View
6
Download
0
Category
Preview:
DESCRIPTION
matematika
Citation preview
Zefry Darmawan, ST, MT
Teknik Industri
Universitas Brawijaya Malang
Definisi vektor
Besaran skalar
Panjang, luas, volume, massa, temperatur, dll
Besaran vektor
Laju angin 20 mil/jam arah tenggara, gaya angkat katrol
Definisi vektor ???
Besaran yang memiliki nilai dan arah satuan
Vektor Secara Geometris
Vektor disajikan dengan bentuk ruas garis berarah
atau panah
Titik pangkal vektor titik awal
Titik ujung vektor titik akhir/ tujuan
Simbol vektor
B
A
Kesamaan vektor
Dua vektor dikatakan sama/ ekuivalen, jika
Panjang dan arah vektor sama
Meski letaknya berbeda
\Vektor yang memiliki titik awal dan akhir yang berimpit mempunyai panjang nol (0) dan disebut vektor nol.
Vektor nol (0) tidak memiliki arah dan dipandang mempunyai arah sembarang
Penjumlahan vektor
Jika v dan w adalah vektor tak-nol, maka jumlah
keduanya adalah:
v +w = w + v
v
w
V+w
Pengurangan vektor
Jika v dan w sebarang vektor maka selisih v dan w
adalah:
v w = v + (-w)
v
w-w
v-w v
w
v-w
Perkalian vektor dengan skalar
Jika v adalah suatu vektor dan k adalah bilangan real
(skalar), maka perkalian kv, didefinisikan sebagai:
Vektor yang mempunyai panjang k kali panjang v dan
arahnya sama dengan arah v, jika k>0 dan
berlawanan arah dengan arah v jika k
Operasi Aritmatika pada vektor
Jika vektor v =(v1,v2) dan vektor w = (w1,w2) vektor
tersebut berada di ruang 2 dimensi dan k adalah
sebarang skalar, maka:
v + w = (v1+w1, v2+w2)
v w = (v1-w1, v2-w2)
kv = (kv1, kv2)
Dan berlaku pula untuk vektor yang berada di ruang
3 dimensi.
Vektor dengan titik awal tidak
dititik asalJika vektor diruang 2 dan 3 dimensi diposisikan dengan titik
awal berada di titik asal, maka koordinat titik akhirnya
merupakan komponen-komponen vektor tersebut.
Jika titik awal tidak berada di titik asal sistem koordinat, maka
teorema berikut akan menunjukkan bahwa komponen dapat
diperoleh dengan mengurangkan koordinat titik awal dengan
koordinat titik akhir.
P1(x1,y1)
P2(x2,y2)P1 P2
Ruang 2 dimensi
P1P2 = (x2-x1, y2-y1)
Ruang 3 dimensi
P1P2 = (x2-x1, y2-y1, z2-z1)
Bukti
P1(x1,y1)
P2(x2,y2)
P1 P2
OP2
OP1
y
x
P1P2 = OP2 OP1= (x2,y2) - (x1,y1)
= (x2-x1, y2-y1)
Aturan aritmatika vektor
Untuk sembarang vektor u, v, dan w, serta sembarang
skalar , dan berlaku hubungan berikut:
1. u+v = v+u
2. (u+v)+w = v+(u+w)
3. u+0 = 0+u = u
4. u+(-u) = 0
5. (u) = ()u
6. (u+v) = (u + v)
7. (+)u = u + u
8. 1u = u
Panjang vektor
Secara geometrik panjang suatu vektor v, juga
disebut norma v. Adalah jarak antara titik awal
vektor dengan titik akhirnya. Panjang norma v
dinotasikan dengan
Untuk ruang 2 dimensi
Untuk ruang 3 dimensi
Contoh soal
Dapatkan norma dari v = (-2,3) dan w = (2,3,6)
Vektor Satuan
Vektor dengan panjang 1 disebut vektor satuan. Vektor-vektor satuan yang berada disumbu-sumbu koordinat positif dari koordinat kartesius mempunyai notasi:
1. Diruang 2 dan 3 dimensi vektor satuan pada sumbu x dinotasikan dengan i.
2. Pada sumbu y dinotasikan j
3. Dan di sumbu z dinotasikan dengan k, sehingga terdapat hubungan
i = (1,0,0) j = (0,1,0) k = (0,0,1)
u = (u1,u2) = (u1,0) + (0,u2) = u1(1,0) + u2(0,1)
= u1 i + u2 j
v = (v1,v2,v3)
v = (v1,0,0) + (0,v2,0) + (0,0,v3) = v1(1,0,0) + v2(0,1,0) + v3(0,0,1)
= v1 i + v2 j + v3 k
Normalisasi vektor
Merupakan proses perkalian vektor tak nol dengan
resiprokal panjangnya yang menghasilkan vektor
satuan.
Contoh:
Vektor v = (3,4) dan panjang
Vektor dengan koordinat sudut
Jika adalah sudut dari sumbu x positif ke-u, maka komponen x dan y dari u berturut-turut adalah cos
dan sin :
u = (cos , sin ) = (cos ) i + (sin ) j
Jadi jika v vsembarang vektor tak nol, maka
x
y
Sin
cos
Recommended