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Matemática ejercicios resueltos de integrales
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UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADORFACULTAD DE ARQUITECTURA Y URBANISMO
Nombre: Andrea RodriguezSemestre: Segundo Paralelo 3
Hallar las siguientes integrales. Empleando las principales reglas y fórmulas de integración:
1051.-∫ adxa−x
¿−a∫ duuu=a−x ;du=−dx
¿−aIn|u|+C=−a∈|a−x|+C
∫ adxa−x
=−a∈|a−x|+C
1053.- ∫ 1−3 x3+2 xdx
¿∫(−32 +
112
3+2x )dx 1−3 x3+2 x
=−32
+
92+1
3+2x=
−32
+
112
3+2x
¿−32∫ dx+
114 ∫ dx
2x+3u=3+2x ;du=2dx
¿−32∫ dx+
114 ∫ duu
¿−32x+ 114
∈|2 x+3|+C
∫ 1−3 x3+2 xdx=−3
2x+ 114
∈|2x+3|+C
1055.- ∫ ax+bαx+β
dx
¿∫ aα dx—∫aβ+αbα
+b
αx+βdx ax+b
αx+β=aα−
αβα
+b
αx=∫( aα−
αβα
+b
αx )d x
¿ aα∫ dx−
aβ+αbα ∫ dx
aβ+αbu=αx+β ;du=αdx
¿ aα∫ dx−
aβ+αbα 2
∫ duu
¿ aαx−aβ+αb
α2∈|u|+C
¿ aαx−aβ+αb
α2∈|αx+β|+C
∫ ax+bαx+β
dx=aαx−aβ+αb
α2∈|αx+β|+C
1057.-∫ x2+5 x+7x+3
dx
¿∫( x+2+ 1x+3 )dx x2+5 x+7
x+3=x+2+ 1
x+3
¿∫ xdx+2∫ dx+∫ 1x+3
dx u=x+3 ;du=dx
¿ x2
2+2x+¿|u|+C
∫ x2+5 x+7x+3
dx= x2
2+2 x+¿|x+3|+C
1059.- ∫(a+ bx−a )
2
dx
¿∫(a2+ 2abx−a+ b2
(x−a )2 )dxu=x−a ;du=dx
¿a2∫dx+2ab∫ dxx−a
+b2∫ dx
( x−a )2
¿a2∫dx+2ab∫ duu +b2∫ duu
¿a2 x+2ab∈|u|+b2 u−1
−1+C
∫(a+ bx−a )
2
dx=a2 x+2ab∈|x−a|− b2
x−a+C
1061.- ∫ bdy
√1− y
¿−b∫ du
√uu=1− y ;du=−dy
¿−b∫ u−12 du
¿−2bu12+C
∫ bdy
√1− y=−2b (1− y )
12+C
1063.- x
√x2+1dx
¿ 12∫
du
√uu=x2 ;du=2xdx
¿ 12∫ u
−12 du
¿12u12
12
+C=(x2+1 )12+C
∫ x
√ x2+1dx=(x2+1 )
12+C
1065.- ∫ dx
3 x2+5
Reemplazo: Integración por partes:
¿ 1√3∫
du
u2+a2u2=3 x2 ;u=√3 x ;du=√3dx
¿ 1√3×1aarc tg
ua+C a2=5 ;a=√5
¿ 1√3×1√5arc tg √3 x
√5+C
∫ dx3 x2+5
=√1515
arc tg√ 3 x5 +C
1069.- ∫ x3
a2−x2dx
Cambio de variable:
¿−∫ xdx−∫ a2 xdxx2−a2
u=x2−a2 ;du=2xdx
¿−∫ xdx−a2∫ xdx
x2−a2
¿−∫ xdx−a2
2∫ duu
¿− x2
2−a
2
2∈|u|+C
¿− x2
2−a
2
2∈|x2−a2|+C
¿∫ x3
a2−x2dx=−x2
2−a
2
2∈|x2−a2|+C
1073.- ∫ 2 x−53 x2−2
dx
¿ 13∫
3 (2 x−5 )3 x2−2
dx u=3x2−2 ;du=6 x dx
¿ 13∫
6 xdx
3x2−2−153 ∫ dx
3 x2−2
¿ 13∫
6 xdx
3x2−2−53∫
dx
(x2−23 )¿ 13∫
6 xdx
3x2−2−53∫
dx
x2−(√ 23 )2
¿ 13∫
duu
−53∫
dx
x2−(√ 23 )2
¿ 13∈|u|+C1−
53∫
dx
x2−(√ 23 )2
Reemplazo: Cambio de variable:
¿ 13∈|u|+C1−
53∫
dv
v2−a2v=x ; dv=dx a=√ 23
¿ 13∈|3 x2−2|+C1−
5312a
∈|v−av+a |+C2
¿ 13∈|3 x2−2|−5
3 [ 1
2√ 23∈|x−√ 23x+√ 23 |]+C
¿ 13∈|3 x2−2|− 5
√32√2∈|√3 x−√2
√3 x+√2|+C∫ 2 x−53 x2−2
dx=13∈|3 x2−2|− 5
2√6∈|√3 x−√2
√3x+√2 |+C
1075.- ∫ 3 x+1
√5x2+1dx
Reemplazo: Integración por partes:
¿3∫ xdx
√5 x2+1+∫ dx
(x√5 )2+12u=5x2+1 ;du=10 x dx
¿3∫ xdx
√5 x2+1+∫ dx
(x√5 )2+12v=x √5 ;dv=√5dx
¿ 310∫
du
√u+ 1
√5∫dv
√v2+12
¿310u12
12
+1
√5∈|v+√v2+1|+C
¿ 35√5x2+1+ 1
√5∈|x √5+√5 x2+1|+C
∫ 3 x+1
√5x2+1dx=3
5√5 x2+1+ 1
√5∈|x√5+√5 x2+1|+C
1077.- ∫ x dx
x2−5
¿ 12∫
duu
u=x2+5 ;du=2 xdx
¿ 12∈|u|+C
¿ 12∈|x2+5|+C
¿∫ x dx
x2−5=12∈|x2+5|+C
1079.- ∫ ax+ba2 x2+b2
dx
Reemplazo: Integración por partes:
¿a∫ x dx
a2 x2+b2+b∫ dx
a2 x2+b2u=a2 x2+b2;du=2a2 xdx
¿ a
2a2∫ duu
+ ba∫
dv
v2+b2v=ax ;dv=adx
¿ 12∈|u|+ b
a1barc tg
vb+C
¿ 12∈|a2 x2+b2|+ 1
aarc tg
axb
+C
∫ ax+ba2 x2+b2
dx=12∈|a2 x2+b2|+ 1
aarc tg
axb
+C
1081.- ∫ x2
1+x6dx
¿∫ x2dx
1+ (x3 )2u=x3 ;du=3 x2
¿ 13∫
du
1+u2
¿ 13arc tg|u|+C
¿ 13arc tg x3+C
¿∫ x2
1+x6dx=1
3arc tg x3+C
1083.-∫√ arc sen x1−x2dx
¿ 12∫ √ arc senx1−x2
dx u=arc senx; du= dx
√1−x2
¿ 22∫ √udu
¿22u32
32
+C
¿ 23u32+C
¿ 23√ (arc senx )3+C
¿ 23√ (arc senx )3+C
∫√ arc sen x1−x2dx=2
3√ (arc senx )3+C
1085.- ∫ x−√arc tg 2x1+4 x2
dx
Reemplazo: Integración por partes:
¿∫ xdx1+4 x2
−∫ √arc tg 2x1+4 x2
dx u=1+4 x2 ;du=8xdx
¿ 18∫ duu
−12∫v
12 dv v=arc tg 2x ;dv= 2dx
1+4 x2
¿18∈|u|−1
2v32
32
+C
¿ 18∈|1+4 x2|−2 (arc tg3 x )
32
3+C
∫ x−√arc tg 2x1+4 x2
dx=18∈|1+4 x2|−2 (arc tg3 x )
32
3+C
1087.- ∫ ae−mxdx
¿a∫e−mx dx u=−mx ;du=−mdx
¿− am∫ e
udu
¿− ameu+C
¿− ame−mx+C
∫ ae−mxdx=−ame−mx+C
1089.- ∫ (et−e−t )dt
¿∫e tdt−∫e−tdt u=−t ;du=−dt
¿∫e tdt−∫eudt
¿e t+eu+C
¿e t+e−t+C
∫ (et−e−t )dt=e t+e−t+C
1093.- ∫ e−(x2+1) x dx
¿∫e− x2−1 xdx u=−x2−1; du=−2 x dx
¿−12∫ e
udu
¿−12eu+C
¿−12e−(x2+1)+C
¿− 1
2ex2+ 1
+C
∫ e−(x2+1) x dx= −12ex
2+1+C
1095.- ∫ e1x
x2dx
¿−∫ eudu u=1x;du=−dx
x2
¿−eu+C
¿−e1x+C
¿− x√e+C
∫ e1x
x2dx=− x√e+C
1097.- ∫ ex
ex−1dx
¿∫ duuu=ex−1 ;du=ex dx
¿∈|u|+C
¿∈|ex−1|+C
∫ ex
ex−1dx=¿|e x−1|+C
1099.- ∫ (e xa+1)13exa dx
¿∫3√e xa+1e xa dx u=e
xa+1;du=
exa
adx
¿a∫u13 du
¿au
43
43
+C
¿3a(e xa+1)
43
4+C
∫ (exa+1)
13exa dx=
3a(e xa+1)43
4+C
1101.- ∫ axdx1+a2 x
¿∫ axdx
1+ (ax )2u=ax ;du=ax Ina dx
¿ 1Ina
arc tgu+C
¿ 1Ina
arc tgax+C
∫ axdx1+a2 x
= 1Ina
arc tg ax+C
1103.- ∫ e tdt1−e2 t
¿∫ e tdt
√1−(e t )2u=et ;du=etdt
¿∫ du
√1−u2
¿arc senu+C
¿arc sene t+C
∫ e tdt1−e2 t
=arc sen et+C
1105.- ∫cos x√2 dx
¿√2∫ cosudu u= x
√2;du= dx
√2
¿√2 senu+C
¿√2 sen x√2
+C
∫cos x√2 dx=√2 sen x√2
+C
1107.- ∫cos √x dx√x
¿2∫ cosudu u=√x ;du= dx
2√ x
¿2 senu+C
¿2 sen √x+C
∫cos √x dx√x=2 sen √x+C
1109.- ∫ se n2 x dx
¿∫ 1−cos2 x2dx
u=2x ;du=2dx
¿ 12∫ dx−
12∫cos2 x dx
¿ 12∫ dx−
14∫cosu du
¿ 12x−14senu+C
¿ 12x−14sen 2x+C
∫ se n2 x dx=12 x−14sen 2x+C
1111.- ∫ sec2 (ax+b )dx
¿ 1a∫ se c
2uduu=ax+b ;du=adx
¿ 1atgu+C
¿ 1atg (ax+b )+C
∫ sec2 (ax+b )dx=1atg (ax+b )+C
1113.- ∫dx
senxa
¿∫cosec xa dx u= xa;du=dx
a
¿a∫cosecu du
¿aIn|cosec u−cotgu|+C
¿aIn|cosec xa−cotg xa|+C
∫ dx
senxa
=aIn|cosec xa−cotg xa|+C
1115.- ∫ dxsen (ax+b )
¿∫cosec (ax+b )dx u=ax ; du=adx
¿ 1a∫cos ecudu
¿ 1a∈|cosec u−cotgu|+C
¿ 1a∈|cosec (ax+b )−cotg (ax+b )|+C
∫ dxsen (ax+b )
=1a∈|cosec (ax+b )−cotg (ax+b )|+C
1117.- ∫ xsen (1−x2)dx
¿−12∫ senu du
u=1−x2;du=−2 x dx
¿ 12cosu+C
¿ 12cos (1−x2)+C
∫ xsen (1−x2)dx=12 cos (1−x2 )+C
1119.- ∫ tgx dx
¿∫ ( secx−1 )dx
∫ secx dx−dx
1121.- ∫ cotg xa−b
dx
¿ (a−b )∫cotgu du u= xa−b
;du= dxa−b
¿ (a−b )∈|senu|+C
¿ (a−b )∈|sen xa−b|+C
∫ cotg xa−b
dx=(a−b )∈|sen xa−b|+C
1123- ∫ tg √ x dx√x
¿2∫ tgudu u=√x ;du= dx2√ x
¿2∈|secu|+C
¿2∈|sec √ x|+C
∫ tg √ x dx√x
=2∈|sec√ x|+C
1125.- ∫ dxsenx cosx
¿∫ dx12sen2 x
u=2x ;du=2dx
¿∫cosecu du
¿∈|cosecu−cotgu|+C
¿∈|cosec2 x−cot g2 x|+C
∫ dxsenx cosx
=¿|cosec 2x−cotg 2x|+C
1127.- ∫ sen36 xco6 x dx
¿ 16∫u
3duu=sen6 x ;du=6cos6 xdx
¿ 16u4
4+C
¿ u4
24+C
¿ sen46 x24
+C
∫ sen36 xco6 x dx= sen46 x24
+C
1129.- ∫ sen3 x3+cos3 x
dx
¿−13∫
duu
u=3+cos3 x ; du=−3 sen3 xdx
¿−13∈|u|+C
¿−13∈|3+cos 3x|+C
∫ sen3 x3+cos3 x
dx=−13
∈|3+cos3 x|+C
1131.- ∫√1+3cos2 x sen2 x dx
¿∫√1+3( 1+cos2 x2 )sen2 xdx
¿∫√1+ 3+3cos 2x2sen2 xdx
¿∫√ 5+3cos 2x2sen2 xdx u=5+3cos 2x
2;du=−3 sen2xdx
¿−13∫ u
12 du
¿−13u32
32
+C
¿−29u32+C
¿−29 ( 5+3cos 2x2 )
32+C
∫√1+3cos2 x sen2 x dx=−29 ( 5+3cos2 x2 )
32+C
1133.- ∫ √tgxcos2 x
dx
¿∫√ tgx sec2 xdx u=tgx ;du=sec2 x dx
¿∫u12 du
¿u32
32
+C
¿ 23t g
32 x+C
∫ √tgxcos2 x
dx=23t g
32 x+C
1135.- ∫ 1+sen 3xcos23 x
dx
Reemplazo: Integración por partes:
¿∫ dx
cos23x+∫ sen3 x
cos23xdx
u=sen3 x ;du=3 dx
¿ 13∫ sec
2udu+ 13∫
senu
cos2udu
v=cosu; dv=−senudu
¿ 13∫ sec
2udu+ 13∫
dv
v2
¿ 13tgu+ 1
3 v+C
¿ 13tgu+ 1
3cosu+C
¿ 13tg3 x+ 1
3cos3 x+C
∫ 1+sen 3xcos23 x
dx=13tg3 x+ 1
3cos3 x+C
1137.- ∫ cosec23 xb−actg 3 x
dx
¿ 13a∫
duu
u=b−actg3 x ;du=3acosec23x dx
¿ 13a
∈|u|+C
¿ 13a
∈|b−actg3 x|+C
∫ cosec23 xb−actg 3 x
dx= 13a
∈|b−actg3 x|+C
1192.- ∫ x (2x+5 )10 dx
¿∫ u−52 u10du2
u=2x+5 ;du=2dx
¿ 14∫ (u−5 )u10du u−5=2 x→ x=u−5
2
¿ 14∫ (u11−u10 )du
¿ 14∫ u
11du−54∫u
10du
¿ 14u12
12−54u11
11+C
¿ 148u12− 5
44u11+C
¿ 148
(2x+5 )12− 544
(2x+5 )11+C
∫ x (2x+5 )10dx= (2x+5 )12
48−5 (2 x+5 )11
44+C
1993.- ∫ 1+x1+√ x
dx
¿∫ 1+u2
1+udx×2u du
u=√x
¿2∫ u3+1u+1
duu2=x
¿2∫(u−u+2− 2u+1 )du dx=2udu
¿2[ u33 −u2
2+2u−2 ln|u+1|]+c
∫ 1+x1+√ x
dx=2[ √x33 − x2+2√x−2 ln|√x+1|]+c
1194.-∫ x
x √2 x+1dx ¿∫ 2x+1+22 x+1
dx
¿∫( 2 x+12 x+1+ 22x+1 )dx
¿∫(1+ 22 x+1 )dx
¿∫dx+∫ 2dx2x+1
¿ x+∫ d (2x+1)(2 x+1)
∫ x
x √2 x+1dx=x+ln|2 x+1|+c
1195.- ∫ dx
√ex−1
∫ dx
√ex−1=∫
2 tdt
t 2+1t
=2∫ dtt 2
=2arctg1+c
∫ dx
√ex−1=2arctge (√ex−1 )+c
ex dx=2 tdt → dx=2 tdt
t2+1
1196. ∫ ¿2 x¿4 x
dxx
¿4 x=(2×2x )=¿2+¿2x u=¿4 x ;du=dxx
u=¿2+¿2x
¿2 x=u−¿2
∫¿2 x¿4 x
dxx
¿ ∫ u−¿2u
du
¿ ∫ du− ∫ ¿2udu
¿ ∫ du−¿2 ∫ duu
¿u−¿2|u|+c
¿∈4 x−¿2 [¿ (¿ 4 x ) ]+c
∫ ¿2 x¿4 x
dxx
=¿ 4 x−¿2 [¿ (¿4 x ) ]+C
1197.- ∫ (arc senx )2
√1−x2dx
¿∫ xarc senx√1−x2dx u=arc senx; du= dx
√1−x2
¿−√1−x2arc sen x+∫ dx dv= xdx
√1−x2; v=−√1−x2
¿−√1−x2arc senx+x+C
∫ (arc senx )2
√1−x2dx=−√1−x2arc senx+x+C
1211.- ∫ Inxdx
∫udv=uv−∫vdu
u=Inx ;du=dxx
∫ Inxdx=Inx(x)−∫ x( dxx ) dv=1dx ;v=x
¿ xInx−∫ dx
¿ xInx−x+C
¿ x (Inx−1 )+C
∫ Inxdx=x ( Inx−1 )+C
1222.- ∫ (x2+5 x+6 )cos2 xdx
∫udv=uv−∫vdu u=x2+5 x+6 ;du=(2x+5 )dx
∫ x2+5 x+6 (cos2 x )=x2+5 x+6( 12 sen2 x)−∫ 12 sen2 x (2 x+5 )dxdv=cos2 x ; v=12sen2 x
¿∫ (x2+5 x+6 )2
sen2 x−12∫ (2 x+5 ) sen2 xdx
Segunda derivada
u=2x+5 ;du=2dx
dv=sen2 xdx ;v=−12cos 2x
¿ 12sen 2x (x2+5 x+6 )−1
2 [ (2 x+5 )(−12 cos2 x)+∫cos 2xdx ]¿ x
2+5 x+62
sen2 x+ 14cos2x (2x+5 )−1
2∫ cos2 xdx
¿ x2+5 x+62
sen2 x+ 2 x+54
cos2 x−14∫sen 2x+C
∫ (x2+5 x+6 )cos2 xdx= x2+5 x+62
sen2 x+ 2 x+54
cos 2x−14∫ sen2x+C
1223.- ∫ x2 Inxdx
∫udv=uv−∫vdu u=Inx ;du=dxx
∫ Inx (x2dx)=Inx( x33 )−∫( x33 )( dxx ) dv=x2dx ;v= x3
3
¿ Inx( x33 )−13∫ x2dx¿ x
3 Inx3
−13∫ x2dx
¿ x3 Inx3
− x3
9+C
∫ x2 Inxdx= x3 Inx3
− x3
9+C
1224.- ∫¿2 xdx
∫udv=uv−∫vdu u=¿2 x ;du=2 Inx 1xdx
∫¿2 x1dx=¿2 x ( x )−∫ ( x )(2 Inx 1x dx) dv=1dx ;v=x
¿ x¿2 x−2∫ Inx 1x xdx
¿ x¿2 x−2∫ Inxdx
∫ Inxdx=x ( Inx−1 )+C
¿ x¿2 x−2 [ x ( Inx−1 )+C ]
¿ x¿2 x−2 x (Inx−1 )+C
∫¿2 xdx=x ¿2 x−2x ( Inx−1 )+C
1225.- ∫ Inx
x3dx
∫udv=uv−∫vdu u=Inx ;du=dxx
∫ x−3Inxdx=Inx( −1
2 x2 )— ( −12 x2 )( dxx ) dv=x−3dx ;v=−1
2 x2
¿− Inx2 x2
+ 12∫ x
−3dx
¿− Inx2 x2
− 1
4 x2+C
∫ Inx
x3dx=−Inx
2x2− 1
4 x2+C
1233.- ∫3x cos xdx
∫udv=uv−∫vdu u=cosx ;du=−senxdx
∫3x cos xdx=cosx 3x
¿3+ 1
¿3∫3x senx dx dv=3x dx; v= 3x
¿3
¿cosx 3x
¿3+ 1
¿3 ( 3x¿3senx− 1
¿3∫3xcosx dx ) u=senx ;du=cosx dx
¿cosx 3x
¿3+ 3
x senx¿23
− 1¿23
∫3x cosx dx dv=3x dx; v= 3x
¿3d
∫3x cos xdx= 3x
¿3 (cosx+ senx¿3 )− 1¿23
∫3x cosx dx
∫3x cos xdx (1+ 1¿23 )= 3
x
¿3 (cosx+ senx¿3 )+C
( ¿23+1¿23 )∫ 3x cosx dx= 3x
¿3 (cosx+ senx¿3 )+C
∫3x cosx dx=3x (¿3 )
¿23+1 (cosx+ senx¿3 )+C
∫3x cos xdx=∫ 3x cosx dx=3x (¿3 )
¿23+1 (cosx+ senx¿3 )+C
1234.- ∫ eax senbx dx
∫udv=uv−∫vdu
u=senbx ;du=bcosbx dxdv=eaxdx ; v=1aeax
∫ eax senbx dx= eax senbxa
−ba ( e
ax cosbxa
+ ba∫ eax senbx dx )
∫ eax senbx dx=¿ eax senbxa
−b eax cosbxa2
−b2
a2∫eax senbx dx¿
1+ b2
a2=a
2+b2
a2
( a2+b2a2 )∫ eax senbx dx=aeax senbx−b eax cosbxa2+C
∫ eax senbx dx=aeax senbx−beaxcosbx
a2
( a2+b2
a2 )+C
∫ eax senbx dx=aeax senbx−b eax cosbx
a2+b2+C
∫ eax senbx dx= eax (asenbx−bcosbx )
a2+b2+C
∫ eax senbx dx= eax (asenbx−bcosbx )
a2+b2+C
1235.-∫ sen ( Inx )dx
∫udv=uv−∫vdu u=sen ( Inx ) ;du= cos ( Inx )x
dx
dv=dx ; v=x
∫ sen ( Inx )dx=sen ( Inx )∗( x )−∫ x ( cos ( Inx )x
dx)∫ sen ( Inx )dx=sen ( Inx )∗( x )−∫ cos ( Inx )dx
∫udv=uv−∫vdu u=cos ( Inx ) ;du=−sen ( Inx )x
dx
dv=dx ; v=x
∫ sen ( Inx )dx=cos (Inx )∗( x )−∫ x (−sen (Inx )x
dx)¿ xsen ( Inx )−[ xcos ( I nx )+∫ sen ( Inx )dx ]¿ xsen ( Inx )−xcos ( Inx )−∫ sen ( Inx )dx
∫ sen ( Inx )dx=x [sen ( Inx )−cos ( Inx ) ]−∫ sen ( Inx )dx
∫ sen ( Inx )dx+∫ sen ( Inx )dx=x [sen (Inx )−cos ( Inx ) ]
2∫ sen ( Inx )dx=x [sen (Inx )−cos ( Inx ) ]+C
∫ sen ( Inx )dx=¿ x2
[sen ( Inx )−cos ( Inx ) ]+C ¿
∫ sen ( Inx )dx=¿ x2
[sen ( Inx )−cos ( Inx ) ]+C ¿
1238.- ∫ (x2−2x+3 ) Inx dx
∫udv=uv−∫vdu u=Inx ;du=dxx
dv=(x2−2x+3 ) dx ;v= x3
3−x2+3x
∫ (x2−2x+3 ) Inx dx=( Inx )( x33 −x2+3 x)−∫( x33 −x2+3 x) dxx¿ ( Inx )( x33 −x2+3 x)−∫( x3dx3 x − x
2dxx
+3 xdxx )
¿ ( Inx )( x33 −x2+3 x)−∫( x23 −x+3)dx
¿ ( Inx )( x33 −x2+3 x)−∫ x2
3dx−∫ xdx+3∫dx
¿ ( Inx )( x33 −x2+3 x)− x3
3∗3− x
2
2+3 x+C
¿ ( Inx )( x33 −x2+3 x)− x39 − x2
2+3x+C
∫ (x2−2x+3 ) Inx dx=¿( x33 −x2+3 x )Inx− x39 − x2
2+3x+C ¿
1239.- ∫ xIn 1−x1+xdx
∫udv=uv−∫vdu u=¿ 1−x1+x
;du= 2dx
x2−1
dv=xdx ;v= x2
2
∫ xIn 1−x1+x
dx=(¿ 1−x1+x )( x2
2 )−∫ x2
2 ( 2dxx2−1 )¿(¿ 1−x1+x )( x
2
2 )−∫ x2dxx2−1
¿(¿ 1−x1+x )( x2
2 )−∫(1+ 1x2−1 )dx
¿ x2
2∈1−x1+x
−∫dx−∫ dxx2−1
¿ x2
2∈1−x1+x
−x−12∈ 1−x1+x
+C
∫ xIn 1−x1+x
dx= x2
2∈1−x1+x
−x−12∈ 1−x1+x
+C
1240.- ∫ ¿2 xx2dx
∫udv=uv−∫vdu u=I n2 x ;d u=2∈xxdx
∫ ¿2 xx2dx=I n2 x (−1x )—∫−1
x (2∈xx dx ) dv=x−2dx ;v=−1x
¿− I n2 xx
+2∫ Inxx2dx
¿− I n2 xx
+2∫ x−2 Inx dx
∫udv=uv−∫vdu u=¿ x ;du=dxx
¿− I n2 xx
+2(−Inxx +∫ dxx2 ) dv=x−2dx ;v=−1
x
¿− I n2 xx
−2 Inxx
+2∫ dxx2
¿− I n2 xx
−2 Inxx
−2x+C
∫ ¿2 xx2dx=−I n2 x
x−2 Inx
x−2x+C
1241.- ∫ ¿ ( Inx )x
dx
∫ ¿ ( Inx )x
dx=∫ Inw dw w=Inx ;dw=dxx
∫udv=uv−∫vdu u=Inw ;du=dww
¿wInw−∫w dwwdv=dw ;v=w
¿wInw−∫dw
¿w Inw−w+C
¿w ( Inw−1 )+C
¿ Inx [¿ (Inx )−1 ]+C
∫ ¿ ( Inx )x
dx=Inx [¿ ( Inx )−1 ]+C
1276.-∫ cosxdx
sen2 x−6 senx+12
¿∫ cosxdx
(senx−3 )2+3
∫ cosxdx
sen2 x−6 senx+12= 1
√3arctg ( senx−3√3 )+c
1277.-∫ exdx
√1+ex+ex+e2x
¿∫ ex dx
√1+ex+ex+e2 x
¿∫ exdx
√(ex+ 12 )2
+ 34
∫ exdx
√1+ex+ex+e2x=ln|ex+ 12 √1+ex+e2x|+C
1278.-∫ sen x dx
√cos2 x+4cos x+1
¿∫ sen x dx
√(cos x+2)2−3
∫ sen x dx
√cos2 x+4cos x+1=−ln|cos x+2+√cos2 x+4cos x+1|+C
1279.-∫ ln x dx
x √1−4 ln x−ln2 x
¿∫ ln xdx
x √5−( ln x+2 )2
¿∫ ln xdx
x √5−( ln x+2 )2
¿∫ (u−2 )du
√5−u2
¿∫ udu
√5−u2−2∫ du
√5−u2=¿¿
¿−√5−u2−2sin−1( u√5 )+c
∫ ln x dx
x √1−4 ln x−ln2 x=−√1−4 ln x−ln2 x−2sin−1( ln x+2√5 )+c
u=ln x+2
du=dxx
ln x=u−2
1307.-∫√a−bx dx
¿∫√a−bxdx
¿∫(a−bx)1/2dx
¿∫ (a−bx )3/2
3 /2dx
¿∫ (a−bx )3/2
3 /2+C
∫ √a−bx dx=∫ 2√(a−bx)3
3+C
1337.-∫ dx
√ x3 3√1+ 4√x3
u3=1+ 14√ x3
;u= 3√1+ 14√x3
4√ x3= 1
u3−1; 4√ x=
3√1u3−1
= 13√u3−1
4√ x7= 1
(u3−1 )73
;4√x3= 1
(u3−1 )2
u3=1+ 14√ x3
;3u2du=−3dx44√x7
;dx=−4u2du
(u3−1 )73
¿∫ dx
√x3 3√1+ 4√x3
¿∫ −4u2 (u3−1 )2
(u3−1 )73 .
3√u3u3−1
du
¿−4∫ u2 (u3−1 )2 (u3−1 )
13
(u3−1 )73u
du
−4∫ udu=−2u2+c
¿−2( 3√1+ 14√x3 )
2
+c
∫ dx
√ x3 3√1+ 4√x3=−2 (3√1+x
−34 )2+c
1377.-∫ dx8−4sin x+7cos x
¿∫2dt
1+ t2
8− 8 t1+t2
+7− 7 t2
1+t 2
¿2∫ dt
t 2−8 t+15
¿2∫ dt
(t−4 )2−1
¿ ln|t−4−1t−4+1 |+c¿ ln|t−5t−3|+c
∫ dx8−4sin x+7cos x
=ln| tan x2−5
tanx2−3|+c
1378.- ∫ dxcos x+2sin x+3
¿∫2du
1+u2
1− u2
1+u2+ 4u1+u2
+3
¿2∫ du
2u2+4 u+4
¿2∫ du
2u2+4 u+4
¿∫ du
u2+2u+2
¿∫ du
(u+1 )2+1
¿∫ du
(u+1 )2+1
¿arc tg (u+1 )+c
∫ dxcos x+2sin x+3
=arctg( tg x2 +1)+c
1381.- ∫ dx
1+3cos2 x
¿∫ sec2 xdxsec2 x+3
¿∫ sec2 xdx
tg2 x+4
∫ dx
1+3cos2 x=12ar ctg( tgx2 )+c
1382.-∫ dx
sen2 x+3 sen xcos x−cos2 x
¿∫ 1
sen2 x+3 sen x cos x−cos2 xdx×sec2 ( x )
¿∫ sec 2 ( x )tg2 x+3tg ( x )−1
dx
¿sec 2 ( x )
tg2 x+3 tg ( x )−1u=tg ( x ) ;du=sec2 (x )dx
¿∫ 1
u2+3u−1du
¿∫1
(u+ 32 )2
−134
du
¿
¿
¿1
(u+ 32 )2
−134
¿¿
s=u+32;ds=du
¿∫ 1
s2−134
ds
¿∫ −4
13 (1−4 s213 )ds
¿− 413∫
−1
1−4 s2
13
ds
p= 2 s
√13;dp= 2
√13ds¿− 2
√13∫1
1−p2dp
¿−2 tagh−1 ( p )
√13+C
¿−2 tagh−1( 2 s√13 )
√13+C
¿−2 tagh−1( 2u+3√13 )
√13+C
∫ dx
sen2 x+3 sen xcos x−cos2 x=
−2 tagh−1( 2tg (x )+3√13 )√13
+C
1383.-∫ dx
sen2 x+3 sen xcos x−cos2 x
¿∫ sec2 x dxtg2 x+3tg x−1
∫ sec2 x dx
tg2 x+ 32tg x+ 9
4−134
=∫sec2 xdx
(tg x+ 32 )2
x – (√132 )2
¿
¿
¿1
2 √132
ln|tg x+ 32−√132
tg x+32+ √132
|+C∫ dxsen2 x+3 sen xcos x−cos2 x
= 1√13
ln|2 tg x+3−√132 tg x+3+√13 |+C
1384.-∫ dx
sin2 x−5sin xcos x
¿∫ sec2 x dxtan2 x−5 tan x
¿∫ sec2 xdx
( tan x−52 )2
−( 52 )2
¿ 15ln|tan x−52−52tan x−
52+52|+c
∫ d x
sin2 x−5sin xcos x=15ln| tan x−5tan x |+c
1385.-∫ x √arctg 2x dx1+4 x2
¿∫ xdx1+4 x2
−¿∫ √arctg2 x1+4 x1
dx ¿ u=arctg2 x ;du=12 [ −1
(1+4 x) ]dx¿ 18∫ duu
−1u∫ u2
1
1du
u=(1+4 x)2 ;du=8xdx
∫ x √arctg 2x dx1+4 x2
=18ln|u|−1
3u23+C
1387.- ∫ cos 2x
cos4 x+sen4 xdx
¿∫ cos2 xdxcos4 x+sen4 x+2 x sen2 x cos2 x−2 sen2 x cos2 x
¿∫ cos2 xdx
(cos2 x+sen2 x )2−2 sen2 xcos2 x
¿2∫ cos2 xdx
2−sen22 xln
∫ cos 2xcos4 x+sen4 x
dx= 12√2
ln| √2+sen2 x√2−se n2 x|+c
1389.-∫ dx(2−sen x )(3−sen x )
=¿∫( 12−sen x
¿−1
3−sen x)dx¿¿
¿∫2dz
1+z2
2− 2 z1+z2
−∫2dz
1+ z2
3− 2 z1+z2
¿∫ dz
1+z+z2−∫ 2dz
3−2 z+3 z2
¿2
√3arc ta n2( tan x2−1√3 )− 1
√2arc tan2( 3 tan x2−12√2 )+C
1390.-∫ 1−sen x+cos x1+sen x−cos xdx
1−sen x+cos x1+sen x−cos x
=−1+ 21+sen x−cos x
¿∫(−1+ 21+sen x−cos x )dx
¿−x+2∫2dz
1+z2
1+ 2 z1+z2
−1+ z2
1+z2
¿−x+4∫ dz
1+ z2+2 z−1+z2
¿−x+2∫ dz
z2+z
¿−x+2∫¿¿
¿−x+2 ln [ zz+1 ]+C
∫ 1−sen x+cos x1+sen x−cos xdx=−x+2 ln [ tg x2tg
x2+1 ]+C
1468.-∫ dx2 senx+3cosx−5
¿∫2dt
1+ t2
1−2 2 t1+t 2
−3 1−t1+t 2
tgx2=t ; senx= 2 t
1+t2
¿∫ 2dt
1+ t2−2 (2 t )−3 (1−t 2 ) cosx=1−t2
1+ t2; dx= 2dt
1+ t2
¿∫ 2dt
4 t 2−4 t−2
¿ 12∫
dt
[(t 2−t+ 14 )−12− 14 ]¿ 12∫
dt
(t−12 )2
−34
¿ 12∫
dv
v2−a2
¿ 12.1
2 √32
ln|v−av+a |+C
¿ 12.1
2 √32
ln|t−12−√32
t−12+ √32
+C|
∫ dx2 senx+3cosx−5
= 12√3
ln|2 tg x2−1−√3
2tgx2−1+√3 |+C
1471.-∫ dxsin x sin 2 x
¿∫ sen2 x+cos2 x
2 se n2 x cos xdx
¿∫( 12cos x
+cos x
2 sen2 x )dx¿ 12∫ (sec x+cot x csc x )dx
∫ dxsin x sin 2 x
=12ln|sec x+ tan x|−1
2csc x+C
1473.-∫ sec2 x
√ tg2 x+4 tg x+1dx
¿∫ sec2 xdx
√(tg x+2 )2−3t=tg x+2 ;dt=sec2 x dx
¿∫ sec2 xdx
√(tg x+2 )2−3
¿∫ dt
√t 2−3
¿ ln|t+√ t2−3|+c
∫ sec2 x
√ tg2 x+4 tg x+1dx=ln|tg x+2+√ t g2 x+4 tg x+1|+c
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