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Ejercicios resueltos, álgebra lineal, espacios vectoriales
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Tarea I
Leonel Eduardo Badilla Araya
lgebra Lineal
22 de abril de 2015
Ejercicio I
Decida si los siguientes conjuntos son o no una espacio vectorial
Desarrollo
1. El conjunto H+ ={
(x, y) R2 : y > 0}Es claro que no es espacio vectorial, pues dado (x, y) H+ (1) (x, y) = (x,y) / H+,pues y < 0.2. Todos los
{(x, y, z, w) R4 : 2x y + 4z = w, x y z + 10w = 0}.3. Los vectores en R3 de la forma (x, x, x).Sea S =
{(x, x, x) R3 : x R}.Como R3 es una espacio vectorial y S R3, basta con probar que S es un subespaciovectorial.
As, es claro que S 6= , pues (0, 0, 0) S.Sean u, v S, con u = (x, x, x) y v = (y, y, y), entonces u+ v = (x+ y, x+ y, x+ y) S,pues u+ v = (z, z, z), con z = x+ y.
Sea F y u = (x, x, x) S, entonces u = (x, x, x) = (x, x, x) S, puesu = (z, z, z), con z = x.
De lo anterior, S es un espacio vectorial.
Ejercicio II
Sea V el espacio vectorial que se indica en cada caso, sea W V . Decida si W es o nosubespacio de V , argumentando su respuesta.
1
Leonel Badilla A. lgebra Lineal 2
Desarrollo
1. V = {(x, y, z) : 3x 2y z = 0} , W = {(x, y, z) = ~x(t) : ~x(t) = t(3,2,1)}.2. V = R3, W = {(x, y, z) : (x, y, z) (1, 2, 3) = 0}.3. V = C([0, 1],R), W = {f V : f es convexa}.
Ejercicio III
Sea V un espacio vectorial, sean v1, v2, . . . , vm vectores en V , demuestre que {v1, v2, . . . , vm}es el subespacio ms pequeo que los contiene.
Desarrollo
Sea S un subespacio vectorial que contiene a {v1, v2, . . . , vm}, arbitrario.Sea v {v1, v2, . . . , vm}, arbitrario. Luego, se tiene que existen a1, a2, . . . , am, escalarestales que
v = a1v1 + a2v2 + . . .+ amvm.
Ahora, como S es subespacio vectorial, se tiene que i {1, 2, . . . ,m} aivi S. Luego, secumple que
a1v1 + a2v2 S(a1v1 + a2v2) + a3v3 S.
.
.
.
.
.
.
.
.
(a1v1 + a2v2 + . . .+ am1vm1) + amvm S,
de donde se concluye que v S. Como v es arbitrario y S tambin, se concluye que elgenerado por un conjunto es el subespacio ms pequeo que contiene al conjunto.
Leonel Badilla A. lgebra Lineal 3
Ejercicio IV
Dados v = (x0, y0, z0) y u = (x1, y1, z1) vectores en R3. Qu posibles conjuntos pueden ser{u, v}? Cmo tienen que ser los vectores u y v en cada caso?
Desarrollo
Analizaremos los casos segn cmo sean los vectores u y v.
u y v son linealmente independientes: El subespacio generado por los vectores tendr di-mensin dos, de donde ser un plano que contiene al punto origen.
u y v linealmente dependientes: El subespacio generado por los vectores tendr dimensinuno, de donde ser una recta que contiene al punto origen.
u = v = : El subespacio generado por los vectores tendr dimensin cero, de donde serel subespacio trivial {}
Ejercicio V
Dado un subespacio W de un espacio vectorial V y dos puntos u, v W , demuestre que elpunto medio
u+v2 W .
Desarrollo
Por ser W subespacio, se tiene que u+ v W . Adems, por la misma razn, si consideramos = 12 un escalar, (u+ v) W , es decir que u+v2 W .
Ejercicio VI
En P2, expresar cada uno de los siguientes polinomios como una combinacin lineal de u1 =2 + x+ 4x2; u2 = 1 x+ 3x2 y u3 = 3 + 2x+ 5x2.
Desarrollo
(a) 9 7x 15x2:Escribimos el vector dado como una combinacin lineal de los vectores dados:
9 7x 15x2 = a(2 + x+ 4x2) + b(1 x+ 3x2) + c(3 + 2x+ 5x2)= (2a+ b+ 3c) + (a b+ 2c)x+ (4a+ 3b+ 5c)x2,de donde obtenemos el sistema de ecuaciones
2a+ b+ 3c = 9a b+ 2c = 7
4a+ 3b+ 5c = 15
Leonel Badilla A. lgebra Lineal 4
cuya solucin es a = 2, b = 1 y c = 2, es decir que 9 7x 15x2 = 2u1 + u2 2u3.(b) 6 + 11x+ 6x2:
Escribimos el vector dado como una combinacin lineal de los vectores dados:
6 + 11x+ 6x2 = a(2 + x+ 4x2) + b(1 x+ 3x2) + c(3 + 2x+ 5x2)= (2a+ b+ 3c) + (a b+ 2c)x+ (4a+ 3b+ 5c)x2,
de donde obtenemos el sistema de ecuaciones
2a+ b+ 3c = 6
a b+ 2c = 114a+ 3b+ 5c = 6
cuya solucin es a = 4, b = 5 y c = 1, es decir que 6 + 11x+ 6x2 = 4u1 +5u2 + 1u3.(c) 7 + 8x+ 9x2:
Escribimos el vector dado como una combinacin lineal de los vectores dados:
7 + 8x+ 9x2 = a(2 + x+ 4x2) + b(1 x+ 3x2) + c(3 + 2x+ 5x2)= (2a+ b+ 3c) + (a b+ 2c)x+ (4a+ 3b+ 5c)x2,
de donde obtenemos el sistema de ecuaciones
2a+ b+ 3c = 7
a b+ 2c = 84a+ 3b+ 5c = 9
cuya solucin es a = 0, b = 2 y c = 3, es decir que 7 + 8x+ 9x2 = 2u2 + 3u3.
Ejercicio VII
Son los polinomios u1 = 2 + x + 4x2; u2 = 1 x + 3x2 y u3 = 3 + 2x + 5x2 linealmenteindependientes en P2? Demuestre su respuesta.
Desarrollo
Del ejercicio anterior, tenemos la combinacin lineal de los vectores, dada por
(2a+ b+ 3c) + (a b+ 2c)x+ (4a+ 3b+ 5c)x2.
Resolvemos ahora
(2a+ b+ 3c) + (a b+ 2c)x+ (4a+ 3b+ 5c)x2 = 0,
Leonel Badilla A. lgebra Lineal 5
de donde obtenemos el sistema de ecuaciones
2a+ b+ 3c = 0
a b+ 2c = 04a+ 3b+ 5c = 0
cuya solucin es a = 0, b = 0 y c = 0, es decir que u1, u2 y u3 s son linealmente independiente
Ejercicio VIII
En cada inciso, determinar si los vectores dados generan o no a R3.
Desarrollo
(a) v1 = (2, 2, 2), v2 = (0, 0, 3), v3 = (0, 1, 1):
Como tenemos tres vectores, ellos deben ser linealmente independientes para generan todo
R3. Consideremos la combinacin lineal de los vectores que resulte cero, es decir
a(2, 2, 2) + b(0, 0, 3) + c(0, 1, 1) = (0, 0, 0) (2a, 2a+ c, 2a+ 3b+ c) = (0, 0, 0) 2a = 0 2a+ c = 0 2a+ 3b+ c = 0 a = 0 b = 0 c = 0de donde se concluye que los vectores son linealmente independientes, es decir que generan
todo R3.
(b) v1 = (2,1, 3), v2 = (4, 1, 2), v3 = (8,1, 8):Como tenemos tres vectores, ellos deben ser linealmente independientes para generan todo
R3. Consideremos la combinacin lineal de los vectores que resulte cero, es decir
a(2,1, 3) + b(4, 1, 2) + c(8,1, 8) = (0, 0, 0) (2a+ 4b+ 8c,a+ b c, 3a+ 2b+ 8c) = (0, 0, 0) 2a+ 4b+ 8c = 0 a+ b c = 0 3a+ 2b+ 8c = 0 a = 2c b = c c = c, c Rde donde se concluye que los vectores son linealmente dependientes, es decir que no generan
todo R3.
(c) v1 = (1, 2, 6), v2 = (3, 4, 1), v3 = (1, 4,1):Como tenemos tres vectores, ellos deben ser linealmente independientes para generan todo
R3. Consideremos la combinacin lineal de los vectores que resulte cero, es decir
a(1, 2, 6) + b(3, 4, 1) + c(1, 4,1) = (0, 0, 0) (a+ 3b+ c, 2a+ 4b+ 4c, 6a+ b c) = (0, 0, 0) a+ 3b+ c = 0 2a+ 4b+ 4c = 0 6a+ b c = 0 a = 0 b = 0 c = 0de donde se concluye que los vectores son linealmente independientes, es decir que generan
todo R3.
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Ejercicio IX
Muestre que los vectores (1, 6, 4), (2, 4,1), (1, 2, 5) generan el mismo espacio que (1,2,5), (0, 8, 9).
Desarrollo
Demostraremos la doble inclusin.
Sea v {(1, 6, 4), (2, 4,1), (1, 2, 5)}, es decir que existen escalares a, b, c tales quev = a(1, 6, 4) + b(2, 4,1) + c(1, 2, 5). Veamos que existen escalares , tales que v =(1,2,5) + (0, 8, 9), es decir que resolvemos para y la ecuacin
(a+ 2b c, 6a+ 4b+ 2c, 4a b+ 5c) = (,2+ 8,5+ 9),
que genera el sistema de ecuaciones
a+ 2b c = 6a+ 4b+ 2c = 2+ 84a b+ 5c = 5+ 9
cuya nica solucin en funcin de a, b, c es = a+ 2b c, = a+ b, de donde se concluyeque v {(1,2,5), (0, 8, 9)}Sea v {(1,2,5), (0, 8, 9)}, es decir que existen escalares , tales que v = (1,2,5)+(0, 8, 9). Veamos que existen escalares a, b, c tales que v = a(1, 6, 4)+b(2, 4,1)+c(1, 2, 5),es decir que resolvemos para a, b y c la ecuacin
(a+ 2b c, 6a+ 4b+ 2c, 4a b+ 5c) = (,2+ 8,5+ 9),
que genera el sistema de ecuaciones
a+ 2b c = 6a+ 4b+ 2c = 2+ 84a b+ 5c = 5+ 9
cuya nica solucin en funcin de , es a = 3312+ , b = 1112+ , c = 112, de dondese concluye que {(1, 6, 4), (2, 4,1), (1, 2, 5)}De lo anterior, se concluye que los vectores (1, 6, 4), (2, 4,1), (1, 2, 5) generan el mismoespacio que (1,2,5), (0, 8, 9).
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Ejercicio X
Sean v1 = (2, 1, 0, 3), v2 = (3,1, 5, 2), v3 = (1, 0, 2, 1), Cules de los siguientes vectoresestn en {v1, v2, v3}
Desarrollo
Para responder la pregunta, primero consideramos la combinacin lineal de los vectores dados,
es decir
a(2, 1, 0, 3) + b(3,1, 5, 2) + c(1, 0, 2, 1) = (2a+ 3b c, a b, 5b+ 2c, 3a+ 2b+ c).As, se tiene que si encontramos a, b, c tales que un vector arbitrario v se escribe como v =av1 + bv2 + cv3, se concluye que v {v1, v2, v3}.Luego, en cada caso,
(a) (2, 3,7, 3):Resolvemos (2a + 3b c, a b, 5b + 2c, 3a + 2b + c) = (2, 3,7, 3), es decir que debemosresolver
2a+ 3b c = 2a b = 3
5b+ 2c = 73a+ 2b+ c = 3
cuyo sistema no tiene solucin, por lo que el vector no pertenece al espacio generado.
(b) (1, 1, 1, 1):
Resolvemos (2a + 3b c, a b, 5b + 2c, 3a + 2b + c) = (1, 1, 1, 1), es decir que debemosresolver
2a+ 3b c = 1a b = 1
5b+ 2c = 1
3a+ 2b+ c = 1
cuyo sistema no tiene solucin, por lo que el vector no pertenece al espacio generado.
(c) (4, 6,13, 4):Resolvemos (2a+ 3b c, a b, 5b+ 2c, 3a+ 2b+ c) = (4, 6,13, 4), es decir que debemosresolver
2a+ 3b c = 4a b = 6
5b+ 2c = 133a+ 2b+ c = 4
Leonel Badilla A. lgebra Lineal 8
cuyo sistema tiene como solucin a = 3, b = 3, c = 1, por lo que el vector dado spertenece al espacio generado, y se escribe como (4, 6,13, 4) = 3v1 3v2 v3.
Ejercicio XI
En Rn, dado un subespacio M , denimos el Ortogonal a M como el conjunto
M := {v Rn : v u = 0, u M} .
Demuestre que M es un subespacio de Rn.
Desarrollo
Debemos probar dos propiedades:
Sean v = (v1, v2, . . . , vn), w = (w1, w2, . . . , wn) M, entonces probaremos que v + w M. En efecto, dado u = (u1, u2, . . . , un) M
(v + w) u = (v1 + w1, v2 + w2, . . . , vn + wn) (u1, u2, . . . , un)= (v1 + w1)u1 + (v2 + w2)u2 + . . .+ (vn + wn)un
= v1u1 + w1u1 + v2u2 + w2u2 + . . .+ vnun + wnun
= (v1u1 + v2u2 + . . .+ vnun) + (w1u1 + w2u2 + . . .+ wnun)
= (v u) + (w u)= 0
de donde se concluye que v + w M.Sean v = (v1, v2, . . . , vn) M y escalar, entonces probaremos que v M. En efecto,dado u = (u1, u2, . . . , un) M
(v) u = (v1, v2, . . . , vn) (u1, u2, . . . , un)= v1u1 + v2u2 + . . .+ vnun
= (v1u1 + v2u2 + . . .+ vnun)
= (v u)= 0
de donde se concluye que v M.Por lo anterior, se tiene que M es un subespacio vectorial de Rn.
Leonel Badilla A. lgebra Lineal 9
Ejercicio XII
En R3, demuestre que si M es un plano, entonces M es una recta.
Desarrollo
Dados a, b, c escalares, denimos el plano M = {(x, y, z) : ax+ by + cz = 0}.Como z = acx bcy, una base para M es
{(1, 0,ac ), (0, 1, bc)
}. Luego, se tiene que
M ={
(x, y, z) R3 : (x, y, z) (1, 0,ac ) = 0 (x, y, z) (0, 1, bc) = 0},
es decir se tienen las condiciones
(x, y, z) (1, 0,ac ) = 0 x = ac z(x, y, z) (0, 1, bc) = 0 y = bczLuego,
M =
(x, y, z) R3 :
x = ac t
y = bc tz = t
, t R ,que es precisamente una recta.
Ejercicio XIII
En R3, demuestre que si M es una recta, entonces M es un plano.
Desarrollo
Dados a, b, c escalares, denimos la recta
M =
(x, y, z) R3 :
x = aty = btz = ct
, t R .As, una base para M es {(a, b, c)}. Luego, se tiene que
M ={
(x, y, z) R3 : (x, y, z) (a, b, c) = 0} ,o bien que
M ={
(x, y, z) R3 : ax+ by + cz = 0} ,que es precisamente un plano.
Leonel Badilla A. lgebra Lineal 10
Ejercicio XIV
Con respecto a los dos ejercicios anteriores, cules son las posibilidades para M si M esun plano de R4?.En R2, cules son las posibilidades para M si M es un una recta?
Desarrollo
Como primer punto, notamos que un plano tiene dimensin dos.
Basados en los ejercicios anteriores, las posibilidades que se tienen paraM siM es un planoen R4 puede ser el punto origen (dimensin cero), una recta (tiene dimensin uno) u otro plano(tiene dimensin dos).
Ahora, si M es una recta en R2, es decir que tiene dimensin uno, lo que nos queda comoposibilidad para M es otra recta (tiene dimensin uno) u el origen (dimensin cero).
Ejercicio XV
Determinar si los siguientes polinomios generan P2, p1(x) = 1x+2x2, p2(x) = 3+x, p3(x) =5 x+ 4x2, p4(x) = 2 2x+ 2x2.
Desarrollo
Observamos que los polinomios dados son linealmente dependiente entre ellos. Ms an, de
los cuatro vectores dados slo dos son linealmente independiente. En efecto, se tiene que tiene
que es claro que ap1(x) + bp2(x) = 0 a = 0 = b. Adems,2p1(x) + p2(x) = p3(x)
p1(x) p2(x) = p4(x)de donde los polinomios linealmente independientes son slo p1(x) y p2(x) que no pueden generartodo P2, pues dim(P2) = 3 6= 2 = dim({p1(x), p2(x)}).
Ejercicio XVI
Demuestre que no pueden existir cuatro vectores linealmente independiente en un plano que
pasa por el origen.
Desarrollo
Razonando por contradiccin, supongamos que existen v1, v2, v3, v4 vectores linealmente in-dependientes, que estn contenidos en un plano = {(x, y, z) : ax+ by + cz = 0}.Por un lado, S =
{(1, 0,ac ), (0, 1, bc)
}es una base del plano dado.
Como los vectores dados son linealmente independientes, dim({v1, v2, v3, v4} = 4, pero ladim(S) = 2 y {v1, v2, v3, v4} S, lo que es una contradiccin, la que proviene de suponer
Leonel Badilla A. lgebra Lineal 11
que existen cuatro vectores linealmente independiente contenidos en un plano que pasa por el
origen.
Ejercicio XVII
Encontrar una base de los siguientes espacios vectoriales.
Desarrollo
1. {(1, 1, 1), (1, 2,3), (8,3, 1), (2, 4, 5)}.2. {(2,1), (3,3), (1,1), (2, 6)}.3. {x+ 2x2, 5x2 x, x, x2, x3 x2}.Ejercicio XVIII
Determine si los vectores v1 = (1,2, 3), v2 = (5, 6,1) y v3 = (3, 2, 1) forman un conjuntolinealmente independiente.
Desarrollo
Sea la combinacin lineal de los vectores dando el vector nulo, es decir
a(1,2, 3) + b(5, 6,1) + c(3, 2, 1) = (0, 0, 0) (a+ 5b+ 3c,2a+ 6b+ 2c, 3a b+ c) = (0, 0, 0) a+ 5b+ 3c = 0 2a+ 6b+ 2c = 0 3a b+ c = 0 a = c2 = b c = c, c R
de donde se concluye que los vectores son linealmente dependientes, pues por ejemplo
(1,2, 3) (5, 6,1) + 2(3, 2, 1) = (0, 0, 0).
Ejercicio XIX
Si V = C([0, 1],R), denimos el producto interno de f y g como
f g := int10f(t)g(t)dt.
Pruebe que si el conjunto {f1, f2, . . . , fn} es ortogonal , es decir que
fi fj ={
1, si i = j0, si i 6= jentonces es linealmente independiente.
Leonel Badilla A. lgebra Lineal 12
Desarrollo
Dados a1, a2, . . . , an escalares, sea la combinacin lineal de los vectores dando cero, es decir
a1f1 + a2f2 + . . .+ anfn = 0.
Ahora, dado j {1, 2 . . . , n}, si a la igualdad anterior la multiplicamos por fj (usando elproducto interior denido) se tiene
fj (a1f1 + a2f2 + . . . anfn) = 0 a1(fj f1) + a2(fj f2) + . . .+ an(fj fn) = fj 0 aj = 0lo que es vlido para todo j {1, 2 . . . , n}, es decir j = 0 j {1, 2 . . . , n}. As, se concluyeque el conjunto {f1, f2, . . . , fn} es linealmente independiente.
Ejercicio XX
Determine si el vector (4, 3,5) se puede escribir como combinacin lineal de (1, 0, 4) y(2, 1, 1).
Desarrollo
Debemos vericar si existen a, b escalares tales que
a(1, 0, 4) + b(2, 1, 1) = (4, 3,5) (a+ 2b, b, 4a+ b) = (4, 3,5),es decir que debemos resolver
a+ 2b = 4
b = 3
4a+ b = 5sistema que tiene como solucin a = 2, b = 3, por lo que el vector dado es escribe como
(4, 3,5) = 2(1, 0, 4) + 3(2, 1, 1).
Ejercicio XXI
Para qu valores de son linealmente dependiente los vectores (1, 2, 3), (2,1, 4), (3, , 4)?
Desarrollo
Los vectores sern linealmente dependientes si la matriz formada por los vectores dados como
las tiene rango menor que 3. As, escalonamos la matriz A formada por los vectores como las.Luego, 1 2 32 1
3 4 4
1 2 30 2 5
0 0 5402
Leonel Badilla A. lgebra Lineal 13
Luego, si
5402 = 0 = 8 el rango de la matriz es menor que tres, es decir que si = 8,los vectores son linealmente dependientes.
Ejercicio XXII
Sean {v1, v2, . . . , vn} un conjunto linealmente independiente. Demostrar que
{v1, v1 + v2, v1 + v2 + v3 . . . , v1 + . . .+ vn}
es un conjunto linealmente independiente
Desarrollo
Dados a1, a2, . . . , an escalares, sea la combinacin lineal de los vectores dando cero, es decir
a1v1 + a2(v1 + v2) + a3(v1 + v2 + v3) + . . .+ an(v1 + . . .+ vn) = 0.
Si agrupamos trminos semejantes obtenemos
(a1 + a2 + a3 + . . .+ an)v1 + (a2 + a3 + . . .+ an)v2 + . . .+ anvn = 0,
pero como el conjunto {v1, v2, . . . , vn} es linealmente independiente, se cumple que
a1 + a2 + a3 + . . .+ an = 0
a2 + a3 + . . .+ an = 0.
.
.
.
.
.
.
.
.
an = 0
Realizando sustitucin regresiva, se concluye que a1 = a2 = . . . = an = 0, concluyndose que elconjunto {v1, v1 + v2, v1 + v2 + v3 . . . , v1 + . . .+ vn} es linealmente independiente.
Ejercicio XXIII
En C([0, 1],R) demuestre que la funciones y1(x) = sin (x) e y2(x) = cos (x) son linealmenteindependiente
Desarrollo
Dados a, b escalares, consideramos la combinacin lineal dando cero, es decir a sin (x) +b cos (x) = 0. Como la igualdad anterior es vlida para x [0, 1], en particular si evaluamosen x = 0, se tiene que a sin (0) + b cos (0) = 0 a = 0. Ahora, para x = 1, se tiene queb cos (1) = 0 b = 0. Luego, se tiene que a = b = 0, es decir que los vectores y1(x), y2(x) sonlinealmente independientes.
Leonel Badilla A. lgebra Lineal 14
Ejercicio XXIV
Sea A una matriz de n n, con coeciente en un cuerpo F . Pruebe que sus las son unconjunto linealmente independiente en V = Fn si y slo si sus las forman un conjunto devectores linealmente independiente en V .
Desarrollo
Sea A una matriz de n n, con coeciente en un cuerpo F dada por
A =
a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
an1 an2 . . . ann
y sea B = {v1, v2, . . . , vn} una base de V .Supongamos que las las de A son un conjunto linealmente independiente en Fn. Sean
wi = ai1v1 + ai2v2 + . . .+ a1nvn, i {1, 2, . . . , n} .
Se arma que S = {w1, w2, . . . , wn} es un conjunto linealmente independiente. En efecto, dadoslos escalares 1, 2, . . . , n, sea la combinacin lineal nula de los vectores de S dada por
1w1 + . . .+ nwn = .
Si agrupamos obtenemos
(1a11 + . . . nan1)v1 + . . .+ (1a1n + . . . nann)vn = ,
de donde, como B = {v1, v2, . . . , vn} una base de V , se concluye que
1a11 + . . . nan1 = . . . = 1a1n + . . . nann = 0.
Usando la denicin de vector en Fn, lo anterior se escribe como
1(a11, a12, . . . , a1n) + . . .+ n(an1, an2, . . . , ann) = (0, . . . , 0).
Como las las son un conjunto linealmente independiente en Fn, se tiene que 1 = 2 = . . . =n = 0, concluyndose as que S = {w1, w2, . . . , wn} es un conjunto linealmente independiente.Supongamos ahora que dados
wi = ai1v1 + ai2v2 + . . .+ a1nvn, i {1, 2, . . . , n} .
se tiene que S = {w1, w2, . . . , wn} es un conjunto linealmente independiente. Se arma quelas las de A son un conjunto linealmente independiente en Fn. En efecto, dados los escalares1, 2, . . . , n, sea la combinacin lineal nula de las las de A dada por
1(a11, a12, . . . , a1n) + . . .+ n(an1, an2, . . . , ann) = (0, . . . , 0).
Leonel Badilla A. lgebra Lineal 15
De donde se obtienen n ecuaciones dadas por
1a11 + 2a21 + . . .+ nan1 = 0
1a12 + 2a22 + . . .+ nan2 = 0.
.
.
.
.
.
.
.
.
1a1n + 2a2n + . . .+ nann = 0
Si multiplicamos la ecuacin i por vi, para todo i {1, 2, . . . , n}, y sumamos todas la ecua-ciones obtenemos
(1a11 + . . .+ nan1)v1 + . . .+ (1a1n + . . .+ nann)vn = ,
de donde agrupando tenemos
1(a11v1 + . . .+ a1nvn) + . . .+ n(an1v1 + . . .+ annvn) = ,
expresin que, dada la denicin de los wi, es equivalente a
1w1 + . . .+ nwn = ,
y como S = {w1, w2, . . . , wn} es un conjunto linealmente independiente, se debe tener que 1 =2 = . . . = n = 0, concluyndose as que las las deA son un conjunto linealmente independienteen Fn.
Ejercicio XXV
Considere las bases B1 = {(1, 1), (1,1)} , B2 = {(2,1), (3,2)} y B3 = {(1,2), (1, 2)}.Calcule las matrices de cambio [T ]B2B1 , [T ]
B3B2 y [T ]
B1B3 . Compruebe que
[T ]B3B2 [T ]B2B1 = [T ]
B3B1
Desarrollo
Para encontrar la matriz de cambio de la base B1 a la base B2, escribimos los vectores de labase B1 como combinacin lineal de los vectores de la base B2. As,Para (1, 1):
Dados a11, a21 escalares, sea la combinacin lineal (1, 1) = a11(2,1) + a21(3,2), quegenera el sistema de ecuaciones
2a11 + 3a21 = 1
a11 2a21 = 1
que tiene como nica solucin a11 = 5 y a21 = 3.
Leonel Badilla A. lgebra Lineal 16
Para (1,1):Dados a12, a22 escalares, sea la combinacin lineal (1,1) = a12(2,1) + a22(3,2), quegenera el sistema de ecuaciones
2a12 + 3a22 = 1
a12 2a22 = 1que tiene como nica solucin a12 = 1 y a22 = 1.Luego, la matriz de cambio de base es
[T ]B2B1 =(
5 13 1
).
Para encontrar la matriz de cambio de la base B2 a la base B3, escribimos los vectores de labase B2 como combinacin lineal de los vectores de la base B3. As,Para (2,1):Dados a11, a21 escalares, sea la combinacin lineal (2,1) = a11(1,2) + a21(1, 2), quegenera el sistema de ecuaciones
a11 a21 = 22a11 + 2a21 = 1que tiene como nica solucin a11 = 34 y a21 = 54 .Para (3,2):Dados a12, a22 escalares, sea la combinacin lineal (3,2) = a12(1,2) + a22(1, 2), quegenera el sistema de ecuaciones
a12 a22 = 32a12 + 2a22 = 2que tiene como nica solucin a12 = 1 y a22 = 2.Luego, la matriz de cambio de base es
[T ]B3B2 =( 34 154 2
).
Para encontrar la matriz de cambio de la base B1 a la base B3, escribimos los vectores de labase B1 como combinacin lineal de los vectores de la base B3. As,Para (1, 1):
Dados a11, a21 escalares, sea la combinacin lineal (1, 1) = a11(1,2) + a21(1, 2), quegenera el sistema de ecuaciones
a11 a21 = 12a11 + 2a21 = 1que tiene como nica solucin a11 = 34 y a21 = 14 .
Leonel Badilla A. lgebra Lineal 17
Para (1,1):Dados a12, a22 escalares, sea la combinacin lineal (1,1) = a12(1,2) + a22(1, 2), quegenera el sistema de ecuaciones
a12 a22 = 12a12 + 2a22 = 1que tiene como nica solucin a12 = 14 y a22 = 34 .Luego, la matriz de cambio de base es
[T ]B3B1 =( 34 1414 34
).
Finalmente, comprobamos que
[T ]B3B2 [T ]B2B1 =
( 34 154 2
)(5 13 1
)=
( 34 1414 34
)= [T ]B3B1
Ejercicio XXVI
En R2 sea B = {(1, 1), (2, 3)} y sea [(x, y)]B = (2,1), escriba (x, y) en trminos de la basecannica.
Desarrollo
Buscamos la matriz de cambio de base desde B a la base cannica Bc = {(1, 0), (0, 1)}.Para ello, escribimos los vectores de la base antigua como combinacin lineal de los vectores
de la base nueva.
Para (1, 1):
Dados a11, a21 escalares, sea la combinacin lineal (1, 1) = a11(1, 0) + a21(0, 1), que tienecomo nica solucin a11 = 1 y a21 = 1.
Para (2, 3):
Dados a12, a22 escalares, sea la combinacin lineal (2, 3) = a12(1, 0) + a22(0, 1), que tienecomo nica solucin a12 = 2 y a22 = 3.
Luego, la matriz de cambio de base es
[T ]BcB =(
1 21 3
).
As,
[(x, y)]Bc =(
1 21 3
)(21
)=
(01
),
es decir que el vector (x, y) escrito en la base cannica es (x, y) = 0(1, 0) 1(0, 1) = (0,1).
Leonel Badilla A. lgebra Lineal 18
Ejercicio XXVII
Considere H R3 dado por la ecuacin x+ y + z = 0.
Desarrollo
(a) Encuentre dos bases diferentes para este espacio
Encontramos una base despejando x = y z, de donde (x, y, z) = (y z, y, z) =y(1, 1, 0) + z(1, 0, 1), de donde la base queda B1 = {(1, 1, 0), (1, 0, 1)}.Encontramos otra base diferente despejando z = x y, de donde (x, y, z) = (x, y,x y) = x(1, 0,1) + y(0, 1,1), de donde la base queda B2 = {(1, 0,1), (0, 1,1)}.(b) Calcule la matriz de cambio de base entre las bases que encontr en la parte (a).
Para la matriz de cambio de base [T ]B2B1 , escribimos los vectores de la B1 como combinacinlineal de los vectores de B2.Para (1, 1, 0):Dados a11, a21 escalares, sea la combinacin lineal (1, 1, 0) = a11(1, 0,1)+a21(0, 1,1),que tiene como nica solucin a11 = 1 y a21 = 1.Para (1, 0, 1):Dados a12, a22 escalares, sea la combinacin lineal (1, 0, 1) = a12(1, 0,1)+a22(0, 1,1),que tiene como nica solucin a12 = 1 y a22 = 0.
Luego, la matriz de cambio de base es
[T ]B2B1 =( 1 1
1 0
).
Ejercicio XXVIII
En el espacio vectorial V = P2(R) sea B = {1 x, 3x, x2 x 1} una baseDesarrollo
(a) Sea [x]B = (2, 1, 3), Qu polinomio es x?
El polinomio es p(x) = 2(1 x) + 3x+ 3(x2 x 1) = 1 2x+ 3x2.(b) Si B2 =
{3 2x, 1 + x, x+ x2}, encuentre [T ]B2BPara la matriz de cambio de base [T ]B2B , escribimos los vectores de la B como combinacinlineal de los vectores de B2.Para 1 x:Dados a11, a21, a31 escalares, sea la combinacin lineal
1x = a11(32x)+a21(1+x)+a31(x+x2) = (3a11+a21)+(2a11+a21+a31)x+a31x2,
Leonel Badilla A. lgebra Lineal 19
que genera el sistema de ecuaciones
3a11 + a21 = 1
2a11 + a21 + a31 = 1a31 = 0
cuya nica solucin es a11 =25 , a21 = 15 , a31 = 0.Para 3x:
Dados a12, a22, a32 escalares, sea la combinacin lineal
3x = a12(32x)+a22(1+x)+a32(x+x2) = (3a12+a22)+(2a12+a22+a32)x+a32x2,que genera el sistema de ecuaciones
3a12 + a22 = 0
2a12 + a22 + a32 = 3a32 = 0
cuya nica solucin es a12 = 35 , a22 = 95 , a32 = 0.Para x2 x 1:Dados a13, a23, a33 escalares, sea la combinacin lineal
x2x1 = a13(32x)+a23(1+x)+a33(x+x2) = (3a13+a23)+(2a13+a23+a33)x+a33x2,que genera el sistema de ecuaciones
3a13 + a23 = 12a13 + a23 + a33 = 1
a33 = 1
cuya nica solucin es a13 =15 , a23 = 85 , a33 = 1.Luego, la matriz de cambio de base es
[T ]B2B1 =
25 35 1515 95 850 0 1
.(c) Escriba x en trminos de la base B2.As, encontramos [x]B2 haciendo
[x]B2 =
25 35 1515 95 850 0 1
213
= 45175
3
,es decir que el vector en la nueva base es
p(x) = 45(3 2x) 175 (1 + x) + 3(x+ x2) = 1 2x+ 3x2.
Leonel Badilla A. lgebra Lineal 20
Ejercicio XXIX
En R3 considere las bases B1 = {(3, 0, 0), (1, 2,1), (0, 1, 5)} y B2 = {(1,1, 0), (0, 1,1), (1, 0, 1)}.Escriba [x]B1 = (2,1, 4) en trminos de la base B2.
Desarrollo
Buscamos la matriz de cambio de base [T ]B2B1 . Para ello, escribimos los vectores de la B1 comocombinacin lineal de los vectores de B2.Para (3, 0, 0):
Dados a11, a21, a31 escalares, sea la combinacin lineal
(3, 0, 0) = a11(1,1, 0) + a21(0, 1,1) + a31(1, 0, 1),que genera el sistema de ecuaciones
a11 + a31 = 3
a11 + a21 = 0a21 + a31 = 0cuya nica solucin es a11 =
32 , a21 =
32 , a31 =
32 .
Para (1, 2,1):Dados a12, a22, a32 escalares, sea la combinacin lineal
(1, 2,1) = a12(1,1, 0) + a22(0, 1,1) + a32(1, 0, 1),que genera el sistema de ecuaciones
a12 + a32 = 1
a12 + a22 = 2a22 + a32 = 1cuya nica solucin es a12 = 0, a22 = 2, a32 = 1.
Para (0, 1, 5):
Dados a13, a23, a33 escalares, sea la combinacin lineal
(0, 1, 5) = a13(1,1, 0) + a23(0, 1,1) + a33(1, 0, 1),que genera el sistema de ecuaciones
a13 + a33 = 0
a13 + a23 = 1a23 + a33 = 5cuya nica solucin es a13 = 3, a23 = 2, a33 = 3.
Leonel Badilla A. lgebra Lineal 21
Luego, la matriz de cambio de base es
[T ]B2B1 =
32 0 332 2 232 1 3
.Ahora,se tiene que el vector dado escrito en trminos de la base B2 est dado por
[x]B2 =
32 0 332 2 232 1 3
214
= 93
16
.Ejercicio XXX
En R3 consideremos los vectores u = (1, 2, 3), v = (3, 2, 1) y w = (3, 2, 7). Encuentre, R tales que w = u+ v. Cuntas soluciones tiene este problema?.
Desarrollo
Dados , R, hacemos la combinacin lineal(3, 2, 7) = (1, 2, 3) + (3, 2, 1),que tiene asociado el sistema de ecuaciones
+ 3 = 32+ 2 = 2
3+ = 7
cuya nica solucin es = 3 y = 2.
Ejercicio XXXI
Sean W1,W2 subespacios de V , con V un espacio vectorial de dimensin nita. Suponga queW1 W2 = {}. En este caso, decimos que W1 + W2 es la suma directa de W1 y W2. Adems,anotamos W1 W2, en vez de W1 + W2. Pruebe que V = W1 W2 si y slo si todo elementov V se escribe de modo nico como v = w1 + w2, con w1 W1 y w2 W2.
Desarrollo
Supongamos en primer lugar que la suma es directa, es decir W1 W2 = {}. Veamos queentonces la descomposicin es nica. Sea v W1+W2. Si v = w1+w2 = w1+w2, con w1, w1 W1y w2, w
2 W2, entonces w1 w1 = w2 w2 W1 W2, de donde w1 w1 = w2 w2 = , esdecir que w1 = w
1 y w2 = w
2.
Ahora supongamos que la descomposicin es nica y veamos que la suma es directa. Hay que
comprobar que W1 W2 = {}. Sea v W1 W2, ste puede descomponerse como v = v + ,con v W1 y W2, y tambin puede descomponerse como v = + v, con W1 y v W2.Por la unicidad de la descomposicin, deducimos que v = .
Leonel Badilla A. lgebra Lineal 22
Ejercicio XXXII
Sean u1 = (0, 1,2), v1 = (1, 1, 1), u2 = (1, 0, 3), v2(2,1, 0). Sean W1 := {u1, v1} yW2 := {u2, v2}.
Desarrollo
(a) Encuentre los escalares a1, b1, c1 y a2, b2, c2 tales que
W1 = {(x, y, z) : a1x+ b1y + c1z = 0}W2 = {(x, y, z) : a2x+ b2y + c2z = 0}Se tiene que en particular, u1 W1, de donde b12c1 = 0, y v1 W1, de donde a1+b1+c1 =0. As, se obtiene el sistema
a1 + b1 + c1 = 0
b1 2c1 = 0que tiene como solucin a1 = 3c1 y b1 = 2c1 que tiene innitas soluciones. Considerandouna de ellas, con c1 = 1, obtengo que a1 = 3 y b1 = 2.Anlogamente, se tiene que en particular, u2 W2, de donde a2 + 3c2 = 0, y v2 W2,de donde 2a2 b2 = 0. As, se obtiene el sistema
a2 + 3c2 = 02a2 b2 = 0que tiene como solucin b2 = 6c2 y a2 = 3c2 que tiene innitas soluciones. Considerandouna de ellas, con c2 = 1, obtengo que a2 = 3 y b2 = 6.
(b) Muestre que u2 /W1 y que W1 +W2 = R3, sin embargo no se tiene que W1 W2 = R3.
Para ver que u2 / W1, basta vericar que u2 no satisface la ecuacin del plano de W1, esdecir 3 (1) + 1 3 = 6 6= 0. Adems, armamos que {u1, v1, u2} es un conjunto linealmenteindependiente. En efecto, dados a, b, c escalares, formamos la combinacin lineal nula de losvectores a(0, 1,2) + b(1, 1, 1) + c(1, 0, 3) = (0, 0, 0), que genera el sistema
b c = 0a+ b = 0
2a+ b+ 3c = 0cuya nica solucin es a = b = c = 0, por ende el conjunto es linealmente independiente. Porlo tanto {u1, v1, u2} es base de R3. Si agregamos el vector v2 a nuestra base, obtenemos que elconjunto {u1, v1, u2, v2} generan R3, y por denicin, tambin generan W1 +W2, concluyndoseque W1 +W2 = R3.Por otra parte, como v2 satisface la ecuacin del plano que genera W1, es decir que v2 W1,se tiene que W1 W2 = {v2}, de donde se concluye que W1 y W2 no estn en suma directa.
Leonel Badilla A. lgebra Lineal 23
Ejercicio XXXIII
Para todo subespacio vectorial V de Rn, pruebe que existe un subespacio vectorial G de Rntal que Rn = V G.
Desarrollo
Recordamos que Rn es un espacio vectorial donde se dene el producto interior, dado por
u v =ni=1
uivi, con u = (u1, . . . , un) y v = (v1, . . . , vn).
As, dado V subespacio vectorial de Rn, armamos que existe G = V tal que Rn = V V .En el ejercicio IX se prob que G = V es un subespacio vectorial.Probaremos que V V = {}. Razonando por contradiccin, sea v 6= , tal que v V V .As, como v V , se tiene que v w = 0 para cualquier w V . En particular, como v V ,se tiene que v v = 0, pero por propiedad de producto interior, se concluye que v = , lo quees una contradiccin, la que proviene que de existe v V V , con v 6= . As, por lo tantoV V = {}.Falta ver que Rn = V +V . En efecto, como Rn es de dimensin n y V es subespacio vectorial,que suponemos de dimensin k < n, denimos una base ortonormal {v1, v2, . . . vk}, es decir quevi vi = 1, i {1, . . . , k} y que vi vj = ij , i, j {1, . . . , k}. As, dado u Rn, queremosdemostrar que existen v V y v V tales que u = v + v, con v V y v V . Comov V , existen escalares ai tales que v = a1v1 + . . . akvk. Luego, dado i {1, . . . , k} calculamosvi u = vi (v+v) = ai, pues vi v = 0 por denicin de V y vi vj = ij , de donde obtenemosque ai = vi u, es decir que obtuvimos los escalares necesarios, los cuales son nicos. Luego,denimos v = u v, el cual pertenece a V , por construccin. As, dado u Rn, encontramosv V y v V tal que u = v + v, es decir que Rn = V + V .Finalmente, se concluye que Rn = V V .
Ejercicio XXXIV
Sean S = {v1, v2, . . . , vn}, con vj V , donde V es un espacio vectorial de dimensin m n.Suponga que S tiene la propiedad:
(L) Dado un par de vectores vk, vp en S, no existe un escalar tal que vk = vp.
Desarrollo
(a) Puede ser S un conjunto linealmente dependiente? D ejemplos.
S puede ser. Por ejemplo, consideramos V = R4 y S = {(1, 2, 3, 0), (1, 0, 1, 1), (0, 2, 4, 1)}Es claro que S cumple la propiedad (L), y adems es un conjunto linealmente dependiente,pues (0, 2, 4, 1) = (1, 2, 3, 0) + (1, 0, 1, 1).(b) Puede ser S un conjunto linealmente independiente? D ejemplos.
S puede ser. Por ejemplo, consideramos V = R3 y S = {(1, 2, 3), (1, 0, 1)} Es claro queS cumple la propiedad (L),y adems es un conjunto linealmente independiente.
Leonel Badilla A. lgebra Lineal 24
(c) En qu caso se puede asegurar que la propiedad (L) garantiza que el conjunto que la
posee es linealmente independiente.
La propiedad (L) garantiza que el conjunto S es linealmente independiente slo cuando Sposee dos elementos.
Ejercicio XXXV
Considere R como espacio vectorial sobre Q. Pruebe que la dimensin de este espacio esinnita.
Desarrollo
Sea A = {log(p) | p primo} R. El conjunto A es innito porque lo es el conjunto de losnmeros primos y logaritmo es una funcin inyectiva.
Veamos que es linealmente independiente. Sean p1, . . . , pn primos distintos. Supongamos queexiste una combinacin lineal
c1 log(p1) + + cn log(pn) = 0 con ci Q.
Podemos suponer que los coecientes ci son enteros multiplicando por el mnimo comndenominador.
La expresin anterior, usando las propiedades de los logaritmos, es
log(pc11 pcnn ) = 0.
De donde pc11 pcnn = 1.Los enteros ci pueden ser positivos, negativos o nulos. Pasando los p
cii con ci negativo al otromiembro, tenemos un mismo nmero natural escrito de dos formas distintas como producto de
nmeros primos. Por la unicidad de la factorizacin en primos, los exponentes deben ser todos
nulos, es decir, c1 = = cn = 0.Luego el conjunto A es linealmente independiente.
Ejercicio XXXVI
Sea V = C3 y sea B = {(2i, 1, 0), (2,1, 1), (0, 1 + i, 1 i)}
Desarrollo
(a) Pruebe que B es base de V .Consideremos la combinacin lineal de los vectores dando cero, es decir dados a, b, c F
a(2i, 1, 0) + b(2,1, 1) + c(0, 1 + i, 1 i) = (0, 0, 0),
Leonel Badilla A. lgebra Lineal 25
de donde obtenemos el sistema
2ai+ 2b = 0
a b+ c(1 + i) = 0b+ c(1 i) = 0
cuya nica solucin es a = b = c = 0, por lo que el conjunto dado es linealmente indepen-diente.
Adems, como se tienen tres vectores linealmente independiente, ellos generan todo C3.Por lo tanto, el conjunto dado es base.
(b) Encuentre la representacin del vector u = (1, 0, 1) en trminos de la base BPara encontrar la representacin, debemos resolver que dados a, b, c F
a(2i, 1, 0) + b(2,1, 1) + c(0, 1 + i, 1 i) = (1, 0, 1),
de donde obtenemos el sistema
2ai+ 2b = 1
a b+ c(1 + i) = 0b+ c(1 i) = 1
cuya nica solucin es a = 12 12 i, b = 12 i, c = 34 + 14 i. Luego, la representacin del vectoren la base es
[u]B =
12 12 i12 i
34 +
14 i
.Ejercicio XXXVII
Sea U = {(1, 0,i), (1 + i, 1 i, 1), (i, i, i)}. Pruebe que U es base de C3 y encuentre la matrizde cambio de base de U a B (del ejercicio anterior).
Desarrollo
Consideremos la combinacin lineal de los vectores dando cero, es decir dados a, b, c F
a(1, 0,i)+b(1+i, 1i, 1)+c(i, i, i) = (0, 0, 0) (a+b(1+i)+ci, (1i)b+ci,ai+b+ci) = (0, 0, 0),
de donde obtenemos el sistema
a+ b(1 + i) + ci = 0
(1 i)b+ ci = 0ai+ b+ ci = 0
Leonel Badilla A. lgebra Lineal 26
cuya nica solucin es a = b = c = 0, por lo que el conjunto dado es linealmente independiente.Adems, como se tienen tres vectores linealmente independiente, ellos generan todo C3. Porlo tanto, el conjunto dado es base.
Ahora, para encontrar la matriz de cambio de base, debemos escribir los vectores de la base
nueva como combinacin lineal de los vectores de la base antigua, es decir
Para (1, 0,i):Resolvemos
a11(2i, 1, 0) + a21(2,1, 1) + a31(0, 1 + i, 1 i) = (1, 0,i),de donde obtenemos el sistema
2ia11 + 2a21 = 1
a11 a21 + (1 + i)a31 = 0a21 + (1 i)a31 = icuya nica solucin es a11 =
12(1 + i), a21 = 1 12 i, a31 = 14 34 i.Para (1 + i, 1 i, 1):Resolvemos
a12(2i, 1, 0) + a22(2,1, 1) + a32(0, 1 + i, 1 i) = (1 + i, 1 i, 1),de donde obtenemos el sistema
2ia12 + 2a22 = 1 + i
a12 a22 + (1 + i)a32 = 1 ia22 + (1 i)a32 = 1cuya nica solucin es a12 = (1 + i), a22 = 12 + 32 i, a32 = 32 .Para (i, i, i):
Resolvemos
a13(2i, 1, 0) + a23(2,1, 1) + a33(0, 1 + i, 1 i) = (i, i, i),de donde obtenemos el sistema
2ia13 + 2a23 = i
a13 a23 + (1 + i)a33 = ia23 + (1 i)a33 = icuya nica solucin es a13 =
32 12 i, a23 = 12 i, a33 = 34 + 54 i.de donde obtenemos la matriz de cambio de base
[T ]BU =
12(1 + i) (1 + i) 32 12 i1 12 i 12 + 32 i 12 i14 34 i 32 34 + 54 i
.
Leonel Badilla A. lgebra Lineal 27
Ejercicio XXXVIII
Dada la matriz 1 i 0i 0 10 1 + i 1 i
.Encuentre una matriz P , de modo que PA sea escalonada y reducida por las.
Desarrollo
Debemos aplicar operaciones elementales por las, las que detallamos a continuacin: 1 i 0i 0 10 1 + i 1 i
E2+iE1 1 i 00 1 1
0 1 + i 1 i
(1)E2
1 i 00 1 10 1 + i 1 i
E3+(1i)E2
1 i 00 1 10 0 2
12E3
1 i 00 1 10 0 1
E2+E3
1 i 00 1 00 0 1
E1+(i)E2
1 0 00 1 00 0 1
As, construimos la matriz P que reeja todas las operaciones elementales por las realizadas,obteniendo:
P = 12
1 + i 1 + i i1 i 1 + i 11 + i 1 + i 1
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