϕeq

](A.20)

すると積分演算子の中に vrel が現れなくなったことから v′,v′1と v,v1の関係は線形になり、

δf = ϕeqhn(v) (A.21)

の形の関数を同じ形の関数に写像する。このことを用いて固有関数が Wang と Chang

Uhlenbeck [39]により発見されており次のような形になっている。

φ0rlm = Arlϕ

eq(v)S(r)l+1/2

)(v√2RT

Ylm(θv,Φv) (A.22)

Srl は Laguerre 多項式である。この固有関数は完全系を張る直交基底になる。この固有

関数の固有値は次のようにして得られる。

λ0rl = 2πn

∫ π

dχ sinχF (χ)[cos2r+1

l (cosχ

2) (A.23)

+ sin2r+l(χ

)− 1− δr,0δl,0

δr,l はクロネッカーデルタを表している。

では得られた固有関数を用いてボルツマン方程式の分散関係を求めてみよう。ここから

の議論は L. Sirovich [36]の論文に従う。簡単のために一次元問題を考えると線形化され

∂t+ ξx

)g = L(g) =

∫f0∗ [g] B(θ) dε dθ dξ∗ (A.24)

[g] = g′ + g′∗ − g − g∗ (A.25)

f0 =ρ0

(2πRT0)3/2exp

(− ξ2

(RT0)3/2ω (A.26)

ここで ξ は粒子の速度を表し、ξ∗ は衝突する相手の粒子の速度である。また g は次のよ

f = f0(1 + g) (A.27)

f は分布関数である。さらに次元量を次のように適当な振動数 ν = 1/τ で無次元化する。

νt = t′,xν

(RT0)1/2= x′,

(RT0)1/2= ξ′,

ρ0Bν

m= B′ (A.28)

以降は全て無次元量で議論するので ′ はつけずに考える。以上により線形化されたボルツ

マン方程式は次のように書ける。(

∂t+ ξx

)g = L(g) =

∫ω∗ [g] B(θ) dε dθ dξ∗ (A.29)

演算子 Lの固有値と固有関数は先の議論から、shearのない一次元問題の場合固有関数

は次のようになる。

ψrl =Sr

l+1/2(ξ2/2)ξlPl(cos θ)

√2l+1Γ(r+l+3/2)

π1/2r!(2l+1)

(A.30)

ここで Srl、Pl は Laguerre 多項式と Legendre 多項式をそれぞれ表す。この固有関数は

次のような直交関係を満たす。∫

ωψrlψr′l′dξ = δrr′δll′ (A.31)

また ψ は次の関係を満たす。

ξxψrl = (l + 1)

ψr,l+1

√2(r + l + 3/2)(2l + 1)(2l − 1)

− ψr−1,l+1

(2l + 3)(2l + 1)

(A.32)

ψr,l−1

√2(r + l + 1/2)(2l + 1)(2l − 1)

− ψr+1,l−1

√2(r + 1)

(2l + 1)(2l − 1)

この固有関数の Lに対する固有値は次のようになる。

λrl = 2π

∫dθB(θ)

cos2r+l θ

)+ sin2r+l θ

)− (1 + δr0δl0)

(A.33)

この関係より次の縮退があることが分かる。

λr0 = λr−1,1 (A.34)

具体的な λrl の値は [36] [39]に載っている。また特に

λ00 = λ01 = λ10 = 0 (A.35)

の縮退は保存則から来ている。さらに値を持つ固有値としては λ11 が最も小さいことも知

られている [36]。

この ψrl を用いると線形化された分布関数は次のように展開される。

g =∑

brlψrl, brl =∫

ω g ψrldξ (A.36)

この bµν は初めのいくつかは次のようになっている。

b00 = ρ, b01 = u, b10 = −√

32T, b02 =

2p11, b11 = −

√25S1 (A.37)

右辺はそれぞれ線形化された無次元の密度、速度、温度、応力、熱伝導を表す。

これを用いると線形化されたボルツマン方程式は次のような無限階の連立微分方程式に

なる。

∂t− λµν

)bµν +

bµ,ν−1

√2(µ + ν + 3/2)

(2ν + 1)(2ν − 1)− bµ+1,ν−1

√2µ + 2

(2ν − 1)(2ν + 1)

(A.38)

+(ν + 1)

bµ,ν+1

√2(µ + ν + 3/2)

(2ν + 3)(2ν + 1)− bµ−1,ν+1

√2µ

(2ν + 3)(2ν + 1)

式 (A.38)は初めの 3つは例えば次のような式になる。

∂x= 0 (A.39)

∂p11

∂x(ρ + T ) = 0 (A.40)

∂x= 0 (A.41)

これらは保存則を表している。

ではこの線形化されたボルツマン方程式の分散関係を求めよう。そのために次のような

形の解を仮定する。

brl = brleσt−ikx (A.42)

brl は定数である。これを代入すると次のような線形斉次方程式系が得られる。

(σ − λµν)bµν − ik

bµ,ν−1

√2(µ + ν + 3/2)

(2ν + 1)(2ν − 1)− bµ+1,ν−1

√2µ + 2

(2ν − 1)(2ν + 1)

(A.43)

+(ν + 1)

bµ,ν+1

√2(µ + ν + 3/2)

(2ν + 3)(2ν + 1)− bµ−1,ν+1

√2µ

(2ν + 3)(2ν + 1)

この連立方程式が解を持つためには行列式が 0 になることが必要で、この行列式

D(σ, k) = 0 が分散関係を表す。この行列の初めの 16 行 16 列の成分は [36]などに載っ

ている。

k = 0とした場合、式 (A.43)より明らかに次の解になることが分かる。

σ = λrl (A.44)

先に述べた λrl の満たす関係式より σ は k = 0で縮退していることが分かり、k = 0で縮

退の数だけ λrl に各モードが存在し、k の増加に従い縮退が解けていくことが分かる。こ

れから直ちに k = 0に σ = 0から始まるモードは流体力学的なモードである、音波、熱

伝導の 3本のみであることが分かる。流体力学的なモードの長波長近似は [36]で計算さ

れており、次のようになることが示されている。

σ =k2

λ11+ O(k4) (A.45)

σ = ±i

[k + O(k3)] + k2

3λ11+

23λ02

)+ O(k4) (A.46)

一つ目が熱伝導による減衰を、二つ目が減衰音波を表している。

このようにMaxwell粒子を仮定すると、得られる分散関係は全て離散的であることが分

かる。この固有値が離散的になるという性質はMaxwell粒子特有の性質ではなく、n > 2

のポテンシャル U ∝ r−n の場合には必ず成り立つことが Pao [17]により示されている。

最後にこの線形化されたボルツマン方程式を用いて線形化された BGK近似の基礎付け

を行なおう。g を展開した式 (A.36)をボルツマン方程式に代入すると、ψrl が衝突積分 L

の固有関数であることより次のようになる。(

∂t+ ξx

)f0g = L(g) = f0

λrlbrlψrl (A.47)

ここで λ00 = λ01 = λ10 = 0を除いた全ての λrl を、最も小さい固有値 λ11 で置き換え

る。すると上の式は次のようになる。(

∂t+ ξx

)f0g = f0λ11

brlψrl (A.48)

= λ11f0

(ψ00ρ + ψ01u + ψ10

√32T

)(A.49)

となる。これは λ11 = −1/τ と置き直し規格化を調節すれば、線形化された BGK近似の

式 (3.12)そのものである。ところで式 (A.46)より、減衰音波の減衰率には λ02 が含まれ

ていることがわかる。BGK近似はこの λ02 を λ11 に置き換える近似なので、BGK近似

では減衰音波の散逸係数を厳密に正しくは導けないことがわかる。そのような意味でこの

論文で得られた分散関係は長波長でもある程度の近似は入ってしまうが、流体力学的な分

散関係の波長依存性はこの補正を別にすれば正しく求めていると考えられる。

付録 B

moment展開の双曲性と分散関係

第一章の moment展開の説明で、moment展開は一般に双曲型の偏微分方程式系にな

り、また有限の moment で打ち切った場合減衰率に上限が出来ることを述べた。この章

ではこれらについての証明をしよう。

まず双曲型であることを示す。簡単のため非相対論の場合について示すが、相対論への

拡張は同様の操作を行なえば容易である [10]。付録 Aから線形化された Boltzmann方程

式を次のように書く。Lb = [−iωI + iAk − Λ] b = 0 (B.1)

I は単位テンソルであり、b、A、Λは次のように定義される。

bj = 〈φ0j |δf〉, Aij = 〈φ0

i |v|φ0j 〉, Λij = 〈φ0

i |C|φ0j 〉 (B.2)

C は collision operator である。A は実対称行列になっていて、例えば Maxwell 粒子の

場合は式 (A.43)からもわかる。具体的な形は [36] などに載っている。

式 (B.1)で Λ は非斉次の source term にあたるので偏微分方程式の分類には次の主要

部 P を見ればよい。P = −iωI + iAk (B.3)

この主要部を用いた特性偏微分方程式から、解の分類は次の式を用いればよいことになる。

Q = detP = det(−iωI + iAk) = 0 (B.4)

双曲型であるための必要十分条件は式 (B.4)で実数の k に対して全ての ω が実数で非

縮退な根を持つことである [20]。このうち一番目の条件は Aが実対称行列であることか

ら常に成立するが、二番目の条件は常に成り立つことはいえない。このような意味で、ボ

ルツマン方程式は少なくとも weakly hyperbolic である。

124 付録 B moment展開の双曲性と分散関係

続いて有限の数の moment 展開に減衰率の上限があることを示そう。式 (B.1) の左か

ら bの複素共役な行ベクトルをかける。内積を (b∗, b)のように書き次のようになる。

−iω(b∗, b) + ik(b∗, Ab)− (b∗,Λb) = 0 (B.5)

付録 Aから (b∗,Λb)は非正な実数であり、Aが実対称行列であることから (b∗, Ab)は

実数である。ω = ωR − in として式 (B.5)を実部と虚部に分けると次のようになる。

−n(b∗, b)− (b∗,Λb) = 0 (B.6)

−iωR(b∗, b) + ik(b∗, Ab) = 0 (B.7)

式 (B.6)から減衰率 nは次のように表される。

n = − (b∗,Λb)(b∗, b)

(b∗,Λb)が非正であり、有限のmoment数で打ち切った場合の最大の絶対値の固有値を

λ∗ とすると、式 (B.8)から減衰率 nは次の範囲にしか値を持たないことが分かる。

0 ≤ n ≤ −λ∗ (B.9)

この結果より、ボルツマン方程式を満たす f は線形摂動において必ず減衰することが

示された。また同時に有限の moment数で打ち切った場合、moment展開から得られる

線形摂動の減衰率 nは波数 k によらず一定の上限 −λ∗ が存在することが示された。希薄

気体の場合、平均自由行程未満のスケールでは collisionless状態の粒子が単純に交じり合

うことで摂動が減衰すると考えられるため、距離スケールが小さくなると減衰時間も短く

なると期待される。そのような意味で有限の moment数で打ち切った場合に現れる減衰

率の上限は非物理的であり、moment 展開は減衰率が上限から十分離れた値を持つ場合

にのみ良い近似であると思われる。一方 (B.9) は moment の数を増やすと λ∗ の絶対値

がそれに伴い大きくなるので、近似をよくしたい場合は momentの数を増やせばよいこ

とも示している。このことは一般に高次の momentは自由運動の寄与を含んでいるため、

collisionlessの効果が強くなる短距離スケールの現象をみるためにはより多数の moment

を考慮しなければならないこととも consistentになっている。

付録 C

位相速度の上限

このセクションは Cercignani [42]の議論に従い、ボルツマン方程式の衝突項は位相速

度に上限を定めることを示す。

相対論的なボルツマン方程式を次のように書く。

pµ∂µf = Q(f, f) (C.1)

Qは衝突項で、pµ である。

ここで次のような解 f を考える。

f = f0(1 + h) (C.2)

f0 はMaxwell-Juttner分布で、hは線形摂動であり次の線形化されたボルツマン方程式

を満たすとする。

pµ∂µh = Lh (C.3)

Lは線形化された collision operatorである。

ここでヒルベルト空間 H = L2(f0dω)を考える。内積は次のように定義されていると

する。

(g, h) =∫

ghf0 dω (C.4)

この内積を用いて (h, Lh)は実数であることが知られている [43]。

では次のような平面波解を考えよう。

h = g(pµ) exp(−ikνxν) (C.5)

kµ = (ω,k)とする。

126 付録 C 位相速度の上限

この g は式 (C.3)より次の式を満たす。

−ikµpµg = Lg (C.6)

ここでこの論文では Cauchy問題を考えているので k を実数と考え、ω = k(a + ib)と

考えよう。aは位相速度になっている。すると式 (C.6)は次のようになる。

−ikp0(a + ib)g + ikpxg = Lg (C.7)

この解 g が H に含まれていると仮定しよう。式 (C.7)の両辺について g の内積を取る

と次のようになる。

−ik(a + ib)(g, p0g) + ik(g, pxg) = (g, Lg) (C.8)

式 (C.8)の虚数部分は次のようになっている。

−a(g, p0g) + (g, pxg) = 0 (C.9)

この式を変形すると次のようになる。

a =(g, pxg)(g, p0g)

< 1 (C.10)

ここで |px| < p0 を用いた。これによりボルツマン方程式の線形摂動の位相速度は必ず光

速未満であることが示された。なお g が H に属さない場合についての証明は [42]に載っ

ている。

付録 D

Fredholm型積分方程式

未知関数を含む積分の現れる方程式は積分方程式とよばれ、特にその中で次のような形

をした方程式は Fredholm型第 2種斉次積分方程式と呼ばれる。

ϕ(x)− λ

K(x, t)ϕ(t)dt = 0 (D.1)

この式が ϕ(x) ≡ 0以外の解を持つとき、λを固有値といい、ϕ(x) 6= 0という解を固有

関数と呼ぶ。この時もし積分核K(x, t) が xの関数と tの関数の積の有限個の和で

K(x, t) =p∑

Aj(x)Bj(t) (D.2)

と表される場合、これを分離核という。この時式 (D.1)は次のように表される。

ϕ(x)− λ

Aj(x)∫ b

Bj(t)ϕ(t)dt = 0 (D.3)

両辺に Bi(x)を掛けて xで積分し、

Bi(x)ϕ(x)dx = φi,

Bi(x)Aj(x)dx = cij (D.4)

と置くと、式 (D.3)は次のようになる。

φi − λ

cijφjdt = 0 (D.5)

この式を φi の連立代数方程式とみなすと、

D(λ) = det(δij − λcij) = 0 (D.6)

128 付録 D Fredholm型積分方程式

のときに φi 6= 0でない解が得られる。式 (D.3)より解は次のように求まる。

ϕ(x) = λ

φjAj(x) (D.7)

付録 E

分散関係式の計算の詳細

E.1 非相対論的な BGKモデル

セクション 3.1.2より、BGK近似した線形ボルツマン方程式は次のようになる。

δf(v) =∫

d3v′K(v,v′)δf(v′) (E.1)

K(v,v′) ≡ f0(v)1− iω + ik · v

ρ0+ 2v · v′ + m

(v2 − 3

)(v′2 − 3

)](E.2)

f0 は非摂動状態であり、次のように無次元化してある。

ωτ ≡ ω′, (2RT0)1/2τk ≡ k′,v

(2RT0)1/2≡ v′ (E.3)

この式の解を求めるにはセクション Dより、両辺に 1、v、(v− u)2 を掛けて積分すれ

ばよい。そこでまず図 E.1のように kを極とした v の球座標で解くことを考える。する

と δf0 の中の v · δuを kについて関係付ける必要がある。kと v の間の角を θ とし、k

と δuの間の角を θ′、さらに vと δuの間の角を Θとし、kに垂直な面上に射影した角度

を φとすると、次の関係が成り立つ。

cosΘ = cos θ cos θ′ + sin θ sin θ′ cos φ (E.4)

縦波を考える場合 φ方向は対称性があるので、cos φは φ積分でゼロになる。よって積

分内で次の関係が成り立つ。

v · δu = cos Θvδu = cos θ cos θ′vδu =v

kcos θk · δu (E.5)

130 付録 E 分散関係式の計算の詳細

図 E.1 座標の取り方

この章では v を掛けて積分した場合を計算する。角度方向の積分は k方向を極とした

球座標を考えたいので、両辺に k の内積を作用したものを考える。すると k · δuは次のようになる。

k · δu = k ·∫

dvmvδf (E.6)

= 2πm

∫ ∞

dµvkµδf0

1− iω + ikvµe−iω(t−t0)+ikxµ

µ = cos θとした。ここで先の δf0 と f0 を代入し、無次元化すると先の式は次のように

なる。

∫ ∞

dµµv3e−v2

1− iω + ikvµ

[(v2 − 3

)δT + δρ + 2

kk · δu

](E.7)

ここで次のような量を定義する。

b =1− iω

k(E.8)

更に µの奇関数を落とすと次のように変形できる。

2kρ0√πτ

∫ ∞

dµµv3

e−v2

b2 + v2µ2

[−ivµ

(v2 − 3

)δT − ivµδρ + 2b

kk · δu

=4ρ0√πτ

∫ ∞

dµv2µ2 + b2 − b2

b2 + v2µ2v2e−v2

(v2 − 3

)δT − iδρ +

kk · δu

ここで次のような積分公式を利用する。∫ 1

a2 + b2µ2=

arctanb

a(E.10)

E.1 非相対論的な BGKモデル 131

これを用いると与式は次のように積分できる。

4ρ0√πτ

∫ ∞

dvv2e−v2(

1− b

varctan

)[−i

(v2 − 3

)δT − iδρ +

kk · δu

](E.11)

=4ρ0√πτ

∫ ∞

dve−v2[v2

(v2 − 3

)δT − iδρ +

kk · δu

−b arctanv

(−v3 + v − v +

)δT − ivδρ +

kk · δu

さらに次の関係に注目する。

dv(e−v2

vl) = (lvl−1 − 2vl+1)e−v2(E.12)

これを用いると上の式は部分積分でき、次のようになる。

4ρ0√πτ

∫ ∞

dµe−v2[v2

(v2 − 3

)δT − iδρ +

kk · δu

)(E.13)

b2 + v2

2− 1

)δT +

2δρ− b

kk · δu

ここで次のような積分公式を利用する。∫ ∞

dxe−a2x2 1x2 + b2

2bea2b2Erfc(ab), (a > 0, b > 0) (E.14)

Erfc(x) =2√π

∫ ∞

e−t2dt (E.15)∫ ∞

dxe−a2x2x2n =

(2n− 1)!!2n+1

a2n+1(a > 0) (E.16)

すると積分は次のようになる。

)√πeb2Erfc(b)

)δT − i

(δρ +

kk · δu

) (1− b

√πeb2Erfc(b)

(E.17)

δf0 での計算は明らかに次のようになる。

k ·∫

dvmvδf0 =ρ0

τk · δu (E.18)

以上より次のようになる。

− k · δu + ib

)√πeb2Erfc(b)

)δT (E.19)

(δρ +

kk · δu

) (1− b

√πeb2Erfc(b)

全く同様にして 1、(v − u)2 については計算できる。

shear flowの計算は次のようにする。まず座標軸を x軸を kの方向に、y軸を δuを k

に垂直な面に射影した方向にとる。さらに式 (E.4) において φ を y 軸から測った角度と

する。射影した v は次のように k方向を極にした球座標をとり

vy = v sin θ cos φ, vz = v sin θ sinφ (E.20)

とする。このようにすると δuy は

nδuy =∫

d3vvyδf (E.21)

d3vv sin θ cos φf0

1− iω + ikv cos θ

v2 − 32

)δT + δρ + 2v (cos θδux + sin θ cos φδuy)

すると三角関数の直交性より φ積分で δuy の項のみが残り、あとは上と同様に計算すれ

ば式 (3.27) が求まる。また δuz については sinφ cos φ の直交性から φ 積分でゼロにな

り、これは k方向に射影した δuの方向を y方向にしたという定義通りである。

E.2 修正したMarleの BGKモデル

δf(p) =∫

d3p′

p′0K(p,p′)δf(p′) (E.22)

K(p,p′) ≡ f0(p)

1−(iω + ik · p

)K1zK2ζ

[p′0

(−1 + z +

K ′2

)A(ζ)− p′0

T0− p · p′

(E.23)

先と同様 f0 は非摂動状態であり、次のように無次元化してある。

ωτ ≡ ω′, τk ≡ k′,p0

T≡ z (E.24)

この式の解を求めるにはセクション 3.2.3 より、両辺に 1、p、p0 を掛けて積分すれ

ばよい。そこでまず kを極とした pの球座標で解くことを考える (図 E.1参照)。すると

δf0 の中の p · δuを kについて関係付ける必要がある。kと pの間の角を θ とし、kと

δuの間の角を θ′、さらに pと δuの間の角を Θとし、kに垂直な面上に射影した角度を

φとすると、次の関係が成り立つ。

E.2 修正したMarleの BGKモデル 133

縦波を考える場合 φ方向は対称性があるので、cos φは φ積分でゼロになる。よってそ

の場合は積分内で次の関係が成り立つ。

p · δu = cos Θ pδu = cos θ cos θ′pδu =p

この章では pを掛けて積分した場合を計算する。角度方向の積分は k方向を極とした

球座標を考えたいので、両辺に k の内積を作用したものを考える。すると k · δuは次のようになる。

k · δu = k ·∫

∫d3p′

p′0K(p,p′)δf(p′) (E.27)

∫ ∞

dµkp2µδf0

1−(iω + ik p

p0 µ)

K1zK2ζ

µ = cos θ とし、更に次の関係を用いた。

p2 sin θ dpdθdφ

pp0 dp0d cos θdφ

p0(E.28)

ここで先の δf0 と f0 を代入し、無次元化すると先の式は次のようになる。

∫ ∞

dµ(z2 − ζ2)µe−z

K2ζK1

− iωz + ik√

z2 − ζ2µ(E.29)

×[δn +

(−1 + z +

K ′2

)δT +

z2 − ζ2

kk · δu

b =K2ζK1

− iωz

k(E.30)

∫ ∞

dµe−z(z2 − ζ2)

b2 + µ2(z2 − ζ2)(E.31)

δn +(−1 + z +

K ′2

(−iµ2

√z2 − ζ2) + b

µ2√

z2 − ζ2

kk · δu

ここで次のような積分公式を利用する。

a2 + b2µ2=

arctanb

a(E.32)

∫ ∞

dze−z√

z2 − ζ2

(−1 + z +

K ′2

kk · δu

](E.33)

1− b√z2 − ζ2

arctan

√z2 − ζ2

この中の積分の一部は変形ベッセル関数になっていて、そのために次の公式を利用する。

Kn(ζ) =2nn!(2n)!

∫ ∞

dz(z2 − ζ2)n−1/2e−z (E.34)

この積分を部分積分すると次の公式が得られる。

Kn(ζ) =2n−1(n− 1)!

(2n− 2)!1ζn

∫ ∞

dz(z2 − ζ2)n−3/2ze−z (E.35)

このように公式の積分の中に zm が現れても、適当な回数部分積分することで変形ベッセ

ル関数に帰着できる。

これらの公式を用いて先の式の積分を実行すると次のようになる。

[(−iζK1 + i

K1kP (0) +

kζ2P (1)

)δn (E.36)

+−iζ

(−K1 + ζK2 +

K ′2

K2ζK1

)+ iζ

(−ζP (0) + ζ2P (1) +

K ′2

K2ζ2P (0)

(−ζ2P (1) + ζ3P (2) +

K ′2

K2ζ3P (1)

k2(1− iω)− K2ζ

K1ζ2P (0)− iωζ2P (1)

K1ζ3P (1)− iωζ3P (2)

)k · δu

ここで P (n)は次のように定義される。

P (n) =∫ ∞

dy e−ζyyn arctanζ√

y2 − 1b

(E.37)

この式で次の関係を用いてKn の微分を消去すると式 (3.83)になる。

Kn(ζ)ζn

= −Kn+1(ζ)ζn

(E.38)

Kn+1(ζ) = 2nKn(ζ)

ζ+ Kn−1(ζ) (E.39)

全く同様にして 1、p0 については計算できる。

E.3 Anderson-Wittingの BGKモデル 135

に垂直な面に射影した方向にとる (図 E.1参照)。さらに式 (E.25)において φを y軸から

測った角度とする。射影した pは次のように k方向を極にした球座標をとり

py = p sin θ cos φ, pz = p sin θ sinφ (E.40)

とする。このようにすると δuy は

nδuy =∫

p0pyδf (E.41)

p0p sin θ cos φ

1−(iω + ik · p

)K1zK2ζ

×[δn +

(−1 + z +

K ′2

)δT + µ

√z2 − ζ2 (cos θδux + sin θ cos φδuy)

E.3 Anderson-Wittingの BGKモデル

δf(p) =∫

d3p′

p′0K(p,p′)δf(p′) (E.42)

K(p,p′) ≡ f0(p)1− iω + ik · p

+(−1 + z +

K ′2

)A(ζ) p′0 − 1

T0− p · p′

](E.43)

先と同様 f0 は非摂動状態であり、次のように無次元化してある。

ωτ ≡ ω′, τk ≡ k′,p0

T≡ z (E.44)

この式の解を求めるにはセクション 3.3.2より、両辺に p0、p0 p、(p0)2 を掛けて積分

すればよい。そこでまず kを極とした pの球座標で解くことを考える (図 E.1参照)。す

ると δf0 の中の p · δu を k について関係付ける必要がある。k と p の間の角を θ とし、

kと δuの間の角を θ′、さらに pと δuの間の角を Θとし、kに垂直な面上に射影した角

度を φとすると、次の関係が成り立つ。

縦波を考える場合 φ方向は対称性があるので、cos φは φ積分でゼロになる。よってそ

の場合は積分内で次の関係が成り立つ。

p · δu = cos Θ pδu = cos θ cos θ′pδu =p

この章では p0 pを掛けて積分した場合を計算する。角度方向の積分は k方向を極とし

た球座標を考えたいので、両辺に k の内積を作用したものを考える。すると k · δuは次のようになる。

k · δu = k ·∫

d3p p∫

d3p′K(p,p′)δf(p′) (E.47)

∫ ∞

dµk p0 p2µδf0

1− iω + ik pp0 µ

µ = cos θ とし、更に次の関係を用いた。

p2 sin θ dpdθdφ

pp0 dp0d cos θdφ

p0(E.48)

ここで先の δf0 と f0 を代入し、無次元化すると先の式は次のようになる。

2ζ2K2

∫ ∞

dµz(z2 − ζ2)µe−z

1− iω + ik

√z2−ζ2

z µ(E.49)

×[δn +

(−1 + z +

K ′2

)δT +

z2 − ζ2

kk · δu

b =1− iω

k(E.50)

∫ ∞

dµz(z2 − ζ2)

b2 + µ2 z2−ζ2

e−z (E.51)

δn +(−1 + z +

K ′2

√z2 − ζ2

µ2√

z2 − ζ2

kk · δu

ここで次のような積分公式を利用する。

a2 + b2µ2=

arctanb

a(E.52)

E.3 Anderson-Wittingの BGKモデル 137

∫ ∞

dz z2√

z2 − ζ2e−z

(−1 + z +

K ′2

kzk · δu

](E.53)

1− bz√z2 − ζ2

arctan

√z2 − ζ2

この中の積分の一部は変形ベッセル関数になっていて、そのために次の公式を利用する。

Kn(ζ) =2nn!(2n)!

∫ ∞

dz(z2 − ζ2)n−1/2e−z (E.54)

この積分を部分積分すると次の公式が得られる。

Kn(ζ) =2n−1(n− 1)!

(2n− 2)!1ζn

∫ ∞

dz(z2 − ζ2)n−3/2ze−z (E.55)

このように公式の積分の中に zm が現れても、適当な回数部分積分することで変形ベッセ

ル関数に帰着できる。

これらの公式を用いて先の式の積分を実行すると次のようになる。

[−i(ζK3 −K2 − bζ2Q(3)

)δn (E.56)

(−1 +

K ′2

)(ζK3 −K2) + ζ2K4 − 3ζK3

−bζ2

(−Q(3) + ζQ(4) +

K ′2

K2ζQ(3)

ζ2K4 − 3ζK3 − bζ3Q(4)

k · δu

この式で次の関係を用いてKn の微分を消去すると式 (3.115)になる。

Kn(ζ)ζn

= −Kn+1(ζ)ζn

(E.57)

Kn+1(ζ) = 2nKn(ζ)

ζ+ Kn−1(ζ) (E.58)

全く同様にして p0、(p0)2 については計算できる。

に垂直な面に射影した方向にとる。さらに式 (E.45)において φを y軸から測った角度と

する。射影した pは次のように k方向を極にした球座標をとり

py = p sin θ cos φ, pz = p sin θ sinφ (E.59)

とする (図 E.1参照)。このようにすると δuy は

nδuy =∫

d3p pyδf (E.60)

d3p p sin θ cos φf0

1− iω + ik · pp0

×[δn +

(−1 + z +

K ′2

)δT + µ

√z2 − ζ2 (cos θδux + sin θ cos φδuy)

付録 F

解析接続

F.1 非相対論的な BGKモデルの解析接続

式 (E.14)において b > 0という制限が入り、本来は |b|としてみなす必要がある。またbが虚部を持つ場合にも同様に Re b < 0 では b → −bと置き換える必要がある。しかし

今回分散関係を解いたときには解析接続を行いこの制限を取り外した。この解析接続につ

いて説明する。

式の簡単さから shear flow δuy で説明する。式 (E.21)で φ積分を実行し、無次元化す

ると積分に関係する部分は次のようになる。∫ ∞

∫ π

dθv4 sin3 θ

i(kv cos θ − i(1− iω))e−v2

この式で次のように変数変換する。

vX = v cos θ, vY = v sin θ (F.2)

すると式は次のようになる。∫ ∞

−∞dvX

∫ ∞

dvYv3Y

i(kvX − i(1− iω))e−v2

X−v2Y (F.3)

vY 積分を実行すると次のようになる。

∫ ∞

−∞dvX

e−v2X

i(kvX − i(1− iω))(F.4)

この式の被積分関数の分母は積分に 1 位の極を含む可能性がある。しかし今回は

Im ω > −1 では v 平面の上半面に特異点があり回避されている。これは BGK 近似に

おいて右辺の衝突項を式 (3.1) のようにしたことに由来する。このことは collisionless

plasma において、Landau の迂回路の解釈として小さな collision term を入れたと考え

140 付録 F 解析接続

たことに対応する。つまり今回は k = 0, ω = 0で特異点を下から迂回する Landauの迂

回則を自然に用いることになっているので、この迂回則を守り続ける必要がある。このこ

とは数学的には、解を e−iωt というラプラス変換の形で求めたことに関係している。ラプ

ラス変換は逆変換の際に積分経路を今回のように特異点の下から迂回させることが要請さ

れる。これは因果律の問題と関係していて、時間発展が因果律を満たすようになるために

必要な条件である [5]。

先の式 (E.14)での Re b > 0という制限が破れる Im ω < −1では迂回則を守るために

解析接続をする。上式においてその規則を適用するために図 F.1の a)のように積分経路

を変形すると主値積分の次の公式を用いることができる。∫ ∞

−∞

f(z)dz

z − i0= P

∫ ∞

−∞

f(z)dz

z+ iπf(0) (F.5)

Im ω > −1での積分値を用いるために、さらに積分経路を図 F.1の b)のように変形す

ると次の式のようになる。∫ ∞

−∞

f(z)dz

z − i0=

∫ ∞

−∞

f(z)dz

z+ 2πif(0) (F.6)

図 F.1 積分経路の図。Cは積分経路で、z は積分変数、z0 は poleを表している。

式 (F.6)を用いて先の式を計算すると次のようになる。

∫ ∞

−∞dvX

e−v2X

i(kvX − i(1− iω))=

−2be(−b)2Erfc(−b) +

2ike−(ib)2 (F.7)

F.2 Anderson-Wittingの BGKモデルの解析接続 141

この式の右辺を計算すると、結局 Re b < 0の場合次のようになることがわかる。

−2beb2Erfc(−b) +

keb2 =

2keb2(2− Erfc(−b)) =

2keb2Erfc(b) (F.8)

以上により解析接続をすれば元の積分をそのまま用いていいことが分かる。

F.2 Anderson-Wittingの BGKモデルの解析接続

セクション 3.3.2 において求めた分散関係式は式 (3.110) が被積分関数に極を持つこ

とからも分かるように、一般に減衰率 n が 1/τ を超えると正しい分散関係を与えず、

(3.112)、(3.115)、(3.116)、(3.117)はこの領域で解析接続を行なわなければならない。こ

の章ではこれらの補正項をどのようにして求めるかを説明する。

式の簡単さから shear flow δuy で説明する。まず積分変数の変数変換をしておく。x軸

方向を k方向として x軸方向を極とする円柱座標を考える。p⊥ =√

(py)2 + (pz)2 とし

たとき d3pは次のようになる。

d3p = p⊥dp⊥dφdpx (F.9)

φの定義は E.3と同じである。

式 (E.60)で φ積分を実行し、無次元化すると積分に関係する部分は次のようになる。

4ζ2K2

∫ ∞

−∞dp′x

∫ ∞

dp′⊥p′⊥p′⊥e−z

1− iω + ikp′x/z× p′⊥δuy (F.10)

4ζ2K2

∫ ∞

−∞dp′x

∫ ∞

dp′⊥z p′3⊥e−z

i kp′x − i (1− iω) zδuy

ここで無次元化した運動量に ′ をつけ、p′0 ≡ z と置いた。

この式の被積分関数の分母は積分に一位の極を含む可能性がある。しかし今回は

Im ω > −1 では px 平面の上半面に特異点があり回避されている。これは BGK 近似に

おいて右辺の衝突項を式 (3.96) のようにしたことに由来する。このことは collisionless

plasma において、Landau の迂回路の解釈として小さな collision term を入れたと考え

たことに対応する。つまり今回は k = 0、ω = 0で特異点を下から迂回する Landauの迂

回則を自然に用いることになっており、この迂回則を守り続ける必要がある。このことは

数学的には、解を e−iωt というラプラス変換の形で求めたことに関係している。ラプラス

変換は逆変換の際に積分経路を今回のように特異点の下から迂回させることが要請され

る。これは因果律の問題と関係していて、時間発展が因果律を満たすようになるために必

要な条件である。

まずは特異点を求めよう。最も減衰の遅いモードに興味があるため、一位の極 a−1 を

求めれば十分である。被積分関数が f1(z)/f2(z)で極が z0 の場合一位の極は次のように

して求まる。

a−1 =f1(z0)f ′2(z0)

, f ′2(z0) 6= 0 (F.11)

式 (F.10)においてこの式を用いて一位の極を計算しよう。まず f ′2 は次のようになる。

dp′x[p′x − ibz] = 1− ib

z, b =

1− iω

k(F.12)

ここで極であることから、p′x − ibz = 0が成り立つことを用いると上の式は結局次のよ

うになる。d

dp′x[p′x − ibz] = 1 + b2 (F.13)

この結果を用いて式 (F.10)の補正項を計算しよう。図 F.1の b)のような迂回路を取る

とすると、補正項は次のようになる。

4ζ2K2

∫ ∞

dp′⊥

∫ ∞

−∞dp′x

ikδD(p′x − ibz)

z p′3⊥e−z

1 + b2δuy (F.14)

4ζ2K2

∫ ∞

dp′⊥z p′3⊥e−z

1 + b2

∣∣∣∣p′x−ibz=0

更に p′x − ibz = 0を z2 = (p′x)2 + p′2⊥ + ζ2 を用いて次のように変形する。

√p′2⊥ + ζ2

1 + b2(F.15)

この式を用いて積分変数を p′⊥ から z に変形すると次のようになる。

4ζ2K2

∫ ∞

ζ√1+b2

dz z2[(1 + b2)z2 − ζ2

]e−zδuy (F.16)

式 (F.16)の積分を実行し、式 (3.116)の係数と合わせると次のようになる。

2ζ2e−c

[(1 + b2)(c4 + 4c3 + 12c2 + 24c + 24)− c2(c2 + 2c + 2)

]δuy (F.17)

c =ζ√

1 + b2(F.18)

この式が (3.116)の補正項がである。

同様の計算をすれば式 (3.112)、(3.115)、(3.117)の補正項が得られる。まず式 (3.112)

の補正項で係数を合わせた式は次のようになる。

ζ2e−c

[(c2 + 2c + 2)δn +

k(c3 + 3c2 + 6c + 6)k · δu (F.19)

−3− K1

)(c2 + 2c + 2) + c3 + 3c2 + 6c + 6

F.3 修正したMarleの BGKモデルの解析接続 143

式 (3.115)の補正項は次のようになる。

ζ2be−c

[(c3 + 3c2 + 6c + 6)δn +

k(c4 + 4c3 + 12c2 + 24c + 24)k · δu (F.20)

−3− K1

)(c3 + 3c2 + 6c + 6) + c4 + 4c3 + 12c2 + 24c + 24

最後に式 (3.117)の補正項は次のようになる。

ζ2e−c

[(c3 + 3c2 + 6c + 6)δn +

k(c4 + 4c3 + 12c2 + 24c + 24)k · δu (F.21)

−3− K1

)(c3 + 3c2 + 6c + 6) + c4 + 4c3 + 12c2 + 24c + 24

ここで z 積分の下限 ζ/√

1 + b2 について考えてみよう。まず ω = −inという純粋に減

衰する場合、ζ/√

1 + b2 は一般に ζ より小さくなってしまう。このことは一見おかしな結

果に見えるがこれは次のように説明できる。今回解析接続した際に、p′x の積分経路を変

形して Im p′x < 0 の極を取ってきた。この極の位置で ω = −inの場合 (p′x)2 < 0とな

ることになる。これと四元運動量の関係式 (p0)2 = (px)2 + (p⊥)2 + m2 をあわせること

で、z が ζ より小さくなったのである。

また ζ/√

1 + b2 という値は、相対論的な Landau減衰の議論から次のように解釈でき

る [5]。式 (F.10)の分母を vx = px/p0 を用いて記述すると次のようになる。

vx = ib (F.22)

つまり ibという速度でこの積分は共鳴を起こし、迂回の結果虚部を持つようになる。こ

の vx の場合の p0 を計算すると ζ/√

1 + b2 になるのである。同様のことを相対論的な

Vlasov方程式で行なえば、今の場合の ibが非相対論のランダウ減衰を示す速度 ω/kに置

き換わり、同様の積分の式を用いて誘電率を計算すれば相対論的な Landau減衰が議論で

きるようになる。

F.3 修正したMarleの BGKモデルの解析接続

セクション 3.2.3において求めた分散関係式 (3.79)、(3.83)、(3.84)、(3.85)には解析接

続の補正項が加わっている。この章ではこれらの補正項をどのようにして求めるかを説明

する。

式の簡単さから shear flow δuy で説明する。まず積分変数の変数変換をしておく。x軸

方向を k方向として x軸方向を極とする円柱座標を考える。p⊥ =√

(py)2 + (pz)2 とし

たとき d3pは次のようになる。

d3p = p⊥dp⊥dφdpx (F.23)

φの定義は E.2と同じである。

式 (E.41)で φ積分を実行し、無次元化すると積分に関係する部分は次のようになる。

4ζ2K2

∫ ∞

dp′⊥

∫ ∞

−∞dp′x

p′⊥z

p′⊥e−z

1− (iω + ikp′x/z) K1zK2ζ

× p′⊥δuy (F.24)

∫ ∞

dp′⊥

∫ ∞

−∞dp′x

p′3⊥e−z

p′x − 1k

(ωz + iK2

K1ζ)δuy

ここで無次元化した運動量に ′ をつけ、p′0 ≡ z とした。

この式の被積分関数の分母は積分に 1位の極を含む可能性がある。非相対論の BGKモ

デルや Anderson-Wittingの BGKモデルでは Im ω < 0が解析接続が必要になる条件で

あったが、今回は ω に z がかかっているため、任意の ω で解析接続が必要になることに

注意が必要である。なおこの解析接続は数学的には、解を e−iωt というラプラス変換の形

で求めたことに関係している。ラプラス変換は逆変換の際に積分経路を今回のように特異

点の下から迂回させることが要請される。これは因果律の問題と関係していて、時間発展

が因果律を満たすようになるために必要な条件である。

まずは特異点を求めよう。最も減衰の遅いモードに興味があるため、一位の極 a−1 を

求めれば十分である。被積分関数が f1(z)/f2(z)で極が z0 の場合一位の極は次のように

して求まる。

a−1 =f1(z0)f ′2(z0)

, f ′2(z0) 6= 0 (F.25)

式 (F.24)においてこの式を用いて一位の極を計算しよう。まず f ′2 は次のようになる。

dp′x

[p′x − 1

(ωz + i

)]= 1− ω

z(F.26)

一方極であることと、四元運動量の関係式から次の二式が成り立つ。

p′x − 1k

(ωz + i

)= 0 (F.27)

z2 = (p′x)2 + p′2⊥ + ζ2 (F.28)

これらから z と p′x が次のように定まる。

p′x =1

1− ω2

√−

+ (p′2⊥ + ζ2)(

1− ω2

) (F.29)

1− ω2

√−

+ (p′2⊥ + ζ2)(

1− ω2

) (F.30)

ここでこれらの符号は、p′⊥ →∞で z →∞、Im p′x < 0が両立するように定めている。

F.3 修正したMarleの BGKモデルの解析接続 145

この結果を用いて式 (F.24)の補正項を計算しよう。Im p′x < 0になった時点から解析

接続が必要になることを考慮して図 F.1の b)のような迂回路を取るとすると、補正項は

次のようになる。

∫ ∞

dp′⊥

∫ ∞

−∞dp′x

ikzθ(−Im p′x)δD

(p′x − 1

(ωz + i

))p′3⊥e−z

1− ωk

p′xz

(F.31)

∫ ∞

dp′⊥θ(−Im p′x)p′3⊥z

1− ωk

p′xz

∣∣∣∣∣p′x− 1

“ωz+i

ζ”=0

θ(x)は階段関数で、次のように定義される。

θ(x) = 0 if x < 0 (F.32)

θ(x) = 1 if x > 0 (F.33)

式 (F.30)用いて積分変数を p′⊥ から z に変形すると次のようになる。

∫ ∞

[z2 − 1

(zω + i

− ζ2

]e−zδuy (F.34)

ここで c は Im p′x = 0 のときの p′⊥ に対応する z の値である。式 (F.34) の積分を実行

し、係数と合わせると式 (3.84)になる。同様に計算すれば式 (3.87)、(3.83)、(3.85)の補

正項の部分が得られる。

ところで式 (F.34)の積分の下限の cは Im p′x = 0のときの p′⊥ に対応する z の値であ

ると述べたが、p′x の表式 (F.29)から分かるように、その値を一般の ωで求めることは難

しい。そこで今回は次のような簡単化を行なった。

まず極を求める式において ω の実部と虚部を明示すると次のようになる。

p′x =1k

(zω + i

z Re(ω)k

(z Im(ω) +

)(F.35)

この式において、虚数部分が 0になるような z の場合に解析接続が必要になる。ところ

で z のときに式 (F.30)から一般に z は虚部を持ち、さらに p′x を解析接続したために ζ

より小さくなりうるが、z が実数で ζ を下限に持つ場合の次のような条件は悪くない近似

になっているであろう。

c = − K2ζ

K1Im(ω)if Im(ω) < −K2

K1(F.36)

1− ω2

√−

(1− ω2

) if Im(ω) > −K2

この条件は ω が純虚数の熱伝導モードの場合は厳密に正しい条件になる。

参考文献

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