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8/16/2019 Curvatura de Gauss.docx
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Curvatura de Gauss
La curvatura gaussiana de una superficie es un número real (P0) que mide la curvatura
intrínseca en cada punto regular P0 de una superficie. Esta curvatura puede calcularse a partir de los determinantes de la primera y segunda formas fundamentales de la
superficie:
Esta curvatura gaussiana en general varía de un punto a otro de la superficie y está
relacionada con las curvaturas principales de cada punto (k y k !)" mediante la relaci#n K
$ k k !.
%n caso interesante de superficie es la esfera" que tiene la misma curvatura en todos sus puntos. &alculando la curvatura de 'auss de una esfera (!esfera). partir de la f#rmula
anterior se llega fácilmente a que para una esfera de radio r " la curvatura gaussiana es igual
en todos los puntos e igual a .
*i +ien o+servamos que ,ay superficies que tienen curvatura constante" la curvatura
gaussiana de+e verse como una relaci#n donde
(una funci#n diferencia+le so+re *) que asigna a cada superficie su funci#n de curvatura
gaussiana.La manera actual de definir la curvatura gaussiana es mediante el operador de forma (del
ingl-s s,ape operator ) de la superficie S :
" definido mediante
onde son los vectores tangentes coordenados y están siendo evaluados en la
posici#n p.
&on la derivada (/aco+iano) del operador de forma
uno o+tiene una transformaci#n lineal autoad/unta llamada transformación deWeingarten y así" la curvatura gaussiana es determinante de L" i.e.
http://es.wikipedia.org/wiki/Esferahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Operador_de_forma&action=edit&redlink=1http://en.wikipedia.org/wiki/Shape_operator#Shttp://es.wikipedia.org/wiki/Operador_autoadjuntohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Operador_de_forma&action=edit&redlink=1http://en.wikipedia.org/wiki/Shape_operator#Shttp://es.wikipedia.org/wiki/Operador_autoadjuntohttp://es.wikipedia.org/wiki/Esfera
8/16/2019 Curvatura de Gauss.docx
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Es relativamente fácil verificar que coincide con la definici#n dada arri+a.
En t-rminos de los componentes del tensor de curvatura de iemann para las !variedad
diferencia+les" uno encuentra la relaci#n
E/emplo" la curvatura gaussiana de un toro es donde se ,a usado la parametri1aci#n:
http://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_de_curvaturahttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_de_curvaturahttp://es.wikipedia.org/wiki/2-variedadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Toro_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_de_curvaturahttp://es.wikipedia.org/wiki/2-variedadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Toro_(geometr%C3%ADa)Recommended