Códigos Numéricos

•sus dígitos tienen una correspondencia exacta con los valores de una variable lógica

1- Una magnitud numérica expresada en código binario requiere más de tres veces tantos dígitos como el número equivalente

2- Las conversines de binario a decimal y inversa y directa son relativamente complicadas, cada digito binario puede afectar a cada decimal y viceversa

Para subsanar la primer desventaja se pueden utilizar los códigos octal o hexadecimal.

Para la segunda, se puede utilizar el sistema de representación decimal codificado binario (BCD) o el código denomindo reflejado

0 0

0 1

1 0

1 1

Cara interna del disco

Cara externa del disco

10 11

0001

2 cambios

Palpadores

1 cambio

2 cambios

0 0

0 1

1 1

1 0

Cara interna del disco

Cara externa del disco

11 10

0001

1 cambio

Palpadores

1 cambio

1 cambio

porque al pasar de una combinación

válida del código a la siguiente, se cambia

un único bit

porque también hay un bit de diferencia entre la última y la

primera combinación válida

ES UN CÓDIGO CONTINÚO Y CÍCLICO

conjunto de significado o reglas asociadas a un grupo de

bits. Toda combinación de datos posee un significado

determinado, basado en reglas determinadas

Ejemplo: Código Gray para tres bits y binario para tres bits

Gray

0 000 101 101 001 011 110 11

1 0 0

Binario

0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1

Ejemplo: Código Gray para cuatro bits y binario para cuatro bits

Gray0 0 0 00 0 0 10 0 1 10 0 1 00 1 1 00 1 1 10 1 0 10 1 0 01 1 0 01 1 0 11 1 1 11 1 1 01 0 1 01 0 1 11 0 0 11 0 0 0

Binario0 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 01 1 1 11 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 01 1 0 11 1 1 01 1 1 1

ConversiónDe Binario a Gray De Gray a Binario

• Si Bn = Bn + 1 Gn = 0

• Si Bn = Bn + 1 Gn = 1

• Si Bn = Gn + 1 Bn = 0

• Si Bn = Gn + 1 Bn = 0

010011111

001110101

G

B

001110101

010011111

B

G

Código Binario

D C B A Z0 0 0 0 1

0 0 0 1 0

0 0 1 0 1

0 0 1 1 0

0 1 0 0 1

0 1 0 1 1

0 1 1 0 1

0 1 1 1 1

1 0 0 0 1

1 0 0 1 0

1 0 1 0 1

1 0 1 1 0

1 1 0 0 0

1 1 0 1 1

1 1 1 0 0

1 1 1 1 1

Código Grey

D C B A Z0 0 0 0

0 0 0 1

0 0 1 1

0 0 1 0

0 1 1 0

0 1 1 1

0 1 0 1

0 1 0 0

1 1 0 0

1 1 0 1

1 1 1 1

1 1 1 0

1 0 1 0

1 0 1 1

1 0 0 1

1 0 0 0

Mapa K

00 01 11 10

00

01

11

10

BADC

1

1

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

11

1001 1

11

0

0

1

1

0

0

0

0

1

1

ANALISIS SINTAXIS

dado un circuito encontrar la función lógica que cumple a su salida

encontrar el circuito suponiendo que se parte de una especificación

1. Tabular la especificación (hacer tabla de verdad)

2. Mapearla (hacer el mapa de Veitch-Karnaugh)

3. Simplificarla (hacer la expresión más simple)

4. Implementarla (colocar las compuertas para realizar esa función)

Mapa K

1

0

10AB

B A Z

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

0 1

1 0

Mapa de Veitch-Karnaugh:Mapa de Veitch-Karnaugh: Construcción con 2 variablesConstrucción con 2 variables

C B A Z

0 0 0 1

0 0 1 1

0 1 0 0

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 1 1

Mapa K

1

0

10110100BAC

1 1 00

1 1 10

Mapa de Veitch-Karnaugh:Mapa de Veitch-Karnaugh: Construcción con 3 variablesConstrucción con 3 variables

D C B A Z0 0 0 0 1

0 0 0 1 1

0 0 1 0 0

0 0 1 1 1

0 1 0 0 1

0 1 0 1 1

0 1 1 0 0

0 1 1 1 0

1 0 0 0 0

1 0 0 1 1

1 0 1 0 1

1 0 1 1 1

1 1 0 0 0

1 1 0 1 0

1 1 1 0 1

1 1 1 1 0

Mapa de Veitch-Karnaugh:Mapa de Veitch-Karnaugh: Construcción con 4 variablesConstrucción con 4 variables

Mapa K

00 01 11 10

00

01

11

10

1 1 01

1 1 00

0 1 11

0 0 10

BADC

00 01 11 10

00

01

11

10

BADC

111210910

1516final

141311

786501

3421comienzo00

10110100BADC

1. Se lo utiliza para sintetizar funciones lógicas en forma gráfica y rápida.

2. Muy cómodo para sintetizar problemas de más de dos variables de entrada.

3. Permite sintetizar funciones sin aplicar las leyes del álgebra de Boole.

4. Agrupando los “1” obtenemos expresiones con la suma de productos; mientras que si se agrupan los “0” se obtienen productos de la suma.

5. Para realizar el mapa K se utiliza el código Gray.

6. Se recorre de la siguiente manera:

A

A

BB1

0

10AB

1

0

10AB

A

A

B B

BB

1

0

10110100BA

C

1

0

10110100BA

C

1

0

10110100BA

C

A A A

C

C

A

11

10

01

00

10110100BADC

10

11

01

00

10110100BADC

10

11

01

00

10110100BADC

10

11

01

00

10110100BADC

A A

BB

A

A

A

A

A

¿Cómo podemos agrupar dos unos? 1

110

10AB

11

11

1

0

10110100BAC

1

1

11

10

11

01

00

10110100BA

DC

2 variables

3 variables 4 variables

¿Cómo podemos agrupar cuatro unos?

1111

10

10AB

1111

1

0

10110100BAC

11

11

1

0

10110100BAC

11

11

1

0

10110100BAC

11

11

10

11

01

00

10110100BA

DC

11

11

10

11

01

00

10110100BA

DC

1

1

1

1

10

11

01

00

10110100BA

DC

11

11

10

11

01

00

10110100BA

DC

2variables

3 variables

4 variables

¿Cómo podemos agrupar ocho unos? 1111

1

0

10110100BAC

10

11

01

00

10110100BA

DC

11

11

10

11

01

00

10110100BA

DC

3 variables

4 variables

1111

1111

1111

1

1

1

1

Dado el mapa K de una determinada función los pasos a seguir son:1. Enlazar la mayor cantidad de unos de la tabla con la menor cantidad posible de lazos.2. Indicar en punteado los lazos que tienen todos sus unos compartidos con otros lazos, o sea los implicantes

primos no esenciales.3. Probar que los implicantes primos cubren todos los “unos” del diagrama con la menor cantidad posible de

lazos4. Realizar un diagrama para cada solución mínima .5. Hallar las coordenadas de cada mintérmino y formar el producto correspondiente, desechando las variables

que no intervendrán en el mismo. Tener presente que en general un lazo de dos permitirá eliminar “n” variables.

¿Cómo simplificar los mintérminos?

1º Se simplifican los mintérminos que son adyacentes y se toman o agrupan de 2, 4, 8, 16...2n . Dos mintérminos son adyacentes cuando difieren en una letra.La suma de dos mintérminos adyacentes es igual al producto de las variables que tienen en común.

1

1

1

10

11

01

00

10110100BADC

ABCD

+

=1

DCBA

DCBA

CBA(D+D)=CBA

De sumar 2 mintérminos queda CBA2º Los mintérminos que no son adyacentes no se pueden simplificar (A, B, C, D)3º Si tomo dos mintérminos se elimina una variable, si tomo cuatro se eliminan dos variables

11

11

1

0

10110100BA

CABC + + +ABC ABC ABC =

= (A+A)BC + BC(A+A) = B(C+C) = B

1111

11

11

11

10

11

01

00

10110100BA

DC

1111

11

11

11

10

11

01

00

10110100BA

DC

Una misma función puede tener dos o más soluciones

Lazos redundantesAlgunas veces aunque se tenga

en cuenta todos los lazos mayores posibles, un

subconjunto de ellos puede cubrir todos los “unos” de esa

función, en estos casos existe un lazo redundante que viola el principio de que los “unos”

queden enlazados con el menor número de lazos posibles.

11

11

11

11

CBAABDCBADBADCZ

10

11

01

00

10110100BADC

Esta suma de productos no es mínima, dado que si bien se han tenido en cuenta los mayores lazos posibles, en este caso con un subconjunto. El lazo dibujado en

línea punteada que corresponde al producto CD es redundante, pues agrega

un sumando innecesario10

11

01

00

10110100BADC

11

11

11

11

CBAABDCBADBAZ

Cuando una variable de salida no se puede definir con un cero o con un uno en la tabla de verdad se coloca una “x” que significa redundancia o “no preocuparse”

Esto sucede cuando no nos interesa la función de salida o cuando se trata de estados prohibidos que no forman parte de algún código.

La redundancia se puede usar como un comodín, se puede tomar como uno o cero individualmente

Ejemplo: realizar un circuito que (a la salida) encienda una lámpara cuando en su entrada viene el código del 3 y el

código es el BCD natural

X1111

X0111

X1011

X0011

X1101

X0101

01001

00001

01110

00110

01010

00010

11100

00100

01000

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

000000

N°ZABCD

Estados prohibidos del BCD Natural

BCD Natural

(0-15)

3

xx00

xxxx

0000

0100

10

11

01

00

10110100BA

DC

A

B

C

Z

Z = ABC Z = ABCD

es el número de compuertas que atraviesa la señal para llegar a la salida. Cada nivel implica un retardo adicional de tiempo

2 Niveles

3 Niveles

A

B

C

Z

A

B

C

Z

Un riesgo es una breve excursión a un nivel lógico inesperado. La desigual propagación de los retardos en las compuertas puede dar lugar a riesgos. Se llama

riesgo a la salida “espuria transitoria” de un circuito lógico combinacional.

A + A = 1A

A

En las compuertas lógicas éste problema también existe

A Z = A + A

1

0

1

0

0

1

A

Z

ATIEMPO

t

t’

ideal

real por el retardo del inversor

Salida espuria transitoria

Momentáneamente en un tiempo “t”la señal pasó por cero, cuando debería

estar siempre en uno

A . A = 1

Momentáneamente en un tiempo “t” la señal pasó por uno, cuando debería

estar siempre en cero

1

0

1

0

0

1

A

Z

ATIEMPO

t

t’

ideal

real por el retardo del inversor

Salida espuria transitoria

A Z = A . A

cuando una señal debe permanecer constante y sin embargo toma

transitoriamente un valor distinto

cuando una señal que debe cambiar, lo hace un número

impar de veces mayor que uno

Debe hacer

Riesgo dinámico que puede importar o no según los teoremas.

1º Teorema: los circuitos lógicos de menos de tres niveles están libres de riesgos dinámicos2º Teorema: un circuito lógico que sea la implementación de una expresión simplificada de una expresión obtenida en Mapa K por agrupamiento de unos, está libre de riesgos estáticos en los ceros

3º Teorema: dual del anterior. Una función lógica por agrupamiento de ceros, está libre de riesgos estáticos en los unos

1

0 t

Z = C . C

en un momento pasa por cero al ser A = 1 y B = 1

En la conmutación puede ser que primero “rompe en A” y luego “hace en A” y el contacto es:

Romper antes de hacer,

implica riesgo

Hacer antes de romper

evita el riesgo

B = 1

C = 1

A = 1

A

B

con el agregado de una compuerta ABse evita el riesgo, dado que si A y B vale

“1”, entonces Z vale “1”

0100

0111

0001

0001

10

11

01

00

10110100BA

DC

0100

0111

0001

0001

10

11

01

00

10110100BA

DC

0100

0111

0001

0001

10

11

01

00

10110100BA

DC

El problema del riesgo existe cuando se

cambia de un minitérmino adyacente a otro pasando de un “1” a otro “1” de dos

grupos distintos, entonces para

solucionarlo de unir esa separación

Si se quiere ocupar tiene dos soluciones posibles

Con riesgo se tiene 3

términos

Libre de riesgo se tienen 6

Agrupando los “0” (ceros) Agrupando los “1” (unos)

Z = Suma de Productos (SP)1- Varias AND y una OR

2- Todas NAND

Z = Producto de Sumas (PS)7- Varias OR y una AND

8- Todas NOR

Z = Suma de productos

Z = Suma de Productos (SP)5- Varias AND y una NOR

6- Varias NAND y una AND

Z = Producto de Sumas (PS)3- Varias OR y una NAND4- Varias NOR y una OR

Z = Suma de Productos (SP)

CAABZ

A

B

A

C

AND OR NAND NAND

A

B

A

C

Z Z

)()( CABAZ

A

B

AC

Z

OR NAND

A

B

AC

Z

NOR OR

CABAZ

A

A

C

B

AND NOR

Z

NAND AND

A

A

C

BZ

)()( CABAZ

A

B

AC

Z

OR NAND

A

B

AC

Z

NOR OR