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Darstellung, Verarbeitung und Erwerb von Wissen

Gabriele Kern-IsbernerLS 1 – Information Engineering

TU DortmundWintersemester 2015/16

WS 2015/16

G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 1 / 267

Quantitative Unsicherheit Fuzzy-Logik

Ubersicht Kapitel 4

4.1 Wahrscheinlichkeiten und probabilistische Netzwerke

4.2 Dempster-Shafer/Evidenz-Theorie

4.3 Fuzzy-Logik

Kapitel 4

4. Quantitative Unsicherheit –Wahrscheinlichkeiten & Co.

4.3 Fuzzy-Logik

Literatur

R. Kruse, J. Gebhardt, and F. Klawonn.Fuzzy-Systeme. Teubner, Stuttgart, 1995, 2. Auflage.

Ubersicht Kapitel 4.3

• Vage Pradikate

• Fuzzy-Mengenlehre

• Epistemische Fuzzy-Mengen → Possibilitatstheorie

• Inferenz mit Fuzzy-Regeln

• Vage Pradikate

Vage Pradikate

(Einstellige) Pradikate beschreiben Eigenschaften und werden durch(Teil)Mengen (des Universums) interpretiert.

Manche Eigenschaften lassensich aber schlecht durch klassisch-logische Pradikate beschreiben, da mankaum die Menge der Objekte, die diese Eigenschaft haben, scharfabgrenzen kann.

Beispiel: Wann ist eine Person “groß”? Wenn man z.B. Personen ab einerKorpergroße von 185 cm als “groß” bezeichnen wurde, ist dann jemandmit einer Große von 184.5 cm “klein”? ♣

Solche Pradikate bezeichnet man als unscharfe oder vage Pradikate.

Probleme:

• Wie lassen sich vage Pradikate reprasentieren ?

• Wie lasst sich vages Wissen verarbeiten ?

Vage Pradikate

(Einstellige) Pradikate beschreiben Eigenschaften und werden durch(Teil)Mengen (des Universums) interpretiert. Manche Eigenschaften lassensich aber schlecht durch klassisch-logische Pradikate beschreiben, da mankaum die Menge der Objekte, die diese Eigenschaft haben, scharfabgrenzen kann.

Probleme:

Vage Pradikate

Probleme:

Vage Pradikate

Probleme:

Vage Pradikate

Probleme:

Vage Pradikate

Probleme:

Fuzzy-Mengen

Teilmengen A einer Menge X lassen sich auch durch ihre charakteristischeFunktion 1A : X → 0, 1 beschreiben:

1A(x) =

1, wenn x ∈ A0, sonst

Sei X eine Menge (Grundmenge). Eine Fuzzy-Menge µ von X ist eineAbbildung

µ : X → [0, 1]

µ heißt normiert, wenn es ein x ∈ X mit µ(x) = 1 gibt. Die Menge allerFuzzy-Mengen einer Menge X wird mit F(X) bezeichnet.

Fuzzy-Mengen

1A(x) =

Sei X eine Menge (Grundmenge).

Eine Fuzzy-Menge µ von X ist eineAbbildung

µ : X → [0, 1]

Fuzzy-Mengen

1A(x) =

µ : X → [0, 1]

Fuzzy-Mengen

1A(x) =

µ : X → [0, 1]

µ heißt normiert, wenn es ein x ∈ X mit µ(x) = 1 gibt.

Die Menge allerFuzzy-Mengen einer Menge X wird mit F(X) bezeichnet.

Fuzzy-Mengen

1A(x) =

µ : X → [0, 1]

µ heißt normiert, wenn es ein x ∈ X mit µ(x) = 1 gibt. Die Menge allerFuzzy-Mengen einer Menge X wird mit F(X) bezeichnet.G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 221 / 267

Fuzzy-Mengen – Beispiel 1/2

100 185200 cm

Die scharfe Menge µ≥185

Fuzzy-Mengen – Beispiel 2/2

100 160 180 200 cm

Die Fuzzy-Menge µgroß

Fuzzy-Mengen und Kapazitaten

Ist µ eine normierte Fuzzy-Menge, so definiert Fµ : 2X → [0, 1],

Fµ(A) := supx∈A µ(x) (A ⊆ X)

eine Kapazitat.

Umgekehrt induziert jede Kapazitat F : 2X → [0, 1] mittels

µF (x) := F (x)

(trivialerweise) eine Fuzzy-Menge.

Fuzzy-Mengen und Kapazitaten

Ist µ eine normierte Fuzzy-Menge, so definiert Fµ : 2X → [0, 1],

Fµ(A) := supx∈A µ(x) (A ⊆ X)

eine Kapazitat.

Umgekehrt induziert jede Kapazitat F : 2X → [0, 1] mittels

µF (x) := F (x)

(trivialerweise) eine Fuzzy-Menge.G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 224 / 267

Beispiel – Fuzzy-Zahlen / Intervalle 1/2

Ungenauigkeiten bei Messergebnissen und subjektive Schatzwerte kannman durch Fuzzy-Zahlen und Fuzzy-Intervalle berucksichtigen.

Fuzzy-Zahlen “ungefahr a” werden ublicherweise durch (symmetrische)Dreiecksfunktionen dargestellt:

µa(x) :=

1− |a−xd |, a− d ≤ x ≤ a+ d,0 , x < a− d oder x > a+ d

- Ra− d a a+ d

BBBBBBBB

Beispiel – Fuzzy-Zahlen / Intervalle 1/2

Ungenauigkeiten bei Messergebnissen und subjektive Schatzwerte kannman durch Fuzzy-Zahlen und Fuzzy-Intervalle berucksichtigen.

Fuzzy-Zahlen “ungefahr a” werden ublicherweise durch (symmetrische)Dreiecksfunktionen dargestellt:

µa(x) :=

1− |a−xd |, a− d ≤ x ≤ a+ d,0 , x < a− d oder x > a+ d

- Ra− d a a+ d

BBBBBBBB

Beispiel – Fuzzy-Zahlen / Intervalle 2/2Fuzzy-Intervalle “ungefahr zwischen a und b” werden durchTrapezfunktionen dargestellt:

µ[a,b](x) :=

x−a+dd , a− d ≤ x ≤ a,

1 , a ≤ x ≤ b,b+e−xe , b ≤ x ≤ b+ e,

0 , x ≤ a− d oder x ≥ b+ e

- Ra− d a b b+ e

TTTTTTT

♣G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 226 / 267

Vertikale und horizontale Reprasentation

Sei µ : X → [0, 1] eine Fuzzy-Menge.

• Unter der vertikalen Reprasentation von µ versteht man dieanschauliche Darstellung einer Fuzzy-Menge als Graph einer Funktion,bei der jedem x der Grundmenge der Zugehorigkeitsgrad µ(x)zugeordnet wird.

• Fur die maschinelle Reprasentation von µ ist haufig die horizontaleReprasentation wichtiger, bei der fur (endlich viele) α ∈ [0, 1] dieMenge aller Elemente angegeben wird, deren Zugehorigkeitsgradmindestens α ist.

α-Schnitte 1/2

Fur µ ∈ F(X) und α ∈ [0, 1] heißt die Menge

[µ]α := x ∈ X | µ(x) ≥ α

der α-Schnitt von µ.

α-Schnitte sind ineinandergeschachtelte Mengen:

• Gilt 0 ≤ α ≤ β ≤ 1, so ist [µ]α ⊇ [µ]β.

• Somit ist jeder α-Schnitt die untere Grenze aller großeren α-Schnitte:

α:α<β

[µ]α = [µ]β

α-Schnitte 1/2

[µ]α := x ∈ X | µ(x) ≥ α

α:α<β

[µ]α = [µ]β

α-Schnitte 1/2

[µ]α := x ∈ X | µ(x) ≥ α

α:α<β

[µ]α = [µ]β

α-Schnitt – Beispiele

• α = 0: Trivialerweise ist [µ]0 = X fur alle µ ∈ F(X).

• Sei µa eine Fuzzy-Zahl, sei α ∈ [0, 1]. Der α-Schnitt von µa ist dieMenge

[µa]α = [a− d(1− α), a+ d(1− α)]

- Ra− d a a+ d

BBBBBBBB

︸︷︷︸[µa]α

[µa]α = [a− d(1− α), a+ d(1− α)]

- Ra− d a a+ d

BBBBBBBB

︸︷︷︸[µa]α

[µa]α = [a− d(1− α), a+ d(1− α)]

- Ra− d a a+ d

BBBBBBBB

︸︷︷︸[µa]α

Notizen

α-Schnitte 2/2

Jede Fuzzy-Menge lasst sich durch ihre α-Schnitte charakterisieren:

Sei µ ∈ F(X) eine Fuzzy-Menge. Dann ist fur jedes x ∈ X

µ(x) = supα∈[0,1]min(α,1[µ]α(x))

(denn es ist

min(α,1[µ]α(x)) =

α, wenn µ(x) ≥ α0, wenn µ(x) < α

also supα∈[0,1]min(α,1[µ]α(x)) = supα | α ≤ µ(x) = µ(x).)

α-Schnitte 2/2

(denn es ist

α-Schnitte 2/2

(denn es ist

Notizen

Fuzzy-Teilmengen 1/2

Seien µ, µ′ ∈ F(X) zwei Fuzzy-Mengen von X. µ′ heißt Teilmenge von µ,wenn fur alle α ∈ [0, 1] gilt:

[µ′]α ⊆ [µ]α

Die Teilmengenbeziehung zwischen Fuzzy-Mengen lasst sich leichtuberprufen:

Seien µ, µ′ ∈ F(X) zwei Fuzzy-Mengen. Dann ist µ′ genau danneine Teilmenge von µ, wenn fur alle x ∈ X gilt:

µ′(x) ≤ µ(x)

Seien µ, µ′ ∈ F(X) zwei Fuzzy-Mengen von X. µ′ heißt Teilmenge von µ,wenn fur alle α ∈ [0, 1] gilt:

[µ′]α ⊆ [µ]α

Die Teilmengenbeziehung zwischen Fuzzy-Mengen lasst sich leichtuberprufen:

Seien µ, µ′ ∈ F(X) zwei Fuzzy-Mengen. Dann ist µ′ genau danneine Teilmenge von µ, wenn fur alle x ∈ X gilt:

µ′(x) ≤ µ(x)

Beweis:

⇒ Sei µ′ ⊆ µ, also [µ′]α ⊆ [µ]α fur alle α ∈ [0, 1]. Sei x ∈ X, und setzeα := µ′(x). Dann ist µ′(x) ≥ α, folglich x ∈ [µ′]α und daher auchx ∈ [µ]α, d.h. µ(x) ≥ α = µ′(x).

⇐ Sei umgekehrt µ′(x) ≤ µ(x) fur alle x ∈ X. Sei α ∈ [0, 1], und seix ∈ [µ′]α. Dann ist µ′(x) ≥ α, und wegen µ(x) ≥ µ′(x) auchµ(x) ≥ α, d.h. x ∈ [µ]α. Folglich gilt [µ′]α ⊆ [µ]α fur alle α ∈ [0, 1],also µ′ ⊆ µ. 2

Beweis:

⇒ Sei µ′ ⊆ µ, also [µ′]α ⊆ [µ]α fur alle α ∈ [0, 1]. Sei x ∈ X, und setzeα := µ′(x). Dann ist µ′(x) ≥ α, folglich x ∈ [µ′]α und daher auchx ∈ [µ]α, d.h. µ(x) ≥ α = µ′(x).

⇐ Sei umgekehrt µ′(x) ≤ µ(x) fur alle x ∈ X. Sei α ∈ [0, 1], und seix ∈ [µ′]α. Dann ist µ′(x) ≥ α, und wegen µ(x) ≥ µ′(x) auchµ(x) ≥ α, d.h. x ∈ [µ]α. Folglich gilt [µ′]α ⊆ [µ]α fur alle α ∈ [0, 1],also µ′ ⊆ µ. 2

Mengenoperationen fur Fuzzy-Mengen

Die Teilmengenbeziehung lasst sich also auch fur Fuzzy-Mengen definieren.

Was ist mit Mengenoperationen:

• Schnitt?

• Vereinigung?

• Komplement?

• Schnitt?

• Vereinigung?

• Komplement?

• Schnitt?

• Vereinigung?

• Komplement?

• Schnitt?

• Vereinigung?

• Komplement?

Notizen

t-Normen

Eine Abbildung T : [0, 1]× [0, 1]→ [0, 1] heißt t-Norm, wenn gilt:

• Assoziativitat: T (a, T (b, c)) = T (T (a, b), c).

• Kommutativitat: T (a, b) = T (b, a).

• Monotonie: Aus a ≤ b folgt T (a, c) ≤ T (b, c) fur c ∈ [0, 1].

• Neutrales Element: T (a, 1) = a fur alle a ∈ [0, 1].

Beispiele: fur t-Normen:

Tmin(a, b) := mina, bTLuka(a, b) := max0, a+ b− 1 (benannt nach J. Lukasiewicz)Tprod(a, b) := a · b

t-Norm ≈ triangular norm(beschreibt dreiecksahnliche Flachen im R3)

t-Normen

Tmin(a, b) := mina, b

TLuka(a, b) := max0, a+ b− 1 (benannt nach J. Lukasiewicz)Tprod(a, b) := a · b

t-Normen

Tmin(a, b) := mina, bTLuka(a, b) := max0, a+ b− 1 (benannt nach J. Lukasiewicz)

Tprod(a, b) := a · b

t-Normen

Fuzzy-Schnitt

Eine t-Norm induziert einen Schnittoperator fur Fuzzy-Mengenµ, µ′ ∈ F(X):

(µ ∩ µ′)(x) := T (µ(x), µ′(x))

Eigenschaften der t-Norm induzieren fur den Fuzzy-Schnitt

• Assoziativitat und Kommutativitat;

• Monotonie: monoton wachsende Zugehorigkeitsgrade in den einzelnenFuzzy-Mengen spiegeln sich auch im Schnitt wider;

• 1 als neutrales Element: bei Schnitten von Fuzzy-Mengen mitklassischen Mengen orientiert sich der Zugehorigkeitsgrad zurFuzzy-Schnittmenge an dem Zugehorigkeitsgrad der Fuzzy-Menge.

Fuzzy-Schnitt

(µ ∩ µ′)(x) := T (µ(x), µ′(x))

Fuzzy-Schnitt

(µ ∩ µ′)(x) := T (µ(x), µ′(x))

Fuzzy-Schnitt

(µ ∩ µ′)(x) := T (µ(x), µ′(x))

Notizen

t-Conormen

Eine Abbildung T ∗ : [0, 1]× [0, 1]→ [0, 1] heißt t-Conorm, wenn sieassoziativ, kommutativ und monoton nicht-fallend ist und 0 als neutralesElement besitzt, d.h.

T ∗(a, 0) = a

fur alle a ∈ [0, 1] gilt.

Beispiele: fur t-Conormen sind:

T ∗min(a, b) = maxa, bT ∗Luka(a, b) = mina+ b, 1T ∗prod(a, b) = a+ b− ab

t-Conormen

T ∗(a, 0) = a

T ∗min(a, b) = maxa, b

T ∗Luka(a, b) = mina+ b, 1T ∗prod(a, b) = a+ b− ab

t-Conormen

T ∗(a, 0) = a

T ∗min(a, b) = maxa, bT ∗Luka(a, b) = mina+ b, 1

T ∗prod(a, b) = a+ b− ab

t-Conormen

T ∗(a, 0) = a

T ∗min(a, b) = maxa, bT ∗Luka(a, b) = mina+ b, 1T ∗prod(a, b) = a+ b− ab

Fuzzy-Vereinigung und Fuzzy-KomplementDie Vereinigung von Fuzzy-Mengen µ, µ′ ∈ F(X) wird durch einet-Conorm T ∗ definiert:

(µ ∪ µ′)(x) := T ∗(µ(x), µ′(x))

Das Komplement einer Fuzzy-Menge µ ∈ F(x) wird ublicherweise definiertdurch

µ(x) = 1− µ(x)

Es gilt dannµ(x) + µ(x) = 1 fur alle x ∈ X

(µ ∪ µ′)(x) := T ∗(µ(x), µ′(x))

µ(x) = 1− µ(x)

(µ ∪ µ′)(x) := T ∗(µ(x), µ′(x))

µ(x) = 1− µ(x)

Dualitat und de Morgan

t-Normen und t-Conormen sind zueinander dual:

Ist T eine t-Norm, so istT ∗(a, b) = 1− T (1− a, 1− b)

eine t-Conorm und umgekehrt.

Unter Berucksichtigung der Definitionen von Fuzzy-Schnitt und-Vereinigung entspricht dies einer Umsetzung der de Morgan’schenGesetze fur Fuzzy-Mengen:

A ∪B = A ∩BBeispiele: T ∗min, T

∗Luka, T

∗prod sind jeweils dual zu Tmin, TLuka, Tprod. ♣

A ∪B = A ∩B

Beispiele: T ∗min, T∗Luka, T

A ∪B = A ∩BBeispiele: T ∗min, T

∗Luka, T

Pragmatik 1/2

Die bekannteste t-Norm und t-Conorm in der Fuzzy-Theorie sind dieFunktionen

Tmin(a, b) = mina, bund T ∗min(a, b) = maxa, b

d.h. man definiert also fur zwei Fuzzy-Mengen µ, µ′ : X → [0, 1] ihrenSchnitt und ihre Vereinigung oft durch

(µ ∩ µ′)(x) = minµ(x), µ′(x)(µ ∪ µ′)(x) = maxµ(x), µ′(x)

Pragmatik 1/2

Die bekannteste t-Norm und t-Conorm in der Fuzzy-Theorie sind dieFunktionen

Tmin(a, b) = mina, bund T ∗min(a, b) = maxa, b

d.h. man definiert also fur zwei Fuzzy-Mengen µ, µ′ : X → [0, 1] ihrenSchnitt und ihre Vereinigung oft durch

(µ ∩ µ′)(x) = minµ(x), µ′(x)(µ ∪ µ′)(x) = maxµ(x), µ′(x)

Pragmatik 2/2

So lassen sich (wie in der Aussagenlogik) komplexere aussagenlogischeFormeln fuzzy-logisch interpretieren, wobei

• die Minimierung der Konjunktion entspricht

• die Maximierung der Disjunktion entspricht.

Fur dieses Paar von t-Norm und t-Conorm gelten die Distributivgesetze

µ1 ∩ (µ2 ∪ µ3) = (µ1 ∩ µ2) ∪ (µ1 ∩ µ3)

µ1 ∪ (µ2 ∩ µ3) = (µ1 ∪ µ2) ∩ (µ1 ∪ µ3)

Das gilt nicht allgemein fur Paare von t-Normen und t-Conormen!

Pragmatik 2/2

• die Minimierung der Konjunktion entspricht und

µ1 ∩ (µ2 ∪ µ3) = (µ1 ∩ µ2) ∪ (µ1 ∩ µ3)

µ1 ∪ (µ2 ∩ µ3) = (µ1 ∪ µ2) ∩ (µ1 ∪ µ3)

Pragmatik 2/2

• die Minimierung der Konjunktion entspricht und

µ1 ∩ (µ2 ∪ µ3) = (µ1 ∩ µ2) ∪ (µ1 ∩ µ3)

µ1 ∪ (µ2 ∩ µ3) = (µ1 ∪ µ2) ∩ (µ1 ∪ µ3)

Das Extensionsprinzip 1/2

. . . lost das Problem:

Wie “fuzzifiziert” man eine “normale” Abbildung φ : Xn → Y ?

D.h. wie gewinnt man ausφ : Xn → Y

eine Abbildung

φ : (F(X))n → F(Y ) ?

Beispiel: Wie definiert man eine Fuzzy-Arithmetik (Fuzzy-Addition undFuzzy-Multiplikation) ?

(ungefahr 3) (+) (ungefahr 5) = ? ♣

eine Abbildung

φ : (F(X))n → F(Y ) ?

(ungefahr 3) (+) (ungefahr 5) = ? ♣

eine Abbildung

φ : (F(X))n → F(Y ) ?

(ungefahr 3) (+) (ungefahr 5) = ? ♣G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 241 / 267

Die Extension von φ wird definiert durch

φ(µ1, . . . , µn)(y) := supminµ1(x1), . . . , µn(xn) |(x1, . . . , xn) ∈ Xn und y = φ(x1, . . . , xn)

φ modelliert die vage Aussage “y gehort zum Bild von (µ1, . . . , µn)”.Dabei entspricht

• minµ1(x1), . . . , µn(xn) der Konjunktion der Aussagen “xi gehortzu µi”,

• und sup. . . der Disjunktion uber alle passenden (x1, . . . , xn) mity = φ(x1, . . . , xn).

Extension und α-Schnitte

Auch fur einfache Funktionen kann die Anwendung des Extensionsprinzipsrecht muhsam sein. Oft ist es einfacher, mit α-Schnitten zu rechnen. Hierbesteht der folgende Zusammenhang:

φ(µ1, . . . , µn)(t) = supα ∈ (0, 1) | t ∈ φ([µ1]α, . . . , [µn]α)

(mit sup ∅ := 0)

Beispiel [Fuzzy-Addition]:Addition zweier Fuzzy-Zahlen µ1, µ2

(µ1+µ2)(t) = supminµ1(x1), µ2(x2) | x1, x2 ∈ R, x1 + x2 = t= supα ∈ (0, 1) | t ∈ [µ1]α + [µ2]α

(mit sup ∅ := 0)

(µ1+µ2)(t) = supminµ1(x1), µ2(x2) | x1, x2 ∈ R, x1 + x2 = t

= supα ∈ (0, 1) | t ∈ [µ1]α + [µ2]α

(mit sup ∅ := 0)

♣G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 243 / 267

Notizen

Beispiel – Fuzzy-Addition 1/4

µ1 und µ2 seien die Fuzzy-Zahlen “ungefahr 1” und “ungefahr 4 oder 6”:

-R-1 1 2

CCCCCC

-R3 4 5 6 7

CCCCCCCCCCCC

µ1 und µ2 werden (z.B.) durch die folgenden Funktionen dargestellt

µ1(x) =

x+12 , −1 ≤ x ≤ 1

2− x, 1 ≤ x ≤ 20, sonst

µ2(x) =

x− 3, 3 ≤ x ≤ 45− x, 4 ≤ x ≤ 5x− 5, 5 ≤ x ≤ 67− x, 6 ≤ x ≤ 70, sonst

Die α-Schnitte berechnen sich zu

[µ1]α = [2α− 1, 2− α]

und [µ2]α = [α+ 3, 5− α] ∪ [α+ 5, 7− α]

damit ist

(µ1+µ2)(t) = supα ∈ (0, 1) | t ∈ [3α+ 2, 7− 2α] ∪ [3α+ 4, 9− 2α]

Insgesamt ergibt sich damit

(µ1+µ2)(t) =

t−23 , falls 2≤ t ≤ 5

7−t2 , falls 5≤ t ≤ 5.8t−4

3 , falls 5.8≤ t ≤ 79−t

2 , falls 7≤ t ≤ 90, sonst

[µ1]α = [2α− 1, 2− α]

und [µ2]α = [α+ 3, 5− α] ∪ [α+ 5, 7− α]

damit ist

(µ1+µ2)(t) = supα ∈ (0, 1) | t ∈ [3α+ 2, 7− 2α] ∪ [3α+ 4, 9− 2α]

(µ1+µ2)(t) =

t−23 , falls 2≤ t ≤ 5

7−t2 , falls 5≤ t ≤ 5.8t−4

3 , falls 5.8≤ t ≤ 79−t

[µ1]α = [2α− 1, 2− α]

und [µ2]α = [α+ 3, 5− α] ∪ [α+ 5, 7− α]

damit ist

(µ1+µ2)(t) = supα ∈ (0, 1) | t ∈ [3α+ 2, 7− 2α] ∪ [3α+ 4, 9− 2α]

(µ1+µ2)(t) =

t−23 , falls 2≤ t ≤ 5

7−t2 , falls 5≤ t ≤ 5.8t−4

3 , falls 5.8≤ t ≤ 79−t

Notizen

R2 55.8

AAAAAAAAAAAAAA

µ1+µ2

Possibilitatstheorie 1/2

Fuzzy-Theorie fur Agentenwissen:

Grundprinzip: Verwendung der Fuzzy-Theorie zur Reprasentation vagenunsicheren Wissens:

µ(x) = Moglichkeitsgrad, mit dem x ∈ X einem tatsachlichexistierenden, aber unbekannten Wert entspricht.

Es geht um die vage Beschreibung eines bestimmten Weltzustandes, uberden wir keine vollstandige Information besitzen.

Fuzzy-Theorie fur Agentenwissen:

Grundprinzip: Verwendung der Fuzzy-Theorie zur Reprasentation vagenunsicheren Wissens:

µ(x) = Moglichkeitsgrad, mit dem x ∈ X einem tatsachlichexistierenden, aber unbekannten Wert entspricht.

Es geht um die vage Beschreibung eines bestimmten Weltzustandes, uberden wir keine vollstandige Information besitzen.

Passende Grundmenge (Universum): Menge Ω moglicher Zustande odermoglicher Welten

Eine Possibilitatsverteilung uber dem Universum Ω ist eine Fuzzy-Menge

π : Ω→ [0, 1]

mit π(ω) = 1 fur mindestens ein ω ∈ Ω (Konsistenzbedingung).

Die Menge aller Possibilitatsverteilungen auf Ω wird mit Poss(Ω)bezeichnet.

π : Ω→ [0, 1]

Spezifizitat 1/2

π1, π2 Possibilitatsverteilungen uber Ω.

π1 ist mindestens so spezifisch wie π2

π1 v π2,

wenn π1(ω) ≤ π2(ω) fur alle ω ∈ Ω gilt.

Je spezifischer eine Possibilitatsverteilung ist, desto scharfer ist das durchsie reprasentierte Wissen.

Spezifizitat 1/2

π1 v π2,

Spezifizitat 1/2

π1 v π2,

Spezifizitat 2/2

So ist die Verteilung π mit π(ω) = 1 fur alle ω ∈ Ω am wenigstenspezifisch (“alles ist moglich”)

, wahrend die einelementigen, scharfenMengen

πω0(ω) =

1, falls ω = ω0,0, sonst

maximal spezifisch sind.

Fehlende Spezifizitat wird oft im Sinne fehlender Informativitat verstanden.

Spezifizitat 2/2

So ist die Verteilung π mit π(ω) = 1 fur alle ω ∈ Ω am wenigstenspezifisch (“alles ist moglich”), wahrend die einelementigen, scharfenMengen

πω0(ω) =

Spezifizitat 2/2

So ist die Verteilung π mit π(ω) = 1 fur alle ω ∈ Ω am wenigstenspezifisch (“alles ist moglich”), wahrend die einelementigen, scharfenMengen

πω0(ω) =

Possibilitats- und Notwendigkeitsmaße 1/2

Jede Possibilitatsverteilung π induziert ein Possibilitatsmaß

Π : 2Ω → [0, 1]

mit Π(A) := supω∈A

π(ω)

Π(A) ist der Grad der Moglichkeit, mit der der wahre Weltzustand in Aliegt.

Der zu einem Possibilitatsmaß duale Begriff ist das Notwendigkeitsmaß:

Nπ : 2Ω → [0, 1]

mit Nπ(A) := infω∈(Ω−A)

(1− π(ω)) = 1−Π(Ω−A)

Jede Possibilitatsverteilung π induziert ein Possibilitatsmaß

Π : 2Ω → [0, 1]

mit Π(A) := supω∈A

π(ω)

Π(A) ist der Grad der Moglichkeit, mit der der wahre Weltzustand in Aliegt.

Der zu einem Possibilitatsmaß duale Begriff ist das Notwendigkeitsmaß:

Nπ : 2Ω → [0, 1]

mit Nπ(A) := infω∈(Ω−A)

(1− π(ω)) = 1−Π(Ω−A)

Possibilitats- und Notwendigkeitsmaße haben folgendeEigenschaften:

• Π(∅) = Nπ(∅) = 0.

• Π(Ω) = Nπ(Ω) = 1.

• Π(A ∪B) = maxΠ(A),Π(B).• Nπ(A ∩B) = minNπ(A), Nπ(B).• Π(A ∩B) ≤ minΠ(A),Π(B).• Nπ(A ∪B) ≥ maxNπ(A), Nπ(B).• Nπ(A) ≤ Π(A).

Possibilitats- und Notwendigkeitsmaße sind Plausibilitats- undGlaubensfunktionen ahnlich.

• Π(∅) = Nπ(∅) = 0.

• Π(Ω) = Nπ(Ω) = 1.

• Π(A ∪B) = maxΠ(A),Π(B).• Nπ(A ∩B) = minNπ(A), Nπ(B).

• Π(A ∩B) ≤ minΠ(A),Π(B).• Nπ(A ∪B) ≥ maxNπ(A), Nπ(B).• Nπ(A) ≤ Π(A).

• Π(∅) = Nπ(∅) = 0.

• Π(Ω) = Nπ(Ω) = 1.

• Π(A ∪B) = maxΠ(A),Π(B).• Nπ(A ∩B) = minNπ(A), Nπ(B).• Π(A ∩B) ≤ minΠ(A),Π(B).• Nπ(A ∪B) ≥ maxNπ(A), Nπ(B).

• Nπ(A) ≤ Π(A).

• Π(∅) = Nπ(∅) = 0.

• Π(Ω) = Nπ(Ω) = 1.

• Π(∅) = Nπ(∅) = 0.

• Π(Ω) = Nπ(Ω) = 1.

Fuzzy-Regeln

Eine Fuzzy-Regel ist von der Form

R : Wenn µ dann ν

und druckt einen Zusammhang zwischen zwei vagen Konzepten aus.

Beispiel:“Große Leute sind meistens schwer” ≈ Wenn groß, dann schwer ♣Sind µ und ν zwei Fuzzy-Mengen

µ : Ω1 → [0, 1], ν : Ω2 → [0, 1],

so ist das Ziel, das durch eine solche Regel R reprasentierte Wissen in eineunscharfe Relation bzw. Possibilitatsverteilung umzusetzen:

πR : Ω1 × Ω2 → [0, 1]

Fuzzy-Regeln

R : Wenn µ dann ν

und druckt einen Zusammhang zwischen zwei vagen Konzepten aus.Beispiel:“Große Leute sind meistens schwer” ≈ Wenn groß, dann schwer ♣

Sind µ und ν zwei Fuzzy-Mengen

µ : Ω1 → [0, 1], ν : Ω2 → [0, 1],

πR : Ω1 × Ω2 → [0, 1]

Fuzzy-Regeln

R : Wenn µ dann ν

und druckt einen Zusammhang zwischen zwei vagen Konzepten aus.Beispiel:“Große Leute sind meistens schwer” ≈ Wenn groß, dann schwer ♣Sind µ und ν zwei Fuzzy-Mengen

µ : Ω1 → [0, 1], ν : Ω2 → [0, 1],

πR : Ω1 × Ω2 → [0, 1]

Fuzzy-Modus ponens 1/2

Ein Modus ponens fur die Fuzzy-Theorie entspricht einer Ableitung derForm

Fuzzy-Regelunscharfes Wissen uber die Pramisse

unscharfes Wissen uber die Konklusion

Beispiel: Große Leute sind meistens schwerHans ist ziemlich groß

Hans ist ziemlich schwer ♣formal:

πR : Ω1 × Ω2 → [0, 1]π1 : Ω1 → [0, 1]

π2 : Ω2 → [0, 1]

Hans ist ziemlich schwer

♣formal:

πR : Ω1 × Ω2 → [0, 1]π1 : Ω1 → [0, 1]

π2 : Ω2 → [0, 1]

Hans ist ziemlich schwer ♣formal:

πR : Ω1 × Ω2 → [0, 1]π1 : Ω1 → [0, 1]

π2 : Ω2 → [0, 1]

Eine fuzzifizierte Inferenz 1/2

Wenn wir regelhafte Beziehungen zwischen Werten aus Ω1 und Wertenaus Ω2 als Relation formalisieren, so konnen wir den (klassischen) Modusponens als Abbildung modellieren:

infer : Ω1 × (Ω1 × Ω2)→ Ω2,

infer (ω1, (ω′1, ω′2)) :=

ω′2 falls ω′1 = ω1,undefiniert sonst.

Die Anwendung des Extensionsprinzips erzeugt eine Possibilitatsverteilunguber Ω2:

infer (π1, πR) = π2

wobei πR gesucht ist.

Wenn wir regelhafte Beziehungen zwischen Werten aus Ω1 und Wertenaus Ω2 als Relation formalisieren, so konnen wir den (klassischen) Modusponens als Abbildung modellieren:

infer : Ω1 × (Ω1 × Ω2)→ Ω2,

infer (ω1, (ω′1, ω′2)) :=

ω′2 falls ω′1 = ω1,undefiniert sonst.

Die Anwendung des Extensionsprinzips erzeugt eine Possibilitatsverteilunguber Ω2:

infer (π1, πR) = π2

wobei πR gesucht ist.G. Kern-Isberner (TU Dortmund) DVEW WS 2015/16 256 / 267

Fur die spezielle Verteilung µ aus unserer Ausgangsregel

R : Wenn µ dann ν

soll gelteninfer (µ, πR) = ν

Kombiniert mit der Forderung nach minimaler Spezifizitat (d.h. das durchπR ausgedruckte Wissen darf moglichst wenig beschrankt werden)bestimmt dies eindeutig die Verteilung πR zu

πR(ω1, ω2) =

ν(ω2) falls µ(ω1) > ν(ω2),1 falls µ(ω1) ≤ ν(ω2)

Fur die spezielle Verteilung µ aus unserer Ausgangsregel

R : Wenn µ dann ν

soll gelteninfer (µ, πR) = ν

Kombiniert mit der Forderung nach minimaler Spezifizitat (d.h. das durchπR ausgedruckte Wissen darf moglichst wenig beschrankt werden)bestimmt dies eindeutig die Verteilung πR zu

πR(ω1, ω2) =

Notizen

Ist π1 : Ω1 → [0, 1] eine die vorliegende Evidenz (unscharf) beschreibendePossibilitatsverteilung, so erhalt man mittels

π2 = infer (π1, πR)

Erkenntnisse uber die Konklusion der Regel R.

Mit dem Extensionsprinzip folgt

π2(ω2) = infer (π1, πR)(ω2)

= supminπ1(ω1), πR(ω1, ω2) | ω1 ∈ Ω1

Ist π1 : Ω1 → [0, 1] eine die vorliegende Evidenz (unscharf) beschreibendePossibilitatsverteilung, so erhalt man mittels

π2 = infer (π1, πR)

Erkenntnisse uber die Konklusion der Regel R.

Mit dem Extensionsprinzip folgt

π2(ω2) = infer (π1, πR)(ω2)

= supminπ1(ω1), πR(ω1, ω2) | ω1 ∈ Ω1

Fuzzy-Regeln – Beispiel

Wir wollen die folgende Regel modellieren:

R : Wenn Entzundung = schwer, dann Fieber = hoch

und benutzen die folgenden Fuzzy-Mengen

µ Schwere der Entzundung (Leukozytenzahl in Tausend pro mm3)ν Hohe des Fiebers (Korpertemperatur in Grad Celsius)

Fuzzy-Regeln – Beispiel (Forts.)

µ und ν seien wie folgt angegeben:

µ : Ω1 = [0,∞)→ [0, 1], µ(ω1) =

0, ω1 ≤ 10,110(ω1 − 10), 10 < ω1 < 20,1, ω1 ≥ 20

ν : Ω2 = [36, 42]→ [0, 1], ν(ω2) =

0, ω2 ≤ 37,12(ω2 − 37), 37 < ω2 < 39,1, ω2 ≥ 39

Die zu R gehorige Possibilitatsverteilung ist dann gegeben durch

πR(ω1, ω2) =

Bei dem Patienten Hans sei die Leukozytenzahl exakt bekannt: 18.000 promm3, d.h. das evidentielle Wissen ergibt die folgende Verteilung:

π1(ω1) =

0 falls ω1 6= 18,1 falls ω1 = 18

Nun kann die Verteilung π2 = infer (π1, πR) abgeleitet werden, dieunscharfes Wissen uber die Hohe des Fiebers von Hans reprasentiert:

π2(ω2) =

0 falls ω2 ≤ 37,12(ω2 − 37) falls 37 < ω2 < 38.6,1 falls ω2 ≥ 38.6

Bei dem Patienten Hans sei die Leukozytenzahl exakt bekannt: 18.000 promm3, d.h. das evidentielle Wissen ergibt die folgende Verteilung:

π1(ω1) =

0 falls ω1 6= 18,1 falls ω1 = 18

Nun kann die Verteilung π2 = infer (π1, πR) abgeleitet werden, dieunscharfes Wissen uber die Hohe des Fiebers von Hans reprasentiert:

π2(ω2) =

0 falls ω2 ≤ 37,12(ω2 − 37) falls 37 < ω2 < 38.6,1 falls ω2 ≥ 38.6

Notizen

Quantitative Unsicherheit Resumee

Kapitel 4 – Resumee

• Die Probabilistik ist die alteste und theoretisch fundierteste Methode,um Unsicherheit darzustellen.

• Will man auch Unwissenheit darstellen, so bietet sich dieDempster-Shafer-Theorie mit Glaubens- und Plausibilitatsfunktionenan.

• Generell kann man mit der Dempster-Shafer-Theorie gutInformationsfusion modellieren.

• Fuzzy-Theorie ist bestens geeignet, um vage Aussagen zureprasentieren und verarbeiten.

• Possibilitatstheorie ist die epistemische Variante der Fuzzy-Theorie.

• Generell gilt: Fehlende Struktur auf der Reprasentationsebeneerfordert oft großeren Aufwand auf der Wissenskontrollebene.

Das unsichere, unwissende, unscharfe Herzblatt

• Kandidatin #1 – Wahrscheinlichkeitstheorie:Die traditionsbewusste Queen of Uncertainty, die Ahnungslose mitNetzen umgarnt und mit der Bayesschen Regel zu Fall bringt. Furunerschrockene Hardliner, die weder Addition noch Division furchtenund auch bei Unsicherheit prazise Ergebnisse erwarten.

• Kandidatin #2 – Dempster-Shafer-Theorie:Die sympathische Unwissende, die von sich behauptet, nur mitKapazitaten zusammenzuarbeiten. Fur kombinationsfreudigeSpurhunde, die gerne Beweise sammeln und deren Verarbeitung einemSystem uberlassen.

• Kandidat #3 – Fuzzy-Logik:Der Softie unter den numerischen Methoden, fur den alles eine Frageder Norm ist. Fur “vage”mutige Regelliebhaber, die immer schonwussten, dass es mehr als klassische Mengenlehre gibt.

Quantitative Unsicherheit iXDHL-Beispiel

iXDHL @ Fuzzy

Wir wahlen die folgenden Aussagen (mit den jeweiligen Auspragungen):

Aufenthalt Mitarbeiter Amit = home, patio, mensa, cafeteriaSchoenes Wetter SW = ja, neinJahreszeit JZ = sommer, herbst, winter, fruehlingPausenzeit PZ = FZ, MZ, KeineAufenthalt Abt.leiter Aleit = patio, patio

Kaum vage Pradikate!

Modellierung mit Possibilitatstheorie moglich.

iXDHL @ Fuzzy

Beispiel: iXDHL @ Bayes-Netz

PZ SW Aleit

s 0.25h 0.25w 0.25f 0.25

FZ 0.06MZ 0.12K 0.82

SW |JZ s h w f

ja 0.8 0.5 0.1 0.6nein 0.2 0.5 0.9 0.4

Aleit |SW ja nein

p 0.2 0.01p 0.8 0.99

Amit PZ ∧ SW ∧Aleit

· · · · · ·

3 · 3 · 2 · 2 = 36 Wahrscheinlichkeiten

iXDHL @ Dempster-Shafer 1/2

Hier konnte man die Einflusse der Variablen Schoenes Wetter , Pausenzeitund Aufenthalt Abt.leiter auf die Variable Aufenthalt Mitarbeiter inkonkreten Situationen durch passende Basismaße abbilden, die man danndurch die Kombinationsregel zu einem Gesamtmaß und dann zu einerGlaubensfunktion kombinieren kann,

z.B. (mit Ω = home, patio, mensa, cafeteria)

Wetter : mSW (B) =

0.7 wenn B = home, patio0.3 wenn B = Ω0 sonst

Hier konnte man die Einflusse der Variablen Schoenes Wetter , Pausenzeitund Aufenthalt Abt.leiter auf die Variable Aufenthalt Mitarbeiter inkonkreten Situationen durch passende Basismaße abbilden, die man danndurch die Kombinationsregel zu einem Gesamtmaß und dann zu einerGlaubensfunktion kombinieren kann,

z.B. (mit Ω = home, patio, mensa, cafeteria)

Wetter : mSW (B) =

Pausenzeit: mPZ(B) =

0.9 wenn B = home, mensa0.1 wenn B = Ω0 sonst

Aufenthalt Abt.leiter : mAbtl(B) =

Die Werte hangen stark von der konkreten Situation (hier: schonerFruhlingstag, spater Vormittag, Abteilungsleiter nicht in seinem Buro) ab!

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