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Universidade Federal do ABC
Eng. de Instrumentação, Automação e Robótica
Circuitos Elétricos II
José Azcue, Prof. Dr.
Potência em Sistemas Trifásicos
2
Potência em Carga Monofásica
Potência instantânea:
1cos( )cos( ) cos( ) cos( )
2A B A B A B
𝑝 𝑡 = 𝑣 𝑡 𝑖 𝑡 = 2𝑉𝐼 cos 𝜔𝑡 cos 𝜔𝑡 − 𝜑
𝑖 𝑡 = 2𝐼cos(𝜔𝑡 − 𝜑)
𝑣 𝑡 = 2𝑉cos(𝜔𝑡)
𝑖 𝑡 = 𝐼𝑚𝑎𝑥cos(𝜔𝑡 − 𝜑)
𝑣 𝑡 = 𝑉𝑚𝑎𝑥cos(𝜔𝑡)
3
( ) cos cos(2 ) p t VI VI t
potência flutuante (oscilante ou pulsante)
Potência instantânea
P = potência média (ativa ou real) [W, kW]
A potência associada a tensões e correntes senoidais tem um
parcela não constante (potência flutuante) que pode causar
diversos problemas dependendo da aplicação.
Nas máquinas elétricas a potência flutuante pode causar fortes
vibrações mecânicas.
4
Componente que depende da potência
reativa (Q) potência vai-e-vem (valor médio nulo)
Componente que depende da potência
média (P)
Potência instantânea:
Trigonometria: cos( ) cos cosA B A B senAsenB
𝑝 𝑡 = 𝑉𝐼 cos(𝜑) + 𝑉𝐼 cos(𝜑) cos(2𝜔𝑡) + 𝑉𝐼 sin(𝜑) sin(2𝜔𝑡)
Potência Reativa [var, kvar]
Q P P
Potência Média [W, kW]
P
𝑝 𝑡 = 𝑉𝐼 cos(𝜑) + 𝑉𝐼 cos(2𝜔𝑡 − 𝜑) 𝑝 𝑡 = 𝑣 𝑡 𝑖 𝑡
5
potência vai-e-vem (valor médio nulo)
Componente que
depende de P
Existe se 𝝋 ≠ 𝟗𝟎° Existe se 𝝋 ≠ 𝟎°
𝑝 𝑡 = 𝑉𝐼 cos 𝜑 (1 + cos(2𝜔𝑡)) + 𝑉𝐼 sin(𝜑) sin(2𝜔𝑡) P Q
2P
0
Q
0
-Q
6
Potência aparente
𝑆 = 𝑉𝑟𝑚𝑠𝐼𝑟𝑚𝑠 (VA, kVA)
Fator de potência
𝑭𝑷 =𝑃
𝑆= cos 𝜃𝑣 − 𝜃𝑖 = cos(𝜑)
𝑷 = 𝑺 𝐜𝐨𝐬(𝝋)
𝑸 = 𝑺 𝐬𝐢𝐧(𝝋) 𝑺
FP = 1
FP = 0
0 ≤ FP ≤ 1
FP
[indutivo]
[capacitivo]
𝜑 = tan−1𝑄
𝑃
𝑍 =𝑉
𝐼 =
𝑉𝑚∠𝜃𝑣𝐼𝑚∠𝜃𝑖
=𝑉𝑚𝐼𝑚
∠(𝜃𝑣−𝜃𝑖)
𝝋
7
Potência Aparente Complexa - Monofásico
Então:
𝑆 = 𝑉𝑟𝑚𝑠𝐼𝑟𝑚𝑠∠ 𝜑
𝑆 = 𝑉 𝑟𝑚𝑠𝐼 𝑟𝑚𝑠∗
𝑆 = 𝑉𝑟𝑚𝑠𝐼𝑟𝑚𝑠𝑐𝑜𝑠(𝜑) + 𝒋𝑉𝑟𝑚𝑠𝐼𝑟𝑚𝑠𝑠𝑖𝑛(𝜑)
P Q
𝑆 = 𝑃 + 𝑗𝑄
𝑆 =1
2𝑉 𝐼 ∗
𝜑 = 𝜃𝑣 − 𝜃𝑖
𝑆 = (𝑉𝑟𝑚𝑠∠𝜃𝑣)(𝐼𝑟𝑚𝑠∠−𝜃𝑖)
𝑆 = 𝑉𝑟𝑚𝑠𝐼𝑟𝑚𝑠∠(𝜃𝑣−𝜃𝑖)
P potência média (W) (ou pot. ativa, ou pot. real)
Q potência reativa (var) (ou pot. imaginaria)
Se: 𝑆 = S∠ 𝜑
8
𝑆 = 𝑉 𝑟𝑚𝑠𝐼 𝑟𝑚𝑠∗
𝑆 = (𝐼 𝑟𝑚𝑠𝒁)𝐼 𝑟𝑚𝑠∗
𝑆 = 𝐼 𝑟𝑚𝑠𝐼 𝑟𝑚𝑠∗ 𝒁
𝑆 = 𝐼 𝑟𝑚𝑠2𝒁
𝑆 = 𝑉 𝑟𝑚𝑠𝑉 𝑟𝑚𝑠
𝒁
∗
𝑆 = 𝑉 𝑟𝑚𝑠𝑉 𝑟𝑚𝑠
∗
𝒁∗
𝑆 =𝑉 𝑟𝑚𝑠
2
𝒁∗
𝑆 = 𝐼 𝑟𝑚𝑠2(𝑅 + 𝑗𝑋)
𝑆 = 𝐼 𝑟𝑚𝑠2𝑅 + 𝑗 𝐼 𝑟𝑚𝑠
2𝑋
P Q 𝑋𝐿 = 𝜔𝐿
𝑋𝐶 = −1
𝜔𝐶
9
Potência em Sistemas Trifásicos Equilibrados
Em uma carga trifásica equilibrada ligada em Estrela ou
Triângulo, a potência instantânea recebida pela carga é:
)()()()()()()()1( 332211 titvtitvtitvtp
Supondo o sistema simétrico e equilibrado, sequência
positiva e a defasagem entre v(t) e i(t):
)3
2cos()()
3
2cos()()4(
)3
2cos()()
3
2cos()()3(
)cos()()cos()()2(
max3max3
max2max2
max1max1
wtItiwtVtv
wtItiwtVtv
wtItiwtVtv
10
Substituindo (2), (3) e (4) em (1) e usando algumas identidades
trigonométricas
3
82cos
3
42cos2coscos3
2
.)( maxmax wtwtwt
IVtp
Os 3 últimos termos se anulam !
A potência instantânea é constante e não há potência flutuante !
cos32
.)( maxmax
IVtp cos3
2
22)( rmsrms
IVtp
𝑝 𝑡 = 3𝑉𝑟𝑚𝑠𝐼𝑟𝑚𝑠 cos 𝜑
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Neste caso, o torque desenvolvido no eixo de um motor
trifásico é constante, o que significa menos vibração nas
máquinas acionadas por sistemas trifásicos.
É constante! Não varia com o tempo.
Potência Instantânea
Não há potência flutuante !
fase, RMS linha, RMS
𝑝 𝑡 = 3𝑉𝑓𝐼𝑓 cos 𝜑 = 3𝑉𝐿𝐼𝐿 cos(𝜑)
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φ → defasagem entre a tensão e a corrente na carga = fase da
impedância de carga
𝐹𝑃 =𝑃
𝑆 = cos 𝜑
𝑆 = 3𝑉𝑙𝐼𝑙∠𝜑 = 𝑃 + 𝑗𝑄 Potência aparente complexa (VA, kVA)
𝒁𝑐 = 𝒁𝒄 ∠𝜑
𝒁𝑐 =𝑉 𝑓
𝐼 𝑓
Potência 1𝜙: 𝑆 = 𝑉𝑟𝑚𝑠𝐼𝑟𝑚𝑠∠ 𝜑
Potência 3𝜙:
𝑆 = 𝑆 = 𝑃2 + 𝑄2 = 3𝑉𝑙𝐼𝑙 Potência aparente (VA, kVA)
𝑆 = 3𝑉𝑟𝑚𝑠𝐼𝑟𝑚𝑠∠𝜑 = 3𝑉𝑙𝐼𝑙∠𝜑
RMS
13
𝑆 = 3𝑉𝑙𝐼𝑙∠𝜑 = 3𝑉𝑙𝐼𝑙 cos 𝜑 + 𝑗 3𝑉𝑙𝐼𝑙 sin 𝜑 = 𝑃 + 𝑗𝑄
Potência Ativa (ou real)
𝑃 = 3𝑉𝑙𝐼𝑙 cos 𝜑 [ W, kW ]
Atraso da corrente de fase em relação à tensão de fase φ =
Potência Reativa (ou imaginaria)
[ var, kvar ]
Carga indutiva Q > 0
Carga capacitiva Q < 0 Q = 3𝑉𝑙𝐼𝑙 sin 𝜑
14
Carga indutiva:
Carga capacitiva:
0TQ
0TQ
Triângulo de Potências
Pap [VA]
PT [W]
QT [VAr]
S
[var]
15
Potência em Sistemas Trifásicos Desequilibrados
𝑆 = 𝑆 1 + 𝑆 2 + 𝑆 3 = (𝑃1+𝑃2 + 𝑃3) + 𝑗 𝑄1 + 𝑄2 + 𝑄3 = 𝑃𝑡 + 𝑗𝑄𝑡
𝑆 = 𝑆 = 𝑃𝑡2 + 𝑄𝑡
2
Fator de potência
𝐹𝑃 =𝑃𝑡
𝑆 =
𝑃𝑡
𝑃𝑡2 + 𝑄𝑡
2
Somam-se as potências aparentes complexas nas 3 fases:
[ VA, kVA ]
16
Correção de Fator de Potência
O processo de aumentar o FP sem alterar a tensão ou corrente da
carga original é conhecido como correção de fator de potência.
Diagrama fasorial
𝜃1
𝜃2
𝑽
𝑰𝑳
𝑰
𝑰𝑪
17
Correção de Fator de Potência
18
Correção de Fator de Potência
Vrede Carga RL Capacitor
V=220 Vef 𝑄𝐿 = 3𝑘𝑣𝑎𝑟 𝑄𝐶 = −1𝑘𝑣𝑎𝑟
f=60Hz 𝑃 = 6𝑘𝑊
19
Correção de Fator de Potência
Vrede Carga RL Capacitor
V=220 Vef 𝑄𝐿 = 3𝑘𝑣𝑎𝑟 𝑄𝐶 = −3𝑘𝑣𝑎𝑟
f=60Hz 𝑃 = 6𝑘𝑊
20
Correção de Fator de Potência
𝑄1 potência reativa inicial
𝑄2 potência reativa final (após a correção)
𝑄𝐶 =𝑉𝑟𝑚𝑠
2
𝑋𝑐 𝑄𝐿 =
𝑉𝑟𝑚𝑠2
𝑋𝐿
21
Problema 12.29
Um sistema trifásico balanceado Y − ∆ , tem 𝑉𝑎𝑛 = 240∠0° V eficazes e 𝑍∆ = 51 + 𝑗45 . Se a impedância da linha por fase é 0,4 + 𝑗1,2Ω, encontre a potência complexa total entregue a carga.
Rpta: 𝑆 = 5,197 + 𝑗4,586 kVA
22
Problema 12.30
O valor eficaz da tensão de linha é 208V. Encontre a
potência média entregue à carga.
Rpta: P=1,02 kW
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Problema 12.33
Um fonte trifásica entrega 4,8 kVA para uma carga
conectada em Y com uma tensão de fase de 208V e
um fator de potência de 0,9 (atrasado). Determine a
tensão e a corrente de linha da fonte.
Rpta: IL = 7,69𝐴; 𝑉𝐿 = 360,3𝑉
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Problema 12.54
Uma fonte trifásica conectada em estrela equilibrada
com 𝑉𝑝 = 210𝑉 RMS alimenta uma carga trifásica
conectada em estrela com impedância por fase
𝑍𝐴 = 80Ω , 𝑍𝐵 = 60 + 𝑗90Ω e 𝑍𝐶 = 𝑗80Ω . Calcule as correntes de linha e a potência complexa total
liberada para a carga, considerando:
a) Que os neutros estejam interligados.
b) Que os neutros não estejam interligados.
Rpta: (a)
𝐼 𝑎 = 2,625∠0°𝐴; 𝐼 𝑏 = 1,941∠ − 176,31°𝐴;
𝐼 𝑐 = 2,625∠30°𝐴; 𝐼 𝑛 = 3,19∠ − 158,14𝐴 𝑆 𝑇 = 777,4 + 𝑗890,48𝑉𝐴
Rpta: (b)
𝐼 𝑎 = 2,55∠ − 33,34°𝐴; 𝐼 𝑏 = 3,02∠ − 172,37°𝐴;
𝐼 𝑐 = 2,0018∠64,27°𝐴; 𝑆 𝑇 = 1,067 + 𝑗1,14𝑘𝑉𝐴
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Problema Prático 12.8
Suponha que as duas cargas
equilibradas sejam alimentadas por
uma linha de 60Hz, 840 Vrms. A carga
1 é conectada em estrela com 30+j40 Ω
por fase, enquanto a carga 2 é um
motor trifásico equilibrado absorvendo
48 kW com fator de potência 0,8
(atrasado). Supondo-se a sequência abc,
calcule:
(a) a potência complexa absorvida pela
carga associada;
(b) o valor nominal de kvar de cada um
dos três capacitores ligados em
triângulo em paralelo com a carga para
elevar o fator de potência para o valor
unitário;
(c) a corrente drenada da fonte na
condição de fator de potência unitário. 𝑅𝑝𝑡𝑎𝑠: 𝑎 56,47 + 𝑗47,29𝑘𝑉𝐴
𝑏 15,76𝑘𝑣𝑎𝑟 𝑐 38,81𝐴
𝐶 = 59,26𝑢𝐹
26
Resumo
A geração, transmissão e distribuição de energia
elétrica são mais eficientes em sistemas
trifásicos, que utilizam três tensões de mesma
amplitude e frequência, defasadas entre si de
1200.
Sequência de fases é a ordem na qual ocorrem
as tensões de um gerador trifásico simétrico em
relação ao tempo. Em uma
sequência𝐴𝐵𝐶positiva, 𝑉 𝐴𝐵está adiantada em relação a 𝑉 𝐵𝐶 que por sua vez, está adiantada em relação a 𝑉 𝐶𝐴 de 120
0.
27
Resumo
Uma fonte trifásica é formada por três fontes de
tensão senoidais ligadas em 𝐘 (estrela) ou em 𝜟 (triângulo ou delta).
A carga de um circuito trifásico é formada por
impedâncias ligadas em 𝐘 ou 𝜟.
A rede elétrica para ligar a fonte à carga pode ter
três ou quatro fios.
A corrente no fio neutro de uma ligação Y-Y
simétrica e equilibrada é zero.
28
Resumo
Os circuitos trifásicos podem ser analisados,
usando fasores e impedâncias, para
determinar a resposta em regime permanente
senoidal.
A forma mais fácil de analisar um circuito
trifásico simétrico e equilibrado é fazer os cálculos
do circuito monofásico correspondente a uma das
fases.
Uma carga em Δ pode ser substituída por uma
carga em Y equivalente usando uma
transformação Δ-Y.
29
Resumo
A corrente de linha em uma carga em Δ
equilibrada é igual a 3vezes a corrente de fase e está defasada de 300 em relação à corrente de fase. A tensão de linha de uma carga em Δ é igual
à tensão de fase.
A corrente de linha em uma carga em Y
equilibrada é igual à corrente de fase. A tensão de
linha de uma carga em Y é igual a 3vezes tensão de fase, estando 300 defasada em relação à mesma.
30
Resumo
Os cálculos de potência em trifásicos
(equilibrados ou desequilibrados) devem levar em
conta as três impedâncias de fase da carga, e são
normalmente realizados a partir das grandezas
de linha (tensões e correntes).
Para sistemas trifásicos simétricos e equilibrados,
as expressões para o cálculo das potências ativa,
reativa e aparente são as mesmas tanto para
cargas ligadas em Y como para cargas ligadas em
Δ.
O fator de potência de um sistema trifásico
simétrico e equilibrado é calculado como cosϕ,
sendo ϕ o ângulo da impedância Z da carga.
31
Próxima Aula
Leitura: Cap 15 – livro texto
1. Transformada de Laplace
32
Referências
1. ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. “Fundamentos de
Circuitos Elétricos”, 5ª edição, Ed. Mc Graw Hill, 2013.
2. Slides da prof. Denise,
https://sites.google.com/site/circuitoseletricos2ufabc/profa-
denise/aulas, acesso em fevereiro de 2018.
3. ORSINI, L.Q.; CONSONNI, D. “Curso de Circuitos Elétricos”, Vol.
1( 2ª Ed. – 2002 ), Ed. Blücher, São Paulo.
4. CONSONNI, D. “Transparências de Circuitos Elétricos I”, EPUSP.
5. NILSSON, J.W., RIEDEL, S. A. “Circuitos Elétricos”, 8ª Ed.,
Editora Pearson, 2009.
https://sites.google.com/site/circuitoseletricos2ufabc/profa-denise/aulashttps://sites.google.com/site/circuitoseletricos2ufabc/profa-denise/aulashttps://sites.google.com/site/circuitoseletricos2ufabc/profa-denise/aulashttps://sites.google.com/site/circuitoseletricos2ufabc/profa-denise/aulasRecommended