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ecuaciones diferenciales
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UNIVERSIDAD DEL ATLANTICO ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: JULIO ROMERO
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CAPITULO I CONCEPTOS PRELIMINARES
1.1 Generalidades y terminologa bsica
As como una funcin numrica es una igualdad
( )
Con conocida que slo se cumple para determinados valores de la variable
(incgnita), una ecuacin diferencial es una igualdad
( ( ) ( ) ( ) ( )) (1.1)
Que slo es correcta para ciertas funciones , veces derivables, que
llamaremos soluciones de la ecuacin. es una funcin conocida, con valores
en un espacio eucldeo y dominio contenido en el producto cartesiano
( ) mientras que la incgnita se busca definida en
un intervalo de . La ecuacin diferencial se suele expresar abreviadamente
escribiendo:
( )
Sin que conlleve ambigedad el doble significado, de funcin y de variable, de los
smbolos .
El hecho de que slo aparezcan derivadas respecto de una variable nica y
escalar se tiene en cuenta diciendo que la ecuacin diferencial es ordinaria.
La ecuacin diferencial ms simple es la del tipo
( )
Con continua, cuyas soluciones son todas las primitivas de . Por analoga,
para cualquier ecuacin diferencial se emplea el trmino integrar como sinnimo
de resolver.
Segn la funcin tome valores escalares o vectoriales aplicaremos el mismo
objetivo a la ecuacin diferencial, aunque lo corriente es reservar el trmino
ecuacin para las escalares y llamar sistema de ecuaciones a las vectoriales.
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Es suficiente estudiar las ecuaciones diferenciales de primer orden, ya que las de
orden superior pueden someterse a una reduccin cannica a primer orden
(aunque a costa de aumentar la dimensin). Dicho artificio consiste en considerar
la nueva funcin incgnita, es decir
( )
En la ecuacin auxiliar de primer orden
( )
con
( ) ( ( ))
1.1.1 Ecuacin diferencial:
Ecuacin que contiene una funcin desconocida y sus derivadas respecto a una variable independiente. Ejemplo
a)
b) ( )
1.1.2 Ecuacin diferencial ordinaria:
Si la funcin desconocida depende de una sola variable independiente. Ejemplo
a)
b)
1.1.3 Ecuacin diferencial parcial:
Si la funcin desconocida depende de dos o ms variables independientes Ejemplo
a) ( )
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b) ( )
( )
1.1.4 Clasificacin de las ecuaciones diferenciales ordinarias Para clasificar una E.D.O tenemos que tener en cuenta: 1) El orden: es la mayor derivada que aparece en la ecuacin.
Ejemplo:
a) Es una EDO de orden dos o segundo orden
b) ( ) ( ) Es una EDO de orden cuatro
2) el grado: es la potencia a la que est elevada la derivada de mayor orden, siempre que la E.D se pueda escribir como un polinomio en la funcin desconocida y sus derivadas. Ejemplo:
a) ( ) ( ) Es una EDO de orden dos y grado 4
b) ( ) ( ( )) Es una EDO de orden cuatro y grado 1
1.1.4 Solucin de una ecuacin diferencial Es una relacin sin derivadas entre las variables que intervienen en dicha
ecuacin. En particular si la solucin es de la forma ( ) entonces al
sustituir a y todas sus derivadas en la ecuacin diferencial se obtendr una
identidad.
1.1.4.1 Solucin General de una ecuacin diferencial Es aquella que contiene todas o casi todas las soluciones de dicha ecuacin
diferencial. En general contienen un nmero de constantes arbitrarias igual al
orden de la ecuacin diferencial.
1.1.4.2 Solucin particular de una ecuacin diferencial Es aquella que se obtiene al remplazar las constantes de la solucin general por
valores especficos. Tambin se consideran como solucin particular aquella que
cumple ciertas condiciones iniciales o valores de frontera dado.
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1.1.4.3 Obtencin de la ecuacin diferencial Para obtener la ecuacin diferencial derivamos la solucin general tanta veces (la
solucin general) como constantes arbitrarias independientes halla. Y despus se
eliminan dichas constantes entre la ecuacin dada y las derivadas.
Ejemplo 1: Verificar que la ecuacin dada es una solucin de la ecuacin
diferencial dada:
con ( )
Solucin:
Derivamos dos veces la solucin de la ecuacin diferencial
(
)
(
) (
)
(
) (
)(
)
(
) (
)
Sustituyendo y en la ecuacin diferencial
( )
(
) (
) ( (
))
(
)
Como lo anterior es una proposicin verdadera luego
es una
solucin de la ecuacin diferencial ( )
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Ejemplo 2: Verificar que la ecuacin dada es una solucin de la ecuacin
diferencial:
( )
( ) Es una solucin de
Solucin: Derivamos
y
:
( ) y
( )
Encontramos
( )
( )
Sustituyendo: ( ), ( ) y
en la ecuacin diferencial
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
Luego ( ), ( ) es una solucin de la ecuacin diferencial
Ejemplo 3: Comprobar que
tiene como solucin la ecuacin
Solucin:
(1)
Como
(2)
Derivando tenemos
(3)
Sustituyendo (2) y (3) en (1), se obtiene
(1)
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(
) (
)
Ejemplo 4: Encontrar la ecuacin diferencial que tiene como solucin general
( ) ( ) (1)
Solucin: Derivamos dos veces porque hay dos constantes
( ) ( ) (2)
( ) ( ) (3)
Para eliminar las constantes usaremos las ecuaciones (1) y (3)
{ ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
El resultado que carece de las constantes y es la ecuacin
diferencial que tiene por solucin ( ) ( )
Ejemplo 5: Encontrar la ecuacin diferencial que tiene como solucin general
Solucin: Derivamos tres veces porque hay tres constantes
Como no tiene constante es la ecuacin diferencial de la solucin
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Ejemplo 6: Verifica que
( ) Tiene como solucin general la ecuacin
Solucin:
( )
Dividiendo por la ecuacin anterior tenemos
( )
( )
(1)
Como
(2)
Posee solo una constante, se deriva una vez, derivando implcitamente se obtiene
(3)
Sustituyendo (3) en (1)
( )
( )(
)
La igualdad comprueba que la ecuacin diferencial ( )
tiene como solucin general la ecuacin
1.1.4.4 Soluciones singulares
Definicin: Solucin singular de una ecuacin diferencial Una solucin de una ecuacin diferencial se llama singular si no se puede obtener de la solucin general al sustituir las constantes por valores, es decir, no es una solucin particular. Ejemplo. La familia de rectas es la solucin general de la ecuacin diferencial ( ) . La parbola es una solucin singular. No es difcil comprobar que ambas son solucin de la ecuacin diferencial dada. En la figura 1.1 se muestra la solucin singular y varias soluciones particulares.
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Figura 1.1
Observe que la parbola es tangente en cada uno de sus puntos a una curva de la
familia de rectas , cuando sucede esto decimos que la parbola es la envolvente de la familia de rectas ; como se indica en la siguiente definicin.
1.1.4.5 Definicin de envolvente Cualquier curva tangente a un nmero infinito de miembros de una familia infinita de curvas, y que por lo menos es tangente en cada uno de sus puntos a una de dichas curvas, es una parte, o el total, de la envolvente de la familia.
La envolvente de una familia de curvas ( ) satisface el sistema
{ ( ) ( )
lo cual nos permite hallarla.
Ejemplo: Para hallar la envolvente de la familia de circunferencias ( ) , resolvemos el sistema
{( )
( )
obteniendo que . Al sustituir en la ecuacin de la familia obtenemos que la envolvente est formada por las rectas . La envolvente y algunos miembros de la familia se muestran en la figura 1.2.
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Figura 1.2
Ejemplo: La familia de parbolas es la solucin general de la ecuacin diferencial ( ) y las rectas son soluciones singulares.
Fcilmente se comprueba que ambas son soluciones de ecuacin diferencial. En la figura 1.3 se muestran las soluciones singulares y varias soluciones particulares. Las rectas son la envolvente de la familia de parbolas .
Figura 1.3
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TALLER 1. PRELIMINARES I.- Complete la siguiente tabla tems Ecuacin diferencial Ordinaria
o parcial Orden Grado Variables
independiente Variables dependiente
a)
b)
( )
c)
d) (
)
(
)
e)
f)
g)
h) ( ) ( )
i)
j)
k)
l)
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II -. Determine si la funcin dada es solucin de la ecuacin diferencial. En caso de
serlo clasifquela atendiendo si son soluciones particulares o generales.
)1 22
1
xx ececy 02''' de yyy
1 2) tes t 0'2'' de sss
2 )3 senxxy '' de2 senxxyy
y 4) 22 vvv evBeAe veyyv 122'3''y de
u )5 senbxe t
b de2
22
x
u
t
u
y 6) 21xecxc 0'''1-x de yxyy
cos )7 xAy 0tan' de xyy
4xecy 8) -2x22
1 xx ece
xeyy 242'3''y de
cotcscln )9 xxsenxsenxy cot'' de xyy
1y 10) 2xx 32'yy de xx
ln )11 xecy ' de yxey
y 12)
cdxx
ex
x
xxey ' xyde
III -. Muestre que cada ecuacin diferencial en la columna I tiene por solucin la
correspondiente relacin en la columna II. Obtenga las soluciones particulares que
satisfagan las condiciones en la columna III.
tems I II III
a) ( )
b)
{ ( ) ( )
c) ( ) ( ) ( )
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d) {
( ) ( ) ( )
e) ( ) { ( ) ( )
IV -. Encuentre una ecuacin diferencial correspondiente a cada relacin, con las
constantes arbitrarias indicadas. Verifique en cada caso que la ecuacin
diferencial tiene la relacin como su solucin general
a) , b) ,
c) , d) ,
e) ( ) ( ) ,
f) I ( ) ,
g) ,
h) Compruebe que la familia de rectas es solucin de la ecuacin diferencial ( ) . Determine un valor de de forma que sea una solucin singular de la ecuacin diferencial dada. Dibuje en un mismo sistema de coordenadas la solucin singular y algunas soluciones particulares.
I) Compruebe que la familia de rectas es solucin de la ecuacin
diferencial ( ) . Demuestre que el crculo es una solucin singular de la ecuacin diferencial dada. Dibuje en un mismo sistema de coordenadas la solucin singular y algunas soluciones particulares.
j) Compruebe que la familia de curvas
es solucin de la ecuacin
diferencial . Determine una solucin singular para la ecuacin diferencial. Dibuje en un mismo sistema de coordenadas la solucin singular y algunas soluciones particulares.
Compruebe que si , donde tiene soluciones tiene soluciones
e ( )( )
. Examine los casos especiales
. Discuta la
relacin entre estas soluciones. Existen otras soluciones adems de las dadas?.
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