Correction de quelques exercices sur le Théorème central

Partie 10, Exercice 3Partie 9, Exercice 1Partie 9, Exercice 3Partie 9, Exercice 5

Correction de quelques exercices sur leThéorème central limite

Clément RauLaboratoire de Mathématiques de ToulouseUniversité Paul Sabatier-IUT GEA Ponsan

Module: Stat inférentielles

Clément Rau Correction de quelques exercices sur le Théorème central limite

1 Partie 10, Exercice 3

Discrimination

L’ entreprise M.E.C emploie 1350 salariés, dont 560 sont desfemmes. Dans une entreprise de 1350 salariés ne faisant pasde discrimination au sexe à l’embauche, donner un intervallede la proportion de femmes au seuil de 95%. Peut-onraisonnablement dire que l’entreprise M.E.C respecte la parité ?

H0 : ”L′entreprise ne fait pas de discrimination”

Soit n = 1350 et pour 1 ≤ i ≤ n, on pose :

{1 si l’employé i est une femme0 sinon

les v.a Xi sont des Bernoulli(1/2) indépendantes.( Utilité de l’hypothèse H0)

on a, E(Xi) =12 et σ(Xi) =

√12 × (1− 1

2) =12

Nombre de femmes =∑

i=1...n Xi

√12 × (1− 1

2) =12

i=1...n Xi

√12 × (1− 1

2) =12

i=1...n Xi

√12 × (1− 1

2) =12

i=1...n Xi

√12 × (1− 1

2) =12

i=1...n Xi

Or n = 1350 grand, donc on applique l’approximation quedonne le TCL aux Xi . On obtient ainsi :

√nσ

∑i=1...n Xi

n− 1

2) ∼ N (0;1).

ie : 2√

n(pf −12) ∼ N (0;1),

où pf représente la proportion de femmes.

√nσ

∑i=1...n Xi

n− 1

2) ∼ N (0;1).

ie : 2√

n(pf −12) ∼ N (0;1),

√nσ

∑i=1...n Xi

n− 1

2) ∼ N (0;1).

ie : 2√

n(pf −12) ∼ N (0;1),

Or à l’aide de la table 2 de la loi Normale N (0;1), on sait que :

P(|X | ≤ 1,96) = 0,95.

Ainsi de2√

n(pf −12) ∼ N (0;1),

on tire qu’avec probabilité 0,95, on a :

−1,96 ≤ 2√

n(pf −12) ≤ 1,96.

ie :12− 1,96

n≤ pf ≤

1,962√

Ce qui donne :0,473 ≤ pf ≤ 0,527.

P(|X | ≤ 1,96) = 0,95.

Ainsi de2√

n(pf −12) ∼ N (0;1),

−1,96 ≤ 2√

n(pf −12) ≤ 1,96.

ie :12− 1,96

n≤ pf ≤

1,962√

Ce qui donne :0,473 ≤ pf ≤ 0,527.

P(|X | ≤ 1,96) = 0,95.

Ainsi de2√

n(pf −12) ∼ N (0;1),

−1,96 ≤ 2√

n(pf −12) ≤ 1,96.

ie :12− 1,96

n≤ pf ≤

1,962√

Ce qui donne :0,473 ≤ pf ≤ 0,527.

P(|X | ≤ 1,96) = 0,95.

Ainsi de2√

n(pf −12) ∼ N (0;1),

−1,96 ≤ 2√

n(pf −12) ≤ 1,96.

ie :12− 1,96

n≤ pf ≤

1,962√

Ce qui donne :0,473 ≤ pf ≤ 0,527.

Avec proba 0,95, on a donc

0,473 ≤ pf ≤ 0,527.

D’où, avec proba 0,95, on a :

638 ≤ Nombre de femmes ≤ 711

Or 560 /∈ [638;711], on conclut donc que l’entreprise M.E.C nesatisfait pas à la parité hommes-femmes (au risque 5%).

0,473 ≤ pf ≤ 0,527.

Exo 1. Proportion d’une face d’un déOn lance un dè n fois et on considère la variable aléatoireN=nombre de six. A partir de quelle valeur de n aura-t-on 9chances sur 10 d’avoir |Nn −

16 | < 0,01

Etape 1 : on introduit les variables en jeu.

Soit n ∈ N. On pose pour 1 ≤ i ≤ n, les variables aléatoires :

{1 si on obtient la face 6 au i ème lancer0 sinon

Les Xi sont indépendantes,

on a, E(Xi) = 1/6 et σ(Xi) =√

16(1−

Enfin,

N = Nn := Nombre de faces 6 obtenues sur n lancers=

∑i=1...n

on a, E(Xi) = 1/6 et σ(Xi) =√

16(1−

Enfin,

∑i=1...n

on a, E(Xi) = 1/6 et σ(Xi) =√

16(1−

Enfin,

∑i=1...n

on a, E(Xi) = 1/6 et σ(Xi) =√

16(1−

Enfin,

∑i=1...n

on a, E(Xi) = 1/6 et σ(Xi) =√

16(1−

Enfin,

∑i=1...n

on a, E(Xi) = 1/6 et σ(Xi) =√

16(1−

Enfin,

∑i=1...n

Etape 2 : on utilise le TCL.

Pour n grand, on peut utiliser l’approximation que donne leTCL, appliqué aux Xi . On obtient ainsi :

σ(X1)

(∑i=1...n Xi

n− E(X1)

)∼ N (0;1).

ie : 6√

(Nn− 1

)∼ N (0;1).

σ(X1)

(∑i=1...n Xi

n− E(X1)

)∼ N (0;1).

ie : 6√

(Nn− 1

)∼ N (0;1).

σ(X1)

(∑i=1...n Xi

n− E(X1)

)∼ N (0;1).

ie : 6√

(Nn− 1

)∼ N (0;1).

σ(X1)

(∑i=1...n Xi

n− E(X1)

)∼ N (0;1).

ie : 6√

(Nn− 1

)∼ N (0;1).

Etape 3 : reformulation de la question posée.

Reformulation de la question : on cherche n tel que :

P(|Nn− 1

6| < 0,01

)= 9/10.

Etape 3 : reformulation de la question posée.

Reformulation de la question : on cherche n tel que :

P(|Nn− 1

6| < 0,01

)= 9/10.

Etape 4 : synthèse.

Connaissant la loi de la v.a 6√

(Nnn −

), on écrit successivement :

P(|Nn− 1

6| < 0,01

)≥ 9

10ssi P

n5|Nn− 1

6| < 0,01× 6

)≥ 9

ssi P(|X | < 0,01× 6

)≥ 9

où X ∼ N (0;1),

ssi 0,01× 6√

n5≥ 1,65

à l’aide de la table 2.

ssi n ≥ 5×(1,65

ssi n ≥ 3781,25

(Nnn −

P(|Nn− 1

6| < 0,01

)≥ 9

10ssi P

n5|Nn− 1

6| < 0,01× 6

)≥ 9

ssi P(|X | < 0,01× 6

)≥ 9

où X ∼ N (0;1),

ssi 0,01× 6√

n5≥ 1,65

ssi n ≥ 5×(1,65

ssi n ≥ 3781,25

(Nnn −

P(|Nn− 1

6| < 0,01

)≥ 9

10ssi P

n5|Nn− 1

6| < 0,01× 6

)≥ 9

ssi P(|X | < 0,01× 6

)≥ 9

où X ∼ N (0;1),

ssi 0,01× 6√

n5≥ 1,65

ssi n ≥ 5×(1,65

ssi n ≥ 3781,25

ConclusionAinsi, avec proba 0,9 on est certain qu’en lançant un dè plusde 3782 fois, la proportion de faces 6 ne s’écarte pas de 1/6 deplus de 0,01.

Remarque importante

La loi de N est une Binomiale(n;1/6)Refaire l’exo, en utilisant l’approximation de N par une loiNormale ...N (n

6 ;√

Remarque importante

6 ;√

Remarque importante

6 ;√

Remarque importante

6 ;√

Exo 3Une société de transport souhaite lutter contre la fraude eteffectue pour cela des contrôles des titres de transport. Julieutilise ce transport tous les matins. Elle a une probabilitép = 0,08 d’être contrôler. Elle effectue 600 voyages par an. Onappelle C la v.a égale au nombre de contrôles effectués surune année.

1 Quelle est la loi de C ?2 A l’aide d’une approximation de la loi de C, calculer la

probabilité que Julie soit contrôlée entre 40 et 50 fois dansl’année.

3 Sachant que le prix d’un ticket est 1,2 euros et que le prixde l’amende est 20 euros, quelle est la probabilité queJulie soit "perdante" en n’achetant jamais de tickets ?

Question 1

On a :C ∼ Binomiale(600;0,08)

Faire tourner la même moulinette :

Considérer pour 1 ≤ i ≤ 600 les variables :

{1 si Julie est contrôlée au i ème trajet,0 sinon

Les v.a ci sont des Bernoulli(0, 08) indépendantes.

Enfin, C =∑

i∈[1;600]ci .

Question 1

Enfin, C =∑

i∈[1;600]ci .

Question 1

Enfin, C =∑

i∈[1;600]ci .

Question 1

Enfin, C =∑

i∈[1;600]ci .

Question 2

n = 600 ≥ 30 est grand,np = 48 ≥ 5,n(1− p) = 552 ≥ 5.

⇒ On peut "approximer" la loi de C par la loi d’une v.aX ∼ N (48 ; 6,65)

[ Remarque : p = 0, 08 étant petit, on aurait également pu approximer la loide C par une loi de Poisson(48), mais moins pratique ici.]

Question 2

n = 600 ≥ 30 est grand,np = 48 ≥ 5,n(1− p) = 552 ≥ 5.

Question 2

n = 600 ≥ 30 est grand,np = 48 ≥ 5,n(1− p) = 552 ≥ 5.

Question 2

n = 600 ≥ 30 est grand,np = 48 ≥ 5,n(1− p) = 552 ≥ 5.

Question 2

n = 600 ≥ 30 est grand,np = 48 ≥ 5,n(1− p) = 552 ≥ 5.

Question 2

On calcule alors la probabilité demandée :

P(40 ≤ C ≤ 50) ≈ P(40 ≤ X ≤ 50),= P(40 ≤ 48 + 6,65Y ≤ 50) où Y ∼ N (0;1),

= P(40− 48

6,65≤ Y ≤ 50− 48

≈ P(−1,2 ≤ Y ≤ 0,3)= P(Y ≤ 0,3)− P(Y ≤ −1,2)= P(Y ≤ 0,3)− P(Y ≥ 1,2)= P(Y ≤ 0,3)− 1 + P(Y ≤ 1,2)≈ 0,6179− 1 + 0,8849 = 0,5028

Question 3

Reformulation de la question en langage probabiliste :P(Julie perdante), revient à calculer :

P(20C ≥ 1, 2× 600),

ie : P(C ≥ 36).

On utilise l’approximation en loi précédente. On a donc :

P(C ≥ 36) ≈ P(X ≥ 36),

= P(48 + 6, 65Y ≥ 36) où Y ∼ N (0; 1),

= P(Y ≥ 36− 486, 65

≈ P(Y ≥ −1, 8),

= P(Y ≤ 1, 8),

≈ 0, 9641.

Ce qui n’incite pas à frauder !Clément Rau Correction de quelques exercices sur le Théorème central limite

Question 3

P(20C ≥ 1, 2× 600),

ie : P(C ≥ 36).

P(C ≥ 36) ≈ P(X ≥ 36),

= P(48 + 6, 65Y ≥ 36) où Y ∼ N (0; 1),

= P(Y ≥ 36− 486, 65

≈ P(Y ≥ −1, 8),

= P(Y ≤ 1, 8),

≈ 0, 9641.

Question 3

P(20C ≥ 1, 2× 600),

ie : P(C ≥ 36).

P(C ≥ 36) ≈ P(X ≥ 36),

= P(48 + 6, 65Y ≥ 36) où Y ∼ N (0; 1),

= P(Y ≥ 36− 486, 65

≈ P(Y ≥ −1, 8),

= P(Y ≤ 1, 8),

≈ 0, 9641.

Question 3

P(20C ≥ 1, 2× 600),

ie : P(C ≥ 36).

P(C ≥ 36) ≈ P(X ≥ 36),

= P(48 + 6, 65Y ≥ 36) où Y ∼ N (0; 1),

= P(Y ≥ 36− 486, 65

≈ P(Y ≥ −1, 8),

= P(Y ≤ 1, 8),

≈ 0, 9641.

Question 3

P(20C ≥ 1, 2× 600),

ie : P(C ≥ 36).

P(C ≥ 36) ≈ P(X ≥ 36),

= P(48 + 6, 65Y ≥ 36) où Y ∼ N (0; 1),

= P(Y ≥ 36− 486, 65

≈ P(Y ≥ −1, 8),

= P(Y ≤ 1, 8),

≈ 0, 9641.

Question 3

P(20C ≥ 1, 2× 600),

ie : P(C ≥ 36).

P(C ≥ 36) ≈ P(X ≥ 36),

= P(48 + 6, 65Y ≥ 36) où Y ∼ N (0; 1),

= P(Y ≥ 36− 486, 65

≈ P(Y ≥ −1, 8),

= P(Y ≤ 1, 8),

≈ 0, 9641.

Remarque

La loi de C est une Binomiale(600 ; 0,08) et on a résolul’exercice en utilisant l’approximation de la loi de C par uneloi Normale.Refaire l’exo, en appliquant le TCL aux v.a ci .

Remarque

Exo 5Un joueur lance une pièce équilibrée : lorsqu’il obtient pile, ilgagne 100 Euros, lorsqu’il obtient face, il perd 100 Euros.Estimer le nombre maximal de lancers à effectuer pour que cejoueur ait plus de 95 chances sur 100 de perdre au plus 2000Euros.

Soit n un entier représentant un certain nombre de lancers.Posons pour 1 ≤ i ≤ n, les variables aléatoires :

{+100 si le joueur obtient pile au i ème lancé−100 sinon

on a, E(Xi) = 0 et σ(Xi) =√

E(X 2i ) = 100

Enfin,∑

i=1...n Xi := Sn = Somme acquise en n lancers.

on a, E(Xi) = 0 et σ(Xi) =√E(X 2

i ) = 100

Enfin,∑

E(X 2i ) = 100

Enfin,∑

E(X 2i ) = 100

Enfin,∑

E(X 2i ) = 100

Enfin,∑

Pour n grand, on peut utiliser l’approximation que donne le TCL,appliqué aux Xi . On obtient ainsi :

σ(X1)

(∑i=1...n Xi

n− E(X1)

)∼ N (0; 1).

donc √n

)∼ N (0; 1).

ie :Sn

100√

n∼ N (0; 1).

Reformulons la question : on cherche n tel que

P(Sn ≥ −2000) ≥ 0, 95

En vue d’utiliser le TCL, la question peut se re écrire :

100√

n≥ −2000

100√

n) ≥ 0, 95

σ(X1)

(∑i=1...n Xi

n− E(X1)

)∼ N (0; 1).

donc √n

)∼ N (0; 1).

ie :Sn

100√

n∼ N (0; 1).

P(Sn ≥ −2000) ≥ 0, 95

100√

n≥ −2000

100√

n) ≥ 0, 95

σ(X1)

(∑i=1...n Xi

n− E(X1)

)∼ N (0; 1).

donc √n

)∼ N (0; 1).

ie :Sn

100√

n∼ N (0; 1).

P(Sn ≥ −2000) ≥ 0, 95

100√

n≥ −2000

100√

n) ≥ 0, 95

σ(X1)

(∑i=1...n Xi

n− E(X1)

)∼ N (0; 1).

donc √n

)∼ N (0; 1).

ie :Sn

100√

n∼ N (0; 1).

P(Sn ≥ −2000) ≥ 0, 95

100√

n≥ −2000

100√

n) ≥ 0, 95

σ(X1)

(∑i=1...n Xi

n− E(X1)

)∼ N (0; 1).

donc √n

)∼ N (0; 1).

ie :Sn

100√

n∼ N (0; 1).

P(Sn ≥ −2000) ≥ 0, 95

100√

n≥ −2000

100√

n) ≥ 0, 95

On est donc ramené à trouver n tel que

P(Z ≥ −2000100√

n) ≥ 0, 95 où Z ∼ N (0; 1).

Or à l’aide de la table 2 de la loi Normale N (0; 1), on lit que :

P(Z ≥ −1, 64) = 0, 95.

Ainsi, on choisit n tel que −2000100√

n ≤ −1, 64. Ce qui donne

n ≤ (20

1, 64)2 ≈ 148, 72

Donc, avec proba 0,95, le joueur perd au plus 2000 euros dès quen ≤ 148.

P(Z ≥ −2000100√

n) ≥ 0, 95 où Z ∼ N (0; 1).

P(Z ≥ −1, 64) = 0, 95.

n ≤ (20

1, 64)2 ≈ 148, 72

P(Z ≥ −2000100√

n) ≥ 0, 95 où Z ∼ N (0; 1).

P(Z ≥ −1, 64) = 0, 95.

n ≤ (20

1, 64)2 ≈ 148, 72

P(Z ≥ −2000100√

n) ≥ 0, 95 où Z ∼ N (0; 1).

P(Z ≥ −1, 64) = 0, 95.

n ≤ (20

1, 64)2 ≈ 148, 72

P(Z ≥ −2000100√

n) ≥ 0, 95 où Z ∼ N (0; 1).

P(Z ≥ −1, 64) = 0, 95.

n ≤ (20

1, 64)2 ≈ 148, 72

P(Z ≥ −2000100√

n) ≥ 0, 95 où Z ∼ N (0; 1).

P(Z ≥ −1, 64) = 0, 95.

n ≤ (20

1, 64)2 ≈ 148, 72

ConclusionAinsi, avec proba 0,95 on est certain de perdre au plus 2000euros en jouant moins de 148 fois.

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