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Bloque IV FUNCIONES – UD10-11-12 FUNCIONES: LÍMITES E INICIACIÓN A LA DERIVADA Pág. 1 de 28
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS - 4º ESO Profesor: Alejandro Vigil
BLOQUE IV. FUNCIONES
UD10-11-12. FUNCIONES: LÍMITES E INICIACIÓN A LA DERIVADA
ÍNDICE CONCEPTUAL
10-11-12.1 FUNCIONES 10-11-12.1.1 DEFINICIÓN DE FUNCIÓN 10-11-12.1.2 TIPOS DE FUNCIONES 10-11-12.2 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 10-11-12.2.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO 10-11-12.2.2 LÍMITES LATERALES 10-11-12.2.3 LÍMITES DETERMINADOS 10-11-12.2.4 INDETERMINACIONES 10-11-12.3 INICIACIÓN A LA DERIVADA 10-11-12.3.1 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO 10-11-12.3.2 FUNCIÓN DERIVADA 10-11-12.3.3 REGLAS DE DERIVACIÓN: TABLA DE FUNCIONES ELEMENTALES
10-11-12.3.4 REGLAS DE DERIVACIÓN: TABLA DE OPERACIONES DE FUNCIONES 10-11-12.3.5 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA
10-11-12.4 ESTUDIO COMPLETO DE FUNCIONES 10-11-12.4.1 DOMINIO 10-11-12.4.2 ASÍNTOTAS 10-11-12.4.3 SIMETRÍA 10-11-12.4.4 PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES 10-11-12.4.5 MONOTONÍA: PUNTOS SINGULARES 10-11-12.4.6 CURVATURA: PUNTOS DE INFLEXIÓN 10-11-12.5 FUNCIONES ELEMENTALES
10-11-12.5.1 FUNCIONES POLINÓMICAS 10-11-12.5.2 FUNCIONES POLINÓMICAS DE PRIMER GRADO 10-11-12.5.3 FUNCIONES POLINÓMICAS POTENCIALES 10-11-12.5.4 FUNCIONES CUADRÁTICAS
10-11-12.5.5 FUNCIONES RACIONALES 10-11-12.5.6 HIPÉRBOLAS
10-11-12.5.7 FUNCIONES IRRACIONALES 10-11-12.5.8 FUNCIONES EXPONENCIALES 10-11-12.5.9 FUNCIONES LOGARÍTMICAS
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MATEMÁTICAS ACADÉMICAS - 4º ESO Profesor: Alejandro Vigil
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
1.- Analizar información proporcionada a partir de tablas, ecuaciones y gráficas que representen relaciones funcionales asociadas a situaciones reales obteniendo información sobre su comportamiento, evolución y posibles resultados finales. 2.- Identificar relaciones cuantitativas en una situación, determinar el tipo de función que puede representarlas, y aproximar e interpretar la tasa de variación media a partir de una gráfica, de datos numéricos o mediante el estudio de los coeficientes de la expresión algebraica. 3.- Estudiar las características principales de una función a través de su expresión algebraica o su representación gráfica. 4.- Transcribir una información a su expresión funcional y extraer conclusiones a partir del análisis matemático de sus propiedades. 5.- Construir la gráfica de funciones a partir del estudio de su dominio, asíntotas, simetría, puntos de corte, puntos singulares, monotonía, curvatura y puntos de inflexión. 6.- Elaborar y presentar informes sobre el proceso, resultados y conclusiones obtenidas en los procesos de investigación. 7.- Emplear las herramientas tecnológicas adecuadas, de forma autónoma, para resolver ecuaciones y resolución de problemas, así como utilizarlas de modo habitual en el proceso de aprendizaje.
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MATEMÁTICAS ACADÉMICAS - 4º ESO Profesor: Alejandro Vigil
UD10-11-12. FUNCIONES:
LÍMITES E INICIACIÓN A LA DERIVADA
10-11-12.1 FUNCIONES 10-11-12.1.1 DEFINICIÓN DE FUNCIÓN Una función es una relación entre dos variables de forma que a cada valor de la variable independiente x , le corresponde
un único valor de la variable dependiente y
Las funciones se representan en unos ejes coordenados, donde los puntos del gráfico ),( yx son los valores de las
variables.
Ejemplos: 133 xxy es una función, ya que a cada x le corresponde un único valor de y
2522 yx no es una función, ya que a cada x le corresponde dos valores de y
10-11-12.1.2 TIPOS DE FUNCIONES
Las funciones reales de variable real ℝ, se clasifican en:
)2()(:
)23()(:
2)(:
2)(:
9
23)(:
723)(:
1
2
2
3
xsenxfricasTrigonomét
xoglxfasLogarítmic
xflesExponencia
tesTrascenden
xxfesIrracional
x
xxfRacionales
xxxfsPolinómica
gebraicasAl
Funciones
x
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10-11-12.2 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 10-11-12.2.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
El límite de una función )(xf en el punto 0x es L :
Lxflímxx
)(0
si, a medida que x se acerca a 0x los valores de )(xf se acercan a L tanto como se desee.
Ejemplo: Si 4)()(2
2
xflímxxfx
10-11-12.2.2 LÍMITES LATERALES El límite de una función existe, si existen los límites laterales y coinciden con el límite, es decir:
LxflímxflímLxflímxxxxxx
)()()(000
Ejemplo: Calcular )(3
xflímx
siendo
382
35)(
2
xsix
xsixxf
Como la función en 3x cambia habrá que ver los límites laterales:
)()(
286)82()(
459)5()(
33
33
2
33 xflímxflímxlímxflím
xlímxflím
xx
xx
xx
)(3
xflímx
Observación: 4)(1
xflímx
y 12)(10
xflímx
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10-11-12.2.3 LÍMITES DETERMINADOS Para el cálculo de límites sustituiremos el valor al que tiende la variable independiente en el límite y en ocasiones obtendremos un valor concreto (determinado) y en otras no (indeterminado).
Ejemplo 1: Calcular 32
2
xlím
x
732322
2
xlím
x
Ejemplo 2: Calcular 2
12
1
x
xlímx
3
1
21
1)1(·2
2
12
1
x
xlímx
Ejemplo 3: Calcular 2
12
2
x
xlímx
0
5
22
12·2
2
12
2
x
xlímx
Indeterminación
10-11-12.2.4 INDETERMINACIONES Al calcular límites pueden aparecer indeterminaciones que se resolverán según su tipo.
INDETERMINACIÓN TIPO 0
k
Esta indeterminación se resuelve calculando los límites laterales, en caso de existir los únicos resultados podrán ser
Ejemplo 1: Calcular 2
3 )3( x
xlímx
00
3
)3(2
3
k
x
xlímx
Indeterminación
23
1,32
3
9,22
3
)3(
)3(
)3(
x
xlím
x
xlím
x
xlím
x
x
x
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