量子断熱状態の制御と

KdV方程式

高橋和孝 奥山真佳東工大理

仙台 2016年3月21日

M. Okuyama and KT ”Shortcuts to adiabaticity for quantum nonlinear integrable systems” arXiv:1603.01053

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量子断熱状態の制御

Shortcuts to Adiabaticity Assisted adiabatic passage Demirplak Rice 2003 2005

Transitionless quantum driving Berry 2009

Lewis-Riesenfeld invariant engineeringChen Ruschhaupt Schmidt del Campo Guéry-Odelin Muga 2010

► Counter-Diabatic項 Hcd(t) を付加

Had(t)の瞬間固有状態（断熱状態）を解にするには？

► ゆっくり動かす

断熱近似

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非線形可積分系の応用

KdV方程式 戸田方程式

► 量子的手法による解の構成► 結果を量子制御に応用

KdV方程式、sine-Gordon、非線形Schrödinger、戸田格子、… Lax形式、AKNS形式 逆散乱法

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Shortcuts to Adiabaticity

Counterdiabatic term

► 固有値問題を解く必要► CD項が複雑・非現実的（無限和、多体相互作用、発散）

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動的不変量

Lewis Riesenfeld 1969

tによらない固有値

同じ固有状態をたどる遷移

STA型のハミルトニアン

adiabatic counterdiabatic

F(t)=Had(t)：等スペクトルHad(t)の断熱遷移05/12

KdV方程式

Lax形式

06/12

制御項の変形

► 特定の状態に限る制御► 超対称性の活用► ポテンシャルによる制御

07/12

2-ソリトン解

08/12

2-ソリトン解

-8 -4 0 4 8x

t=1.0

-8

-4

0

t=-1.0

-8

-4

0

t=-0.5

-8

-4

0

-8 -4 0 4 8x

t=0.0

t=0.5

0

1

-2 -1 0 1 2t

-20

-10

0

t=-0.4

-20

-10

0

t=-0.2

-20

-10

0

-8 -4 0 4 8x

t=0.0

t=0.2

-8 -4 0 4 8x

t=0.4

0

1

-2 -1 0 1 2t

ψΨ (without cd)uu+Vcd

08/12|<ψ|ψ>|

1次元XY模型

戸田方程式

► 自由Fermi粒子系でも可（Jordan-Wigner）

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戸田方程式の解N=3

► XYから磁場のみへ連続変形可

N→∞

► ソリトン解► 局所的にJとhを強くかける

10/12

スピン状態の制御

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► 1-spin flip sector: 戸田格子系のLax表示と同じ

► ソリトンによるスピン輸送「束縛状態」波動関数はソリトンの位置に局在

M. Okuyama and KT ”Shortcuts to adiabaticity for quantum nonlinear integrable systems” arXiv:1603.01053

まとめ

非線形可積分系のLax形式 = 量子系の動的不変量

可積分性: 無限の保存量⇒ Hadの固有値が時間によらない

Hcdが単純

たくさんの応用例高階・変形KdV、sine-Gordon、非線形Schrödinger、AKNS、…

► 断熱制御ハミルトニアンの構成► 時間依存系の厳密解► 等スペクトルハミルトニアンの構成

(Had, Hcd)Lax ペア

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ψΨ (no cd)uu+Vcd -8 -4 0 4 8x

t=1.0

-8

-4

0

t=-1.0

-8

-4

0

t=-0.5

-8

-4

0

-8 -4 0 4 8x

t=0.0

t=0.5

0

1

-2 -1 0 1 2t

-20

-10

0

t=-0.4

-20

-10

0

t=-0.2

-20

-10

0

-8 -4 0 4 8x

t=0.0

t=0.2

-8 -4 0 4 8x

t=0.4

0

1

-2 -1 0 1 2t

M. Okuyama and KT ”Shortcuts to adiabaticity for quantum nonlinear integrable systems” arXiv:1603.01053

|<ψ|ψ>|