CAPITULO 5 Funciones de Variables Aleatorias y Función Generadora de Momentos

CAPITULO 5Funciones de

Variables Aleatoriasy

Función Generadora de Momentos

Estadística Computacional

Sea X v.a. con función de densidad (cuantía) fX. Sea Y = g(x). Entonces:

X es v.a. discreta y g continua Y = g o X es v.a. discreta

X es v.a. continua y g continua Y = g o X sea v.a. continua

Funciones de Variables AleatoriasFunciones de Variables Aleatorias

P(C) = P[{ x RX : H(x) C}] = P[{ s : H(X(s)) C}]

H(x) C

H(X(s)) C

RY

CX(s) B

RX

BA

s A

X : X : RRXX

s dominio Xx RX rango X(s, x) X

H : RH : RXX R RYY

x RX dominio Hy RY rango H(x, y) H

Y : Y : RRYY

s dominio Y = H(X)y RY rango Y = H(X)(s, y) Y = H(X)

Transformación de VariablesTransformación de Variables

Sea X una v.a. discreta con función de cuantía f(xij)

x11 x21 x31 x41 ······· xn1 x12 x22 x32 ·· xn2 x13 x23 x33 ·· xn3 x1j x2j x3j ·· xnj

X

Y

y1 y2 y3 yj

Sea H(xij) = yj una función que tiene la propiedad de asignar un valor yj a todo xij j J para i = 1, 2, 3 ,...; j = 1, 2,...

f(x11) ··· f(x31) ·······f(xn1) f(x12) ········· f(xn2) f(x13) ········· f(xn3) f(x1j) ········· f(xnj)

Entonces Y = H(X) es una variable aleatoria

con función de cuantía g(yj) = f(xij)

Entonces Y = H(X) es una variable aleatoria

con función de cuantía g(yj) = f(xij)nj

ij = 1j

Transformación de VariablesTransformación de Variables

Sea X v.a. con función de densidad (cuantía) fX(x) Sea Y = H(x) también es una variable aleatoria.

Entonces:Si H(x) continua

continua

Si H(x) discreta

discreta

X es v.a.Y = H( X) es v.a. continua

Y = H( X) es v.a. discreta

Y = H( X) es v.a. discreta

Y = H( X) es v.a. discreta

Transformación de VariablesTransformación de Variables

X : R g : D R

Y = g(X) v.a.

v.a.c. fu continua, estrictamente monótona, derivable y con derivada no nula en A D

Entonces:

)()(

))(()( )( yIdyydg

ygfyf AgXY

1

1

Funciones de Variables AleatoriasFunciones de Variables Aleatorias

g(y) = G’(y) (y - 1)g(y) = G’(y) (y - 1)29

1 2 3 4 5

1

yy

g(y)

1 2

y = 3x + 11

2

3

4

x

y

Sea Y = H(X) = 3X + 1

pdf de Y; g(y) ?

x

Sea X v.a. f(x) = 2x 0 < x < 1

f(x) = 2x 0 < x < 1

2

f(x)

1

= P(X (y – 1)/ 3)

= 2x dx = [y – 1]2

(y –1)/3

0

19

G(y) = P(Y y) = P(3X + 1 y)

Transformación de V.A. ContinuasTransformación de V.A. Continuas

Funciones de Variables Aleatorias

Ejemplo:

fX(x) = I0,1(x)g(x) = ln x

Sea Y = g o X = ln X.

Encontrar la densidad de Y = ln X

Solución:

Sea A = 0,1 D = R+

Además g es derivable y con derivada no nula en A

Entonces:

)()()()(ln yIeyIeefyfR

y

R

yyXX 1

Funciones de Variables AleatoriasFunciones de Variables Aleatorias

Caso X U (0,1) H(X) = ln X

Sea X ~ U(0,1)

f(x) = 1 0 < x < 1

Y = H(X) Y = ln X

X = H-1(Y) X = eY

encontrar g(y)

G(y) = P(Y y)

P(ln X y)

P(X ey )

F(ey)

1

g(y)

y

-

g(y) = G’(y) = = 1 x ey

dx

dydF(x)

dx

g(y) >0 x y

0 -

1 0

Solución:

Además, algunas propiedades de Y son:

R

y dxxIxXEdyyeYE1

0

101 )(lnln ,

112 YEYV

Funciones de Variables AleatoriasFunciones de Variables Aleatorias

Un método operativo

X U (0,1) Y = ln X

derivando con respecto a “y” tenemos:

)(ln)()( yXPyYPyFY )()( y

Xy eFeXP

yyX

yX

YY eefdydx

dxedF

yFdyd

yf )()(

)()(

)( yIeR

y1

En general, sea X v.a.c. En general, sea X v.a.c. Y = X Y = X22

Consideremos X Consideremos X N(0,1), sea Y = X N(0,1), sea Y = X22, luego:, luego:

Y 2(1)

)()()( yfyfy

yf XXY 2

1

21

22122

22

1

2

1

2

1/

////)(

yyy

Y

eyee

yyf

Un método operativo

Ejercicio

Sea X = ln Y N ( , 2 )

Encontrar la distribución de Y

Nota: Y se conoce como distribución Log-normal.

Distribución Log-Normal

Función de Densidad LN( 0, 2)

Función Generadora de MomentosDefinición: Sea X v.a. (d. ó c.) con densidad o cuantía fX. Se llama función generadora de momentos a

: D R R / X(t) = E [etX] t X(t)

X v.a.d.

X v.a.c.

Ii

iXtx

X xfet i )()(

R

txX dxxfet )()(

Función Generadora de MomentosObservaciones:

Tal serie o integral pude no existir siempre t D. Sin embargo, t = 0 existe siempre, y vale 1. Deseamos que exista V(0,)D y que además sea derivable k-veces. Cuando X(t)=E[etX] no exista, podemos usar X(t)=EeitX llamada función característica.

Función Generadora de MomentosX X(t)

U(a,b)

tee

ab

atbt1

P()

)( 1tee

Exp()

tt

N(,2) 222 /tte

Función Generadora de Momentos

X X(t)

(,)

t

B(n,p)

nppet )( 1

Función Generadora de Momentos

Usando el desarrollo en serie de Maclaurin Usando el desarrollo en serie de Maclaurin XX(t)(t)

...

!...

!!)(

nxtxtxt

txEeEtnn

txX 32

13322

...!

...!

)( nn

X XEnt

XEt

XtEt 22

21

’’XX(0) = E[X](0) = E[X]

’’’’XX(0) = E[X(0) = E[X22]]

En general, bajo condiciones de regularidad:n

X(0) = E[Xn]

Función Generadora de Momentos

Finalmente:

Si Y = X + Y(t) = et X(t)

Z = X + Y ; X Y Z(t) = X(t) Y(t)

Función de Densidad LN( 0, 2)

Distribución Log-NormalDistribución Log-Normal

Caso X U (0,1) H(X) = e-X

Sea X ~ U(0,1)

f(x) = 1 0 < x < 1

Y = H(X) Y = e-X

X = H-1(Y) X = - ln Y

encontrar g(y)

G(y) = P(Y y) = P(e-X y)

P(- X ln y ) =

P(X - ln y ) =

1 – F(ln y)

g(y) x y

0 1

1 e-1

1

g(y)

y

e-1 1

g(y) = G’(y) = = - 1 dx

dydF(x)

dx_ 1 y

Entonces:)(

))(()(dy

ydHyHfyg

XY=

--

11

X : X H : X Y

Y = H(X) v.a.

v.a.c.H() continua, estrictamente monótona, derivable y con derivada no nula en A Y

Transformación de V.A. ContinuasTransformación de V.A. Continuas

Caso X U (0,1) H(X) = X2

Sea X ~ U(0,1)

f(x) = 1 0 < x < 1

Y = H(X) Y = X2

X = H-1(Y) X = Y ó X = - Y

encontrar g(y) =

G(y) = P(Y y) = P(X2 y)

P(- y X y ) =

F( y ) – F(- y )

g(y) = f( y ) + f(- y )12 y

G’(y) =dF(y)

dx

dx

dydF(-y)

dx

dx

dy

Caso X N (,2) H(X) =(X – )

Sea X ~ N(,2)

f(x) = e - < x <

Y = H(X) Y =

X = H-1(Y) X = Y +

encontrar g(y)

X – g(y) = f(x)

dx

dy

Sabemos que

= e2

1

y + -

12

2

*

g(y) = 2

1

e - 12

y 2Reconocemos la Normal Estandar

(N(0,1)

1

2

- ½x -

2

Caso X N (,2) H(X) = ln X

Sea X ~ N(,2)

f(x) = e - < x <

Y = H(X) Y = ln X

X = H-1(Y) X = eY

encontrar g(y)

g(y) = f(x) dx

dy

Sabemos que

= e2

1

ey -

1

2

2

* ey

g(y) = e2

1

ey -

1

2

2

y

1

2

- ½x -

2

Caso X N (,2) H(X) = eX

Sea X ~ N(,2)

f(x) = e - < x <

Y = H(X) Y = eX

X = H-1(Y) X = lnY

encontrar g(y)

g(y) = f(x) dx

dy

Sabemos que 1

2

- ½x -

2

= 2

1

e

lny –

12

2

* 1y

Se le denomina distribución

LogNormal: (N(0,1)yg

1

2

y-

= elny –

12

2

Fenómenos aleatorios representados por variables aleatorias con esta distribución:

• Diámetro de pequeñas partículas después de un proceso de chancado

• El tamaño de un organismo sujeto a un número pequeño de impulsos

• Rentas de familias; consumo de electricidad; ventas en pesos; etc.

• Tiempo de vida de ciertos ítems

• Análisis de riesgo financiero en el cálculo del VAN

Distribución LogNormal (0,1)Distribución LogNormal (0,1)

Rx

E[X] = e

V[X] = e2(e– 1)

F(x) : No tiene expresión analítica.

ef(x) =2

ln x -

_x-1

212

Distribución LogNormal (, 2)Distribución LogNormal (, 2)

Caso X N(0,1) H(X) = X2

Sea X ~ N(0,1)

f(x) = e - < x <

Y = H(X) Y = X2

X = H-1(Y) X = Y

. ó X = - Y

encontrar g(y)

g(y) = f( y ) + f(- y )12 y

Sabemos que:

21

22122

22

1

2

1

2

1/

////

yyy ey

eey

---- =

+=

yg21

221

2 /

// yey

--

=Reconocemos una distribución ; con = 1

1

2

- ½ x 2

Sea X ~ U(1, 3)

H(X) = 3X + 1

J(X) = eX

Sea f(x) = e-x x > 0

H(X) = X3

J(X) = 3(X + 1)2

Sea f(x) = 2x 0 < x < 1

H(X) = 3X + 1

J(X) = e-X

Sea f(x) = ½ -1 < x < 1

H(X) = 4 – x2

J(X) = ln X

Desafíos ...Desafíos ...

)f(x = x > 0

ex

x

22 2

21

2

1

2 =