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量子断熱状態の制御と
KdV方程式
高橋和孝 奥山真佳東工大理
仙台 2016年3月21日
M. Okuyama and KT ”Shortcuts to adiabaticity for quantum nonlinear integrable systems” arXiv:1603.01053
01/12
量子断熱状態の制御
Shortcuts to Adiabaticity Assisted adiabatic passage Demirplak Rice 2003 2005
Transitionless quantum driving Berry 2009
Lewis-Riesenfeld invariant engineeringChen Ruschhaupt Schmidt del Campo Guéry-Odelin Muga 2010
► Counter-Diabatic項 Hcd(t) を付加
Had(t)の瞬間固有状態（断熱状態）を解にするには？
► ゆっくり動かす
断熱近似
02/12
非線形可積分系の応用
KdV方程式 戸田方程式
► 量子的手法による解の構成► 結果を量子制御に応用
KdV方程式、sine-Gordon、非線形Schrödinger、戸田格子、… Lax形式、AKNS形式 逆散乱法
03/12
Shortcuts to Adiabaticity
Counterdiabatic term
► 固有値問題を解く必要► CD項が複雑・非現実的（無限和、多体相互作用、発散）
04/12
動的不変量
Lewis Riesenfeld 1969
tによらない固有値
同じ固有状態をたどる遷移
STA型のハミルトニアン
adiabatic counterdiabatic
F(t)=Had(t)：等スペクトルHad(t)の断熱遷移05/12
KdV方程式
Lax形式
06/12
制御項の変形
► 特定の状態に限る制御► 超対称性の活用► ポテンシャルによる制御
07/12
2-ソリトン解
08/12
2-ソリトン解
-8 -4 0 4 8x
t=1.0
-8
-4
0
t=-1.0
-8
-4
0
t=-0.5
-8
-4
0
-8 -4 0 4 8x
t=0.0
t=0.5
0
1
-2 -1 0 1 2t
-20
-10
0
t=-0.4
-20
-10
0
t=-0.2
-20
-10
0
-8 -4 0 4 8x
t=0.0
t=0.2
-8 -4 0 4 8x
t=0.4
0
1
-2 -1 0 1 2t
ψΨ (without cd)uu+Vcd
08/12|<ψ|ψ>|
1次元XY模型
戸田方程式
► 自由Fermi粒子系でも可（Jordan-Wigner）
09/12
戸田方程式の解N=3
► XYから磁場のみへ連続変形可
N→∞
► ソリトン解► 局所的にJとhを強くかける
10/12
スピン状態の制御
11/12
► 1-spin flip sector: 戸田格子系のLax表示と同じ
► ソリトンによるスピン輸送「束縛状態」波動関数はソリトンの位置に局在
M. Okuyama and KT ”Shortcuts to adiabaticity for quantum nonlinear integrable systems” arXiv:1603.01053
まとめ
非線形可積分系のLax形式 = 量子系の動的不変量
可積分性: 無限の保存量⇒ Hadの固有値が時間によらない
Hcdが単純
たくさんの応用例高階・変形KdV、sine-Gordon、非線形Schrödinger、AKNS、…
► 断熱制御ハミルトニアンの構成► 時間依存系の厳密解► 等スペクトルハミルトニアンの構成
(Had, Hcd)Lax ペア
12/12
ψΨ (no cd)uu+Vcd -8 -4 0 4 8x
t=1.0
-8
-4
0
t=-1.0
-8
-4
0
t=-0.5
-8
-4
0
-8 -4 0 4 8x
t=0.0
t=0.5
0
1
-2 -1 0 1 2t
-20
-10
0
t=-0.4
-20
-10
0
t=-0.2
-20
-10
0
-8 -4 0 4 8x
t=0.0
t=0.2
-8 -4 0 4 8x
t=0.4
0
1
-2 -1 0 1 2t
M. Okuyama and KT ”Shortcuts to adiabaticity for quantum nonlinear integrable systems” arXiv:1603.01053
|<ψ|ψ>|
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