경우의수d1anutt72n1dwl.cloudfront.net/course/1415094153.48_jh.pdf · 2014-11-04 ·...

⇒ ≪경우의수≫는 어떤시행을했을때≪ 조건에맞는결과사건이몇개일어나느냐 ≫ 하는문제야근데 그 조건에맞는개수를구하려면이런경우저런경우생각해야할게많거던 또 개수를세다보면중복되는경우도있고 미처세지못하고 빠지는경우도있고 이처럼 대략난감한상황이많이일어나 답을내도이게진짜맞는건가 헷갈리기도하고이러저러 복잡하고엉켜있는상황속에서 경우의수를구할때가장 중요한것은 경우의수를구하기전에 우선잘정리해야돼즉 기준을잡고 ≪기준을중심으로 잘분류≫ 해야돼

분류만잘하잖아 그럼 각각의경우의수는 간단하게끝나그냥공식으로다 해결된단소리야그니깐너네가문제를풀때바로공식으로답이나올수없는상황이다하면바로기준잡고 분류부터해야겠지ㅎㅎ결국 ≪경우의수문제는 분류의문제 ≫라보면돼

≪ 난감한상황 ≫ ≪ 기준잡고분류 ≫

경우의 수

자 분류가다끝났다 그럼그담에는 ≪계산≫ 해야지

계산은 당연히 사칙연산 × ÷을이용해그럼언제더하고언제빼고곱하고나누는지를알아야겠네① ≪ 더할때 합의법칙 ≫

복잡한상황속에서경우의수를구하려면분류하지각각분류한것은물론따로따로계산해야돼 따로따로계산이 다끝나면 각각분류해서 계산한결과값들은당연히 더해야지이런경우저런경우니깐 ≪ 분류했으면 ≫ ⇒ ≪ 그결과는더한다 ≫

② ≪뺄때≫

빼는경우는크게두가지인데 그중하나는 ≪중복된경우≫야분류해서계산한결과값을다더하려고보니 아무리분류해도중복되는게있는거야그럼두번더하게되는거니깐그러면않되잖아그니깐중복되는건 빼야겠지두번째 빼는경우는 문제에맞게기준을잡고분류하고보니그 경우의수가너무많은거야 근데 반대경우는 몇개 않돼그럴땐≪전체에서반대의경우를빼는게≫ 더낫지않겠어 그럴때 뺄셈을사용해ㅎ∪ ∩

③ ≪곱할때 곱의법칙 ≫

계산을 하는데 어느한경우에 동일하게똑같은경우의수가계속나와 즉 분류를 가지로했는데 어느한가지의경우의수가 가지야근데 나머지분류된것도뻔히 가지인게보여그럴땐 을 번더할래 이것보다는 × 가편하겠지또 이런경우와저런경우가 ≪동시에≫ 일어나거나 동시는아니어도≪연이어≫ 어쨌든상황상둘다일어나야하는경우에는 두경우를곱하지≪ 두사건이동시에또는연이어일어난다 ≫ ⇒ ≪그결과는곱한다 ≫

④ ≪나눌때 ≫

나누는경우는의미상으로조금헷갈린부분이라간단한예로설명할게 경우의수를다 구했는데총 가지야 근데 가지씩이원래는가지경우야이럴땐 개씩한묶음으로한가지니깐

묶음이되서

총 가지가되는거야 나누는경우는거의다 ≪공식≫으로정형화되있어

⇒ 이러저러여러상황속에서 조건에맞는 ≪경우의 수≫ 구하려면≪기준을잡고분류≫ 해야지 분류하고난다음에는 각각을사칙연산을이용해서 ≪계산≫ 하게돼근데계산하다보니깐 엄청자주쓰는계산이있는거야이런 ≪자주쓰는계산들은 아예 공식화≫ 하자 하고 만든게바로 ≪순열과 조합≫이야

순열과조합은계산중에자주쓰는계산을공식화한거잖아근데그공식을사용할때어떤기준에따라공식을사용하고자했어그기준이크게 가지인데그게 ≪대상≫ ≪선택의여부≫ ≪자리≫야≪대상 ≫ 서로다른대상이냐같은것이있는대상이냐≪선택의여부 ≫ 특정한몇개를선택하는냐아니면선택을않하는냐≪자리≫ 결국배열의문제인데 자리가서로다른자리냐 돌리면같은자리냐자리가뻔히지정되어있거나 구분이않되느냐 아니면아예배열을않하느냐

이런기준에따라공식으로나타낸순열조합공식이 총 가지야다행히고때는 다외울필요없어 가지만알면돼 순열 과 팩토리얼 과 조합 ㅎㅎㅎㅎ

순열과 조합

경우의수⇒ 기준잡고분류 ⇒ 계산사칙연산⇒순열과조합

≪ 고등학교순열조합공식가지 ≫

순열 원순열

대 상 서로다른개 서로다른개 서로다른개선택 개를 선택 선택않함

모두선택선택않함

모두선택

자리 서로다른자리 서로다른자리 돌리면같은자리있다

조합

중복순열

중복조합

없어도되는것 꼭있어야되는것

대상 같은것포함 서로다른개선 택 선택않함

모두선택개를 선택

자 리 서로다른자리선택에서끝 자리가지정되어있거나자리가구분않됨

이제우리의관심사 순열 팩토리얼 조합에대해알아보자

① ≪ 순열 ≫

⇒ 표에서보듯이 ≪서로다른 개의대상≫에서 ≪개를선택≫해서≪서로다른 개의자리에배열≫ 하는경우의수를말하는거야여기서꼭알아야할점은 은 어떤대상을 선택하고배열하는것까지경우의수를센다는거야 즉 ≪선택 배열≫을합쳐놓은 거지

×∙∙∙× 단 ≤

× ××

② ≪ 팩토리얼 의계승 ≫

⇒ ≪서로다른 개의대상≫을 ≪선택없이 모두다선택 ≫ 해서≪서로다른 개의자리에배열≫하는경우의수를말해쉽게얘기해서몽땅다갖고쫙 뿌리는거야선택없이 ≪배열만 하는경우의수≫라고생각해 이랑 같지ㅎㅎ ×∙∙∙×

××

③ ≪ 조합 ≫

⇒ ≪서로다른 개의대상≫에서 ≪개를선택≫한다음≪선택에서끝 ≫이거나 ≪배열될자리가지정되있거나 ≫≪ 자리가구분되지않을때 ≫ 의경우의수를말해쉽게얘기하자면선택만하거나선택하고 난다음에갈 자리가뻔하다는거야배열되는경우의수는따로 세지않고 가지라는거지

단 ≤ ≤ 꼭암기해

④ ≪포함과배제≫ 에따른분류⇒ 경우의수는어차피분류의문제라고했지분류를어떻게하느냐에따라순열과조합을표현하는방법도여러가지가될수있는거야

∙∙ 개를가지고 개를선택해서 ○ ○ ○ ∙∙○ 개의자리에배열하는경우의수는 이야

근데이경우의수를 다음과같이분류해서생각해보자개를분류한다고했을때 숫자 이맨앞에있다면 즉 ① ○ ○∙∙ ○ ○이런꼴에서 나머지경우의수는 개 갰지

이번엔 숫자 가 맨앞에있는경우는 ② ○ ○ ∙∙○ ○ 에서 나머지경우의수도 개지

이런식으로 맨앞에는 부터 까지 개가올수있고나머지경우의수가 개가되니깐 × 이라고 표현 할수도 있는거야

이번엔 포함과배제에따른분류를해보자서로 다른 개에서 개를배열할때 그 개중 숫자 이 포함될수도있고포함되지않을수도 배제있지

이포함된다면 을제외한 개에서 개를배열하는경우의수가되니깐 개 이고 또 숫자 이 있는 자리가① ○○○ ， ○ ①○○ ○ ○ ① ○ 이런식으로 가지 경우가있을수있으니깐 ×

또 숫자 이포함되지않는다면 을제외한나머지 개에서 개를배열하면되니깐 개가되지∴ × 이라고도할수가있어

× ×

이번엔 서로다른 개중 개를선택하는조합의개수를 ≪포함과배제≫의분류를 이용해서 나타내볼게① 개를선택할때 숫자 이포함되는경우이미 은선택됬으니깐 나머지 개에서 개를선택하는경우의수는 개가돼

② 숫자 이포함되지않는경우 배제

나머지 개에서 개를선택하는경우니깐

①번과 ②번에의해 이라할수있지

① 개를선택할때 숫자이포함되는경우숫자이 하나 포함되도 또 포함될수있으니깐 대상은 다시 개가되고이이미뽑였으니깐 개를뽑는 중복조합이되지 그니깐

② 숫자 이포함되지않는경우숫자 을제외한나머지 개에서 개를뽑는중복조합의개수

①번과 ②번에의해 이라할수있어

⑤ ≪ 순열과 조합의이해 ≫

⇒ 경우의수큰 그림은 당연히 기준을 잡고분류한다음에계산하는거야이때계산하는과정도 대상에따라 선택여부에따라 자리에따라어떤공식을쓸지결정해야지 계속반복중

근데계산을할때 다른관점에서굉장히자주쓰는 접근법이있어그게바로 ≪선택 ≫ 과 ≪배열 ≫ 이야

실제로너네들이접하는거의 모든경우의수문제는 분류한다음계산할때 ≪어떻게선택하고어떻게배열할지≫ 만 구분해서 따로따로계산하면 간단하게다풀리게되어있어그걸한번에계산하려고하니깐 머리가복잡해지는거지ㅎㅎㅎ

그니깐 문제를풀때한번에접근하지말고항상 ≪선택과배열을따로≫생각하는게좋아이때 ≪선택에서쓰는공식이 조합 ≫ 이야 선택은무조건조합이야

그리고 배열할때쓰는공식이위에정리한

이야물론고때는 ≪배열할때 ≫ 만쓰게되는거지

간단한예로 이라는숫자를가지고 자리숫자를만든다고해보자이때한번에나열한다고생각하지말고선택과배열을구분해서풀어볼게처음엔 당연히 개를뽑아야지선택은뭘쓴다고 조합이지

이제눈앞에 뽑아둔 개의 숫자가있어 이걸배열해야하는데배열은 팩토리얼로해야하니깐 이되는거야 ∴답은 × 이지

근데이선택과배열을한번에쓸수있는공식이있어그게바로 이야 × 두개의공식이짬뽕된거지

즉 은 개중에 개를선택해서 이선택된 개를 일렬로배열까지하는경우의수야 식으로나타내면 × 이돼

은간단해서좋아보이지만 이공식은쓰지않는게좋아한번에보지말고 선택과배열 × 로 나눠서푸는게 좀 더 어렵고다양한상황의문제를 해결하는데도움이될거야

⑥ ≪분할과분배≫

⇒ 여러개의물건들을 몇개씩묶음으로나누는것을 ≪분할≫ 이라고하고 분할된묶음들을일렬로배열하는것을 ≪분배 ≫ 라고해즉 분할은 선택조합이고 분배는배열을얘기하지ㅎㅎ만일 개의물건을 개개개로분할한다고해보자그럼처음 개중 개를뽑아야겠지 그다음남은 개중에서 개를뽑으면 마지막남은 개중에서 개뽑는경우의수는

∴ 개의물건을 개개개로분할하는경우의수는 × ×

근데이번엔 개를 개개로분할하는경우의수를세보자당연히 × 은되겠지 근데여기서문제가있어만일 개가 라하면 처음에 개를뽑을때 를뽑으면 두묶음으로나누게되지나머지 개는자동으로한묶음되니깐이번엔 처음에 를뽑으면 로나누게될거야근데 처음 뽑을때나 처음 뽑을때나 결국 로나뉘게되는건같은거잖아 분할은조합이거던

그니깐처음 할때이개수에서 개씩중복이되는거야그러므로 개중 개씩이 개로계산되야겟지이건나눗셈의원리에따라 로나눠줘야돼 정확히말하면

결국 개를 개개로분할하는경우의수 × ×

이돼마찬가지로 개를 개개개로분할하는경우의수는 × × ×

이돼가세개잖아 같은개수로나눌땐같은개수만큼의수 로나누면돼

분배는 분할한다음 팩토리얼로뿌리면돼개를 개개개로나눠서일렬로배열하는경우의수 × × ×

분할 × 분배

⑦ ≪동수와이수≫이론에따른분할의경우의수구하기⇒곱사건처리할때자주쓰는것이 ≪동수와이수 ≫이론인데우선 ≪이수≫는 ″달라진다″ 라는뜻으로 ″달라지면곱한다″라고생각해또 ≪동수≫는 ″돌려도같다″라는뜻으로 ″돌려서같으면나눈다″라고이해하면돼이이론은 조나누기나분할에서 탁월한효과가있어예를들어 명을 로분할한다면처음엔 명을서로다른것으로봐이수 그럼 이지근데 명은각각서로바꿔도같고 또 명씩묶음을서로바꿔도같으니깐

가지가되는거야

예를몇가지더해볼게 명을

명을

≪조나누기≫

⑧ ≪기준과자동 ≫을이용한 분할의 경우의수구하기⇒앞의방법보다는 훨씬간편하고획기적인분할방법이야예를들어 명을 명 명으로조를나누는경우의수를생각해보자그림으로보자면 ○ ○ ○ ○이렇게되겠지근데 이네명은운명적으로이 개의자리에다들어가야하잖아이럴땐 하나를아무데나넣고기준을세우는거야즉 Ⓐ ○ ○ ○이렇게세우는거지근데이건 Ⓑ ○ ○ ○나 Ⓒ ○ ○ ○나 Ⓓ ○ ○ ○나다똑같은상황이니깐 경우를발생하지않아이제기준을잡았으면나머지경우의수를세어보자Ⓐ옆에 ○에는 가올수있으니깐 가지경우의수가있지그리고나머지 ○ ○ 는자동으로나머지가오니깐총경우의수는 가지가되는거야 를 명명명 나누는방법를기준으로잡고 옆에 가지 Ⓐ ○ ○ ○ ○ ○뒤에 ○ ○ ○ ○ 에서또 하나기준잡고그옆에 가지마지막 ○ ○ ○ ○는자동 총 × 가지 를 명 명으로나누는방법기준하나잡으면 Ⓐ ○ ○ ○ ○ ○ 옆 ○ ○뽑는경우의수 나머지 ○ ○ ○ 는자동 ∴ 가지

⇒ 경우의수를셀때처음에 기준잡고분류하는것이 중요하다고했잖아그 분류하는방법중에 하나가사전식배열이야즉 ≪사전식배열≫은 계산방법이아니라 ≪분류의방법≫ 중하나야순열조합은계산하는방법

사전을보면 ○○○○ 다 끝나고 ○○○○ 다끝나고 ○○○○이런식으로제 기준이있고제 기준 에대해 ○○○ ○○○ ○○○ ∙∙ 이런식으로제 기준이있지이런식으로 기준 기준 단계적으로분류하는것을사전식배열이라고해사전식배열하는방법은 진짜사전처럼먼저제 기준을잡고제 기준에대해각각의 제 기준을잡고 제 기준에대해각각의제 기준을잡고이런식으로 상위기준에따라하위기준을잡는거야그냥설명만하니깐이해하기힘들지ㅎㅎㅎ약간난이도있는예를한번풀어보자

세자리 자연수중에서 각자리의숫자가모두 다른것을작은수부터차례로나열할때 번째수를구하여라

⇒ ○○○ 자리에서 제 기준은백의자리가 되겠네상위기준에따라 작은것부터 나열해보자 ○○ 같은수가있음않되니깐 을제외한 개수중에서 개를뽑아

자리에일렬로나열 × 가지 ○○ 마찬가지 를제외한 개수중에서 개를뽑아나열 × 가지 ○○ 얘도마찬가지로 가지나오는데그럼 × 번째가되지

그니깐 ○○ 에선끝까지못세고 제 기준으로넘어가야돼 ○ 이건 과 을제외한 개수에서한개뽑는거니깐 이네뽑아놓으면자동으로 의자리로가지그니깐그냥조합 가지지금 기준에서 번째나왔고 이렇게 ○ ○ ○ ○ 이각각가지니깐 가지까지 해먹고 번째까지 가지남았어그럼 기준으로넘어가서 바로 가정답

사전식 배열

≪① 인접순열 이웃한다이웃하지않는다 ≫

⇒ 기본유형중하나인데 어떤것을일렬로나열할때특정한것들끼리 ≪ ″이웃한다″≫ 라는조건이있으면무조건이것들을하나로묶어 하나로생각하고크게일렬로배열한다음 묶인애들끼리도 돌리면돼

를 일렬로나열할때 가이웃하고 가이웃하는경우의수는

⇒ 묶어서돌리면 크게개로보는거야묶인것끼리도돌리면 끼리 끼리답 × × 가지이번엔 ≪ ″이웃하지않는다″≫ 라는조건이나오면 우선나머지것들을일렬로배열해 그담에 이웃하지말아야할것들을 양끝과사이사이에끼워넣으면돼

를 일렬로나열할때 가이웃하지 말아야할경우의수는

⇒우선 제외한 를일렬로배열 양끝과사이사이 ○ ○ ○ ○ 이렇게 자리가생기지여기에 를 끼워넣는거야 ×

∴답 × ×

기본 유형

≪ ″이웃한다″ ≫ ⇒ ≪묶어서돌려라 ≫ ⇒ ≪묶인것끼리도돌려라 ≫

≪ ″이웃하지않는다 ″ ≫ ⇒ ≪나머지를먼저돌려라 ≫⇒ ≪양끝과사이사이에끼워넣어라 ≫

② ≪지불방법과 지불금액의수≫

⇒ 뭔가비슷해보이면서도다르고좀 헷갈리지ㅎㅎ원짜리개랑 원짜리 개가있다고생각해봐이돈으로지불할수있는금액은 원 원 원 원근데지불하는방법은 조금더많겠지ㅎㅎ원지불할때 원짜리개로줘도되고 원짜리한개로줘도되잖아이렇게지불금액과지불하는방법은다른거야그럼이런경우의수는어떻게구할까

좀더복잡한예를들어 설명해줄게이번엔 원짜리 개 원짜리개 원짜리 개를이용해서지불할수있는금액과 지불방법의경우의수를구해보자우선 ≪지불방법의 수≫는마치집합에서부분집합의개수구하는것과비슷해내가지불할때 원짜리를몇개 줄거냐생각해보면개 개 개 개 개 이렇게 가지방법의경우가나오잖아이런식으로 원은 개 개 개 개 가지방법이있고원도 개 개 개 가지방법이있지그리고 원 원 원 전부 개를주면 지불자체를않하게되니깐이런경우 가지를빼야돼∴ 지불방법의수 × × 가지≪지불금액의수≫ 는 원짜리로 원을만들수있으니깐어차피금액만계산할거면 원짜리를 원개로바꿔서최고작은단위의돈을만들어그걸가지고 지불방법의수처럼풀면돼원짜리 개 원짜리개 원짜리 개⇒ 원짜리 개 원짜리개∴ 지불금액의수 × 가지 확줄지ㅎㅎ

③ ≪함수의개수≫

⇒ 예를들어밑의그림처럼가는함수가있다고하자

≪함수의개수≫ 그냥함수의개수는정의역에있는원소가갈수있는경우의수를중심으로세면돼이갈수있는경우의수 가지가갈수있는경우의수 가지 이간데간데또가면어때 이갈수있는경우의수 가지 모어때갈수있지

각각의경우에중복해서갈수있다는생각을하면이해가될거야도가고 도가고 도가는경우의수니깐곱의법칙이지 × × 이건중복순열의개념인데 의개수의개수라고외워둬

≪일대일함수의개수≫ 일대일함수는 의원소가다르면가는곳도달라야하지 ≠ ⇒ ≠ ⇒

그니깐 이갈수있는곳은 가지지만 가갈수있는곳은 이간곳은못가그럼 가지이고 은 가간곳은못가니깐 가지 × ×

이걸또이렇게봐도돼 중에서 화살을맞을애 개를뽑아 그담에 의원소 개에대응해 일렬로배열 그니깐 × 으로 봐도되는거야 일대일함수개수는 순열

≪증가함수 감소함수의개수 ≫ 증가의예로들게 감소도마찬가지 증가함수는 ⇒ 이거나 이명제의대우인 ≥ ⇒ ≥ 로 표현하거던 이런함수의경우의수는어떻게될까

아까일대일함수개수구할때처음에 중에서 화살을맞을애 개를뽑았지근데뽑기만하면 대응되는애는뻔하지않겠어 만일 을뽑았다면→④ →⑥ →⑦로정해지잖아그래서그냥조합이돼

∙∙ ∙∙ → 에서 일때 ≤ 를만족하는함수 의개수

⇒ ≤ ≤ ≤ ≤ ∙∙≤ ≤

⇔ ≤ ∙∙ ≤

∴

≤ ≤ ≤ ≤

⇔ ≤ ≤

∴

≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

⇔ ≤ ≤

∴

≪ ″일렬로배열″의의미≫

⇒ 일렬로배열한다하면 팩토리얼로 뿌리잖아근데이의미가 국어사전처럼쭈욱나열한다의의미랑은약간의차이가있어경우의수에서의 ″일렬로배열″은 배열될자리가서로다구별되고다를때를의미해그때는구지쭈욱나열되지않아도구별만되면 자리가지그재그되있어도그게 일렬로배열하는거야

④ ≪도형의개수 ≫

⇒ 도형의개수구하는문제는결국 ≪점과 선을몇개선택≫ 하냐는문제야즉 조합이지ㅎㅎ일반적으로 도형의개수를구하는방법은 만들수있는최대개수에서안되는경우의수를빼는방법을사용해

위그림을보면 개의점이있어 여기서만들수있는도형의개수를구해보자 선분의개수 그냥 개의점을선택하면선분한개가결정나지

직선의개수 전체만들수있는직선은 근데 점 는 일직선이잖아 일직선으로만들어진것은하나밖에없으니깐 빼야지 하지만 일직선이라도직선 한개는 만드니깐직선의개수는

삼각형의개수 삼각형은점 개만선택하면만들어지지그래서만들수있는최대개수는 근데 일직선은 삼각형만들수없으니깐 만큼 빼야지그리고일직선은삼각형하나도못만들어그래서을더하는것은아냐∴ 삼각형의개수

⑤ ≪ 영역에색칠하여구분하는방법의수 ≫

⇒ 영역에색칠하기기본은 원래영역사이의관계를파악하고≪가장많이인접한영역에 제일먼저색칠≫하는거야그다음같은색을칠할수있는영역에

같은색을칠할 경우다른색을칠할경우 로 나눠서분류해서 경우의수를 구하면 돼

다음그림에서 개의영역에 가지색으로칠하여구분하려고한다같은색을중복해도좋으나인접한부분은서로다른색을칠할때칠하는방법의수는

⇒먼저 영역간에 가장많이인접되어있는 를색칠해야지가지색깔중에하나를결정하는거니깐 가지그다음 에색칠한다고할때 뭘선택해도마찬가지 색깔과다른색을칠해야 하니깐 가지 그다음 는 와달라야하니깐 가지그다음이중요한데 만일 를색칠한다고할때 랑색깔이같아도되고달라도되잖아 이때는경우를나눠야돼와 가다른색인경우 에색칠할수있는색은 를제외한 가지마지막 에색칠할수있는색은 를제외한 가지∴ 경우의수는 × × × × 가지

와 가같은색인경우그럼 는 그냥결정이났지 랑같다매그럼 가지지모나머지 는인접한 가 가지로다칠했으니깐 가지경우가있지∴ × × × × 가지 ∴답 에서 가지

⑥ ≪대진표작성하기≫

⇒ 대진표작성문제는결국분할의문제야

팀에대하여다음처럼 대진표를짜는방법의수는

≪ 번그림≫ ≪ 번그림≫

≪ 번풀이 ≫

먼저 팀을 개 개로분할 × 왼쪽 팀중부전승할한팀선택

∴답 × ×

≪ 번풀이 ≫

먼저 개팀을 개 개로분할 ×

개를다시 개개로분할 × ×

∴ 답 × × × ×

대진표풀이별해

나중에배울원순열의개념으로도풀수있어원순열은 ″회전방향이같으면같은배열로인정한다″가기본개념인데즉 회전해서겹치면같은것으로본다라는말이야쉽게풀려면 우선전부다른자리로푼다음돌려서같은개수만큼나눠주면 돼≪ 번풀이 ≫

≪ 번풀이 ≫

≪ 원순열몇가지예≫

≪

≫ ≪ × ×

≫

≪ ×

≫ ≪ × ×

≫

⑦ ≪ 치역과공역이같은함수의개수 ≫

다음그림에서치역과공역이같은함수는몇개인가

⇒ 아주유명한유형이야 풀이방법 가지니깐잘익혀놔

총함수의개수 치역과공역이일치하지않는경우

함수의총개수는 개일거고 치역과공역이일치하지않는경우는화살이어느한쪽으로 ″올인″하는경우겠지 가지네 에올인 에올인

답 가지 분할 분배이용 의원소 를 두개조로나눠서 에뿌리면되지근데 개의원소를두개조로나누는방법이 개개 와 개개 가있어 개 개 로나눠서 에뿌리는방법의수 × × 가지

개 개 로나눠서 에뿌리는방법의수 × ×

× 가지

답 가지

개의 문자를일렬로배열할 때 와 사이에가있는경우의수를구하여라

⇒ 와 사이에 만혼자있는지다른것도같이있는지 경우가생기잖아그니깐 기준잡고분류해야지ㅎㅎ기준은 와 사이에 말고다른게 몇개있나를기준으로잡을게 와 사이에 만달랑하나있을때

를나열 에서 와 왔다갔다 ⇒ ×

○ 인경우○가누구냐 ○ ○ 돌려 왔다갔다

○가운데에서왔다갔다 ⇒ × × ×

○○ 인경우돌리는경우만있네 왔다갔다 ○○ 가운데에서돌려 ⇒ ×

가지

주요문제

개의숫자 에서 서로다른 개의숫자를택하여네 자리의자연수를만들때 의배수가 되는경우의수를구하시오⇒ 의배수가되려면우선 의배수이면서 의배수가되야돼의배수 끝의두자리가 의배수 의배수 각자리숫자의합이 의배수

먼저 의배수가되는경우를나눠야지 의배수를 기준으로분류○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

이 가지각각에대하여 의배수가나올경우의수를일일이다구해야돼이제 ○ ○에들어갈것을정해야하는데 우선 를잉여류로분류하면 으로나눠서나머지 인원소들의집합이라할때

○ ○ 인경우를예로들어설명해볼게 이건 으로 나누면 나머지가 이지 ○ ○ 가 의배수가되려면 ○ ○ 얘가 으로나누면 나머지가가 되야돼 즉 ○ 하나는 ○하나는 이렇게나와야하지중에 은이미나왔으니깐 밖에없고 는 와 가있으니깐 와 가나올수있네 그리고 ○ ○ 안에서돌릴수있잖아∴ × 가지가나오는거야 이런식으로일일이다구해야돼

① ○ ○ ： 또는 가들어갈수있고 또배열까지하니깐 ×

② ○ ○ 이면배열없이 개 이면배열까지

③ ○ ○ 또는 가들어갈수있고 또배열까지하니깐 ×

④ ○ ○ 이면배열없이 개 이면배열까지

⑤ ○ ○ 과 밖에없고 어차피 이앞으로갈수없으니깐 가지⑥ ○ ○ ： ①번과같은경우 가지⑦ ○ ○ 이니깐 ○ ○ 둘다 이나와야되는데다행히

다나올수있지 결국배열만하면되니깐 가지

∴①＋②＋③＋④＋⑤＋⑥＋⑦ ＝ 가지

집합 에대하여 에서 로의함수중 ≠ ≠ 이고일대일대응인 의개수를구하여라⇒우선그림을보면서이해해봐

만일아무런조건이없다면일대일대응개수는그냥 이지자근데 조건이있어서공식을그대로사용할수없는상황이야그때는당연히기준잡고분류해야지ㅎㅎ

우선 가갈곳은 군데이지 근데잘생각해봐가 로간다면 는갈데가 군데 가되는데가 말고다른데로간다면 는 군데로줄지이렇게 가가는곳에따라 가가는경우의수가달라지니깐가 로가는경우와 로가지않는경우를나눠서풀어야돼 → 로가는경우 는 가지경우의수가있고나머지 는그냥배열하면되니깐 × 그냥개쫙뿌린거랑같네

→ 로가지않는경우 그럼 가갈곳은 가지경우만일 가로갔다면 는 가지경우밖에없지그리고나머지 는그냥배열하면되니깐 × ×

가지

이번엔 문제의문맥을잘 살펴보자 ≠ ≠ 이고일대일대응인개수

그럼여사건활용할수있지않을까 이니깐즉 일대일대응개수전체 ≠ ≠ 일대일대응개수구하면되잖아 일대일대응전체는 일거구

≠ ≠ 일대일대응개수는 또는 즉 경우∪ 인경우 ∩

인일대일대응의개수는결정났으니깐나머지개뿌리면되지모

인일대일대응의개수는결정났으니깐나머지개뿌리면

∩ 인일대일대응의개수 결정났으니깐나머지 개그냥뿌리면

∴ ≠ ≠ 이고일대일대응개수 개

그림과 같이거리가 인 두평행선위에 만큼떨어져있는점이 각각 개씩 있다이 중에서넓이가 가되도록 네개의점을연결하여 만들수있는사각형의개수를 구하여라

⇒ 위의 두점 잡고 밑에 두점 잡으면 사다리꼴이나오겠지평행사변형이나직사각형 정사각형나오지만크게봤을땐사다리꼴

점을잡았을때 윗변의길이를 아랫변을 라하면

니깐

결국윗변의길이와아랫변의길이의 합이 가되도록경우를나누면되겠네 ×

×

×

남학생 명과 여학생 명으로 구성된 명의학생이있다명의 학생을 개의 조로 나눌때 각 조에남학생과 여학생이적어도 한 명씩은 속하도록 나누는방법의수를구하시오

⇒ 전형적인 분할을이용하는문제야이렇게조건이주어진분할문제는 우리가직접경우를나눠야 돼남자 명을 부분으로분할해보자 × × ×

× × ×

× ×

이번엔 여자 명을 부분으로 분할해보자 × × ×

자 이제 남자들도 부분 여자들도 부분으로나뉘었어그다음은 서로 결합해야지

일대일대응과같은거니깐그냥

∴ × × 가지

흰공 개 검은공 개 빨간공 개가있다이 세가지색의 공 개를서로다른상자 에각각 개씩나누어넣는경우의수는

⇒얼핏보면 분할문제같지만 문제는 서로다른개가아니라는거야그럼 어떻게 경우의수를 구할까 어쩔수없어 그대로 공식을못쓰면기준잡고분류한다음에일일이노가다로다구해야돼일반적으로이런류의문제는가장많은 공을기준으로분류해야돼참고로 상자에들어가는경우의수만세면되겠지 상자는자동이니깐상자에빨간공이들어가는개수에따라분류해보자 흰공 검은공

개 개 개 개 개

개 개 개 개 개

개

개 개 개 개 개

∴ × × 개

전체집합 의 두부분집합 에대하여 그림과같이 두집합 에의하여나누어진 개의 영역을 빨간색 노란색 파란색을사용하여칠하려고 한다같은색을 중복하여사용해도 좋으나인접한영역은 서로다른색을 칠할때칠하는 방법의 수를 구하여라

⇒ 기호로표기하면 ∩ ∪이렇게 가지영역이되겠네가장많이인접되어있는영역이 ∩이니깐 ∩부터색칠하면 ∩ 가지그다음 색칠할경우는 가지그 다음 색칠할때 경우가나뉘겠지 와 가같은색인경우 ∩× × × ∪

와 가다른색인경우 ∩× × × ∪

∴ 가지

전체집합 의 두부분집합 에대하여 다음 세조건을 모두만족시키는 순서쌍 의개수는

⇒ 의원소중가장큰수를기준으로분류하자 ○ ○ ○ ×

○ ○ ○ ×

○ ○ ○ ×

○ ○ ○ ×

∴

개중에 개선택하면 그중가장 큰수는 자동으로 의원소잖아그럼남은 개중에서 의원소하나만선택하면다끝이네∴ ×

가 ∩ ∅

나

다집합 의 원소중 가장큰수는 집합 의원소 중가장큰수보다 크다

두 집합 에 대하여함수 → 가 ≤ ≤ 를만족 시킬 때함수 의 개수를구하여라

⇒ 예를들어 ≤ 이런표현이경우의 수 세기에는참애매한표현이야″≤ ″ 이말은결국 인경우와 인경우를나눠서생각해야돼 함수값이전부다른경우 ⇒이건그냥조합의개수랑같지

에서 개만뽑으면자동으로알아서대응되잖아 ∴ 가지 중 어느개가같은경우 인경우 가지 인경우 가지어차피 에서 개뽑으면알아서대응되니깐

인경우 가지에서 개만뽑으면 알아서대응

∴ × 가지

어떤놀이공원의 놀이기구는 세개의그룹으로 분류되고는 종류 는 종류 는 종류이다준수가티켓 장을구입했는데 그티켓의사용조건은다음과같다

준수가 개의놀이기구를 이용할 수있는경우의수를구하여라단 같은놀이기구는다시이용하지않고 놀이기구를이용하는순서는고려하지않는다

⇒ 네모안에 내용을결론해보면그룹은 개까지 그룹은 개까지 는개까지탈수있다는거네그룹을 개 그룹을 개 그룹을 개 탄다고할때

≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

는 종류 는 종류 는 종류

× ×

× ×

× ×

× ×

× ×

× ×

∴ 가지

가티켓 장당 개의놀이기구를이용할수있다

나 그룹의 놀이기구만이용할수있는티켓이 장이다

다 그룹의놀이기구를이용할수있는티켓이 장이다

라 그룹의놀이기구를모두이용할수있는티켓이 장이다

수학영어는 각각 시간씩배치하고 국어사회과학은 각각 시간씩배치하여 아래 표와 같이 일동안 시간의시간표를 다음조건에따라만들려고한다

서로다른시간표를 만들 수있는방법의수를구하시오

⇒의외로문제구조는단순해문제를잘해석하면 월수금모두에대하여 교시 교시는영어수학배치교시 교시는국어 사회 과학배치하라는소리야교시 교시는영어나수학배치해야하잖아 그것도월수금전부그럼각각 씩이니깐 × × 일거구또 교시 교시는무조건 국어 사회 과학을넣어야 하니깐우선 개씩묶으면 국어 사회 사회 과학 국어 과학이것을 월수금에나열 그리고각각에대하여예를들어 국어 사회가월요일이다하면교시 교시에 배열되는게또 일테니깐 각각의배열의개수 × ×

∴ × × × × × ×

월 수 금 교시 교시 교시 교시

가 같은요일에는 같은과목을 시간이상배치할수없다나 교시와 교시에는 수학 또는영어를배치한다

세계피파랭킹 위에서 위까지의 총 개나라가참가한축구경기에서 그림과같은 대진표를만든다고한다두나라가경기를하면 랭킹이높은나라가 반드시이긴다고할때랭킹 위인나라와 랭킹 위인나라가 결승전에 나갈수있도록대진표를만드는방법의 수를구하여라

⇒ 위그림에서 위 위를배열하는방법은가지지이걸이해해야돼 처음에각자리가구분이않되잖아

그다음 남은 개나라를 으로 분할하는방법은 × ×

이야근데 지금 가자리를잡고있으면이제는 자리가구분이되잖아그러므로 을분할하고 분배배열까지해야하는거야∴ × ×

× × 이되는거지

자이제 나라씩분할해서분배까지했어그다음은 옆에누가올지 옆에누가올지결정을해야지그래서 각각에대하여

∴총경우의수는 × ×

× × × 가지

에서 까지의 개의정수를사용하여만들수있는네 자리의자연수중에서 의배수이면서 일의자리의수도 의배수인수의개수는

⇒엄청복잡한문제야ㅎㅎ 먼저 의배수에대한잉여류로분류하자

우선 의자리가 의배수가되는경우는크게 가지로나눌수있어○ ○ ○ 인경우 ○ ○ ○ 인경우그리고 ○ ○ ○ 이 의배수면 전체도 의배수가될거아냐

세수를더해서 의배수가나오려면 ○ ○ ○ 형태가 던지 이던지 던지 인경우가 돼 장난아니지ㅎㅎ

≪ ○ ○ ○ 인경우≫

뿌려

뿌려

뿌려

× × × ∴총개수

≪ ○ ○ ○ 인경우 ≫

이있으니깐그냥 팩토리얼로뿌릴수가없지첫째자리에는 이외에다른숫자가와야돼

∴ 이외에다른두숫자 × 을포함한두숫자 × 마지막하나

뿌려

뿌려

전체개수 첫째자리가 인경우

전체경우는 × × × 이거겠지첫째자리가 인경우는 ○ ○ 인경우니깐 × ×

∴ × × × × ×

총개수 근데 ○ ○ ○ 에서 세가지가동일하니깐 ×

∴ 답

남학생 명과 여학생 명이 그림과같이 배치된 의자에앉아회의를 하려고할때 여학생끼리는마주보지않게 앉도록 하는경우의 수는 단 남학생끼리여학생끼리는구별하지않는다

⇒ 여학생끼리마주보게되는경우는 오른쪽그림처럼 저 자리에해당되겠네그니깐저 자리중 여학생이 마주보지않게앉히기만한다면나머지는아무데나앉아도 되는거지근데 자리에서 여학생이 만일 명이상앉는다면 어쩔수없이마주보게되니깐 자리에여학생이 앉는경우의수는명이앉던지 명이앉던지 이렇게분류가되는거야명은않돼그럼남은자리가개인데 남학생 다합해봐야명이잖아

명여학생앉는경우 × 한쪽으로만명 × 한명 한명× 자리중여학생자리빼고나머지 남학생자리자동

× 밖에자리여학생도자동 학생이구별않된다는거주의

명 여학생인경우 × 한쪽으로만명 × × 한명 두명 두명 한명 × 밖에 자리중 여학생 명 × 남은 자리남학생은자동

∴ 가지

주머니속에 의숫자가하나씩 적혀있는 개의 구슬과의숫자가적혀있는 개의구슬 의숫자가적혀있는 개의구슬이들어있다개의구슬중에서 개의 구슬을 동시에꺼내어네자리의수를만들때같은숫자끼리는이웃하지않도록하는경우의수를구하여라

⇒ 예를들어서로다른 개중 개를꺼내어네자리수만든다면 ×

하면되겠지만 같은것이있잖아 이건 일일이 경우를나눠야돼참고로 같은것이있는대상이라도전체를나열할때는공식이있어

같은것이있는대상중에서몇개를뽑을때는 같은것이몇개있냐를기준으로잡고분류하는게좋아

같은것이하나도없을때 중에 개를뽑아서 그냥나열하면되지 × 가지같은숫자가이웃할걱정없잖아

같은것이 쌍있을때 같은것이 인경우 중에 개뽑아

× 아닌 개먼저나열× ○ ○ ○ ○ ○ ○

같은것이 인경우 똑같아 ∴ × 가지 같은것이 두쌍일때

인경우밖에없다 가지∴ 답 가지

어느동물원에 그림과같이 번호가 적혀있는 칸의동물우리에호랑이 사자 늑대 여우 원숭이 곰을 각각 한 마리씩 넣을때호랑이와 사자는 이웃하지않게넣으려고 한다이 때 마리의 동물들을 서로 다른 우리에 각각 넣는방법의수를구하시오

⇒ 조건이 호랑이와사자가이웃하지말라지분류라는게 어떤특이한스킬이필요한게아니야 그냥 단순하게생각해호랑이가우리에있는경우의수가뭐야 이잖아그거에맞게사자가있는경우의수구하고나머지 마리는쫙뿌리면돼

호랑이가 에있는경우 사자 ⇒ ×

호랑이가 에있는경우 사자 ⇒ ×

호랑이가 에있는경우 사자 ⇒ ×

호랑이가 에있는경우 사자 ⇒ ×

호랑이가 에있는경우 사자 ⇒ ×

호랑이가 에있는경우 사자 ⇒ ×

∴ 가지

부터 까지의 개의자연수중에서 서로다른세개의수를나열하여세자리의자연수를만들때 각자리의숫자의곱이 의배수가되는경우의수를구하시오

⇒ 이잖아 그니깐각자리수 개를곱해서 만나오면의배수가되는거야 부터 까지의수중에서 라는인수를가지고있는수는 이야결국얘네들의문제네우선크게봤을때는 이포함되는경우와포함되지않는경우로나눌수있어 이포함되는경우 이때는나머지 개는아무거나뽑아도무조건 의배수잖아∴ 은이미포함 개만뽑으면돼 × 포함해서 개배열

이포함하지않는경우 남은 으로 을만들어야하는데 는반드시들어가야겠네그럼 가들어가는경우와 이들어가는경우로나누어야하는데여기서중요한게 전부들어가는경우도 있기때문에중복되는경우를빼야하는거야즉 ○또는 ○ ○ ○

○ × ○ ×

∴

∴ 답 가지

명이 타고 있는버스가 세 정류장 를 순서대로 경유한다개의 정류장 중 개의 정류장에서만모두 승객이내리는경우의수를구하시오

⇒ 우선 내릴사람들을 묶음으로분할하면명 명 명 명 명 명이렇게되지그리고 중 내릴 정류장 개를선택하면

명 명 × × ×

명 명 × × ×

명 명 × × ×

×

∴ 답 가지

집한 는 이하의수에대하여다음조건을만족시키는의세부분집합 를정하는경우의수를구하시오

⇒우선주어진 가 나 다처럼되려면그림처럼되야하지그림보면결국 을다음 가지영역 구역 구역구역에하나라도∅없이배열하는경우의수문제가되는거야즉공역과치역이일치하는함수의개수문제

먼저 와 에만배열되는경우의수가있고 에만배열되면 에도배열된거니깐또 세군데전부에배열되는경우의수로나뉘겠네와에만배열공역과치역이일치하는경우

풀이전체함수의개수 하나로만가는개수 개풀이와로 개 개 개 개 로분할하고 분배× × 분할 하고두묶음을 로분배 × 가지 세군데에배열 치역과공역이같은경우풀이전체함수의개수 어느하나로만 어느 개로만

하나로몽땅 어느개로만× 그두개는빠짐없이 풀이개 개 개 개 개 개분할 하고분배 × × ×

분할× 분배 × × ×

× 가지

답 가지

가 ≠∅ ≠∅ ≠∅

나 ⊂ ∩ ∅

다 ∩ ∩

그림과같이마름모 모양으로 연결된도로망이있다이 도로망을따라 지점에서출발하여 지점까지갈때구간 또는구간 를거쳐서최단거리로가는경우의수는

⇒ 경우의수에서 ≪또는≫ 에대한해석을먼저해야해집합에서′또는′ 은 ∪을의미했지경우의수에서도같은의미이기한데 집합에서∪ ∩로했잖아 근데경우의수에서는≪또는의개수 만 만 ∩만≫ 으로해석을해왜냐면 이게다배반이라 그냥각각의경우의수를더하기만하면되거던∴또는구간의최단구간의수 만지나는경우 만지나는경우 을모두지나는경우가되지ㅎㅎ

만지나는경우

×

만지나는경우

×

모두지나는경우

×

답

그림과같이바둑판모양의도로망이있다 이도로망을따라지점에서출발하여 지점또는지점또는 지점을거쳐 지점까지최단거리로가는경우의수를구하시오단 한번지나간길은다시지나갈수없다

⇒이번엔 또는또는 이렇게나왔지이번엔조금복잡해지는데이것도알아놔≪또는또는 의경우의수 ≫ ≪만 만 만 만 만 만 모두 ≫

만

만 만지날순없어

만

× 만

×

만

×

만 만지날수없어

모두지나는경우

×

∴ 가지

어느직선도로에는그림과같이일정한간격으로 개의가로등이있다 개의가로등중서로이웃하지않는개의가로등만켜는방법의수는 단 가로등이켜지는순서는고려하지않는다

⇒ 이문제는 중복조합의신유형야 꼭알아둬이건이렇게생각할수있어 우선 불이켜지는가로등을개배치해 그다음에불이켜진가로등끼리는이웃하지않게사이사이에불이꺼진가로등을배치한다고생각하면돼

일것이고여기서 와 에는반드시가로등이있어야하고 와 는있어도그만없어도그만이잖아그니깐 ≥ ≥ ≥ ≥

이건 다시 에서음이아닌정수해로바뀌게되지 가지

알파벳 개와 모음 를일렬로나열할때 모음끼리는이웃하지않게나열하는 경우의수는

⇒위문제랑비슷한문제야

네모안에 를배열하고 ≥ ≥ ≥ ≥∴ ×

부터 까지의 자연수중에서 중복을허락하여 개를택해세자리자연수를만들때각자리의수의합이 의배수가되는경우의수를구하시오

⇒ 이문제는단순하게생각해서 의배수 는 ∼ 중중복선택가능 문제지그럼 개를더해서의배수가나오는게뭘까 생각하긴참어렵지ㅎ이건 ≪잉여류≫ 에관한문제야 으로나눠서나머지가같은것의집합을알아야돼나머지가 인것을차례로 라하면

개를더해서 의배수가되려면만 개 또는 만 개 또는 만 개 또는 한개씩이런경우가있겠네만 개 만개 만개

한개씩 × × × 개중하나씩뽑고나열

답 ×

어느고등학교 학년학생이수시모집에지원하기위하여 원서를제출하려고한다 응시하려고하는대학은 의 개대학이고원서를제출하는방법은 인터넷접수 등기우편접수 입학관리처직접제출의가지가있다 이 학생이 개 대학 에 각각한가지 전형에만원서를작성하고 가지방법 중에서중복을허락하여제출할때적어도개의대학은인터넷 접수로제출하는경우의수는단 제출순서는생각하지않는다

⇒ ≪적어도개 전체 개 개≫

≪전체경우의수≫부터알아보자 와 인터넷 등기직접을대응하는거중복을허락한다고했지그럼중복순열 아니면 중복조합인데인터넷 등기와 등기 인터넷은경우가다르네그래서이건중복순열이야중복순열 없어도되는거 반드시들어가야하는거기억나냐

인터넷등기 직접은반드시들어가는게아니지전부다 인터넷으로만 해도 되잖아그니깐 그리고 반드시다넣어야하는거니깐

∴ 전체경우의 수

≪개대학만인터넷접수인경우≫

어느대학이냐 × 나머지개대학과등기직접과의관계

≪ 인터넷접수없는경우 ≫

개대학과등기 직접의관계

∴ × 가지

같은종류의사탕개를 명의아이에게개이상씩나누어주고같은종류의초콜릿개를 개의사탕을받은아이에게만 개 이상씩나누어주려고한다사탕과 초콜릿을 남김없이 나누어주는경우의수는

⇒ 우선 같은종류의사탕 개를 명에게 개이상씩나누어주는방법은 ≥ ≥ ≥ 니깐 가지근데여기문제가있어 이중에 사탕한개를받은아이에게초콜릿하나이상준다고했잖아그래서이건공식으로바로할수없는상황이야 즉사탕을줄때일일히나열해봐서누가사탕한개받는지확인해야돼자사탕다시나누어줘보자

≥ ≥ ≥ 에서 즉

가지

즉

가지이두가지경우가합쳐서 가된거였어그다음 각경우에따라초콜릿도나눠줘볼게여기서착각하지말아야할게 사탕개받은아이에게만초콜릿을주는거야사탕개이상받은아이에겐초콜릿않주는거야 인경우 명한테 개씩줬으니깐이 명한테만초콜릿을 개이상씩나눠주는경우를세면되 ≥ ≥

인경우 사탕개받은애는 명이니깐 얘한테초콜릿전부주면되겠군 가지그래서결론은

사탕 × 초콜릿

사탕 × 초콜릿

답 가지

오른쪽 가지영역에 서로 다른가지 색깔을칠하는방법의수는

⇒ × × × 가지

서로다른종류의주스 병과생수 병이있다이주스와생수를 의세사람에게 나누어주려고할때다음두 조건을 만족시키도록나누어 주는방법의수는단 생수 병은서로구별되지않는다

⇒ 처음서로다른 병의주스를 세사람에게한병이상씩나누어주는방법은 분할분배문제가돼니간 × × ×

구별되지않은생수병을 명에게나누어주는방법은중복조합문제가되는데 주스 병받은사람에게병을올인하면병을주게되니깐 가지가되지∴ ×

가세사람에게 각각적어도 병이상의주스를나누어준다나 세 사람에게 각각 주스와생수를합하여 병이하로나누어준다