1/17

bkhan@wow.hongik.ac.kr

8. 조합하중

내압을 받는 박판 압력용기에서의 응력을 해석하고,

축하중(P), 비틀림 모멘트(T), 굽힘 모멘트(M), 그리고 전단력(V)에대한 응력(s) 해석을 복습

2/17

bkhan@wow.hongik.ac.kr

8.1 박판 압력용기

¨ 용기의 두께가 얇으면(r/t ³ 10);응력분포가 두께방향으로 변화가

작아 응력이 균일 즉, 일정하다고

가정할 수 있음.

(\응력해석이 간단해짐).

¨ 용기의 두꺼우면(r/t ³ 10);박판 해석을 통한 최대 응력 값은

실제의 최대 응력 값과 약 4%

오차가 있음.

원통형/구형 용기에 내압(gauge pressure)이 가해질 때,

이 용기 재료의 응력해석

3/17

bkhan@wow.hongik.ac.kr

s1: 원주 또는 후프 방향의 수직응력,

(circumferential or hoop direction)s2: 길이 또는 축 방향의 수직응력.

(longitudinal or axial direction)

자중을 무시할 수 있는 기체나 액체에 의한 압력 p가 작용할 때:

( )ptrf21 ,,& =ss

원통형 용기

이 관계식을 구하기 위하여 절단법을 도입.

절단된 요소의 평형을 고려.

벽면두께 t, 반경 r, 내압 p

ptr

: 압력 :형상치수 ,

tp

rr 2

2

1

1 =s

+s

4/17

bkhan@wow.hongik.ac.kr

평면 a, b, c로 절단된요소의 자유물체도

길이방향(y 방향) 힘의 평형:

절단된 요소의 자유물체도 및 평형조건

원주방향(x방향) 힘의 평형:

응력 s1과 내압 p의 관계: 응력 s2와 내압 p의 관계:

평면 b로 절단된요소의 자유물체도

( ) ( )tpr

rprtFy

2/

02;0

2

22

=\

=-=ås

pps( )[ ] ( )tpr

rdyptdyFx

/022;0

1

1

=\

=-=åss

5/17

bkhan@wow.hongik.ac.kr

r= 구의 반경t= 벽면의 두께p= 내압

s1= s2

평면 a로 절단

구형용기

( ) ( ) tprrprtFy 2/02;0 122 =\®=-=å spps

¨ 자유물체도의 힘의평형: (원통형 압력용기의 길이방향 응력)

앞의 해석에서 압력용기의 미소요소는 이축응력(biaxial stress) 상태임.

6/17

bkhan@wow.hongik.ac.kr예제 8-1

psipininpinkiptpr 833.)2/1/(.)24(/202/ 221 =\=®==ss

r=4 ft, t=1/2 in.인 원통형 압력용기에서, s1 & s2 £ 20 ksi 를 만족하는내압 p)max=? . 같은 조건을 구형 용기에 적용할 때, p)max=?.

풀이

원통형 압력용기: 최대응력은 원주방향에서 발생(s1> s2)

구형 압력용기: s1= s2

구형 압력용기는 원통형 압력용기에 비해 제작하기는 더 어렵지만,

두 배의 내압을 지탱할 수 있다.

psipininpinkiptpr 427.)2/1/(.)24(/20/ 21 =\=®=s

psipksi

417,102

3

/12

==

==

s

sss1의 1/48로 무시 가능

7/17

bkhan@wow.hongik.ac.kr

반경방향 응력(radial stress) s3의 영향

¨ 실제 용기의 재료는 반경방향 응력(radial stress) s3도 받는다.

s3 = p for inner side(최대값),

s3 = 0 for outer side,

¨ 박판 용기(r/t ³ 10)에서 s3의 영향은 무시된다.

수직응력 s1 & s2 >> (s3)max(5 또는 10배 이상 크므로)

¨ 압력용기가 외압을 받게 되면:

불안정해져서 좌굴에 의해 찌그러질 수 있으므로 위의 식들은적용할 수 없다.

8/17

bkhan@wow.hongik.ac.kr

합응력 분포중첩

8.2 조합하중에 의한 응력 상태

조건:• 응력과 하중이 선형적이고,• 부재의 기하학적 형상변화가 미소

각 하중에 의한 응력분포

이것은 각 하중에 의한 응력이 서로 독립적이기 위해 필요한 조건임.

내부 축하중

조합하중

전단력

굽힘 모멘트

비틀림 모멘트

+

++

=

9/17

bkhan@wow.hongik.ac.kr

해석과정

조합하중이 선형탄성거동 재료인 부재에 작용할 때,

균질한 부재 내의 한 점에서의 응력 성분을 구하는 방법. 상베낭(Saint-Venant)의 원리: 응력을 구하고자 하는 점은 불연속

단면과 하중 작용점으로부터 멀리 떨어져 있어야 한다.¨ 내부하중(P, V, M, T)

구하고자 하는 점에서 축에 대해 수직으로 부재를 절단한 후,

자유물체도와 평형방정식을 사용하여 내부하중 성분을 구한다. 힘 성분(P, V)는 단면의 도심에 작용하게 하며,

모멘트 성분(M, T)는 단면의 도심에서 관성 주축에 대하여 계산.

¨ 응력성분

각 내부하중의 효과를 단면 전체에 걸친 응력분포 또는 단면의

특정한 점에서의 응력으로 표시.

¨ 수직력

내부 수직력은 균일한 수직응력분포(s2 = P /A)에 의해 발생된다.

10/17

bkhan@wow.hongik.ac.kr

¨ 전단력

굽힘을 받는 부재의 내부 전단력은 전단응력 분포(t = VQ/It)에의해 발생된다.

¨ 굽힘모멘트곧은 부재의 응력분포: 굽힘공식 s = -My/I,곡선 부재에 작용하는 비선형 응력분포: s = My/[Ae(R-y)]

¨ 비틀림 모멘트원형 축과 튜브에서의 전단응력 분포: t = T r/J,부재가 박판 폐쇄단면 튜브일 경우: t = T/2Amt

¨ 박판압력용기(이축 응력 상태)원통형: 원주방향(후프) 응력성분 s1=pr/t,

길이방향 응력성분 s2= pr/2t구형: s1= s2= pr/2t

¨ 중첩법각 하중에 대한 수직응력과 전단응력 성분들을 먼저 구한 뒤,이들의 대수 합으로 합수직응력과 합전단응력 성분을 얻는다.

11/17

bkhan@wow.hongik.ac.kr

점 B와 C의 응력상태를 구하라.

예제 8-2

풀이

절단된 요소의 평형을 고려하여,내부하중을 구한다.

응력성분:

.33.310155.7 inx

xinpsi

xpsi

=®-

=

s =P/A s =Mc/I 중첩

점 B 응력 점 C 응력

12/17

bkhan@wow.hongik.ac.kr

psiftlbftftlbp 30.1/2.187)3)(/4.62( 23 ===

예제 8-3

{ } lbftftftftlbWst 7.777)3()12/24()12/5.24()/490( 223 == -pp

내부하중

psiininpsitpr 4.62.)5.0.24(30.1/1 =´==s

{ } psiinlbAW stst 2.10)245.24(/)7.777(/ 2222 === -ps

비중량 gst =490 lb/ft3인 철재 원통형 탱크에 비중량 gw =62.4 lb/ft3인 물이가득 차있다. 점 A에서의 응력 상태는? 단, 탱크의 위 부분은 열려 있다.

풀이

탱크의 무게: Wst= gst Vst (길이방향 응력 유발)

응력성분

원주방향: s1=pr/t길이방향: s2=Wst/Ast

수압: p= gw z(Pascal의 법칙; 원주응력 유발)

13/17

bkhan@wow.hongik.ac.kr예제 8-4

점 c의 응력상태는 ?

내부하중 N, V, M:

응력성분: 중첩

풀이

수직응력: sc=P/A 전단력: tc= 0 굽힘모멘트: sc=Mc/I

중첩

14/17

bkhan@wow.hongik.ac.kr예제 8-5

점 A에서의 응력 상태는?

풀이 내부하중 à각각의 응력성분 à 중첩

D=1.5 in.

중첩sA=P/A tA=VQ/It sA=Mc/I=0 tA=Tc/JsA=Mc/I

0

15/17

bkhan@wow.hongik.ac.kr예제 8-6

절단면 ABCD의 수직응력 분포?

내부하중 à각각의 응력성분 à 중첩

풀이

응력이 0 인 직선의 위치

(0.4-e)/625=e/125 → e=0.0667 m, (0.8-h)/625=h/125 → h=0.133 m

=

smax=Mxcy/IxIx=(.8)(.4)3/12 m4

cy=.2 m

Mx=

s=P/AA=0.32 m2

P=

smax=Mycx/IyIy=(.4)(.8)3/12 m4

cx=.4 m

My=

조합하중: 중첩

16/17

bkhan@wow.hongik.ac.kr

01)(

<÷÷ø

öççè

æ+-=--=

x

y

x

y

IyAe

AP

IyPe

APs

예제 8-7

6/)2/(6)2/(

1 hehyathe

IhAe

yy

x

y <Þ-==>\

12/12/ 23 AhbhI x ==

12/12/ 23 AbhbI y ==

01)()(<÷

÷ø

öççè

æ++-=---=

y

x

x

y

y

x

x

y

IxAe

IyAe

AP

IxPe

IyPe

APs

066101 >--Þ>++\

be

he

IxAe

IyAe xy

y

x

x

y

풀이 b)

단면에 인장응력이 발생하지 않는a) 편심량 ey의 한계?b) 하중 P의 영역?

내부의 이 평행사변형을 단면의 core or kern이라 함.

풀이 a)

17/17

bkhan@wow.hongik.ac.kr

연습문제 및 복습문제연습문제 및 복습문제를 유형별로 선택하여 풀어 봄으로써자신의 성취도를 확인하기 바라며, 자유롭게 질문 해주기 바람.