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Tinoco, G. (2013). Parábola: Ecuación y elementos de la parábola. [Manuscrito no publicado]. México: UAEM.

Parábola: Ecuación y elementos de la parábola

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Parábola En general, la parábola es una curva plana, sin centro, abierta y simétrica respecto a un eje. Al igual que las otras cónicas, en un principio los griegos de la antigüedad la estudiaron en el contexto geométrico como sección de un cono. La geometría analítica la define como lugar geométrico, esto es, un conjunto de puntos que satisfacen una propiedad geométrica definida en términos de distancias.

Una de las principales aplicaciones de la parábola se basa en su propiedad reflexiva, la cual consiste en que cuando una onda (sonora o electromagnética) viaja paralela al eje de una superficie parabólica y choca con esta, se refleja hacia el foco y, viceversa, si a partir del foco de una superficie parabólica se emite una onda, cuando choca con la superficie se refleja paralelamente al eje. Esta propiedad se aplica en la construcción de reflectores y antenas. También es importante que los proyectiles, sometidos a la acción de la fuerza de gravedad, sigan una trayectoria parabólica.

Definición geométrica Reciben el nombre de cónicas las curvas que resultan de la intersección de una superficie cónica con un plano. Si el ángulo de inclinación del plano secante es igual al ángulo de la superficie cónica respecto a su eje, corta todas las generatrices y no pasa por el vértice, la sección que produce es una curva abierta que recibe el nombre de parábola.

Nota: Ver aplicación interactiva: "Secciones cónicas", del capítulo: "Ecuación general de 2° grado", que se encuentra disponible en la dirección: http://www.geogebratube.org/student/c6961/m67380/ylyy

Lugar geométrico Una cónica puede definirse como el lugar geométrico de los puntos del plano tales que el cociente entre sus distancias a un punto fijo denominado foco, y a una recta fija, denominada directriz, es constante; donde el punto no pertenece a la recta. Cuando la constante es igual a uno, la cónica es una parábola. Esta constante recibe el nombre de excentricidad.

PF ePd

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PF Pd= 1e =

A esta definición se llama monofocal. Aún cuando se puede aplicar a todas, para obtener la ecuación de las otras cónicas (círculo, elipse e hipérbola) utilizamos la definición

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bifocal, pues son curvas con centro y dos focos. En el caso de la parábola solo aplica la definición monofocal, pues esta curva tiene un solo foco y no tiene centro.

Nota: Ver aplicación interactiva: "Cónicas (lugar geométrico 1)", del capítulo: "Ecuación general de 2°

grado", disponible en la dirección: http://www.geogebratube.org/student/c6961/m67380/ylyy

Elementos de la parábola La recta d es la directriz, el punto F es el foco, la recta perpendicular a la directriz, que pasa por el foco se llama eje de la parábola. Cuando el eje es paralelo al eje x del plano cartesiano se dice que la parábola es horizontal.

El punto V es el punto donde el eje intercepta a la parábola y recibe el nombre de vértice. El vértice, por ser un punto perteneciente a la parábola, equidista de la directriz y del foco.

El segmento dirigido VF!!!"

se llama parámetro y se identifica con la letra p . Cuando una parábola horizontal “abre” hacia la derecha p es positivo. Cuando p tiene signo negativo, la parábola “abre” hacia la izquierda.

El segmento QR , es una cuerda perpendicular al eje y pasa por el foco; recibe el nombre de cuerda focal o lado recto. El foco es el punto medio del lado recto.

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Ecuación de la Parábola

Parábola vertical !Consideremos una parábola con foco en el eje y . Si las coordenadas del foco son

( )0,F p , donde 0p > , y si su directriz es una recta horizontal d con ecuación y p= ! ;

para que un punto dado ( ),P x y pertenezca a la parábola debe satisfacer la condición:

( ) ( ), ,d P F d P d=

Si se sustituyen las coordenadas de P y F , así como la ecuación de la recta d en las fórmulas de la distancia entre dos puntos y distancia de un punto a una recta, se obtiene:

( ) ( )2 2

20

1

y px y p

+! + ! =

Esta expresión se puede simplificar elevando al cuadrado.

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B!

( ) ( )2 22

2 2 2 2 2

2

2 2

4

x y p y p

x y py p y py p

x py

+ ! = +

+ ! + = + +

=

!

La última expresión es la forma estándar de la ecuación de la parábola vertical con vértice en el origen.

En el caso de que el vértice de la parábola esté en el origen, el foco se encuentre en la parte negativa del eje y , y la directriz sea paralela al eje x , con ordenada al origen

positiva, se tiene lo que muestra la figura. El foco es ( )0,F p! y la directriz es y p= . Si

se sustituyen estos datos en la definición del lugar geométrico se obtiene:

( ) ( )2 2

20

1

y px y p

!! + + =

Elevando al cuadrado la ecuación, se puede simplificar:

( ) ( )2 22

2 2 2 2 2

2

2 2

4

x y p y p

x y py p y py p

x py

+ + = !

+ + + = ! +

= !

Por lo tanto, el signo del coeficiente de y determina hacia adónde abre la parábola: si es positivo abre hacia arriba, si es negativo abre hacia abajo.

Lado recto Si P es un punto del primer cuadrante que pertenece a la parábola y también es extremo del lado recto, entonces sus coordenadas son ( ),x p , y éstas satisfacen la ecuación.

Así que: ( )2 24 4x p p p= = . Simplificando se obtiene: 2x p=

De tal manera que P tiene coordenadas ( )2 ,p p . Dada la simetría de la parábola, el

punto 'P tiene coordenadas ( )2 ,p p! . Por lo tanto, la longitud del segmento 'PP es 4p,

esto es, 4Lr p= .

!!

!!

C!

Cuando p es negativo, P tiene coordenadas ( )2 ,p p! ; el punto 'P tiene coordenadas

( )2 ,p p! ! . Igual el lado recto es: 4Lr p= .

Parábola horizontal Consideremos ahora la parábola con vértice en el origen y con foco en ubicado el eje x . Si las coordenadas del foco son ( ), 0F p , donde 0p > ,

y si su directriz es una recta vertical d con ecuación x p= ! . Si se sustituyen estos datos en la definición del lugar geométrico, se obtiene:

( ) ( )2 2

20

1

x px p y

+! + ! =

Esta expresión se puede simplificar elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación.

2 4y px=

Esta es la forma estándar de la ecuación de la parábola horizontal con vértice en el origen.

En el caso de que el vértice de la parábola esté en el origen, el foco se encuentre en la parte negativa del eje x , y la directriz sea paralela al eje y , con ordenada al origen positiva, se tiene lo que muestra la figura. El foco es

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D!

( ), 0F p! y la directriz es x p= . Si se sustituyen estos datos en la definición del lugar

geométrico se obtiene:

( ) ( )2 2

20

1

x px p y

+! + ! =

Elevando al cuadrado la ecuación, se puede simplificar de la siguiente manera:

2 4y px= !

Por lo tanto, el signo del coeficiente de x determina hacia adónde abre la parábola: si es positivo, abre hacia la derecha, si es negativo abre hacia la izquierda.

Lado recto Si P es el punto del primer cuadrante que pertenece a la parábola horizontal y también es extremo del lado recto, entonces sus coordenadas son ( ),p x , y éstas coordenadas

satisfacen la ecuación de la parábola. Así que: ( )2 24 4y p p p= =

Simplificando la ecuación se obtiene: 2y p=

De tal manera que P tiene coordenadas ( ), 2p p . Dada la simetría de la parábola, el

punto 'P tiene coordenadas ( ), 2p p! . Por lo tanto, la longitud del segmento 'PP es

4 p , esto es, 4Lr p= .

Cuando p es negativo, P tiene coordenadas ( ), 2p p! ; el punto 'P tiene coordenadas

( ), 2p p! ! . Igual mente, 4Lr p= .