Desarrollo del pensamiento lógico matemático:

DESARROLLO DEL PENSAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO:

UNA FORMA DE EVITAR LOS OBSTÁCULOS DIDÁCTICOS EN EL

APRENDIZAJE

Escuela Colombiana de IngenieríaEnero 13 de 2012

DIFICULTADES EN EL APRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA

• Sistema de numeración decimal: construcción de los números de más de 1 cifra; suma de unidades mayor que la decena; resta de unidades mayores; uso de símbolos, por ejemplo: <, >, √, log.

• Fraccionarios: representación de fracciones “impropias”; suma y resta; orden de números.

• Álgebra: realizar operaciones, potenciación y radicación, resolver polinomios en forma horizontal, dar un polinomio como respuesta.

• Resolución de problemas: identificar las magnitudes conocidas y desconocidas, establecer relación entre ellas, diferenciar la magnitud de la medida y de la unidad de medida.

• Se evidencian hacia los 10 u 11 años.• Se agudizan en el bachillerato y la universidad.• Se originan entre los 6 o 7 años.

ORIGEN DE LAS DIFICULTADES

• Frustración frente a tareas que superan sus capacidades por lo tanto baja Autoestima. • Deserción escolar y universitaria. • Escogencia de carreras que “no tengan nada que ver con matemáticas”.

CONSECUENCIAS DE LAS DIFICULTADES

Las dificultades se originan por los OBSTÁCULOS o dificultades que no son

posibles de superar e impiden avanzar en la construcción del nuevo conocimiento

(Brousseau, 1989).

¿POR QUÉ SE ORIGINAN?

Condiciones genéticas

específicas de los estudiantes.

Saltos conceptualesque no se pueden evitarporque juegan un papelmuy importante en laadquisición del nuevo

conocimiento.

Provienen de la enseñanza

y se deben evitar porque impiden

ver las cosas de una nueva

manera.

Ontogenéticos DidácticosEpistemológicos

OBSTÁCULOS

Los obstáculos didácticos son impedimentos en el aprendizaje que se producen por la misma enseñanza para

ayudar al niño a salir de la dificultad temporal pero que a largo plazo le

impiden avanzar en la construcción del nuevo conocimiento.

OBSTÁCULOS DIDÁCTICOS

Errores metodológicos

Errores pedagógicos

Errores conceptuales

Palabras o imágenes que

se usan en forma

inadecuada.

Nociones falsas que

distorsionan el significado del concepto.

Obstáculos epistemológicosque se evitan en

la enseñanza.

O.D. se producen por errores didácticos

La boca del cocodrilo abierta

para el mayor.

Ejemplo de error metodológico, del discente, O.D. y dificultad en S.N.D.

Usa el sentido común: el

cocodrilo se come al menor: 4

< 3

El uso de símbolos se asocia con una

imagen inadecuada: la

boca del cocodrilo.

Dificultad en el uso de símbolos.

Ejemplo de error pedagógico, del discente, O.D. y dificultad en S.N.D.

El número 18 es igual que el 9: 18 cosas.

18 está formado por 1 y

8.

c d u

3 2 4

3 0 4

Dificultad en la construcción de # de 2 cifras: valor posicional de la cifra ≠ la cifra en

una posición.

No se da salto conceptual entre # de 1 y 2 cifras: 1 grupo ≠ 10 cosas

sueltas.

¿Cuántas d hay en 304?

Responde: 0

Ejemplo de error conceptual, del discente, O.D. y dificultad en S.N.D.

18 + 49 ¿lleva 1? 67 -18 ¿le presta 1?

67 – 48“no se puede”, o lo

invierte: = 21.

Dificultad en la suma > d, resta u >, construir la lógica

del S.N.D.

Concepto falso: un número no tiene vida y no lleva y no presta, no se

descompone.

Ejemplo de error metodológico, del discente, O.D. y dificultad en Q+ “mal

llamados fraccionarios” (Federici)

Fracción, tomar, coger,

impropia.

¿En 5/3 cómo tomar 5 partes de 3?

Impropio significa algo que se debe

evitar.

El número se asocia con una

imagen inadecuada: tomar partes de un todo.

Dificultad para ver un solo objeto

matemático y no dos.

Ejemplo de error pedagógico, del discente, O.D. y dificultad en Q+ “mal

llamados fraccionarios” (Federici)Fracción

compuesta por 2 naturales

separados por una raya.

Suma o resta como naturales:3/4 + 2/5 = 5/9 5/9 - 2/5 = 3/4

Dificultad para realizar

operaciones con otros #

diferentes a N.

No se da salto conceptual entre N y Q+, ni entre

# contador y# relator.

Ejemplo de error conceptual, del discente, O.D. y dificultad en Q+ “mal

llamados fraccionarios” (Federici)Relación parte

todo, cantidades discretas.

No puede relacionar fracción con medida, ni con razón, ni con

operador.

Dificultad para construir el

significado de Q+ en sus diferentes

interpretaciones.

Concepto falso: Q+ es una relación

entre magnitudes, entre cantidades

continuas.

Resolver problemas: no logra identificar las magnitudes conocidas y desconocidas y diferenciarlas de la medida y

de la unidad de medida.

Establecer relaciones entre magnitudes y conceptos , ni a diferenciar los conceptos para dar

el salto conceptual, por ejemplo entre:Número contador ≠ número relator

cantidad ≠ númeromagnitud ≠ medida

Operación y operación inversa.

Las dificultades en deducir y generalizar se producen porque no se enseña a:

E.D. se producen por currículo tradicional

¿Qué se enseña?¿Para qué se

enseña?¿Cómo se enseña?

Aprender contenidos aislados

y pasar la evaluación.

Procedimientos mecánicos y repetitivos.

A manipular # y f.g., símbolos abstractos.

Se usan “trucos” para “ayudar” a manipular los

símbolos.

Se evitan los saltos para evitar dificultad temporal.

Se enseñan nociones

transitorias en la historia.

Errores metodológico

s

Errores pedagógicos

Errores conceptuales

Énfasis en símbolos

Contenidos aislados

Procedimientos mecánicos

¿Qué son?

¿Por qué se producen?

Tradicionalmente, el docente repite lo que aprendió de sus profesores y esto hace que los obstáculos didácticos se repitan de generación

en generación.

DIDÁCTICA

La didáctica tiene en cuenta cuatro elementos: el saber, el docente, el discente

y el contexto social.

“EL DESCUBRIMIENTO CONSISTE EN VER LO QUE TODOS HAN VISTO Y EN PENSAR

LO QUE NADIE HA PENSADO.”

Carlo Federici Casa (1906 – 2005)

DIDÁCTICA DE FEDERICIEl docente reflexiona sobre qué,

para qué y cómo se enseña.Enseñar la matemática consiste en desarrollar el pensamiento lógico matemático con el fin de adquirir

herramientas para resolver problemas propios de la

matemática, de la ciencia, de la música, del arte y… en general, de

la vida cotidiana.

DIDÁCTICA DE FEDERICI

¿Qué se enseña?¿Para quién se

enseña?¿Cómo se enseña?

Proceso cognitivo.

Des-cubrir relaciones, construir

significado.

A desarrollar pensamiento

lógico matemático.

Construyes todos los tipos de

pensamiento en forma integral.

Repite el proceso

histórico.

La acción del niño de lo

concreto a lo abstracto.

¿Qué y Para qué se enseña?

A desarrollar el pensamiento lógico matemático mediante el estudio de las relaciones entre cantidades y magnitudes.

E.T. D.F.

Pasar la evaluación, aprendizaje temporal.

Para resolver problemas propios de la matemática, de la ciencia y de la vida cotidiana.

Para aprender contenidos aislados.

Para construir el significado de los conceptos y la relación entre conceptos en todos los tipos de pensamiento en forma integral.

A manipular números y figuras geométricas, símbolos abstractos.

El proceso ontogenético repite en cierta manera, el proceso filogenético.

No se tiene en cuenta el proceso cognitivo del niño. Se enseña de la misma manera desde pre-escolar hasta la universidad: símbolos abstractos sin significado.

¿Para quién se enseña?

E.T. D.F.

Se tiene en cuenta el proceso cognitivo del niño que aprende de lo concreto a lo abstracto. Se utilizan las situaciones problema de la historia para diseñar actividades. Mediante la acción y las percepciones des-cubre relaciones y construye el significado de los conceptos.

Procedimientos mecánicos sin significado.

¿Cómo se enseña?

E.T. D.F.

El pensamiento lógico matemático se desarrolla sobre la base del pensamiento

espacial y la construcción de las estructuras lógicas y de las bases matemáticas

(Piaget, 1989).

PENSAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO

Relaciones topológicas se refieren a la construcción del espacio: abierto, adentro, con huecos, vecindad,…Relaciones proyectivas se refieren a la ubicación en ese espacio.Relaciones euclidianas se refieren a la forma y las proporciones y dimensiones del espacio.Las relaciones topológicas preceden a las proyectivas (Piaget, 1967).

Pensamiento espacial

Comparación: diferencias y semejanzas. Clasificación: comprende tres estructuras: Clasifica y reclasifica: clasifica si forma grupos usando todo el material con un criterio consistente. Reclasifica si clasifica con otro criterio diferente. Inclusión: incluye un grupo en otro grupo general. Complemento: separa el material en dos grupos complementarios, una propiedad y la negación de esa propiedad.

Estructuras lógicas

Relación se refiere al orden de un grupo teniendo en cuenta las relaciones temporales: Relaciones y sus inversas. Secuencias o patrones cuyo orden es aleatorio. Relaciones de orden entre cantidades y magnitudes, cuyo orden es lógico, por ejemplo: en las regletas Cuisenaire.

Relación de orden entre magnitudesRegletas Cuisenaire

b

r

v

R

a

V

n

c

A

N

blanca

roja

verde

rosada

amarilla

Verde oscura

negra

café

Azul

Naranja

Las bases matemáticas se refieren a la construcción del concepto de cantidad, magnitud, equivalencia y relación, y diferenciar: Cantidad ≠ número. Magnitud ≠ medida. Equivalencia ≠ operación. Relación ≠ relación inversa.

Bases matemáticas

EQUIVALENCIAS

R es equivalente a v y b

2r = R o R/2 = 2¿Cuántas equivalencias diferentes de R?¿Cuántas equivalencias diferentes sin importar el orden de R?

¿Cuántas equivalencias de R sólo con 2 regletas?

b + v = R

¿Cuál es el área del rectángulo?

¿De cuántas maneras se puede encontrar el área del rectángulo?

Cómo evitar los errores didácticos en el S.N.D.

8 – 5 = 33 + 5 = 8

La suma de 3 y 5 es igual a 8.

La resta: operación inversa de la suma.

La resta de 8 y 5 es igual a 3.

Generalización de la suma y la restaEcuaciones de primer grado

x + 5 = 8

8 – x = 33 + x = 8

x – 8 = -3

Cómo evitar los E.D. en el S.N.D. Construcción números de 2 cifras

N y r = 1d y 2 = 10 + 2 = 12 doce

10N y r = 10d y 2 = 100 + 2 = 102

40N y 5N y A = 40d y 5d y 9 = 400 + 50 + 9 = 459

Educación Tradicional

Construcción de la lógica: el número

doce es una suma.

1 grupo de 10 cosas = 1 decena ≠ 10 cosas

¿Existe el número doce?

El número 12 son doce

cosas, conteo.

8 + 6 = (8 + 2) + 4 = 10 + 4 = 14

Cómo evitar los E.D. en el S.N.D.Suma de unidades mayor que d

1 28 8 más 6 igual 14+ 36 pongo 4 llevo 1 64

Educación Tradicional

Construcción de la lógica: se

forman decenas.

Se cuenta y lleva.

Cómo evitar los E.D. en el S.N.D.Resta de unidades mayores

Educación Tradicional

Construcción de la lógica: se resta de la

decena.

El número de la

izquierda le presta.

14 – 6 = (10 – 6) + 4 = 4 + 4 = 8

51

64 4 menos 6 no se puede

- 36 el 6 le presta 1 al 4,…

28

Cómo evitar los E.D. en Q+ Relación entre conceptos y no

usar las fracciones

0 + 2 + 2 = 2 x 2 = 4 R es múltiplo de r

Número relator u operador

multiplicador sobre magnitudes.

= 2

Multiplicación, múltiplos.

2 =

2r = R

R es el doble de r

4/2 = 4 – 2 – 2 = 04/2 = 2

r es divisor de R

Número relator u operador divisor

sobre magnitudes.

1/2

= 1/2

División: operación inversa de la

multiplicación, divisores.

(1/2)R = r

=

r es la mitad de R

Cómo evitar los E.D. en Q+

Construcción de la relación entre magnitudes

2/3V = R

¿Cuál es la relación entre R y V?

=3/2

=2/3

¿Cuál es el segmento que

resulta del operador 2/3 sobre V?

3/2R = V

Construcción del significado de Q+:Operador, medida y razón.

¿Cuál es la medida entre R y V?

¿Cuál es la razón entre R y V?

R = 2/3V o V = 3/2R

R/V = 2/3V/R = 3/2

¿Hay otra medida? R = 4/6V o V = 6/4R

¿Las medidas son equivalentes?

R = 4/6V = 2/3V

Construcción del significado de Q+:Operador, medida y razón.

Interpretación de Q+

Relación Relación inversa

Operador 3/2R = V 2/3V = R

Medida R = 2/3V V = 3/2R

Razón y proporción R/V = 2/3 V/R = 3/2

(x + 2) (x + 3) =

(x + 3) (x + 2) = x2 + (3 + 2)x + 3•2

Uso de regletas en álgebra

xx2 + (2 + 3)x + 2•3

Uso de regletas en cálculo integral

Pregunta: sin pregunta no hay problema. Magnitudes conocidas y desconocidas. Relación entre dos magnitudes (el cerebro funciona en forma binaria). Unidad de medida para cada medida y la relación entre las diferentes unidades de medida. Proceso de lo analítico a lo sintético.

Resolución de problemas

Desarrollo del pensamiento lógico matemático desde cualquier área

DocenteDocente

DocenteSaber

DocenteDiscente

Contexto social

Contexto social

Resolver problemas

propios de la matemática.

Desarrollo del pensamiento lógico matemático desde cualquier área

Resolver problemas de la ciencia y del

arte.

Resolver problemas de la vida cotidiana.

Actividades.Logros:

identificar, diferenciar, construir.

P.L.M: procesos lógicos,

espaciales, matemáticos.

Saber

Desarrollo del proceso cognitivo.

Desarrollo del pensamiento lógico matemático desde cualquier área

Conceptos fundamentales

y la relación entre ellos.

Historia del proceso de

construcción de los

conceptos.

Papel del discente

Descubrir relaciones

entre cantidades y magnitudes mediante la

acción.

Desarrollo del pensamiento lógico matemático desde cualquier área

Construir el significado

de los conceptos.

Justificar y explicar las respuestas.

Papel del docente

Reflexionar sobre qué, para qué y cómo se

enseña.

Desarrollo del pensamiento lógico matemático desde cualquier área

Conocer los conceptos

fundamentales y la relación entre

conceptos.

Formular las preguntas

adecuadas.

Pensamiento lógico

matemático

Etapas en el proceso

Conceptos fundamentales

Construye el significado

Saltos conceptuales

Desarrolla estructuras cognitivas

El docente reflexionaqué, para quién y cómo se enseña

El discente aprende

• Autoestima.• Escogencia de acuerdo a su interés. • Mayor índice de población universitaria.• Mayor capital humano en la resolución de problemas de nuestro país.

CONSECUENCIAS DEL DESARROLLO DEL P.L.M.

Andrade, C. (2010) “Obstáculos didácticos en el aprendizaje de la matemática y la formación de docentes”. En: Alme 25, Guatemala, 2010.Andrade, C. (2008) De la mano al cerebro; sobre la construcción de los racionales sin signo (Q+) con base en la didáctica de la matemática de Federici. Bogotá. Fondo de Publicaciones del Gimnasio Moderno.Brousseau, G. (1989) "Les obstacles épistémologuiques et la didactique des mathématiques" En Construction des savoirs Canada: CIRADE Agence d´arc. pp. 41-63.Cuisenaire, G. (1952) Los números en color. BélgicaFederici, C. (2003) Una construcción didáctica del Sistema de Numeración Decimal. En imprenta.Piaget, J (1983) La psicología de la inteligencia. Barcelona. Editorial CríticaPiaget, J. Inhelder, B. (1967) The child´s conception of space. New York. The Norton Library.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

GRACIAS!

Carmen Andrade Escobar Magister en Docencia de la matemática, UPN

Investigación dirigida por el profesor Federici, 2000 a 2004

Directora Escuela Mak

escuelamak@gmail.com