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Tema 5
Conceptos básicos sobrefunciones de una variable
© Universidad Internacional de La Rioja (U
NIR)
Índice
Esquema 3
Ideas clave 4
5.1. Introducción y objetivos 4
5.2. Funciones matemáticas 5
5.3. Dominio e imagen 6
5.4. Límites de funciones reales 8
5.5. Continuidad de funciones reales 16
5.6. Actividades resueltas para practicar 26
5.7. Referencias bibliográficas 33
A fondo 35
Actividades 37
Test 39
Tema 5. Esquema 3
© Universidad Internacional de La Rioja (U
NIR)
Esquema
CONCEPTOS BÁSIC
OS D
E FUNCIO
NES D
E U
NA VARIA
BLE
FUNCIO
NES M
ATEMÁTIC
AS
LÍM
ITES
CONTIN
UID
AD
Dominio
Funciones: polinómicas, racionales,
irracionales, logarítm
icas, exponen
ciales
Imagen
MÉTODO DE CRAMER
CONCEPTO
Continuidad
lateral
Concepto
Propiedades
Límites laterales
Límites indeterm
inados
Evitable
Inevitable
Esen
cial
Tema 5. Ideas clave 4
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Ideas clave
5.1. Introducción y objetivos
na función es una relación perfectamente definida entre una o varias
magnitudes. En economía hay muchas magnitudes que presentan esta
relación. Por ejemplo, las leyes de capitalización son funciones que
relacionan el capital generado, en función, del capital inicial, el tiempo y los intereses
estas magnitudes puedes ser constantes o variables. También las funciones de oferta,
demanda, producción o costes, son ejemplos de funciones económicas cuyas
magnitudes están relacionadas con la producción, volumen de ventas, precio de
coste,etc.
En muchos casos esta función es conocida de antemano ligada a un modelo
previamente conocido, como las leyes de capitalización, las operaciones financieras
o la mayoría de las funciones de probabilidad que se ajustan a modelos conocidos y
previamente estudiados. Pero es frecuente encontrarnos con situaciones reales en
las que las fórmulas de funciones previamente conocidas no se ajustan a nuestro caso
particular. En tales casos entra en juego la modelización matemática, esto es, buscar
funciones particulares que se ajusten a las condiciones concretas del problema a
estudiar.
Los objetivos que se pretenden conseguir son:
Determinar el dominio de las funciones reales.
Calcular límites.
Entender el concepto de límite de una función en un punto.
U
Tema 5. Ideas clave 5
© Universidad Internacional de La Rioja (U
NIR)
Determinar la continuidad de las funciones.
Distinguir los distintos tipos de discontinuidades.
5.2. Funciones matemáticas
oloquialmente hablando, una función es una relación formal (aplicación,
regla, transformación…) entre dos magnitudes.
Sean y dos conjuntos cualesquiera no vacíos. Diremos que es una función de
en si para cada elemento ∈ , existe un único elemento ∈ tal que
.
Todos los elementos de tienen una relación en .
Esta relación es única: a cada elemento le corresponde un único elemento :
Figura 1. Función como relación entre dos magnitudes
Ejemplo
Sea f(x)=2x+1, es una función tal que para cada valor de x le hace corresponder el
valor f(x)=2x+1.
a b
F
A B
C
Tema 5. Ideas clave 6
© Universidad Internacional de La Rioja (U
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5.3. Dominio e imagen
ean y dos conjuntos cualesquiera no vacíos y es una función de en
tal que para cada elemento ∈ , existe un único elemento ∈ tal
que .
Al conjunto lo denominaremos dominio de la función , y al conjunto lo
denominaremos conjunto imagen de .
Del mismo modo, a la variable x∈ A se le denomina variable independiente de , y a
su imagen ∈ se le denomina variable dependiente.
Diremos que la función f es real si y solo si su dominio de definición y su imagen
están contenidos en el conjunto de los números reales , es decir:
→ esreal ⇔ ⊆ ∧ ⊆
Para determinar el dominio de una función habrá que tener en cuenta que:
Los polinomios tienen por dominio .
El denominador de una fracción no puede anularse.
El argumento de un logaritmo ha de ser mayor que 0.
El dominio de la exponencial, el seno y el coseno es el mismo que el dominio del
argumento.
El radicando de una raíz de índice par ha de ser mayor o igual que 0.
El dominio de una raíz de índice impar es el mismo que el del radicando.
S
Tema 5. Ideas clave 7
© Universidad Internacional de La Rioja (U
NIR)
La base de una potencia de exponente variable ha de ser mayor que 0.
Aunque, matemáticamente, el dominio de una función pueda ser un intervalo muy
extenso, esto en la realidad no es siempre interesante. Supongamos una función que
relaciona los beneficios de una empresa con la producción de la misma. Aunque
matemáticamente la función pueda admitir valores de producción negativos, esto en
el contexto de la economía no tiene interés de estudio. Por tanto, en muchas
ocasiones el dominio matemático de la función será sustituido por el dominio lógico
del contexto de aplicación.
Ejemplo
La función f(x)=2x+1 es un polinomio y su dominio es , independientemente del
valor que se asigne a la variable x, se tiene un valor para la variable y.
La función es una función racional. El denominador no puede
anularse, ya que si el denominador es cero se tendría que es ∞ y, por tanto, la
imagen de la función no existe. Por tanto, se calcula cuando el denominador se
anula: 2 0 ⇔ 2, el dominio de la función es 2 .
La función ln 2 es un logaritmo y por tanto el argumento. 2
0 ⇒ 2.Por tanto, el dominio de la función es 2,∞ .
En la función √x 3 para que la imagen exista, el valor de la expresión
dentro de la raíz debe ser 0 o mayor. Por tanto, x 3 0 ⇒ x 3. El dominio
de la función es 3,∞ .
Tema 5. Ideas clave 8
© Universidad Internacional de La Rioja (U
NIR)
5.4. Límites de funciones reales
e manera poco formal podemos definir límite de una función en un punto
como el valor al que tiende (o se aproxima) en el entorno de dicho punto.
Sin embargo, siendo más formales lo expresaremos de la siguiente manera:
Diremos que una función real , definida en el intervalo ∈ , tiene como límite
el número ∈ cuando su variable independiente tiende a un punto ∈ , y lo
representaremos por: →
.
Si se verifica que para todo número real , existe otro número real , tal
que para todo | | se verifica que | | , o lo que es lo mismo:
→ ⇔ ∀ 0∃ 0|∀ , 0 | | ⇒ | |
Límites laterales
Límite por la izquierda
Si , diremos que tiende a por la izquierda y lo representamos por:
→
Límite por la derecha
Si , diremos que tiende a por la derecha y lo representamos por:
→
D
Tema 5. Ideas clave 9
© Universidad Internacional de La Rioja (U
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Para que exista el límite de una función en un punto ( tiende a ) es
condición necesaria y suficiente que existan, y que sean idénticos, ambos límites
laterales en :
→ → →
El límite de una función en un punto puede no coincidir con el valor de la función
en dicho punto.
El límite de una función en un punto, de existir, es único. Para que exista el límite
de una función en un punto se ha de verificar:
Existencia de límites laterales en dicho punto.
Dichos límites laterales han de ser idénticos.
Ejemplo
La función 24 2
. Se representa:
Figura 2. Función I
Se calculan los límites laterales de la función :
lim→
lim→
2
lim→
lim→
4 2
Tema 5. Ideas clave 10
© Universidad Internacional de La Rioja (U
NIR)
En este caso vemos que el límite tanto por la izquierda como por la derecha cuando
x tiende a 2 es 4.
El límite de la función es 4 aunque la función no tenga imagen en x = 2.
Para calcular el límite de una función en un punto, no nos interesa lo que sucede en
dicho punto sino a su alrededor.
La función 1 0
0 01 0
. Sus límites laterales son:
lim→
lim→
1 1
lim→
lim→
1 1⇒ lim
→lim→
Como los límites laterales no coinciden la función no existe el límite en x=0.
Propiedades de los límites
Sean y dos funciones reales definidas en un intervalo ∈ y supongamos
que ambas poseen límite, y respectivamente, en el punto ∈ . Entonces se
verifican las siguientes afirmaciones:
→
| |→
| |
→
∙ ∙↔
f ∙ , ∀ ∈
→ ↔ ↔
→
∙↔
∙↔
∙
→
→
→
⇔ 0
Tema 5. Ideas clave 11
© Universidad Internacional de La Rioja (U
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→ ↔
⇔ 0
→ ↔
, ∀ ∈
→ ↔
→, 0
→ ↔
, 0 ∧ 0
Nota: para probar las propiedades de los límites en el recurso titulado Propiedades
de los límites hay ejemplos donde se verifican las propiedades de los límites.
Teorema del sandwich
Sean , y tres funciones reales definidas en un intervalo real ∈ y
tales que verifican que en un entorno del punto ∈ , es
decir, ∀ ∈ , , con . Supongamos que y poseen
idéntico límite ∈ en el punto , es decir → →
. Entonces,
se verifica que la función también posee límite en dicho punto y que además
su valor es :
→ → →
Formas indeterminadas de los límites
En el caso de operar algebraicamente con límites de funciones reales se pueden
presentar una serie de indeterminaciones debidas principalmente a la interacción
de los límites de las funciones involucradas. La existencia de una indeterminación
no implica la inexistencia de límite.
Tema 5. Ideas clave 12
© Universidad Internacional de La Rioja (U
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Las posibles indeterminaciones que nos podemos encontrar a la hora de calcular el
límite de una función real en un punto son siete.
Cociente de infinitos
Este tipo de indeterminación se da entre cociente de funciones polinómicas al
calcular el límite cuando x tiende a infinito. Para resolver la indeterminación infinito
partido infinito se comparan los infinitos.
Ejemplo
Si el numerador tiene mayor grado que el denominador «gana» el infinito del
numerador:
lim→
2 25
∞
Si el denominador tiene mayor grado que el numerador «gana» el infinito del
denominador:
lim→
2 25
0
Si el numerador y el denominador tienen el mismo grado, hay un empate:
lim→
2 25
25
Diferencia de infinitos ∞ ∞
Este tipo de indeterminación se da en funciones polinómicas cuya indeterminación
se resuelve comparando los infinitos, en funciones racionales cuando calculamos el
límite de una diferencia de funciones que anulan el denominador o en funciones
racionales. Vamos a ver cómo se resuelven cada uno de los casos:
Tema 5. Ideas clave 13
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Ejemplo
Por comparación de infinitos:
lim⟶
3 √ ∞
Con funciones racionales, tenemos que poner común denominador en ambas
fracciones:
lim⟶
3 12
5 14 4
∞ ∞
lim⟶
3 1 22
5 12
lim⟶
3 7 2 5 12
lim⟶
3 12 12
110
Para resolver este límite calculamos los límites laterales:
lim→
lim→
3 2 12 12 2 ∞
lim→
lim→
3 2 12 12 2 ∞
⇒ lim⟶2
3 2 12 12 2 ∞
Con funciones irracionales, para resolver la indeterminación debemos multiplicar y
dividir por el conjugado:
lim⟶
√ 2 √ 1 ∞ ∞
lim⟶
√ 2 √ 1 √ 2 √ 1
√ 2 √ 1
lim⟶
2 1
√ 2 √ 1lim⟶
1
√ 2 √ 10
Tema 5. Ideas clave 14
© Universidad Internacional de La Rioja (U
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Cociente de ceros
Se trata de una indeterminación en funciones racionales o en funciones racionales
con una raíz. Para resolver la indeterminación hay que simplificar la fracción o
multiplicar y dividir por el conjugado.
Ejemplo
Para funciones racionales polinómicas:
lim⟶
4 44
00
lim⟶
4 44
lim⟶
22 2
lim⟶
22
04
0
Para funciones racionales con raíces:
lim→
1 √1 00
lim→
1 √1lim→
1 √1 1 √1
1 √1lim→
1 1
1 √1
lim→ 1 √1
lim→
1
1 √1
12
Tema 5. Ideas clave 15
© Universidad Internacional de La Rioja (U
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Nota: en el siguiente vídeo, titulado Indeterminación, puedes ver cómo se resuelven
las indeterminaciones infinito entre infinito y cero entre cero.
Accede al vídeo a través del aula virtual
Producto de cero por infinito ∙ ∞
Esta indeterminación se transforma en otras indeterminaciones como infinito entre
infinito o cero entre cero.
Ejemplo
lim⟶
2 31
3 4∞ 0
lim⟶
2 31
3 4lim⟶
2 33 4
lim⟶
4 12 93 4
43
Potencia de ceros
Este tipo de indeterminación afecta a funciones exponenciales.
Tema 5. Ideas clave 16
© Universidad Internacional de La Rioja (U
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Infinito elevado a cero ∞
Este tipo de indeterminación afecta a funciones exponenciales.
Unidad elevada a infinito
Este tipo de indeterminación afecta a funciones exponenciales.
Nota: para ver ejemplos de cómo se resuelven las últimas tres indeterminaciones
puedes consultar el recurso titulado Ejemplo de indeterminaciones.
5.5. Continuidad de funciones reales
Continuidad de una función real en un punto
De una manera muy poco formal podemos decir que una función continua es aquella
que podemos representar sin levantar el lápiz del papel.
El concepto de continuidad de una función en un punto está íntimamente unido con
el de límite de la función en dicho punto. De hecho, la inexistencia del límite de una
función en un determinado punto imposibilita la existencia de continuidad de dicha
función en ese punto.
OJO: lo contrario no siempre es cierto.
Tema 5. Ideas clave 17
© Universidad Internacional de La Rioja (U
NIR)
Figura 3. Continuidad de una función real en un punto
Diremos que una función real , definida en un intervalo ∈ , es continua en un
punto ∈ si se verifica que para todo número real existe otro número real
tal que | | siempre que | | :
⟺ ∀ 0∃ 0: | | ⟹ | |
Figura 4. Función real continua
Consecuentemente, podemos afirmar que una función real , definida en un
intervalo ∈ , es continua en un punto ∈ si existe el →
y su valor
coincide con el de la función en dicho punto:
→
Pudiendo también expresarlo en lenguaje matemático como:
contínuaen ⟺→ → →
Ejemplo
Tema 5. Ideas clave 18
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La función 24 2
Se calculan los límites laterales de la función :
lim→
lim→
2
lim→
lim→
4 2
Se tiene que:
2→
lim→
lim→
Por tanto, la función es continua, en particular es continua en x=2.
Continuidad lateral
Continuidad lateral por la derecha
Decimos que una función es continua por la derecha en un punto si existe
límite por la derecha en el punto, →
, y coincide con el valor de la función
en dicho punto .
→
Continuidad lateral por la izquierda
Decimos que una función es continua por la izquierda en un punto si
existe el límite por la izquierda en el punto, →
y coincide con el valor de
la función en dicho punto .
→
Tema 5. Ideas clave 19
© Universidad Internacional de La Rioja (U
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Ejemplo
Figura 5. Ejemplo I
La función es continua por la izquierda de ∞, 4 y es continua por la derecha de
4,∞ , pero no es continua en todo .
Continuidad en un intervalo
Diremos que una función , definida en un intervalo ∈ , es continua en el
subintervalo ⊂ si se verifica que para todo existe un tal que
| | siempre que | | para todo ∈ .
continuaen ⊂ ⟺ escontinua∀ ∈
Figura 6. Continuidad en un intervalo
Propiedades de la continuidad
Tema 5. Ideas clave 20
© Universidad Internacional de La Rioja (U
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Sean y dos funciones reales definidas en un intervalo ∈ y continuas en
un subintervalo ∈ . Entonces, se verifica que las siguientes funciones también son
continuas en dicho intervalo (∀ ∈ ):
| |
∙ , con ∈
∙
, ∀
, ∀
, ∀ ∧
, ∀
∘
Nota: para comprobar que se cumplen las propiedades de las funciones continuas
consulta el recurso Propiedades de las funciones continuas.
Discontinuidad de una función en un punto
Diremos que una función real , definida en un intervalo ∈ , es discontinua en
un punto ∈ si no es continua en dicho punto.
Tema 5. Ideas clave 21
© Universidad Internacional de La Rioja (U
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Parafraseando, diremos que una función real f x , definida en un intervalo ∈ , es
discontinua en un punto ∈ si no existe el →
o si existiendo, su valor no
coincide con el de la función en dicho punto:
∄→
→
Figura 7. Discontinuidad evitable
Decimos que una función real posee una discontinuidad evitable en si existe
el →
∈ , pero no coincide con el valor de la función en dicho punto :
∃→
∈ ∧ →
Ejemplo
La función 24 2
Se calculan los límites laterales de la función :
lim→
lim→
2
lim→
lim→
4 2
Tema 5. Ideas clave 22
© Universidad Internacional de La Rioja (U
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Como lim→
lim→
lim→
, pero ∄ , entonces la función tiene
una discontinuidad evitable en x=2.
La función 1 12 1
Determinamos si la función tiene límite calculando los límites laterales:
lim→
lim→
1
lim→
lim→
1
Por tanto, lim→
lim→
lim→
1, pero 1 =2, entonces la función
tiene una discontinuidad evitable en x=1.
Nota: en el vídeo titulado Discontinuidad evitable podrás ver un ejemplo donde se
analiza un ejemplo de una función que presenta una discontinuidad evitable.
Accede al vídeo a través del aula virtual
Diremos que una función real posee una discontinuidad inevitable (o
discontinuidad de 1ª especie) en si existen los límites laterales, pero no existe el
Tema 5. Ideas clave 23
© Universidad Internacional de La Rioja (U
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→∈ . Es decir, si los límites laterales no son iguales o si existiendo, su
límite no es real:
→∉ ∨
→ →
Ejemplo
Sea la función 13 1
Calculamos los límites laterales para determinar si existe el límite de la función:
lim→
lim→
1
lim→
lim→
3 4
Por tanto, no existe lim→
ya que lim→
lim→
.
Nota: en el vídeo titulado Discontinuidad inevitable podrás ver un ejemplo donde se
analiza una función que presenta una discontinuidad inevitable.
Accede al vídeo a través del aula virtual
Tema 5. Ideas clave 24
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NIR)
Diremos que una función real posee una discontinuidad esencial en (o
discontinuidad de 2ª especie) si no existe alguno de sus límites laterales:
∄→
∨ ∄→
Ejemplo
Sea la función en x=2 tiene una discontinuidad esencial:
lim→
lim→
12
10
Calculamos los límites laterales:
lim→
lim→
12
∞
lim→
lim→
12
∞
Como∄→
∨ ∄→
, la función tiene una discontinuidad esencial en
x=2.
Tema 5. Ideas clave 25
© Universidad Internacional de La Rioja (U
NIR)
Nota: en el vídeo titulado Discontinuidad esencial donde se analiza un ejemplo de
una función que presenta una discontinuidad esencial.
Accede al vídeo a través del aula virtual
Nota: para realizar más ejercicios relacionados con la continuidad y discontinuidad
de las funciones puedes consultar el recurso Ejemplos de límites y continuidad.
En el siguiente esquema se recogen todos los tipos de funciones:
Figura 8. Tipos de funciones
Funciones reales
Continuas
Discontinuas
Evitables
No evitables
Inevitables (1a
especie)
Esenciales (2a
especie)
Tema 5. Ideas clave 26
© Universidad Internacional de La Rioja (U
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5.6. Actividades resueltas para practicar
Actividad 1
Calcula el dominio de las funciones racionales:
Solución:
,hayquevercuandoeldenominadorescero:x 2 0,x ‐2
Portanto,eldominioes 2 .
,hayquevercuandoeldenominadorescero:x 4 0 ⟹ x
4 ⇒ x 2, eldominioes 2 .
hayquevercuandoeldenominadorescero:x 4 0 ⟹ x
4 ⇒ eldenominadornuncasehacecero, eldominioes .
Actividad 2
Calcula el dominio de las funciones irracionales:
√ 5
Tema 5. Ideas clave 27
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√ 6 9
√ 4 3
Solución:
√ 5, para determinar el dominio de la raíz hay que ver cuando la expresión que
hay dentro de la raíz es mayor o igual que cero: 5 0 ⇔
5 5,∞ .
√ 6 9 para determinar el dominio de la raíz hay que ver cuando la
expresión que hay dentro de la raíz es mayor o igual que cero: 6 9 0 ⇔
3 0 ⇔ 3 0 ⇔ 3 3,∞ .
√ 4 3 para determinar el dominio de la raíz hay que ver cuando la
expresión que hay dentro de la raíz es mayor o igual que cero: 4 3
0 ⇔ 1 3 0 ⇔ 0, 1 0, 3 0 ⇔ 0, 1,
3 0,1 3,∞ .
Actividad 3
Calcula el dominio de las funciones exponenciales y logarítmicas:
2
Solución:
, el dominio es
Tema 5. Ideas clave 28
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2 , 2 0 ⇒ 2 ⇒ 2,∞
Actividad 4
Calcula:
lim→
3
lim→
1 √ 2
lim→
Solución:
lim→
3 5 25
lim→
1 √ 2 1 √16 1 4 5
lim→ 1
Actividad 5
Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función por la izquierda
y por la derecha de x = 0:
lim→2 1
2
Tema 5. Ideas clave 29
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Solución:
lim→2 1
2 lim→2 1
2
Calculamos los límites laterales:
lim→
2 1
2∞; lim
→2 1
2∞
Actividad 6
Estudia la continuidad de la función:
12 1
1 22 2
Solución:
El primer tramo de función no está definido en x = 2, valor que pertenece a
la semirrecta x < 1. Luego, f(x) es discontinua en x = 2.
En los otros dos tramos, hay una función cuadrática y una función constante, ambas
continuas en todo P.
Estudiamos la continuidad de los puntos donde la función está definida a trozos:
x = 1.
1 1 1 2
lim→
lim→
12
11 2
1
Tema 5. Ideas clave 30
© Universidad Internacional de La Rioja (U
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lim→
lim→
1 1 2
No existe lim→
, luego la función es discontinua en x = 1. Se produce un salto en
x = 1.
x = 2.
2 2
lim→
lim→
2
lim→
lim→2 2
lim→
2 2
La función f (x) es continua en x = 2, luego f (x) es continua en todo P excepto en x=2
y en x = 1.
Actividad 7
Halla los límites:
lim→
√5 2 3
lim→ √
Solución 1:
lim→
5 2 3 lim→
5 2 3 5 2 3
√5 2 3
lim→
5 2 9
√5 2 3lim→
4 2
√5 2 3∞
Tema 5. Ideas clave 31
© Universidad Internacional de La Rioja (U
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Solución 2:
lim→
3 1
√ 2lim→ ∞
2 3 16 2
0
Actividad 8
Estudia la continuidad de la siguiente función. En los puntos en los que no sea
continua, indica el tipo de discontinuidad que presenta:
3 2 83 10
Solución:
3 2 83 10
3 4 25 2
Dominio = P {5, 2}: f (x) es continua en P {5, 2}.
Veamos el tipo de discontinuidad que presenta en x = 5 y en x = 2:
lim→
lim→
3 45
110
Hallamos los límites laterales:
lim→
∞; lim→
∞;
Discontinuidad de salto infinito en x = 5.
lim→
lim→
3 45
107
Tema 5. Ideas clave 32
© Universidad Internacional de La Rioja (U
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Discontinuidad evitable en x = 2.
Actividad 9
Estudia la continuidad de la función:
13
4
15 4
Solución:
Si x ≠ 4, la función es continua.
Si x = 4:
lim→
lim→
13
1
lim→
lim→
15 1
4 1
También es continua en x = 4 porque lim→
4 .
Actividad 10
Estudia la continuidad de la función:
2 1 0
2
2 0
Tema 5. Ideas clave 33
© Universidad Internacional de La Rioja (U
NIR)
Solución:
Si x ≠ 0, la función es continua:
lim→
lim→
2 1 1
lim→
lim→
22
1
0 1
Es continua en x = 0 porque lim→
0 .
5.7. Referencias bibliográficas
Balbás, A., Gil, J. y Gutiérrez, S. (1989). Análisis matemático para la economía Vol. I
Madrid: Alfa Centauro.
Caballero, R., González, A. y Triguero, F. (1992). Métodos matemáticos para la
economía. Madrid: McGraw‐Hill.
Chiang, A. (1987). Métodos fundamentales de economía matemática. Madrid:
McGraw‐Hill.
Guerrero, F. M. y Vázquez, M. J. (1998). Manual de cálculo diferencial e integral para
la economía y la empresa. Madrid: Pirámide.
Jarne, G., Pérez‐Gras, I. y Minguillón, E. (1997). Matemáticas para la economía.
Madrid: McGraw‐Hill.
López, M. y Vegas, A. (1994). Curso básico de matemáticas para la economía y
dirección de empresas I. Madrid: Pirámide.
Tema 5. Ideas clave 34
© Universidad Internacional de La Rioja (U
NIR)
Sydsaeter, K. y Hammond, Peter J. (2008). Matemáticas para el análisis económico.
Madrid: Perentice Hall.
Tema 5. A fondo 35
© Universidad Internacional de La Rioja (U
NIR)
A fondo
Propiedades de los límites
Jarne, G., Minguillón, E. & Zabal, T. Curso básico de matemáticas para estudiantes de
Económicas y Empresariales. Proyecto Aragón Tres.
En este documento encontrarás ejemplos para comprobar que se verifican las
propiedades de los límites.
Accede al documento a través del aula virtual o desde la siguiente dirección web:
http://www.unizar.es/aragon_tres/unidad7/u7fun/u7funpr60a.pdf
Ejemplo indeterminaciones
En este enlace encontraras muchos ejemplos para resolver los límites
indeterminados.
Accede al documento a través del aula virtual o desde la siguiente dirección web:
https://www.vitutor.com/fun/3/a_11.html
Tema 5. A fondo 36
© Universidad Internacional de La Rioja (U
NIR)
Propiedades de las funciones continuas
Jarne, G. & Zabal, T. Curso básico de matemáticas para estudiantes de Económicas y
Empresariales. Proyecto Aragón Tres.
En este documento encontrarás ejemplos para comprobar que se verifican las
propiedades de las funciones continuas.
Accede al documento a través del aula virtual o desde la siguiente dirección web:
http://www.unizar.es/aragon_tres/unidad7/u7fun/u7funpr80‐90a.pdf
Ejercicios de límites y continuidad
En este enlace encontrarás muchos ejercicios resueltos para estudiar la continuidad
de las funciones. Para determinar la continuidad tendrás que resolver límites, en
estos ejercicios encontrarás muchas funciones distintas para analizar todos los casos
posibles.
Accede al documento a través del aula virtual o desde la siguiente dirección web:
https://www.matesfacil.com/resueltos‐continuidad.htm
Tema 5. Actividades 37
© Universidad Internacional de La Rioja (U
NIR)
Actividades
Trabajo: Estudio de una función
Objetivos
Entender el concepto de continuidad de una función.
Entender el concepto de discontinuidad de una función.
Calcular límites de funciones.
Descripción de la actividad
Tenemos que el número de trabajadores de una empresa crece al cabo de los años,
siguiendo la siguiente función:
4 0 350 138 3 5
5
Donde t es el número de años que la empresa lleva funcionando. Determina:
Calcula los valores a y b para que la función sea continua, interpreta el resultado
en el contexto del problema.
Calcula los valores de a y b para que la función tenga una discontinuidad evitable
en t=3, y t=5. Interpreta el resultado en el contexto del problema.
Calcula los valores de a y b para que la función tenga una discontinuidad
inevitable en t=3 y t=5. Interpreta el resultado en el contexto del problema.
Calcula los valores de a y b para que la función tenga una discontinuidad esencial
en t=3 y t=5. Interpreta el resultado en el contexto del problema.
Tema 5. Actividades 38
© Universidad Internacional de La Rioja (U
NIR)
Criterios de evaluación
Los conceptos y contenidos expuestos y explicados deberán ser correctos y
apropiados al tema de funciones.
Se valorará la argumentación en la resolución de la actividad, así como que los
resultados obtenidos sean correctos.
Claridad en la exposición y justificación de las ideas y redacción y ortografía
adecuadas.
Extensión máxima: 3 páginas, fuente Calibri 12 e interlineado 1,5.
Tema 5. Test 39
© Universidad Internacional de La Rioja (U
NIR)
Test
1. Sean dos funciones y definidas en y tal que verifican →
0
y →
∞. Entonces el límite de la función compuesta →
es:
A. Igual a ∞.
B. Igual a ∞.
C. Igual a 0.
D. Un valor indeterminado.
2. Dada la función , indicar cuál de las siguientes afirmaciones es cierta:
A. es continua en todo .
B. es continua en 1,1 .
C. no es continua en 1,1 .
D. Ninguna de las anteriores.
3. Dada la función , indicar cuál de las siguientes afirmaciones es correcta:
A. →
0.
B. →
∞.
C. ∄→
.
D. →
∞.
4. Analizar la continuidad de la función real √
A. La función es continua en 3,0 ∪ 3, ∞ .
B. La función no es continua en ∩ 3,3 .
C. La función no es continua en 3,0 ∪ 3, ∞ .
D. La función es continua en ∩ 3,3 .
Tema 5. Test 40
© Universidad Internacional de La Rioja (U
NIR)
5. Sean dos funciones y definidas en y tal que 1 y
3 . Entonces la función compuesta ∘ viene expresada por:
A. ∘ 3 3 .
B. ∘ 9 1.
C. ∘ 9 3.
D. ∘ 3 3 1.
6. Calcular el límite de la función ln 2 cuando su variable
independiente tiende a la unidad negativa.
A. →
∞.
B. →
0.
C. →
2.
D. ∄→
.
7. Sean dos funciones y definidas en y tal que verifican →
y
→ ∞. Entonces el límite de la función compuesta
→ es:
A. Igual a ∞.
B. Igual a 0.
C. Igual a ∞.
D. Es un valor indeterminado.
8. El valor del siguiente límite lim→
√ 3 , es:
A. 3/2.
B. 1.
C. 0.
D. ∞.
Tema 5. Test 41
© Universidad Internacional de La Rioja (U
NIR)
9. La siguiente función 3 1
√ 1 1, en x=‐1 tiene:
A. Una discontinuidad esencial.
B. Una discontinuidad evitable.
C. Una discontinuidad inevitable.
D. Es continua.
10. Analizar la continuidad de la función real √.
A. La función no es continua en ∞, 1 ∪ 1, ∞ .
B. La función no es continua en ∩ 0,1 .
C. La función es continua en 0,1 ∪ 1, ∞ .
D. La función es continua en 0, 1 .
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