View
221
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
ĆWICZENIE 6
Mimośrodowe rozciąganie
Redukcja do środka ciężkości
N P 0yM Pz 0zM Py
PROJEKT
Zaprojektować parametr a przekroju, wyznaczyć oś obojętną oraz bryłę naprężeń.
Wyznaczyć rdzeń przekroju. Przekrój obciążono siłą N=200 kN przyłożoną w punkcie P.
Dane: oblR =180MPa.
a) Wyznaczenie głównych centralnych osi bezwładności przekroju i głównych momentów
bezwładności
C - środek ciężkości figury
iC - środki ciężkości figur składowych , współrzędne: i ci ciC y ,z
IC 0 ,2
a
2
IA 2 3 6a a a
II
3C ,
2 2
aa
2
IIA 5 5a a a
III
3C ,
2 2
aa
2
IIIA 5 5a a a
IVC 4 ,a a 2
IV
1A 2 3 3
2a a a
VC 4 ,a a 2
V
1A 2 3 3
2a a a
V
i
i=I
A A 2A 22 a
Współrzędne środka całej figury:
Cy 0 ze względu na symetrię figury
V
Ci i
i=IC V
i
i=I
z A
z
A
Cz 0.63 a
Obliczenia: 4
yCJ 29.42 a 4
zCJ 69.33 a
Promienie bezwładności: yC2
yC
Ji =
A 2 zC
zC
Ji =
A
Obliczenia: 2 2
yCi =1.34 a 2 2
zCi =3.15 a
Współrzędne punktu przyłożenia siły w układzie osi głównych centralnych:
0 0P ,y z P 2 , 3 0.63a a a
2. Położenie osi obojętnej:
1y z
y z
a a
gdzie:
2
0
zy
ia
y
2
0
y
z
ia
z
Obliczenia: 1.576ya a 0.566za a
Równanie osi obojętnej:
1
1.576 0.566
y z
a a
3. Projektowanie – wyznaczanie parametru a
Redukcja obciążenia do środka ciężkości przekroju:
200N N kN 0 200 2.36 [ ]yM Nz a kNm 0 200 2 [ ]zM Ny a kNm
Warunek wytrzymałościowy
max x oblR
y zx
y z
M MNz y
A J J
Punkt najbardziej oddalony od osi obojętnej to punkt P, wstawiamy jego współrzędne i
otrzymujemy:
3
2 4 4
200 2.36 200 2200max 2.36 2 180 10 [ ]
22 29.42 69.33x
a aa a kPa
a a a
0.02a m
Podstawiamy teraz wartość obliczonego parametru do kolejnych obliczeń. Liczymy
naprężenia w wierzchołkach konturu przekroju, czyli punktach Pi .
Py z
x i i i
y z
M MNz y
A J J
Dokonanie obliczeń jest możliwe po zestawieniu współrzędnych tych punktów w osiach
głównych, dla przyjętej wartości parametru a.
P ,i i iy z Px i
A 4 , 0.63 0.08, 0.01266a a 54.98x A MPa
B 2 , 0.63 0.04, 0.01266a a 26.09x B MPa
C 2 , 2.63 0.04, 0.05266a a 54.34x B MPa
D , 2.63 0.02, 0.05266a a 68.77x B MPa
E , 1.63 0.02, 0.03266a a 28.54x B MPa
F , 1.63 0.02, 0.03266a a 57.39x B MPa
G , 2.63 0.02, 0.05266a a 97.61x G MPa
H 2 , 2.63 0.04, 0.05266a a 112.04x H MPa
I 2 , 0.63 0.04, 0.01266a a 31.59x I MPa
J 4 , 0.63 0.08, 0.01266a a 60.44x J MPa
K 2 , 3 0.63 0.04, 0.04733a a 89.07x K MPa
L , 3 0.63 0.02, 0.04733a a 103.49x L MPa
M , 2 0.63 0.02, 0.02733a a 63.27x M MPa
N , 2 0.63 0.02, 0.02733a a 92.12x N MPa
, 3 0.63 0.02, 0.04733O a a 132.34x O MPa
P 2 , 3 0.63 0.04, 0.04733a a 146.67x P MPa
Powyżej obliczone naprężenia tworzą tzw. bryłę naprężeń, która powstaje jako rzut
aksonometryczny wyskalowanych naprężeń odniesionych na oś x w punktach Pi i
połączonych odcinkami prostymi pomiędzy kolejnymi wierzchołkami.
Rysunek tej bryły przedstawiono poniżej.
naprężenia rozciągające
naprężenia ściskające
(18.11.2008)
Rdzeń przekroju o jednej osi symetrii –przykład 1
Dla każdej prostej il z obwiedni poszukujemy takiego punktu ,i oi oiR y z , że współrzędne
tego punktu wyznaczone są z zależności:,
2
0z
i
yi
iy
a
2
0
y
i
zi
iz
a
gdzie :
yia , zia są współczynnikami w postaci odcinkowej tej prostej.
Oś z jest osią symetrii. Tworzymy obwiednię przekroju prostymi stycznymi do jego konturu.
Obwiednia ta jest również symetryczna, stąd wystarczająca jest analiza połówki przekroju do
osi symetrii.
Prosta 1l
1ya , 1 2.63za a
punkt 1R o współrzędnych 01 0y 01 0.507z
Prosta 2l
2 4.65ya a , 2 4.63za a
punkt 2R o współrzędnych 02 0.677y a 02 0.288z
Prosta 3l
3 3.55ya a , 3 3 0.63za a
punkt 3R o współrzędnych 03 0.887y 03 0.249z
Prosta 4l
4ya , 4 3 0.63za a
punkt 4R o współrzędnych 04 0y 04 0.56z
Punkty 2R 3R są odbiciem symetrycznym punktów 2R 3R .
Rdzeń przekroju o jednej osi symetrii –przykład 2
Zadanie pomocnicze: dane dwa punkty , ,A A B BA y z B y z wyznaczyć równanie
odcinkowe prostej przechodzącej przez te dwa punkty.
A B
A B
z ztg
y y
A Az z tg y y to równanie kierunkowe tej prostej , które
należy przekształcić do postaci odcinkowej
3 3 3
2 2 2
y
15 5 3 30 20 5J 15 5 19.2 3 30 1.65 20 5 15.85
12 12 12
3 3 3
z
5 15 30 3 5 20J
12 12 12
A 15 5 20 5 30 3
Obliczenia: 4
yJ 60129.0 cm 4
zJ 4807.1 cm
2A 265 cm
2 2226.9yi cm 2 218.1zi cm
Prosta 1l
1ya , 1 21.65za
punkt 1P o współrzędnych 01 0y 01
226.910.5
21.65z
Prosta 2l
2 9.0ya , 2 126.65za
punkt 2P o współrzędnych
02
18.12.1
9y
02
226.91.8
126.65z
Prosta 3l
3 10.0ya , 3za
punkt 3P o współrzędnych 03
18.11.81
10y
03 0z
Prosta 4l
4ya , 4 18.35za
punkt 4P o współrzędnych 04 0y 04
226.9
18.35z
Punkty 2 'P 3 'P są odbiciem symetrycznym punktów 2P , 3P .
PROJEKT 6
Rdzeń przekroju nie posiadającego osi symetrii
Algorytm
1. wyznaczenie centrum figury
wyznaczenie głównych osi i obliczenie: A, yJ , zJ
promienie bezwładności: 2
yi , 2
zi
2. wykreślenie obwiedni przekroju prostymi il stycznymi do konturu
3. wyznaczenie równań kierunkowych tych prostych na podstawie znajomości
współrzędnych dwóch punktów, przez które ta prosta przechodzi
4. przekształcenie równań do postaci odcinkowych i wyznaczenie punktów rdzenia
214 2 8 2 44 [ ]F cm
4
1 8 2 1 14 2 9 268 [ ]yS cm 4
1 14 2 1 8 2 4 92 [ ]zS cm
1
922.1 [ ]
44Cy cm 1
2686.1 [ ]
44Cz cm
3 3
2 2 4
yC
8 2 2 14J 8 2 5.1 14 2 2.9 1114.3 [ ]
12 12cm
3 3
2 2 4
zC
2 8 14 2J 8 2 1.9 14 2 1.1 186.2 [ ]
12 12cm
4
yC zCJ 0 8 2 5.1 1.9 14 2 2.9 1.1 244.4 [ ]cm
2yC zCyC zC 4
y max yCzC
J JJ JJ =J J 1174.6 [ ]
2 2cm
2yC zCyC zC 4
z min yCzC
J JJ JJ =J J 126.0 [ ]
2 2cm
yC
yC zC
2J 2 1114.32 2.4
J J 1114.3 186.2tg
2 2.4arctg 33.7
Promienie bezwładności: y2 2
yC
Ji = 25.3 [ ]
Acm 2 2z
z
Ji = 4.2 [ ]
Acm
Transformacja współrzędnych kolejnych punktów z układu współrzędnych centralnych do osi
głównych (transformacja przez obrót).
cos 33.7 0.83 sin 33.7 0.55
cos sin 0.83 0.55
sin cos 0.55 0.83Q
cos sin
sin cos
i Ci
i Ci
y y
z z
Wyniki obliczeń:
P ,i Ci Ciy z P ,i i iy z
A 2.1, 9.9 A 7.1, 7.0
B 0.1, 9.9 B 5.5, 8.1
C 5.9, 4.1 C 7.2, 0.2
D 5.9, 6.1 D 8.3, 1.9
E 2.1, 6.1 E 1.7, 6.3
Do dalszych obliczeń wykorzystuje się współrzędne w głównych osiach (prawa kolumna
tabeli)
Prosta il przechodząca przez punkty Pk , Pl
współczynnik kierunkowy k li
k l
z ztg
y y
równanie prostej k i kz z tg y y
postać odcinkowa 1yi zi
y z
a a
punkt rdzenia 0 0R ,i i iy z gdzie:
2
0z
i
yi
iy
a
2
0
y
i
zi
iz
a
punkt rdzenia 0 0R ,i i iy z współrzędne punktu rdzeniowego są głównych osiach
centralnych
Prosta 1l przechodząca przez punkty A , B
współczynnik kierunkowy 1 0.69tg
równanie prostej 8.1 0.69 5.5z y
postać odcinkowa 117.2 11.88
y z
punkt rdzenia 1 01 01R , 0.24, 2.13y z
Prosta 2l przechodząca przez punkty B, C
współczynnik kierunkowy 2 0.65tg
równanie prostej 0.2 0.65 7.2z y
postać odcinkowa 16.92 4.5
y z
punkt rdzenia 2 02 02R , 0.61, 5.62y z
Prosta 3l przechodząca przez punkty C, D
współczynnik kierunkowy 3 1.54tg
równanie prostej 1.9 1.54 8.3z y
postać odcinkowa 17.07 10.89
y z
punkt rdzenia 3 03 03R , 0.59, 2.32y z
Prosta 4l przechodząca przez punkty D, E
współczynnik kierunkowy 4 0.66tg
równanie prostej 6.3 0.66 1.7z y
postać odcinkowa 111.26 7.43
y z
punkt rdzenia 4 04 04R , 0.37, 3.41y z
Prosta 5l przechodząca przez punkty E, A
współczynnik kierunkowy 5 1.5tg
równanie prostej 7 0.65 7.1z y
postać odcinkowa 124.8 3.7
y z
punkt rdzenia 5 05 05R , 0.15, 6.84y z
ĆWICZENIA: Przyjąć wymiary przekrojów i wyznaczyć ich rdzenie
STOPA FUNDAMENTOWA
Mimośrodowe ściskanie
Norma: wymiary podstawy fundamentu należy ustalać z zachowaniem następujących
warunków:
a) rozkład obliczeniowego obciążenia jednostkowego w podstawie fundamentu należy
przyjmować liniowy w/g rys.b. Nie wolno uwzględniać sił rozciągających między
podłożem i podstawą fundamentu
b) wypadkowa sił od obliczeniowego obciążenia nie powinna wychodzić poza rdzeń
podstawy fundamentu
c) przy uwzględnieniu wszystkich obciążeń obliczeniowych dopuszcza się powstanie
szczeliny między podłożem i podstawą fundamentu w/g rys c, której zasięg c nie może
być większy od połowy odległości c′ między prostą przechodzącą równolegle do osi
obojętnej przez środek ciężkości całej podstawy a prostą przechodzącą przez skrajny
punkt podstawy leżący po stronie osi obojętnej.
PROJEKT
300,~: 500N kN 400 ~: 800yM kNm 400 ~: 800zM kNm
1.2,~:1.4posh m 0.6sth m
318 ~: 21 /gr kN m 325 /bet kN m
PRZYKŁAD
Dane:
400N kN 500yM kNm 600zM kNm
1.1posh m 0.6sth m
318 /gr kN m 325 /bet kN m
Szukane: wymiary fundamentu B,H
przyjęto wstępne wymiary stopy: 4B m 3H m
Obliczenie całkowitej siły działającej na stopę
x gr bet gr pos st bet stN N G G N B H h h B H h
400 18 1.1 0.6 3 4 25 3 4 0.6 688xN kN
Obliczenie charakterystyk geometrycznych przekroju stopy:
F B H 3
12y
BHJ
3
12z
B HJ
Położenie osi obojętnej
yx zx
y z
MN Mz y
F J J
3 3
668 500 600
4 3 3 41212 12
x z y
688 500 6000
12 9 16z y
0.654 1.032z y
Równanie prostej równoległej do osi obojętnej przechodzącej przez wierzchołek (B/2, H/2)
Po wrysowaniu zobaczyć który to wierzchołek czy ma dodatnie współrzędne czy ujemne
Wyraz wolny w postaci kierunkowej c rzutowany na prostą prostopadła do osi obojętnej daje
d
Oraz wyraz wolny rzutowany tak samo daje d1
d1-d< (1/2 )d1 ???? jeśli nie to powiększyć fundament
Wrysować i sprawdzić warunek
Recommended