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當實驗中除了研究因子外,另有二可控制的混淆因子,若使用
單純的區集設計,試驗次數增加,是一龐大的工作量,拉丁方
塊設計是一節省試驗次數的設計。
若 treatment 個數為m,總試驗次數為 mxm,可使用m x m 之方形區域設計各次的試驗處理。
第八章 拉丁方設計
採用拉丁方塊設計之規則: (Latin square Design)
• 當試驗單位為異質,但可明顯分成二向區集。
• 區集數 = 處理數。
• 行、列區集內各參試處理必須隨機排列,且僅能出現一次。
範例 : m = 4 A B C D 為 treatments
循環標準方 : A B C DB C D AC D A BD A B C
對其它 m 值,設計方法參考下列參考書, p140Design and Analysis of Experiments, 6th, By Montgomery
另例: A B C D C A D BB D A CD C B A
Source SS df MS F* p-valueTreatment SSTr m-1 MSTr F*=MSTr/MSE p1
Row SSrow m-1 MSrow p2Column SScol m-1 MScol p3Error SSE (m-1)(m-2) MSE
Total SST m2-1
ANOVA Table for Latin Square Design Model
Model
Yijk = μ + τi +αj +βk+ εijk , i= 1,…, m,
j= 1,…,m , k= 1,…,m Στi=0, Σαj=0, Σβk=0
Exp8.1 (p141) 研究 4 種飼料對豬生長的影響。
胎別與出生體重也可能對增重產生影響。
Treatment : 4 種飼料(Feed), A, B, C, D應變數(測值): 增重
Blocks :胎別(Mother)與出生體重(weight)
胎別 輕 中 重 最重
1 B = 16 A = 10 C = 14 D = 122 D = 16 C = 18 A = 15 B = 203 C = 20 B = 25 D = 18 A = 164 A = 14 D = 20 B = 22 C = 16
出 生 重
A 組之平均 = 13.75 ( (10+15+16+14)/4),B 、C、D 組之平均 = 20.75、 17.00、 16.5
設計 :
B A C DD C A BC B D AA D B C
附: SAS 報表節錄
Source DF Type III SS Mean Square F Value Pr > F
Feed 3 99.50000000 33.16666667 23.41 0.0010
Mother 3 98.50000000 32.83333333 23.18 0.0011
weight 3 11.50000000 3.83333333 2.71 0.1384
Level ofFeed
N gainwt
Mean Std Dev
A 4 13.7500000 2.62995564
B 4 20.7500000 3.77491722
C 4 17.0000000 2.58198890
D 4 16.5000000 3.41565026
Feed 與 Mother 因子顯著
Means with the same letterare not significantly different.
Tukey Grouping Mean N Feed
A 20.7500 4 B
B 17.0000 4 C
C B 16.5000 4 D
C 13.7500 4 A
Feed C 與 D 無顯著差異,Feed D 與 A 無顯著差異
Tests for Normality
Test Statistic p Value
Shapiro-Wilk W 0.964411 Pr < W 0.7420
Kolmogorov-Smirnov D 0.121722 Pr > D >0.1500
Cramer-von Mises W-Sq 0.040841 Pr > W-Sq >0.2500
Anderson-Darling A-Sq 0.273378 Pr > A-Sq >0.2500
資料符合常態性假設
總結
此為一拉丁方設計的試驗,以胎別及出生體重為區集,
測得的資料符合常態性;經ANOVA F-test 飼料對小豬增重有
顯著的影響 (p = 0.001),接著執行 TukeyHSD test之
multiple comparison,在α=0.05下,得到飼料C 與飼料D,
飼料D 與飼料A對增加體重無顯著差異。餵食飼料B的小豬體
重增加量明顯比其它高。均值估計如下表。
飼料 B C D Amean ± SD 20.75±3.77a 17±2.54 b 16.5±3.42 bc 13.75±.2.63 c
註:上標字母不同之各組間在α=0.05的水準下均值有顯著差異
當試驗材料變異大(如病患),且數量有限,使用交叉設計可
增加重複個數,減少試驗誤差,提高試驗的可靠性,交叉設
計可視為二區集因素設計的特例,試驗體與試驗時段是二區
集因素。
交叉設計之規則
試驗材料為異質
每個試驗單位分不同時段重複使用
參試處理要隨機安排於不同試驗時段
第九章 交叉設計Crossover Design XD
例比較A、B兩種藥品之療效
實驗設計一:選16位病患,隨機分為二組,分別服用A、B兩種藥品,經一段時間,測量療效,此為 CRD
實驗設計二:選 8對病況相似的病患,隨機分別服用A、B兩種藥品,經一段時間,測量療效,此為 RCBD
實驗設計三:選16位病患,隨機分為二組,分別在第一時期服用A、或在第一時期服用B,到下一時期改服用另一藥品,測量療效,此為 XD
註:若記錄者與受試者不知道自己被分到那一組,稱為雙盲設計
交叉設計試驗
研究目的:研究加護病房重症病人接受24小時腸道營養或24
小時禁食時的腸道通透性功能的變化。
受試者:十九位在臺中榮民總醫院加護病房的重症病人及
十位健康成年人參與此研究。
試驗設計:採用交叉設計。病人被隨機分成兩組,並前後分
別接受腸道營養24小時及禁食24小時。接受腸道營養或禁食
後,病人服用Lactulose/L-rhamnose differential sugar
absorption test溶液並收集5小時的尿液。使用不同分子大
小的糖吸收測驗(Lactulose/L-rhamnose differential
sugar absorption test)來研究腸道通透性。
結果:不論病人接受腸道營養或禁食後,其腸道通透性
並無顯著不同;但是健康成年人的腸道通透性則明顯低於重
症病人。
重症病人腸道通透性的研究
Source SS df MS F* p-valueTreatment SSTr n-1 MSTr F*=MSTr/MSE p1individual SSI n-1 MSb p2
period SSp k-1 MSp p3Error SSE MSE
Total SST nk-1
ANOVA Table for Cross-over Design Model
Model
Yijk = μ + Pi +Ij +τk+ εijk , i= 1,…, n,
j= 1,…,m , k= 1,…,n. Στi=0
時段 試驗體
Exp 9-1 比較A、B兩種降血壓藥品之效果
隨機取10位病患,以隨機指定方式分別在不同時段服用A、B兩種藥品,
但同一病患在服用 A、B兩藥之間要有休閒期。
Treatment : A, B
應變數 : 下降記錄
Block : patient, period
病 人 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10時段 I B B A B A A A B A B
23 10 33 14 24 28 31 8 10 17時段 II A A B A B B B A B A
21 11 28 27 20 12 20 13 11 14
服藥後血壓下降記錄
A 組之平均 = 21.2, B 組之平均 = 16.3總平均 = 18.75
Source DF Type III SS Mean Square F Value Pr > F
patient 9 848.2500000 94.2500000 4.40 0.0243
period 1 22.0500000 22.0500000 1.03 0.3400
drug 1 120.0500000 120.0500000 5.60 0.0455
Tests for Normality
Test Statistic p Value
Shapiro-Wilk W 0.969751 Pr < W 0.7496
Kolmogorov-Smirnov D 0.117778 Pr > D >0.1500
Cramer-von Mises W-Sq 0.033295 Pr > W-Sq >0.2500
Anderson-Darling A-Sq 0.20241 Pr > A-Sq >0.2500
SAS output
1. 線性模型分析結果
2. 殘差分佈分析結果
Drug 之顯著 p值
平均差異之 C.I.
drug N Mean Simultaneous 95% ConfidenceLimits
A 10 21.200 17.173 25.227
B 10 16.300 12.273 20.327
drugComparison
DifferenceBetweenMeans
Simultaneous 95% ConfidenceLimits
A - B 4.900 0.127 9.673 ***
B - A -4.900 -9.673 -0.127 ***
Source SS d.f. MS F0 p-value時段 22.05 1 22.05 1.029 0.34個體 848.25 9 94.25 4.399 0.024藥品 120.05 1 120.05 5.603 0.045Error 171.4 8 21.425Total 1161.75 19
ANOVA Table for Exp 4-3
結論
本實驗採用交叉設計,資料滿足常態性。由ANOVA 之F-test 得到 p-value = .045,以0.05顯著水著,結論 A、B藥之
效果有顯著差異;A藥平均使血壓下降21.2,B藥平均使血壓
下降16.3 。在95%信賴度下估計:使用 A藥比使用 B藥,使
血壓平均多下降 0.127到 9.673。
(另外,個體間之差異顯著,時段間之差異不顯著)
Exp 4-4 雙交叉設計
比較A、B兩種牧草對乳牛產乳量之影響, 隨機取8頭乳牛
分三個時段進行試驗,資料如下:
乳牛 1 2 3 4 5 6 7 8時段 I B A B A B B A A
10 30 14 31 12 15 32 18時段 II A B A B A A B B
15 25 20 20 11 20 25 16時段 III B A B A B B A A
12 26 19 22 12 14 26 20
A、B牧草對乳牛每日乳產量
A 組之平均 = 22.58, B 組之平均 = 15.33總平均 = 18.96
Source
DF Type III SS Mean Square F Value
Pr > F
cow 7 495.1041667 70.7291667 6.32 0.0022
period
2 25.0833333 12.5416667 1.12 0.3554
feed 1 123.5208333 123.5208333 11.04 0.0055
feed N Mean Simultaneous 95% ConfidenceLimits
A 12 22.5833 20.1383 25.0284
B 12 15.3333 12.8883 17.7784
feedComparison
DifferenceBetweenMeans
Simultaneous 95% ConfidenceLimits
A - B 7.250 4.300 10.200 ***
B - A -7.250 -10.200 -4.300 ***
Tests for Normality
Test Statistic p Value
Shapiro-Wilk W 0.979089 Pr < W 0.8785
Kolmogorov-Smirnov D 0.13822 Pr > D >0.1500
Cramer-von Mises W-Sq 0.044364 Pr > W-Sq >0.2500
Anderson-Darling A-Sq 0.241203 Pr > A-Sq >0.2500
SAS output
1. 線性模型分析結果
2. 殘差分佈分析結果
結論
本實驗採用雙交叉設計,資料滿足常態性。由ANOVA 之 F-test 得到 p-value = 0.0055, A 牧草平均產乳量22.58,B
牧草平均產乳量15.33 。在95% 信賴度下估計使用 A牧草比
使用 B牧草,平均產乳量高 4.3到 10.2。
(另外,個體間之差異顯著,時段間之差異不顯著)
使用時機:由於 block 本身條件的限制,在同一 block 內,
不足以執行所有的 treatments
設計原則:
每一 block執行相同個數的treatments
每一treatment被實驗的次數相同
每一對treatment 出現在同一 block 的次數相同。
此設計稱為 Balanced Incomplete Block Design.
次數的設計:
設有 a 項處理,每一 block 執行 k 項,若用到 b 個 blocks,每項處
理重複 r 次,則總次數 N = ar = bk每一對出現在同一 block 的次數 λ= r(k-1) / (a-1) ,λ必須是整數
第十章 均衡不完全區集設計,BIBD
設計方法:
1、由 (i) ar = bk,(ii)λ= r(k-1) / (a-1) 必須是整數,來決定
block 的數目
2、安排每一 block 進行的處理項目,使得每一處理出現的次數
是相同的。
3、以隨機順序進行實驗。
例:一實驗有 5個 treatments, 每一block 只能完成 3個treatments,需要多少 blocks ?
a = 5,k = 3
Model:Yij = μ + τi + βj+ εij , i= 1,…, a, j= 1,…,b
分析重點:
1、執行ANOVA
2、以最小平方法估計每一處理的均值 (LS mean) 。
3、在差異顯著時,執行對對比較。
相同於RCBD
Exp (10-1) (BIBD) 研究 4 種催化劑(catalyst) 對化學過程的反應時間 (reaction time) 的影響,但每一批原料只夠調製 3 份,原料的批次 (batch) 可能產生影響。
處理: 4 different catalyst , 1, 2, 3, 4反應變數: reaction time
區集:batches, 3 treatments in each block
BatchCatalyst 1 2 3 4 avg
1 73 74 一 71 72.672 一 75 67 72 71.33 73 75 68 一 724 75 一 72 75 74
avg 73.67 74.67 69 72.66
Catalyst 1 之平均 =72.67 (未包括 batch3 的結果 )Catalyst 2 之平均 =71.3,Catalyst 3之平均 =72.0, Catalyst 4 之平均 =74.0。
注意:此為算術平均,但不是最佳的估計值。
Data
Source DF Type III SS Mean Square F Value Pr > F
Catal 3 22.75000000 7.58333333 11.67 0.0107
batch 3 66.08333333 22.02777778 33.89 0.0010
Catal time LSMEAN 95% Confidence Limits1 71.375000 70.123628 72.6263722 71.625000 70.373628 72.8763723 72.000000 70.748628 73.2513724 75.000000 73.748628 76.251372
SAS output
Source DF Sum of Squares Mean Square F Value Pr > F
Model 6 77.75000000 12.95833333 19.94 0.0024
Error 5 3.25000000 0.65000000
Corrected Total 11 81.00000000
Least Squares Means for effect CatalPr > |t| for H0: LSMean(i)=LSMean(j)Dependent Variable: timei/j 1 2 3 41 0.9825 0.8085 0.01302 0.9825 0.9462 0.01753 0.8085 0.9462 0.02814 0.0130 0.0175 0.0281
選擇LSmean 作對對比較的
OUTPUT
Tests for Normality
Test Statistic p Value
Shapiro-Wilk W 0.969455 Pr < W 0.9050
Kolmogorov-Smirnov D 0.088205 Pr > D >0.1500
Cramer-von Mises W-Sq 0.023458 Pr > W-Sq >0.2500
Anderson-Darling A-Sq 0.17265 Pr > A-Sq >0.2500
結論
1. 本實驗採用不完全區集設計,資料滿足常態性。
2. ANOVA 之 F-test 得到 p-value = .0107,以0.05顯著水準,
結論是不同的催化劑對化學過程的反應時間是有顯著的
影響
3. 由 Tukey-Kramer 法作對對比較,得到 catalyst 4 與其它三
組有顯著差異,其它三組之間則無顯著差異。
4. 由 least square 法估計得均值如下:
Catalyst 1 2 3 4LS mean 71.375a 71.625a 72a 75b
註:上標字母不同之各組間在α=0.05的水準下均值有顯著差異。
受試者間效應項的檢定
依變數: RTIME
77.750a 6 12.958 19.936 .00263075.000 1 63075.000 97038.462 .000
66.083 3 22.028 33.889 .00122.750 3 7.583 11.667 .0113.250 5 .650
63156.000 1281.000 11
來源校正後的模式截距BATCHCATALYST誤差總和校正後的總數
型 III 平方和 自由度 平均平方和 F 檢定 顯著性
R 平方 = .960 (調過後的 R 平方 = .912)a.
估計值
依變數: RTIME
71.375 .487 70.124 72.62671.625 .487 70.374 72.87672.000 .487 70.749 73.25175.000 .487 73.749 76.251
CATALYST1.002.003.004.00
平均數 標準誤 下限 上限95% 信賴區間
SPSS output
成對的比較
依變數: RTIME
-.250 .698 .735 -2.045 1.545-.625 .698 .412 -2.420 1.170
-3.625* .698 .003 -5.420 -1.830.250 .698 .735 -1.545 2.045
-.375 .698 .614 -2.170 1.420-3.375* .698 .005 -5.170 -1.580
.625 .698 .412 -1.170 2.420
.375 .698 .614 -1.420 2.170-3.000* .698 .008 -4.795 -1.2053.625* .698 .003 1.830 5.4203.375* .698 .005 1.580 5.1703.000* .698 .008 1.205 4.795
(J) CATALYST2.003.004.001.003.004.001.002.004.001.002.003.00
(I) CATALYST1.00
2.00
3.00
4.00
平均數差異 (I-J) 標準誤 顯著性a 下限 上限
差異的 95% 信賴區間a
以可估計的邊際平均數為基礎
在水準 .05 的平均數差異顯著。*.
多重比較調整:最小顯著差異 (等於沒有調整)。a.
1、差異檢定
分析 → 一般線性模式 → 單變量
模式 :自訂 (加入因子及區集因子)圖形 :因子為 水平軸→ 新增
Post Hoc 檢定:跳過
比對 :跳過
儲存 : student 化選項 : ˇ顯示平均 ˇ 比較主 效應
2、 常態性檢定:分析 → → 統計值 → 預檢資料
統計圖 v 常態機率圖附檢定
BIBD,SPSS之指令
註:完全區集設計選 Arithmetic不完全區集設計選 Least Squares
SAS guide
1、輸入資料:測值或反應值資料佔一行,因子佔一行,各區
集各佔一行。
2、SAS程序:分析 → ANOVA → 線性模型
工作角色:指定 測量值為 應變數
因子及區集為 分類變數
Model Builder: 選擇所有因子及區集因子 的主要項
Model Options: ˇ 型三 (不勾型一)Post-Hoc tests:
區集設計, 無法檢定同質性
標繪圖: 平均值 → ˇ主要效果的應變平均值
預測:ˇ原始樣本 ˇ預測
ˇ殘差 ˇ顯示輸出
─ 要使用的類別效果 主因子換成 trure─ 比較 選擇顯示差異 p-值及選擇方法
─ 信賴界限 顯示
─ 共變異數
3、檢測常態性: 先選擇前面儲存的殘差資料檔
程序: 描述 → 分佈分析
選擇儲存的殘差為分析變數,選常態機率圖,並在輸
出表格處加 常態檢定
LS mean (最小平方法) → 新增 主因子 變數
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