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INSTITUTO TECNOLOGICO DE TIJUANA
INGENIERIA CIVIL
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
UNIDAD V: EJERCICIOS
3IC2B
CASTILLO LÓPEZ MARISELA
QUINTERO GAMBOA YARELI
13210153
TIJUANA B.C. 5 DE DICIEMBRE 2013
Ejercicios de la Unidad V
Ejercicio 1. En un Instituto de Enseñanza Secundaria hay matriculados 800 alumnos. Se
seleccionó una muestra aleatoria del 15% de los alumnos, y se les preguntó si utilizaban
la cafetería del instituto. Contestaron negativamente un total de 24 alumnos.
a) Con una confianza del 99%., estima en qué intervalo se encuentra la proporción
de alumnos que utilizan la cafetería del instituto.
Queremos estimar la proporción poblacional mediante una muestra de tamaño:
n = 15% de 800 = 120
con un nivel de confianza del 99%.
El intervalo de confianza es de la forma:
Para un nivel de confianza del 99%, tenemos que 1 - a = 0,99 ® za/2 = 2,575
El valor de pr es el de la proporción de alumnos en la muestra que sí utilizan la
cafetería, es decir:
Por tanto, el intervalo con confianza será:
(0,706; 0,894)
Esto significa que tenemos una confianza del 99% de que la proporción
poblacional se encuentra entre 0,706 y 0,894.
b) Con una confianza del 99%, ¿cuál es el error máximo cometido con la estimación
que nos da la muestra?
P(-zα/2≤z≤zα/2)=0.99→ P(z≤zα/2)=
=0.995
Utilizando las tablas de la distribución Normal N(0,1) para zα/2= 2.575
El error máximo cometido será:
E= zα/2•√
= 2.575•√
= 0.094
Ejercicio 2. Para estimar la proporción de familias de una determinada ciudad que pseen
microondas, se quiere realizar una muestra aleatoria de medida n.
Calcula el valor mínimo de n para garantizar que, a un nivel de confianza del 95%, el error
en la estimación sea menor que 0,05. (Como se desconoce la proporción, se ha de tomar
el caso más desfavorable, que será 0,5).
Para un nivel de confianza del 95%, tenemos que 1 - a = 0,95 ® za/2 = 1,96
En la indicación se nos dice que debemos tomar pr = 0,5.
Y sabemos que E = 0,05.
Sustituyendo en la expresión anterior, tenemos que:
Habrá que tomar una muestra de, al menos, 385 familias.
Ejercicio 3. Se desea estimar la proporción p de individuos daltónicos de una población a
través del porcentaje observado en una muestra aleatoria de individuos de tamaño n.
a. Si el porcentaje de individuos daltónicos en la muestra es igual al 30%, calcula el
valor de n para que, con un nivel de confianza dde 0,95, el error cometido en la
estimación sea inferior al 3,1%.
Para un nivel de confianza del 95%, 1 – α = 0,95 → zα/2 = 1,96
El error máximo admisible es:
E = zα/2 · . Buscamos n para que E < 0,031 (inferior al 3,1%):
1,96 · < 0,031 → n > 839,48
b. Si el tamaño de la muestra es de 64 individuos y el porcentaje de individuos
daltónicos en la muestra es del 35%, determina, usando un nivel de significación
del 1%, el correspondiente intervalo de confianza para la proporción de daltónicos
de la población.
Para un nivel de significación del 1%, tenemos que:
α = 0,01 → 1 – α = 0,99 → zα/2 = 2,575
El intervalo de confianza para p será:
(0,35 – 2,575 · ; 0,35 + 2,575 · ); es decir:
(0,196; 0,504)
La muestra ha de ser, como mínimo, de 840 individuos.
Ejercicio 4. Los parámetros de una variable son: µ = 16.4, σ = 4.8 Nos disponemos
a extraer una muestra de n = 400 individuos. Calcula P[16 < x
– < 17]
P[16 < x– < 17] = P = P[–1,67 < z < 2,5]
= P[z < 2,5] – P[z < –1,67] = P[z < 2,5] – P[z > 1,67]
= P[z < 2,5] – (1 – P[z ≤ 1,67]) = 0,9938 – (1 – 0,9525) = 0,9463
Ejercicio 5. Se sabe que el contenido de fructosa de cierto alimento sigue una distribución
normal, cuya varianza es conocida, teniendo un valor de 0,25. Se desea estimar el valor
de la media poblacional mediante el valor de la media de una muestra, admitiendose un
error máximo de 0,2 con una confianza del 95%.
¿Cuál ha de ser el tamaño de la muestra?
La varianza es 0.25, la desviación típica será:
P(-zα/2≤z≤zα/2)=0.95→ P(z≤zα/2)=
=0.975
Utilizando las tablas de la distribución Normal N(0,1) para zα/2=1.96
La muestra tiene que ser por lo minimo de 25 unidades
Ejercicio 6. La altura de los jóvenes andaluces se distribuye según una ley normal de
media desconocida y varianza 25 cm2.
Se ha seleccionado una muestra aleatoria y con una confianza del 95% se ha construido
un intervalo para la media poblacional cuya amplitud es de 2.45 cm.
a. ¿Cuál ha sido el tamaño de la muestra seleccionada?
Como la varianza es de 25 cm2 la desviación típica será de 5 y para una confianza
del 95%, zα/2=1.96
El tamaño de la muestra seleccionada es de 16 jovenes.
b. Determine el límite superior y el inferior del intervalo de confianza si la muestra
tomada dio una altura media de 1.70 cm.
Si la media de la muestra es de 1.70 cm los limites inferior y superior son:
El limite inferior es 167.55 cm y el superior 172.45 cm
Ejercicio 7.Un fabricante de bombillas garantiza que el tiempo de duración de las
bombillas sigue una normal con media igual a 500 horas y con desviación típica igual a 40
horas.
a) Calcular la probabilidad de que una bombilla elegida al azar dure más de 450
horas.
La distribución es N(500, 40)
b) Para verificar la garantía del fabricante, se hizo una prueba con 49 bombillas
obteniéndose una media muestral de 492 horas. ¿Podemos aceptar que la media
de duración es de 500 horas, con un nivel de confianza del 90%?
Se aceptará que la media es de 500 horas si este valor pertenece al intervalo
Por tanto, se acepta que la media de duración es 500 horas.
Ejercicio 8. Supongamos que, a partir de una muestra aleatoria del tamaño n = 25, se ha
calculado elintervalo de confianza para la media de una población normal, obteniéndose
una amplitudigual a 4. Si el tamaño de la muestra hubiera sido n = 100, permaneciendo
invariables todoslos demás datos, ¿cuál habría sido la amplitud del intervalo?
Ejercicio 9. Una variable aleatoria X tiene una distribución normal siendo su desviación
típica igual a 3.
a) Si se consideran muestras de tamaño 16, ¿qué distribución sigue la variable aleatoria
media muestral?
población: N(µ,3) –> muestra: N(µ,3/√16)
b) Si se desea que la media de la muestra no difiera en más de 1 unidad de la media de la
población, con probabilidad de 0,99; ¿cuántos elementos, como mínimo, deberían tomar
en la muestra?
n=60
E j e r c i c i o 1 0 . A partir de la información suministrada por una muestra aleatoria de
100 familias de cierta ciudad se ha determinado el intervalo de confianza al 99% (42, 58)
para el gasto medio mensual por familia (en euros) en electricidad. Determinar justificando
las respuestas:
a. La estimación puntual que daríamos para el gasto mensual por familia en
electricidad en esa ciudad.
La estimación puntual es la media de la muestra que es:
b. ¿Qué número de familias tendríamos que seleccionar al azar como mínimo para
garantizarnos, con una confianza del 99%, una estimación de dicho gasto medio
con un error máximo no superior a 3 euros?
El error ha de ser 3, al 99% de confianza, le corresponde (tablas de distribución
normal) un zα/2 de 2,576 y como sabemos que el intervalo de confianza al 99% y
con N=100 es (50-8,50+8)
Si queremos que el error máximo sea 3 con un 99% de confianza:
Nuestra muestra minima será de 712 familias.
Ejercicio 11. Se ha tomado una muestra aleatoria de 100 individuos a los que se ha
medido el nivel de glucosa en sangre, obteniédose una media muestral de 110 mg/cc. Se
sabe que la desviación típica de la población es de 20 mg/cc.
a) Obtén un intervalo de confianza, al 90%, para el nivel de glucosa en sangre en la
población.
La desviasion típica de las medias muestrales es :
Calcular zα/2
Utilizando el valor 0.95 en la tablas de la distribución Normal N(0,1) para zα/2=1.645
Intervalod e confianza 90%
c) ¿Qué error máximo se comete con la estimación anterior?
Ejercicio 12. La media de edad de los alumnos que se presentan a pruebas de acceso a
la Universidad es de 18,1 años, y la desviación típica 0,6 años.
La media de las muestras es:
a) De los alumnos anteriores se elige, al azar, una muestra de 100. ¿ Cuál es la
probabilidad de que la media de la edad de la muestra esté comprendida entre
17,9 y 18,2 años?
b) ¿Qué tamaño debe tener una muestra de dicha población para que su media esté
comprendida entre 17,9 y 18,3 años, con una confianza del 99,5%?
El tamaño de la muestra será:
La muestra será de un minimo de 72.
Ejercicio 13. En un determinado barrio se selaccionó al azar una muestra de 100
personas cuya media de ingresos mensuales resultaba igual a 106.000 pta. con una
desviación típica de 20.000 PTAS.
a) Si se toma un nivel de confianza del 95%, ¿cuál es el intervalo de confianza para
la media de los ingresos mensuales de toda la población?
b) Si se toma un nivel de significación igual a 0,01, ¿cuál es el tamaño muestral
necesario para estimar la media de ingresos mensuales con un error menor de
3.000 PTAS?
El tamaño minimo de la uestra será 295 personas.
Ejercico 14. En los folletos de propaganda, una empresa asegura que las bombillas que
fabrica tienen una duración media de 1600 horas. A fin de contrastar este dato, se tomó
una muestra aleatoria de 100 bombillas, obteniendose una duración media de 1.570
horas, con una desviación típica de 120 horas. ¿Puede aceptarse la información de los
folletos con un nivel de confianza del 95%?
Como
Tenemos que rechazar la hopotesis, es decir, no la podemos aceptar la información de
los folletos.
Ejercicio 15. Se sabe que la renta anual de los individuos de una localidad sigue una
distribución normal de media desconocida y de desviación típica 0,24 millones. Se ha
observado la renta anual de 16 individuos de esa localidad escogidos al azar, y se ha
obtenido un valor medio de 1,6 millones de pesetas.
Contrasta, a un nivel de significación del 5%, si la media de la distribución es de 1,45
millones de pesetas.
a. ¿Cuáles son las hipótesis nula y alternativa del contraste?
b. Determina la forma de la región crítica.
c. ¿Se acepta la hipótesis nula con el nivel de significación indicado?
Como:
No se acepta la hipótesis H0
Ejercicio 16. En una comunidad autónoma se estudia el número medio de hijos por mujer
a partir de los datos disponibles en cada municipio. Se supone que este número sigue una
distribución normal con desviación típica igual a 0,08. El valor medio de estos datos para
36 municipios resulta ser igual a 1.17 hijos por mujer. Se desea contrastar, con un nivel de
significación de 0.01 , si el número medio de hijos por mujer en la comunidad es de 1.25.
a. Plantéense cuáles son la hipótesis nula y la alternativa en el contraste.
La hipótesis nula H0, es que la media de hijos por mujer en la comunidad es de
1.25, la hipótesis alternativa es que no:
b. Determínese la región critica del contraste.
c. ¿Es posible aceptar la hipótesis con el nivel de significación indicado?
Se rechaza la hipótesis con el nivel de de significación indicado porque el 1.17
pertenece a la región critica.
Ejercicio 17: Una encuesta realizada a 64 empleados de una fábrica, concluyó que
el tiempo medio de duración de un empleo en la misma es de 6,5 años, con una
desviación típica de 4. ¿Sirve esta información para aceptar, con un nivel de
significación del 5%, que el tiempo medio de empleo en esa fábrica es menor o
igual que 6? Justifica adecuadamente la respuesta.
Como 6.5 años pertenece al intervalo de confianza, podemos aceptar la hipótesis.
Ejercicio 18. El 40% de los escolares de cierto país suelen perder al menos un día de
clase a causa de gripes y catarros. Sin embargo, un estudio sobre 1000 escolares revela
que en el último curso hubo 450 en tales circunstancias. Las autoridades defienden que el
porcentaje del 40% para toda la población de escolares se ha mantenido. Contrastar con
un nivel de significación del 5% la hipótesis defendida por las autoridades sanitarias,
frente a que el porcentaje ha aumentado, como parecen indicar los datos, explicando
claramente a qué conclusión se llega.
p0 = 0.40; n = 1000; pˆ = 450/1000 = 0.45; nivel de significación α = 5% = 0.05
H0: p0 ≤ 0.40
H1: p0 > 0.40
1 - α = 0.95
p(Z ≤ z1-α) = 1 - α = 1 – 0.05 = 0.95
rechazamos la hipótesis nula H0: p0 ≤ 0’40, y aceptamos la hipótesis alternativa
H1 : p0 > 0’40, para un nivel de significación α = 0’05.
Con lo cual, con una probabilidad de equivocarnos del 5%, afirmamos que mas del 40%
Ejercicio 19. Un investigador, utilizando información de anteriores comicios. sostiene que,
en una determinada zona, el nivel de abstención en las próximas elecciones es del 40%
como mínimo.Se elige una muestra aleatoria de 200 individuos, para los que se concluye
que 75 estarían dispuestos a votar.Determina, con un nivel de significación del 1%, si se
puede admitir como cierta la afirmación del investigador.
Hipótesis nula H0: p 0,4
Hipótesis alternativa H1: p < 0,4
Busca la zona de aceptación de la hipótesis nula, que ha de ser un intervalo del tipo (k,
+), tal que P (k X < +) = 0,99, siendo X una distribución
200
6,0·4,0;4,0N ,
que es la que siguen las proporciones en muestras de tamaño
n = 200, suponiendo que p = 0,4. Luego, la zona de aceptación es el intervalo
(0,3556; +)
En la muestra, 125 individuos aún no han decidido si votarán o no, son posibles
abstencionistas.
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