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FSTS - 2010 2 - 1
Automatismes IndustrielesMise à Niveau
PARTIE 1
LOGIQUE COMBINATOIRE
FSTS - 2010 2 - 2
Plan
Systèmes de numérotation Codes Algèbre de Boole Évaluation d’une fonction logique Tables de vérité Tables de Karnaugh Réduction
FSTS - 2010 2 - 3
Systèmes de numérotation
Tout nombre peut s'exprimer sous sa forme polynomiale :
N a bii
i
n
0
FSTS - 2010 2 - 4
Dans cette équation polynomiale:• b = base du système de numérotation• i = rang ou poids d'un nombre• a = nombre appartenant à {0,1, ... , (b-1)}
Exemple:• (1997)10 = 1x103 + 9X102 + 9x101 + 7x100
• Poids du chiffre 1 = 1000• Rang du chiffre 1 = 3
FSTS - 2010 2 - 5
Base Décimale (b = 10):• a {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Base Binaire (b = 2)• a {0,1}
Base Octale (b = 8)• a {0,1,2,3,4,5,6,7}
Base Hexadécimale (b = 16)• a {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}
Les principales bases
FSTS - 2010 2 - 6
Changements de base
Représentation de nombres décimaux De la base b à la base décimale De la base décimale à la base b
Représentation de nombres binaires De binaire à octal De octal à binaire De binaire à hexadécimal De hexadécimal à binaire
FSTS - 2010 2 - 7
De la base b à la base décimale (base 10)
Ecrire simplement la forme polynomiale, puis calculer.
Exemples: (237)8 = 2x82 + 3x81 + 7x80 = (159)10
(56A)16 = 5x162 + 6x161 + 10x160 = (1386)10
(101)2 = 1x22 + 0x21 + 1x20 = (5)10
FSTS - 2010 2 - 8
De la base décimale à la base b
Deux techniques: Soustractions successives Divisions successives
FSTS - 2010 2 - 9
Soustractions successives:
Exemple: (1386)10 = (?)16
Solution de l'exemple: 1386 - 256 = 1130 ; 1130 - 256 = 874 874 - 256 = 618 ; 618 - 256 = 362 362 - 256 = 106
Donc le nombre commence par un 5
FSTS - 2010 2 - 10
Poursuivons l'exemple:• 106 - 16 = 90 ; 90 - 16 = 74 • 74 - 16 = 58 ; 58 - 16 = 42 • 42 - 16 = 26 ; 26 - 16 = 10
Donc, le second nombre est un 6 Et le troisième est un 10 ou un A
Solution: (1386)10 = (56A)16
FSTS - 2010 2 - 11
Divisions successives:• Exemple: (1386)10 = (?)16
Solution de l'exemple:• 1386 ÷ 16 = 86 reste 10 (ou A)• 86 ÷ 16 = 5 reste 6 • 5 ÷ 16 = 0 reste 5
Donc le nombre est (56A)16
FSTS - 2010 2 - 12
De la base binaire à la base octale
Conversion en groupant des ensembles de 3 bits.• Exemple: (10010110)2 = (?)8
Rappel:• 000 = 0 ; 001 = 1 ; 010 = 2 ; 011 = 3 • 100 = 4 ; 101 = 5 ; 110 = 6 ; 111 = 7
Solution de l'exemple:• (010 010 110)2 = (226)8
FSTS - 2010 2 - 13
De la base octale à la base binaire
Opération inverse à la précédente
Exemple: (3452)8 = (?)2
Solution de l'exemple:• (3452)8 = (011 100 101 010)2
FSTS - 2010 2 - 14
De la base binaire à la base hexadécimale
Conversion en groupant des ensembles de 4 bits.
Exemple: (100101101)2 = (?)16
Solution de l'exemple:• (0001 0010 1101)2 = (12D)16
FSTS - 2010 2 - 15
De la base hexadécimale à la base binaire Opération inverse à la précédente
Exemple: (3F5B)16 = (?)2
Solution de l'exemple:• (3F5B)16 = (0011 1111 0101 1011)2
FSTS - 2010 2 - 16
Opérations mathématiquesen binaires
Addition Soustraction Multiplication Division
FSTS - 2010 2 - 17
Opérations mathématiquesen binaires
Addition
La table d’addition :0 + 0 = 00 + 1 = 11 + 0 = 11 + 1 = 0 et report de 1
FSTS - 2010 2 - 18
Opérations mathématiquesen binaires
Soustraction
La table de soustraction :0 - 0 = 00 - 1 = 1 et retenue de 11 - 0 = 11 - 1 = 0
FSTS - 2010 2 - 19
Opérations mathématiquesen binaires
Soustraction (suite)
Complément à 1 :S’obtient en complémentant le nombre binaire. Ex. A = 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0Complément à 1 de A = 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1
Complément à 2 :S’obtient en ajoutant 1 au complémentant à 1.Ex. A = 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0
Cà1(A) = 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1Complément à 2 de A = Cà1(A)+1 = 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0
FSTS - 2010 2 - 20
Opérations mathématiquesen binaires
Soustraction (suite)
Soustraction par complémentation à 2 et addition
Ex. 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1- 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 On ajoute des 0s
1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1+ 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 Complément à 1+ 1 Complément à 2------------------------------------------1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 On ignore le report
FSTS - 2010 2 - 21
Opérations mathématiquesen binaires
Soustraction (suite)
Lorsque le bit le plus significatif = 1, le nombre est négatif
Le complément à 2 du nombre négatif redonne le même nombre mais avec un signe positif
FSTS - 2010 2 - 22
Soustraction (suite & fin) Exemples
Addition de 2 nombre positifs
Soustraction de 2 nombres avec résultat positif
Soustraction de 2 nombres avec résultat négatif
Addition de 2 nombres positifs ( détection du changement de signe) -> débordement
Opérations mathématiquesen binaires
276188
0001101100111101 01011000
61 27 34
0011110111100101 00100010
27 61 34
000110111100001111011110
6188 149
0011110101011000 10010101
FSTS - 2010 2 - 23
Codes
BCD « Binary Coded Decimal »
Gray ou binaire réfléchi
ASCII « American Standard Code for Information Interchange »
Unicode
FSTS - 2010 2 - 24
Code BCDDécimal Codé Binaire :Chaque chiffre d'un nombre est codé sur 4 bits 0 00001 00012 0011…………10 0001 000011 0001 0001Ce code simplifie la conversion décimal binaire
FSTS - 2010 2 - 25
Code BCD (Binary coded decimal)
Souvent utilisé par les machines à calculer.
Combine les avantages du décimal et du binaire.
Les chiffres de 0 à 9 suivent le code binaire naturel. Donc les valeurs de A à F ne sont pas utilisées.
Opérations arithmétiques + complexes.
FSTS - 2010 2 - 26
Code Gray
Distance de 1 entre deux mots de code consécutif
0 0001 0012 0113 0104 1105 1116 1017 100
Ce code évite le changement simultané de 2 bits, et donc les états transitoires indésirables.
FSTS - 2010 2 - 27
Code ASCII
(American Standard Code for International Interchange).
Norme universelle pour la transmission de données. ASCII normal: 128 caractères sur 7 bits; ASCII étendu: 256 caractères sur 8 bits.
Norme ISO Latin 1
Principes
L'ASCII définit 128 caractères numérotés de 0 à 127 et codés en binaire de 0000000 à 1111111.
Sept bits suffisent donc pour représenter un caractère codé en ASCII.
Toutefois, les ordinateurs travaillant presque tous sur huit bits (un octet) depuis les années 1970, chaque caractère d'un texte en ASCII est stocké dans un octet dont le 8e bit est 0.
Les caractères de numéro 0 à 31 et le 127 ne sont pas affichables ; ils correspondent à des commandes de contrôle de terminal informatique. Le caractère numéro 32 est l'espace. Les autres caractères sont les chiffres arabes, les lettres latines majuscules et minuscules et quelques symboles de ponctuation.
FSTS - 2010 2 - 28
Extensions
De nombreuses normes de codage de caractères ont repris les codes ASCII, et défini d'autres caractères pour les codes supérieurs à 127.
En particulier, beaucoup de pages de codes étendent l'ASCII en utilisant le 8e bit pour définir des caractères numérotés de 128 à 255.
FSTS - 2010 2 - 29
FSTS - 2010 2 - 30
Code Unicode (ISO 8859-1)
Le code ASCII est limité à 256 caractères.
(Caractères imprimables)
Pour dépasser cette limite, une nouvelle norme sur 16 bits fut créée.
Donc, plus de 65 000 caractères disponibles:• Japonais, Mandarin, Grec, Russe, Hébreux, Arabe, Coréen, ...
2 - 31
Code en baseCaractère Signification
10 8 16 20 0 00 0000000 NUL Null (nul)
1 01 01 0000001 SOH Start of Header (début d'en-tête)
2 02 02 0000010 STX Start of Text (début du texte)
3 03 03 0000011 ETX End of Text (fin du texte)
4 04 04 0000100 EOTEnd of Transmission (fin de transmission)
5 05 05 0000101 ENQ Enquiry (demande)
6 06 06 0000110 ACK Acknowledge (accusé de réception)
7 07 07 0000111 BEL Bell (caractère d'appel)
8 010 08 0001000 BS Backspace (espacement arrière)
9 011 09 0001001 HT Horizontal Tab (tabulation horizontale)
10 012 0A 0001010 LF Line Feed (saut de ligne)
11 013 0B 0001011 VT Vertical Tab (tabulation verticale)
12 014 0C 0001100 FF Form Feed (saut de page)FSTS - 2010
Code en baseCaractère Signification
10 8 16 2
14 016 0E000111
0SO Shift Out (fin d'extension)
15 017 0F000111
1SI Shift In (démarrage d'extension)
16 020 10001000
0DLE Data Link Escape
17 021 11001000
1DC1
Device Control 1 à 4 (DC1 et DC3 sont généralement
utilisés pour coder XON et XOFF dans un canal de communication duplex)
18 022 12001001
0DC2
19 023 13001001
1DC3
20 024 14001010
0DC4
21 025 15001010
1NAK
Negative Acknowledge (accusé de réception négatif)
22 026 16001011
0SYN Synchronous Idle
23 027 17001011
1ETB
End of Transmission Block (fin du bloc de transmission)
24 030 18001100
0CAN Cancel (annulation)
25 031 19001100
1EM End of Medium (fin de support)
26 032 1A001101
0SUB Substitute (substitution)
FSTS - 2010 2 - 32
FSTS - 2010 2 - 33
Code en baseCaractère Signification
10 8 16 2
27 033 1B 0011011 ESC Escape (échappement)
28 034 1C 0011100 FS File Separator (séparateur de fichier)
29 035 1D 0011101 GS Group Separator (séparateur de groupe)
30 036 1E 0011110 RSRecord Separator (séparateur d'enregistrement)
31 037 1F 0011111 US Unit Separator (séparateur d'unité)
32 040 20 0100000 SP Espace (Space en anglais)
33 041 21 0100001 ! Point d'exclamation
34 042 22 0100010 " Guillemet droit
35 043 23 0100011 # Croisillon et parfois Dièse
36 044 24 0100100 $ Dollar (symbole)
37 045 25 0100101 % Pourcent
38 046 26 0100110 & Esperluette
39 047 27 0100111 ' Apostrophe droite ou Accent aigu
FSTS - 2010 2 - 34
Code en baseCaractère Caractère
10 8 16 2 10 8 16 2
40 050 28 0101000 (53 065 35
0110101
5
54 066 36011011
06
41 051 29010100
1) 55 067 37
0110111
7
42 052 2A010101
0* 56 070 38
0111000
8
43 053 2B010101
1+ 57 071 39
0111001
9
44 054 2C010110
0, 58 072 3A
0111010
:
45 055 2D010110
1- 59 073 3B
0111011
;
46 056 2E010111
0. 60 074 3C
0111100
<
47 057 2F010111
1/ 61 075 3D
0111101
=
48 060 30011000
00 62 076 3E
0111110
>
49 061 31011000
11 63 077 3F
0111111
?
50 062 32011001
02 64 0100 40
1000000
@
51 063 33011001
13 65 0101 41
1000001
A
52 064 34011010
04 66 0102 42
1000010
B
FSTS - 2010 2 - 35
Code en baseCaractère
10 8 16 2 10 8 16 2 Caractère
80 0120 50101000
0P
67010
343
1000011
C 81 0121 51101000
1Q
68010
444
1000100
D 82 0122 52101001
0R
69010
545
1000101
E 83 0123 53101001
1S
70010
646
1000110
F 84 0124 54101010
0T
71010
747
1000111
G 85 0125 55101010
1U
72011
048
1001000
H 86 0126 56101011
0V
73011
149
1001001
I 87 0127 57101011
1W
74011
24A
1001010
J 88 0130 58101100
0X
75011
34B
1001011
K 89 0131 59101100
1Y
76011
44C
1001100
L 90 0132 5A101101
0Z
77011
54D
1001101
M 91 0133 5B101101
1[
78011
64E
1001110
N 92 0134 5C101110
0\
79011
74F
1001111
O
FSTS - 2010 2 - 36
Encodage, décodage et affichage
Digital ElectronicsDigital ElectronicsPrinciples & ApplicationsPrinciples & Applications
Fifth EditionFifth Edition
Chapter 6Encoding, Decoding, andSeven-Segment Displays
©1999 Glencoe/McGraw-Hill
Roger L. Tokheim
FSTS - 2010 2 - 37
Algèbre de Boole
Opérations de base Lois fondamentales Théorèmes de Morgan Tables de vérité Tables de Karnaugh
FSTS - 2010 2 - 38
Opérations de base
Reposent sur 3 opérateurs de base: ET, OU, NON Toutes les équations logiques sont
formées de ces 3 opérateurs
FSTS - 2010 2 - 39
Fonction logique NON En anglais: NOT Représentation:
F = A ou F = /A
Entrée
Sortie
A F
0 1
1 0
Table de vérité:
Symbole graphique
FSTS - 2010 2 - 40
Fonction logique ET En anglais: AND Représentation:
F = A * B ou A • B ou AB
Entrées Sortie
A B F
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Table de vérité:
Symbole graphique
FSTS - 2010 2 - 41
Application de la porte ET
FSTS - 2010 2 - 42
Fonction logique OU En anglais: OR Représentation:
F = A + B
Entrées Sortie
A B F
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
Table de vérité:
Symbole graphique
FSTS - 2010 2 - 43
Application de la porte OU
FSTS - 2010 2 - 44
Fonction logique NON-ET En anglais: NAND Représentation:
F = A * B
Entrées Sortie
A B F
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Table de vérité:
Symbole graphique
FSTS - 2010 2 - 45
Application de la porte NON ET
FSTS - 2010 2 - 46
Fonction logique NON-OU En anglais: NOR Représentation:
F = A + B
Entrées Sortie
A B F
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
Table de vérité:
Symbole graphique
FSTS - 2010 2 - 47
Application
FSTS - 2010 2 - 48
Fonction OU-EXCLUSIF En anglais: EXOR Représentation:
F = A B
/B*A
B*/A
B*A+B*A
Entrées Sortie
A B F
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Table de vérité:
Symbole graphique
FSTS - 2010 2 - 49
Fonction NON OU-EXCLUSIF En anglais: EXNOR Représentation:
F = A B
/B*/A
B*A
/B*/A + B*A
Entrées Sortie
A B F
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Table de vérité:
Symbole graphique
Exemples de boitiers
FSTS - 2010 2 - 50
74LS00
74LS02
FSTS - 2010 2 - 51
74LS08
FSTS - 2010 2 - 52
Portes Nand à 3 entrées
74LS10
FSTS - 2010 2 - 53
FSTS - 2010 2 - 54
Règles, postulats et théorèmes Utiles pour la simplification des équations
logiques !
Lois fondamentales de l’algèbre booléenne
FSTS - 2010 2 - 55
Fermeture: Si A et B sont des variables Booléennes,
alors A+B, A*B sont aussi des variables Booléennes.
Commutativité A + B = B + A A * B = B * A
Règles, postulats et théorèmes
FSTS - 2010 2 - 56
Associativité A + (B + C) = (A + B) + C A * (B * C) = (A * B) * C
Distributivité ET/OU: A(B + C) = AB + AC OU/ET: A+(B*C) =
(A+B)*(A+C)
Règles, postulats et théorèmes
FSTS - 2010 2 - 57
Idempotence A + A = A A * A = A
Complémentarité A + A = 1 A * A = 0
Règles, postulats et théorèmes
FSTS - 2010 2 - 58
Identités remarquables 1 + A = 1 et 1 * A = A 0 + A = A et 0 * A = 0
Distributivité interne A + (B + C) = (A + B) + (A + C) A * (B * C) = (A * B) * (A * C)
Règles, postulats et théorèmes
FSTS - 2010 2 - 59
Règles (ou propriétés) de l’algèbre booléenne
FSTS - 2010 2 - 60
Postulats
FSTS - 2010 2 - 61
Théorèmes
FSTS - 2010 2 - 62
FSTS - 2010 2 - 63
Théorèmes de De Morgan
1) X+Y+Z = XYZ
X Y
Z
X Y
Z
X Y
Z
X Y
Z
FSTS - 2010 2 - 64
Théorèmes de De Morgan
2) XYZ = X+Y+Z
X Y
Z
X Y
Z
X Y
Z
X Y
Z
FSTS - 2010 2 - 65
Tables de vérité
0
C
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
B A S
Entrées Sortie
0
0
1
1
1
1
0
0
FSTS - 2010 2 - 66
Exemple Solution:
On construit l’équation de S en écrivant tous les termes donnant S=1.
Ainsi, S = 1: si C=0 et B=1 et A=0; ou si C=0 et B=1 et
A=1; ou si C=1 et B=0 et
A=1; ou si C=1 et B=1 et
A=0.
0
C
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
B A S
Entrées Sortie
0
0
1
1
1
1
0
0
FSTS - 2010 2 - 67
Exemple
Solution pour S=1. si C=0 et B=1 et A=0; ou si C=0 et B=1 et A=1; ou si C=1 et B=0 et A=1; ou si C=1 et B=1 et A=0.
On peut donc écrire: S = /C.B./A + /C.B.A +
C./B.A + C.B./A
0
C
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
B A S
Entrées Sortie
0
0
1
1
1
1
0
0
SCBACBACBACBA
FSTS - 2010 2 - 68
Exemple S = /C.B./A + /C.B.A + C./B.A + C.B./A On peut simplifier:
S = /C.B./A + C.B./A + /C.B.A + C./B.A
S = B./A.(/C+C) + /C.B.A + C./B.A
S = B./A.(1) + /C.B.A + C./B.A
S = B./A + /C.B.A + C./B.A S = B./A + A.(C B) "ou-exclusif"
FSTS - 2010 2 - 69
ExempleInspection visuelle ?
0
C
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
B A S
Entrées Sortie
0
0
1
1
1
1
0
0
S = /C.B + C./B.A + C.B./AS = /C.B + C.(A B)
S = B./A + /C.B.A + C./B.AS = B./A + A.(C B)
FSTS - 2010 2 - 70
Exercice
Soit deux nombres binaires sur 2 bits A et B, onveut effectuer R = A+B (arithmétique). R est sur 3 bits
Donner la table de vérité de Ri = Fi (A1,A0,B1,B0)
Donner les formes canoniques de Fi Simplifier les équations Proposer des schémas à base de portes OU,
ET,NON Idem avec des NAND seulement Idem avec 3 NON et 3 MUX 8 vers 1
FSTS - 2010 2 - 71
Solution A1 A0 B1 B0 R2 R1 R0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 1
0 0 1 0 0 1 0
0 0 1 1 0 1 1
0 1 0 0 0 0 1
0 1 0 1 0 1 0
0 1 1 0 0 1 1
0 1 1 1 1 0 0
1 0 0 0 0 1 0
1 0 0 1 0 1 1
1 0 1 0 1 0 0
1 0 1 1 1 0 1
1 1 0 0 0 1 1
1 1 0 1 1 0 0
1 1 1 0 1 0 1
1 1 1 1 1 1 0
R = A+B
FSTS - 2010 2 - 72
Donner les formes canoniques de Fi Première forme canonique
2 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
1 1 0 1 0
0
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . ...
...
R A A B B A A B B A A B B A A B B A A B B A A B B
R A A B B
R
Deuxième forme canonique
2 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
1 0 1 0 1 0 1 0
1 1 0 1 0
0
...
...
R A A B B A A B B A A B B A A B B
A A B B A A B B A A B B A A B B
A A B B A A B B
R A A B B
R
FSTS - 2010 2 - 73
Simplifier les équationsAlgébriquement
2 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
2 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0
2 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0
2 1 0 0 1 0 1 0 1 0
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . .
. . . . .
...
R A A B B A A B B A A B B A A B B A A B B A A B B
R A B B A A A A B B B A A B B
R A B B A A B A A B B
R B A B A A A A B B
R
FSTS - 2010 2 - 74
Proposer des schémas à base de portes OU, ET,NON
A1 A0 B1 B0
R2
2 1 0 0 1 0 1 0 1 0. . . . .R B A B A A A A B B
FSTS - 2010 2 - 75
La simplification des équations
La simplification est essentielle. On veut avoir le circuit le plus simple possible...
La simplification peut être un processus long si le système est complexe.
Heureusement, il existe des techniques simples pour simplifier.
FSTS - 2010 2 - 76
Méthodes de simplification
Il est possible d ’obtenir directement une équation sous sa forme simplifiée en utilisant une méthode de simplification graphique.
Méthode de simplification graphique: Tables de Karnaugh
FSTS - 2010 2 - 77
Table de Karnaugh
Représentation de la table de vérité sous forme graphique.
Nombre de cases = nombre de lignes de la table de vérité. Multiple de 2n (1, 2, 4, 8, 16, ...)
n = Nombre d ’entrées
FSTS - 2010 2 - 78
Table de Karnaugh
Avec n = 2: Entrées B et A 4 cases
0 . 1 .
2 . 3 .
AB 0 1
0
1
FSTS - 2010 2 - 79
Table de Karnaugh
Avec n = 3: Entrées C, B et A 8 cases
BA00 01 11 10
0
1
C
0 1 3 2
4 5 7 6
FSTS - 2010 2 - 80
Table de Karnaugh
Avec n = 4: Entrées D, C, B et A 16 cases
BA00 01 11 10
00
01
11
10
DC
0 1 3 2
4 5 7 6
12 13 15 14
8 9 11 10
FSTS - 2010 2 - 81
Exemple (Karnaugh)
BA00 01 11 10
0
1
C
0 1 3 2
4 5 7 6
0
0
0
1
1
0
1
1
TABLE DE VÉRITÉTABLE DE KARNAUGH
FSTS - 2010 2 - 82
Table de Karnaugh
À partir de la table, on simplifie en groupant les 1 adjacents.
Les 1 adjacents sont mis en évidence par l'ordre utilisé pour former la table
La taille d’un groupe est un multiple de 2k (1, 2, 4, 8, ...).
Le groupe doit être le plus carré possible.
FSTS - 2010 2 - 83
BA00 01 11 10
0
1
C
0 1 3 2
4 5 7 6
0
0
0
1
1
0
1
1
Exemple (Karnaugh) Simplification: S = /C.B + B./A + C./B.A
/C.B.A+/C.B./A = /C.B
/C.B./A+C.B./A=B./A
C./B.A
FSTS - 2010 2 - 84
Table de Karnaugh
Former les plus gros groupes possibles. Termes plus simples.
Un 1 peut faire partie de plusieurs groupes.
FSTS - 2010 2 - 85
BA00 01 11 10
00
01
11
10
DC
0 1 3 2
4 5 7 6
12 13 15 14
8 9 11 10
1 10 1
0 01 0
0 00 0
1 10 1
Exemple (Karnaugh) Les 1 des bords extrêmes sont adjacents.
La table se referme sur elle même.
/C./A
/C.B/D.C./B.A
S
S=/C./A+/C.B+/D.C./B.A
FSTS - 2010 2 - 86
Ex. Décodeur BCD – 7 Segment:74LS47
?
A
B
C
D
abcdefg
74LS47
Afficheur 7 segments
A B C D a b c d e f g
0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0
0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0
0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1
0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1
0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1
0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1
FSTS - 2010 2 - 87
Entrées Sorties
Equation de la sortie ‘a’ :
FSTS - 2010 2 - 88
A B C D a
0 0 0 0 1
0 0 0 1 0
0 0 1 0 1
0 0 1 1 1
0 1 0 0 0
0 1 0 1 1
0 1 1 0 1
0 1 1 1 1
1 0 0 0 1
1 0 0 1 1
00 01 11 10
00 1 0 1 101 0 1 1 111 10 1 1
ABCD
a
: Variable PhibooléenneOn peut la considérer 0 ou 1
00 01 11 10
00 1 0 1 1
01 0 1 1 1
11
10 1 1
FSTS - 2010 2 - 89
00 01 11 10
00 1 1 1 1
01 1 0 1 0
11
10 1 1
00 01 11 10
00 1 1 1 0
01 1 1 1 1
11
10 1 1
00 01 11 10
00 1 0 1 1
01 0 1 0 1
11
10 1 1
ABCD
a
ABCD
b
ABCD
d
ABCD
c
FSTS - 2010 2 - 90
00 01 11 10
00 0 0 1 1
01 1 1 0 1
11
10 1 1
00 01 11 10
00 1 0 0 0
01 1 1 0 1
11
10 1 1
00 01 11 10
00 1 0 0 1
01 0 0 0 1
11
10 1 0
ABCD
e
ABCD
g
ABCD
f
FSTS - 2010 2 - 91
SOMME DE PRODUITS (SOP) À partir d’une table de Karnaugh, nous
générons une somme de produits minimale en formant la sortie en encerclant les 1’s
YZ
00 01 11 10
WX
00 0 1 0 0
01 1 1 0 0
11 1 1 1 1
10 0 1 1 0
SOP F = W*X + /Y*Z + X*/Y + W*Z
FSTS - 2010 2 - 92
SOMME DE PRODUITS (SOP)YZ
00 01 11 10
WX
00 0 1 0 0
01 1 1 0 0
11 1 1 1 1
10 0 1 1 0
SOP, F = W*X + /Y*Z + X*/Y + W*Z
En appliquant Morgan, on peut transformer la somme de produits (SOP) en produit de sommes (POS)
POS, /F = (/W+/X) * (Y+/Z) * (/X+Y) * (/W+/Z)
Réalisation de SOP et de POS avec portes NON, ET et OU. Il ne faut pas oublier d’inverser la sortie si on réalise POS
FSTS - 2010 2 - 93
PRODUIT DE SOMMES (POS) À partir d’une table de Karnaugh, nous générons un produit de
sommes minimal en : Formant la somme de produits (SOP) de la sortie complémentée en
encerclant les 0’s Transformant cette SOP par De Morgan pour former le produit de
somme (POS) de la sortie non complémentée
YZ
00 01 11 10
WX
00 0 1 0 0
01 1 1 0 0
11 1 1 1 1
10 0 1 1 0
SOP, /F = /W*Y + /X*/Z
FSTS - 2010 2 - 94
PRODUIT DE SOMMES (POS)
YZ
00 01 11 10
WX
00 0 1 0 0
01 1 1 0 0
11 1 1 1 1
10 0 1 1 0
SOP, /F = /W*Y + /X*/Z
POS F = (W+/Y) * (X+Z)
En appliquant De Morgan, on peut transformer la somme de produits (SOP) en produit de sommes (POS)
Réalisation de SOP et de POS avec portes NON, ET et OU. Il ne faut pas oublier d’inverser la sortie si on réalise SOP
FSTS - 2010 2 - 95
SOP à POS et POS à SOP
Les théorèmes de De Morgan permettent de transformer une somme de produits (SOP) en un produit de sommes (POS) et vice-versa.
Si une fonction logique F s’exprime par une somme de produits, on peut la représenter par le complément d’un produit de sommes réalisé avec des portes NON-ET et NON-OU
Si une fonction logique F s’exprime par un produit de sommes, on peut la représenter par le complément d’une somme de produits réalisé avec des portes NON-ET et NON-OU
FSTS - 2010 2 - 96
Réalisation d’une fonction Fexprimée en somme de produits
avec des portes NON-ETSOP, F = (W*X) + (/Y*Z) + (X*/Y) + (W*Z)
À partir de SOP, on obtient une réalisation avec seulement des portes NON-ET
/{ /[F] } = /{ /[(W*X) + (/Y*Z) + (X*/Y) + (W*Z)] }
F = /{ /(W*X) * /(/Y*Z) * /(X*/Y) * /(W*Z) }
FSTS - 2010 2 - 97
Réalisation d’une fonction Fexprimée en produit de sommes
avec des portes NON-OU
À partir de POS, on obtient une réalisation avec seulement des portes NON-OU
POS F = (W+/Y) * (X+Z)
/{ /[F] } = /{ /[(W+/Y) * (X+Z)] }
F = /{ /(W+/Y) + /(X+Z)] }
C’est la réalisation la plus simple : 1 X Quad 2-Input NOR
FSTS - 2010 2 - 98
MULTIPLEXEUR 4 à 1
S1 S0 Out
0 0 I0
0 1 I1
1 0 I2
1 1 I3
I0
I1
I2
I3
S1 S0
4 -1
MUXOut
Écrivez l’équation de sortie
FSTS - 2010 2 - 99
DÉMULTIPLEXEUR 1 à 4
S1 S0 O0 O1 O2 O3
0 0 In - - -
0 1 - In - -
1 0 - - In -
1 1 - - - In
O0
O1
O2
O3
S1 S0
4 -1
MUXIn
- : non utilisé
Écrivez l’équation de sortie
FSTS - 2010 2 - 100
DÉCODEUR 2 à 4
O0
O1
O2
O3
I0
I1
Décodeur
2 - 4
I1 I0 O0 O1 O2 O3
0 0 1 0 0 0
0 1 0 1 0 0
1 0 0 0 1 0
1 1 0 0 0 1
Écrivez l’équation de sortie
FSTS - 2010 2 - 101
ENCODEUR 4 à 2
I0
I1
I2
I3
Encodeur
4 - 2
O0
O1
I0 I1 I2 I3 O1 O0
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 1
0 0 1 0 1 0
0 0 0 1 1 1
Écrivez l’équation de sortie
FSTS - 2010 2 - 102
ENCODEUR DE PRIORITÉ 4 à 2
Encodeur de
Priorité
4 - 2
I0
I1
I2
I3
O0
O1
I0 I1 I2 I3 O1 O0
1 X X X 0 0
0 1 X X 0 1
0 0 1 X 1 0
0 0 0 1 1 1
Écrivez l’équation de sortie
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