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数学演習:行列とベクトルの計算
平井 慎一
立命館大学 ロボティクス学科
平井 慎一 (立命館大学 ロボティクス学科) 数学演習:行列とベクトルの計算 1 / 32
講義の流れ
1 ベクトルと行列の表記
2 特徴的な行列
3 連立一次方程式
4 LU分解
5 MATLABによる計算
6 まとめ
平井 慎一 (立命館大学 ロボティクス学科) 数学演習:行列とベクトルの計算 2 / 32
表記
スカラー 小文字 a, x , ω列ベクトル 太字の小文字 a, x , ω行列 大文字 A, R , Γ
列ベクトル
a =
3−21
行ベクトル
aT =[3 −2 1
]行列
A =
3 1−1 12 5
AT =
[3 −1 21 1 5
]平井 慎一 (立命館大学 ロボティクス学科) 数学演習:行列とベクトルの計算 3 / 32
表記
A α alpha アルファB β beta ベータΓ γ gamma ガンマ∆ δ delta デルタE ϵ epsilon イプシロンZ ζ zeta ゼータH η eta イータΘ θ theta シータI ι iota イオタK κ kappa カッパΛ λ lambda ラムダM µ mu ミュー
N ν nu ニューΞ ξ xi グザイO o omicron オミクロンP π pi パイP ρ rho ローΣ σ sigma シグマT τ tau タウY υ upsilon ユプシロンΦ ϕ phi ファイX χ chi カイΨ ψ psi プサイΩ ω omega オメガ
平井 慎一 (立命館大学 ロボティクス学科) 数学演習:行列とベクトルの計算 4 / 32
表記連立一次方程式 3 2 −2
6 2 −1−3 −8 7
xyz
=
136
行列 A =
3 2 −26 2 −1−3 −8 7
列ベクトル x =
xyz
列ベクトル b =
136
⇓
Ax = b
平井 慎一 (立命館大学 ロボティクス学科) 数学演習:行列とベクトルの計算 5 / 32
表記連立一次方程式 3 2 −2
6 2 −1−3 −8 7
xyz
=
136
行列 A =
3 2 −26 2 −1−3 −8 7
列ベクトル x =
xyz
列ベクトル b =
136
⇓Ax = b
平井 慎一 (立命館大学 ロボティクス学科) 数学演習:行列とベクトルの計算 5 / 32
表記連立一次方程式 3 2 −2
6 2 −1−3 −8 7
xyz
=
136
行列 A =
3 2 −26 2 −1−3 −8 7
列ベクトル x =
xyz
列ベクトル b =
136
⇓
Ax = b
平井 慎一 (立命館大学 ロボティクス学科) 数学演習:行列とベクトルの計算 5 / 32
表記
a =
3−21
b =
25−3
aT =
[3 −2 1
]bT =
[2 5 −3
]
aTb =[3 −2 1
] 25−3
= 3× 2 + (−2)× 5 + 1× (−3)
= −7
スカラー aと bの内積
平井 慎一 (立命館大学 ロボティクス学科) 数学演習:行列とベクトルの計算 6 / 32
表記
abT =
3−21
[2 5 −3
]=
6 15 −9−4 −10 62 5 −3
行列
baT =
25−3
[3 −2 1
]=
6 −4 215 −10 5−9 6 −3
行列
平井 慎一 (立命館大学 ロボティクス学科) 数学演習:行列とベクトルの計算 7 / 32
行列
A =
3 2 −26 2 −1
−3 −8 7
行列
a =
36−3
b =
22−8
c =
−2−17
列ベクトル 列ベクトル 列ベクトル
A =
a b c
平井 慎一 (立命館大学 ロボティクス学科) 数学演習:行列とベクトルの計算 8 / 32
行列
A =
3 2 −26 2 −1
−3 −8 7
行列
pT =[
3 2 −2]行ベクトル
qT =[
6 2 −1]行ベクトル
rT =[−3 −8 7
]行ベクトル
A =
pT
qT
rT
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問題
1. スカラー a = 5,b = −3,ベクトル
a =
−23−4
, b =
−225
に対して,以下を計算せよ.計算できない場合はその理由を示せ.
(1) a b (2) a b
(3) aTb (4) abT
(5) bTb (6) bbT
(7) (bTa)a (8) (baT)a
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単位行列
3次の単位行列
I =
1 0 00 1 00 0 1
0を省略
I =
11
1
平井 慎一 (立命館大学 ロボティクス学科) 数学演習:行列とベクトルの計算 11 / 32
単位行列
11
1
3 41 50 8
=
3 41 50 8
IA = A
[2 5 73 0 1
] 11
1
=
[2 5 73 0 1
]
BI = B
平井 慎一 (立命館大学 ロボティクス学科) 数学演習:行列とベクトルの計算 12 / 32
単位行列
11
1
3 41 50 8
=
3 41 50 8
IA = A
[2 5 73 0 1
] 11
1
=
[2 5 73 0 1
]
BI = B
平井 慎一 (立命館大学 ロボティクス学科) 数学演習:行列とベクトルの計算 12 / 32
対角行列
5−4
2
, −1
11
, √
20.1
12
, · · ·
∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗
∗ 対角要素∗ 非対角要素
平井 慎一 (立命館大学 ロボティクス学科) 数学演習:行列とベクトルの計算 13 / 32
対角行列
5−4
2
3 41 50 8
=
15 20−4 −200 16
各行を定数倍
[2 5 73 0 1
] 5−4
2
=
[10 −20 1415 0 2
]
各列を定数倍
平井 慎一 (立命館大学 ロボティクス学科) 数学演習:行列とベクトルの計算 14 / 32
対角行列
5−4
2
3 41 50 8
=
15 20−4 −200 16
各行を定数倍
[2 5 73 0 1
] 5−4
2
=
[10 −20 1415 0 2
]
各列を定数倍
平井 慎一 (立命館大学 ロボティクス学科) 数学演習:行列とベクトルの計算 14 / 32
下三角行列
1−2 1−1 2 1
, 5
1 −24 1 3
, · · ·
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上三角行列
3 −2 −1−2 1
3
, 5 1 4
−2 13
, · · ·
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置換行列
11
1
, 1
11
, 1
11
, · · ·
各行,各列に一個だけ 1
11
1
xyz
=
zxy
ベクトルの要素を入れ替える
平井 慎一 (立命館大学 ロボティクス学科) 数学演習:行列とベクトルの計算 17 / 32
置換行列
11
1
, 1
11
, 1
11
, · · ·
各行,各列に一個だけ 1
11
1
xyz
=
zxy
ベクトルの要素を入れ替える
平井 慎一 (立命館大学 ロボティクス学科) 数学演習:行列とベクトルの計算 17 / 32
係数行列が単位行列
11
1
xyz
=
3−12
⇓ xyz
=
3−12
平井 慎一 (立命館大学 ロボティクス学科) 数学演習:行列とベクトルの計算 18 / 32
係数行列が単位行列
11
1
xyz
=
3−12
⇓ x
yz
=
3−12
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係数行列が対角行列
5−4
2
xyz
=
1012−2
⇓ xyz
=
10/512/(−4)−2/2
=
2−3−1
検算 5
−42
2−3−1
=
1012−2
平井 慎一 (立命館大学 ロボティクス学科) 数学演習:行列とベクトルの計算 19 / 32
係数行列が対角行列
5−4
2
xyz
=
1012−2
⇓ x
yz
=
10/512/(−4)−2/2
=
2−3−1
検算 5−4
2
2−3−1
=
1012−2
平井 慎一 (立命館大学 ロボティクス学科) 数学演習:行列とベクトルの計算 19 / 32
係数行列が対角行列
5−4
2
xyz
=
1012−2
⇓ x
yz
=
10/512/(−4)−2/2
=
2−3−1
検算 5
−42
2−3−1
=
1012−2
平井 慎一 (立命館大学 ロボティクス学科) 数学演習:行列とベクトルの計算 19 / 32
係数行列が下三角行列
51 −24 1 3
xyz
=
106−9
⇓
5x = 10 =⇒ x = 2
1× 2 + (−2)y = 6 =⇒ y = −2
4× 2 + 1× (−2) + 3z = −9 =⇒ z = −5
検算 51 −24 1 3
2−2−5
=
5× 21× 2 + (−2)× (−2)4× 2 + 1× (−2) + 3× (−5)
平井 慎一 (立命館大学 ロボティクス学科) 数学演習:行列とベクトルの計算 20 / 32
係数行列が下三角行列
51 −24 1 3
xyz
=
106−9
⇓
5x = 10 =⇒ x = 2
1× 2 + (−2)y = 6 =⇒ y = −2
4× 2 + 1× (−2) + 3z = −9 =⇒ z = −5
検算 51 −24 1 3
2−2−5
=
5× 21× 2 + (−2)× (−2)4× 2 + 1× (−2) + 3× (−5)
平井 慎一 (立命館大学 ロボティクス学科) 数学演習:行列とベクトルの計算 20 / 32
係数行列が下三角行列
51 −24 1 3
xyz
=
106−9
⇓
5x = 10 =⇒ x = 2
1× 2 + (−2)y = 6 =⇒ y = −2
4× 2 + 1× (−2) + 3z = −9 =⇒ z = −5
検算 51 −24 1 3
2−2−5
=
5× 21× 2 + (−2)× (−2)4× 2 + 1× (−2) + 3× (−5)
平井 慎一 (立命館大学 ロボティクス学科) 数学演習:行列とベクトルの計算 20 / 32
係数行列が上三角行列
3 −2 −1−2 1
3
xyz
=
7−33
⇓
3z = 3 =⇒ z = 1
(−2)y + 1× 1 = −3 =⇒ y = 2
3x + (−2)× 2 + (−1)× 1 = 7 =⇒ x = 4
検算 3 −2 −1−2 1
3
421
=
3× 4 + (−2)× 2 + (−1)× 1(−2)× 2 + 1× 1
3× 1
平井 慎一 (立命館大学 ロボティクス学科) 数学演習:行列とベクトルの計算 21 / 32
係数行列が上三角行列
3 −2 −1−2 1
3
xyz
=
7−33
⇓
3z = 3 =⇒ z = 1
(−2)y + 1× 1 = −3 =⇒ y = 2
3x + (−2)× 2 + (−1)× 1 = 7 =⇒ x = 4
検算 3 −2 −1−2 1
3
421
=
3× 4 + (−2)× 2 + (−1)× 1(−2)× 2 + 1× 1
3× 1
平井 慎一 (立命館大学 ロボティクス学科) 数学演習:行列とベクトルの計算 21 / 32
係数行列が上三角行列
3 −2 −1−2 1
3
xyz
=
7−33
⇓
3z = 3 =⇒ z = 1
(−2)y + 1× 1 = −3 =⇒ y = 2
3x + (−2)× 2 + (−1)× 1 = 7 =⇒ x = 4
検算 3 −2 −1−2 1
3
421
=
3× 4 + (−2)× 2 + (−1)× 1(−2)× 2 + 1× 1
3× 1
平井 慎一 (立命館大学 ロボティクス学科) 数学演習:行列とベクトルの計算 21 / 32
LU分解
3 −2 −1−6 2 3−3 −2 6
=
1−2 1−1 2 1
3 −2 −1−2 1
3
下三角行列 上三角行列
(対角要素はすべて 1)
平井 慎一 (立命館大学 ロボティクス学科) 数学演習:行列とベクトルの計算 22 / 32
LU分解
3 −2 −1−6 2 3−3 −2 6
=
1 0 0−2 1 0−1 2 1
3 −2 −10 −2 10 0 3
下三角行列 上三角行列
(対角要素はすべて 1)
平井 慎一 (立命館大学 ロボティクス学科) 数学演習:行列とベクトルの計算 23 / 32
LU分解
3 −2 −1−6 2 3−3 −2 6
=
1 0 0−2 1 0−1 2 1
3 −2 −10 −2 10 0 3
下三角行列 上三角行列
(対角要素はすべて 1)
平井 慎一 (立命館大学 ロボティクス学科) 数学演習:行列とベクトルの計算 23 / 32
LU分解
3 −2 −1−6 2 3−3 −2 6
=
1 0 0−2 1 0−1 2 1
3 −2 −10 −2 10 0 3
下三角行列 上三角行列
(対角要素はすべて 1)
平井 慎一 (立命館大学 ロボティクス学科) 数学演習:行列とベクトルの計算 23 / 32
LU分解
3 −2 −1−6 2 3−3 −2 6
=
1 0 0−2 1 0−1 2 1
3 −2 −10 −2 10 0 3
下三角行列 上三角行列
(対角要素はすべて 1)
平井 慎一 (立命館大学 ロボティクス学科) 数学演習:行列とベクトルの計算 23 / 32
LU分解
3 −2 −1−6 2 3−3 −2 6
=
1 0 0−2 1 0−1 2 1
3 −2 −10 −2 10 0 3
下三角行列 上三角行列
(対角要素はすべて 1)
平井 慎一 (立命館大学 ロボティクス学科) 数学演習:行列とベクトルの計算 23 / 32
LU分解
3 −2 −1−6 2 3−3 −2 6
=
1 0 0−2 1 0−1 2 1
3 −2 −10 −2 10 0 3
下三角行列 上三角行列
(対角要素はすべて 1)
平井 慎一 (立命館大学 ロボティクス学科) 数学演習:行列とベクトルの計算 23 / 32
LU分解
3 −2 −1−6 2 3−3 −2 6
=
1 0 0−2 1 0−1 2 1
3 −2 −10 −2 10 0 3
下三角行列 上三角行列
(対角要素はすべて 1)
平井 慎一 (立命館大学 ロボティクス学科) 数学演習:行列とベクトルの計算 23 / 32
LU分解
3 −2 −1−6 2 3−3 −2 6
=
1 0 0−2 1 0−1 2 1
3 −2 −10 −2 10 0 3
下三角行列 上三角行列
(対角要素はすべて 1)
平井 慎一 (立命館大学 ロボティクス学科) 数学演習:行列とベクトルの計算 23 / 32
LU分解
3 −2 −1−6 2 3−3 −2 6
=
1 0 0−2 1 0−1 2 1
3 −2 −10 −2 10 0 3
下三角行列 上三角行列
(対角要素はすべて 1)
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LU分解
任意の正方行列
A =
3 −2 −1−6 2 3−3 −2 6
LU分解 (LU decomposition)
A = LU
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LU分解のアルゴリズム
3 −2 −1−6 2 3−3 −2 6
=
1 0 0l21 1 0l31 l32 1
u11 u12 u130 u22 u230 0 u33
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LU分解のアルゴリズム
3 −2 −1−6 2 3−3 −2 6
=
1 0 0l21 1 0l31 l32 1
u11 u12 u130 u22 u230 0 u33
3 = 1× u11 =⇒ u11 = 3
平井 慎一 (立命館大学 ロボティクス学科) 数学演習:行列とベクトルの計算 25 / 32
LU分解のアルゴリズム
3 −2 −1−6 2 3−3 −2 6
=
1 0 0l21 1 0l31 l32 1
3 u12 u130 u22 u230 0 u33
3 = 1× u11 =⇒ u11 = 3
平井 慎一 (立命館大学 ロボティクス学科) 数学演習:行列とベクトルの計算 25 / 32
LU分解のアルゴリズム
3 −2 −1−6 2 3−3 −2 6
=
1 0 0l21 1 0l31 l32 1
3 u12 u130 u22 u230 0 u33
− 2 = 1× u12 =⇒ u12 = −2
平井 慎一 (立命館大学 ロボティクス学科) 数学演習:行列とベクトルの計算 25 / 32
LU分解のアルゴリズム
3 −2 −1−6 2 3−3 −2 6
=
1 0 0l21 1 0l31 l32 1
3 − 2 u130 u22 u230 0 u33
− 2 = 1× u12 =⇒ u12 = −2
平井 慎一 (立命館大学 ロボティクス学科) 数学演習:行列とベクトルの計算 25 / 32
LU分解のアルゴリズム
3 −2 −1−6 2 3−3 −2 6
=
1 0 0l21 1 0l31 l32 1
3 − 2 u130 u22 u230 0 u33
− 1 = 1× u13 =⇒ u13 = −1
平井 慎一 (立命館大学 ロボティクス学科) 数学演習:行列とベクトルの計算 25 / 32
LU分解のアルゴリズム
3 −2 −1−6 2 3−3 −2 6
=
1 0 0l21 1 0l31 l32 1
3 − 2 − 10 u22 u230 0 u33
− 1 = 1× u13 =⇒ u13 = −1
平井 慎一 (立命館大学 ロボティクス学科) 数学演習:行列とベクトルの計算 25 / 32
LU分解のアルゴリズム
3 −2 −1−6 2 3−3 −2 6
=
1 0 0l21 1 0l31 l32 1
3 − 2 − 10 u22 u230 0 u33
− 6 = l21 × 3 =⇒ l21 = −2
平井 慎一 (立命館大学 ロボティクス学科) 数学演習:行列とベクトルの計算 25 / 32
LU分解のアルゴリズム
3 −2 −1−6 2 3−3 −2 6
=
1 0 0− 2 1 0l31 l32 1
3 − 2 − 10 u22 u230 0 u33
− 6 = l21 × 3 =⇒ l21 = −2
平井 慎一 (立命館大学 ロボティクス学科) 数学演習:行列とベクトルの計算 25 / 32
LU分解のアルゴリズム
3 −2 −1−6 2 3−3 −2 6
=
1 0 0− 2 1 0l31 l32 1
3 − 2 − 10 u22 u230 0 u33
2 = (−2)× (−2) + 1× u22 =⇒ u22 = −2
平井 慎一 (立命館大学 ロボティクス学科) 数学演習:行列とベクトルの計算 25 / 32
LU分解のアルゴリズム
3 −2 −1−6 2 3−3 −2 6
=
1 0 0− 2 1 0l31 l32 1
3 − 2 − 10 − 2 u230 0 u33
2 = (−2)× (−2) + 1× u22 =⇒ u22 = −2
平井 慎一 (立命館大学 ロボティクス学科) 数学演習:行列とベクトルの計算 25 / 32
LU分解のアルゴリズム
3 −2 −1−6 2 3−3 −2 6
=
1 0 0− 2 1 0l31 l32 1
3 − 2 − 10 − 2 u230 0 u33
3 = (−2)× (−1) + 1× u23 =⇒ u23 = 1
平井 慎一 (立命館大学 ロボティクス学科) 数学演習:行列とベクトルの計算 25 / 32
LU分解のアルゴリズム
3 −2 −1−6 2 3−3 −2 6
=
1 0 0− 2 1 0l31 l32 1
3 − 2 − 10 − 2 10 0 u33
3 = (−2)× (−1) + 1× u23 =⇒ u23 = 1
平井 慎一 (立命館大学 ロボティクス学科) 数学演習:行列とベクトルの計算 25 / 32
LU分解のアルゴリズム
3 −2 −1−6 2 3−3 −2 6
=
1 0 0− 2 1 0l31 l32 1
3 − 2 − 10 − 2 10 0 u33
− 3 = l31 × 3 =⇒ l31 = −1
平井 慎一 (立命館大学 ロボティクス学科) 数学演習:行列とベクトルの計算 25 / 32
LU分解のアルゴリズム
3 −2 −1−6 2 3−3 −2 6
=
1 0 0− 2 1 0− 1 l32 1
3 − 2 − 10 − 2 10 0 u33
− 3 = l31 × 3 =⇒ l31 = −1
平井 慎一 (立命館大学 ロボティクス学科) 数学演習:行列とベクトルの計算 25 / 32
LU分解のアルゴリズム
3 −2 −1−6 2 3−3 −2 6
=
1 0 0− 2 1 0− 1 l32 1
3 − 2 − 10 − 2 10 0 u33
− 2 = (−1)× (−2) + l32 × (−2) =⇒ l32 = 2
平井 慎一 (立命館大学 ロボティクス学科) 数学演習:行列とベクトルの計算 25 / 32
LU分解のアルゴリズム
3 −2 −1−6 2 3−3 −2 6
=
1 0 0− 2 1 0− 1 2 1
3 − 2 − 10 − 2 10 0 u33
− 2 = (−1)× (−2) + l32 × (−2) =⇒ l32 = 2
平井 慎一 (立命館大学 ロボティクス学科) 数学演習:行列とベクトルの計算 25 / 32
LU分解のアルゴリズム
3 −2 −1−6 2 3−3 −2 6
=
1 0 0− 2 1 0− 1 2 1
3 − 2 − 10 − 2 10 0 u33
6 = (−1)× (−1) + 2× 1 + 1× u33 =⇒ u33 = 3
平井 慎一 (立命館大学 ロボティクス学科) 数学演習:行列とベクトルの計算 25 / 32
LU分解のアルゴリズム
3 −2 −1−6 2 3−3 −2 6
=
1 0 0− 2 1 0− 1 2 1
3 − 2 − 10 − 2 10 0 3
6 = (−1)× (−1) + 2× 1 + 1× u33 =⇒ u33 = 3
平井 慎一 (立命館大学 ロボティクス学科) 数学演習:行列とベクトルの計算 25 / 32
LU分解のアルゴリズム
3 −2 −1−6 2 3−3 −2 6
=
1 0 0− 2 1 0− 1 2 1
3 − 2 − 10 − 2 10 0 3
平井 慎一 (立命館大学 ロボティクス学科) 数学演習:行列とベクトルの計算 25 / 32
連立一次方程式
3 −2 −1−6 2 3−3 −2 6
xyz
=
3−7−2
⇓ 1
−2 1−1 2 1
3 −2 −1−2 1
3
xyz
=
3−7−2
⇓
平井 慎一 (立命館大学 ロボティクス学科) 数学演習:行列とベクトルの計算 26 / 32
連立一次方程式 1
−2 1−1 2 1
pqr
=
3−7−2
3 −2 −1
−2 13
xyz
=
pqr
平井 慎一 (立命館大学 ロボティクス学科) 数学演習:行列とベクトルの計算 27 / 32
連立一次方程式 1
−2 1−1 2 1
pqr
=
3−7−2
3 −2 −1
−2 13
xyz
=
pqr
⇓
p = 3
q = −7− (−2)p = −1
r = −2− (−1)p − 2q = 3
平井 慎一 (立命館大学 ロボティクス学科) 数学演習:行列とベクトルの計算 27 / 32
連立一次方程式 1
−2 1−1 2 1
3−13
=
3−7−2
3 −2 −1
−2 13
xyz
=
3−13
⇓
3z = 3 ⇒ z = 1
−2y = −1− z = −2 ⇒ y = 1
3x = 3− (−2)y − (−1)z = 6 ⇒ x = 2
平井 慎一 (立命館大学 ロボティクス学科) 数学演習:行列とベクトルの計算 27 / 32
連立一次方程式 1
−2 1−1 2 1
3−13
=
3−7−2
3 −2 −1
−2 13
211
=
3−13
⇓
3z = 3 ⇒ z = 1
−2y = −1− z = −2 ⇒ y = 1
3x = 3− (−2)y − (−1)z = 6 ⇒ x = 2
平井 慎一 (立命館大学 ロボティクス学科) 数学演習:行列とベクトルの計算 27 / 32
問題
2. 以下の行列の LU分解を求めよ
(1)
[3 16 4
](2)
[−1 11 −2
]
(3)
[1 11 1
](4)
1 −1 1−1 2 −21 −2 3
(5)
[1/4 1/105/2 6/5
](6)
1 −1/2 2−1/2 5/4 −2
2 −2 6
平井 慎一 (立命館大学 ロボティクス学科) 数学演習:行列とベクトルの計算 28 / 32
MATLAB>> A = [ 1, -1/2, 2; -1/2, 5/4, -2; 2, -2, 6 ]
A =
1.0000 -0.5000 2.0000
-0.5000 1.2500 -2.0000
2.0000 -2.0000 6.0000
>> [L,U,P] = lu(A)
L =
1.0000 0 0
-0.2500 1.0000 0
0.5000 0.6667 1.0000
U =
2.0000 -2.0000 6.0000
0 0.7500 -0.5000
0 0 -0.6667
平井 慎一 (立命館大学 ロボティクス学科) 数学演習:行列とベクトルの計算 29 / 32
MATLABP =
0 0 1
0 1 0
1 0 0
>> P*A
ans =
2.0000 -2.0000 6.0000
-0.5000 1.2500 -2.0000
1.0000 -0.5000 2.0000
>> L*U
ans =
2.0000 -2.0000 6.0000
-0.5000 1.2500 -2.0000
1.0000 -0.5000 2.0000
平井 慎一 (立命館大学 ロボティクス学科) 数学演習:行列とベクトルの計算 30 / 32
MATLAB>> A
A =
1.0000 -0.5000 2.0000
-0.5000 1.2500 -2.0000
2.0000 -2.0000 6.0000
>> P’*L*U
ans =
1.0000 -0.5000 2.0000
-0.5000 1.2500 -2.0000
2.0000 -2.0000 6.0000
PA = LU
A = PTLU
平井 慎一 (立命館大学 ロボティクス学科) 数学演習:行列とベクトルの計算 31 / 32
まとめ
表記スカラー,列ベクトルと行ベクトル,行列
特徴的な行列単位行列,対角行列,下三角行列,上三角行列,置換行列
連立一次方程式係数行列が単位行列,対角行列の場合
係数行列が下三角行列,上三角行列の場合
LU分解LU分解の計算
LU分解を用いて連立一次方程式を解く
平井 慎一 (立命館大学 ロボティクス学科) 数学演習:行列とベクトルの計算 32 / 32
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