Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Área Académica: Ingeniería Mecánica Profesor(a): M. en...

Ecuaciones Diferencialesde Primer Orden

Área Académica: Ingeniería Mecánica

Profesor(a): M. en C. Yira Muñoz Sánchez

Dr. Martín Ortíz Domínguez

Periodo: Enero – Junio 2015

Cálculo DiferencialResumen

En este material se presentan conceptos y ejemplos de temas como: Límites y Razones de Cambio. Siendo estos indispensables en la materia de cálculo diferencial e integral.

Abstract

This material presents concepts and examples about topics as limits and rates of change. These are necessary in differential and integral calculus.

Keywords: Limits, calculus, rates of change.

Solución de una EDUna función f definida en un intervalo I, es solución de una ecuación diferencial en el intervalo si sustituida en dicha ecuación la reduce a una entidad.

Una solución de una ecuación diferencial ordinaria general de orden n:

es una función y = f(x) que tiene por lo menos n derivadas y satisface la ecuación.

Solución de una ED

Al resolver una ecuación de n-ésimo orden en donde significa se espera obtener una famillia n-paramétrica de soluciones

Solución de una ED

Al resolver una ecuación de n-ésimo orden en donde significa se espera obtener una famillia n-paramétrica de soluciones

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

ED de Variables SeparablesUna ecuación diferencial de la forma:

es separable o tiene variables separables.

Puede escribirse como:

Solución ED de Variables Separables

SOLUCIÓN:

Solución ED de Variables Separables

En una ecuación separable no es necesario usar dos constantes de integración ya que:

ED Homogéneas (1)

La ecuación en la forma diferencial: MSi tiene la propiedad:

y Entonces tiene coeficientes homogéneos o es una ecuación homogénea.

ED Homogéneas (2)

Se dice que f es una función homogénea de grado n, si para todo número real n:

Ejemplos de ED Homogéneas (1)

ff

Función Homogénea de Grado uno

Ejemplos de ED Homogéneas (2)

f

Ejemplos de ED Homogéneas (2)

ff

Función Homogénea de Grado cero

Ejemplos de ED Homogéneas (3)

ff

ED Homogéneas (3)

Sumar una constante a una función destruye la homogeneidad a menos que se considere la función como homogénea de grado cero.

ED Homogéneas (4)

También podemos determinar si una función es homogénea examinando el grado de cada término.

Función Homogénea de grado 4 Función NO Homogénea

ED Homogéneas (5)

Si f es una función homogénea de grado n, se puede escribir:

y

Donde y son ambas de grado cero.

ED Homogéneas (Ejemplo)

Se observa que f = x2 + 3xy + 2y es homogénea de grado 2. Por lo tanto:

]

=

Solución de ED Homogéneas (1)

En la ecuación: MDonde M y N tiene el mismo grado de homogeneidad, puede reducirse a una ED de variables separables usando cualquiera de las dos siguientes substituciones:

ó Donde u y v son nuevas variables independientes

Solución de ED Homogéneas (2)

Si elegimos , entonces:

Por lo tanto: M

Solución de ED Homogéneas (3)

Por la homogeneidad de M y N es posible escribir:MO bien: MDe lo cual resulta:

Bibliografía

Zill D.G., Ecuaciones diferenciales con aplicaciones, Grupo Editorial Iberoamérica, Segunda edición.

Zill D.G., Ecuaciones diferenciales con aplicaciones, Grupo Editorial Iberoamérica, Octava edición

Blanchard P., Hall G. R., Devaney R. L. , Ecuaciones Diferenciales, Edit. Thomson.

Boyce, DiPrima, Ecuaciones Diferenciales con valores en la frontera, Editorial Limusa,, 4ª edición.