Algebra de Boole

Organización de ComputadorasUNLA

Algebra de Boole• Un algebra de boole es toda clase o conjunto de

elementos que pueden tomar dos valores perfectamente diferenciados, suele asignarse los símbolos 0 y 1Estos símbolos no representan números si no estados diferentes de un dispositivo

encendido (1) apagado (0)}

• Estos elementos están relacionados mediante dos operaciones binarias.

Suma Lógica (+) {Conexión en paralelo}Producto Lógico (*) {conexión en serie}

a

b

a + b

a b

=

a · b =

b

a

b + a

b a

b · a

0

a

0 + a

1 a

=

1 · a =

a

a

a

a

Postulados / Propiedades del álgebra de Boole Mediante los circuitos de conmutación implementados con contactos.

a

a

a + a

a a

=

a · a =

1

1

0

0

a

a · (b + c) =

c

b

a

a · b + a · c

c

a

b

a + b · c

c

a b

=

a

b

(a + b) · (a + c)

a

c

Postulados del álgebra de Boole Mediante los circuitos de conmutación implementados con contactos.

Teorema 1Cada identidad deducida de los anteriores postulados del algebra de Boole permanece valida si las operaciones <<+>> y <<*>> y los elementos 0 y 1 se intercambia entre sí. PRINCIPIO de DUALIDAD.

Nueva OperaciónInversión ó

Complemento

Leyes de De Morgan1º Ley:El producto lógico negado de varias variables lógicas es igual a la suma lógica de cada una de dichas variables negadas. Si tomamos un ejemplo para 3 variables tendríamos.~ (a.b.c) = ~a + ~b + ~c (también como: )El primer miembro de esta ecuación equivale a una compuerta NAND de 3 entradas, representada en el siguiente gráfico y con su respectiva tabla de verdad.

2º Ley:La suma lógica negada de varias variables lógicas es igual al producto de cada una de dichas variables negadas..(complementario del anterior).~ (a + b + c) = ~a . ~b . ~c o El primer miembro de esta ecuación equivale a una compuerta NOR de 3 entradas y la representamos con su tabla de verdad...

Leyes de De Morgan

Compuertas Lógicas

Compuertas LógicasCOMPUERTAS. Compuerta NOTInvierte el dato de entrada, por ejemplo; si la entrada es 1 (nivel alto) se obtiene en la salida un 0 (o nivel bajo), y viceversa. Esta compuerta dispone de una sola entrada. Su operación lógica es s igual a a invertida.

Compuertas LógicasCompuerta ANDUna compuerta AND tiene dos datos de entrada como mínimo y su operación lógica es un producto entre ambas, no es un producto aritmético.La salida (resultado) es siempre una (es decir un único valor 0 ó 1

*Observar que su salida será alta si (y sólo si) sus dos datos de entradas están a nivel alto*

Compuertas LógicasCompuerta ORAl igual que la anterior posee dos entradas como mínimo y la operación lógica, es la suma entre ambas. Se trata de una compuerta O Inclusiva

*Es decir, basta que uno de los datos de entrada sea 1 para que su salida sea también 1*

Compuertas Lógicas

Compuerta OR-EX o XOREs OR EXclusiva en este caso con dos entradas (puede tener múltiples entradas) esta compuerta lo que hace con los datos de entrada es una suma lógica entre los productos de a por b invertida y a invertida por b.

*Al ser O Exclusiva su salida será 1 si uno y solo uno (o un número impar) de sus datos de entradas es igual a 1*

Compuertas Lógicas

Compuertas Lógicas CombinadasAl agregar una compuerta NOT a cada una de las compuertas anteriores los resultados de sus respectivas tablas de verdad se invierten, y dan origen a tres nuevas compuertas llamadas NAND, NOR y NOR-EX...

Función de un Algebra de Boole

Una función es una variable binaria cuyo valor es igual al de una expresión algebraicaEn la que se relacionan entre sí una o más variables binarias por medio de la operacionesBásicas producto lógico, sumas lógicas e inversión.

F = f (a,b,c,……)El valor lógico de f depende del de las variables a,b,c,…..

_Sea f = (a, b, c) . El término a b c es un producto canónico _Sea f = (a, b, c) . El término a + b + c es una suma canónico

Para mayor facilidad de representación, cada término canónico, se expresa mediante unnúmero decimal equivalente al binario obtenido al sustituir las variables , ordenadas conun criterio determinado, por 1 o un 0.En nuestro caso a tiene peso 1, b tiene el peso 2, c el peso 3 y así sucesivamente.

_ _d c b a = 0110 = 6 _ _d + c + b + a = 1010 = 10

Función de un Algebra de Boole

_ _ _ _F(a, b, c) = a b c + a b c + a b c

F(a, b, c) =∑ (2, 3, 5) 3

Suma Lógica

_ _ _ _F(a, b, c) = (a + b + c) (a + b + c ) (a + b + c)

F(a, b, c) =∏ (1, 2, 7) 3

Producto Lógico

Teorema:Para simplificar algebraicamente las funciones lógicas.Toda algebra de boole se puede expresar de la siguiente forma

_F (a ,b,c,….) = a F(1,b,c,….) + a F(0,b,c,…)

_F (a ,b,c,….) = [a + F(0,b,c,….)] + a + F(1,b,c,…)]

_Para demostrarlo es suficiente que la igualdad se cumpla para a = 0 y a = 1

F (a ,b,c,….) = a F(0,b,c) = 0 F(1,b,c) + 1 F(0,b,c) = F(0,b,c) (A)

F (a ,b,c,….) = a F(1,b,c) = 1 F(1,b,c) + 0 F(0,b,c) = F(1,b,c)

Función de un Algebra de Boole _Si multiplicamos F (a ,b,c,….) = a F(0,b,c) = 0 F(1,b,c) + 1 F(0,b,c) = F(0,b,c) por a y a. ( 1 ) a F(a,b,c) a F(1,b,c) _ _ ( 2 ) a F(a,b,c) = a F(0,b,c) _Si multiplicamos F (a ,b,c,….) = a F(1,b,c) = 1 F(1,b,c) + 0 F(0,b,c) = F(1,b,c) por a y a.( 3 ) a + F(a,b,c) = a + F(0,b,c) _ _ ( 4 ) a + F(a,b,c) = a + F(1,b,c)

_ _ _ _ _ Dada la función F = a b c + a ( b + a c + a b c ) efectuar la simplificación algebraicaRta. _ _ _F = a b c + a(b + b c )

Del teorema demostrado se concluye que toda función lógica puede transformarse en una función canónica bajo las dos formas anteriormente indicadas. _F (a ,b,c,….) = a F(1,b,c,….) + a F(0,b,c,…)

Y dado que: _F(1,b,c,…) = b F(1, 1, c,….) + b F(1, 0,c,…) _F(0,b,c,…) = b F(0, 1, c,….) + b F(0, 0,c,…)

Resulta: _ _ _ _F(a,b,c,…) = a b F(1,1,c,…..) + a b F(1,0,c,……)+ a b F(0,1,c,……) + a b F (0, 0, c,…). Repitiendo el proceso se obtiene: _ _ _ F(a,b,c,…) = (abc…..) F(1,1,1,…..) +…… + (a b c….) F(0,0,0,…..) [1]

Esta expresión indica que una función es igual a la suma de todos los productos canónicos afectados de un coeficiente igual al valor que toma la función al sustituir cada variable por 1 o = según en el producto canónico figure directa o inversarespectivamente

De igual forma se deduce que la expresión en forma de producto de sumas canónicas es:

_ _ _F(a,b,c,…) = (a + b + c…..) f(0,0,0,…..) +…… + (a b c….) f(1,1,1,….. [2]

Utilizando la notación numérica para expresar los términos canónicos ambas ecuaciones[1] y [2] se puede representar:

2ᴺ-1 2ᴺ-1

F(a,b,c,…) = ∑ F(i) i = ∏ [F (2ᴺ – 1 – i) + i] i=0 i=0

Función de un Algebra de Boole

Los mapas de Karnaugh se pueden definir como un método para encontrar la forma más sencilla de representar una función lógica.

a) Minitérmino Es cada una de las combinaciones posibles entre todas las variables disponibles, por ejemplo;

• con 2 variables se obtiene 4 minitérminos;• con 3 variables se obtiene 8; • con 4, 16 etc.,

Como se puede observar se puede encontrar la cantidad de minitérminos haciendo 2n donde n es el número de variables disponibles.Se suele denominar también “mintérmino” o “minitérmino” a las funciones lógicas obtenidas en primera instancia con compuertas “AND”, ya que la función lógica obtenida posee menos términos (recordar que un término de una función es la combinación de operaciones separadas por sumas o restas).

b) Numeración de un miniterminoCada minitérmino es numerado en decimal de acuerdo a la combinación de las variables y su equivalente en binario

Mapas de Karnaugh

Mapas de Karnaugh

c)- Valor lógico de un minitérminoEstos deben tener un valor lógico, y es el que resulta de la operación que se realiza entre las variables. lógicamente 0 ó 1.

Mapas de Karnaugh

Las dos primeras columnas (columnas adyacentes) difieren sólo en la variable d, y c permanece sin cambio, en la segunda y la tercer columna (columnas adyacentes) cambia c, y d permanece sin cambio, ocurre lo mismo en las filas. Se concluye que...Dos columnas o filas adyacentes sólo pueden diferir en el estado de una de sus variables

Mapas de Karnaugh

2.- agrupar los unos adyacentes (horizontal o verticalmente) en grupos de potencias de 2...

1.- Dada una tabla de verdad construir un mapa de karnaugh.

3.- Realizar la suma lógica entre los términos obtenidos resultando la función... f = (~a . ~b) + (a . ~c)4.- Es posible plantear el problema como una función de variables, en nuestro ejemplo quedaría de esta forma... f(a, b, c) = S(0, 1, 4, 6)

Mapas de Karnaugh

5.- Convertir la función en su circuito eléctrico…f = (~a . ~b) + (a . ~c)

o sea...(NOT a AND NOT b) OR (a AND NOT c)

Mapas de Karnaugh