Controllo dei Robot A. Rizzo Controllo del Moto Controllo nello spazio dei giunti

Controllo dei Robot A. Rizzo

Controllo del Moto

Controllo nello spazio dei giunti

Controllo del Moto

Controllo nello spazio operativo

)(),()( qgqFqqqCqqB v

Determinare le n componenti di forza generalizzate tali che risulti :

)()( tqtq dA causa degli organi di trasmissione :

1 rmmr KqqK

)(qBBqB

Matrice diagonale e costante

dqFqKBK mmmrrm 1111 rvrm KFKF

)(),()( 11111 qgKqKqqCKqKqBKd rmrrmrr

Sostituendo otteniamo :

Dove :Attrito viscoso riportato all’asse del motore

Disturbo = Contributo dipendente dalla configurazione

Controllo indipendente ai giunti

kkF il coefficiente d’attrito viscoso

trascurabile rispetto al coefficiente d’attrito elettrico

Controllo indipendente ai giunti

costante di guadagno velocità – tensione

costante di tempo caratteristica del motore

Controllo in retroazione

Un’efficiente riduzione degli effetti del disturbo d sull’uscita è assicurata da:

Un elevato guadagno degli amplificatori a monte del punto d’applicazione del disturbo;

La presenza, nel controllore, di un’azione integrale al fine di annullare, a regime ( costante), l’effetto della componente gravitazionale sull’uscita.

sTKsC c

1)(PI = Proporzionale Integrale

Retroazione di posizione

sT1K)s(C P

CV = 1 CA = 1,

kTV = kTA = 0

Retroazione di posizione

IRkIsR

Blocco interno

Ramo di azione diretta :

H(s) = kTP

Ramo di retroazione :

il sistema risulta intrinsecamente instabile

il sistema risulta stabile

il sistema migliora notevolmente le sue caratteristiche di prontezza.

Fdt a ciclo chiuso

Fdt disturbo-uscita

sTkKksTs

sTkKksR

Da essa si osserva che conviene aumentare KP in modo da ridurre l’influenza del disturbo sull’uscita durante il transitorio.

Conviene tuttavia scegliere KP con valori non molto elevati, per evitare che al sistema di controllo siano assegnate caratteristiche di risonanza poco accettabili.

Osserviamo, inoltre, che lo zero all’origine dovuto al controllore PI consente di annullare, quando è costante, gli effetti della gravità sulla posizione.

Retroazione di posizione e velocità

C P (s ) = k p ; C A (s ) = 1 ; k T A = 0

sT1K)s(C V

sTKKksP

2Fdt ramo diretto

riportando l’anello di retroazione in velocità in parallelo all’anello di retroazione in posizione

Fdt ramo in retroazione

TVTP kK

ksksH 1)(

ponendo TV = Tm lo zero del controllore cancella gli effetti del polo reale del motore

VTPPmTPP

ksTKkKk

VTPPmTPP

mVTPPt

VTPPmTPP

nTVV k

nVTPP k

Quindi, fissate le costanti di trasduzione kTP e kTV, si trova KV dalla prima eq. e successivamente KP dalla seconda equazione

Retroazione di posizione velocità e accelerazione

C P(s) = K P; C V(s) = K V;

sT1K)s(C A

ATAAmm

sTKKKsP AAVP Fdt ramo di azione diretta :

Fdt ramo in retroazione :

TVTP 1)(

Scelta dello zero :

Oppure :

sKKkKk

AVTPPm

sKKkKk

sTKKkKksR

AVTPPm

AAVTPPt

Stavolta le specifiche e il fattore di riduzione degli effetti indotti dal disturbopossono essere fissati indipendentemente.

Stima dell’accelerazione

Coppia precalcolata

Hardware per sistemi di controllo assi

DSP per motion control (HCTL1100,LM628/9) Microcontrollori (MPC555, etc.) Schede controllo assi (GALIL,PMD, etc.)

HCTL1100 Agilent (Ex HP)

LM628/9 National

Microcontrollori

MPC555

Schede controllo assi

CONTROLLO CENTRALIZZATO )(),()( qgqFqqqCqqB v

Trasmissioni : Krq = qm

Attuatori :

uqgqFqqqCqqB )(),()(

rvatrv KKRKKFF 1

cvatr vGRKKu 1

Attrito viscoso meccanico e elettrico(matrice diagonale)

Ingresso di controllo del sistema

Sistema controllato in tensione

Sistema controllato in coppia

F = Fv u = KrKtGivc = ;

Controllo di sistemi non lineari

),( xtfx Esempio : robot

)(),()(1 qgqFqqqCuqB

Scegliamo come variabili di stato :

Punto di equilibrio

0),( extfEsempio: Robot

0q )(qgu

)(),()(1 qgqFqqqCuqB

Stabilità dell’equilibrioUn punto di equilibrio xe è stabile nel senso di Lyapunov se partendo abbastanza vicino a xe all’istante iniziale, lo stato vi resterà vicino negli istanti successivi.

00 )(:0 ttxtxxxse ee Asintotica stabilità :

)(lim)( 0

Globale asintotica stabilità :

In tal caso può esserci un solo stato di equilibrio

Uniforme stabilità : Indipendente da t (tempo invariante)

Stabile

Instabile

Asintotica stabilità

Globale asintotica stabilità

Teorema di Lyapunov

),( xtfx Assumiamo che l’origine x=0 è un punto di equilibrio :

0)0,( tf

rxxN : Intorno dell’origine

L’origine è un punto di equilibrio STABILE se

0),(:),(

xtVNxxtV

Asintoticamente stabile se

0),( xtV

TEOREMA DI LASALLE

Asintoticamente stabile se

xV Ed inoltre 0)( xV solo per x=0

Esempio

Sistema lineare Axx Data una P>0 soluzione di QPAPAT Con Q>0

PxxxV T)(E’ una funzione di Lyapunov, infatti

QxxxPAPAx

PAxxPxAxxPxPxxxVTTT

Controllo PD con compensazione di gravità

Stato del sistema TTT qq ,~

qqq d ~errore

Funzione candidata di Lyapunov:

1~, qKqqqBqqqV PTT 0~, qq

Energia cinetica Energia potenziale elastica virtuale

qKqqqBqqqBqV PTTT ~)(

qKqguqqFqqqqCqBqV PTTT ~)(),(2)(

Derivando

Si ricava

Sostituendo :

),(2)( qqCqB Nullo ! Proprietà di

qKqgu P~)( Scegliendo :

qFqV T

Azione proporzionale-derivativa

qKqKqgu DP ~)(

qKFqV DT )( 0V per q= 0q~

Postura di equilibrio :

qKqKqgqgqFqqqCqqB DP ~)()(),()(

0,0 qq All’equilibrio : 0~ qKP

qqqqq dd 0~

• Tramite questa tecnica di controllo qualunque postura di equilibrio risulta globalmente asintoticamente stabile

• La componente gravitazionale va compensata in maniera perfetta (affinché il risultato sia garantito matematicamente)

Feedback Linearization

uxbxfx n )()()(

xbu controllo

)(nxSe utilizziamo : )1(

n xkxkxk

01)1()( xkxkx n

Controllo a dinamica inversa di un manipolatore

(momento calcolato, feedback linearization) uqgqFqqqCqqB )(),()(

)(),(),( qgqFqqqCqqn

uqqnqqB ),()(

Posto :

),()( qqnyqBu Scelta la legge di controllo :

r qKqKy DP

r qKqKq PD

dPdDd qKqKq r

dPdDdPD qKqKqqKqKq

0~~~ qKqKq PD

Attraverso la scelta delle matrici KP e KD diagonali si ottiene un sistema disaccoppiato: la componente del riferimento ri influenza la sola variabile di giunto qi con una relazione i/o del secondo ordine caratterizzata da una pulsazione naturale ni e da un coeff. di smorz. i

),()(~~)( qqnqqBqKqKqBu dDP PD Cancellazione dinamica

Controllo nello Spazio Operativo

Controllo con inversa dello Jacobiano

Controllo nello Spazio Operativo

Controllo con trasposta dello Jacobiano

xxx d ~Errore nello spazio dei giunti

1)~,( xKxqqBqxqV P

TT 0~, xqFunzione candidata di Lyapunov

Derivando

xKxqqBqqqBqV PTTT ~~)(

Simmetrica e difinita positiva

0dx qqJx A )( qqJxxx Ad )(~

xKqJqqqBqqqBqV PTA

TTT ~)()(2

0),(2)( qqqCqBqT

xKqJqguqqFqV PTA

TT ~)()(

qqJKqJxKqJqgu ADTAP

TA )()(~)()(

Scegliendo come legge di controllo :

qqJKqJqqFqV ADTA

TT )()(

Definita positiva

Postura di equilibrio

qqJKqJxKqJqgqgqFqqqCqqB ADTAP

TA )()(~)()()(),()(

0)()(~)(),()( qqJKqJxKqJqFqqqCqqB ADTAP

0,0 qq All’equilibrio :

0~)( xKqJ PTA

0~ xxx d

Se lo Jacobiano è a rango pieno :

qqJKqJxKqJqgu ADTAP

TA )()(~)()(

Tale schema di controllo rivela un’analogia con quello basato sulla trasposta dello Jacobiano

Controllo a dinamica inversa

uqqnqqB ),()( qqnyqBu ,)( Controllo a dinamica inversa

qqqJqqJx AA ),()(

qqqJxKxKxqJy APDdA ),(~~)(1

Per un manipolatore non ridondante scegliendo :

Matrici diagonali definite positive

Derivando una volta la relazione della cinematica differenziale qqJx A )(

yq qqqJxKxKxqJq APDdA ),(~~)(1

xxxxxx dd ~~

qqqJxKxKxqqqJqqJqJq APDAAA ),(~~~),()()(1

0~~~)(~~~)( 11 xKxKxqJxKxKxqJqq PDAPDA

0~~~ xKxKx PD

Controllo a dinamica inversa

qqnyqBu ,)(

qqqJxKxKxqJy APDdA ),(~~)(1

Considerazioni conclusive• Il controllo nello spazio dei giunti è in genere più complesso del controllo nello spazio operativo

• In presenza di singolarità e/o ridondanza: • Negli schemi con trasposta di J se l’errore entra nel nullo di J il manipolatore si ferma in una configurazione diversa da quella desiderata• Negli schemi con inversa di J si devono trovare accorgimenti numerici (es. inversa ai valori singolari smorzati)

• Il controllo dei giunti è in un certo senso trasparente a tali problemi, in quanto ridondanze e singolarità vengono affrontate a monte, durante l’inversione cinematica, mentre in questo caso devono essere gestite all’interno dell’anello di controllo

• Se, come in questi casi, si usa lo Jacobiano analitico bisogna rifarsi a rappresentazioni minime dell’orientamento. Per utilizzare lo Jacobiano geometrico (più semplice da determinare) bisogna scegliere rappresentazioni più complesse (es. asse/angolo o quaternione unitario)

Controllo dell’interazione

0hAll’equilibrio stavolta, con :

Controllo di cedevolezza

Utilizziamo una legge di controllo PD con compensazione di gravità nellospazio operativo

qqJKqJxKqJqgu ADTAP

TA )()(~)()(

Vettore equivalente delle forze di contatto

che Ricordiamo

qqJqqJ

qJpx A

)(J = TA()JA

Dipende dalla configurazione

(Esempio manipolatore in singolarità di spalla)

Modello semplice ma significativo del contatto: Ambiente elasticamente cedevole e disaccoppiato

K semi-definita positiva

Posizione di equilibrio dell’ambiente non deformato

ATAT A

TA hhT ( )

• La matrice Ka definisce la rigidezza dell’ambiente. Ove è possibile definire la sua inversa, essa rappresenta la cedevolezza dell’ambiente. E’ detta cedevolezza passiva perché descrive una caratteristica intrinseca dell’ambiente nello spazio operativo

• Ricordando che essa è semidefinita positiva ne consegue che il conceto di cedevolezza non è caratterizzato, a livello globale, su tutto lo spazio operativo, ma ca opportunamente specificato per quelle direzioni (l’immagine di Ka) lungo le quali il moto dell’organi terminale è vincolato dall’ambiente

• Invece la matrice Kp-1 rappresenta una cedevolezza attiva poiché è il risultato dell’applicazione di una opportuna legge di controllo di posizione

Con il modello di ambiente

La relazione

Diventa

All’equilibrio :

• La posizione di equilibrio dipende dalla posizione di riposo per l’ambiente e dalla posizione desiderata imposta dal sistema di controllo del manipolatore• L’interazione dei due sistemi (ambiente e manipolatore) è influenzata dal peso associato alle rispettive caratteristiche di cedevolezza• E’ possibile agire sulla cedevolezza attiva in maniera tale da far dominare il manipolatore sull’ambiente o viceversa• Tale dominanza può essere selettiva rispetto alle direzioni (valori elevati degli elementi di Kp corrispondenti alle direzioni in cui si desidera che l’ambiente ceda, e viceversa)

• Considerando adesso l’espressione della forza di contatto all’equilibrio si riconosce l’opportunità di accordare le caratteristiche di cedevolezza del manipolatore a quelle dell’ambiente, che può presentare caratteristiche differenti lungo direzioni diverse dello spazio operativo• Lungo direzioni in cui l’ambiente presenta rigidezza elevata è opportuno rendere il manipolatore cedevole affidando allo stesso il compito di graduare l’intensità dell’interazione mediante una scelta opportuna della posizione desiderata e viceversa

• Ambiente rigido e manipolatore cedevole: x(inf)=xe, il manipolatore genera una forza dipendente da Kp che può essere specificata mediante la scelta della componente di (xd-xe) lungo la direzione di interesse

• Ambiente cedevole e manipolatore rigido: x(inf)=xd, è l’ambiente a generare una forza elastica lungo le direzioni di interesse

Esempio

All’equilibrio :

Il manipolatore domina sull’ambiente(cedevolezza passiva)

L’ambiente domina sul manipolatore(cedevolezza attiva)

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