Ecuación canónica de la parábola con vértice en h,k

EXPOSICIÓN DE MATEMÁTICAS

integrantes:

KENDRY CAMARGOROSA SOLANO

ELVIA GUTIÉRREZ

I.E.D MADRE LAURA

11ª2

2013

Sea h,k un punto distinto del origen del plano cartesiano.para deducir la ecuación de una parábola con vértice en h,k se consideran dos casos:La parábola con eje de simetría paralela al eje X y la parábola con eje de simetría paralelo al eje Y

Ecuación canoníca de la parábola con vértice en (h,k) y eje de simetría paralelo al eje X

y M (h-p,y)

v(h,k) F(h +p, k)

x

X=h-p

Y=k

Sea P la distancia del vértice al foco de una

parábola con vértice en (H,K) y eje paralelo al

eje X. Entonces, las coordenadas del foco son:

F(h+p,k).

Además, la directriz esta dada por x=h-p y la

ecuación del eje de simetría y=k.

Como se muestra en la figura anterior.

ahora, si P(x, y) es un punto de la parábola, entonces su

proyección sobre la directriz, es de la forma M(h-p,y). Luego,

d(M,P) = √[ x- (h – p )² + ( y – k )² = √( x – h + p ) = x - h + p

Y por definición de la parábola se tiene que :

d ( P,F) = d ( M,P)

√[ x - ( h - p ) ]² + ( y – k )² = x – h + p

( √[ x - ( h + p ) ]² + ( y – k )² )² = ( x – h + p )²

[ x - ( h + p )² + ( y – k )² = ( x - h + p )²

x² - 2x( h + p ) + ( h + p )² + y² - 2 yk + k² = [ x - (h - p)]²

x²- 2xh – 2xp + h² + 2hp + p² + y² - 2yk + k² = x² - 2x( h - p) + ( h - p)²

// = x² - 2xh + 2xp – h² - 2hp + p²

x² - 2xh – 2xp – h² + 2hp + p² + y² - 2yk +k² = x² - 2xh + 2xp - h² - 2hp +p²

y² - 2yk + k² = 2xp - 2hp + 2xp - 2hp

y² - 2yk + k² =4xp – 4p

( y – k )² = 4p( x – h )

Si p > 0 la parábola se abre hacia la derecha

si p < 0 la parábola se abre hacia la izquierda

Ecuación canoníca de la parábola con vértice en (h,k) y eje de simetría paralelo al eje Y

M(x, k-p)x

V (h, k)

F (h, k+ p)

y = k - p

y

Sea P la distancia del vértice al foco de

una parábola con vértice en (H,K) y eje

paralelo al eje X. Entonces, las

coordenadas del foco son: F(h +p, k).

Como la distancia del vértice al foco es

igual a la distancia del vértice a la

directriz, entonces, la ecuación de la

directriz es y = k-p . Además, la

ecuación del eje de simetría es x = h

Como nos muestra la figura anterior

La ecuación canoníca de la parábola con eje focal paralelo

al eje y vértice en (h, k) es;

(x-h)² = 4p(y-k)

La ecuación (x-h)² = 4p(y-k) representa una parábola que:

Se abre hacia arriba, si p > 0

Se abre hacia abajo. Si p < 0

Ejemplos

Encontrar la ecuación canoníca de la parábola que cumple las

condiciones dadas:

• Vértice en ( -3, 4 ) y foco en ( -5, 4 )

• Vértice en ( 2, -3) y pasa por el punto que 5, - 32

SoluciónV( -3, 4 ) y F( -5, 4 )

Hallamos P.

P= -5 – (-3) = -2

Remplazamos en la formula los valores para encontrar la ecuación de la

parábola.

( y – k)² = 4p ( x – h )

( y – 4)² = 4( -2) (x- (-3) )

( y – 4 )² = -8 ( x + 3)

Y así obtenemos la ecuación canoníca cuyo eje de simetría es paralelo al eje x.

X

-5

-4

-3

-2

-1

- - - - -

-5 -4 - 3 -2 -1

Grafica: