Cours Rizki Partie2

FSTS - 2010 2 - 1

Automatismes IndustrielesMise à Niveau

PARTIE 1

LOGIQUE COMBINATOIRE

FSTS - 2010 2 - 2

Plan

Systèmes de numérotation Codes Algèbre de Boole Évaluation d’une fonction logique Tables de vérité Tables de Karnaugh Réduction

FSTS - 2010 2 - 3

Systèmes de numérotation

Tout nombre peut s'exprimer sous sa forme polynomiale :

N a bii

i

n

0

FSTS - 2010 2 - 4

Dans cette équation polynomiale:• b = base du système de numérotation• i = rang ou poids d'un nombre• a = nombre appartenant à {0,1, ... , (b-1)}

Exemple:• (1997)10 = 1x103 + 9X102 + 9x101 + 7x100

• Poids du chiffre 1 = 1000• Rang du chiffre 1 = 3

FSTS - 2010 2 - 5

Base Décimale (b = 10):• a {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

Base Binaire (b = 2)• a {0,1}

Base Octale (b = 8)• a {0,1,2,3,4,5,6,7}

Base Hexadécimale (b = 16)• a {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}

Les principales bases

FSTS - 2010 2 - 6

Changements de base

Représentation de nombres décimaux De la base b à la base décimale De la base décimale à la base b

Représentation de nombres binaires De binaire à octal De octal à binaire De binaire à hexadécimal De hexadécimal à binaire

FSTS - 2010 2 - 7

De la base b à la base décimale (base 10)

Ecrire simplement la forme polynomiale, puis calculer.

Exemples: (237)8 = 2x82 + 3x81 + 7x80 = (159)10

(56A)16 = 5x162 + 6x161 + 10x160 = (1386)10

(101)2 = 1x22 + 0x21 + 1x20 = (5)10

FSTS - 2010 2 - 8

De la base décimale à la base b

Deux techniques: Soustractions successives Divisions successives

FSTS - 2010 2 - 9

Soustractions successives:

Exemple: (1386)10 = (?)16

Solution de l'exemple: 1386 - 256 = 1130 ; 1130 - 256 = 874 874 - 256 = 618 ; 618 - 256 = 362 362 - 256 = 106

Donc le nombre commence par un 5

FSTS - 2010 2 - 10

Poursuivons l'exemple:• 106 - 16 = 90 ; 90 - 16 = 74 • 74 - 16 = 58 ; 58 - 16 = 42 • 42 - 16 = 26 ; 26 - 16 = 10

Donc, le second nombre est un 6 Et le troisième est un 10 ou un A

Solution: (1386)10 = (56A)16

FSTS - 2010 2 - 11

Divisions successives:• Exemple: (1386)10 = (?)16

Solution de l'exemple:• 1386 ÷ 16 = 86 reste 10 (ou A)• 86 ÷ 16 = 5 reste 6 • 5 ÷ 16 = 0 reste 5

Donc le nombre est (56A)16

FSTS - 2010 2 - 12

De la base binaire à la base octale

Conversion en groupant des ensembles de 3 bits.• Exemple: (10010110)2 = (?)8

Rappel:• 000 = 0 ; 001 = 1 ; 010 = 2 ; 011 = 3 • 100 = 4 ; 101 = 5 ; 110 = 6 ; 111 = 7

Solution de l'exemple:• (010 010 110)2 = (226)8

FSTS - 2010 2 - 13

De la base octale à la base binaire

Opération inverse à la précédente

Exemple: (3452)8 = (?)2

Solution de l'exemple:• (3452)8 = (011 100 101 010)2

FSTS - 2010 2 - 14

De la base binaire à la base hexadécimale

Conversion en groupant des ensembles de 4 bits.

Exemple: (100101101)2 = (?)16

Solution de l'exemple:• (0001 0010 1101)2 = (12D)16

FSTS - 2010 2 - 15

De la base hexadécimale à la base binaire Opération inverse à la précédente

Exemple: (3F5B)16 = (?)2

Solution de l'exemple:• (3F5B)16 = (0011 1111 0101 1011)2

FSTS - 2010 2 - 16

Opérations mathématiquesen binaires

Addition Soustraction Multiplication Division

FSTS - 2010 2 - 17


Addition

La table d’addition :0 + 0 = 00 + 1 = 11 + 0 = 11 + 1 = 0 et report de 1

FSTS - 2010 2 - 18


Soustraction

La table de soustraction :0 - 0 = 00 - 1 = 1 et retenue de 11 - 0 = 11 - 1 = 0

FSTS - 2010 2 - 19


Soustraction (suite)

Complément à 1 :S’obtient en complémentant le nombre binaire. Ex. A = 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0Complément à 1 de A = 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1

Complément à 2 :S’obtient en ajoutant 1 au complémentant à 1.Ex. A = 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0

Cà1(A) = 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1Complément à 2 de A = Cà1(A)+1 = 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0

FSTS - 2010 2 - 20



Soustraction par complémentation à 2 et addition

Ex. 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1- 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 On ajoute des 0s

1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1+ 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 Complément à 1+ 1 Complément à 2------------------------------------------1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 On ignore le report

FSTS - 2010 2 - 21



Lorsque le bit le plus significatif = 1, le nombre est négatif

Le complément à 2 du nombre négatif redonne le même nombre mais avec un signe positif

FSTS - 2010 2 - 22

Soustraction (suite & fin) Exemples

Addition de 2 nombre positifs

Soustraction de 2 nombres avec résultat positif

Soustraction de 2 nombres avec résultat négatif

Addition de 2 nombres positifs ( détection du changement de signe) -> débordement


276188

0001101100111101 01011000

61 27 34

0011110111100101 00100010

27 61 34

000110111100001111011110

6188 149

0011110101011000 10010101

FSTS - 2010 2 - 23

Codes

BCD « Binary Coded Decimal »

Gray ou binaire réfléchi

ASCII « American Standard Code for Information Interchange »

Unicode

FSTS - 2010 2 - 24

Code BCDDécimal Codé Binaire :Chaque chiffre d'un nombre est codé sur 4 bits 0 00001 00012 0011…………10 0001 000011 0001 0001Ce code simplifie la conversion décimal binaire

FSTS - 2010 2 - 25

Code BCD (Binary coded decimal)

Souvent utilisé par les machines à calculer.

Combine les avantages du décimal et du binaire.

Les chiffres de 0 à 9 suivent le code binaire naturel. Donc les valeurs de A à F ne sont pas utilisées.

Opérations arithmétiques + complexes.

FSTS - 2010 2 - 26

Code Gray

Distance de 1 entre deux mots de code consécutif

0 0001 0012 0113 0104 1105 1116 1017 100

Ce code évite le changement simultané de 2 bits, et donc les états transitoires indésirables.

FSTS - 2010 2 - 27

Code ASCII

(American Standard Code for International Interchange).

Norme universelle pour la transmission de données. ASCII normal: 128 caractères sur 7 bits; ASCII étendu: 256 caractères sur 8 bits.

Norme ISO Latin 1

Principes

L'ASCII définit 128 caractères numérotés de 0 à 127 et codés en binaire de 0000000 à 1111111.

Sept bits suffisent donc pour représenter un caractère codé en ASCII.

Toutefois, les ordinateurs travaillant presque tous sur huit bits (un octet) depuis les années 1970, chaque caractère d'un texte en ASCII est stocké dans un octet dont le 8e bit est 0.

Les caractères de numéro 0 à 31 et le 127 ne sont pas affichables ; ils correspondent à des commandes de contrôle de terminal informatique. Le caractère numéro 32 est l'espace. Les autres caractères sont les chiffres arabes, les lettres latines majuscules et minuscules et quelques symboles de ponctuation.

FSTS - 2010 2 - 28

Extensions

De nombreuses normes de codage de caractères ont repris les codes ASCII, et défini d'autres caractères pour les codes supérieurs à 127.

En particulier, beaucoup de pages de codes étendent l'ASCII en utilisant le 8e bit pour définir des caractères numérotés de 128 à 255.

FSTS - 2010 2 - 29

FSTS - 2010 2 - 30

Code Unicode (ISO 8859-1)

Le code ASCII est limité à 256 caractères.

(Caractères imprimables)

Pour dépasser cette limite, une nouvelle norme sur 16 bits fut créée.

Donc, plus de 65 000 caractères disponibles:• Japonais, Mandarin, Grec, Russe, Hébreux, Arabe, Coréen, ...

2 - 31

Code en baseCaractère Signification

10 8 16 20 0 00 0000000 NUL Null (nul)

1 01 01 0000001 SOH Start of Header (début d'en-tête)

2 02 02 0000010 STX Start of Text (début du texte)

3 03 03 0000011 ETX End of Text (fin du texte)

4 04 04 0000100 EOTEnd of Transmission (fin de transmission)

5 05 05 0000101 ENQ Enquiry (demande)

6 06 06 0000110 ACK Acknowledge (accusé de réception)

7 07 07 0000111 BEL Bell (caractère d'appel)

8 010 08 0001000 BS Backspace (espacement arrière)

9 011 09 0001001 HT Horizontal Tab (tabulation horizontale)

10 012 0A 0001010 LF Line Feed (saut de ligne)

11 013 0B 0001011 VT Vertical Tab (tabulation verticale)

12 014 0C 0001100 FF Form Feed (saut de page)FSTS - 2010


10 8 16 2

14 016 0E000111

0SO Shift Out (fin d'extension)

15 017 0F000111

1SI Shift In (démarrage d'extension)

16 020 10001000

0DLE Data Link Escape

17 021 11001000

1DC1

Device Control 1 à 4 (DC1 et DC3 sont généralement

utilisés pour coder XON et XOFF dans un canal de communication duplex)

18 022 12001001

0DC2

19 023 13001001

1DC3

20 024 14001010

0DC4

21 025 15001010

1NAK

Negative Acknowledge (accusé de réception négatif)

22 026 16001011

0SYN Synchronous Idle

23 027 17001011

1ETB

End of Transmission Block (fin du bloc de transmission)

24 030 18001100

0CAN Cancel (annulation)

25 031 19001100

1EM End of Medium (fin de support)

26 032 1A001101

0SUB Substitute (substitution)

FSTS - 2010 2 - 32

FSTS - 2010 2 - 33


10 8 16 2

27 033 1B 0011011 ESC Escape (échappement)

28 034 1C 0011100 FS File Separator (séparateur de fichier)

29 035 1D 0011101 GS Group Separator (séparateur de groupe)

30 036 1E 0011110 RSRecord Separator (séparateur d'enregistrement)

31 037 1F 0011111 US Unit Separator (séparateur d'unité)

32 040 20 0100000 SP Espace (Space en anglais)

33 041 21 0100001 ! Point d'exclamation

34 042 22 0100010 " Guillemet droit

35 043 23 0100011 # Croisillon et parfois Dièse

36 044 24 0100100 $ Dollar (symbole)

37 045 25 0100101 % Pourcent

38 046 26 0100110 & Esperluette

39 047 27 0100111 ' Apostrophe droite ou Accent aigu

FSTS - 2010 2 - 34

Code en baseCaractère Caractère

10 8 16 2 10 8 16 2

40 050 28 0101000 (53 065 35

0110101

5

54 066 36011011

06

41 051 29010100

1) 55 067 37

0110111

7

42 052 2A010101

0* 56 070 38

0111000

8

43 053 2B010101

1+ 57 071 39

0111001

9

44 054 2C010110

0, 58 072 3A

0111010

:

45 055 2D010110

1- 59 073 3B

0111011

;

46 056 2E010111

0. 60 074 3C

0111100

<

47 057 2F010111

1/ 61 075 3D

0111101

=

48 060 30011000

00 62 076 3E

0111110

>

49 061 31011000

11 63 077 3F

0111111

?

50 062 32011001

02 64 0100 40

1000000

@

51 063 33011001

13 65 0101 41

1000001

A

52 064 34011010

04 66 0102 42

1000010

B

FSTS - 2010 2 - 35

Code en baseCaractère

10 8 16 2 10 8 16 2 Caractère

80 0120 50101000

0P

67010

343

1000011

C 81 0121 51101000

1Q

68010

444

1000100

D 82 0122 52101001

0R

69010

545

1000101

E 83 0123 53101001

1S

70010

646

1000110

F 84 0124 54101010

0T

71010

747

1000111

G 85 0125 55101010

1U

72011

048

1001000

H 86 0126 56101011

0V

73011

149

1001001

I 87 0127 57101011

1W

74011

24A

1001010

J 88 0130 58101100

0X

75011

34B

1001011

K 89 0131 59101100

1Y

76011

44C

1001100

L 90 0132 5A101101

0Z

77011

54D

1001101

M 91 0133 5B101101

1[

78011

64E

1001110

N 92 0134 5C101110

0\

79011

74F

1001111

O

FSTS - 2010 2 - 36

Encodage, décodage et affichage

Digital ElectronicsDigital ElectronicsPrinciples & ApplicationsPrinciples & Applications

Fifth EditionFifth Edition

Chapter 6Encoding, Decoding, andSeven-Segment Displays

©1999 Glencoe/McGraw-Hill

Roger L. Tokheim

FSTS - 2010 2 - 37

Algèbre de Boole

Opérations de base Lois fondamentales Théorèmes de Morgan Tables de vérité Tables de Karnaugh

FSTS - 2010 2 - 38

Opérations de base

Reposent sur 3 opérateurs de base: ET, OU, NON Toutes les équations logiques sont

formées de ces 3 opérateurs

FSTS - 2010 2 - 39

Fonction logique NON En anglais: NOT Représentation:

F = A ou F = /A

Entrée

Sortie

A F

0 1

1 0

Table de vérité:

Symbole graphique

FSTS - 2010 2 - 40

Fonction logique ET En anglais: AND Représentation:

F = A * B ou A • B ou AB

Entrées Sortie

A B F

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Table de vérité:

Symbole graphique

FSTS - 2010 2 - 41

Application de la porte ET

FSTS - 2010 2 - 42

Fonction logique OU En anglais: OR Représentation:

F = A + B

Entrées Sortie

A B F

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

Table de vérité:

Symbole graphique

FSTS - 2010 2 - 43

Application de la porte OU

FSTS - 2010 2 - 44

Fonction logique NON-ET En anglais: NAND Représentation:

F = A * B

Entrées Sortie

A B F

0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0

Table de vérité:

Symbole graphique

FSTS - 2010 2 - 45

Application de la porte NON ET

FSTS - 2010 2 - 46

Fonction logique NON-OU En anglais: NOR Représentation:

F = A + B

Entrées Sortie

A B F

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 0

Table de vérité:

Symbole graphique

FSTS - 2010 2 - 47

Application

FSTS - 2010 2 - 48

Fonction OU-EXCLUSIF En anglais: EXOR Représentation:

F = A B

/B*A

B*/A

B*A+B*A

Entrées Sortie

A B F

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

Table de vérité:

Symbole graphique

FSTS - 2010 2 - 49

Fonction NON OU-EXCLUSIF En anglais: EXNOR Représentation:

F = A B

/B*/A

B*A

/B*/A + B*A

Entrées Sortie

A B F

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Table de vérité:

Symbole graphique

Exemples de boitiers

FSTS - 2010 2 - 50

74LS00

74LS02

FSTS - 2010 2 - 51

74LS08

FSTS - 2010 2 - 52

Portes Nand à 3 entrées

74LS10

FSTS - 2010 2 - 53

FSTS - 2010 2 - 54

Règles, postulats et théorèmes Utiles pour la simplification des équations

logiques !

Lois fondamentales de l’algèbre booléenne

FSTS - 2010 2 - 55

Fermeture: Si A et B sont des variables Booléennes,

alors A+B, A*B sont aussi des variables Booléennes.

Commutativité A + B = B + A A * B = B * A

Règles, postulats et théorèmes

FSTS - 2010 2 - 56

Associativité A + (B + C) = (A + B) + C A * (B * C) = (A * B) * C

Distributivité ET/OU: A(B + C) = AB + AC OU/ET: A+(B*C) =

(A+B)*(A+C)


FSTS - 2010 2 - 57

Idempotence A + A = A A * A = A

Complémentarité A + A = 1 A * A = 0


FSTS - 2010 2 - 58

Identités remarquables 1 + A = 1 et 1 * A = A 0 + A = A et 0 * A = 0

Distributivité interne A + (B + C) = (A + B) + (A + C) A * (B * C) = (A * B) * (A * C)


FSTS - 2010 2 - 59

Règles (ou propriétés) de l’algèbre booléenne

FSTS - 2010 2 - 60

Postulats

FSTS - 2010 2 - 61

Théorèmes

FSTS - 2010 2 - 62

FSTS - 2010 2 - 63

Théorèmes de De Morgan

1) X+Y+Z = XYZ

X Y

Z

X Y

Z

X Y

Z

X Y

Z

FSTS - 2010 2 - 64

Théorèmes de De Morgan

2) XYZ = X+Y+Z

X Y

Z

X Y

Z

X Y

Z

X Y

Z

FSTS - 2010 2 - 65

Tables de vérité

0

C

0

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

B A S

Entrées Sortie

0

0

1

1

1

1

0

0

FSTS - 2010 2 - 66

Exemple Solution:

On construit l’équation de S en écrivant tous les termes donnant S=1.

Ainsi, S = 1: si C=0 et B=1 et A=0; ou si C=0 et B=1 et

A=1; ou si C=1 et B=0 et

A=1; ou si C=1 et B=1 et

A=0.

0

C

0

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

B A S

Entrées Sortie

0

0

1

1

1

1

0

0

FSTS - 2010 2 - 67

Exemple

Solution pour S=1. si C=0 et B=1 et A=0; ou si C=0 et B=1 et A=1; ou si C=1 et B=0 et A=1; ou si C=1 et B=1 et A=0.

On peut donc écrire: S = /C.B./A + /C.B.A +

C./B.A + C.B./A

0

C

0

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

B A S

Entrées Sortie

0

0

1

1

1

1

0

0

SCBACBACBACBA

FSTS - 2010 2 - 68

Exemple S = /C.B./A + /C.B.A + C./B.A + C.B./A On peut simplifier:

S = /C.B./A + C.B./A + /C.B.A + C./B.A

S = B./A.(/C+C) + /C.B.A + C./B.A

S = B./A.(1) + /C.B.A + C./B.A

S = B./A + /C.B.A + C./B.A S = B./A + A.(C B) "ou-exclusif"

FSTS - 2010 2 - 69

ExempleInspection visuelle ?

0

C

0

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

B A S

Entrées Sortie

0

0

1

1

1

1

0

0

S = /C.B + C./B.A + C.B./AS = /C.B + C.(A B)

S = B./A + /C.B.A + C./B.AS = B./A + A.(C B)

FSTS - 2010 2 - 70

Exercice

Soit deux nombres binaires sur 2 bits A et B, onveut effectuer R = A+B (arithmétique). R est sur 3 bits

Donner la table de vérité de Ri = Fi (A1,A0,B1,B0)

Donner les formes canoniques de Fi Simplifier les équations Proposer des schémas à base de portes OU,

ET,NON Idem avec des NAND seulement Idem avec 3 NON et 3 MUX 8 vers 1

FSTS - 2010 2 - 71

Solution A1 A0 B1 B0 R2 R1 R0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 1

0 0 1 0 0 1 0

0 0 1 1 0 1 1

0 1 0 0 0 0 1

0 1 0 1 0 1 0

0 1 1 0 0 1 1

0 1 1 1 1 0 0

1 0 0 0 0 1 0

1 0 0 1 0 1 1

1 0 1 0 1 0 0

1 0 1 1 1 0 1

1 1 0 0 0 1 1

1 1 0 1 1 0 0

1 1 1 0 1 0 1

1 1 1 1 1 1 0

R = A+B

FSTS - 2010 2 - 72

Donner les formes canoniques de Fi Première forme canonique

2 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

1 1 0 1 0

0

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . ...

...

R A A B B A A B B A A B B A A B B A A B B A A B B

R A A B B

R

Deuxième forme canonique

2 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

1 0 1 0 1 0 1 0

1 1 0 1 0

0

...

...

R A A B B A A B B A A B B A A B B

A A B B A A B B A A B B A A B B

A A B B A A B B

R A A B B

R

FSTS - 2010 2 - 73

Simplifier les équationsAlgébriquement

2 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

2 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0

2 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0

2 1 0 0 1 0 1 0 1 0

1

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . .

...

R A A B B A A B B A A B B A A B B A A B B A A B B

R A B B A A A A B B B A A B B

R A B B A A B A A B B

R B A B A A A A B B

R

FSTS - 2010 2 - 74

Proposer des schémas à base de portes OU, ET,NON

A1 A0 B1 B0

R2

2 1 0 0 1 0 1 0 1 0. . . . .R B A B A A A A B B

FSTS - 2010 2 - 75

La simplification des équations

La simplification est essentielle. On veut avoir le circuit le plus simple possible...

La simplification peut être un processus long si le système est complexe.

Heureusement, il existe des techniques simples pour simplifier.

FSTS - 2010 2 - 76

Méthodes de simplification

Il est possible d ’obtenir directement une équation sous sa forme simplifiée en utilisant une méthode de simplification graphique.

Méthode de simplification graphique: Tables de Karnaugh

FSTS - 2010 2 - 77

Table de Karnaugh

Représentation de la table de vérité sous forme graphique.

Nombre de cases = nombre de lignes de la table de vérité. Multiple de 2n (1, 2, 4, 8, 16, ...)

n = Nombre d ’entrées

FSTS - 2010 2 - 78

Table de Karnaugh

Avec n = 2: Entrées B et A 4 cases

0 . 1 .

2 . 3 .

AB 0 1

0

1

FSTS - 2010 2 - 79

Table de Karnaugh

Avec n = 3: Entrées C, B et A 8 cases

BA00 01 11 10

0

1

C

0 1 3 2

4 5 7 6

FSTS - 2010 2 - 80

Table de Karnaugh

Avec n = 4: Entrées D, C, B et A 16 cases

BA00 01 11 10

00

01

11

10

DC

0 1 3 2

4 5 7 6

12 13 15 14

8 9 11 10

FSTS - 2010 2 - 81

Exemple (Karnaugh)

BA00 01 11 10

0

1

C

0 1 3 2

4 5 7 6

0

0

0

1

1

0

1

1

TABLE DE VÉRITÉTABLE DE KARNAUGH

FSTS - 2010 2 - 82

Table de Karnaugh

À partir de la table, on simplifie en groupant les 1 adjacents.

Les 1 adjacents sont mis en évidence par l'ordre utilisé pour former la table

La taille d’un groupe est un multiple de 2k (1, 2, 4, 8, ...).

Le groupe doit être le plus carré possible.

FSTS - 2010 2 - 83

BA00 01 11 10

0

1

C

0 1 3 2

4 5 7 6

0

0

0

1

1

0

1

1

Exemple (Karnaugh) Simplification: S = /C.B + B./A + C./B.A

/C.B.A+/C.B./A = /C.B

/C.B./A+C.B./A=B./A

C./B.A

FSTS - 2010 2 - 84

Table de Karnaugh

Former les plus gros groupes possibles. Termes plus simples.

Un 1 peut faire partie de plusieurs groupes.

FSTS - 2010 2 - 85

BA00 01 11 10

00

01

11

10

DC

0 1 3 2

4 5 7 6

12 13 15 14

8 9 11 10

1 10 1

0 01 0

0 00 0

1 10 1

Exemple (Karnaugh) Les 1 des bords extrêmes sont adjacents.

La table se referme sur elle même.

/C./A

/C.B/D.C./B.A

S

S=/C./A+/C.B+/D.C./B.A

FSTS - 2010 2 - 86

Ex. Décodeur BCD – 7 Segment:74LS47

?

A

B

C

D

abcdefg

74LS47

Afficheur 7 segments

A B C D a b c d e f g

0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0

0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0

0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1

0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1

0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1

0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1

0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0

1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1

1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1

FSTS - 2010 2 - 87

Entrées Sorties

Equation de la sortie ‘a’ :

FSTS - 2010 2 - 88

A B C D a

0 0 0 0 1

0 0 0 1 0

0 0 1 0 1

0 0 1 1 1

0 1 0 0 0

0 1 0 1 1

0 1 1 0 1

0 1 1 1 1

1 0 0 0 1

1 0 0 1 1

00 01 11 10

00 1 0 1 101 0 1 1 111 10 1 1

ABCD

a

: Variable PhibooléenneOn peut la considérer 0 ou 1

00 01 11 10

00 1 0 1 1

01 0 1 1 1

11

10 1 1

FSTS - 2010 2 - 89

00 01 11 10

00 1 1 1 1

01 1 0 1 0

11

10 1 1

00 01 11 10

00 1 1 1 0

01 1 1 1 1

11

10 1 1

00 01 11 10

00 1 0 1 1

01 0 1 0 1

11

10 1 1

ABCD

a

ABCD

b

ABCD

d

ABCD

c

FSTS - 2010 2 - 90

00 01 11 10

00 0 0 1 1

01 1 1 0 1

11

10 1 1

00 01 11 10

00 1 0 0 0

01 1 1 0 1

11

10 1 1

00 01 11 10

00 1 0 0 1

01 0 0 0 1

11

10 1 0

ABCD

e

ABCD

g

ABCD

f

FSTS - 2010 2 - 91

SOMME DE PRODUITS (SOP) À partir d’une table de Karnaugh, nous

générons une somme de produits minimale en formant la sortie en encerclant les 1’s

YZ

00 01 11 10

WX

00 0 1 0 0

01 1 1 0 0

11 1 1 1 1

10 0 1 1 0

SOP F = W*X + /Y*Z + X*/Y + W*Z

FSTS - 2010 2 - 92

SOMME DE PRODUITS (SOP)YZ

00 01 11 10

WX

00 0 1 0 0

01 1 1 0 0

11 1 1 1 1

10 0 1 1 0

SOP, F = W*X + /Y*Z + X*/Y + W*Z

En appliquant Morgan, on peut transformer la somme de produits (SOP) en produit de sommes (POS)

POS, /F = (/W+/X) * (Y+/Z) * (/X+Y) * (/W+/Z)

Réalisation de SOP et de POS avec portes NON, ET et OU. Il ne faut pas oublier d’inverser la sortie si on réalise POS

FSTS - 2010 2 - 93

PRODUIT DE SOMMES (POS) À partir d’une table de Karnaugh, nous générons un produit de

sommes minimal en : Formant la somme de produits (SOP) de la sortie complémentée en

encerclant les 0’s Transformant cette SOP par De Morgan pour former le produit de

somme (POS) de la sortie non complémentée

YZ

00 01 11 10

WX

00 0 1 0 0

01 1 1 0 0

11 1 1 1 1

10 0 1 1 0

SOP, /F = /W*Y + /X*/Z

FSTS - 2010 2 - 94

PRODUIT DE SOMMES (POS)

YZ

00 01 11 10

WX

00 0 1 0 0

01 1 1 0 0

11 1 1 1 1

10 0 1 1 0

SOP, /F = /W*Y + /X*/Z

POS F = (W+/Y) * (X+Z)

En appliquant De Morgan, on peut transformer la somme de produits (SOP) en produit de sommes (POS)

Réalisation de SOP et de POS avec portes NON, ET et OU. Il ne faut pas oublier d’inverser la sortie si on réalise SOP

FSTS - 2010 2 - 95

SOP à POS et POS à SOP

Les théorèmes de De Morgan permettent de transformer une somme de produits (SOP) en un produit de sommes (POS) et vice-versa.

Si une fonction logique F s’exprime par une somme de produits, on peut la représenter par le complément d’un produit de sommes réalisé avec des portes NON-ET et NON-OU

Si une fonction logique F s’exprime par un produit de sommes, on peut la représenter par le complément d’une somme de produits réalisé avec des portes NON-ET et NON-OU

FSTS - 2010 2 - 96

Réalisation d’une fonction Fexprimée en somme de produits

avec des portes NON-ETSOP, F = (W*X) + (/Y*Z) + (X*/Y) + (W*Z)

À partir de SOP, on obtient une réalisation avec seulement des portes NON-ET

/{ /[F] } = /{ /[(W*X) + (/Y*Z) + (X*/Y) + (W*Z)] }

F = /{ /(W*X) * /(/Y*Z) * /(X*/Y) * /(W*Z) }

FSTS - 2010 2 - 97

Réalisation d’une fonction Fexprimée en produit de sommes

avec des portes NON-OU

À partir de POS, on obtient une réalisation avec seulement des portes NON-OU

POS F = (W+/Y) * (X+Z)

/{ /[F] } = /{ /[(W+/Y) * (X+Z)] }

F = /{ /(W+/Y) + /(X+Z)] }

C’est la réalisation la plus simple : 1 X Quad 2-Input NOR

FSTS - 2010 2 - 98

MULTIPLEXEUR 4 à 1

S1 S0 Out

0 0 I0

0 1 I1

1 0 I2

1 1 I3

I0

I1

I2

I3

S1 S0

4 -1

MUXOut

Écrivez l’équation de sortie

FSTS - 2010 2 - 99

DÉMULTIPLEXEUR 1 à 4

S1 S0 O0 O1 O2 O3

0 0 In - - -

0 1 - In - -

1 0 - - In -

1 1 - - - In

O0

O1

O2

O3

S1 S0

4 -1

MUXIn

- : non utilisé


FSTS - 2010 2 - 100

DÉCODEUR 2 à 4

O0

O1

O2

O3

I0

I1

Décodeur

2 - 4

I1 I0 O0 O1 O2 O3

0 0 1 0 0 0

0 1 0 1 0 0

1 0 0 0 1 0

1 1 0 0 0 1


FSTS - 2010 2 - 101

ENCODEUR 4 à 2

I0

I1

I2

I3

Encodeur

4 - 2

O0

O1

I0 I1 I2 I3 O1 O0

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 1

0 0 1 0 1 0

0 0 0 1 1 1


FSTS - 2010 2 - 102

ENCODEUR DE PRIORITÉ 4 à 2

Encodeur de

Priorité

4 - 2

I0

I1

I2

I3

O0

O1

I0 I1 I2 I3 O1 O0

1 X X X 0 0

0 1 X X 0 1

0 0 1 X 1 0

0 0 0 1 1 1


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Cours Rizki Partie2