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Cálculo de PrimitivasCálculo de Primitivas Descomposición en trigonométricasDescomposición en trigonométricas
Integración por descomposición en integrales de funciones trigonométricas
Algunas fórmulas trigonométricas nos permiten descomponer la función a integrar en otra equivalente más fácil de integrar
02/11/2009 2
Cálculo de PrimitivasCálculo de Primitivas Descomposición en trigonométricasDescomposición en trigonométricas
Partiendo de las fórmulas trigonométricas:( )( )
cos cos
cos cos
sen mx nx senmx nx mxsennx
sen mx nx senmx nx mxsennx
+ = +
− = −
1. cossenm x nxdx∫
Sumando miembro a miembro y despejando:( ) ( )
( ) ( )( )
2 cos1cos2
sen mx nx sen mx nx senmx nx
senmx nx sen mx nx sen mx nx
+ + − = ⇒
⇒ = + + −
Integrando:
( ) ( )( )1cos2
senmx nxdx sen mx nx sen mx nx dx= + + −∫ ∫
02/11/2009 3
Cálculo de PrimitivasCálculo de Primitivas Descomposición en trigonométricasDescomposición en trigonométricas
Ejemplo 1
5 cos 4sen x xdx∫
02/11/2009 4
Cálculo de PrimitivasCálculo de Primitivas Descomposición en trigonométricasDescomposición en trigonométricas
( )
( )( )
15 cos4 92
1 1 19 9 92 2 91 1 1 1cos9 cos cos9 cos2 9 18 2
sen x xdx sen x senx dx
sen xdx senxdx sen xdx senxdx
x x K x x K
= + =
= + = + =
= − − + =− − +
∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫
02/11/2009 5
Cálculo de PrimitivasCálculo de Primitivas Descomposición en trigonométricasDescomposición en trigonométricas
Partiendo de las fórmulas trigonométricas:( )( )
cos cos cos s
cos cos cos
mx nx mx nx enmxsennx
mx nx mx nx senmxsennx
− = +
+ = −
2. coscosmx nxdx∫
Sumando miembro a miembro y despejando:( ) ( )
( ) ( )( )
cos 2cos cos1cos cos cos cos2
mx nx cos mx nx mx nx
mx nx mx nx mx nx
− + + = ⇒
⇒ = − + +
Integrando:
( ) ( )( )1cos cos cos2
cosmx nxdx mx nx mx nx dx= − + +∫ ∫
02/11/2009 6
Cálculo de PrimitivasCálculo de Primitivas Descomposición en trigonométricasDescomposición en trigonométricas
Ejemplo 2
cos3 cos 2x xdx∫
02/11/2009 7
Cálculo de PrimitivasCálculo de Primitivas Descomposición en trigonométricasDescomposición en trigonométricas
( )
( )
1cos3 cos 2 cos cos52
1 1 1cos cos5 cos 5cos52 2 51 1 1 15 52 5 2 10
x xdx x x dx
xdx xdx xdx xdx
senx sen x K senx sen x K
= + =
= + = + =
= + + = + +
∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫
02/11/2009 8
Cálculo de PrimitivasCálculo de Primitivas Descomposición en trigonométricasDescomposición en trigonométricas
Partiendo de las fórmulas trigonométricas:( )( )
cos cos cos
cos cos cos
mx nx mx nx senmxsennx
mx nx mx nx senmxsennx
− = +
+ = −
3. senmxsennxdx∫
Restando miembro a miembro y despejando:( ) ( )
( ) ( )( )
cos cos 21 cos cos2
mx nx mx nx senmxsennx
senmxsennx mx nx mx nx
− − + = ⇒
⇒ = − − +
Integrando:
( ) ( )( )1 cos cos2
senmxsennxdx mx nx mx nx dx= − − +∫ ∫
02/11/2009 9
Cálculo de PrimitivasCálculo de Primitivas Descomposición en trigonométricasDescomposición en trigonométricas
Ejemplo 3
2 3sen xsen xdx∫
02/11/2009 10
Cálculo de PrimitivasCálculo de Primitivas Descomposición en trigonométricasDescomposición en trigonométricas
( )
( )
12 3 cos cos52
1 1 1cos cos5 cos 5cos52 2 51 1 1 15 52 5 2 10
sen xsen xdx x x dx
xdx xdx xdx xdx
senx sen x K senx sen x K
= − =
= − = − =
= − + = − +
∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫
02/11/2009 11
Cálculo de PrimitivasCálculo de Primitivas Descomposición en trigonométricasDescomposición en trigonométricas
Partiendo de las fórmulas trigonométricas:( )( )
cosh cosh
cosh cosh
senh mx nx senhmx nx mxsenhnx
senh mx nx senhmx nx mxsenhnx
+ = +
− = −
4. coshsenhmx nxdx∫
Sumando miembro a miembro y despejando:( ) ( )
( ) ( )( )
2 cosh1cosh2
senh mx nx senh mx nx senhmx nx
senhmx nx senh mx nx senh mx nx
+ + − = ⇒
⇒ = + + −
Integrando:
( ) ( )( )1cosh2
senhmx nxdx senh mx nx senh mx nx dx= + + −∫ ∫
02/11/2009 12
Cálculo de PrimitivasCálculo de Primitivas Descomposición en trigonométricasDescomposición en trigonométricas
Ejemplo 4
5 cosh 4senh x xdx∫
02/11/2009 13
Cálculo de PrimitivasCálculo de Primitivas Descomposición en trigonométricasDescomposición en trigonométricas
( )
( )
15 cosh 4 92
1 1 19 9 92 2 91 1 1 1cosh9 cosh cosh9 cosh2 9 18 2
senh x xdx senh x senhx dx
senh xdx senhxdx senh xdx senhxdx
x x K x x K
= + =
= + = + =
= + + = + +
∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫
02/11/2009 14
Cálculo de PrimitivasCálculo de Primitivas Descomposición en trigonométricasDescomposición en trigonométricas
Partiendo de las fórmulas trigonométricas:( )( )
cosh cosh cosh s
cosh cosh cosh
mx nx mx nx enhmxsenhnx
mx nx mx nx senhmxsenhnx
+ = +
− = −
5. cosh coshmx nxdx∫
Sumando miembro a miembro y despejando:( ) ( )
( ) ( )( )
cosh cosh 2cosh cosh1cosh cosh cos cos2
mx nx mx nx mx nx
mx nx mx nx mx nx
+ + − = ⇒
⇒ = + + −
Integrando:
( ) ( )( )1cosh cosh cosh cosh2
mx nxdx mx nx mx nx dx= + + −∫ ∫
02/11/2009 15
Cálculo de PrimitivasCálculo de Primitivas Descomposición en trigonométricasDescomposición en trigonométricas
Ejemplo 5
cosh3 cosh 2x xdx∫
02/11/2009 16
Cálculo de PrimitivasCálculo de Primitivas Descomposición en trigonométricasDescomposición en trigonométricas
( )
( )
1cosh3 cosh 2 cosh5 cosh2
1 1 1cosh5 cosh 5cosh5 cosh2 2 51 1 1 15 52 5 10 2
x xdx x x dx
xdx xdx xdx xdx
senh x senhx K senh x senhx K
= + =
= + = + =
= + + = + +
∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫
02/11/2009 17
Cálculo de PrimitivasCálculo de Primitivas Descomposición en trigonométricasDescomposición en trigonométricas
Partiendo de las fórmulas trigonométricas:( )( )
cosh cosh cosh
cosh cosh cosh
mx nx mx nx senhmxsenhnx
mx nx mx nx senhmxsenhnx
+ = +
− = −
6. senhmxsenhnxdx∫
Restando miembro a miembro y despejando:( ) ( )
( ) ( )( )
cosh cosh 21 cosh cosh2
mx nx mx nx senhmxsenhnx
senhmxsenhnx mx nx mx nx
+ − − = ⇒
⇒ = + − −
Integrando:
( ) ( )( )1 cosh cosh2
senhmxsenhnxdx mx nx mx nx dx= + − −∫ ∫
02/11/2009 18
Cálculo de PrimitivasCálculo de Primitivas Descomposición en trigonométricasDescomposición en trigonométricas
Ejemplo 6
2 3senh xsenh xdx∫
02/11/2009 19
Cálculo de PrimitivasCálculo de Primitivas Descomposición en trigonométricasDescomposición en trigonométricas
( )
( )
12 3 cosh5 cosh2
1 1 1cosh5 cosh 5cosh5 cosh2 2 51 1 1 15 52 5 10 2
senh xsenh xdx x x dx
xdx xdx xdx xdx
senh x senhx K senh x senhx K
= − =
= − = − =
= − + = − +
∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫
02/11/2009 20
Cálculo de PrimitivasCálculo de Primitivas Descomposición en trigonométricasDescomposición en trigonométricas
Las siguientes fórmulas trigonométricas también nos permiten descomponer algunas integrales:
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
cos 1 1 1 cos2
1 sec 1 cot cos1 cos 2 1 cos 2cos
2 22 2 cos cos 2 cos
sen x x senx x
tg x x g x ec xx xsen x x
sen x senx x x x sen x
π + = ± = ± −
+ = + =− +
= =
= = −
7. Otros tipos
02/11/2009 21
Cálculo de PrimitivasCálculo de Primitivas Descomposición en trigonométricasDescomposición en trigonométricas
Ejemplo 7
2cos xdx∫
02/11/2009 22
Cálculo de PrimitivasCálculo de Primitivas Descomposición en trigonométricasDescomposición en trigonométricas
( )
( )2 1cos 1 cos 2
21 1 1cos 2 2cos 22 2 21 1 1 12 22 2 2 4
xdx x dx
dx xdx dx xdx
x sen x K x sen x K
= + =
= + = + =
= + + = + +
∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫
02/11/2009 23
Cálculo de PrimitivasCálculo de Primitivas Descomposición en trigonométricasDescomposición en trigonométricas
Ejemplo 8
3sen xdx∫
02/11/2009 24
Cálculo de PrimitivasCálculo de Primitivas Descomposición en trigonométricasDescomposición en trigonométricas
( )
( )
3 2 2
2 2
3
1 cos
cos cos
coscos3
sen xdx sen xsenxdx x senxdx
senx xsenx dx senxdx xsenxdx
xx K
= = − =
= − = − =
=− + +
∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫
02/11/2009 25
Cálculo de PrimitivasCálculo de Primitivas Descomposición en trigonométricasDescomposición en trigonométricas
Ejemplo 9
4tg xdx∫
02/11/2009 26
Cálculo de PrimitivasCálculo de Primitivas Descomposición en trigonométricasDescomposición en trigonométricas
( )
( ) ( )
4 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
32 2 2
sec 1
sec sec sec 1
sec sec3
tg xdx tg xtg xdx tg x x dx
tg x x tg x dx tg x xdx x dx
tg xtg x xdx xdx dx tgx x K
= = − =
= − = − − =
= − + = − + +
∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫
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