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Die T e m p e r a t u r a b h ~ n g i g k e i t d e s E m i s s i o n s v e r m b g e n s fiir die S trah lung e ines s c h w a r z e n Kbrpers .
Von A. Press in New York.
Mi~ 3 Abbildungen. (Eingegangen am 25. Juli.1930.)
Das gewShnliche S t e f a n - B o l t z m a n n s c h e Stralllungsgesetz hat die Form:
u == o't 4, (1)
we u die Dichte der Strahlungsenergie, wie sie yon einem Bolometer oder einem derartigen Instrument ~ufgefangen wird, und t die Temperatur der Strahlungsquelle bedeuten. In der Pyrometric is t jedoeh bekannt, daS man ein so einfaehes Gesetz, wie (1) es darstellt, nieht genau erh/~lt. Der
Exponent yon t liegt in vielen FMlen zwischen E~.. E 4 6, und auBerdem wird die Giiltigkeit des Ausdrueks durch die ,,0ffnung" oder Kriimmung der strahlenden Oberfl/~ehe wesent]ich beeinfluBt.
E ~ E Um zu einer zutreffenderen Formel zu gelangen, betraehten wir ein Oberfl~chenelement dS, wie
II Fig. 1 es andeutet. Pro Sekunde wird W~rme- , energie im Betrage von
EdS (2) E d3fu~ c d~ dareh Strahlung der Umhiillung mitgeteilt werden,
Fig. I, fiir die im Gteichgewieht eine gleieh grebe
Strahlungsmenge dureh ein Element veto Querschnitt ds des daraufhin die Umhiillung verlassenden Strahlungsstromes hindurehgehen mu$.
Innerhalb tier Umhiillung wird das Medium (Dampf), das dem Ober- fl/~chenelement dS benaehbart ist, eine Fortpflanzungsgeschwindigkeit c 1 fiir strahlende Energie beibehalten. Es wird daher angenommen, daS am Ausgang, we der entspreehende Querschnitt ds ist, dieselbe FlieSgesehwin- digkeit fiir die Energie vorhanden ist. Daher wird die L~nge des Energie- stroms in der Sekunde c 1 sein und wit kbnnen ein u clds zeiehnen, dessen Energieinhalt gleich dem Beitrag E d S sein muS. Ist dann die Energiediehte des auftretenden Energiestromes u 1, so heist das in der Tat, dab man bereehtigt ist, zu schreiben:
B . d S = e l . d s .~h , I
i ds I (8)
A. Press, Die Temperaturabh~ngigkeit des Emissionsverm6gens usw. 735
Diese Gleichung (3) mul3 mit den Forderungen der S t e f a n - B o l t z m a n n - sehen Gleiehung (1) in Zusammenhang gebraeht werden.
IVlan kann Gleichung (8) dadurch eine reeht bedeutsame Form geben, dal~ man in sie den Begriff des Brechungsindex n einftihrt. Beaehten wit, da~ definitionsgemal~ fiir die Fortpflanztmgsgeschwindigkeiten gilt:
C0, n = - - , (4) C1
hier ist % die Fortpfianztmgsgeschwindigkeit in einem benaehbaxten, mit dem ersten in Beriihmng stehenden Medium. Dttrch Substitution wird aus tmserer Formel:
n d S ~1 . . . . . E . (5)
c o . d s
Man kann den Brechungsindex oder besser die Gesehwindigkeit o 1 als Funktion der Temperatur t u n d des Dampfdrucks des Mediums a u f f a s s e n ,
das mit der strahlenden Oberflache S in Bertihrung steht. Es folg~ daher:
n : / (e, t), (6)
we ~ die Dampfdichte bedeutet. Gleichung (5) geht daher in die folgendetiber:
/(e, 0 aS % . . . . E . (7)
c o d s
Man sieht, dal~ die spezifisehen Eigensehaften des die strahlende Wand bildenden KSrpers nicht in Erseheinung treten, aulller wenn man annlmmt, dal3 ein Dampfmedium den Hohlraum erftillt. Ware c I die Geschwindigkeit im freien J(ther, so wtirde c 1 in Formel (8) der Lichtgeschwindigkeit ent- spreehen. Es kann jedoeh wie in Fig. 2 vorkommen, dal~ die strahlende Energie vom ursprtinglichen Medium in ein darauffolgendes zweites Medium iibergeht, wobei immer noeh das geometrische Obeffl~ehenverhi~l~nis d S / d s
funktionell erhalten bleibt. Dann worde aus (8) fOr die betreffenden Energiedichten pro Volumeneinheit folgen mtissen, dal~
1 d S 1 d 8 u o - - E , u 1 = - - - E , (8)
c o d s c 1 d s
- - , q~o = - - ~1" (9) ~ I 60 CO
Abgesehen yon dem EiufluB des Dampfdrueks auf die Wande eines Bartol l ischen Zylinders (vgt. Fig. 8), kann man einen solchen Zylinder als in ein Gebiet getaucht denken, in dem die Dichte der strahlenden Energie u 1 ist. Man nimmt so an, dab alle Seiten bis anf eine fiir die
Zeitschrift fiir Physik. Bd. 65. 47
736 A. Press,
strahlende Energie undurchl~l~lich sin& Die elektromagnetischen Wellen werden bei ihrer induktiven ~eflexion yon Wand zu Wand einen Strahlungs- druck Pl erzeugen, wobei aber jeder Strahl zu ein und derselben Zeit nut in einer einzigen Richtung wirk~am sein kann. Da aber drei voneinander anabhiingige Richtungen vorhanden sind, kann man sagen, dag die Komponente in Richtung der Normalen auf die Stempelwand das durch
die Beziehung dp 1 - - ( 1 0 )
du 1 8
gegebene Gesetz befolgt. D.h. dal~ der Zuwachs dp des Druckes auf den Stempel proportional nur eiaem Drittel des Zuwachses du I der Strahlungs-
d3
Fig. 2.
dichte pro Volumeneinheit wird.
: "fe~ep"':.' .":". "." '."':":": !.
} , . ; . ,~%NNNN\\'t~\'%\\\\\\~ "-.'.- "-
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F i g . 3 .
I)urch J_ngegration yon (10) ergibg sich daher:
19 = I ul" (11)
Da innerhalb des Zylindervolumens v eben~alls die Energiedichte u 1 herrscht, iolgt nur, dab der gesamte Energieinhalt
E = u lv (12)
wird. Wenden wit nun thermodynamisch das Prinzip yon der Erhal~lmg der Energie an, so haben wir:
dQ = dE -~- ~)g~v = d (q./1 v) -~- pdv. (18)
Diese letztere Gleichung besagt nicht nur enl~sprechend den Gleichungen (10) und (11), dab der Druck p eine Funktion yon u 1 ist, sondern dab augerdem die Energiedichte u 1 selbst eine Funktlon der Temperatur t des DampIes ist, der den Bartol l ischen Zylinder umgibt und efffillt. Ant diese Weise wird es mSglich, die Annahme einer zugeordneten Temperatur t fiir die Energiedichte u des _~thers zu vermeiden.
Angesichts der Gleichungen (12) und (10) lgl~t sich Gleichung (13) nun folgendermal~en schreiben:
dQ = vdu 1 + ~u 1. dv. (14)
Die Temperaturabh~ingigkeit des EmissionsvermSgens fiir die Strahlung usw. 737
Wiihlen wir die Temperatur t als klassischen integrierenden Faktor, so folgt ftir ein vollst~indiges Differential [wenn ~ (14) auf beiden SeRen
mit 1/t multiplizieren]:
Jedoeh wird in dem hier untersuehten Falle die Energiedichte u 1 vermittels des vorgesehenen Fensters immer aufrechterhalten bleiben, wenn aueh tier Stempel sieh infolge des Strahlungsdruekes p bewegt und so eine Ver- grSBerung des Volumens v veranlaBt. Dies bedeu~et, dab u 1 nicht als Volumenfunktion snzusehen ist. Aus (15) s 4ann:
1 411 u l ( O t , ,
Oul -- 4 0 t '~1 t '
u 1 = (~t 4. (16)
Diese letztere Gleiehung ist die S t e f a n - B o l t z m a n n s e h e Beziehung. Beobachtungen sind allerdings in einer Umgebung, deren Energiedichte u 1 und deren Temperatur t ist, nieht gemaeht. Der Beobaehter und sein Instrument befinden sieh fiir gewShnlieh in einem Medium, in dem die Energiediehte u o betri~gt und die Temperatur yon t versehieden ist. Kom- binieren wir daher angesichts der Fig. 2 die beiden Bedingungsgleiehungen (9) und (16), so finde~ sich:
% = ~ a ~'. (17) C o
So finder sich nun, da der Brechungsindex n dureh (4) definiert wird, dutch Einftihren dieser Gleiehung in (17):
Uo = o" t'. (lS) I t
Da wir nun wissen, dab der Breehungsindex n fiir D~mpfe bei hohen Temperaturen, bezogen entweder auf den freien _~ther oder auf den luft- erfiillten Raum eines Beobaehters, als Funktion der Temperatur (ebenso- gut wie des Dampfdrucks) dargestellt werden kann, wird sofort klar, warum der Exponent yon t in Gleiehung (18) in der Praxis verandert erscheint. Man daft nieht vergessen, dab die funktionelle Konstanz yon dS/ds aueh in der obigen Deutung und Anwendung noeh gepriift werden muB. Die angen~herte allgemeine Formel fiir u o ist:
u o = - �9 (19) c -dT o
47*
738 A. Press, Die Temperaturabh~ingigkeit des EmissionsvermSgens usw.
Fiir den allgemeinen Fall folg~ daher:
a o t4. (20) ~ 0 ~ - - ' - - "
27.1 (dS) auf den Were, In den beiden letzten Ausdrticken bezieht sich ~--~
den man praktisch bis z~u der Stelle erh~lt, an der ein Wechsel des Mediums
dS) dem Verh~tl~nis der Oberfl~chen, eintritt. Andererseits entspricht ~ss o
die den Trennungspunkt der Medien und den schliel~lichen Beobaehtungs- punkt kennzeiehnen.
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