CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI - 4

CALCOLODIFFERENZIALE PER FUNZIONI

DI PIÙ VARIABILI - 4.

Funzioni definite implicitamente. Funzioni definite implicitamente.

Argomenti della lezioneArgomenti della lezione

Invertibilità locale. Cambiamento Invertibilità locale. Cambiamento di variabili.di variabili.

FUNZIONI DEFINITEIMPLICITAMENTE

Un modo ben noto di rappresentareUn modo ben noto di rappresentaregraficamente una funzione di due graficamente una funzione di due variabili variabili z = f(x,y)z = f(x,y) è quello di è quello di tracciarne le tracciarne le linee di livellolinee di livello. Ossia. Ossiai luoghi dei punti del piano (x,y) i luoghi dei punti del piano (x,y) che soddisfano la condizione che soddisfano la condizione f(x,y) = costantef(x,y) = costante..

Si ritiene, in generale, che questi Si ritiene, in generale, che questi luoghi siano curve piane più o meno luoghi siano curve piane più o meno ““regolari”.regolari”.

Sono ben noti alcuni esempi:Sono ben noti alcuni esempi:

1) 1) x2 + y2 - 2y = 3

È una circonferenza con centro È una circonferenza con centro in in (0,1),1)TT e raggio 2. e raggio 2.

2) 2) x2 + 4 y2 = -3

È l’insieme vuoto di punti del È l’insieme vuoto di punti del piano.piano.

3) 3) x2 + y2 = 0

È l’insieme contenente solo l’origine È l’insieme contenente solo l’origine del piano.del piano.

4) 4) x2 - y2 = 0

È l’insieme del piano formato È l’insieme del piano formato dall’unione delle due rette dall’unione delle due rette y = x e e y = - x..

5) 5) x3 - y2 = 0

È una curva piana non regolare, È una curva piana non regolare, dotata di una cuspide nell’origine.dotata di una cuspide nell’origine.

Possiamo dunque chiederci sotto Possiamo dunque chiederci sotto quali condizioni un’equazione delquali condizioni un’equazione deltipo tipo f(x,y) = costantef(x,y) = costante, possa , possa rappresentare una curva piana. Anzi,rappresentare una curva piana. Anzi,almeno localmente, una curva che almeno localmente, una curva che sia grafico di una funzione.sia grafico di una funzione.

È chiaro infatti che, in molti casi,È chiaro infatti che, in molti casi,una curva piana non sarà graficouna curva piana non sarà graficodi una funzione.di una funzione.

La curva data da La curva data da x2 + y2 - 2y = 3 puòpuòessere rappresentata come graficoessere rappresentata come graficodi due funzioni in cui di due funzioni in cui xx è funzione è funzione di di yy::

x = g1(y) = (3 - y2 + 2y)1/2

x = g2(y) = - (3 - y2 + 2y)1/2

e e

Teorema(di U. Dini )

Sia f : A R2 R, A aperto, C1(A),

sia (x0,y0) in A tale che f(x0,y0)= 0 e

∂y f (x0,y0)≠ 0, allora esiste un rettangoloaperto I J intorno di (x0,y0)T tale che f -1(0)(I J) sia il grafico di g : I R R

funzione di classe C1(I); quindi

per ogni x I, f(x,g(x)) = 0.

Vale g’(x) = -fx(x,g(x))_________fy(x,g(x))

.

Il teorema qui enunciato, puòessere generalizzato in molti modi..

Una generalizzazione tra le più semplici:

Se f(x1, x2, … , xm, z) è di classe C1(), se (x1

0, x20, … , xm

0, z0) in Rm+1 è tale che f(x1

0, x20, … , xm

0, z0) = 0 e fz(x1

0, x20, … , xm

0, z0) ≠ 0 allora esistono un intorno U Rm di (x1

0, x20, … , xm

0) e una funzioneg : U Rm R che è di classe C1(U), è tale che f(x1, x2, … , xm, g(x)) = 0 per ogni (x1, x2, … , xm) U. Le sue derivate sono date da

Dk g(x) = -fk(x,g(x))_________fz(x,g(x))

.

Un esempio...

f(x, y, z) = sen(z) + xy2 + y3-8 = 0

nel punto (0,2,0)T.

Una proprietà del gradiente.

Si supponga che l’equazionef(x,y)= costante definisca una curvadi livello dotata di derivate continue in (x0,y0). Se x(t), y(t) sono le equazioni parametriche della curva, lungo la curva stessa

Il gradiente è ortogonale alle linee di livello di una funzione.

F(t) = f(x(t),y(t)) = costante. Perciò F’(t) = 0. Ma F’(t) = f (x(t),y(t)), (x’(t),y’(t))T = 0

Conclusione

Superficie date in formaimplicita in R3.

f(x,y,z)= costante

INVERTIBILITÀ INVERTIBILITÀ LOCALELOCALE

Sia f : A Rm Rm , A aperto, una funzione. Diremo che f è localmenteinvertibile in x0 A se esistono un intorno U di x0 e V di f(x0) = y0 tra i quali f è biiettiva.

Se f stabilisce una corrispondenzabiunivoca tra A e f(A), diremo che f è globalmente invertibile su A.

Se f : A Rm Rm , A aperto, è differenziabile in x0 A, la matricemm che rappresenta il suo differenziale è detta anche la derivata o la matrice jacobiana o il jacobiano di f in x0.

f’(x0) = J( )(x0) = J( )(x0) fx

f1,f2,..,fmx1,x2,..,xm

Teorema(di invertibilità locale )

Se f : A Rm Rm, A aperto, è C1(A),

invertibile in x0 A. L’inversa localeè funzione di classe C1(f(A)).

e det J( )(x0) ≠ 0 allora f è localmentefx

Si noti che una funzione può essere localmente invertibilesenza esserlo globalmente.

La funzione f : R2 R2 data dau = exp(x)cos y

v = exp(x)sen y

ha il det. jacobiano det J = exp(2x) ≠ 0 ed è in ogni punto localmente invertibile tra il piano (x,y) e il piano (u,v). Ma non è invertibile globalmente poiché u e v sono periodiche di periodo 2 .

Omeomorfismi e Diffeomeorfismi...

CAMBIAMENTO CAMBIAMENTO DI VARIABILIDI VARIABILI

Un’applicazione f : A Rm Rm, A aperto, si dice regolare se è

di classe C1(A) e se

per ogni x A. Una tale applicazioneindividua un cambiamento di variabili in Rm . Se le condizioni dettenon sono soddisfatte in alcuni puntiisolati, tali punti si dicono singolariper la trasformazione.

det J( )(x) ≠ 0fx

Esempi:

Coordinate polari in R2.

Coordinate cilindriche in R3.

Coordinate sferiche in R3.

Trasformazioni lineari in Rm.

Un esempio: Cambiamento di variabili nell’equazione delle onde

∂2z____∂x2

- ∂2z____∂t2

c2 = 0

u = x + c t

v = x - c t