DANE INFORMACYJNE

Projekt „AS KOMPETENCJI” jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach

środków Europejskiego Funduszu Społecznego

Program Operacyjny Kapitał Ludzki 2007-2013

CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA

Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu SpołecznegoPrezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie

DANE INFORMACYJNE

• Nazwa szkoły: Zespół Szkół Przyrodniczo-Politechnicznych

w Marszewie

i Zespół Szkół nr 1 w Pyrzycach

• ID grupy: 97/88_MF_G1 i 97/30_MF_G1

• Opiekun: Dobromira Zdunek i Agnieszka Wójcicka

• Kompetencja: matematyczno-fizyczna

•Temat projektowy:

,, Równania diofantyczne”

• Semestr/rok szkolny: semestr III / rok szkolny 2010/2011

Równania diofantyczne

Nasza prezentacja ma na celu utrwalenie wiadomości z algebry, teorii liczb,

podzielności.

DIOFANTOS• Diofantos z Aleksandrii jako pierwszy systematycznie

zajął się algebrą, czyli teorią rozwiązywania równań. Diofantos narzucał na rozpatrywane równania takie warunki, aby rozwiązanie zawsze mieściło się w zbiorze liczb dodatnich i wymiernych. Rozważał co prawda zadanie sprowadzające się do równania

4x + 20 = 0, ale twierdził, że to równanie daje absurdalne rozwiązanie, liczby ujemne uważał za niedopuszczalne i je odrzucał. Rozwiązywał za to równania kwadratowe, układy równań kwadratowych, pisał o liczbach trójkątnych i kwadratowych oraz ustalał zależności między nimi. 

ILE LAT ŻYŁ DIOFANTOS?

W XIV wieku grecki mnich Maksymus Planudes umieścił w swojej  antologii wiersz „Epitafium Diofanta”. Jego treść jest jednocześnie zadaniem tekstowym:

Pod tym nagrobkiem spoczywa Diofant – a dzięki przedziwnejSztuce zmarłego i wiek zdradzi ci ten głaz:Chłopcem przez szóstą część życia pozostać bóg mu pozwolił,Lica pokwitły mu zaś, kiedy dwunasta znów częśćŻycia minęła; a znowu żywota gdy przebył część siódmą,Młodą małżonkę w dom dobry wprowadził mu bóg,Która, gdy pięć lat minęło, małego powiła mu synka,Ale okrutny chciał los, że kiedy syn ledwie wiekOjca w połowie osiągnął, ponury zabrał go Hades.Kojąc ogromny swój ból, szukał Diofant wśród liczbJeszcze przez cztery lata pociechy, aż rozstał się z życiem.

ROZWIĄZANIE:x – czas życia Diofantosa

1/6x – jego dzieciństwo1/12x – okres młodości1/7x – czas między wiekiem młodzieńczym a ślubem5 – lata oczekiwania na syna1/2x – czas życia syna4 – czas, jaki Diofantos żył po śmierci synaRozwiązanie zadania polega na ułożeniu prostego równania z jedną niewiadomą:1/6x + 1/12x + 1/7x + 5 + 1/2x + 4 = xStąd po wykonaniu prostych działań otrzymujemy x = 84, czyli Diofantos żył 84 lata. 

ZADANIA DIOFANTOSA

Graficznie liczby trójkątne można przedstawić następująco:

Liczba trójkątna to każda  taka liczba o numerze n, będąca na przykład liczbą kół jednakowej wielkości, z których można ułożyć trójkąt równoboczny o boku zbudowanym z n kół.

Graficznie liczby kwadratowe można przedstawić następująco:

Liczba kwadratowa natomiast to każda taka liczba numerze n, będąca na przykład  liczbą kół jednakowej wielkości, których można ułożyć kwadrat o boku zbudowanym z n kół.

Twierdzenie Diofantosa, że ośmiokrotnie wzięta liczba powiększona o jedność jest zawsze kwadratem, pokazuje poniższy rysunek:

RÓWNANIA DIOFANTYCZNERównaniem diofantycznym nazywamy równanie o dwóch lub więcej

niewiadomych, którego rozwiązań szukamy w zbiorze liczb całkowitych

lub liczb naturalnych.

Nazwa tego typu równań pochodzi od imienia Diofantosa.

Badając dane równanie diofantyczne staramy się przede wszystkim

odpowiedzieć na następujące pytania:

* Czy ma ono rozwiązania?

* Jeśli tak, to ile ich jest (skończenie, czy nieskończenie wiele)?

* Czy istnieje algorytm na ich wyznaczanie?

NWD

Twierdzenie

Jeśli a oraz b są liczbami całkowitymi, nie równocześnie równymi zero, to istnieją liczby

całkowite x oraz y spełniające równanie diofantyczne

NWD(a, b) = xa + by.

11-5-31

NWD(309,186)

Stosujemy algorytm Euklidesa do obliczenia NWD(309,186)309 = 1 · 186 + 123186 = 1 · 123 + 63123 = 1 · 63 + 6063 = 1 · 60 + 360 = 20 · 3 + 0Wtedy mamy NWD(309, 186) = 3 oraz

3 = 63 − 1 · 60 = = 63 − 1 · (123 − 1 · 63) = 2 · 63 − 1 · 123 = = 2 · (186 − 1 · 123) − 1 · 123 = 2 · 186 − 3 · 123 = = 2 · 186 − 3 · (309 − 1 · 186) = = −3 · 309 + 5 · 186

Zatem 3 = −3 · 309 + 5 · 186 i rozwiązanie naszegorównania diofantycznego jest postać x = −3, y = 5.

11-5-31

Równanie ax + by = c

Twierdzenie

Równanie diofantyczne ax+by = c posiada rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(a, b) dzieli c.

Jeśli para liczb całkowitych x0, y0 jest rozwiązaniem równania ax + by = c to wszystkie rozwiązania dane są wzorami:

x = x0 + · t , y = y0 − · t

gdzie t jest dowolną liczbą całkowitą.

Zatem nasze wcześniejsze równanie diofantyczne

309x + 186y = 3 ma nieskończenie wiele rozwiązań i są one

postaci x = −3 + 62 · t, y = 5 − 103 · t, gdzie t jest dowolną

liczbą całkowitą.

11-5-31

Przykłady równań diofantycznych

• Równanie

2x+1=y2 ma w liczbach naturalnych jedno rozwiązanie: (3,3)• Równanie

xy=yxma w liczbach naturalnych dwa rozwiązania, gdy x=2,

y=4 oraz x=4, y=2

11-5-31

Zadanie 1. Rozwiąż w liczbach całkowitych równanie: 1001x + 35y = 49

Rozwiązanie Obliczmy NWD(1001, 35) stosując algorytm Euklidesa.1001 = 28 · 35 + 21 2 · (1001 − 28 · 35) − 1 · 35 =2 · 1001 − 57 · 3535 = 1 · 21 + 14 21 − 1 · (35 − 1 · 21) = 2 · 21 − 1 · 35 =21 − 1 · 14 =721 = 1 · 14 + 714 = 21 · 7 + 0Stad 2 · 1001 − 57 · 35 = 7 i mnożąc obie strony przez 7 mamy14 · 1001 + (−399) · 35 = 49Para x0 = 14, y0 = −399 jest rozwiązaniem.Zatem wszystkie rozwiązania naszego równania są postaci:

x =x0 + · t = 14 + 5 · t

y =y0 − · t = −399 − 143 · t t − liczba całkowita.

11-5-31

Zadanie 2Ile biletów po 3 zł i po 5 zł można kupić za 149 zł, jeśli należy wydąć wszystkie pieniądze? Znajdź wszystkie możliwe sposoby zakupu.

Rozwiązanie Jeśli x jest liczba biletów po 3 zł, a y jest liczba biletów po 5 zł, to 3x + 5y = 149.Otrzymujemy:x = 298 + 5 · ty = −149 − 3 · t, t − liczba całkowita

Liczby biletów muszą być liczbami nieujemnymi. Należy zatem dobrać takie t, abyx = 298 + 5 · t ≥ 0, y = −149 − 3 · t ≥ 0.

Po prostych przekształceniach tych nierówności mamyx = 298 + 5 · ty = −149 − 3 · t, −59 ≤ t ≤ −50.

11-5-31

Odpowiedź

Bilety można zakupić na 10 różnych sposobów

t −59 −58 −57 −56 −55 −54 −53 −52 −51 −50

x 3 8 13 18 23 28 33 38 43 48

y 28 25 22 19 16 13 10 7 4 1

A oto kilka zadań, które rozwiązaliśmy na tablicy

11-5-31

11-5-31

11-5-31

11-5-31

11-5-31

Równanie a1x1 + ... + anxn = b

Twierdzenie Równanie diofantyczne

a1x1 + ... + anxn = bposiada rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy

NWD(a1, ..., an)|b.

11-5-31

JAK ROZWIĄZAĆ RÓWNANIE a1x1 + ... + anxn = b, GDY NWD(a1, ..., an) DZIELI b?

11-5-31

Zadanie

Rozwiąż równanie diofantyczne 12x + 15y + 7z = 11.

Rozwiązanie

Ponieważ NWD(12, 15) = 3, więc 12x + 15y = 3(4x + 5y) = 3w.

Zatem nasze równanie możemy zastąpić układem równań

12x + 15y = 3w

3w + 7z = 11 .

Najpierw rozwiązujemy drugie równanie znanym nam

sposobem otrzymując rozwiązanie

z = 11 − 3 · u, w = −22 + 7 · u.

Teraz wstawiamy wyliczone w do pierwszego równania

Otrzymując 12x + 15y = 3(−22 + 7u).

11-5-31

cd. rozwiązaniaPo podzieleniu obu stron przez 3 mamy 4x + 5y = −22 + 7u.

Ponieważ NWD(4, 5) = 1, wiec najpierw szukamy konkretnego

rozwiązania równania 4x + 5y = 1.

4 · (−1) + 5 · 1 = 1. wiec

4 · (22 − 7u) + 5 · (−22 + 7u) = −22 + 7u.

Odpowiedź:

Rozwiązaniem naszego wyjściowego równania jest trójka

liczb postaci x = 22 − 7u + 5t

y = −22 + 7u − 4t

z = 11 − 3u

gdzie t oraz u są dowolnymi liczbami całkowitymi.

11-5-31

Równanie Pitagorasa

Istnieje trójkąt prostokątny, którego boki maja długości 3,

4 oraz 5.

Jakie inne trójkąty prostokątne, których boki są

liczbami naturalnymi, można skonstruować?

Prowadzi to do wyznaczenia rozwiązań równania

diofantycznego x2 + y2 = z2 zwanego równaniem

Pitagorasa.

Trójka x0, y0, z0 jest rozwiązaniem równania Pitagorasa

wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby całkowitej d

trójka dx0, dy0, dz0 tez jest rozwiązaniem tego równania,

bo (dx0)2 + (dy0)2 = (dz0)2 ↔ x20+ y20 = z20.

11-5-31

Definicja

Rozwiązanie x0, y0, z0 równania Pitagorasa nazywamy

właściwym, jeśli NWD(x0, y0, z0 ) = 1.

Uwagi

1. Każde rozwiązanie równania Pitagorasa jest postaci dx0, dy0, dz0 , gdzie x0, y0, z0 jest właściwym rozwiązaniem tego równania.

Zatem, aby znaleźć wszystkie rozwiązania równania

Pitagorasa wystarczy znaleźć jego rozwiązania właściwe.

2. Jeżeli x0, y0, z0 jest właściwym rozwiązaniem równania Pitagorasa, to dokładnie jedna z liczb x0, lub y0 jest parzysta.

Rozwiązywanie równania Pitagorasa

11-5-31

Twierdzenie

Każde właściwe rozwiązanie x0, y0, z0 równaniax2 + y2 = z2, dla którego y0 jest liczba parzystą jest postax0 = m2 − n2 , y0 = 2mn, z0 = m2 + n2 ,gdzie m, n są dowolnymi liczbami naturalnymi takimi,że m > n , NWD(m, n) = 1 oraz dokładnie jedna z nich jest parzysta.

Przykładm 2 3 4 5 5

n 1 2 1 2 3

x 3 5 15 21 9

y 4 12 6 20 40

z 5 13 17 29 41

11-5-31

Wielkie Twierdzenie Fermata

Równanie: x n + y n = z n dla n=2 obrazuje zależność między długościami boków w trójkącie prostokątnym.

dla n>2 równanie to nie ma rozwiązań w liczbach naturalnych

11-5-31

Równanie Pella

Równanie x2 – ny2=1 gdzie n>0zwane równaniem Pella (od nazwiska angielskiego matematyka Johna Pella)

nie ma rozwiązań, jeżeli n jest kwadratem liczby naturalnej,ma nieskończenie wiele rozwiązań, jeżeli n nie jest kwadratem liczby naturalnej.

Rozwiązania te się tablicuje w zależności od n.

Wnioski

Bardzo częstym zadaniem na konkursach matematycznych, w których członkowie naszych grup biorą udział- jest zagadnienie rozwiązywania równań lub układów równań w liczbach całkowitych lub naturalnych. Ale dopiero przygotowując prezentację dowiedzieliśmy się ,że są to równania diofantyczne, a ich rozwiązania często związane są z bardzo pomysłowymi rozumowaniami.

Bibliografia

W.Sierpiński ,, Czym zajmuje się teoria liczb”

W. Sierpiński ,, O rozwiązywaniu równań w liczbach całkowitych”

A.P. Juszkiewicz ,, Historia Matematyki”

Z. Bobiński,P. Jarek, A. Świątek, M. Uscki ,,O liczbach i równaniach”

Z. Bobiński,P. Jarek, A. Świątek, M. Uscki ,, Miniatury matematyczne”

Zasoby internetowe

Projekt „AS KOMPETENCJI” jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach

środków Europejskiego Funduszu Społecznego

Program Operacyjny Kapitał Ludzki 2007-2013

CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA

Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu SpołecznegoPrezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie