Unidad III - Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS FILIAL JAEN FACULTAD DE CIENCIAS EMPRESARIALES

ESCUELA PROFESIONAL DE CONTABILIDAD MATEMATICA III

UNIDAD III: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

3.1. INTRODUCCION:

En los cursos básicos se aprendió que, dada una función y = f (x) su derivada dydx

=f ' (x ) es también una función

en x; y que se calcula mediante alguna regla apropiada. El problema que enfrentaremos en esta unidad, no es,

dada la función y = f (x) encontrar su derivada, más bien el problema es, si se da una ecuación como dydx

=f ' (x )

, encontrar de alguna manera una función y = f (x) que satisfaga a la ecuación, en una palabra se desea resolver

ecuaciones diferenciales. Por ejemplo:

1¿dy=3dx 2¿ dydx

=12x3¿ y '=−x

y4 ¿ x dx− y dy=05¿ y '2=+ y=0

NOTA:

- Estas ecuaciones tienen de particular que todas tienen “la derivada de y con respecto a x” o también

podemos decir que todas tienen las diferenciales “dx” y “dy”.

- Sus soluciones no son números reales o números complejos, las soluciones serán “familias de curvas”. Es

decir serán familias de rectas o familias de curvas.

Por ejemplo: la solución de la primera ecuación diferencial dy=3dx

será una familia de rectas paralelas de la forma: y=3 x+k , k∈RVisto en un gráfico es:

La recta L1es cuandok=0

Larecta L1es cuandok=1

Larecta L1es cuandok=2…etc .

La solución de la segunda ecuación diferencial dydx

=12xes una familia

de parábolas de la forma: y= 14x2+k

Visto en un gráfico, tenemos las parábolas:

y= 14x2 , si k=0

y= 14x2+ 1

4, si k=1

4

y= 14x2+2 , si k=2…etc .

NOTA: para resolver una ecuación diferencial se requieren:

- En primer lugar, saber INTEGRAR. Lo cual sugiere conocer “a la perfección”, sin titubeos, todas las fórmulas

elementales de integración y los métodos de integración (cálculo integral).

Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera Página 1

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- En segundo lugar, reconocer los diversos tipos de ecuaciones diferenciales (de variables separables, exactas,

homogéneas, lineales, etc.) que se irán estudiando y tratando paulatinamente.

3.2. DEFINICION:

Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene derivadas de una función desconocida de una o más

variables.

Ejemplo 2.1. Ecuaciones Diferenciales1) En la ecuación diferencial y '−2 x=0, la incógnita es la función y=f ( x ).

2) En la ecuación diferencial dw=(H−x ) ρπ R2dx , la incógnita es la función w=g ( x ), w representa

en física “el trabajo que debe realizarse para bombear el agua de un tanque cilíndrico vertical de

altura H y radio R en la base”.

3)dpdx

=k (a−p), en esta ecuación p=f ( x ) es la función incógnita, donde “p” es la utilidad NETA y

“x” es el gasto de propaganda.

3.3. CLASIFICACION DE LAS ECAUCIONES DIFERENCIALES :

Las ecuaciones diferenciales se clasifican en ecuaciones diferenciales ordinarias y en ecuaciones diferenciales

parciales.

a) Las ecuaciones diferenciales ordinarias son aquellas que contienen como incógnita funciones con una sola

variable independiente. Ejemplos:

1¿ dsdp

= −asp−b

, s=f ( p ) es la incógnita

2¿ dydx

+2 y= y2 e−x , y=f ( p ) es laincógnita

b) Las ecuaciones diferenciales parciales son aquellas que contienen como incógnita una función con dos o más

variables independientes. Ejemplos:

1¿ ∂z∂ x

− ∂ z∂ y

=z , z=f ( x , y ) esla incógnita

2¿ ∂2u

∂ x2 +∂2u∂ y2 =xy ,u=g (x , y ) es laincógnita

3.4. ORDEN Y GRADO DE UNA ECAUCION DIFERENCIAL :

Se llama ecuación diferencial de orden “n” a toda ecuación que incluye a la derivada cuyo orden superior es “n”.

El grado de una ecuación diferencial es el de la derivada de mayor orden, una vez que dicha ecuación haya sido

racionalizada y se hayan quitado denominadores respecto de todas las derivadas.

Ejemplo 4.1. Orden y Grado de una Ecuaciones Diferenciales

a)d2 ydt 2 =√1+ dy

dt, despues deracionalizar obtenemos( d2 y

dt2 )2

=1+ dydt

Esta ecuación diferencial ordinaria es de 2do grado y de orden 2.

b) ( d2 ydx2 )

3

−5( dydx )4

+2x=0

Esta ecuación diferencial ordinaria de orden 2 y 3er grado.



c)∂2w∂ x2 + ∂2w

∂ y2 =z

Es una ecuación diferencial parcial de segundo orden y 1er grado.

3.5. SOLUCION DE UNA ECUACION DIFERENCIAL :

Se denomina solución de una ecuación diferencial a toda relación entre las variables que intervienen en dicha

ecuación que no contengan ninguna derivada y que satisfaga idénticamente a dicha ecuación.

Las soluciones de una ecuación diferencial pueden ser una solución general o una solución particular.

La SOLUCION GENERAL de una ecuación diferencial ordinaria de orden “n”, es una solución que contiene

constantes de integración.

La SOLUCION PARTICULAR de una ecuación diferencial ordinaria de orden “n”, es una solución que se obtiene de

la solución general dándole valores específicos a las constantes.

Simbólicamente, decimos:

Ejemplo 5.1. Solución de una Ecuaciones Diferenciales. Verificar que:

ln y=c1ex+c2 e

−x+x2+2 Es una solución de: ( 1ydydx )

2

− 1yd2 ydx2 =x2−ln y

Solución:

Veamos: NOTACION: dydx

= y ' , d2 ydx2 = y ' '

Todo lo que hacemos es derivar dos veces la relación de dos variables:

ln y=c1ex+c2 e

−x+x2+2→ ln y−x2=c1 ex+c2e

− x+2… ..(1)

⟹ y '

y=c1 e

x+c2e− x (−1 )+2 x+0→ y '

y=c1e

x−c2e−x+2 x… ..(2)

⟹ y ' '= y' (c1 ex−c2e

−x+2x )+ y (c1ex+c2 e

−x+2 )… ..(3)

Reemplazando (2) y (1) en (3):

⟹ y ' '= y' (c1 ex−c2 e

−x+2 x)⏟+ y (c1ex+c2e

− x+2)⏟… ..(3)

⟹ y ' '= y' y'

y+ y ( ln y−x2 )→ y ' '= y '2

y+ y ( ln y−x2 )…… ..(4)

Y ahora reemplazando (2) y (4) en la ecuación diferencial:

(c1 ex−c2 e

− x+2 x )2− 1y [ y '2

y+ y (ln y−x2 )]=(c1 e

x−c2 e−x+2x )2

−y'2

y2 −ln y+x2….(5)

Pero en (2) tenemos y'

y=c1 e

x−c2e−x+2 x que al reemplazar en (5) obtenemos:

⟹ y '2

y2 − y'2

y2 −ln y+x2→−ln y+ x2

Que es idénticamente igual al segundo miembro



Ejemplo 5.2. Solución de una Ecuaciones Diferenciales. Verificar que:

x=cos 2t+2c1 cos3 t+3c2 sen3 t es una solución de: d2xdt2

+9x=5 cos2t

Solución:Veamos:

x=cos 2t+2c1 cos3 t+3c2 sen3 t ….(1)

dxdt

=−2 sen2 t+2c1 (−3 sen3 t )+3 c2 (3cos3 t )=−2 sen2 t−6c1 sen3 t+9c2 cos3 t… ..(2)

d2 xdt2 =−2 (2cos 2t )−6 c1 (3cos3 t )+9c2 (−3 sen3 t )=−4cos2 t−18c1cos 3t−27 c2 sen 3t … ..(3)

Reemplazando (3) y (1) en el primer miembro de la ecuación diferencial:

−4 cos2 t−18c1 cos3 t−27c2 sen3 t+9 (cos2 t+2c1 cos3 t+3c2 sen3 t )¿−4 cos2t−18c1 cos3 t−27c2 sen3 t+9cos 2t+18c1cos3 t+27c2 sen3 t

¿5 cos2 t


Ejemplo 5.3. Solución de una Ecuaciones Diferenciales. Verificar que la relación:

y=2+c√1−x2 es solución de: (1−x2 ) y '+ xy=2 xSolución:De y=2+c√1−x2…. (1 )

Halamos: y '=dydx

y '=0+c −2 x2√1−x2

→ y '= −cx√1−x2

….(2)

Sustituimos (1) y (2) en la ecuación diferencial:

(1−x2 ) −cx√1−x2

+x (2+c√1−x2 )=−cx √1−x2+2 x+cx√1−x2=2 x


Ejemplo 5.4. Solución de una Ecuaciones Diferenciales. Verificar que la función:x2+ y2=c Es solución de: y y '=−x

Solución:

Aquí se tiene y=f ( x ) , dydx

= y '

Derivemos la relación x2+ y2=c respecto a x:

2 x+2 y y '=0→x+ y y '=0→y y '=−x

3.6. FORMACION DE UNA ECUACION DIFERENCIAL A PARTIR DE UNA FAMILIA DE CURVAS



Si se tiene la ecuación de una familia de curvas, se puede obtener su ecuación diferencial mediante la eliminación

de las constantes (o parámetros) y esto se obtiene aislando la constante en un miembro de la ecuación y

derivando. También se puede eliminar la constante derivando la ecuación dada, tantas veces como constantes

arbitrarias tenga, y se resuelve el sistema formado con la ecuación original.

Ejemplo 6.1. Formación de una ecuación diferencial. A partir de una familia de curvas. Formar la E.D. cuya solución es la familia de curvas

y=C1 e2 x+C2 e

−x

Solución:

Ejemplo 6.2. Formación de una ecuación diferencial. A partir de una familia de curvas. Formar la E.D. cuya solución es la familia de curvas

y=(C1+C2x )ex+C3

Ejemplo 6.3. Formación de una ecuación diferencial. A partir de una familia de curvas. Obtenga la E.D. cuya primitiva es la función:

C1 y−x=C2 xy



Ejemplo 6.1. Formación de una ecuación diferencial. A partir de una familia de curvas. Obténgase la E.D. cuya primitiva es la función

y=ex (C2 cosx+C3 senx )+C1+x4

Ejemplo 6.1. Formación de una ecuación diferencial. A partir de una familia de curvas. Obténgase la E.D. cuya primitiva es la función

y=C1 senax+C2cosax

EJERCICIOS 06: Propuestos.I. En cada uno se los siguientes ejercicios, establezca si la ecuación diferencial dada es ordinaria o parcial, y, si es

ordinaria, diga su orden y su grado.

1) x ∂ z∂ x

+ y ∂ z∂ y

−xz=0 2) y+x dydx

+x2 y=0



3) x ( d3 ydx3 )

2

+( d2 ydx2 )

3

+ y=0

4) x ∂2 y∂ x2 +z ∂2 z

∂ x ∂ y+ ∂ z∂ y

=xyz

5) pdq+qdp=0

6)d2 ydx2 =2 x

7) senθ drdθ

=r

8)d2 ydx2 +5 dy

dx+6 y=ex

9) ∂2 z∂x ∂ y

=ex e y

10) y dydx

=x

II. Verificar que:

1) y=x+3 x2; y ' (x+3 x2 )− y (1+6 x )=0

2) y=x3+C1 x2+C2 ;

d2 ydx2 −1

xdydx

−3 x=0

3) y=x √1−x2; y y '=x−2 x3

4) x=C1coswt+C2 senwt ;d2 xdt 2 +w2 x=0

5) y= x2−c2

2c; x ( dydx )

2

−2 y dydx

+x=0

6) y=cx+√1−c2; x dydx

+√1−( dydx )2

− y=0

7) y=c1 x+c2( 1x2 )+c3 ;

d3 ydx3 =−4

xd2 ydx2

8) y=c1 x2+c2x+c3;

d3 ydx3 =0

III. Obténganse las ecuaciones diferenciales cuyas primitivas sean las siguientes funciones:

1) y=x+c x2

2) cx+2cy= y

3) c2−cx= y

4) c1 x2+c2 y=x

5) y=c1+c2 ex+c3 x e

x+x2

6) y=c1 e− x+c2 e

x /2+ex

7) y=c1 ex+c2 x e

x

8) y=e2 x (c1+c2 x )

3.7. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y PRIMER GRADO

Una ecuación diferencial de primer orden y primer grado es de la forma:

dydx

=F(x , y)

O lo que es equivalente a: M (x , y )dx+N ( x , y )dy=0 ……………… (I)

dydx

=−M (x , y)N (x , y )⏟

F ( x, y)

3.8. CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y PRIMER GRADO

Una ecuación diferencial de primer orden y primer grado se pueden presentar varios métodos de resolución, de

los cuáles veremos algunos:



VARIABLES SEPARABLES

En este caso la ecuación diferencial dado en (I) se presenta de la forma.

M (x , y )dx+N ( x , y )dy=0

Esto indica que “M” es función sólo de “x” y “N” es función sólo de “y”

Se resuelve, tan solo integrando cada término.

Así: ∫M (x )dx+∫N ( y)dy=c

Ejemplo 8.1. Ecuaciones diferenciales con variables separables. Resolvery (1−x )dx+x2(1− y)dy=0

Solución: hacemos la separación de variables:(1−x )x2 dx+(1− y)

ydy=0

Integramos:

∫ 1−xx2 dx+∫ 1− y

ydy=c⟹∫( 1

x2 −xx2 )dx+∫( 1

y− y

y )dy=c⟹∫(x−2− 1x )dx+∫( 1

y−1)dy=c

⟹ x−1

−1− ln|x|+ ln|y|− y=c⟹−1

x− ln|x|+ ln|y|− y=c⟺−1

x− y+ ln| yx |=c

Esta solución la podemos transformar en:

⟺−1x− y+ln| yx|=ln k ,c=ln k

⟺ ln| yx |−ln k= y+ 1x⟺ ln| y

kx|= y+ 1x

⟺ ykx

=ey+1

x , pues : ln N=m⟺N=em

∴ y=kx ey+ 1

x

Ejemplo 8.2. Ecuaciones diferenciales con variables separables. Hallar la solución de( y+2 )dx+(x−2)dy=0

Solución: agrupamos los términos en “x” multiplicando a “dx” y agrupar los términos de “y”, multiplicando a “dy”

1x−2

dx+ 1y+2

dy=0

Ejemplo 8.3. Ecuaciones diferenciales con variables separables. Resolver

2 xy ( 4− y2 )dx+ ( y−1 )(x2+2)dy=0Solución:




(1+ y )dx+ dyx2−2 x

=0

Solución:


y √ y2−1dx−√1−x2dy=0Solución:


x √ y2−1dx−√1−x2dy=0Solución:




ex3− y2

+ yx2 ∙

dydx

=0

Solución:


ex + y+ yx2 ∙

dydx

=0

Solución:

Ejemplo 8.9. Ecuaciones diferenciales con variables separables. Resolverdsdt

+cos2 t=0

Solución:

3.9. ECUACIONES HOMOGENEAS DE PRIMER ORDEN Y DE PRIMER GRADO

Se dice que una ecuación diferencial de primer orden y primer grado, tal como M (x , y ) dx+N ( x , y )dy=0,

es homogénea, si M y N son expresiones homogéneas, del mismo grado, en x e y .

Una ecuación homogénea de la forma M (x , y )dx+N ( x , y )dy=0 se puede trasformar en otra ecuación en v

y x, de variables separables, mediante la sustitución



y=vx ,dy=xdv+vdx

Ejemplo 9.1. Ecuaciones diferenciales homogéneas. Resolver(xy− y2) dx−x2dy=0

Solución: los coeficientes de la ecuación son homogéneos de grado 2. Sustituyendo en la ecuación dada, tenemos:

(x ∙ vx−v2 x2 )dx−x2 ( xdv+vdx )=0Después de dividir por x2, se obtiene

(v−v2)dx− ( xdv+vdx )=0Es decir

dvv2 + dx

x=0

Aquí las variables x y v están separadas, y la solución es:−1v

+ ln x=C⇒ ln x−C=1v

Como y=vx→ 1v= x

y y haciendo −C=lnC , se puede escribir como:

ln x+lnC= xy⟹ lnCx= x

y⟹ y= x

lnCx

Ejemplo 9.2. Ecuaciones diferenciales homogéneas. Resolver(2 x+ y )dx+xdy=0

Solución:

Ejemplo 9.2. Ecuaciones diferenciales homogéneas. Resolver(2 x+ y )dx+xdy=0

Solución:

3.10.APLICACIONES

Aplicaciones en la economía:



Ejemplo 10.1. La relación entre el precio p y la cantidad demandada x es tal que la disminución en la demanda, a medida que el precio aumenta, es proporcional a la cantidad demandada e inversamente proporcional a la suma del precio más una constante. Encontrar la función de demanda si p=0, cuando x=x0 .Solución: Datos: p : precio por unidad

x : Cantidad de demanda.

dx=∆ x: Variación de la cantidad demandada.

dp=∆ p: Variación del precio.

dxdp : tasa de la demanda a medida que el precio varía.

Según el enunciado del problema, tenemos:

dxdp

= kxp+b { la tasa dedisminución enla demanda,amedidaque el precio aumentaes

proporcionala la cantidaddemandada x e inversamente proporcional ala sumadel preciomásuna constante .

b :Constante , k : factor de proporcionalidad(k negativo)

Nos queda por resolver la Ecuación Diferencial:

dxdp

= kxp+b

……(¿)queesuna ecuaciónde variables separables

Veamos:

De ( ¿ ) obtenemos:

dxx

= kp+b

dp⟹ dxx

− kp+b

dp=0

Integrando ambos miembros:

∫ dxx

−k∫ 1p+b

dp=C⟹ ln x−k ln (p+b )=lnC

ln x=lnC+ln ( p+b )k⟹ ln x=lnC ( p+b )k⟹ x=C (p+b )k k :negativo

Imponer la condicional inicial:

Si p=0 , x=x0

x0=C bk⇒C=x0

bk

Entonces:

x=x0( p+bb )

k

, k<0

Es mejor:



x=x0( bp+b )

k

, k>0

Ejemplo 10.2. La tasa de incremento del costo total “y”, a medida que crece el número de unidades fabricadas “x”, es proporcional a la suma de las unidades fabricadas más una constante e inversamente proporcional al costo total. Hallar la función de costo si y= y0 cuando x=0 .Solución:

Ejemplo 10.3. La razón del incremento de las ventas “s”, a medida que crece la gestión de propaganda “x, es igual a una constante menos la venta dividido por una constante más la gestión de propaganda, si s=s0 cuando x=0 .Solución:

Ejemplo 10.4. La tasa de incremento del costo “y”, a medida que crece el número de unidades fabricadas “x”, es igual a la relación del doble del cuadrado del costo menos el cuadrado del número de unidades fabricadas dividido por el producto del costo y el número de unidades. Hallar la relación entre el costo y el número de unidades fabricadas si y=3 cuando x=1 .Solución:



EJERCICIOS 07: Propuestos.I. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.

1) xdy+ ydx=0

2) xdy− ydx=0

3) dydx

=1+ y2

1+x2

4) (1−x2 )dy+(1+ y2 )dx=0

5) yCosx dy+√1+ y2dx=0

6) dy+ yTg x dx=0

7) dydx

=√ 1− y2

1−x2

8) Secxdy+Secy dx=0

9) x2 ydy+(x2+1 )dx=0

10) dydx= x−x y2

x2 y− y

11) (1+ y2 )dx+xydy=0

12) (1+ y2 )dx+xydy=0

13) 4 x−3 y+ y ' (2 y−3 x )=0

14) 4 x2−x y+ y2+ y ' (x2−x y+4 y2 )=0

15) 4 x2+xy−3 y2+ y ' (−5 x2+2 xy+ y2 )=0

II. Aplicaciones:1) El dinero depositado en cierto banco se incrementa de tal manera que en cualquier

instante la razón de cambio del saldo es igual al 7% del saldo en ese instante.

2) La razón del incremento en el costo y a medida que crece el número de unidades fabricadas x, es igual a la relación del doble del cuadrado del costo menos el cuadrado del número de unidades fabricadas, dividido por el producto del costo y el número de unidades fabricadas. Hallar la relación entre el costo y el número de unidades fabricadas si y=3 cuando x=1.



3) El arrendamiento de un apartamento (dos alcobas, muebles “estándar”) en un colegio varía con la distancia del apartamento al campus. Supóngase que esta relación está dada

por: dydx

=−( kx +a),1≤x ≤10 en que y es el arrendamiento mensual (en dólares) y x es la

distancia (en millas), k y a son constantes, si y=225 cuando x=1; hallar y como una función de x.

3.9.1. MODELOS ECONOMICOS

Hay dos tipos generales de modelos económicos, que se designan por estático o dinámico. Los modelos

estáticos se refieren a situaciones de equilibrio, es decir, situaciones que si son alcanzadas se mantendrán.

Los modelos dinámicos están relacionados con situaciones que cambian con respecto al tiempo. En los

modelos dinámicos interviene el tiempo explícitamente como una variable, o implícitamente en la forma

de variable retrasada (o con rezagos).

En los modelos económicos hay dos clases generales de variables que se denominan endógenas y

exógenas. Las variables endógenas son aquellas cuyos valores o niveles han de ser predichos o explicados;

las variables exógenas se suponen determinadas y conocidas de antemano, y pueden considerarse

constantes en el modelo. Los calificativos de endógena y exógena provienen de términos griegos y

significan, como en otros contextos “generada desde el interior” y “generada desde el exterior”,

respectivamente. Las variables endógenas se predicen a partir del modelo, en tanto que las variables

exógenas son determinadas por fuera del modelo.

De ordinario un modelo se formula primero en términos de ecuaciones estructurales que expresan

relaciones entre variables endógenas y exógenas. Este sistema de ecuaciones estructurales se resuelven

luego (si es posible) para determinar las que se llaman las ecuaciones de forma reducida, cada una de las

cuales expresa una variable endógena como función de variables exógenas y de parámetros. Se resuelve

un modelo al obtener una ecuación de forma reducida para cada variable endógena que haya en el

mismo.

A) MODELO MACROECONOMICO DE DOMAR:

El siguiente modelo macroeconómico simple fue propuesto por E. D. Domar.

S ( t )=αy ( t )

I (t )=β dydt

S (t )=I (t )

y (0 )= y0

α>0 , β>0

En donde S es el ahorro, I es la inversión, y es el ingreso, y cada una de éstas variables endógenas es

una función del tiempo.

La primera ecuación establece que el ahorro es una proporción fija del ingreso; la segunda, que la

inversión es proporcional a la tasa de cambio del ingreso con respecto al tiempo; y la tercera, que el

ahorro es igual a la inversión; la cuarta expresa la condición inicial. A partir de estas relaciones

pueden obtenerse funciones específicas que expresan cambios en las variables con respecto al

tiempo.

Puesto que



S (t )=I (t )

αy ( t )=β dydt

Y la ecuación diferencial

dydt

−αβy=0

Se obtiene para la solución. Al separar las variables e integrar resulta.

1ydy−α

βdt=0⟹ Lny−α

βt=C

Lny−αβt=LnK ,C=LnK

Lny−LnK=αβt⟹ ln ( yK )=α

βt

yk=e

αβ t⟹ y=K e

αβ t

Si y = y0 cuando t = 0, entonces

y0=K

Y la solución particular es

y= y0eαβ t

Obsérvese que esta solución da el ingreso y como función del tiempo t, puesto que α > 0, β > 0, la

gráfica de la función tiene pendiente positiva creciente, y la tasa de incremento depende de αβ

.

Las soluciones para las variables restantes del modelo I y S son las siguientes

I=S=αy=α y0 eαβ t

B) MODELO DE DEUDA DE DOMAR

Domar emplea un conjunto de modelos semejantes al modelo macroeconómico anterior para

expresar las relaciones entre el ingreso nacional y la deuda nacional. Consideremos el modelo:

dDdt

=αy (t)

dydt

=β

y (0 )= y0

D (0 )=D 0

α>0 , β>0

Donde D es la deuda nacional e y es el ingreso nacional (ambas variables son endógenas). En este

modelo, el ingreso nacional crece a una tasa constante β a través del tiempo, y la tasa de incremento

de la deuda nacional es una proporción fija del ingreso nacional. La tercera y cuarta ecuación

establecen las condiciones iniciales. Integrando la segunda ocasión se obtiene:

y=βt+C



Puesto que y = y0 cuando t = 0, se obtiene que C = y0 y entonces

y=βt+ y0

Sustituyendo en la primera ecuación del modelo.

dDdt

=αβt+α y0

D=12αβt 2+α y0 t+C

Como D = D0 cuando t = 0, entonces C = D0, y así

D=12αβt 2+α y0 t+D 0

Domar tenía interés en el estudio de la razón de la deuda nacional al ingreso nacional:

D(t)y ( t )

=

12αβ t2+α y0 t+D0

βt+ y0

O sea,

D(t)y ( t )

=D0

βt+ y0+α y0 tβt+ y0

+

12αβ t2

βt+ y0

Cuando t→∞,D0

βt+ y0→0

α y0tβt+ y0

→α y0

β(unaconstante)

12αβ t2

βt+ y0→∝

De modo que cuando t→∞, D(t)y (t )

→∝ y para este modelo, la razón de la deuda nacional al

ingreso nacional crece sin límite a través del tiempo.

C) MODELO DE AJUSTE DE PRECIOS DE EVANS

Este modelo, propuesto por G. C. Evans, corresponde a un mercado particular para un determinado

satisfactor en el que las ecuaciones de demanda y de oferta son las mismas que las del modelo lineal

ordinario, y pueden resolverse en la forma usual para obtener el precio de equilibrio. Además, hay

una ecuación que establece que la tasa de cambio del precio en el tiempo es proporcional al exceso

de la demanda (es decir, d – s, donde d = demanda y s = oferta). Este factor de proporcionalidad es

positivo, lo cual implica que un exceso de demanda positivo causará una elevación en el precio, y un

exceso de demanda negativo ocasionará un descenso del precio.

d (t )=α 0+α1 p(t)

s ( t )=β0+ β1 p(t)



dpdt

= y (d−s)

α 1<0 , β1>0 , y>0

En donde p es el precio. Sustituyendo las primeras dos ecuaciones en la tercera se obtiene

dpdt

= y [α 0−β0+(α1−β1) p ]

¿ y (α 1−β1) (p−pe )

En que pe=α 0−β0

β1−α 1 es el precio de equilibrio en el modelo obtenido en la forma usual resolviendo

d(t) = s(t) para determinar p(t), que es el precio de equilibrio. Haciendo

λ= y (α 1−β1)

dpdt

=λ ( p−pe )⟹ 1p−pe

dpdt

=λ⇒ ln ( p−pe )= λt+C⇒ ln ( p−pe )=λt+LnK ,C=ln K

ln ( p−pe)−LnK= λt⟹ ln( p−pe

K )= λt⇒p−pe

K=eλt⇒ p−pe=K eλt⇒ p=pe+K eλt

Puesto que p = p0 cuando t = 0, entonces C = p0 – pe y

p=pe+( p0−pe )eλt

En donde, como se señaló anteriormente,

pe=α 0−β0

β1−α 1

Y

λ= y (α 1−β1)

Como < 0, entonces p→pe, cuando t→∞ .


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Unidad III - Ecuaciones Diferenciales Ordinarias