View
7
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Boole-algebra
Háló
A háló egy ),,( ∨∧A algebrai struktúra, ahol: – ∧ és ∨ bináris műveletek A-n – ),( ∧A kommutatív félcsoport – ),( ∨A kommutatív félcsoport – xyxxxyxx =∧∨=∨∧ )(;)( (elnyelési tulajdonság)
),,( ∨∧A egységelemes háló, ha ),( ∧A egységelemes félcsoport – egység-eleme 1 a háló egységeleme: xx =∧1
),,( ∨∧A zéruselemes háló, ha ),( ∨A egységelemes félcsoport – egység-eleme 0 a háló zéruseleme: xx =∨ 0
),,( ∨∧A disztributív háló, ha valamelyik művelet disztributív a másikra nézve: – )()()( zxyxzyx ∧∨∧=∨∧ vagy )()()( zxyxzyx ∨∧∨=∧∨
Tétel: Egy ),,( ∨∧A disztributív hálóban mindkét művelet disztributív a másikra vonatkozólag.
Komplementum Legyen ),,( ∨∧A zéruselemes és egységelemes háló. Az Aa ∈ az Aa ∈ komplementuma, ha 0=∧ aa és 1=∨ aa
),,( ∨∧A komplementumos háló, ha minden Aa ∈ -nak van komplementuma. Tétel. Ha az ),,( ∨∧A zéruselemes és egységelemes háló disztributív, akkor tetszőleges Aa ∈ elemnek legfeljebb egy komplementuma lehet.
Boole-algebra A legalább két elemet tartalmazó ),,( ∨∧A zéruselemes és egységelemes háló Boole-algebra, ha disztributív és komplementumos, azaz:
legalább két elem: 01,0,1 ≠∈∈ AA kommutativitás: abba ∧=∧ abba ∨=∨ asszociativitás: cbacba ∧∧=∧∧ )()( cbacba ∨∨=∨∨ )()( elnyelés (abszorbció): abaa =∨∧ )( abaa =∧∨ )( egységelem, zéruselem: aa =∧1 aa =∨ 0 disztributivitás: )()()( cabacba ∧∨∧=∨∧ )()()( cabacba ∨∧∨=∧∨ komplementum: AaAa ∈∃∈∀ : 0=∧ aa 1=∨ aa
Boole-algebra
Számítási szabályok: aa = 10 = 01 = 00 =∧a 11 =∨a de Morgan összefüggések: baba ∨=∧ baba ∧=∨ idempotencia: aaa =∧ aaa =∨
Ítéletlogika
Állítás (ítélet) egy kijelentő mondat, melyről eldönthető, hogy igaz vagy hamis. igaz, jelölhetjük 1-gyel Egy kijelentés logikai értéke:
hamis, jelölhetjük 0-val Legyen B2 a logikai értékek halmaza, azaz }1,0{2 =B Logikai művelet: ítéleteken végzett művelet, az eredményül kapott állítás logikai értéke csak a komponenesek logikai értékétől függ.
Logikai műveletek (1)
A negáció (tagadás, NEM) egyváltozós logikai művelet. Jelölése: ¬ ; igazságtáblája:
A ¬A1 0 0 1
A konjunkció (ÉS) kétváltozós logikai művelet. Jelölése: ∧ ; igazságtáblája:
A B A B∧ 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1
A B∧ pontosan akkor igaz, ha mindkét állítás igaz.
Logikai műveletek (2) A diszjunkció (VAGY) kétváltozós logikai művelet. Jelölése: ∨ ; igazságtáblája:
A B A B∨ 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
A B∨ pontosan akkor hamis, ha mindkét állítás hamis. A kizáró vagy (xor) kétváltozós logikai művelet. Jelölése: ⊕ ; igazságtáblája:
A B BA ⊕ 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0
Logikai műveletek (3)
Az implikáció kétváltozós logikai művelet. Jelölése: ⊃ ; igazságtáblája: A B BA ⊃
0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1
Az ekvivalencia kétváltozós logikai művelet. Jelölése: ≡ ; igazságtáblája:
A B BA ≡ 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1
Logikai értékek (B2,∧,∨) hálója
Legyen 0 komplementuma 10 =¬ , 1 komplementuma 01 =¬
),,,( 2 ¬∨∧B Boole-algebra (kielégíti a Boole-algebra axiómáit)
Boole-függvény Jelölje 2222 BBBBn ×××= K Descartes szorzatot. ),,,(; 212 n
n xxxxBx K=∈ Boole-függvény: 22: BBf n →
Megadható értéktáblázattal, ahol 12,0,2 −=∈ ni iBy :
1x 2x K 1−nx nx )(xf0 0 K 0 0 0y 0 0 K 0 1 1y 0 0 K 1 0 2y 0 0 K 1 1 3y K K K K K K 1 1 K 1 0
22 −ny 1 1 K 1 1
12 −ny
Boole-függvény
Megadható logikai kifejezéssel is.
Tetszőleges igazságfüggvény kifejezhető a három logikai alapművelet segítségével.
Igazságtáblázattal megadott Boole-függvényt át tudunk alakítani kifejezéssé az alábbi szabályok szerint: 1. A táblázat minden olyan sorára, amelyre 1=iy egy konjunktív tagot
képezünk. Ezeket a tagokat a diszjunkció művelettel kapcsoljuk össze. 2. Egy konjunktív tagban kötelezően szerepel az összes változó. Ezeket az
állított vagy tagadott változókat a konjunkció műveletével kapcsoljuk össze.
3. Ha az i. sorban valamely változó értéke 0 akkor tagadva, egyébként tagadás nélkül szerepel a konjunktív tagban.
Teljes diszjunktív normál forma
t.d.n.f. – Elemi konjunkciók diszjunkciója – Nincs két azonos konjunktív tag – Minden konjunktív tag tartalmazza állítva vagy tagadva az összes változót Igazságtáblázatból kapott logikai kifejezés t.d.n.f.-ban van.
Példa
Példa háromváltozós függvényre: a b c f(a,b,c) 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0
.)()()(),,(
cababccabcbacbacbacbaf
¬∨¬∨¬¬==¬∧∧∨∧∧¬∨¬∧∧¬=
Igazságfüggvények egyszerűsítése
Alkalmazzuk a Boole-algebra axiómáit és a számítási szabályokat. Példa:
cbabcbabcbaaccabcabcababccabcababccabcbaf
¬∨¬=¬∨¬=¬∨¬∨∨¬¬==¬∨¬¬∨¬∨¬¬=¬∨¬∨¬¬=
11)()(),,(
Különböző táblázatos módszerek léteznek.
Logikai áramkörök • „ÉS” kapu
A konjunkciót valósítja meg. Több bemenete is lehet. A kimeneten akkor és csakis akkor van impulzus, ha mindenik
bemeneten van impulzus. Fizikailag két sorosan kötött kapcsolónak felel meg:
a b
És
a
b
a·b
Logikai áramkörök • „VAGY” kapu
A diszjunkciót valósítja meg. Szintén több bemenete lehet. A kimeneten akkor és csakis akkor van impulzus, ha legalább egy
bemeneten van impulzus. Fizikailag két párhuzamosan kötött kapcsolónak felel meg:
a
b
Vagy
a
b
a·b
Logikai áramkörök
• „NEM” kapu (inverter)
A negációt valósítja meg. Csak egy bemenettel rendelkezhet. A kimeneten akkor és csakis akkor van impulzus, ha a bemeneten nincs. Ezeket az elemeket összevontan is alkalmazhatjuk.
Nem a ā
Logikai áramkörök
• „NAND” kapu (Nem és)
• „XOR” kapu
• „NOR” kapu (Nem vagy)
Logikai áramkörök
)(),,( cabcabbcacbacbaf ∨=∨∨= Egyszerűsítés előtt:
Logikai áramkörök
)(),,( cabcabbcacbacbaf ∨=∨∨= Egyszerűsítés után:
b
a
c f (a,b,c)
Logikai áramkörök Félösszeadó Teljes összeadó
B S
C
A
B
Cbe S A
Cki
FAab
s c
TAab
sck cb
Logikai áramkörök Két byte összeadása
FA TA
TA
TA
TA
TA
TA
TA
a0
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
b0
b1
b2
b3
b4
b5
b6
b7
s0 s1
s2
s3
s4
s5
s6
s7 CY