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Curvatura de Gauss

La curvatura gaussiana de una superficie es un número real (P0) que mide la curvatura

intrínseca en cada punto regular P0 de una superficie. Esta curvatura puede calcularse a partir de los determinantes de la primera y segunda formas fundamentales de la

superficie:

Esta curvatura gaussiana en general varía de un punto a otro de la superficie y está

relacionada con las curvaturas principales de cada punto (k  y k !)" mediante la relaci#n  K  

$ k k !.

%n caso interesante de superficie es la esfera" que tiene la misma curvatura en todos sus puntos. &alculando la curvatura de 'auss de una esfera (!esfera). partir de la f#rmula

anterior se llega fácilmente a que para una esfera de radio r " la curvatura gaussiana es igual

en todos los puntos e igual a .

*i +ien o+servamos que ,ay superficies que tienen curvatura constante" la curvatura

gaussiana de+e verse como una relaci#n donde

(una funci#n diferencia+le so+re *) que asigna a cada superficie  su funci#n de curvatura

gaussiana.La manera actual de definir la curvatura gaussiana es mediante el operador de forma (del

ingl-s s,ape operator ) de la superficie S :

" definido mediante

onde son los vectores tangentes coordenados y están siendo evaluados en la

 posici#n  p.

&on la derivada (/aco+iano) del operador de forma

uno o+tiene una transformaci#n lineal autoad/unta llamada transformación deWeingarten y así" la curvatura gaussiana es determinante de L" i.e.

http://es.wikipedia.org/wiki/Esferahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Operador_de_forma&action=edit&redlink=1http://en.wikipedia.org/wiki/Shape_operator#Shttp://es.wikipedia.org/wiki/Operador_autoadjuntohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Operador_de_forma&action=edit&redlink=1http://en.wikipedia.org/wiki/Shape_operator#Shttp://es.wikipedia.org/wiki/Operador_autoadjuntohttp://es.wikipedia.org/wiki/Esfera

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Es relativamente fácil verificar que coincide con la definici#n dada arri+a.

En t-rminos de los componentes del tensor de curvatura de iemann  para las !variedad 

diferencia+les" uno encuentra la relaci#n

E/emplo" la curvatura gaussiana de un toro es donde se ,a usado la parametri1aci#n:

http://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_de_curvaturahttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_de_curvaturahttp://es.wikipedia.org/wiki/2-variedadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Toro_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_de_curvaturahttp://es.wikipedia.org/wiki/2-variedadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Toro_(geometr%C3%ADa)