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INSTITUTO
POLITÉCNICO
NACIONAL
CENTRO DE INVESTIGACIÓN EN
CIENCIA APLICADA Y TECNOLOGÍA
AVANZADA DEL IPN
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE
PROCEDIMIENTOS: UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE
PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
Tesis para obtener el grado de
Maestra en Ciencias en Matemática Educativa
Presenta:
Claudia Barajas Arenas
Directores de la tesis:
Dra. Sandra Evely Parada Rico
M.C. Juan Gabriel Molina Zavaleta
México D.F., julio de 2015
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
Secretaría de Investigación y Posgrado
AUTORIZACIÓN DE USO DE OBRA
Bajo protesta de decir verdad el que suscribe, Claudia Barajas Arenas, manifiesto ser autor
y titular de los derechos morales patrimoniales de la obra titulada: “Elaboración,
comparación y ejercitación de procedimientos: una mirada desde la resolución de
problemas que implican fenómenos de variación”, en adelante “La Tesis” y de la cual se
adjunta copia, por lo que por medio del presente y con fundamento en el Artículo 27,
Fracción II, inciso b, de la Ley Federal del Derecho de Autor, otorgo a el Instituto
Politécnico Nacional, en adelante El IPN, autorización no exclusiva para comunicar y
exhibir públicamente total o parcialmente en medios digitales e impresos “La Tesis” por un
periodo de 10 años contado a partir de la fecha de la presente autorización, dicho periodo se
renovará automáticamente en caso de no dar aviso a “El IPN” de su terminación.
En virtud de lo anterior, “El IPN” deberá reconocer en todo momento mi calidad de autor
de “La Tesis”. Adicionalmente, y en mi calidad de autor y titular de los derechos morales y
patrimoniales de “La Tesis”, manifiesto que la misma es original y que la presente
autorización no contraviene ninguna otorgada por el suscrito respecto de “La Tesis”, por lo
que deslindo de toda responsabilidad a El IPN en caso de que el contenido de “La Tesis” o
la autorización concedida afecte o viole derechos autorales, industriales, secretos
industriales, convenios o contratos de confidencialidad o en general cualquier derecho de
propiedad intelectual de terceros y asumo las consecuencias legales y económicas de
cualquier demanda o reclamación que puedan derivarse del caso.
México, D.F., 13 de julio de 2015.
Atentamente,
Claudia Barajas Arenas
Número de registro B130394
Dedicatoria
A mi madre quien nos ha venido enseñando
que los sueños se posponen, pero no se
pierden de vista.
A mi hermoso sobrino porque cada día le da
más sentido a esa decisión que algún día
tomé de formarme como profesora.
Agradecimientos
A Sandra Evely Parada Rico por su apoyo incondicional, por su inmensa confianza y por su
cariño sincero. Su pasión y entrega a la investigación fueron los ingredientes que
posibilitaron este trabajo. Gracias por ser mi Maestra: más que enseñanzas
académicas me queda un puñado de ilusiones que concretar. Infinitas gracias por
tanto, Sandrita.
Al profesor Jorge Enrique Fiallo Leal por su valioso apoyo desde el momento que inicié mi
formación como magíster; agradezco inmensamente el haber propiciado las
oportunidades laborales que me permitieron aprovechar al máximo todo mi proceso
de formación.
Al profesor Juan Gabriel Molina Zavaleta por su inmensa apertura durante todo el proceso
de la investigación y por sus valiosos aportes.
A la profesora Avenilde Romo Vázquez por su acompañamiento en la fase final de la
construcción de este documento. Al profesor Mario Sánchez Aguilar por su confianza
en este estudio.
A Edwin López Velandia por su inmensa y constante motivación, por su valiosa compañía
y por darle a mis días el calor de su amor.
Al Grupo EDUMAT-UIS de la Universidad Industrial de Santander por brindarme la
oportunidad de concretar mis proyectos profesionales y el estar en constante
aprendizaje.
A quienes hicieron la valiosa tarea de motivar mi espíritu y posibilitar la culminación de
este logro: mi más sincero agradecimiento por su confianza y apoyo.
Resumen
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS: UNA
MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN
FENÓMENOS DE VARIACIÓN
Este estudio intentó caracterizar algunas de las dificultades que enfrentan los estudiantes
cuando resuelven problemas que implican fenómenos de variación, específicamente desde
el proceso matemático de elaboración, comparación y ejercitación de procedimientos
(proceso ECEP). Los elementos teóricos con que se sustenta la investigación se basaron en
documentos oficiales del Ministerio de Educación Nacional de Colombia para caracterizar
y categorizar tanto el pensamiento variacional como el proceso ECEP.
Para el logro del objetivo de investigación se desarrolló un proceso metodológico
cuantitativo en una primera parte, y posteriormente en forma cualitativa interpretando el
proceso ECEP en un instrumento aplicado a estudiantes de nuevo ingreso a la universidad.
El estudio nos permitió categorizar los hallazgos en dificultades asociadas a procedimientos
de tipo aritmético, geométrico, métrico y analítico, de tal suerte que observamos, entre
otros resultados, que los estudiantes tienen dificultad para establecer correctamente la
interdependencia entre las magnitudes variables y para transferir los datos a otra forma de
representación.
Abstract
ELABORATION, COMPARISON AND EXERCISE OF PROCEDURES: A VIEW
FROM THE RESOLUTION OF PROBLEMS THAT INVOLVE PHENOMENA OF
VARIATION
This study aimed to characterize some of the difficulties faced by students when solving
problems involving phenomena of variation, specifically from the mathematical process,
comparison and exercise procedures (ECEP process). The theoretical elements with which
the research is based is based on official documents of the Ministry of National Education
from Colombia to characterize and categorize both the variational thinking as the EPEC
process.
To achieve the objective of a quantitative research methodology process developed in the
first part, and then qualitatively interpreting the process ECEP an instrument applied to new
students to the university. The study allowed us to categorize the findings in difficulties
associated procedures arithmetic, geometric, metric and analytic, in such a way that we
observed, among other results, that students have difficulty in properly establish the
interdependence between the variable quantities and to transfer data to another form of
representation.
Tabla de Contenido
Introducción
CAPÍTULO 1.17
GÉNESIS DE LA INVESTIGACIÓN .............................................................................. 17
1.1 EL CÁLCULO DIFERENCIAL, UNA PROBLEMÁTICA EN LA UIS .................... 17
1.2 ANTECEDENTES ......................................................................................................... 22
1.2.1 Estudios que caracterizan los procesos matemáticos .................................................. 22
1.2.2 De los errores hacia las dificultades en el aprendizaje de las matemáticas: Cálculo .. 27
1.2.3 Alternativas para atender las dificultades en matemáticas: Cálculo ............................ 31
CAPÍTULO 2.36
MARCO CONCEPTUAL .................................................................................................. 36
2.1 PENSAMIENTO VARIACIONAL ............................................................................... 36
2.1.1 Ejes temáticos del pensamiento variacional ................................................................ 40
2.2 ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS
ASOCIADOS A SITUACIONES DE VARIACIÓN .......................................................... 43
2.2.1 Taxonomía de los Procedimientos ............................................................................... 45
2.2.2 Habilidades a priori de los procedimientos asociados al pensamiento variacional ..... 47
CAPÍTULO 3.51
PROCEDIMIENTO METODOLÓGICO ....................................................................... 51
3.1 FASE 1: ELECCIÓN DEL CONTEXTO DE ESTUDIO ............................................. 51
3.1.1 Instrumento Formato DIPEVA .................................................................................... 52
3.1.2 Primera aproximación a las dificultades en el pensamiento variacional ..................... 54
3.2 FASE 2: DISEÑO DEL EXPERIMENTO I ................................................................. 55
3.2.1 Instrumentos para refinar la mirada a las dificultades ................................................. 57
3.2.2 Segunda aproximación a las dificultades en el pensamiento variacional .................... 59
3.3 FASE 3: DISEÑO DEL EXPERIMENTO II ................................................................ 63
3.4 FASE 4: CARACTERIZACIÓN DE LAS DIFICULTADES ...................................... 64
3.4.1 Análisis de los problemas de fenómenos variacionales............................................... 65
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
9
CAPÍTULO 4.77
DIFICULTADES EMERGENTES DE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
VARIACIONALES ............................................................................................................ 77
4.1 DIFICULTADES EN PROCEDIMIENTOS ARITMÉTICOS ..................................... 79
4.2 DIFICULTADES EN PROCEDIMIENTOS GEOMÉTRICOS .................................... 94
4.3 DIFICULTADES EN PROCEDIMIENTOS MÉTRICOS ............................................ 99
4.4 DIFICULTADES EN PROCEDIMIENTOS ANALÍTICOS ...................................... 103
4.4.1 Dificultades analíticas asociadas a los patrones y las regularidades ........................ 103
4.4.2 Dificultades analíticas asociadas a los procesos algebraicos .................................... 119
4.4.3 Dificultades analíticas asociadas al análisis de funciones ........................................ 135
CONCLUSIONES ............................................................................................................ 158
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................................... 177
ANEXOS
Lista de Ilustraciones
Ilustración 1. Momento en el que los estudiantes universitarios colombianos desertan ...... 17
Ilustración 2. Variables explicativas de la deserción en IES en Colombia .......................... 18
Ilustración 3. Rendimiento académico en Cálculo I de estudiantes UIS, 2012-2013 .......... 19
Ilustración 4. Estructura general del proyecto institucional de la UIS para atender ............ 21
Ilustración 5. Categorización de errores por Orton (1983) ................................................... 30
Ilustración 6. Taxonomía de los Procedimientos ................................................................. 46
Ilustración 7. Esquema de los ejes temáticos de la Seduca .................................................. 52
Ilustración 8. Componentes de la estructura del Formato DIPEVA para ASAE ................. 53
Ilustración 9. Visión cuantitativa de los datos de los 17 alumnos-profesores de ASAE ...... 54
Ilustración 10. Conexión de estándar-indicador-problema................................................... 56
Ilustración 11. Reporte de las pruebas diagnóstico del Curso de Precálculo UIS ................ 56
Ilustración 12. Muestra del instrumento "Hoja de Procesos" de la PDI ............................... 57
Ilustración 13. Muestrario del Formato de Evaluación DIPEVA ......................................... 59
Ilustración 14. Distribución de estudiantes por nivel de dificultad en el Estándar 1 ........... 60
Ilustración 15. Distribución de estudiantes por nivel de dificultad en el Estándar 2 ........... 60
Ilustración 16. Distribución de estudiantes por nivel de dificultad en el Estándar 3 ........... 61
Ilustración 17. Distribución de estudiantes por nivel de dificultad en el Estándar 4 ........... 61
Ilustración 18. Procedimiento metodológico de la investigación ......................................... 64
Ilustración 19. Estrategia para tratar los decimales .............................................................. 80
Ilustración 20. Uso indiscriminado de decimales ................................................................. 80
Ilustración 21. Quitar o adicionar cifras decimales para sumar decimales .......................... 81
Ilustración 22. Resultados erróneos del algoritmo de la división ......................................... 81
lustración 23. Uso de operaciones sin monitoreo ................................................................. 82
Ilustración 24. Elaboración de un nuevo algoritmo de división erróneo .............................. 83
Ilustración 25. Dificultades en el uso del algoritmo de la multiplicación ............................ 83
Ilustración 26. Enunciado del problema del cuadrado ......................................................... 84
Ilustración 27. Uso de fracciones para plantear el procedimiento de solución .................... 85
Ilustración 28. Agregando ceros para suplir el algoritmo de la división .............................. 85
Ilustración 29. Errores en la multiplicación con decimales .................................................. 86
Ilustración 30. Dificultad en la jerarquía de operaciones ..................................................... 86
Ilustración 31. Confusión de algoritmos con decimales ....................................................... 87
Ilustración 32. Multiplicación de decimales errada .............................................................. 87
Ilustración 33. Error al multiplicar fraccionarios ................................................................. 88
Ilustración 34. Errores en la simplificación de polinomios aritméticos ............................... 89
Ilustración 35. Procedimiento que desconoce el valor absoluto ........................................... 90
Ilustración 36. Dificultades para emplear el valor absoluto como operador ........................ 91
Ilustración 37. Valor absoluto, uso correcto del operador .................................................... 91
Ilustración 38. Errores con el valor absoluto como operador e indeterminaciones .............. 92
Ilustración 39. Errores reincidentes con números racionales .............................................. 92
Ilustración 40. Ratificando dificultades con los fraccionarios ............................................. 93
Ilustración 41. Representaciones geométricas del problema de la pelota ............................ 94
Ilustración 42. Sistema de referencia para el problema de la pelota .................................... 95
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
11
Ilustración 43. Representaciones geométricas del problema del cuadrado .......................... 96
Ilustración 44. Procedimiento geométrico-aritmético inconcluso ........................................ 96
Ilustración 45. Representaciones geométricas del problema del folleto .............................. 97
Ilustración 46. Representaciones geométricas del problema del folleto .............................. 97
Ilustración 47. El círculo unitario como representación geométrico .................................... 98
Ilustración 48. Cambio indiscriminado de unidad de medida ............................................ 100
Ilustración 49. Uso correcto de unidades de medida .......................................................... 101
Ilustración 50. Procedimientos métricos sin unidades de medida ...................................... 101
Ilustración 51. La pulgada como unidad de medida ........................................................... 101
Ilustración 52. Sumando cantidades de longitud ................................................................ 102
Ilustración 53. Representaciones pictóricas del problema de la pelota .............................. 104
Ilustración 54. Diseño de una tabla de valores ................................................................... 105
Ilustración 55. Ecuación que relaciona los datos del problema .......................................... 106
Ilustración 56. Simbolización de una relación funcional ................................................... 107
Ilustración 57. Procedimientos con datos sesgados ............................................................ 108
Ilustración 58. Errores en procedimientos aritméticos y analíticos .................................... 110
Ilustración 59. Aritmetizar, una tendencia en la resolución de problemas ......................... 110
Ilustración 60. Modelo para el área del folleto en función de uno de sus lados ................. 111
Ilustración 61. Modelo del folleto erróneo ......................................................................... 112
Ilustración 62. Expresar una variable en términos de otra: una dificultad ......................... 112
Ilustración 63. Respuesta correcta al problema del coseno ................................................ 113
Ilustración 64. Calculando el ángulo para hallar el 𝑐𝑜𝑠 (2𝛼) ............................................ 113
Ilustración 65. Ángulos de referencia en la solución del problema del coseno .................. 114
Ilustración 66. Dificultades en lo trigonométrico ............................................................... 114
Ilustración 67. Dificultades para diferenciar el ángulo de una función .............................. 115
Ilustración 68. Creando procedimiento sin fórmulas ......................................................... 115
Ilustración 69. Tratamiento del ángulo y del seno en lo algorítmico ................................. 116
Ilustración 70. El seno y su ángulo tratados como relación multiplicativa ........................ 117
Ilustración 71. Problema de la temperatura ........................................................................ 117
Ilustración 72. Problema de la variación de la temperatura del agua ................................. 118
Ilustración 73. Sumando funciones trigonométricas .......................................................... 118
Ilustración 74. Tendencia de la suma a 19,9 m considerando una o dos cifras decimales . 119
Ilustración 75. Tendencia de la suma a 19,9 m considerando varias cifras decimales ....... 120
Ilustración 76. Registro de que la imposibilidad de convergencia ..................................... 121
Ilustración 77. Puntos suspensivos como registro del infinito ........................................... 122
Ilustración 78. Solución correcta del problema de la pelota ............................................... 123
Ilustración 79. Generalización del proceso infinito del problema de la pelota .................. 123
Ilustración 80. Elaboración de procedimientos analíticos desde la Física ......................... 124
Ilustración 81. Procedimientos analíticos para el problema de la pelota ............................ 124
Ilustración 82. Dato del problema es un distractor en la resolución ................................... 125
Ilustración 83. El infinito como respuesta en procesos de convergencia ........................... 126
Ilustración 84. Razonamiento sobre el área sombreada ..................................................... 127
Ilustración 85. Razonamiento proceso interminable .......................................................... 127
Ilustración 86. Un registro incoherente .............................................................................. 129
Ilustración 87. Diferentes procedimientos en una solución ................................................ 129
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
12
Ilustración 88. Error de ejecución procedimiento analítico de representación gráfica ...... 130
Ilustración 89. Procedimientos que se complementan........................................................ 131
Ilustración 90. Elaboración fallida de procedimientos analíticos ....................................... 132
Ilustración 91. Procedimiento analítico destacado ............................................................. 133
Ilustración 92. Opciones de respuesta del problema del límite .......................................... 135
Ilustración 93. Uso de una tabla de valores ........................................................................ 136
Ilustración 94. Tabulación de datos .................................................................................... 136
Ilustración 95. Graficación de la función comprometida en el límite ................................ 136
Ilustración 96. Representación gráfica errónea .................................................................. 137
Ilustración 97. Contexto analítico del valor absoluto ......................................................... 138
Ilustración 98. Valor absoluto contemplado como función por partes ............................... 138
Ilustración 99. Estructura de los modelos y significados del valor absoluto ...................... 138
Ilustración 100. Justificación verbal a un problema de límites .......................................... 139
Ilustración 101. Elaboración de procedimientos analíticos sin conocer de límites ............ 139
Ilustración 102. Graficando la función del límite ............................................................... 140
Ilustración 103. Sustituir para hallar el límite .................................................................... 140
Ilustración 104. Análisis de límite lateral por la derecha ................................................... 141
Ilustración 105. Representaciones gráficas erróneas .......................................................... 142
Ilustración 106. Soluciones al límite desde lo gráfico ........................................................ 142
Ilustración 107. Vestigios de la definición épsilon-delta de límite .................................... 143
Ilustración 108. Una solución satisfactoria......................................................................... 143
Ilustración 109. El problema del carrito de juguete............................................................ 144
Ilustración 110. Uso de la derivada para calcular la velocidad instantánea ....................... 145
Ilustración 111. Evaluando la función para hallar la velocidad instantánea ...................... 145
Ilustración 112. Influencia de contextos de física en los procedimientos .......................... 146
Ilustración 113. “Velocidad instantánea” asociada con la “velocidad en un instante” ..... 146
Ilustración 114. Usos de la tabla de valores para obtener información .............................. 147
Ilustración 115. Problema de la partícula con una solución ............................................... 148
Ilustración 116. Solución correcta del problema de la derivada ......................................... 148
Ilustración 117. Infinitas tangentes ..................................................................................... 149
Ilustración 118. Tabular para graficar una función ............................................................ 149
Ilustración 119. Evaluando la función ................................................................................ 150
Ilustración 120. Conclusiones erradas con imágenes mentales antiguas ............................ 150
Ilustración 121. Asociación de ideas incorrectas................................................................ 151
Ilustración 122. Interpretación errónea de los extremos de un intervalo ............................ 151
Ilustración 123. Problema de la función cúbica ................................................................. 152
Ilustración 124. Intención de reemplazar ........................................................................... 153
Ilustración 125. Dificultades para resolver problemas con derivadas ................................ 153
Ilustración 126. Problema de la empresa láctea ................................................................. 155
Ilustración 127. Sustituir como procedimiento para modelar ............................................. 155
Ilustración 128. Análisis para obtener el modelo de los tanques........................................ 156
Ilustración 129. Organización de la educación en Colombia ............................................. 168
Ilustración 130. Elementos directrices del currículo de Matemáticas en Colombia .......... 170
Ilustración 131. Estructura de los Estándares Básicos en Competencias en Matemáticas . 175
Lista de Tablas
Tabla 1. Porcentajes de deserción acumulada UIS ............................................................... 19
Tabla 2. Los procesos matemáticos desde tres posturas ....................................................... 23
Tabla 3. Recopilación de categorización de errores en Matemáticas ................................... 28
Tabla 4. Referentes teóricos sobre constructos conceptuales asociados al Cálculo ............. 40
Tabla 5. Tres perspectivas sobre tipo de procedimientos ..................................................... 44
Tabla 6. Aproximación teórica a "destreza", "procedimiento" y "dominio de concepto" .... 44
Tabla 7. Resumen resultados en estándares e indicadores de la PDI_2014_I (Nivel 5) ...... 62
Tabla 8. Desempeño en la PDI de 2014-I de estudiantes de nuevo ingreso ......................... 63
Tabla 9. Tabla de Análisis problema de la pelota................................................................. 66
Tabla 10. Tabla de Análisis problema del cuadrado ............................................................ 67
Tabla 11.Tabla de Análisis problema del límite ................................................................... 68
Tabla 12. Tabla de Análisis problema del carrito de juguete ............................................... 69
Tabla 13. Tabla de Análisis problema de la partícula .......................................................... 70
Tabla 14. Tabla de Análisis problema de la empresa láctea ................................................. 71
Tabla 15. Tabla de Análisis problema de la cúbica .............................................................. 72
Tabla 16. Tabla de Análisis problema del folleto ................................................................. 73
Tabla 17. Tabla de Análisis problema del coseno ................................................................ 74
Tabla 18. Tabla de Análisis problema de la temperatura del agua ....................................... 76
Tabla 19. Puntajes promedio y desviaciones estándar en matemáticas, PISA 2012 ............ 77
Tabla 20. Problemas que incorporan objetos matemáticos de procedimientos métricos ..... 99
Tabla 21. Contrastando acciones de conversión ................................................................. 100
Lista de Anexos
Anexo 1. Organización de la educación en Colombia........................................................ 168
Anexo 2. Lineamientos Curriculares de Matemáticas ........................................................ 170
Anexo 3. Estándares Básicos en Competencias en Matemáticas ....................................... 172
Anexo 4. Conjuntos de grado para los Estándares ............................................................. 175
Anexo 5. Estándares asociados a los ejes temáticos de Seduca (2005) .............................. 176
Introducción
Tras el salto del colegio a la universidad a los 17 años, en promedio, los estudiantes se
enfrentan a los cursos de Cálculo Diferencial, Cálculo Integral, Cálculo Multivariable,
Ecuaciones Diferenciales, etc., cursos en los cuales la reprobación y la retención de
estudiantes son fenómenos preocupantes. Artigue (2003, p. 123), quien ha estudiado las
dificultades del aprendizaje del cálculo con el ánimo de comprenderlas y describirlas,
expresa que una posible justificación a ello se debe a que “la transición hacia
aproximaciones más formales [de los conceptos matemáticos], que tiene lugar en la
universidad, representa un salto tremendo, tanto conceptual como técnicamente”.
Recientes resultados del seguimiento al fenómeno de deserción escolar presentados por el
MEN (2009), Huesca y Castaño (2007) demuestran que el principal factor determinante del
abandono de estudios está asociado al potencial o capital cultural y académico con el cual
ingresan los estudiantes a la educación superior y esto lo evidencian los estudiantes de la
Universidad Industrial de Santander (Colombia). Algunos estudios realizados por la
Vicerrectoría Académica de la universidad han identificado que el curso de Cálculo I
(Cálculo Diferencial) se ubica en el primer y segundo lugar en cuanto a reprobación,
cancelación y repitencia, curso que está en el pensum de las ingenierías y de las carreras de
la Facultad de Ciencias de la universidad.
Desde 2012, a un porcentaje de los estudiantes de nuevo ingreso a la universidad que son
identificados como estudiantes en riesgo académico por el Sistema de Apoyo a la
Excelencia Académica de la institución, se les ofrece un curso de precálculo con el
propósito de fortalecer su pensamiento variacional, esto desde una estructura curricular
basada en los procesos matemáticos y en la mediación de un software matemático
interactivo.
Esta investigación es de metodología mixta pues responde a métodos cuantitativos y
cualitativos. Se desarrolló desde el contexto del curso de precálculo buscando caracterizar
las dificultades que emergen en la resolución de problemas variacionales de los estudiantes
de nuevo ingreso a la universidad. Esto desde el proceso matemático elaboración,
comparación y ejercitación de procedimientos contemplado por el Ministerio de Educación
Nacional de Colombia en los Lineamientos Curriculares de Matemáticas (MEN, 1998) y
por los Estándares Básicos en Competencias de Matemáticas (MEN, 2006).
Para realizar la caracterización de las dificultades en torno al proceso mencionado, se
contempló la categorización que realiza el MEN (1998) de los procedimientos, de tal modo
que ésta viene a ser la directriz del análisis de los datos que nos llevará a alcanzar el
objetivo de la investigación. Dicha categorización responde a los procedimientos de tipo
aritmético, geométrico, métrico y analítico.
Este documento, se constituye en reporte final de investigación y consta de las siguientes
partes:
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
16
Capítulo 1. Génesis de la Investigación. Aquí se exponen el contexto donde emerge la
problemática de esta investigación al mismo tiempo que se da cuenta de la pregunta y el
objetivo general de este trabajo. Además se presentan los antecedentes de la investigación
en torno a las dificultades del aprendizaje del cálculo, pensamiento variacional, procesos
matemáticos y se ofrece una visión rápida del sistema educativo de Colombia.
Capítulo 2. Marco Conceptual. Aquí se exponen de manera profunda los aspectos
teóricos sobre los cuales se sustenta esta investigación en cuanto a “cambio y variación”,
“resolución de problemas”, “proceso de elaboración, comparación y ejecución de
procedimientos” (proceso ECEP) y la categorización de los procedimientos mencionada.
Capítulo 3. Proceso Metodológico. En este apartado se da cuenta de la metodología
empleada para la obtención de los datos y su respectivo tratamiento estadístico; de las
técnicas e instrumentos de recolección de datos que se emplearon; la delimitación de la
muestra del estudio; el procedimiento a seguir para llevar a cabo el estudio y de la técnica
de análisis de los datos.
Capítulo 4. Caracterización de las Dificultades en los Procedimientos. Aquí se
presentan los resultados del análisis de los datos en relación a la categorización de los
procedimientos realizados por 113 estudiantes de nuevo ingreso en la resolución de 10
problemas de la prueba diagnóstica inicial del curso de precálculo.
Conclusiones. Es el último apartado del cuerpo de esta disertación, en éste se sintetizan los
hallazgos de la caracterización y se ofrecen algunas recomendaciones para dar continuidad
a este trabajo en futuras investigaciones.
CAPÍTULO 1.
GÉNESIS DE LA INVESTIGACIÓN
Este capítulo se desarrollará en dos grandes partes: la primera de ellas revelará una
problemática que se vive al interior de la Universidad Industrial de Santander el cual será,
en la segunda parte, enmarcado en una problemática de la Matemática Educativa a partir
del análisis de diversas investigaciones.
1.1 EL CÁLCULO DIFERENCIAL, UNA PROBLEMÁTICA EN LA UIS
El Ministerio de Educación Nacional (MEN, 2010) de Colombia reportó que un logro de la
política educativa responde al cumplimiento de las metas propuestas en cobertura: 34,7%
según el Plan de Desarrollo Sectorial 2007-2010; las tasas de cobertura han crecido en 10
puntos, pasando del 25,6% en 2003 al 35,5% en 2009.
La ampliación de cobertura que ha tenido la educación superior durante los últimos
años ha traído consigo un cambio estructural en la composición de la población
estudiantil. Efectivamente, están ingresando más estudiantes, pero a su vez, en
condiciones de mayor riesgo en lo académico y económico.
Consecuentemente, el tema de la deserción ha venido impactando los escenarios educativos
y es hoy un tema de primer orden: las mediciones más recientes identifican una deserción
para todo el sector de Educación Superior del 49%, tasa que incluye la deserción en el nivel
técnico profesional, tecnológico y profesional universitario (ibíd.).
Ilustración 1. Momento en el que los estudiantes universitarios colombianos desertan Fuente: MEN (2009).
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
18
Como se aprecia de la Ilustración 1, en sus estudios sobre esta problemática, el MEN
encuentra que el momento con mayor índice de deserción es el primer semestre el 37% del
total de estudiantes desertores se va en primer semestre y el 16% en segundo; es decir, más
de la mitad de la deserción se concentra en los primeros dos semestres; y más aún, el 78%
de la deserción tiene lugar en la primera mitad de la carrera
Es decir, cerca de uno de cada dos estudiantes que ingresa no se gradúa; uno de cada cinco
se retira en primer semestre o emigra hacia otras áreas. Adicional a esto se tiene
información de que son cuatro las variables que inciden en el fenómeno de la deserción:
personales, académicas, socioeconómicas e institucionales, como se aprecia en la
Ilustración 2.
Ilustración 2. Variables explicativas de la deserción en IES en Colombia Fuente: MEN (2009).
Para centrarnos en la variable académica, es necesario saber que en Colombia para ingresar
a la educación superior los estudiantes presentan el examen obligatorio Prueba Saber (antes
Examen del ICFES), elemento que ofrece al país una medida de la calidad de la educación.
Al hacerse una aproximación a los resultados obtenidos en la prueba, el MEN encuentra
que mientras en 1998 el 32% traía un puntaje valorado como alto, en 2008 sólo el 13% tuvo
una calificación de este tipo. En contraste, la participación del puntaje bajo pasó de 25% a
46% durante el mismo periodo (MEN, 2010, p. 4). Esto implica que para enfrentar el reto
de cursar exitosamente sus estudios los estudiantes que accedieron a la educación superior
en 2007 presentan condiciones académicas menos favorables que los de 1998.
La Universidad Industrial de Santander (UIS, por sus siglas) vive la problemática de bajo
rendimiento académico de los estudiantes de nuevo ingreso a la institución. La UIS es una
institución de educación pública de carácter oficial con cuatro sedes a nivel departamental.
En su sede principal tiene cinco facultades con un total de 32 programas de pregrado a
2013: facultad de Ciencias Humanas, de Ingenierías Fisicoquímicas, de Ciencias (con cinco
programas), de Ingenierías Fisicomecánicas, y la de Salud.
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
19
En el ciclo básico de las carreras de Física, Matemáticas, Licenciatura en Matemáticas y de
Ingenierías se cursa en el primer nivel Cálculo I (Cálculo Diferencial), carreras que han
experimentado por años los altos índices de fracaso escolar y deserción como se puede
apreciar en la Tabla 1 que sigue.
Tabla 1. Porcentajes de deserción acumulada UIS
Facultad/Programa 2009 2010 2011 2012 2013
Ciencias1
Física 70,45 75,56 59,77 63,04 71,43
Licenciatura en
Matemáticas 60,24 65,22 47,06 72,09 71,74
Ingenierías
Fisicomécanicas 45,31 40,40 42,38 45,41 42,47
Ingenierías
Fisicoquímicas 39,52 38,05 40,33 39,36 27,24
Fuente: Universidad Industrial de Santander (2013)
La universidad realizó un estudio con el que encontró que los cursos de matemáticas son
los que mayor dificultad le generan a los estudiantes de nuevo ingreso (Botello, 2013).
Recientes estudios de la Vicerrectoría Académica muestran que, por ejemplo, en 2012 y
2013 se ofrecieron 40 cursos en promedio, cada uno de ellos con 40 estudiantes, el
porcentaje aproximado de reprobación en Cálculo Diferencial (Cálculo I) fue entre 49 y
64% (ver Ilustración 3) siendo esta situación preocupante para las diferentes instancias
educativas de la universidad.
Ilustración 3. Rendimiento académico en Cálculo I de estudiantes UIS, 2012-2013
1 Para la Facultad de Ciencias se especifican los programas de Física y Licenciatura en Matemáticas ya que
Biología y Química están adscritas a la facultad. Matemáticas no aparecen en esta tabla porque no es
reportada por la UIS ya que su creación fue en 2007 y los datos corresponden a la deserción acumulada a
décimo semestre de cada programa en los últimos cinco años.
2012-I 2012-II 2013-I 2013-II
% Cancelaron 4,18 6,41 9,95 6,96
% Aprobaron 32,04 31,74 31,40 41,94
% Reprobaron 63,77 61,84 58,65 49,80
0,00
10,00
20,00
30,00
40,00
50,00
60,00
70,00
Porcentaje
de
estudia
ntes
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
20
Para el caso de Cálculo II (Cálculo Integral), el porcentaje de aprobación oscila entre el 41
y 50%, esto para un promedio de 29 cursos con 40 estudiantes. De lo expuesto
anteriormente, tenemos que:
(i) Los estudiantes de nuevo ingreso son quienes tienen mayor riesgo académico
tras su ingreso al sistema educativo universitario.
(ii) La formación escolar que antecede a los estudios de posgrados incide en el nivel
de permanencia y graduación de los nuevos estudiantes de la educación
superior. Esto, a su vez, impacta el desempeño de los estudiantes en asignaturas
como el Cálculo Diferencial (asignatura que es tomada por los estudiantes de
primer nivel de 16 carreras de la UIS).
En aras de aportar soluciones a la problemática en la UIS, la Vicerrectora Académica de la
institución desarrolló el proyecto “Diagnóstico de las causas de deserción y retención
estudiantil en los programas de pregrado presencial de la Universidad Industrial de
Santander” (UIS, 2011), cuya población de estudio fueron los estudiantes que ingresaron a
la universidad durante el periodo 2002-2008. Los datos de retención de los estudiantes que
ingresaron desde 1998 hasta el primer periodo académico de 2005 a los programas de
pregrado presencial mostraron que la materia con el más alto porcentaje de dificultad es
precisamente Cálculo Diferencial. Botello (2013) nos dice que otra alternativa de la
universidad es el trabajo en los programas de asesoría académica; estos se caracterizan
porque estudiantes de niveles superiores (tutores) resuelven dudas de otros estudiantes
(estudiantes beneficiarios) de cualquier semestre, y en diversas asignaturas (cálculo,
álgebra, química, física, etc.).
Por su parte, la Escuela de Matemáticas de la universidad, convencida de la necesidad de
apoyar a los estudiantes en sus procesos de enseñanza y aprendizaje del Cálculo, con el
liderazgo de sus profesores e investigadores, la Escuela ha desarrollado estudios para
comprender la problemática alrededor de Cálculo I; por ejemplo, Fiallo y Parada (2014),
han identificado que las causas de la reprobación en la asignatura podrían ser de tipo:
curricular, de metodologías de enseñanza o de procesos de aprendizaje. Con relación a los
aspectos curriculares, los autores pensaron en causas como:
1. Los estudiantes no traen los conocimientos necesarios de álgebra y de
precálculo lo cual podría deberse a que los contenidos no son trabajados o vistos
en el colegio.
2. La inclusión de fundamentos matemáticos en plan de estudios del curso de
Cálculo I, lo que hace más extenso el programa y obliga al profesor a ir rápido en
el estudio de los contenidos trazados y, consecuentemente, los estudiantes no
logran procesar toda la información.
3. El cambio del sistema de evaluación; en el colegio se les ofrecen muchas
alternativas para que ellos recuperen una y otra vez una “valoración” lo que se
modifica en la universidad.
La Escuela ha considerado la puesta en marcha de alternativas curriculares para atender a la
problemática: desde 2009 se creó un plan de estudios unificado. Éste se ajusta cada
semestre en cuanto a ejercicios sugeridos y planificación de la evaluación, pero se mantiene
el diseño curricular. Así mismo, Botello (2013) nos indica que se definió un texto guía
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
21
(Stewart, 2008) y que, para cada semestre, la Escuela realiza el examen final para todos los
estudiantes de Cálculo I de la institución. De otra parte, en 2012 se consolida una propuesta
curricular desde dos flancos: preventivo (estudiantes admitidos) y remedial (estudiantes
matriculados). En la Ilustración 4 se muestra un esquema de todo lo que comprende la
propuesta, la cual se empezó a implementar parcialmente desde ese mismo año y es
precisamente desde la implementación de este proyecto y desde una de las actividades de
las alternativas preventivas que se desprende el estudio que aquí reportamos.
Ilustración 4. Estructura general del proyecto institucional de la UIS para atender
la problemática alrededor del Cálculo
Fuente: Parada (2012)
Parada (2012) nos explica que las alternativas preventivas plantean entre una de sus
actividades una prueba diagnóstica aplicada a estudiantes admitidos al primer nivel de
carreras de ingeniería y de la Facultad de Ciencias que son invitados a participar de un
curso de precálculo. Dicha prueba se realiza con el fin de detectar algunas de las
dificultades en matemáticas con las que ingresan los estudiantes a la universidad para con
ello poder planear las demás alternativas remediales que ofrece la universidad como lo son
las tutorías individuales.
Tanto la prueba diagnóstica como las actividades del curso de precálculo pretenden valorar
y posibilitar el desarrollo del pensamiento variacional y de los procesos matemáticos
asociados a la variación (objeto cognitivo del Cálculo Diferencial) como el razonamiento,
la resolución y el planteamiento de problemas, la comunicación, la modelación y la
elaboración, comparación y ejercitación de procedimientos (MEN, 1998, pág. 35).
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
22
El curso de precálculo y el proyecto general, se han constituido en espacios de reflexión
para la comunidad de profesores investigadores en educación matemática adscritos al
Grupo de Investigación en Educación Matemáticas (Grupo EDUMAT-UIS) de la Escuela
de Matemáticas, quienes actualmente adelantan varias investigaciones que pretenden
estudiar los procesos matemáticos en torno a la resolución de problemas de fenómenos
variacionales, con el objetivo de caracterizar las habilidades básicas del pensamiento
variacional necesarias para la comprensión del Cálculo Diferencial (precisamente los
resultados de esta investigación pretende contribuir teórica y empíricamente con dicho
estudio).
Por todo lo anterior, se proyecta un estudio que pretende responder al siguiente
interrogante: ¿con cuáles dificultades llegan los estudiantes a la universidad para resolver
problemas que implican situaciones de variación, específicamente desde el proceso
matemático de elaboración, comparación y ejercitación de procedimientos? Esto nos lleva a
direccionar la investigación con el siguiente objetivo de investigación: caracterizar
algunas dificultades que enfrentan los estudiantes cuando resuelven problemas que
implican fenómenos de variación, específicamente desde el proceso matemático de
elaboración, comparación y ejercitación de procedimientos.
1.2 ANTECEDENTES
En este apartado recuperamos algunos resultados de investigaciones alrededor de la
problemática de las dificultades asociadas al cálculo diferencial (§1.3.2), lo cual nos
permitirá vislumbrarlas como un campo de investigación muy amplio y complejo que
requiere de su comprensión para ayudar a los estudiantes y a las universidades a sortear el
fenómeno a través del diseño de estrategias curriculares de apoyo (§1.3.3). Veremos que
los procesos matemáticos (§1.3.1) son un eje curricular importante para el desarrollo del
pensamiento matemático del estudiante, que le permiten enfrentarse a la resolución de
problemas de fenómenos de variación con éxito superando el conocimiento procedimiental.
1.2.1 Estudios que caracterizan los procesos matemáticos
Recientemente se ha venido reconociendo entre la comunidad de educadores matemáticos
la importancia de promover en los estudiantes un aprendizaje que supere lo memorístico; se
afirma que en el estudio de las matemáticas es necesario atender tanto a las líneas de
contenidos como a los procesos donde los estudiantes tengan oportunidades de examinar
casos particulares, formular conjeturas, presentar argumentos y comunicar resultados
(MEN, 1998).
Tall (1988, citado por Gómez, 2009) introduce los procesos matemáticos al hablar del
pensamiento matemático avanzado (PMA) cuando los procesos de la actividad matemática
se refieran a demostrar, definir y abstraer o en objetos matemáticos avanzados como
función, límite, espacio topológico, etc.
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
23
Rico señala que los procesos matemáticos describen lo que hacen los individuos para
relacionar el contexto de un problema con las matemáticas.
los procesos que deben activarse para conectar el mundo real, donde surgen los
problemas con las matemáticas y resolver entonces la cuestión planteada, lo cual
permite concretar el significado general mediante diversos tipos de capacidades de
análisis, razonamiento y comunicación que los estudiantes ponen en juego cuando
resuelven o formulan problemas matemáticos en una variedad de dominios y
situaciones (2006, p. 282).
Como se observará en la Tabla 2, la revisión de los antecedentes nos condujo a tres autores
que teorizan sobre procesos matemáticos de diferente forma aunque con aspectos comunes
de fondo:
Principios y Estándares para la Educación Matemática (NCTM, 2003).
Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas (MEN, 1998).
PISA (OCDE, 2012).
Tabla 2. Los procesos matemáticos desde tres posturas
NCTM (20032) MEN (1998) OCDE (20123)
Estándares
de Procesos
Procesos
Generales de la
Actividad
Matemática
Procesos
Matemáticos
Resolución de
Problemas
Razonamiento y
Demostración
Comunicación,
Conexiones y
Representación.
Resolución de
Problemas
Comunicación
Razonamiento
Modelación
Elaboración,
comparación y
ejercitación de
procedimientos
Formulación matemática
de las situaciones
Empleo de conceptos,
datos, procedimientos y
razonamientos matemáticos
Interpretación, aplicación
y valoración de los
resultados matemáticos.
Fuente: Elaboración de la investigadora.
Los Principios y Estándares para la Educación Matemática son una pieza esencial en el
debate sobre el currículo de matemáticas en Colombia. La propuesta destaca además de
estándares de contenido (números y operaciones; geometría y sentido espacial; patrones,
relaciones y álgebra; medición, análisis de datos y probabilidad), cinco estándares de
procesos del pensamiento matemático los cuales apoyan el aprendizaje de los estándares de
contenidos y se desarrollan a través de éstos. Los investigadores del NCTM (2003) dejan
claro que los estándares de procesos ponen de relieve las formas de adquisición y uso de los
contenidos, por lo que integran los unos con los otros al describirlos en cada nivel
educativo tratando de diferenciar los procesos de contenidos, de manera que sea más
comprensible para los profesores el cómo desarrollar procesos matemáticos.
2 Corresponde a la versión en español. 3 La versión anterior corresponde al 2004, tiempo en el cual las competencias elegidas por el proyecto PISA
eran siete: Pensar y razonar, Argumentar, Comunicar, Modelizar, Plantear y resolver problemas, Representar
y Utilizar el lenguaje simbólico, formal y técnico y las operaciones (Rico, 2006).
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
24
En Colombia, tomando como referencia el trabajo del NCTM y tratando de contextualizar
los cincos estándares de procesos a las expectativas que sobre estos se tienen de la
formación de los estudiantes, el MEN (1998) consideró cinco procesos matemáticos que
también se espera sean transversales en el currículo durante toda la escolaridad; con gran
dificultad en los Estándares Básicos en Competencias en Matemáticas (MEN, 2006) se
intenta explicar que los procesos matemáticos están conectados los unos con los otros, a la
vez que con el pensamiento matemático.
La Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico (OCDE, 2012) concibe al
estudiante como individuo que resuelve problemas de forma activa, y bajo este principio se
estructuran las pruebas PISA pretendiendo “englobar el razonamiento matemático y la
utilización de conceptos, procedimientos, datos y herramientas matemáticas para describir,
explicar y predecir fenómenos” (p. 9). En concreto, los verbos «formular», «emplear» e
«interpretar» señalan los tres procesos en los que van a participar los estudiantes como
individuos que resuelven problemas de forma activa. Estos tres procesos se refieren a las
tres categorías que la OCDE emplea para presentar los resultados del proyecto PISA desde
siete capacidades matemáticas que subyacen a los procesos matemáticos (2012):
1. Comunicar
La lectura, descodificación e interpretación de enunciados, preguntas, tareas u objetos le
permite formar un modelo mental de la situación, que es un paso importante para la
comprensión, clarificación y formulación de un problema. Durante el proceso de solución
puede ser necesario resumir y presentar los resultados intermedios. Posteriormente, una vez
que se ha encontrado una solución, el individuo que resuelve el problema puede tener que
presentarla a otros y tal vez una explicación o justificación.
2. Matematizar
Puede suponer transformar un problema definido en el mundo real en una forma
estrictamente matemática (que puede incluir la estructuración, conceptualización,
elaboración de suposiciones y/o formulación de un modelo) o la interpretación o valoración
de un resultado o modelo matemático con relación al problema original.
3. Representar
Esto puede suponer la selección, interpretación, traducción entre y utilización de distintas
representaciones para reflejar una situación, interactuar con un problema o presentar el
propio trabajo. Las representaciones a las que se hace referencia incluyen gráficos, tablas,
diagramas, imágenes, ecuaciones, fórmulas y materiales concretos. También incluye el uso
de herramientas físicas (calculadoras y herramientas informáticas), que favorecen en varios
casos el desarrollo de actividad matemática profunda además de las diferentes
representaciones de un mismo objeto matemático.
4. Razonamiento y argumentación
Esta capacidad implica procesos de pensamiento arraigados de forma lógica que exploran y
conectan los elementos del problema para realizar inferencias a partir de ellos, comprobar
una justificación dada o proporcionar argumentos de los enunciados o soluciones a los
problemas.
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
25
5. Diseño de estrategias para resolver problemas
Esto implica un conjunto de procesos de control fundamentales que guían al individuo para
que reconozca, formule y resuelva problemas eficazmente. Esta destreza se caracteriza por
la selección o diseño de un plan o estrategia cuyo fin es utilizar las matemáticas para
resolver los problemas derivados de una tarea o contexto, además de guiar su
implementación.
6. Utilizar operaciones y algoritmos
Esto implica la comprensión, interpretación, manipulación y utilización de expresiones
simbólicas en un contexto matemático (incluidas las expresiones y operaciones aritméticas)
regido por convenciones y reglas matemáticas. También supone la comprensión y
utilización de constructos formales basados en definiciones, reglas y sistemas formales, así
como el uso de algoritmos con estas entidades. Los símbolos, las reglas y los sistemas
empleados varían en función de los conocimientos concretos de contenido matemático que
se requieren en un ejercicio específico para formular, resolver o interpretar las matemáticas.
7.Utilización de herramientas matemáticas
El uso de herramientas físicas, como los instrumentos de medición, además de calculadoras
y herramientas informáticas que cada vez son más accesibles. El conocimiento y la
habilidad para utilizar las distintas herramientas que pueden favorecer la actividad
matemática, así como el conocimiento de sus limitaciones están implícitos en esta
capacidad. Asimismo, las herramientas matemáticas pueden desempeñar un papel crucial
en la comunicación de los resultados.
Al revisar cuidadosamente la conceptualización de las tres posiciones reseñadas se tiene
que todos coinciden en que los procesos matemáticos son requeridos en la resolución de
problemas ya que en el proceso de resolución los sujetos ejecutan los conocimientos y
procesos matemáticos necesarios para obtener resultados y encontrar una solución
matemática del problema, bajo la premisa de que cada uno de los procesos que apoya la
resolución de problemas recurre a habilidades cognitivas que ayudan a comprender un
problema y resolverlo.
Los procesos matemáticos también se constituyen en elementos importantes y transversales
del diseño curricular de matemáticas en Colombia; el MEN (1998, 2006) orienta en que los
profesores deben propender por una formación matemática que integre conceptos y
procesos matemáticos (premisa que también promueven el NCTM y la OCDE).
Estos procesos están muy relacionados con las competencias […] pues ser
matemáticamente competente requiere ser diestro, eficaz y eficiente en el desarrollo
de cada uno de esos procesos generales, en los cuales cada estudiante va pasando por
distintos niveles de competencia. Además de relacionarse con esos cinco procesos,
ser matemáticamente competente se concreta de manera específica en el pensamiento
lógico y el pensamiento matemático, el cual se subdivide en los cinco tipos de
pensamiento propuestos en los Lineamientos Curriculares: el numérico, el espacial, el
métrico o de medida, el aleatorio o probabilístico y el variacional (MEN, 2006, p.
56)4.
4 En el Anexo 3 se ofrece una visión sintética y detallada de cada pensamiento.
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
26
En el caso particular del Cálculo Diferencial, se espera que cuando un estudiante termine su
escolaridad cuente con los recursos conceptuales y cognitivos necesarios para el
aprendizaje del mismo, ya que el MEN (1998) señala que desarrollo del pensamiento
variacional se debe dar desde los primeros años de la educación primaria, para que el
estudiante al llegar a la universidad haya alcanzados los estándares básicos en competencias
en matemáticas propios del pensamiento variacional (MEN, 2006, p. 89):
Utilizar las técnicas de aproximación en procesos infinitos numéricos.
Interpretar la noción de derivada como razón de cambio y como valor de la
pendiente de la tangente a una curva y desarrollar métodos para hallar las derivadas
de algunas funciones básicas en contextos matemáticos y no matemáticos.
Analizar las relaciones y propiedades entre las expresiones algebraicas y las gráficas
de funciones polinómicas y racionales y de sus derivadas.
Modelar situaciones de variación periódica con funciones trigonométricas e
interpretar y utilizar sus derivadas.
Esto implica, dado que en el pensamiento variacional confluyen los procesos matemáticos
que coadyuvan a su desarrollo, que el estudiante cuente con la capacidad de poner en juego
los procesos matemáticos adquiridos durante el aprendizaje de los objetos matemáticos del
cálculo y en la resolución de problemas de fenómenos variacionales. No obstante, existe
una distancia importante entre los cuatro estándares señalados para el pensamiento
variacional que deberían ser del haber cognitivo de los estudiantes al ingresar a la
educación superior y la realidad académica de los estudiantes. Y es precisamente en esa
brecha, en donde esta investigación se sitúa para caracterizar algunas dificultades que
enfrentan los estudiantes cuando resuelven problemas que implican fenómenos de
variación, específicamente desde el proceso matemático de elaboración, comparación y
ejercitación de procesos contemplado por el MEN (2008) (sobre éste profundizaremos en
§2.2).
La búsqueda de antecedentes sobre el proceso matemático de “elaboración, comparación y
ejecución de procedimientos” (ECEP, en adelante) nos llevó a algunas investigaciones que
distinguen el conocimiento conceptual y el conocimiento procedimental (Rico, 1995;
NCTM, 1998; Rittle-Jhonson, Siegler y Wagner, 2001; Star, 2004; OCDE, 2012) como
parte de la competencia matemática.
El conocimiento conceptual se caracteriza más claramente como conocimiento que es
rico en relaciones. Puede pensarse como una membrana conectada de conocimiento,
una red en la que las relaciones de conexión son tan importantes como las piezas
discretas de información. Las relaciones saturan los hechos y proposiciones
individuales de modo que todas las piezas de información están conectadas a alguna
red. De hecho, una unidad de conocimiento conceptual no puede ser una pieza aislada
de información; por definición es una parte del conocimiento conceptual sólo si su
poseedor reconoce su relación con otras piezas de información” (Rico, 1995, p. 14
citando a Hiebert y Lefevre, 1986).
Rico (1995) señala que los procedimientos se pueden caracterizar en términos de destrezas,
razonamientos y estrategias como los niveles diferentes del campo de los procedimientos:
a. destrezas que se ejecutan procesando hechos [unidades de información];
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
27
b. razonamientos que se presentan al procesar relaciones entre conceptos, y permiten
establecer conexiones entre los mismos; y,
c. estrategias, que se ejecutan sobre representaciones de conceptos y relaciones.
Star (2005, en Rittle-Johnson y Schneider, 2012) reconoce que la definición de
conocimiento procedimental en ocasiones ha incluido restricciones importantes dentro de la
educación matemática, al considerarlo como los modos de ejecución ordenada de una tarea
asemejándolo a los pasos de una receta.
En Colombia, la noción de “ser matemáticamente competente” está conectada con la
distinción del conocimiento matemático en dos tipos: conocimiento básico y conocimiento
procedimental.
El primero está más cercano a la reflexión y se caracteriza por ser un conocimiento
teórico, producido por la actividad cognitiva, muy rico en relaciones entre sus
componentes y con otros conocimientos […].
Por su parte, el procedimental está más cercano a la acción y se relaciona con las
técnicas y las estrategias para representar conceptos y para transformar dichas
representaciones; con las habilidades y destrezas para elaborar, comparar y ejercitar
algoritmos y para argumentar convincentemente. El conocimiento procedimental
ayuda a la construcción y refinamiento del conocimiento conceptual y permite el uso
eficaz, flexible y en contexto de los conceptos, proposiciones, teorías y modelos
matemáticos; por tanto, está asociado con el saber cómo (MEN, 2006, p. 50).
Aunque existe cierta variabilidad en cómo se definen y miden estas construcciones, existe
un consenso general en que las relaciones entre el conocimiento conceptual y
procedimental a menudo son bidireccionales e iterativas. Por ejemplo, los autores Rittle-
Johnson y Schneider (2012) señalan que este conocimiento se desarrolla a través de la
práctica de resolución de problemas, por lo que dicha relación está ligada a determinados
tipos de problemas.
Para efectos de esta investigación nos apartaremos del conocimiento procedimental dada su
ambigüedad ya que consideramos que la resolución de problemas responde al engranaje de
conceptos, procedimientos y procesos lo cual supera la suficiencia de la dupla conceptos-
procedimientos para la resolución de problemas. También enfatizamos en que intentaremos
ir un paso delante de los errores cometidos por los estudiantes en la resolución de
problemas que implican fenómenos variacionales para hacer emerger, desde el análisis de
los errores, las dificultades que llevan a su ocurrencia.
1.2.2 De los errores hacia las dificultades en el aprendizaje de las matemáticas: Cálculo
Los reportes de investigaciones alusivas a las dificultades en el pensamiento matemático se
refieren a ellas en términos de errores. Una explicación encontrada en la misma literatura es
que éstos son una manifestación de las dificultades y los obstáculos propios del aprendizaje
(Díaz, 2009).
Rico (1995, p. 5) señala que “cuando un alumno proporciona una respuesta incorrecta a una
cuestión matemática que se le plantea se puede decir que su respuesta es errónea, y la
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
28
solución proporcionada es un error en relación con la cuestión propuesta”. Por ende, es en
los procesos de aprendizaje donde se develan las dificultades siendo éstas de una gran
variedad y potencialmente generadoras de los errores. Tales dificultades son categorizadas
(Di Blasi Regner y otros 2003, en Abrate, Pochulu y Vargas, 2006, pp. 31-34) en los
siguientes tópicos:
1. Dificultades asociadas a la complejidad de los objetos matemáticos.
2. Dificultades asociadas a los procesos de pensamiento matemático.
3. Dificultades asociadas a los procesos de enseñanza.
4. Dificultades asociadas al desarrollo cognitivo de los alumnos.
5. Dificultades asociadas a las actitudes afectivas y emocionales.
Tabla 3. Recopilación de categorización de errores en Matemáticas
INVESTIGACIÓN CATEGORÍA
Radatz
(1979, citado por Rico,
1995)
Errores debidos a dificultades de lenguaje.
Errores debidos a dificultades para obtener información
espacial.
Errores debidos a un aprendizaje deficiente de hechos,
destrezas y conceptos previos.
Errores debidos a asociaciones incorrectas o a rigidez del
pensamiento. Errores debidos a la aplicación de reglas o
estrategias irrelevantes.
Davis
(1984)
Errores inducidos por el lenguaje o la notación.
Errores por recuperación de un esquema.
Errores producidos por una representación inadecuada y
reglas que producen reglas.
Booth
(1984)
Errores comunes cometidos por los alumnos atribuidos a:
La naturaleza y el significado de los símbolos y las letras.
El objetivo de la actividad y la naturaleza de las respuestas en
álgebra.
La comprensión de la aritmética por parte de los estudiantes.
El uso inapropiado de “fórmulas” o “reglas de
procedimiento”.
Esteley – Villarreal
(1990, 1992, 1996)
Errores al operar con números reales en cálculos, planteo y
resolución de ecuaciones.
No empleo o uso parcial de la información.
No verificación de resultados parciales o totales
Empleo incorrecto de propiedades y definiciones (de números
o funciones).
No verificación de condiciones de aplicabilidad de teoremas,
definiciones, etc. En un caso particular.
Fuente: Adaptación de la investigadora de Engler, Gregorini, Müller, Vrancken y Hecklein (2004, p. 26-30)
El análisis de errores en el aprendizaje tomó una gran relevancia en las investigaciones en
Educación Matemática. Engler, Gregorini, Müller, Vrancken y Hecklein (2004) realizaron
un acercamiento a las investigaciones sobre errores en el aprendizaje de las matemáticas;
de ellas surgen otras categorías de errores (presentadas en la Tabla 3 anterior, en la cual
podremos observar algunas intersecciones).
Artigue (1998) reporta que diferentes investigaciones didácticas desarrolladas han mostrado
la existencia de dificultades fuertes y persistentes (tanto en áreas específicas de la
Matemática, o en la transición de la enseñanza secundaria-universidad) y enfatiza en que
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
29
éstas se implican y refuerzan mutuamente lo cual hace la problemática muy compleja, por
lo que las ha organizado en estructuras coherentes a saber:
• Las dificultades ligadas a la complejidad matemática de los objetos básicos de este
campo conceptual: los números reales, las funciones y las sucesiones, objetos que
están siempre en fase de construcción cuando se empieza la enseñanza del Análisis.
• Las dificultades ligadas a la conceptualización de la noción de límite, que es la
noción central del campo, y a su dominio técnico.
• Las dificultades ligadas a la necesaria ruptura con modos característicos de
pensamiento del funcionamiento algebraico.
Esta autora presenta resultados de investigaciones en los cuales se muestra que es común
entre los estudiantes la dificultad para diferenciar lo que es una función y el reconocimiento
de que las sucesiones son también funciones; los estudiantes tienen base en ejemplos que se
les han presentado con frecuencia y los toman como prototipos para emplearlos como
criterios para decidir qué es y qué no es función, asumiendo que una función es una
fórmula o una curva en lugar de considerar la definición formal que conocen.
Carlson, Jacobs, Coe, Larsen y Hsu (2003) afirman que los estudiantes ingresan a la
universidad con una comprensión deficiente sobre las funciones y que, incluso, estudiantes
académicamente talentosos tienen dificultad para modelar relaciones funcionales de
situaciones que involucran la razón de cambio de una variable cuando varía continuamente
en una relación dependiente con otra variable.
El límite es otro de los objetos matemáticos del cálculo cuyo aprendizaje es muy
problemático; se ha detectado la dificultad de los estudiantes entorno a su
conceptualización dada la significación que en la vida cotidiana tiene este término. Otro de
los aspectos que se suma a las dificultades en el dominio de este concepto se debe en la
enseñanza secundaria ya que los profesores no precisan en los procesos infinitos que
subyacen al límite pues su enseñanza se centra en sustituir, técnica que prevalece a lo largo
de los estudios de los estudiantes y son pocos los que logran sobrepasar el obstáculo (Hitt,
2003).
Hitt (ibíd.) explica que la manipulación algebraica relativa al concepto produce una
limitación en su comprensión, lo cual se agrandará a medida que se avanza en el
aprendizaje del cálculo además de que no les permitirá a los estudiantes enfrentarse a la
complejidad del pensamiento matemático avanzado. Se ha documentado también la
existencia de diversas dificultades para hacer traducciones del lenguaje gráfico al analítico.
Incluso al trabajar en el mismo lenguaje hay problemas, por ejemplo, al trabajar en el
lenguaje gráfico se presentan dificultades para establecer relaciones entre la gráfica de una
función y la de su derivada, o de sus primitivas (Artigue, 1998).
Viendo las dificultades desde el álgebra, Engler, Gregorini, Müller, Vrancken y Hecklein,
(2004) señalan que los errores comunes cometidos por los estudiantes se remiten a
problemas de comprensión de la aritmética ya que
las dificultades que los estudiantes presentan en el álgebra muchas veces no son tanto
dificultades en el álgebra como problemas que se quedan sin corregir en la aritmética.
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
30
En la mayoría de los errores cometidos en aritmética, los alumnos reflejan
dificultades de interiorización del concepto o falta de percepción (p. 27).
En cuanto al álgebra, Díaz (2009) señala que pese a que esta asignatura se le dedica
bastante tiempo de enseñanza en los niveles de secundaria y preparatoria, los estudiantes
que ingresan a la universidad tienen dificultades con la comprensión y manejo de conceptos
fundamentales relacionados con ella. Estas consideraciones llevaron al autor a profundizar
en la comprensión de las dificultades que tienen los estudiantes al resolver ejercicios y
problemas que involucran conocimientos algebraicos que son básicos para el curso del
cálculo.
Orton (1983) presenta una clasificación de los errores cometidos por 110 estudiantes
británicos en una prueba concerniente a derivadas e integrales; dichas categorías responden
a tres tipos de errores que se señalan en la Ilustración 5 que sigue.
Ilustración 5. Categorización de errores por Orton (1983) Fuente: Adaptación de la investigadora
Por otro lado, respecto a la enseñanza de los números reales que se da en la educación
básica, en Colombia le precede la presentación de la construcción de los sistemas
numéricos: naturales, enteros, racionales e irracionales. La enseñanza de los mismos se
acentúa en la estructura algebraica, enfatizando en el uso de símbolos algebraicos y en el
manejo de operadores. García, Serrano, y Díaz (1999) afirman que la realidad cognitiva de
los estudiantes para pensar e interpretar los reales muestra la profunda contradicción entre
la estructura ideal e incuestionable de los reales y las nociones, ideas y concepciones de los
estudiantes. Como resultado de su investigación, los autores señalan que los estudiantes
universitarios presentan dificultades al:
Asociar el número real con la idea de número como cantidad pues está “construido
por la abstracción de fenómenos físicos”. Esta idea es coherente con los estudiantes
para quienes el adjetivo “real” es indicación de objetos tangibles pues representan
objetos de la vida diaria.
Establecer la coherencia de número real con representaciones propias del número
como los son √2, √3, π.
Interpretar procesos infinitos y límites.
Emplear el lenguaje matemático formal.
ERRORES
Estructurales Arbitrarios Ejecutivos
Relacionados con los
conceptos esenciales implicados
Cuando el alumno se
comporta arbitrariamente sin tener en cuenta los datos del problema.
Errores en la
manipulación, si bien los conceptos implicados pueden ser comprendidos
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
31
Dada la formación matemática que reciben los estudiantes antes de ingresar a la
universidad, podríamos decir que los estudiantes conocen ciertas propiedades de los
conceptos básicos: números reales, funciones, limites, continuidad, diferenciación e
integración, pero también es cierto que
una construcción del concepto de variación cognitivamente efectiva presenta
dificultades considerables y es, necesariamente, lenta; puesto que supone, por una
parte, del dominio e integración de distintos campos numéricos, N, Z, Q, R, C, cada
uno con sus propias especificidades simbólicas, operatorias, estructurales y de
representación, junto con la comprensión en profundidad de procesos específicos
complejos como el paso al límite y la noción paramatemática de variable o la
articulación del pensamiento predictivo con su eventual matematización (Solache y
Díaz, 1999, pp. 22-23).
Tras lo expuesto se puede deducir que las dificultades en el aprendizaje del cálculo no son
solo del terreno universitario sino que, pareciera ser, hay un gran lastre de conexión con los
procesos de enseñanza y aprendizaje de la secundaria.
Es por esta razón que una de las metas que se debe proponer la educación matemática
es la de desarrollar en los estudiantes las competencias necesarias para “entender y
controlar el mundo cambiante en que vivimos” (Stewart, 1998, p. 193), por
consiguiente el reto que se le plantea es conseguir una enseñanza del Cálculo
cognitivamente eficiente. Pero la enseñanza de esta área de la Matemática, no puede
seguir siendo aquella que se reduce a la presentación formal de los conceptos, pues la
investigación en educación matemática ha demostrado que las posibilidades de su
comprensión reposan sobre nociones e ideas básicas como la de infinito, procesos
infinitos, aproximación y variación (García, Serrano y Díaz, 1999, p. 1).
Es claro que la problemática de los errores y las dificultades en matemáticas es muy amplia
y ha sido siendo estudiada por diferentes investigadores en educación matemática pues,
como afirma Cadenas (2007), el hallazgo de los errores de los estudiantes permite diseñar
y retomar estrategias que les permite identificar e intentar superar sus dificultades y
obstáculos para lograr nuevos aprendizajes, y realimentar los conocimientos existentes. Al
respecto, actores de diferentes universidades de diferentes países han pensado estrategias
institucionales para acompañar a los estudiantes en las dificultades del aprendizaje de las
matemáticas asumiéndolas como parte del proceso de construcción del conocimiento y
como una oportunidad para ajustar los conocimientos anteriores a las exigencias nuevas de
la universidad. Veamos algunas de ellas en el siguiente apartado.
1.2.3 Alternativas para atender las dificultades en matemáticas: Cálculo
Diferentes universidades a nivel local, nacional e internacional coinciden en la
implementación de estrategias que coadyuven a mejorar el desempeño académico de los
estudiantes en Cálculo pues la falta de aptitud académica para lograr cubrir los
requerimientos mínimos institucionales, sin lugar a duda, es una señal de fragilidad en los
aprendizajes que supuestamente debió adquirir.
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
32
Tales estrategias se consideran en los mismos escenarios institucionales como fuente
importante para la prevención e intervención de dicho problema. Veamos las estrategias
que en la UIS y en otras universidades internacionales se han venido desarrollando.
a) Programas de Seguimiento y Acompañamiento
Los antecedentes más próximos a la idea de tutoría académica son los de la Universidad de
Oxford, en la que el estudiante tiene un encuentro semanal con el profesor (tutor) que le es
asignado; el estudiante prepara un ensayo semanal para discutir oralmente con su tutor.
Pero en Argentina, el concepto de tutorías se extiende a tutorías entre pares, es decir,
estudiantes de los últimos cursos de carreras facilitan el proceso de aprendizaje de sus
compañeros ingresantes al sistema universitario.
En este espacio, los estudiantes podrán compartir los logros y dificultades de sus
experiencias y tendrán la posibilidad de capacitarse a través de distintos talleres. “En
este espacio de intercambio, cobrarán un rol protagonista los tutores estudiantes de la
UNT [Universidad Nacional de Tucumán] que serán anfitriones y coordinadores de
otras universidades […]” (Jeber, López, Médina, López, 2011, p. 7).
En el oriente, el sistema educativo japonés pone énfasis en la actividad cooperativa, la
disciplina de grupo y el cumplimiento de las normas. “Las escuelas de tutoría académica
tienen una finalidad más general de ayudar a los estudiantes a mantenerse al día y a
superarse en su labor escolar diaria, aunque a menudo se pone el acento en la preparación
de los exámenes” (Ministerio de Relaciones Exteriores de Japón, 2011, pp. 4-5).
Cambiando de continente, “sensibilizar a los actores del proceso educativo sobre la
importancia de reconocer al estudiante como joven y como sujeto activo de su formación,
en el contexto de un ejercicio institucional responsable de la acción tutorial” fue el objetivo
del V Encuentro Nacional de Tutoría “re-conocer para acompañar” celebrado en México
en 2012 y liderado por la Asociación Nacional de Universidades de Educación Superior
(ANUIES). En este evento se reúnen investigadores y profesores de diferentes
universidades de México, Argentina, Venezuela y Brasil, entre otros, países que han
implementado sistemas tutoriales encaminados a disminuir la deserción y generar procesos
de acompañamiento que propicien la formación integral con pertinencia social.
En 2008, se realizó en México la propuesta de una modalidad alterna de tutorías en el
Instituto Tecnológico de Sonora que, según Valdez, Cruz y Cisneros (2009), “descentraliza
la actividad tutorial en la universidad que permite el abordaje de necesidades específicas de
cada perfil profesional. […]”, esta propuesta es el Programa de Seguimiento Tutorial
basado en una Red de Apoyo Tutorial entre Pares.
Pero no solo en el contexto hispanoamericano se están movilizando los esfuerzos
institucionales hacia la implementación de programas de acompañamiento y seguimiento
académico. Por ejemplo, la actual reforma educativa española considera que la tutoría y
orientación del alumno son factores indispensables para mejorar la calidad educativa.
Además, se puede entonces palpar una evolución en la definición de tutoría pues en varios
escenarios esta involucra a estudiantes siendo de tutores de otros estudiantes.
En Colombia, en la Universidad del Valle, se desarrolla una propuesta de tutorías que busca
reducir el porcentaje de deserción de los estudiantes de población indígena y
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
33
afrocolombiana, por lo que en 2005 se incluyó en el Plan Estratégico de la institución una
acción de acompañamiento en Cálculo Diferencial e Integral para los estudiantes
pertenecientes a la población mencionada.
Localmente, en la UIS, desde 2012 se viene implementando desde la Escuela de
Matemáticas el programa de tutorías entre pares ASAE que brinda Atención, Seguimiento y
Acompañamiento a Estudiantes que presentan dificultades en el aprendizaje de asignaturas
del área de matemáticas; de manera similar a las tutorías argentinas, son facilitadas por
profesores en formación (estudiantes del curso de Didáctica del Cálculo), y coordinado por
formadores de profesores5. Cabe señalar que el programa logró institucionalizarse tras la
formación del Sistema de Apoyo a la Excelencia Académica al que pertenece el programa
(UIS, 2014).
b) Cursos de precálculo
El término “curso de precálculo” tiene dos acepciones: (1) curso del último grado del
bachillerato o (2) curso preparatorio de cálculo para ingresar a la universidad y ofrecido por
instituciones de educación superior (nos queda la impresión de que, según la literatura
revisada, en la tradición anglosajona al primero se le llama como al segundo). Respecto a
ellos Cantoral y Farfán (1998) expresan lo siguiente:
Tradicionalmente los cursos de precálculo (o de preparación al análisis) se conforman
por un repertorio de procedimientos y algoritmos provenientes esencialmente del
álgebra y de la geometría analítica, tocando con mayor o menor énfasis el estudio del
concepto de función, habitualmente entendido en el sentido de la definición de
Dirichlet-Bourbaki. […] A lo anterior se aúnan los efectos del contrato didáctico, que
como parte de la negociación entre los agentes educativos impide que el estatus del
profesor sea demeritado en su relación didáctica, pues si éste no resuelve
satisfactoriamente los problemas planteados en su curso la relación estará puesta en
crisis; de modo que el recurso algorítmico le permite subsanar decorosamente lo
establecido en el contrato y en esa medida se aligera, eliminando dificultades
subyacentes al contenido matemático, el tratamiento didáctico (p. 355).
De modo que realizando una revisión de la estructura curricular de los cursos de precálculo,
ya sean los referidos a los colegios o a la universidad, predominan los conceptos sobre
sistemas numéricos, geometría analítica, funciones y límites. Esta formación matemática
llevaría a pensar que los estudiantes al ingresar a la universidad deberían estar preparados
para afrontar las exigencias del aprendizaje matemático de este nivel, pero no es así del
todo.
En diferentes universidades públicas de Colombia se ofrece a los estudiantes que están
terminando su bachillerato, o a estudiantes ya admitidos a la universidad pero que no han
empezado calendario académico, el curso de precálculo con el propósito de subsanar las
falencias de su formación colegial.
En la UIS se ofreció desde 2009 hasta 2012 el curso de precálculo para estudiantes de
bachillerato que estuvieran cursando los dos últimos grados de escolaridad y cuya
5 Para consultar información adicional: http://www.uis.edu.co/webUIS/es/estudiantes/excelenciaAcademica/asae.html
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
34
proyección fuera ingresar a la universidad. El curso se desarrolló con una metodología
tradicional pues el profesor exponía en su cátedra definiciones, propiedades y teoremas;
planteaba ejercicios (incluso demostraciones), dejaba tareas y se realizaban las
evaluaciones de rigor.
En 2013 el curso de precálculo de la UIS cambió de paradigma y se integró al programa
ASAE del Sistema de Apoyo a la Excelencia Académica. Fiallo y Parada (2014) señalan
que el propósito del curso es coadyuvar en el desarrollo del “pensamiento variacional”,
orientando el trabajo en el aula como un proceso activo de resolución de problemas y la
mediación de artefactos digitales alrededor de las dos ideas centrales del Cálculo: el cambio
y la variación.
Como ya hemos mencionado, en el estudio que aquí se reporta nos enfocamos en el análisis
del proceso de elaboración, comparación y ejecución de procedimientos, es para nosotros
importante rescatar lo que expresa Schoenfeld (1992, citado por Sigarreta y Laborde,
2004):
el alumno no debe partir del vacío, debe contar con recursos cognitivos, que irá
demostrando al trabajar con el problema, como la intuición (conocimientos
informales relacionados con el dominio), los hechos, los procedimientos algorítmicos
y no algorítmicos, así como las comprensiones (conocimiento preposicional) acerca
de las reglas admitidas en el dominio (p. 18).
Este autor propone cuatro dimensiones que influyen en el proceso de resolver problemas:
recursos; estrategias cognitivas; estrategias metacognitivas y sistemas de creencias.
Precisaremos a continuación en los recursos pues se refieren, interpretando la
conceptualización de Santos (2007), a las “herramientas” con que cuenta el individuo para
superar un problema particular y teniendo en cuenta además que el autor, refiriéndose al
trabajo de Shoenfeld, afirma que hay cinco tipos de conocimientos que influyen en relación
con el conocimiento relevante asociado al dominio de los recursos, estos son: el
conocimiento informal e intuitivo; el conocimiento acerca del discurso del dominio; los
hechos y definiciones; los errores consistentes o recursos débiles y los procedimientos
rutinarios.
El conocimiento informal e intuitivo influye porque muchas veces éste obstaculiza la
resolución del problema; al igual que la forma en que el estudiante recuerde los hechos
(éstos se refieren a unidades de información y sirven como registros de acontecimientos),
definiciones y procedimientos rutinarios requeridos por el problema; también inciden en
ese dominio los errores consistentes pues existe la posibilidad de que tras cada nuevo
problema, el estudiante los cometa otra vez.
El documento de PISA (OCDE, 2012, p. 12) señala que “la competencia para la resolución
de problemas es la capacidad del individuo para emprender procesos cognitivos con el fin
de comprender y resolver situaciones problemáticas en las que la estrategia de solución no
resulta obvia de forma inmediata…”. Esto es, el desarrollo de las ideas matemáticas
conllevan un proceso de reflexión donde el estudiante constantemente refina o transforma
sus ideas y formas de pensar, ésta es una característica que asumimos en la resolución de
problemas que entenderemos como
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
35
el proceso de interpretar una situación matemáticamente, la cual involucra varios
ciclos interactivos de expresar, probar y revisar interpretaciones –y de ordenar,
integrar, modificar, revisar o redefinir grupos de conceptos matemáticos desde varios
tópicos dentro y más allá de las matemáticas (Lesh y Zawojewski, 2007 en Santos,
2008, p. 3).
A continuación el marco teórico que orienta la investigación y que nos llevará a la
consecución del objetivo de la misma.
CAPÍTULO 2.
MARCO CONCEPTUAL
“Aprender matemáticas es más que conocer y aplicar un
conjunto de procedimientos para resolver problemas:
involucra que los estudiantes desarrollen valores, creencias y
actividades consistentes con el quehacer matemático”
(Santos, 2003, p. 322).
Al querer caracterizar algunas dificultades que enfrentan los estudiantes cuando resuelven
problemas que implican fenómenos de variación, específicamente desde el proceso
matemático de elaboración, comparación y ejercitación de procedimientos, se hizo
necesario sumergirnos en la teoría sobre el pensamiento variacional para comprender cómo
éste incide en el desarrollo conceptual del Calculo Diferencial.
En este capítulo se describen los elementos conceptuales asociados al pensamiento
variacional y a una taxonomía de procedimientos que posteriormente orientará el análisis de
los datos para caracterizar algunas dificultades que emergen en la resolución de problemas
de fenómenos variacionales.
2.1 PENSAMIENTO VARIACIONAL
Recientemente en Latinoamérica se ha dado un creciente interés por el estudio de la
variación y el cambio: en México, se gestó un programa de investigación en el seno de la
socioepistemología denominado Pensamiento y Lenguaje Variacional (PyLV) que permite
tratar la articulación, la investigación y las prácticas sociales que dan vida a la matemática
de la variación y el cambio en los sistemas didácticos (Cantoral y Farfán, 1998).
Diferentes investigaciones se han tejido en el seno de la Matemática Educativa alrededor
del PyLV entre los cuales resaltan los trabajos del Centro de Investigación y estudios
Avanzados del Instituto Politécnico Nacional de México y el Centro de Investigación en
Matemática Educativa de la Universidad Autónoma de Guerrero con Dolores (2001)
quienes además han dirigido diversas investigaciones en el tema y direccionado
indirectamente otros trabajos.
En Colombia, el pensamiento variacional es considerado como uno de los cinco
pensamientos matemáticos y se refiere a él como
un campo conceptual, que involucra conceptos y procedimientos interestructurados y
vinculados que permitan analizar, organizar y modelar matemáticamente situaciones
y problemas tanto de la actividad práctica del hombre, como de las ciencias y las
propiamente matemáticas donde la variación se encuentre como sustrato de ellas. En
esta forma se amplía la visión de la variación, por cuanto su estudio se inicia en el
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
37
intento de cuantificar la variación por medio de las cantidades y las magnitudes
(MEN, 1998, p. 72).
Por su parte, Vasco nos dice que éste
puede describirse aproximadamente como una manera de pensar dinámicamente, que
intenta producir mentalmente sistemas que relacionen sus variables internas de tal
manera que covaríen en forma semejante a los patrones de covariación de cantidades
de la misma o distinta magnitud en los subprocesos recortados de la realidad (2006, p.
6-7).
En los Estándares Curriculares de Matemáticas se indica, además, que se desarrolla en
estrecha relación con los otros tipos de pensamiento porque
la variación y el cambio, aunque se representan usualmente por medio de sistemas
algebraicos y analíticos, requieren de conceptos y procedimientos relacionados con
distintos sistemas numéricos (en particular, del sistema de los números reales,
fundamentales en la construcción de las funciones de variable real), geométricos, de
medidas y de datos y porque todos estos sistemas, a su vez, pueden presentarse en
forma estática o en forma dinámica y variacional (MEN, 2006, p. 66).
Vasco (2006) nos explica que el pensamiento variacional requiere del pensamiento métrico
y el pensamiento numérico si las mediciones superan el nivel ordinal. Requiere también el
pensamiento espacial si se trata de una o varias variables son espaciales.
No obstante, consideramos que cuando los estudiantes ingresan a la educación superior, su
pensamiento variacional requiere a su vez de una madurez de sus pensamientos métrico,
numérico, geométrico e incluso aleatorio, ya que la actividad matemática que se espera que
éstos realicen requiere entrelazar los objetos matemáticos propios de cada pensamiento
(datos, números, medidas, espacios y formas), los cuales requieren engranarse para
desarrollar los procesos matemáticos necesarios para la resolución de problemas (engranaje
entendido como el mecanismo utilizado para transmitir potencia y dinamismo de un
proceso a otro y desarrollar la actividad matemática propia del pensamiento variacional).
En Colombia se sugiere a los profesores de matemáticas trabajar sobre la variación desde
temprana edad diseñando estrategias significativas para favorecer el desarrollo de este
pensamiento desde la claridad de que “el significado y sentido acerca de la variación puede
establecerse a partir de las situaciones problemáticas cuyos escenarios sean los referidos a
fenómenos de cambio y variación de la vida práctica” (MEN, 1998, p. 73). Sin embargo,
los documentos oficiales no dieron mucha claridad sobre cómo podrían los profesores
posibilitar dichas estrategias, específicamente en los niños.
En el 2004 el MEN implementó el proyecto “Incorporación de Nuevas Tecnologías al
Currículo de Matemáticas de la Educación Básica Secundaria y Media de Colombia” con el
propósito de ofrecer una herramienta más entendible para los profesores de matemáticas de
educación media alrededor del pensamiento variacional favoreciendo su desarrollo con las
tecnologías digitales.
En ese proyecto se ratifica que el poder identificar el fenómeno de cambio, describirlo,
interpretarlo, predecir sus consecuencias, cuantificarlo y modelarlo, son las características
del pensamiento variacional que se pretenden desarrollar desde el currículo. Al incorporar
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
38
la mediación de las tecnologías digitales se ampliaron las posibilidades de enseñanza y
aprendizaje de los fenómenos de variación y de poder pasar de manera versátil de un
sistema de representación a otro.
La comunidad de investigadores de educación matemática del proyecto sugirió tomar en
cuenta unos indicadores de logro que permitirían monitorear el progreso del pensamiento
variacional de los estudiantes (MEN, 2004, pp. 31-32); a continuación algunos de ellos:
Detectar, reproducir y extender patrones o esquemas que se repiten en varias
situaciones y analizar situaciones de cambio en varios contextos.
Modelar diversas situaciones de cambio a través de funciones y expresar dichas
funciones inicialmente en palabras y luego simbólicamente, representándolas en
forma gráfica, tabular y mediante expresiones algebraicas.
Representar y analizar funciones utilizando para ello tablas, expresiones orales,
expresiones algebraicas, ecuaciones y gráficas y hacer traducciones entre estas
representaciones.
Formular conjeturas sobre el comportamiento de una gráfica teniendo en cuenta el
fenómeno que representa y usar la calculadora para comprender dicho
comportamiento.
Interpretar gráficos que describen diversas situaciones.
Analizar tablas y gráficas para descubrir patrones, hacer predicciones e identificar
propiedades y relaciones.
Investigar y comprender contenidos matemáticos a través del uso de distintos
enfoques para el tratamiento y resolución de problemas del mundo real aplicando
modelos matemáticos e interpretar resultados a la luz de la situación inicial.
Organizar y modelar matemáticamente situaciones y problemas tanto de la
actividad práctica del hombre como de las ciencias y las matemáticas donde la
variación se encuentra como sustrato de ellos.
Según lo anterior, y como bien lo señaló posteriormente el MEN (2006) a través de los
Estándares Básicos en Competencias en Matemáticas, este pensamiento:
Cumple un papel preponderante en la resolución de problemas sustentados en el
estudio de la variación y el cambio, y en la modelación de procesos de la vida
cotidiana, las ciencias naturales y sociales y las matemáticas mismas.
Tiene que ver con el reconocimiento, percepción, identificación y caracterización de
la variación y el cambio en diferentes contextos, así como con su descripción,
modelación y representación en distintos sistemas o registros simbólicos, ya sean
verbales, icónicos, gráficos o algebraicos.
Es decir, lo que se quiere es desarrollar una forma de pensamiento que identifique de
manera natural fenómenos de cambio y que sea capaz de modelarlos y transformarlos
(MEN, 2004). El Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas en relación a la variación
y el cambio, prescribió que los estudiantes deben ser capaces de analizar patrones de
cambio en varios contextos; además recomiendan que ellos aprendan a interpretar
enunciados tales como “la tasa de inflación está decreciendo” y, en general, apoyaron la
idea de que los estudiantes deben desarrollar una “comprensión más profunda de las
maneras en que los cambios en las cantidades se pueden representar matemáticamente”
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
39
(NCTM, 2003, p. 305). De modo que se resalta que el estudio de la variación se inicia en el
intento de cuantificar la variación por medio de las cantidades y las magnitudes.
El estudio de la variación se remonta a los griegos de la antigüedad clásica como bien lo
exponen Solache y Díaz (1999) quienes nos llevan de la mano desde el problema de las
tangentes a la introducción de las magnitudes variables señalando que esto no fue producto
del libre juego de la mente humana, sino que respondió a la necesidad de resolver
problemas concretos derivados del desarrollo de las fuerzas productivas alcanzado en los
siglos XVI y XVII.
Al respecto, Aleksandrov, Kolmogorov, Laurentiev y otros explican sucintamente que
en el siglo XVI, el problema central de la física fue el estudio del movimiento. Las
necesidades de la vida diaria y el desarrollo del conjunto de la ciencia condujeron a la
física a este problema, así como a otros en los que aparece la interdependencia de
magnitudes variables. Como reflejo de las propiedades generales del concepto de
cambio aparecen en la matemática los conceptos de magnitud variables y de función,
y fue esta extensión capital del objeto de la matemática que determinó la transición a
una etapa nueva: a la matemática de las magnitudes variables (1994, p. 67).
Los autores hacen algunas precisiones importantes sobre los objetos matemáticos del
Cálculo Diferencial (ibíd.):
El concepto de número real es la imagen abstracta del valor real de una magnitud
arbitraria. La variable es una imagen abstracta de una magnitud que varía. Una
función es una generalización de la interdependencia entre magnitudes variables; es
una imagen abstracta de la dependencia de una magnitud respecto a otra (p. 66).
Los conceptos de variable y función no surgieron de forma definitiva […] sino que
fueron construidos por muchos matemáticos gradualmente; incluso la definición
actual, dicen los autores, ni es totalmente rigurosa ni seguramente la última (p. 68).
El nombre “análisis infinitesimal” no dice nada sobre el objeto de estudio, sino que
enfatiza el método matemático especial de los infinitésimos. Los límites se refieren
al estudio de los infinitesimales (p. 92).
El método matemático del límite fue el fruto de la persistente labor de muchas
generaciones sobre problemas que no podían resolverse por lo métodos sencillos de
la aritmética, el álgebra o la geometría elemental. Dicho método produce un
resultado como aproximación al valor exacto de una cierta magnitud por lo que ese
proceso es también considerado un movimiento: no hacemos una aproximación sino
una serie de ellas, cada una de las cuales es más precisa que la anterior (p. 95).
El movimiento, el cambio y la variación permean las anteriores precisiones enfatizando su
surgimiento, el cual se da mucho antes de llegar a las aulas, a partir de una colección de
problemas físicos, mecánicos y astronómicos que se concretaron en dos problemas
fundamentales: el problema de las tangentes (que da paso al Cálculo Diferencial) y el
problema de las cuadraturas (Cálculo Integral).
Tenemos entonces que en los últimos años, parte de la literatura en educación matemática
resalta la importancia que tiene el reconocimiento de aspectos dinámicos de algunos
conceptos matemáticos y el estudio de procesos de variación, lo cual hace necesario
desmenuzar los conceptos, procedimientos y métodos que involucra la variación para poner
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
40
al descubierto las interpelaciones entre ellos. El MEN (1998) señala que un primer
acercamiento en la búsqueda de las interrelaciones permite identificar algunos de los
núcleos conceptuales matemáticos en los que está involucrada la variación.
2.1.1 Ejes temáticos del pensamiento variacional
Precisamos que un eje temático más que a un tema se refiere a un constructo conceptual
que se encuentra en uno o más objetos matemáticos, siendo éste un referente cognoscitivo
que articula los objetos matemáticos y que, por ende, los hace inseparables. En nuestra
búsqueda de referentes teóricos, encontramos dos propuestas nacionales (ver Tabla 4) que
exponen los constructos conceptuales sobre los que se desarrolla el pensamiento variacional
siendo, para nosotros, complementarios entre ellos: MEN (1998) y la Seduca (Secretaría de
Educación para la Cultura de Antioquia, 2005).
Tabla 4. Referentes teóricos sobre constructos conceptuales asociados al Cálculo
MEN
(1998)
Seduca
(2005)
Núcleos Conceptuales Ejes Temáticos
Continuo numérico
Función
Magnitudes
Álgebra
Modelos matemáticos
Patrones y
regularidades
Procesos Analíticos
Análisis y funciones
Fuente: Elaboración de la investigadora
1. El MEN (1998)
El Ministerio señala los siguientes núcleos conceptuales en donde está involucrada la
variación en el currículo de matemáticas:
El continuo numérico, reales, en su interior los procesos infinitos, su tendencia,
aproximaciones sucesivas, divisibilidad;
la función como dependencia y modelos de función;
las magnitudes;
el álgebra en su sentido simbólico, liberada de su significación geométrica,
particularmente la noción y significado de la variable es determinante en este
campo;
modelos matemáticos de tipos de variación: aditiva, multiplicativa, variación para
medir el cambio absoluto y para medir el cambio relativo. La proporcionalidad
cobra especial significado.
Sin embargo, el MEN no explícita cómo estos núcleos se articulan en el pensamiento
variacional ni explica cómo convergerían en los objetos matemáticos del Cálculo
Diferencial tomados en cuenta en la educación secundaria6, lo cual es inquietante cuando el
6 En los Estándares Básicos en Competencias en Matemáticas se contemplan los números reales, funciones,
límites y derivadas.
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
41
marco de referencia para establecer los contenidos y los procesos matemáticos son los
Lineamientos Curriculares de Matemáticas.
2. Seduca (2005)
Ante la necesidad de comprender los lineamientos, la Seduca (representada por una
comunidad de investigadores en educación matemática) diseñó una estructura conceptual
que sirve de orientación en el desarrollo del currículo de la educación básica y media.
Luego de hacer una revisión de los lineamientos curriculares y los estándares, determinaron
tres ejes temáticos relacionados con el pensamiento variacional: patrones y regularidades,
procesos algebraicos y análisis de funciones.
Al estudiar esta propuesta observamos que los ejes se articulan entre sí, además de que cada
uno está permeado por los pensamientos numérico, métrico, aleatorio y espacial además de
los procesos matemáticos; esto hace de la propuesta un apoyo claro y coherente para el
trabajo de los profesores de matemáticas en las aulas escolares.
A continuación intentaremos rescatar los aspectos más relevantes de cada eje conceptual:
a) Patrones y regularidades
Los autores explican que un patrón es una propiedad, una regularidad, una cualidad
invariante que expresa una relación estructural entre los elementos de una determinada
configuración, disposición, composición, etc. Los patrones y las regularidades pueden ser
reconocidos, ampliados y generalizados mediante la construcción de situaciones que
involucren procesos de variación y cambio lo cual habla de la relación con cada uno de los
pensamientos ya que un mismo patrón se puede encontrar en muchas formas diferentes,
tales como: situaciones físicas, geométricas, aleatorias y numéricas.
El análisis cuidadoso de patrones y regularidades permite establecer diferentes
representaciones y generalizaciones, por lo que este eje está relacionado con el
razonamiento algebraico ya que al expresar las generalizaciones de patrones y relaciones
usando símbolos se ponen de manifiesto diferentes procesos matemáticos tales como el
razonamiento, la comunicación y la resolución de problemas.
b) Procesos algebraicos
Los procesos algebraicos desde los contextos de variación y cambio hacen referencia a la
forma de emplear las expresiones algebraicas desde las diversas situaciones que posibilitan
expresar la generalización. Esto implica reflexionar lo variante e invariante, pero
fundamentalmente, comunicar lo que se observa y explicitar las relaciones estructurales de
diferentes formas.
Se contempla en este núcleo al álgebra como una nueva forma de pensar la matemática; es
decir, como la expresión de la generalidad (o generalización), lo cual implica analizar,
explorar, sistematizar, expresar lo que se ve.
c) Análisis de funciones
El tratamiento de las funciones tiene estrecha relación con los procesos algebraicos, no
tanto por el uso del lenguaje simbólico del álgebra, sino por las diferentes formas de
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
42
representación que ésta ofrece para estudiar las situaciones de variación y cambio y por las
relaciones que se pueden establecer entre ellas.
Según los autores, este eje temático está fuertemente relacionado con la modelación de
procesos de variación; además enfatizan significativamente en la coordinación e
interrelación entre los diferentes sistemas de representación de una función a fin de lograr
una construcción conceptual compleja que permita hacer predicciones en un fenómeno de
cambio.
Para dotar de sentido la estructura conceptual, los autores explicitaron los estándares que se
corresponden con cada eje conceptual en cada uno de los grupos de grados contemplados
por los Estándares Básicos en Competencias de Matemáticas (ver Anexo 5). La propuesta
presentada por la Seduca, entonces, explícita de manera un poco más entendible las
relaciones entre la matemática de la variación y el cambio por un lado, y los procesos
matemáticos por el otro, lo cual aporta mayor sentido a los núcleos planteados por el MEN
(1998).
De modo tal que nosotros, con el propósito de delimitar los constructos conceptuales que
subyacen al pensamiento variacional, acudiremos en el desarrollo de esta investigación a
los ejes temáticos presentados por la Seduca. Esta elección obedece a que consideramos
que la conceptualización del MEN está inmersa en aquella: en situaciones de variación y
cambio hablar de patrones y regularidades implica tratar con las magnitudes y con la
noción de la variable; hablar de procesos algebraicos involucra ineludiblemente al
continuo numérico base del álgebra como expresión simbólica del cambio y la variación de
un fenómeno, del mismo modo hablar que análisis de funciones es tratar con la modelación
de la variación y del cambio, modelación que se concreta en las funciones y en los demás
objetos matemáticos de orden superior como la derivada para medir cambios instantáneos.
Síntesis de la sección
Los lineamientos, los estándares, el trabajo de Vasco alrededor del pensamiento variacional
y las propuestas que identifican y caracterizan sus ejes temáticos, conforman una
conceptualización local muy rica que presupone que los estudiantes de nuevo ingreso a la
universidad no enfrentarán mayor dificultades en el aprendizaje del Cálculo o en la
resolución de problemas variacionales, pues si bien es cierto que al término de un curso de
Cálculo se puede decir que los estudiantes conocen ciertas propiedades de los conceptos
básicos: números reales, funciones, límites, continuidad, diferenciación e integración,
también es cierto que
una construcción del concepto de variación cognitivamente efectiva presenta
dificultades considerables y es, necesariamente, lenta; puesto que supone, por una
parte, del dominio e integración de distintos campos numéricos, N, Z, Q, R, C, cada
uno con sus propias especificidades simbólicas, operatorias, estructurales y de
representación, junto con la comprensión en profundidad de procesos específicos
complejos como el paso al límite y la noción paramatemática de variable o la
articulación del pensamiento predictivo con su eventual matematización (Solache y
Díaz, 1999, pp. 22-23).
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
43
Por tal razón, el MEN (2004, p. 14) no niega que en el desarrollo del pensamiento
variacional, se asume por principio que “las estructuras conceptuales se desarrollan en el
tiempo, que su aprendizaje es un proceso que se madura progresivamente para hacerse más
sofisticado, y que nuevas situaciones problemáticas exigirán reconsiderar lo aprendido para
aproximarse a las conceptualizaciones propias de las matemáticas”.
La maduración cognitiva se da a medida que el pensamiento matemático del estudiante está
en capacidad de construir una representación mental significativa de los conceptos
matemáticos que coadyuvan a la construcción del Cálculo Diferencial, a la par que
desarrolla los procesos matemáticos que le permitirán afrontar con éxito las nuevas
exigencias de aprendizaje y la puesta en marcha del conocimiento y los procedimientos
para la resolución de problemas de fenómenos variacionales.
A continuación abordaremos el proceso de elaboración, comparación y ejecución de
procedimientos, su taxonomía y algunas habilidades del proceso asociadas al pensamiento
variacional.
2.2 ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS
ASOCIADOS A SITUACIONES DE VARIACIÓN
Barringer, Pohlman y Robinson (2010) señalan que la comprensión de los procedimientos
en matemáticas fomenta la comprensión de los conceptos matemáticos y la capacidad de
resolver problemas; incluso al “pensar con números” los autores señalan que el uso de las
reglas básicas y secuencias de pasos (algoritmos) ayuda a los estudiantes de matemáticas a
calcular de manera más efectiva ya que los algoritmos nos proporcionan un modelo, o un
conjunto de directrices, para trabajar con los problemas de matemáticas. No obstante,
reconocen que para algunos estudiantes el aprendizaje y la aplicación de algoritmos puede
ser un desafío ya que deben confiar en muchas habilidades que incluyen la capacidad de:
Mantener la atención a los detalles, para planificar y monitorear el progreso de una
solución.
Acceder a los algoritmos de la memoria a largo plazo y llevar a cabo una serie de
acciones en sus mentes mientras se trabaja a través de soluciones de varios pasos.
Tener en cuenta el hecho de que los algoritmos son secuenciales lo cual implica que
tiene un orden en el que los pasos deben ser completados.
Recordar y seguir la secuencia correcta de resolver el problema correctamente.
Teniendo en cuenta que el trabajo de Rittle-Johnson y Schneider (2012) nos sugirió que
ciertos problemas responden a cierto tipo de procedimientos, veamos lo que estos autores
nos aportan al respecto (ver Tabla 5):
Rico (1995) distingue dentro de los procedimientos cinco destrezas según el campo
de las matemáticas escolares en el que operan.
En Colombia, el MEN (1998) señala cinco tipos de procedimientos tomando como
referencia la conceptualización de Rico. Éstos son contemplados para los cinco
tipos de pensamientos que conforman el pensamiento matemático.
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
44
Tabla 5. Tres perspectivas sobre tipo de procedimientos
Rico
(1995)
MEN
(1998)
Bronzina, Chemello, y
Agrasar (2009)
Destrezas de los
procedimientos
Tipo
de procedimientos
Dominio
de contenidos
Aritméticas
Métricas
Geométricas
Gráficas y de
representación.
Aritméticos
Geométricos
Métricos
Analíticos
Numérico
De la medida
Geométrico
Tratamiento de la
información
Variacional
Fuente: Elaboración de la investigadora
Bronzina, Chemello, y Agrasar (2009) en el Segundo Estudio Regional
Comparativo y Explicativo (SERCE) de la Unesco establecieron cinco dominios de
contenidos para evaluar lo que saben los latinoamericanos de los grados tercero y
sexto de educación primaria en el área de matemática desde el enfoque de
habilidades para la vida, cuyo foco está en la resolución de problemas.
En la Tabla 6 que sigue se podrán cómo define cada autor “destreza”, “procedimiento” y
“dominio conceptual”.
Tabla 6. Aproximación teórica a "destreza", "procedimiento" y "dominio de concepto"
Rico
(1995)
MEN
(1998)
Bronzina, Chemello, y Agrasar
(2009)
Destrezas Procedimientos Dominio
de conceptos
Son uno de los tres niveles en
el campo de los procedimientos
(destrezas, razonamientos y
estrategias).
Las destrezas consisten en
transformar una expresión
simbólica desde una forma
dada hasta otra forma, y para
ello hay que ejecutar una
secuencia de reglas sobre
manipulación de símbolos
(p. 15).
Las actuaciones,
destrezas, estrategias,
métodos, técnicas,
usos y aplicaciones
diversas que un
estudiante realiza
para resolver
problemas de manera
cada más hábil e
independiente
(p. 103).
Se refiere al campo semántico
relacionado con los saberes
específicos de la matemática para
tercer y sexto grado es decir, al
conjunto de conceptos, propiedades,
procedimientos y relaciones entre
ellos, así como a los sistemas de
representación, formas de
razonamiento y de comunicación, a
las estrategias de estimación,
aproximación, cálculo y a las
situaciones problemáticas asociadas
(p. 16).
Fuente: Elaboración de la investigadora
Queremos precisar algunas similitudes y diferencias en las propuestas de estos tres trabajos:
Las tres propuestas consideran “lo aritmético”, “lo métrico”, y “lo geométrico” pese
a que lo hacen en términos diferentes (destreza, tipo de procedimiento, y dominio de
contenido).
Solo en el SERCE se aborda “lo estadístico”.
Rico no conceptualiza explícitamente sobre las destrezas alrededor de los conceptos
del Cálculo Diferencial pero considera dentro de las destrezas gráficas y de
representación el emplear una gráfica para expresar una relación entre dos variables.
Mientras que en el SERCE y el MEN consideran el cambio y la variación de manera
más explícita.
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
45
En Colombia la conceptualización de Rico fue tomada para enunciar los tipos de
procedimientos empleados en la resolución de problemas, realizando dos cambios
semánticos: i. no se habla de destrezas sino, como se mencionó, de tipo de
procedimientos; ii. se habla de procedimientos analíticos en lugar de hablar de
gráficas y de representación aunque desde una perspectiva más amplia para incluir
el cálculo diferencial e integral.
Es importante señalar que no solo el MEN ha considerado los procedimientos como parte
del pensamiento matemático: las autoras Valdivé y Garbin (2013) se han aproximado a
ellos desde los esquemas conceptuales de Tall y Vinner (1981) expresando que “estos
autores describieron el esquema conceptual que tiene el alumno de un concepto
matemático como toda la estructura cognitiva asociada al concepto, la cual incluye todas
las imágenes mentales, las propiedades y los procesos asociados a la noción matemática”,
pero enfatizan en que éste tiene diferentes matices por lo que ellas, como producto de sus
investigaciones y trabajos, señalan que hablar de esquema mental es referirse a (Valdivé y
Garbin, 2013):
1. Las ideas que asocia el sujeto al concepto;
2. Las representaciones asociadas que hacen emerger la noción y representaciones
propias de ésta. Ambas son imágenes (dibujos, gráficas, palabras, símbolos) que el
sujeto percibe del objeto o concepto y que evoca ante una situación problema o
tarea;
3. Los procedimientos (algorítmicos, aritméticos, algebraicos, geométricos,
manipulaciones simbólicas) que el sujeto activa ante la tarea cognitiva;
4. Las ideas más representativas asociadas al objeto matemático;
5. El contexto (geométrico, analítico, algebraico, aritmético o físico, no técnico) que
el sujeto asocia ante la situación y
6. Los ejemplos y contraejemplos que el sujeto implementa para explicitar sus ideas.
Según lo anterior, el acercarnos a los procedimientos nos llevará, de manera
complementaria, a tener una mirada a las ideas, imágenes, representaciones y a los
contextos que los estudiantes evocan en la resolución de los distintos problemas de los
objetos matemáticos del Cálculo Diferencial tomados en cuenta en los problemas de la
prueba diagnóstica inicial realizada por los estudiantes. Dejamos explícito que
entenderemos los procedimientos como las actuaciones, destrezas, estrategias, métodos,
técnicas, usos y aplicaciones diversas que un estudiante realiza para resolver problemas de
manera cada más hábil e independiente.
2.2.1 Taxonomía de los Procedimientos
Del apartado anterior notamos que las definiciones de Rico, MEN; Bronzina, Chemello, y
Agrasar; y Valdivé y Garbin se integran y complementan, razón por la cual decidimos
alimentar la acepción del MEN (1998) sobre los tipos de procedimientos empleando la
definición de los dominios conceptuales de la Bronzina, Chemello, y Agrasar (2009) bajo
la premisa de que al revisar los procedimientos estaremos también analizando los
esquemas conceptuales de los estudiantes.
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
46
Ilustración 6. Taxonomía de los Procedimientos Fuente: Adaptación de la investigadora de MEN (1998)
La taxonomía responde a los tipos de procedimientos en los cuales se clasifican los
procedimientos referidos al proceso ECEP, la cual servirá de base para la caracterización
que pretende este trabajo alrededor del proceso. A continuación definimos los cuatros tipo
de procedimientos señalados en la Ilustración 6.
• Procedimientos Aritméticos
Relacionados con el dominio del número y la estructura del sistema de numeración
decimal; de las operaciones en diversos contextos; de sus propiedades y de las
relaciones entre ellas.
• Procedimientos Métricos
Implica la construcción de conceptos de cada magnitud, procesos de conservación,
unidades de medida, estimación de magnitudes y de rangos, selección y uso de
unidades de medida y de patrones, sistemas monetarios y sistema métrico decimal.
• Procedimientos Geométricos
Comprende atributos y propiedades de figuras y objetos 2D y 3D y su ubicación en
el plano o el espacio; las nociones de horizontalidad, verticalidad, paralelismo y
perpendicularidad; los diseños y construcciones utilizando representaciones de
cuerpos y figuras geométricas; las representaciones verbales y gráficas de recorridos
y el reconocimiento de ángulos y polígonos, su clasificación y propiedades.
• Procedimientos Analíticos
Tienen que ver con “álgebra”, “funciones” y “cálculo diferencial e integral”; con el
reconocimiento de regularidades y patrones, la caracterización de la variación, la
identificación de variables, la descripción de fenómenos de cambio y dependencia
en contextos aritméticos y geométricos.
Dentro de cada procedimiento, además, consideramos los procedimientos algorítmicos y no
algorítmicos ya que en cada tipo responde a un conjunto de directrices para trabajar con los
problemas de matemáticas. Específicamente, el proceso ECEP alrededor de la resolución
de problemas que implican fenómenos de variación: Diremos que este proceso implica la
ARITMÉTICOS MÉTRICOS
GEOMÉTRICOS ANALÍTICOS
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
47
capacidad del estudiante para transformar procedimientos fijando su atención en las ideas
centrales del cálculo diferencial (cambio y variación) y estableciendo relaciones entre ejes
temáticos (patrones y regularidades; procesos algebraicos, y análisis de funciones) para
efectuar nuevos procedimientos específicos que respondan al fenómeno variacional que
subyacen en el problema.
2.2.2 Habilidades a priori de los procedimientos asociados al pensamiento variacional
El contexto del cual se desprende esta investigación nos ofreció la oportunidad de analizar
el proceso ECEP desde la resolución de problemas de cambio y variación, esto se convierte
en una fortaleza que nos permite hablar, casi que de manera paralela, de dificultades y de
habilidades. De acuerdo con RAE, y tomando las acepciones en el marco de la
investigación, transcribimos las siguientes definiciones:
Capacidad: aptitud, talento, cualidad que dispone a alguien para el buen ejercicio de
algo.
Competencia: Pericia, aptitud, idoneidad para hacer algo o intervenir en un asunto
determinado.
Destreza: Habilidad, arte, primor o propiedad con que se hace algo.
Dominio: Buen conocimiento de una ciencia, arte, idioma, etc.
Habilidad: capacidad y disposición para algo o cada una de las cosas que una
persona ejecuta con gracia y destreza.
La palabra destreza se construye por substantivación del adjetivo diestro. Una persona
diestra, en el sentido estricto de la palabra, es una persona cuyo dominio reside en el uso de
la mano derecha. Diestro tiene también la acepción de referirse a toda persona que
manipula objetos con gran habilidad. El significado de destreza reside en la capacidad o
habilidad para realizar algún trabajo, primariamente relacionado con trabajos físicos o
manuales.
Si buscamos sinónimos de habilidad encontramos capacidad, destreza y competencia. Sin
embargo, en educación sabemos que no todos son empleados como sinónimos. Entonces,
nosotros discernimos entre procedimiento y habilidad vinculados con la Matemática como
lo hace Williner (2014, p. 104):
Si realizamos un paralelo entre todos estos autores, más allá de las diferencias de
denominación, consideran por un lado toda la información que recibe una persona
(conceptos, teorías, hechos, definiciones, propiedades, atributos) que podríamos
englobarlos en “conocimiento”, y por otro, las acciones y aplicaciones que puede
realizar el individuo con ese conocimiento: las habilidades. […] el procedimiento es
la acción o tarea que debemos realizar para lograr un objetivo o fin en el cual la
Matemática está involucrada. En tanto que una habilidad matemática es la facultad
personal de efectuar el procedimiento eficientemente, es decir, la capacidad de
realizar acciones correctamente en relación al logro del objetivo planteado.
Las habilidades más conocidas son las de dominio cognitivo que corresponde a la
Taxonomía de Bloom en la que se establecen seis categorías básicas según la función de la
acción en la que la habilidad se manifiesta: conocimiento, comprensión, aplicación,
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
48
análisis, síntesis, evaluación. El NCTM (1989) y Barringer, Pohlman y Robinson (2010)
señalan algunas habilidades que los estudiantes deben esgrimir frente a los procedimientos
en la resolución de problemas. Estas habilidades las consideraremos como “habilidades de
control” del proceso ECEP al suponer que el desarrollo de ellas implica reconocer,
entender, juzgar y usar procedimientos en una variedad de contextos y situaciones en los
que la Matemática juega un papel importante.
Reconocer cuando un procedimiento es apropiado.
Verificar los pasos de un procedimiento y justificarlos (por ejemplo, usando modelos
o analíticamente).
Ejecutar procedimientos fiable y eficientemente,
Generar nuevos procedimientos y ampliar o modificar los ya conocidos.
Acceder a los algoritmos de la memoria a largo plazo y llevar a cabo una serie de
acciones mentales mientras se trabaja a través de soluciones de varios pasos.
Tener en cuenta que los algoritmos implican que tiene un orden en el que los pasos
deben ser completados.
Recordar y seguir la secuencia correcta para resolver el problema.
Seleccionar los procedimientos apropiados para problemas concretos y modificarlos
cuando las condiciones lo justifican.
Por tal razón, consideramos necesario establecer unas habilidades a priori desde cada tipo
de procedimiento para el pensamiento variacional, las cuales (al igual que las habilidades
de control) se espera sean evidenciadas en la resolución de problemas de fenómenos
variacionales y que nos permitirán categorizar los datos del estudio que estamos
reportando.
Definimos dichas habilidades por medio de descriptores los cuales son concebidos como
expresiones verbales escritas, relacionadas con la habilidad y que tiene como fin
contribuir a describir las actuaciones de los estudiantes en las diferentes tareas
variacionales. La estructura conceptual de Seduca (2005) contempla para cada eje temático
la definición de algunos estándares, algunos de los cuales fueron interpretados y
categorizados como descriptores de las habilidades a priori que acabamos de presentar (en
el Anexo 5 se exponen los estándares de cada eje temático).
Habilidades de tipo aritmético:
Estas requieren del dominio correcto del sistema de numeración decimal y de las cuatro
operaciones básicas. Entre los más destacados procedimientos podemos señalar la
lectura y escritura de números, el cálculo mental con dígitos y algunos números de dos
cifras, el cálculo con lápiz y papel y el empleo de la calculadora. Específicamente en la
resolución de problemas el pensamiento variacional, podríamos definir los siguientes
descriptores:
Domina del campo de los números reales y de las operaciones básicas y superiores.
Usa diferentes notaciones de los números reales y establece relaciones para decidir
sobre su uso en una situación dada.
Establece relaciones que involucran números naturales y utiliza propiedades de los
números para justificarlas.
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
49
Habilidades de tipo métrico:
Estas tienen que ver con el empleo correcto de los aparatos de medida más comunes de
las magnitudes longitud, tiempo, amplitud, capacidad, peso y superficie. También se
incluye aquí el dominio del sistema métrico decimal. Descriptores de esta habilidad
presentes en situaciones de variación pueden ser:
Emplea correctamente los aparatos de medida más comunes de las magnitudes
longitud, tiempo, amplitud, capacidad, peso y superficie.
Domina el sistema métrico decimal.
Habilidades de tipo geométrico:
Capacidad para construir un modelo de un concepto geométrico, para manipularlo o para
hacer una representación del mismo en el plano. También se incluye el dominio y
empleo correcto de determinados convenios para expresar relaciones entre conceptos
geométricos, estas habilidades las podríamos describir así:
Realiza representaciones en el plano.
Emplea un procedimiento de tipo gráfico que supone expresar una imagen visual de
un concepto o relación variacional.
Modela fenómenos periódicos del mundo real usando relaciones y funciones
trigonométricas.
Habilidades de tipo analítico:
Tienen que ver específicamente con “álgebra”, “funciones” y “cálculo diferencial e
integral”. Algunos ejemplos de este tipo de procedimientos son: modelar situaciones de
cambio a través de las funciones, las gráficas y las tablas; traducir de una a otra de las
distintas representaciones de una función; resolver ecuaciones. Estas habilidades las
podríamos evidenciar si el estudiante:
Determina las variables de una situación.
Establece correctamente la interdependencia de las magnitudes variables.
Representa situaciones de cambio a través de las funciones, las gráficas y las tablas.
Traduce de una a otra de las distintas representaciones de una función.
Relaciona las expresiones algebraicas y gráfica empleando sus propiedades.
Determina procesos infinitos que subyacen en las notaciones decimales.
Hasta este punto se exponen los elementos teóricos de esta investigación los cuales están
interrelacionados e interactúan entre sí para caracterizar algunas dificultades en la
resolución de problemas que implican variación, específicamente desde el proceso
matemático de elaboración, comparación y ejercitación de procesos. Articulando los
elementos del marco conceptual, partimos del reconocimiento de que el aprendizaje del
cálculo requiere la construcción de los conceptos de cambio y variación los cuales
demandan de procesos cognitivos complejos y lentos dados los diferentes sistemas y
elementos matemáticos que se integran y articulan para su comprensión.
De modo que las dificultades y los errores en la construcción de estos conceptos se
presentan inevitablemente. El pensamiento matemático permitirá, entonces, comprender los
fenómenos de variación, pero más en particular el pensamiento variacional ya que tiene que
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
50
ver con el reconocimiento, la percepción, identificación y caracterización de la variación y
el cambio en diferentes contextos.
Por lo tanto, asumimos que un estudiante ha desarrollado su pensamiento variacional si
tiene la capacidad de resolver situaciones de variación y cambio esgrimiendo algunas de las
habilidades reseñadas (y otras que se espera emerjan de los datos); en caso de no evidenciar
dicha capacidad hablaremos de dificultad en el pensamiento variacional.
CAPÍTULO 3.
PROCEDIMIENTO METODOLÓGICO
Para alcanzar el objetivo de esta investigación se usó una metodología mixta ya que
inicialmente nos acercamos al problema desde lo cuantitativo y, posteriormente
manteniendo el uso de datos porcentuales, se empleó una metodología cualitativa que nos
permitiera comprender de manera más fina las dificultades emergentes de la resolución de
problemas variacionales. Esta investigación se tipifica como una investigación
fenomenológica de tipo experimental.
En este capítulo explicamos el procedimiento que se siguió en la investigación que aquí
reportamos, además describimos los instrumentos diseñados para recolectar y sistematizar
los datos. Dado que nuestra pregunta de investigación tiene un enfoque cualitativo, los
hallazgos obtenidos del análisis cuantitativo se presentan en este capítulo.
El procedimiento metodológico responde a cuatro fases empezando por la elección del
contexto de estudio para realizar el diseño y análisis del primer experimento de
investigación; posteriormente se diseñaría el segundo experimento que nos llevaría a la
caracterización. A continuación desglosamos las fases.
3.1 FASE 1: ELECCIÓN DEL CONTEXTO DE ESTUDIO
Como se mencionó, en la Escuela de Matemáticas de la UIS se desarrolla desde 2012 una
alternativa curricular que intenta aportar a la problemática de reprobación en Cálculo
Diferencial desde la implementación de tutorías entre pares y de un curso de precálculo. De
modo tal que esta fase tuvo sus inicios en el programa de tutorías Acompañamiento y
Seguimiento Académico de Estudiantes de Cálculo (ASAE) y culminó al hallar en el
contexto del curso de precálculo de la UIS las características necesarias para desarrollar
esta investigación.
Las tutorías de ASAE son facilitadas por profesores en formación (tutores y estudiantes del
curso de Didáctica del Cálculo), y coordinado por formadores de profesores. Los alumnos-
tutores realizan, tras cada tutoría, un reporte del desempeño de los estudiantes en el
“Formato para las tutorías de Cálculo I” relacionando fortalezas y dificultades del
estudiante detectadas en la tutoría, además de las actividades tratadas. Dichos formatos se
consideraron como una primera fuente de exploración para este trabajo, por lo que se
diseñó el primer instrumento (Formato DIPEVA7) para realizar la recolección de datos de
37 alumnos-tutorados atendidos por 17 alumnos-profesores del segundo semestre de 2012.
7 DIPEVA responde a la abreviatura de “dificultades en el pensamiento variacional”.
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
52
3.1.1 Instrumento Formato DIPEVA
Este formato surge de la necesidad de sistematizar los datos ofrecidos por los alumnos-
tutores del programa ASAE en los “Formatos para las Tutorías de Cálculo I”. La revisión
de los datos contempló distinguir en los informes dificultades reportadas sobre los seis
procesos matemáticos emanados por el MEN (2006).
Para refinar la sistematización decidimos apoyarnos en la propuesta de la Seduca
(Secretaría de Educación para la Cultura de Antioquia, 2005) la cual está organizada, como
recordará el lector, en tres ejes temáticos: patrones y regularidades, procesos algebraicos y
análisis de funciones. El siguiente esquema nos permitió ver cómo los autores consideran
que los ejes posibilitan el desarrollo de habilidades asociadas los procesos matemáticos en
contextos de variación.
Ilustración 7. Esquema de los ejes temáticos de la Seduca Fuente: Secretaría de Educación para la Cultura de Antioquia (2005, p. 57)
De modo tal que la estructura propuesta divulgada por la Seduca nos resultó oportuna para
analizar los datos de ASAE porque toma en cuenta los procesos matemáticos y los ejes
temáticos del pensamiento variacional, aspecto que nos permitió tener un primer
acercamiento minucioso a las dificultades de los estudiantes que participaban de las
tutorías. Para ello consideramos diseñar una matriz que permitiera incorporar las
dificultades encontradas en los formatos en función de los procesos, asignando, a su vez, el
eje temático al cual correspondía la dificultad. Fue así como emergió el Formato DIPEVA
para ASAE, el cual se muestra en la Ilustración 8 que sigue.
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
53
Ilustración 8. Componentes de la estructura del Formato DIPEVA para ASAE
Fuente: Adaptación de la investigadora
Tabla vertebral
donde
se clasificaba la
dificultad
reportada según
el eje temático al
que más
apuntara.
Sistematización (en
porcentajes y gráfica de
barras) de las frecuencias de
ocurrencia de las dificultades
reportadas en los procesos. Sistematización (en
porcentajes y gráfica de
barras) de las frecuencias de
ocurrencia de las dificultades
reportadas en los ejes
temáticos.
CONVENCIONES
DE LOS PROCESOS:
M: Modelar
RyA: Razonar y Argumentar
RPP: Resolver y plantear problemas
F: Formular, elaborar y comparar
procedimientos
R: Representar
C: Comunicar
Espacio designado para consignar
las dificultades encontradas en los
formatos de las tutorías; se
copiaban y pegaban, una vez se
clasificará según el proceso al que
apuntaba con mayor incidencia.
Celdas designadas para indicar
la cantidad de estudiantes con la
misma dificultad.
Columna programada para realizar
la sumatoria de las dificultades de
cada tipo, y en cada proceso.
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
54
De la versión del segundo semestre de 2012 de ASAE, se generó un Formato DIPEVA por
cada tutor-profesor de ASAE, de tal suerte que al final pudimos observar cuantitativamente
las dificultades de 34 alumnos-tutorados; el siguiente es el ejemplo de un alumno-profesor
quien acompañó a tres estudiantes.
3.1.2 Primera aproximación a las dificultades en el pensamiento variacional
El haber establecido categorías para analizar los datos que aportaban los formatos de las
tutorías nos permitió obtener los resultados que se presentan en la Ilustración 9 que sigue.
Ilustración 9. Visión cuantitativa de los datos de los 17 alumnos-profesores de ASAE8
De las dificultades reportadas por los alumnos-profesores sobre los procesos matemáticos
se obtuvo que:
el 46,57% corresponden al proceso de formular, elaborar y manejar procedimientos
(F) (equivalente al ECEP), en particular en la ejecución de: casos de factorización,
operaciones con fracciones, uso de representaciones gráficas de funciones
(racionales y a trozos); uso de la calculadora, usar y aplicar propiedades de límites y
derivadas.
El 23,47% corresponden al proceso de resolución y planteamiento de problemas
entre lo que destacan dificultades para usar flexiblemente los conceptos,
procedimientos y diversos lenguajes para expresar las ideas matemáticas
pertinentes.
Respecto a los ejes temáticos:
el 57,93% de los estudiantes tienen dificultades en los procesos algebraicos, en
particular al despejar ecuaciones y relacionar lo algebraico con otras
representaciones del objeto matemático.
8 La cantidad de dificultades en relación a los procesos y los ejes temáticos es diferente porque, por ejemplo,
la dificultad “no emplea las derivada para analizar el crecimiento o decrecimiento de una función” la
presentaron los tres estudiantes, pero ella corresponde a un único eje temático: análisis de funciones.
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
55
El 38,41% de los estudiantes tienen dificultades en el análisis de funciones, en
particular en la comprensión del dominio y el recorrido de una función; en el
entendimiento de la derivada como razón de cambio y en el dominio de la
trigonometría en particular.
Los resultados anteriores no son sorprendentes ya que Díaz (2009) señala que los
estudiantes de nuevo ingreso a la educación superior traen dificultades en la apropiación y
el dominio de conceptos fundamentales relacionados con el álgebra escolar como lo es la
factorización. Pero aunque no es sorprendente la situación, sí es preocupante ya que en la
visión del NCTM (2003, p. 301) “el Álgebra de la escuela secundaria deberá proporcionar
ideas a los estudiantes sobre la abstracción y las estructuras matemáticas. Deberían
desarrollar la comprensión de las propiedades algebraicas que rigen la manipulación de los
símbolos […]”.
Lo que sí nos sorprende es el porcentaje de dificultad en el eje de análisis de funciones
comparado con el de procesos algebraicos ya que, interpretando a Seduca (2005), estos dos
están en estrecha relación por las diferentes formas de representación de la variación y el
cambio y las relaciones funcionales, además de que el álgebra es la expresión de la
generalización y el análisis de funciones es la forma de comunicarla.
Los hallazgos que obtuvimos de ASAE fueron valiosos, sin embargo el curso de precálculo
se presentó como un contexto más rico y pertinente para la investigación por ser el primer
espacio universitario, desde 2013, con el cual tienen contacto los estudiantes de primer
nivel de programas de ingenierías y de la Facultad de Ciencias de la universidad, lo cual
resultó adecuado para este trabajo con la añadidura de que el curso se ofrece a estudiantes
caracterizados en riesgo académico por el Sistema de Apoyo a la Excelencia Académica
(SEA) de la universidad9.
3.2 FASE 2:DISEÑO DEL EXPERIMENTO I
Para los semestres académicos de 2014, la selección de los estudiantes que ingresaron al
curso fue producto de la correlación de los desempeños más bajos en la Prueba Diagnóstica
Inicial (PDI) y en la Prueba Saber 11 (Examen de Estado de carácter obligatorio que deben
presentar los estudiantes que están finalizando la educación media como requisito de
ingreso a la educación superior).
En el primer semestre de 2014, la coordinación del curso de precálculo diseñó la PDI con
14 problemas, cada uno con un indicador que pretendían dar cuenta de los cuatro estándares
del pensamiento variacional propuestos por el MEN (2012) para el grado undécimo (ver
Ilustración 10), estos fueron incorporados la nueva malla de evaluación que acompañaría el
informe.
9 Desde 2013, el SEA ha venido realizando la caracterización de los estudiantes que son admitidos en la
universidad, lo cual permite identificar aquellos que tienen algún tipo de vulnerabilidad en las dimensiones
social, biopsicosocial, económica, académica y cognitiva, que pueda llegar a afectar su desempeño
académico. Los estudiantes identificados con algún tipo de vulnerabilidad son invitados a participar de
manera voluntaria en los diferentes programas de acompañamiento que ofrece el SEA (mayor información en
https://www.uis.edu.co/webUIS/es/estudiantes/excelenciaAcademica/index.html).
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
56
Ilustración 10. Conexión de estándar-indicador-problema
La prueba diagnóstica inicial (y final) fue de selección múltiple y soportada por un software
adquirido por la universidad; éste arroja para cada estudiante un reporte con la evaluación
de cada uno de los indicadores (ver Ilustración 11).
Ilustración 11. Reporte de las pruebas diagnóstico del Curso de Precálculo UIS
Fuente: Coordinación Curso Precálculo UIS
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
57
Estos elementos emergentes del diseño curricular del curso de precálculo nos llevaron a ver
en la prueba diagnóstica (como en los datos de los reportes como los problemas), el
vehículo que nos llevaría a aproximarnos a las dificultades de los estudiantes de nuevo
ingreso al enfrentarse a los problemas de fenómenos variacionales.
3.2.1 Instrumentos para refinar la mirada a las dificultades
El segundo instrumento de la investigación surge como consecuencia de una acción de
intervención en la evaluación del curso de precálculo: desde sus inicios, cada semestre, los
profesores del curso entregan un informe cualitativo que reporta la asistencia, el desempeño
de cada estudiante (fortalezas y debilidades) alrededor del pensamiento variacional, esto
considerando las pruebas diagnóstica inicial y final, y el desarrollo del curso. Este informe
se realizaba a criterio personal, por lo que algunos informes resultaban superficiales y otros
un tanto más elaborados y con criterios de evaluación diferentes.
En esa brecha vislumbramos una oportunidad para tener una nueva (y más precisa)
aproximación a las dificultades en el pensamiento variacional de los estudiantes de nuevo
ingreso a la universidad; por ello consideramos conveniente ajustar el Formato DIPEVA de
ASAE a las necesidades de evaluación del curso, de manera que también lográramos
unificar los criterios de evaluación del mismo al incorporar los indicadores de los
estándares del pensamiento variacional que sustentan la prueba diagnóstica inicial.
Para hacer más detallada esta nueva aproximación a las dificultades, consideramos
importante que el profesor observara los procesos matemáticos, referidos a los
procedimientos, que el estudiante realizaba para dar respuesta a cada problema, esto nos
llevó al diseño del tercer instrumento de la investigación: la Hoja de Procesos la cual surge
de la necesidad de “atrapar” los procedimientos matemáticos que el estudiante emplea en la
resolución de los problemas de la prueba (ver Ilustración 12).
Ilustración 12. Muestra del instrumento "Hoja de Procesos" de la PDI
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
58
El uso de un registro escrito cobró sentido para nosotros dado los antecedentes de Barajas
(2008) quien expone que “el estudiante recurre al lenguaje escrito en su discurso como
mediador didáctico con dos funciones básicas: (1) para aprender o (2) para demostrar lo
aprendido” (p. 20).
Tomando las citas directas de aquella investigación, se tiene que los autores Britton et ali
(1975 en Atienza, 1998, p. 29-30) se refieren de la siguiente manera a la segunda de esas
funciones así:
El modo que normalmente tiene el estudiante de demostrar en las disciplinas
académicas la adquisición de conocimientos es mediante una prueba de ensayo o
examen, donde debe dar cuenta de tales conceptos a partir de la exposición de los
mismos. Se trata del discurso presentado como producto, hecho para demostrar a un
tercero la construcción del conocimiento. Dicha escritura se plasma en los exámenes,
trabajos monográficos, esto es, en ejercicios expositivos diversos que el estudiante
entrega al profesor.
A esto Valery (2000, p. 40) aporta que
mientras el lenguaje oral aparece como una actividad espontánea, el lenguaje escrito
exige un trabajo consciente y analítico, porque si bien el lenguaje oral abstrae la
realidad y la representa en palabras, el escrito requiere de un mayor nivel de
abstracción, un segundo nivel de simbolización porque en él no sólo las palabras son
remplazadas por signos alfabéticos sino también los elementos no verbales como la
sonoridad, los gestos, las intenciones deben ser puestos en palabras escritas,
sintácticamente organizadas para ser transmitidas en toda su significación.
La escritura nos permitiría acceder al conocimiento matemático que empleara el estudiante
en la resolución del problema, a los procedimientos empleados para elaborar la solución, a
las representaciones mentales que tenga de los conceptos y, quizás, a la respuesta de los
problemas. El instrumento, entonces, corresponde a un plegable que contiene, además de
los datos de presentación, instrucción e identificación de rigor, un espacio para escribir el
procedimiento de solución de cada problema.
La adaptación del Formato DIPEVA de ASAE se transformó en el Formato de Evaluación
DIPEVA el cual se diseñó pensando en obtener una visión global de evolución de las
dificultades en el pensamiento variacional de los estudiantes, esto valorando el nivel de
dificultad de cada indicador en tres tiempos:
i. En la prueba diagnóstica inicial; aquí se toma en cuenta la Hoja de Procesos y el
reporte de plataforma;
ii. el desarrollo del curso de precálculo, que sería evaluado a criterio profesional de
cada uno de los profesores; y
iii. en la prueba diagnóstica final.
El Formato de Evaluación DIPEVA nos permitiría realizar una primera toma de datos y
obtener una visión cuantitativa de las dificultades en términos de los indicadores de los
estándares básicos en competencias de matemáticas del pensamiento variacional de los
estudiantes de nuevo ingreso en el primer semestre de 2014. Para evaluar los indicadores en
el formato que se muestra en la Ilustración 13, en acuerdo con la coordinación del curso, de
cada indicador se consideró como una variable métrica y se le asignó una escala de tipo
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
59
Likert para señalar la dificultad en cada indicador en un nivel de 0 hasta 5, significando
cero “ausencia de dificultad” y cinco “máximo nivel de dificultad”; las valoraciones 1, 2, 3
y 4 quedaban a criterio de evaluación de los profesores al revisar las hojas de procesos de la
PDI.
Ilustración 13. Muestrario del Formato de Evaluación DIPEVA
Fuente: Coordinación Curso Precálculo UIS
Para la coordinación del curso y para nosotros, se determinó que el término dificultad
indicará el mayor o menor grado de éxito de los estudiantes ante una tarea variacional. Si el
porcentaje de respuestas incorrectas (índice de dificultad) en la evaluación es elevado se
dice que la dificultad del estudiante en el pensamiento variacional es alta, mientras que si
dicho porcentaje es bajo, la dificultad es baja.
3.2.2 Segunda aproximación a las dificultades en el pensamiento variacional
Garbanzo (2007, p. 52) afirma que uno de los factores que habla del posible rendimiento
académico de los estudiantes universitarios es la nota de acceso a la universidad: “estudios
realizados en la enseñanza superior asociados al rendimiento académico enfatizan el valor
de la nota obtenida en las pruebas de admisión a la universidad como un predictor de los
más importantes en el rendimiento académico, junto con los rendimientos previos a la
universidad”. Aclaramos, por supuesto, que la PDI no es una prueba de admisión pues los
estudiantes del curso de precálculo ya están admitidos en los programas de la universidad,
pero sí es la primera prueba que presentan centrada en nociones del cálculo en el marco de
la educación superior.
En la Ilustración 14 se representan los resultados para el estándar Analizo las relaciones y
propiedades entre las expresiones algebraicas y las gráficas de funciones polinómicas y
racionales y de sus derivadas.
Se observará que en promedio el 52,45% de los estudiantes que presentaron la PDI_2014-I
fueron valorados con un nivel 5 de dificultad en los cuatro indicadores del estándar
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
60
mencionado. El indicador en el cual los estudiantes presentaron mayor nivel dificultad, con
el 56,86%, fue en el que señala que no reconocen las pendientes de funciones polinómicas.
Ilustración 14. Distribución de estudiantes por nivel de dificultad en el Estándar 1
Para el estándar Interpreto la noción de derivada como razón de cambio y como valor de la
pendiente de la tangente a una curva y desarrollo métodos para hallar las derivadas de
algunas funciones básicas en contextos matemáticos y no matemáticos, como se apreciará
en la Ilustración 15, en promedio el 56,06% de los estudiantes de nuevo ingreso a la
universidad fueron valorados con un nivel 5 de dificultad en los cuatro indicadores del
estándar mencionado. El indicador en el cual los estudiantes presentaron mayor nivel
dificultad, con el 63,08%, fue en el que señala que no interpretan la derivada como razón de
cambio de cantidades variables y funciones en contextos matemáticos o no matemáticos.
Ilustración 15. Distribución de estudiantes por nivel de dificultad en el Estándar 2
0,00%
20,00%
40,00%
60,00%
Dif. 0 Dif. 1 Dif. 2 Dif. 3 Dif. 4 Dif. 5
Relaciona correctamente losdiferentes registros derepresentación de una funciónen una situación problema.
Modela con propiedad unasituación de cambio a través deuna función.
Identifica con claridad unafunción, la relación que existeentre la gráfica y la expresiónalgebraica.
Reconoce las pendientes defunciones polinómicas oracionales, y las relaciona con elcrecimiento o decrecimiento delas mismas.
0,00%
10,00%
20,00%
30,00%
40,00%
50,00%
60,00%
70,00%
Dif. 0 Dif. 1 Dif. 2 Dif. 3 Dif. 4 Dif. 5
Reconoce e interpreta situacionesque implican variación.
Interpreta la derivada como razónde cambio de cantidades variables yfunciones en contextosmatemáticos o no matemáticos.Desarrolla o aplica métodos parahallar las derivadas de algunasfunciones básicas en contextosmatemáticos y no matemáticos.Interpreta la derivada en un puntocomo la pendiente de la rectatangente a la curva.
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
61
Para el estándar Utilizo las técnicas de aproximación en procesos infinitos numéricos, se
presentaron menos dificultades pues la media de la distribución de dificultades de 37,92%
siendo el indicador con mayor porcentaje de dificultad en nivel 5 utiliza aproximaciones
numéricas o gráficas para deducir intuitivamente el límite de una función. Veamos en la
Ilustración 16 la distribución porcentual de dificultad en los tres indicadores del estándar:
Ilustración 16. Distribución de estudiantes por nivel de dificultad en el Estándar 3
En el estándar Modelo situaciones de variación periódica con funciones trigonométricas e
interpreto y utilizo sus derivadas, la mayoría de estudiantes presentó mayor dificultad en la
resolución de problemas de este estándar pues en promedio el 62,50% de la población
evidenció nivel 5 de dificultad teniendo en cuenta que el 64,37% de los estudiantes
presentan dificultad en el indicador Modela situaciones de variación periódica con
funciones trigonométricas, como se aprecia en la Ilustración 17.
Ilustración 17. Distribución de estudiantes por nivel de dificultad en el Estándar 4
-10%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
Dif. 0 Dif. 1 Dif. 2 Dif. 3 Dif. 4 Dif. 5
Reconoce características de losprocesos infinitos utilizandodiversas representaciones: gráficas,tablas o explicaciones verbales.
Utiliza aproximaciones numéricas ográficas para deducirintuitivamente el límite de unafunción.
Aplica procedimientos aritméticospara resolver problemas queinvolucran procesos infinitos.
0,00%
10,00%
20,00%
30,00%
40,00%
50,00%
60,00%
70,00%
Dif. 0 Dif. 1 Dif. 2 Dif. 3 Dif. 4 Dif. 5
Modela situaciones de variaciónperiódica con funcionestrigonométricas.
Interpreta la derivada comorazón de cambio de cantidadesvariables y funcionestrigonométricas en contextosmatemáticos o no matemáticos.
Comprende y aplica la definiciónde las razones trigonométricas enel triángulo rectángulo en lasolución de problemastrigonométricos.
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
62
En la Tabla 7 que sigue se sintetizan los resultados de los estándares y sus respectivos
indicadores:
Tabla 7. Resumen resultados en estándares e indicadores de la PDI_2014_I (Nivel 5)
ESTÁNDAR
ESTUDIANTES
CON NIVEL
DE
DIFICULTAD
5
(Promedio)
INDICADORES
ESTUDIANTES
CON NIVEL
DE
DIFICULTAD 5
1. Analizo las
relaciones y
propiedades entre las
expresiones
algebraicas y las
gráficas de funciones
polinómicas y
racionales y de sus
derivadas
52,45%
1. Relaciona correctamente los diferentes
registros de representación de una función
en una situación problema. 54,77%
2. Modela con propiedad una situación de
cambio a través de una función. 54,52%
3. Identifica con claridad una función, la
relación que existe entre la gráfica y la
expresión algebraica. 43,66%
4. Reconoce las derivadas de funciones
polinómicas o racionales, y las relaciona
con el crecimiento o decrecimiento de las
mismas.
56,86%
2. Interpreto la
noción de derivada
como razón de
cambio y como valor
de la pendiente de la
tangente a una curva
y desarrollo métodos
para hallar las
derivadas de algunas
funciones básicas en
contextos
matemáticos y no
matemáticos.
56,06%
5. Reconoce e interpreta situaciones que
implican variación. 47,67%
6. Interpreta la derivada como razón de
cambio de cantidades variables y funciones
en contextos matemáticos o no
matemáticos.
54,66%
7. Desarrolla o aplica métodos para hallar
las derivadas de algunas funciones básicas
en contextos matemáticos y no
matemáticos.
58,82%
8. Interpreta la derivada en un punto como
la pendiente de la recta tangente a la curva. 63,08%
3. Modelo
situaciones de
variación periódica
con funciones
trigonométricas e
interpreto y utilizo
sus derivadas.
62,50%
9. Domina correctamente las razones y las
identidades trigonométricas en contextos
matemáticos o no matemáticos. 64,37%
10. Modela situaciones de variación
periódica con funciones 64,30%
11. Comprende y aplica la definición de las
razones trigonométricas en el triángulo
rectángulo en la solución de problemas
trigonométricos.
58,82%
4. Utilizo las
técnicas de
aproximación en
procesos infinitos
numéricos.
37,92%
12. Reconoce características de los
procesos infinitos utilizando diversas
representaciones: gráficas, tablas o
explicaciones verbales.
34,88%
13. Utiliza aproximaciones numéricas o
gráficas para deducir intuitivamente el
límite de una función. 40,98%
14. Aplica procedimientos aritméticos para
resolver problemas que involucran procesos
infinitos. 37,90%
Analizando los indicadores, tenemos que los siguientes se desarrollan a la luz del proceso
de comparación, elaboración y ejecución de procedimientos con un promedio del 46,28%
de dificultad en nivel cinco: 7, 9, 11, 12, 13, y 14 pues consideramos que describen
acciones cognitivas relacionadas al proceso ECEP: desarrollar, aplicar, y utilizar. Se tiene
también que los estándares 1 y 3 evidencian un importante porcentaje de estudiantes con
dificultades relacionadas explícitamente con los procesos algebraicos y el análisis de
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
63
funciones. Esto ratifica los resultados de la Fase 1: los estudiantes de nuevo ingreso a la
universidad tienen dificultades en la elaboración, y ejecución de procedimientos para
resolver problemas variacionales.
Lo anterior destaca que las dificultades no aparecen al azar sino que surgen en un marco
consistente formado por conocimientos adquiridos previamente, y del proceso de enseñanza
que, como lo señala Pochulu (2005), es potencialmente generador de errores, debido a
diferentes causas, algunas de las cuales se presentan inevitablemente. Precisamente estos
resultados sugirieron el diseño del experimento II, con el fin de profundizar en los
resultados aquí encontrados.
3.3 FASE 3: DISEÑO DEL EXPERIMENTO II
Consideramos que para este experimento nos concentraríamos en los estudiantes de las
carreras que reportaron menor porcentaje de desempeño en la PDI del primer semestre.
Como se puede deducir de la Tabla 8, las carreras fueron Matemáticas, Licenciatura en
Matemáticas e Ingeniería de Sistemas.
Tabla 8. Desempeño en la PDI de 2014-I de estudiantes de nuevo ingreso
PROGRAMA
Dis
eño
In
du
stri
al
Fís
ica
Geo
log
ía
Ing
enie
ría
Civ
il
Ing
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ría
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Sis
tem
as
Ing
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ría
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ría
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a
Ing
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ría
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ría
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Ing
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ría
Qu
ímic
a
Lic
enci
atu
ra
Mat
emát
icas
Mat
emát
icas
Qu
ímic
a
Cantidad
Estudiantes 20 21 40 56 50 67 45 50 60 63 40 52 20 37 33
%
Desempeño
(0 - 100)
24,6 19,4 26,5 22,8 28,6 18,4 23,1 23,4 28,9 22,8 21,4 28 19,2 12,5 22,3
Fuente: Coordinación Curso de Precálculo de la UIS, 2014-I
Para el segundo semestre de 2014, decidimos que los estudiantes de estas tres carreras
usarían la Hoja de Procesos conformarían nuestra muestra de estudio. Se definieron para
esta fase las siguientes etapas:
i. Selección y Análisis de los problemas para identificar los procedimientos que se
esperaba el estudiante empleara para la solución de cada uno (en §3.4 precisaremos
sobre esta etapa).
ii. Recolección de los datos; etapa que fue realizada tras la ejecución del curso.
iii. Análisis minucioso de las Hojas de Procesos para entrar a categorizar las
dificultades que emergieran de cada problema, esto a luz de las habilidades a priori
para el proceso ECEP ya mencionadas, de manera que esto nos llevará a la última fase
del procedimiento metodológico y al objetivo de la investigación.
En el siguiente esquema de la Ilustración 18 se sintetiza el proceso metodológico que
hemos venido presentando; desplegamos después la última fase de esta investigación.
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
64
Ilustración 18. Procedimiento metodológico de la investigación
3.4 FASE 4: CARACTERIZACIÓN DE LAS DIFICULTADES
Para realizar la caracterización se sistematizarían y analizarían las hojas de procesos de 113
estudiantes de las carreras seleccionadas como muestra para identificar aquellos
procedimientos que nos permitieran dar cuenta de las dificultades con las cuales ingresan
los estudiantes a la universidad, de tal suerte que podamos profundizar desde lo teórico en
las dificultades halladas desde diferentes autores de educación matemática desde quienes
interpretaremos las evidencias de las dificultades que serán reportadas, como señalamos en
§2.3.2, en términos de descriptores de los procedimientos asociadas al pensamiento
variacional.
Para realizar la caracterización fue necesario, como mencionamos anteriormente, revisar
cada problema para hacernos a una idea del posible procedimiento que elaboraría el
estudiante al solucionarlo; paralelamente explicitamos los tipos de procedimientos que
podrían ser empleados en el problema.
Análisis preliminar
PROCESO METODOLÓGICO
FASE 4Caracterización de
Dificultades
Formato de Evaluación
DIPEVA
Prueba
Diagnóstica Inicial
(Plataforma)
*Reporte de la Prueba del
Sistema
Desarrollo del curso
Prueba
DiagnósticaFinal
Talleres
ASAE
CoP
ASAE
*Hoja de Procesos
*Reporte de la Prueba del
Sistema
Curso de precálculo
de la UIS
FASE 2Diseño del
Experimento 1
FormatoDIPEVA
FASE 3Diseño del
experimento II
Selección y Análisis de problemas
Recolección dedatos
Análisis
Hoja de Procesos
Curso de Precálculo 2014-IIExploración del
Programa ASAE
FASE 1Elección del contexto
de estudio.
Curso de Precálculo 2014-I
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
65
3.4.1 Análisis de los problemas de fenómenos variacionales
Santos (2007) señala que el término “problema” resulta difícil de definir dada la
subjetividad del individuo que intenta resolverlo pues si para algunos estudiantes resulta un
esfuerzo resolver un problema, para otros resulta solo un ejercicio rutinario. Esto señala la
interacción entre el individuo y la tarea matemática.
Los problemas pueden ser de tipo no rutinarios que son aquellos con varios métodos de
solución o que requieren más que la aplicación de reglas, fórmulas o algoritmos para
solucionarlo o, para más precisión, aquél que al leer el enunciado no viene a la mente un
algoritmo predeterminado, o una idea a desarrollar para resolverlo. Si la lectura del
enunciado indica qué tipo de algoritmo o camino seguir, estamos frente a problemas
rutinarios los cuales van orientados por procesos mecanizados o memorísticos.
Los problemas que serán analizados en esta investigación son no rutinarios y fueron
diseñados (o ajustados de otras fuentes) por la coordinación del curso de precálculo con la
idea fundamental de que los estudiantes de nuevo ingreso a la universidad se enfrentaran a
una variedad de situaciones variacionales que dieran cuenta de su desempeño alrededor de
los cuatro Estándares Básicos en Competencias de Matemáticas contemplados por el
Ministerio de Educación Nacional para el grado undécimo, ya referidos en la sesión
anterior la Fase 2.
Con el propósito de identificar los procedimientos involucrados, se analizaron 10
problemas de la prueba diagnóstica inicial. Para ello se estiló una tabla de análisis para cada
problema (ver Tablas 9 a la 18) que considera cuatro columnas, así:
en la primera columna, de izquierda a derecha, se presenta el problema y las opciones
de selección múltiple del mismo;
en la segunda columna se presentan las posibles soluciones que se esperaba realizaran
los estudiantes de nuevo ingreso a la universidad;
en la tercera columna se relacionan de manera sucinta los procesos matemáticas (no
solo el proceso de elaboración, comparación y ejecución de procedimientos –ECEP–
ya que es imposible excluir los demás procesos de la resolución del problema) y
procedimientos implicados en cada solución presentada en la columna anterior; y,
en la cuarta columna de la tabla se puso en juego la taxonomía de los procedimientos,
explicitando los correspondientes al problema.
Recomendamos que al realizar la lectura de las tablas de análisis se trate de relacionar el
problema con las palabras clave que lo representan (el problema de la pelota, del cuadrado,
del folleto, de la empresa láctea, etc.) ya que éstas se emplearán constantemente durante el
reporte del análisis de los datos para referirnos a los problemas.
Por último, cabe señalar que la Coordinación del Curso de Precálculo para el segundo
semestre de 2014 consideró la aplicación de 13 problemas; nosotros no tomamos tres ellos
para la investigación porque uno de ellos era muy similar al problema de la pelota; y los
otros dos porque, más que un procedimiento que se lograra registrar en las hojas, requerían
del razonamiento sobre la derivada.
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
66
Tabla 9. Tabla de Análisis problema de la pelota
PROBLEMA SOLUCIÓN ANÁLISIS PROCEDIMIENTO
Una pelota de tenis se lanza hacia
arriba de modo que alcanza una
altura de 5 m desde el piso, y se deja
rebotar hasta que quede en reposo.
Supóngase que en cada rebote sube
hasta la mitad de la altura máxima
anterior. La distancia total
(aproximada) que recorre la pelota
antes de quedar en reposo es:
a) 10 metros
b) 9,99 metros
c) 20 metros
d) 19,99 metros
e) No sabe
Solución 1
10 +10
2+
10
4+
10
8+ ⋯ ≈ 20
Recurrir a una representación gráfica
para visualizar la situación. Utilizar
una sucesión para representar el
cambio. Expresar la suma de los
términos la distancia total. Concluir,
al conectar lo gráfico y lo numérico,
que la distancia es 20 m pues, de a
poco, se re-construye la distancia del
primer lanzamiento de la pelota.
Aritmético
Analítico
Solución 2
= 10 +10
2+
10
4+
10
8+ ⋯
= 10 +10
2+
10
22+
10
23+ ⋯
= ∑ 10 (1
2)
𝑖∞
𝑖=0
=10
1 −12
= 20
Emplear los números reales y sus
propiedades. Interpretar y representar
la regularidad existente a través de
una sumatoria. Establecer el término
general de la sumatoria. Aplicar y
dominar propiedades de la sumatoria.
Aritmético
Analítico
Solución 3 Lanzami
ento
(sube y
baja)
Distancia Distancia
Acumulada
1 10 10
2 5 10+5=15
3 2,5 10+5+2,5=17,5
4 1,25 10+5+2,5+1,25=18,75
5 0,625 10+5+2,5+1,25+0,625=19,375
6 0,3125 19,375+0,3125=19,6875
… Tiende a 0 ≈20
Elaborar una tabla para explorar los
cambios que se producen entre las
variables. Analizar la convergencia
de la sumatoria.
Aritmético
Analítico
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
67
Tabla 10. Tabla de Análisis problema del cuadrado
PROBLEMA SOLUCIÓN ANÁLISIS PROCEDIMIENTO
Un cuadrado de lado 1 cm se divide
en dos partes iguales y se sombrea
una de ellas (paso 1). La mitad no
sombreada se divide a la mitad y
nuevamente se sombrea una de las
partes (paso 2), Si se continúa el
proceso indefinidamente, ¿a cuánto
se aproxima la suma de las áreas
sombreadas del cuadrado?
a. 0.5 cm2
b. 1 cm2
c. A infinito
d. 0.9 cm2
e. No sabe
Solución 1
En cada paso, se suma al área anterior un poco más de área. Es
decir, al infinito la suma de las áreas es la misma del cuadrado.
Distinguir un proceso infinito.
Razonar sobre el infinito actual.
Geométrico
Analítico
Solución 2
P ÁREA SOMBREADA
1 0,5
2 0,5+0,25=0,75
3 0,5+0,25+0,125=0,875
4 0,5+0,25+0,125+0,0625=0,9375
… ≈1
Elaborar una tabla para explorar
los cambios que se producen entre
las variables. Manejar la noción
de convergencia.
Aritmético
Analítico
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
68
Tabla 11.Tabla de Análisis problema del límite
PROBLEMA SOLUCIÓN ANÁLISIS PROCEDIMIENTO
Para determinar el límite de 𝑓(𝑥) =|𝑥|
𝑥 cuando 𝑥 se acerca a cero, basta
con reconocer la siguiente gráfica de
la función y decir que:
Solución 1
𝑓(𝑥) =|𝑥|
𝑥
x 𝑓(𝑥)
-3 -1
-2 -1
-1 -1
0 Error
1 1
2 1
3 1
Conocer la función valor
absoluto, tabular e identificar
que el límite de la función
cuando x→0- es diferente
cuando x→0+ y, por tanto,
conclir que el límite no existe
por la propiedad de unicidad.
Analítico
a.
b.
c.
d.
e. No sabe
lim𝑥→0
𝑓(𝑥) = 1
∄ lim𝑥→0
𝑓(𝑥)
lim𝑥→0
𝑓(𝑥) = 0
lim𝑥→0
𝑓(𝑥) = 0
Solución 2
Graficar y observar que al
acercarse a cero por izquierda
y por derecha, la función tiene
imágenes diferentes y concluir
que el límite cuando x→0 no
existe por la propiedad de
unicidad.
Analítico
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
69
Tabla 12. Tabla de Análisis problema del carrito de juguete
PROBLEMA SOLUCIÓN ANÁLISIS PROCEDIMIENTO
Un carrito de juguete se desliza a lo
largo de un plano inclinado, de tal
manera que su función de posición
después de 𝑡 segundos está dada por
𝑠 = 𝑓(𝑡) = 4,5𝑡2 + 2𝑡, donde 𝑠 está
en metros. La siguiente tabla muestra
los datos de tiempo y posición del
carrito.
Tiempo
(seg)
Posición
(mts)
2,1 24,05
2,05 23,01
2,02 22,40
2 22
1,99 21,80
1,95 21,01
1,5 13,13
Según la tabla anterior, ¿cuál es la
velocidad instantánea en 𝑡 = 2 segundos?
a. La velocidad instantánea en t=2
seg se aproxima a 20 m/s.
b. La velocidad instantánea en t=2
seg es aproximadamente 22 m/s
c. No se puede determinar la
velocidad instantánea con los datos
suministrados por la tabla.
d. La velocidad instantánea en t=2
seg es igual a 11 m/s
e. No sabe
Solución 1
t s ∆s/∆t
2,1 24,05 20,8
2,05 23,01 20,3333333
2,02 22,4 20
2 22 20
1,99 21,8 19,75
1,95 21,01 1 ,5111111
1,5 13,13 8,7533 333
Conocer y emplear la definición
de velocidad instantánea.
Observar el comportamiento de
los valores de ∆s/∆t cuando t se
acerca a 2 por izquierda y por
derecha, entendiendo esto como
la velocidad instantánea en t =2
seg.
Aritmético
Analítico
Solución 2
𝑠 = 𝑓(𝑡) = 4,5𝑡2 + 2𝑡
𝑓′(𝑡) = 9𝑡 + 2
𝑓′(2) = (9.2) + 2
𝑓′(2) = 20
Emplear la derivada para
calcular que la velocidad
instantánea en t = 2 seg ya que
la derivada de la función
posición evaluada en ese
tiempo.
Aritmético
Analítico
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
70
Tabla 13. Tabla de Análisis problema de la partícula
PROBLEMA SOLUCIÓN ANÁLISIS PROCEDIMIENTO
Supóngase que una partícula se
desplaza de acuerdo a la función
posición 𝑠(𝑡) = |1
2𝑡 − 1|, donde 𝑠
está dada en metros y 𝑡 en segundos.
¿Para qué valores de 𝑡, cuando 0 <
t < 5, 𝑠’(𝑡) no existe?
a. En t=2, porque la derivada no
existe cuando s(2) es igual a cero
b. No hay puntos donde la derivada
no exista, ya que la función es
continua en el intervalo [0,5].
c. En t=0 y t=5.
d. En t=2, ya que se tiene un pico en
la función, por lo tanto la derivada no
existe.
e. No sabe
Solución 1
𝑠(𝑡) = {− (
𝑡
2− 1) , 𝑡 < 2
𝑡
2− 1, 𝑡 ≥ 2
𝑠′(𝑡) = {−
1
2, 𝑡 < 2
1
2, 𝑡 ≥ 2
Emplear la definición de valor
absoluto. Conocer y emplear las
reglas de derivación. Usar la
propiedad de que si existe la
derivada en un punto, las
derivadas laterales deben ser
iguales para que la función sea
derivable en el punto.
Analítico
Solución 2
En 𝑡 = 2 hay un pico, entonces la función no es derivable
en ese punto.
Graficar la función dada. Aplicar
el criterio de que si una función
tiene un punto anguloso, la curva
cambia drásticamente de
dirección en él, entonces no tiene
derivada la función allí.
Analítico
Solución 3
𝑠(𝑡) = {− (
𝑡
2− 1) , 𝑡 < 2
𝑡
2− 1, 𝑡 ≥ 2
ℎ < 2, limℎ→2ℎ<2
𝑠(2 + ℎ) − 𝑠(2)
ℎ= lim
ℎ→2ℎ<2
−ℎ
2ℎ= −
1
2
ℎ ≥ 2, limℎ→2ℎ≥2
𝑠(2 + ℎ) − 𝑠(2)
ℎ= lim
ℎ→2ℎ≥2
ℎ
2ℎ=
1
2
Por lo tanto 𝑠´(2) no existe.
Emplear la definición de valor
absoluto. Emplear la definición de
derivada y la propiedad de
existencia de la derivada en un
punto.
Analítico
Al no coincidir la
derivada por la derecha e
izquierda, la función no
es derivable en ese punto.
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
71
Tabla 14. Tabla de Análisis problema de la empresa láctea
PROBLEMA SOLUCIÓN ANÁLISIS PROCEDIMIENTO
En una empresa láctea se registran los datos de
dos tanques que almacenan leche. La siguiente
gráfica representa la relación entre volumen y el
tiempo de dos tanques A y B, respectivamente.
Se tiene que estos tanques descargan la leche
por un orificio en la parte inferior de cada uno
de ellos.
¿Cuáles son las expresiones algebraicas que
modelan el desagüe para los tanques de leche A
y B, respectivamente?
a)Tanque A: 𝑓(𝑥) = 6 cos (1
2(𝑥 − 3.2) + 1.5) − 1.99
Tanque B: 𝑔(𝑥) = −1
3𝑥 + 4
b) Tanque A: 𝑓(𝑥) = −1
2𝑥2 +
1
43𝑥 + 8
Tanque B: 𝑔(𝑥) = −1
3𝑥 − 4
c) Tanque A: 𝑓(𝑥) = −𝑒𝑥−3/2 + 8.17
Tanque B: 𝑔(𝑥) = −1
3𝑥 + 4
d) Tanque A: 𝑓(𝑥) = −1
2𝑥2 +
1
43𝑥 + 8
Tanque B: g(x)= = −1
3𝑥 + 4
e)No sabe
Solución 1 (gráfico→algebraico)
Tanque A:
𝑓(𝑥) = −1
2𝑥2 +
1
43𝑥 + 8
𝑓(0) = −1
20 +
1
430 + 8 = 8 → 𝑉(0, 8)
Tanque B: 𝑔(𝑥) = −1
3𝑥 + 4
𝑔(0) = −1
30 + 4 = 4 → 𝑃(0, 4)
Determinar las ecuaciones de las curvas
que modelan el desagüe para cada tanque,
interpretar de las gráficas que el Tanque B
es modelado por una función lineal de
pendiente negativa y punto de corte (0, 4).
El Tanque A es modelado por la función
cuadrática con 𝑎 < 0 y 𝑉(0, 8). Usar
estos datos para verificar sobre las
opciones b y d.
Analítico
Solución 2 (algebraico→gráfico)
Tanque A: 𝑓(𝑥) = −1
2𝑥2 +
1
43𝑥 + 8
Tanque B: g(x)= = −1
3𝑥 + 4
Analizar cada opción de respuesta usando
como control los puntos de corte con el eje
y para su elección.
Analítico
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
72
Tabla 15. Tabla de Análisis problema de la cúbica
PROBLEMA SOLUCIÓN ANÁLISIS PROCEDIMIENTO
A continuación se encuentra la gráfica de la
función 𝑓(𝑥) = −𝑥3 − 5𝑥2 + 18𝑥 + 72, indica en qué intervalos se tiene que
𝑓′(𝑥) < 0 y 𝑓(𝑥) > 0.
a) Si 𝑥 ∈ (−∞, −6) ∪ (−5+√79
3, 4).
b) Si 𝑥 ∈ (−∞,−5−√79
3) ∪ (
−5+√79
3, ∞).
c) Si 𝑥 ∈ (−∞, −6) ∪ (−3,4)
d) Si 𝑥 ∈ (−∞, −6)
e) No sabe.
Solución 1
Comprender que la derivada de
las funciones se relaciona con el
crecimiento o decrecimiento de la
función.
Analítico
Solución 2
𝑓(𝑥) = −𝑥3 − 5𝑥2 + 18𝑥 + 72
𝑓′(𝑥) = −3𝑥2 − 10𝑥 + 18
0 = −3𝑥2 − 10𝑥 + 18
𝑥 =10 ± √100 − (4. −3.18)
−6
𝑥 =10 ± √100 + 216
−6
𝑥 =10 ± √316
−6
𝑥 =10 ± 2√79
−6=
2(5 ± √79)
−6=
−5 ± √79
3
𝑥1=
−5 + √79
3, 𝑥2 =
−5 − √79
3
Comprender que la derivada de
las funciones se relaciona con el
crecimiento o decrecimiento de
las mismas y emplear la
derivación para determinar los
puntos de inflexión.
Analítico
Numérico
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
73
Tabla 16. Tabla de Análisis problema del folleto
PROBLEMA SOLUCIÓN ANÁLISIS PROCEDIMIENTO
Un folleto debe contener 48 𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠2 de
espacio impreso, con márgenes de 3
pulgadas en la parte superior e inferior, y
márgenes laterales de 1 pulgada.
¿Cuál será el modelo que representa el área
del folleto respecto a uno de sus lados?
a) 𝐴(𝑥) =48
𝑥−2+ 6
b) 𝐴(𝑥) = 𝑥𝑦
c) 𝐴(𝑥) = 6𝑥 + 2𝑦 + 42
d) 𝐴(𝑥) =6𝑥2+36𝑥
𝑥−2
e) No sabe
Solución 1
Área impresa→48 pulg2
Ancho→ 𝑥 − 2
Alto→𝑦 − 6
𝐴𝑇 = (y − 6)(x − 2)
48 = (𝑦 − 6)(𝑥 − 2)
(𝑦 − 6) =48
𝑥 − 2
𝑦 =48
𝑥 − 2+ 6 =
48 + 6(𝑥 − 2)
𝑥 − 2=
48 + 6𝑥 − 12
𝑥 − 2
𝑦 =6𝑥 + 36
𝑥 − 2
Entonces 𝐴 = 𝑥𝑦 → 𝐴 = 𝑥 (6𝑥+36
𝑥−2) =
6𝑥2+36𝑥
𝑥−2
Interpretar el problema y los datos
para realizar un apoyo visual.
Representar lo visual de manera
algebraica. Establecer la relación
funcional entre las variables y
expresarla algebraicamente.
Geométrico
Analítico
3 pulg
3 pulg
x
y
1 pulg
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
74
Tabla 17. Tabla de Análisis problema del coseno
PROBLEMA SOLUCIÓN ANÁLISIS PROCEDIMIENTO
¿Cuál es el valor de cos(2𝛼), si se tiene que
sen 𝛼 =√3
2 y 𝛼 está en el segundo
cuadrante?
a) −1
2
b) 1
2
c) cos2 𝛼 − sen2 𝛼
d) cos √3
e) No sabe
Solución 1
sen 𝛼 =√3
2→ 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛−1 √3
2=
𝜋
3
cos(2𝛼) = cos2 𝛼 − sen2 𝛼
= cos2𝜋
3− sen2
𝜋
3
=1
4−
3
4= −
2
4= −
1
2
Emplear identidades
trigonométricas.
Analítico
Aritmético
Sigue →
Solución 2
sen 𝛼 =√3
2→ 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛−1 √3
2=
𝜋
3
cos(2𝛼) = 1 − 2 sen2 𝛼
= 1 − 2 sen2𝜋
3
= 1 − (2.3
4) = 1 −
6
4=
4 − 6
4
=−2
4= −
1
2
Solución 3
sen 𝛼 =√3
2→ 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛−1 √3
2=
𝜋
3
cos(2𝛼) = 2 cos2 𝛼 − 1
= (2.1
4) − 1 =
2
4− 1 = −
1
2
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
75
Solución 4
sen 𝛼 =√3
2→ 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛−1 √3
2=
𝜋
3
entonces cos(2𝛼) = 𝑐𝑜𝑠 (2𝜋
3)
por tanto 2𝛼 está en el segundo cuadrante
𝛼𝑅 = 𝜋 −2𝜋
3=
𝜋
3
Entonces cos (𝜋
3) =
1
2
Pero como el ángulo está en el segundo cuadrante,
allí el coseno es negativo entonces
cos (𝜋
3) = −
1
2
Emplear identidades
trigonométricas y asociar los
datos con los ángulos de
referencia para determinar el
valor del ángulo.
Analítico
Solución 5
sen 𝛼 =√3
2→ 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛−1 √3
2= 60°
cos(2𝛼) = 𝑐𝑜𝑠(2.60°) = cos(120°) = −1/2
Usar las funciones
trigonométricas y calcular para un
ángulo notable o un múltiplo de
éste tomando en cuenta el signo
de las funciones según el
cuadrante.
Analítico
Solución 6
Como el ángulo está en el segundo cuadrante, el
coseno de 90° < 𝛼 <180° es negativo.
Relacionar el signo de las
funciones con el cuadrante en el
cual está el lado terminal del
ángulo.
Analítico
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
76
Tabla 18. Tabla de Análisis problema de la temperatura del agua
De las Tablas de Análisis tenemos por hipótesis que los procedimientos en los cuales habrá riqueza de hallazgos para la caracterización
de las dificultades del pensamiento variacional desde el proceso ECEP serán los aritméticos y analíticos, y en menor proporción los
geométricos y métricos.
PROBLEMA SOLUCIÓN ANÁLISIS PROCEDIMIENTO
En la siguiente gráfica se muestra la
variación de la temperatura del agua en
una determinada bahía durante 24 horas, la
cual presenta un comportamiento periódico
y es modelada por la función 𝑓(𝑡) =2 sen 𝑡 + 1.
¿Cuál será el modelo equivalente que
describa la variación de la temperatura del
agua respecto al número de horas
transcurridas?
a. 𝑓(𝑡) = 2 cos (𝑡 +3𝜋
2) + 1
b. 𝑓(𝑡) = 2 sen(𝑡 + 𝜋) + 1
c. 𝑓(𝑡) = 2 cos (𝑡 +𝜋
2) + 1
d. 𝑓(𝑡) = 2 sen (𝑡 +3𝜋
2) + 1
e. No sabe
Solución 1
Como sen(α) = cos (α +3𝜋
2)
Entonces
𝑓(𝑡) = 2 sen 𝑡 + 1
𝑓(𝑡) = 2 cos (t +3𝜋
2) + 1
Emplear la identidad
sen(α) = cos (α +3𝜋
2)
Analítico
CAPÍTULO 4.
DIFICULTADES EMERGENTES DE LA RESOLUCIÓN
DE PROBLEMAS VARIACIONALES
Antes de exponer los resultados del análisis, consideramos importante aterrizar y enlazar la
información que se maneja alrededor de las pruebas estandarizadas nacionales e
internacionales sobre la formación en matemáticas de los estudiantes colombianos, así
como de los resultados mostrados en el capítulo anterior. Para ello nos preguntamos:
¿Existe información sobre las dificultades en matemáticas que presentan los estudiantes
colombianos en los diferentes niveles educativos?
Frente a esta pregunta, quisimos mirar el desempeño de los estudiantes colombianos
cuando aplican a pruebas de conocimiento externas como la de PISA que evalúa las
competencias de los estudiantes en matemáticas, lectura y ciencias naturales. En 2012 la
prueba enfatizó en matemáticas; la muestra en Colombia se compuso de 9.073 estudiantes
de 15 años de edad de 352 instituciones educativas (oficiales y privadas, urbanas y rurales),
que representan a 559.674 estudiantes a nivel nacional.
Infortunadamente Colombia volvió a figurar entre los países de mayor rezago académico,
ubicándose en el puesto 62 en el área de matemáticas, pero también se tiene que en todas
las áreas, los puntajes promedio de los países latinoamericanos que participaron en la
prueba son significativamente inferiores al promedio de la OCDE (MEN, 2013, p. 7), como
se puede apreciar en la Tabla 19 en donde los países latinoamericanos están ordenados de
mayor a menor puntaje promedio en matemáticas.
Tabla 19. Puntajes promedio y desviaciones estándar en matemáticas, PISA 2012
Países
Matemáticas
Promedio Desviación
estándar
Chile 423 81
México 413 74
Uruguay 409 89
Costa Rica 407 68
Brasil 391 78
Argentina 388 77
Colombia 376 74
Perú 368 84
Promedio OCDE 494 92
Shanghái 613 101
Fuente: MEN (2013, p. 7)
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
78
Del informe que el MEN (2013) realizó de los resultados de la prueba, rescatamos dos
interpretaciones que evidencian que las dificultades que emergieron en esta investigación
tienen sus raíces en la educación básica primaria y secundaria:
Solo dos de cada diez estudiantes pueden hacer interpretaciones literales de los
resultados de problemas matemáticos; además, emplean algoritmos básicos,
fórmulas, procedimientos o convenciones para resolver problemas de números
enteros, e interpretan y reconocen situaciones en contextos que requieren una
inferencia directa.
Tres de cada mil estudiantes pueden seleccionar, comparar y evaluar estrategias de
resolución de problemas; conceptuar, generalizar y utilizar información; aplicar
conocimientos en contextos poco estandarizados; reflexionar sobre su trabajo y
formular y comunicar sus interpretaciones y razonamientos.
Entonces, sí, sí hay informes de las dificultades en matemáticas de los estudiantes de la
educación secundaria de Colombia. Esos resultados nos sirvieron de referente para
comprender que nuestros hallazgos estaban en concordancia tanto con lo que diferentes
investigaciones de la educación matemática han reportado en cuanto a dificultades
alrededor de los objetos matemáticos del cálculo diferencial, como a resultados de
evaluación externa que desmienten que es una osadía mantenerse en la universidad: claro
que es difícil mantenerse, pero no por ser “la universidad” sino por las dificultades en
matemáticas con las que los estudiantes ingresan al sistema de educación superior, ésta
entre otras razones.
Los resultados del análisis los categorizamos en los cuatro tipos de procedimientos
señalados en la Taxonomía de los Procedimientos (ver §2.3.1). Empezaremos con las
dificultades en los procedimientos aritméticos, después veremos lo que emergió alrededor
de los procedimientos geométricos y métricos. En estas dos categorías, como se previó en
el análisis de los problemas, los hallazgos son pocos aunque importantes para la
caracterización que pretendemos. Culminaremos con la categorización de dificultades en
los procedimientos analíticos, en donde hay una gran riqueza de hallazgos.
Para realizar la caracterización se revisaron las 113 hojas de trabajo que acompañaron la
prueba diagnóstica inicial que se aplicó a los estudiantes de nuevo ingreso de las carreras de
Ingeniería de Sistemas, Licenciatura en Matemáticas y Matemáticas (54, 25 y 34
respectivamente) en el segundo período académico de 2014.
La estructura de cada categoría precede al proceso de triangulación de los datos y por ello
en cada uno se presentan los problemas y los hallazgos correspondientes; la interpretación
de evidencias se acompañará de ilustraciones y en ocasiones con cuadros de textos que
transcriben la escritura de los estudiantes que en ocasiones no es legible.
Es importante señalar que algunos procesos de solución se encuentran en más de una
categoría dada la imposibilidad de aislar los procedimientos ya que en su elaboración los
estudiantes emplean no solo un tipo sino dos y hasta tres procedimientos.
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
79
4.1 DIFICULTADES EN PROCEDIMIENTOS ARITMÉTICOS
Recordemos que los procedimientos aritméticos están relacionados con el dominio del
número y la estructura del sistema de numeración decimal; de las operaciones en diversos
contextos; de sus propiedades y de las relaciones entre ellas. En el currículo nacional de
Colombia (MEN, 2006) se establece que la construcción de los sistemas numéricos se
realiza gradualmente a lo largo de la escolaridad básica y media, por lo que se esperaría
entonces que los estudiantes usen los números reales y sus propiedades con cierto dominio
en diferentes situaciones. No obstante, las relaciones existentes entre los diferentes
conjuntos de números distan de ser claras para los estudiantes, particularmente el uso
competente de los números expresados de forma decimal suele provocar dificultades ya que
se acepta la idea de “decimal reducido” lo cual entorpece, la mayoría de las veces, la
construcción y el uso de nociones importantes como el infinito.
Para empezar a presentar las dificultades alrededor de los números expresados de forma
decimal que emergieron de las hojas de procesos revisadas, recuperamos el planteamiento
del problema de la pelota de tenis:
Una pelota de tenis se lanza hacia arriba de modo que alcanza una altura de 5 m desde
el piso, y se deja rebotar hasta que quede en reposo. Supóngase que en cada rebote
sube hasta la mitad de la altura máxima anterior. La distancia total (aproximada) que
recorre la pelota antes de quedar en reposo es [..]
Este problema permitía la elaboración de procedimientos aritméticos empleando números
racionales en su forma decimal o fraccionaria. Como dato interesante tenemos que el
90,2% de los estudiantes de nuevo ingreso a la UIS en el segundo semestre de 2014
emplearon la expresión decimal para realizar los cálculos de este problema, lo cual nos
permitió observar diferentes dificultades alrededor de su uso.
Para lo que sigue, es necesario explicar que en Colombia, la organización de la escolaridad
obligatoria está dada así: un grado de preescolar, cinco grados de Educación Básica
Primaria, cuatro grados de Educación Básica Secundaria y dos de Media vocacional; los
cuales generalmente se enuncian de preescolar a 11 grado.
Un análisis preliminar a esa situación surge de la inquietud de por qué los estudiantes
llegan a la universidad con tan poco dominio de los decimales si se estudian desde cuarto
grado de primaria y se profundiza su estudio hasta séptimo grado. Al respecto, Brousseau
(1998) ya había expresado que “el estudio de la enseñanza de los números decimales es a
la vez un objeto de investigación en didáctica y una fuente de problemas didácticos”.
Un primer aspecto que llamó nuestra atención en la solución de este problema es que
algunos estudiantes consideraron el cambio de unidades de medida. Frente a esta
estrategia, que no era necesaria en la solución del problema, podríamos interpretar que los
estudiantes buscaban evitar las cifras decimales o cometer errores operativos con los
decimales al no contar con la calculadora.
En el siguiente procedimiento el estudiante, después de representar pictóricamente y
numéricamente la altura que la pelota alcanzaba en cada rebote: en los dos primeros
rebotes empleó el metro como unidad de medida, y en los siguientes centímetros, el
resultado final lo dio en metros.
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
80
Ilustración 19. Estrategia para tratar los decimales
Interpretamos del procedimiento, que el estudiante consideró la conversión de unidades
para, posiblemente, evitar la aparición de cifras decimales a medida que obtenía una nueva
altura. Como se puede ver en la Ilustración 19 no existe coherencia entre las
representaciones y la respuesta que eligió.
El procedimiento que se presenta en la Ilustración 20 tiene en común algunas
características del anterior:
1. El estudiante empleó arbitrariamente submúltiplos del metro (emplea m y mm).
2. Ausencia de ceros decimales.
3. Existen significativos errores operativos con los decimales, más precisamente con
el algoritmo de la división: registró que la mitad de 1,25 m era 17,5 cm (ver óvalo
rojo).
Ilustración 20. Uso indiscriminado de decimales
Conectando las razones anteriores, interpretamos que el estudiante consideró que el cero a
la izquierda no tiene valor y usó submúltiplos del metro para justificar la “ausencia” de
ceros y realizar la suma. Al ser esto una interpretación, no podemos afirmar que los
5 m
25 m
1.25 m
62 cm
31 cm
15.5 cm
7.75 cm
3.6 cm
1.8 cm
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
81
estudiantes tenían dicha concepción. Lo que sí podemos afirmar de estos procedimientos, y
otros como el de la Ilustración 21a, es que los estudiantes prefieren manejar pocas cifras
decimales en sus procedimientos aunque, como en el caso de la Ilustración 21b, el 4,4%
de los estudiantes adicionaron ceros en diferentes posiciones decimales como estrategia
para sumar evidenciando, por ejemplo, que no hay dificultad en reconocer que 2,5 = 2,50 =
2,500 = 2,5000 = … etc.
a
b
Ilustración 21. Quitar o adicionar cifras decimales para sumar decimales
Sabemos que para obtener cada nueva altura se ejecuta el algoritmo de la división; se
esperaría que en estudiantes de nuevo ingreso a la universidad las dificultades para ejecutar
el algoritmo fueran mínimas (o, mejor, nulas) dada la madurez que se esperaría en su
formación matemática. No obstante, y como ya hemos visto, parece ser que el 47% de los
estudiantes no alcanzó esa madurez operativa ya que los datos de las alturas registradas en
las hojas de procesos distan mucho de lo datos que corresponden a cada nueva altura: En la
Ilustración 22 que sigue, el óvalo rojo señala el error en la ejecución del algoritmo de la
división para calcular la altura de la pelota a partir del tercer rebote: para el tercero no es
1,75 sino 1,25 metros, y para el cuarto rebote la altura no es 0,87 sino 0,625 metros, y así
sucesivamente.
Ilustración 22. Resultados erróneos del algoritmo de la división
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
82
Podríamos interpretar que quienes incurrieron en este error no lo percibieron debido a que
en cada nueva altura se cumplía la concepción heredada de los números naturales: al dividir
un número entre otro, se obtendrán un número más pequeño lo cual no sorprende pues,
frente a esto, Artigue (1990) dice que
“un cierto número de fuertes convicciones sobre las propiedades que poseen los
números [naturales] y las operaciones que son realizadas (números que tienen un
predecesor y un sucesor, la multiplicación que produce números más grandes, la
división que produce números más pequeños...) y sus propiedades, ligadas de forma
definitiva a la concepción de número, importadas en los decimales en el caso de la
extensión del concepto, crean errores particularmente resistentes”.
Sin embargo, el conocimiento “la división produce números más pequeños” tiene su
contraejemplo en los procedimientos de la lustración 23 que evidencia que los estudiantes
quienes no se alertaron ante el incremento significativo obtenido en cada nuevo rebote:
En la solución a, particularmente el estudiante llegó a la respuesta correcta pero
incurriendo en errores al dividir pues obtuvo 12,5 como resultado del cociente
1,25:2, resultado que es significativamente más grande que 2,5.
En la solución b, el estudiante obtuvo que la mitad de 1,25 mt es 50,14 mt siendo
éste aproximadamente cuarenta veces más grande que 1,25.
a
b
lustración 23. Uso de operaciones sin monitoreo
Podríamos afirmar que estos estudiantes no están en capacidad de monitorear sus
procedimientos pues no se percatan de que la altura obtenida no es “más pequeña” que la
anterior, como indican las condiciones del problema. También podríamos deducir que los
estudiantes en sus prácticas escolares empleaban la calculadora para este tipo de
operaciones y por ello incurren en los errores señalados al trabajar a lápiz y papel o
realizando cálculos mentales en los cuales, evidentemente, no tienen mucha destreza.
La ausencia de la calculadora y la dificultad para emplear el algoritmo de la división
motivaron la elaboración de un procedimiento para estimar algunas alturas de la pelota
tratando de emplear el cálculo mental. En la Ilustración 24 se podrá apreciar que más que
“tantear” lo que el estudiante intentó fue elaborar un nuevo algoritmo para la división de
decimales empleando nociones de las propiedades de los números reales: el estudiante
descompuso 2,5= 2 + 0,5 para dividir el 0,5 y obtener 2 + 0,25 =2,25.
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
83
Ilustración 24. Elaboración de un nuevo algoritmo de división erróneo
Si observamos con detalle veremos que desde el segundo dato de la Ilustración 24 el
estudiante dejó el número entero del decimal inmodificable para dividir solamente la parte
decimal del número; es decir de 2,5 dividió el cinco para obtener 2,5 y “juntarlo” con el
número entero dos y obtener 2,25, para el siguiente dato “desapareció” un dos y en su
lugar escribió el cero para después poner los dígitos del resultado de dividir la última cifra
del dato anterior entre dos, así que de 2,25 obtuvo 2,025. Este procedimiento pese a ser
erróneo permite rescatar que el cálculo mental, requiere de la habilidad de poner en juego
relaciones y propiedades numéricas pues
El cálculo mental se constituye en una práctica relevante para la construcción del
sentido del sistema de numeración y las operaciones. Y se constituye en una vía de
acceso para la comprensión y construcción de los algoritmos, debido a que la
reflexión se centra en el significado de los cálculos intermediarios (Lanza y Schey,
2007, p. 8).
Resulta importante que los estudiantes antes de ingresar a la universidad usen las
propiedades de los números reales para establecer relaciones entre ellos y las propiedades y,
así, cuando empleen algoritmos puedan tener el control sobre éstos. O, en el caso de este
problema, estar en capacidad de determinar si es necesario realizar cálculos o dejarlos
expresados para identificar patrones y regularidades.
Otro algoritmo que emergió para calcular la distancia total recorrida por la pelota fue el de
la multiplicación; veamos la Ilustración 25:
Ilustración 25. Dificultades en el uso del algoritmo de la multiplicación
El estudiante calculó 5 𝑥 2,5 después de hallar correctamente la mitad de cinco; el
procedimiento elaborado se podría interpretar como:
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
84
1. Un intento para resolver el producto usando propiedades: 5 x 2,5 = 5 (2 + 0,5),
multiplicando 5 por 2 y obviando el producto con el decimal para apegarse a una de
las respuestas.
2. Estimar y al estar 10 m como opción de respuesta, consideró correcto el
procedimiento lo cual hizo factible el procedimiento como una aproximación, en
donde el margen de error aceptable lo determina la situación particular que se está
resolviendo.
Los hallazgos nos permiten ver que nuestros estudiantes trabajaron con preferencia los
decimales pero difícilmente los usaron para acercarse al proceso infinito subyacente en el
problema, cuestión que no debe sorprender porque en otrora Brousseau (1989, p. 13) ya
mencionaba:
Los números decimales constituyen una estructura muy ingeniosa, apta para resolver
problemas […]. Por esto plantean un problema original a la enseñanza. Por una parte
se parecen tanto a los naturales que es muy fácil emplearlos y aprender muy pronto
una cierta manera de usarlos: fueron inventados para eso. Pero, por otra parte, esta
primera comprensión se convierte en un obstáculo para un uso más refinado y para
una buena comprensión de cuestiones fundamentales para el estudio de las
matemáticas.
De modo tal que al analizar los procedimientos registrados en las hojas de procesos de la
prueba notamos que los estudiantes de nuevo ingreso a la UIS tienen dificultades para
“aplicar procedimientos aritméticos para resolver problemas que involucran procesos
infinitos” lo cual es concordante con el 37,90% de los 409 estudiantes que presentaron la
prueba en el primer semestre y lo solucionaron mal. Esto es consecuente de la dificultad
para emplear un sistema numérico adecuado para representar el cambio y la variación del
fenómeno, de manera que permita identificar una regularidad que lleve a una
generalización y a la vez a analizar una tendencia en los datos; esto impactó la elaboración
de procedimientos para resolver el problema del cuadrado que se muestra en la Ilustración
26.
Un cuadrado de lado 1 cm se divide en dos partes iguales y se sombrea una de
ellas (paso 1). La mitad no sombreada se divide a la mitad y nuevamente se
sombrea una de las partes (paso 2), Si se continúa el proceso indefinidamente,
¿a cuánto se aproxima la suma de las áreas sombreadas del cuadrado?
Ilustración 26. Enunciado del problema del cuadrado
Respecto a quienes consideraron el uso de los fracciones (8,9%), la elaboración de los
procedimientos llegó hasta el tratamiento numérico y el uso de la noción de que sumando y
sumando indefinidamente un número pequeño se acumularía el área en 0,9 cm2, esto como
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
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estrategia para suplir la ausencia del conocimiento para establecer el término general de la
sucesión y la sumatoria. Veamos la Ilustración 27:
Ilustración 27. Uso de fracciones para plantear el procedimiento de solución
Cabe señalar que el 22,12% de los estudiantes no elaboraron procedimiento alguno para
este problema o expresaron que “no era necesario hacer justificación”, “no sé”, “no sé
cómo hacerlo ya que hace rato salí del colegio y no me acuerdo de los temas vistos”, “no
me acuerdo de la fórmula”, “no me acuerdo de cómo resolverlo”, etc. Estas expresiones
reflejan la creencia de considerar que todo problema tiene una receta para ser resuelto y que
si no se tiene memorizada, el problema no puede ser abordado ni se pueden diseñar
estrategias para construir su solución. Estas justificaciones a la usencia de procedimientos
van en sentido opuesto, en términos de Santos (2007), a las habilidades de pensamiento
para resolver problemas en diversos campos el cual incluye el desarrollo del pensamiento
no algorítmico (aquel en el que no existe un camino determinado por seguir y éste puede
anticiparse) que resiste cierto nivel de incertidumbre ya que no siempre se conoce lo que se
tiene al alcance en una situación o tarea.
El procedimiento de la Ilustración 28 llamó nuestra atención ya que ante la dificultad para
emplear el algoritmo de la división con números decimales para el estudiante fue correcto
agregar un cero decimal tras cada nuevo paso de partición del cuadrado, acción que lo llevó
a una suma cuyo resultado sería un decimal periódico infinito.
Ilustración 28. Agregando ceros para suplir el algoritmo de la división
Este procedimiento señala que nuestros estudiantes tienen arraigadas sus experiencias con
los números naturales pese a que en octavo grado (tres años antes de graduarse) empiezan a
hablar de Números Reales. Podríamos, incluso, interpretar de la Ilustración 28 que el
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
86
estudiante elaboró su procedimiento de división a la luz del siguiente conocimiento
heredado de los naturales: dados dos números, el que tenga más cifras es el mayor,
empleándolo en este sentido: dados dos números, dividir reiteradamente un número (cinco,
que es el primer dato de altura) entre el mismo número (dos, para el caso del problema) es
agregar un cero decimal cada vez pues así el número es más pequeño.
Las dificultades u obstáculos cognitivos que se derivan de lo anterior podrían aparecer al
trabajar con límites de funciones, y al determinar tendencias pues, como veremos a
continuación, los estudiantes evalúan la función en números enteros y no reconocen valores
racionales muy próximos a un número dado. En la Ilustración 29 se puede observar que las
dificultades para operar racionales aparecen una y otra vez, en este caso, en el problema del
carrito de juguete.
Ilustración 29. Errores en la multiplicación con decimales
Se puedo observar la dificultad al calcular el producto 4,5(2)2 cuyo resultado es 18 y no
18,40; esta dificultad se ratifica en la siguiente solución de la Ilustración 30:
Ilustración 30. Dificultad en la jerarquía de operaciones
Del segundo al tercer renglón de la sustitución, es clara la dificultad en el dominio de las
propiedades los números reales para realizar cálculos con operaciones combinadas: al
sustituir t=2 el estudiante separó el 4 del producto con 4,5, y lo sumó con el otro 4; en el
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
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tercer renglón al multiplicar el decimal con el 8 que obtuvo de la suma también evidenció
dificultades con el operador pues multiplicó como si tuviera enteros y erró al obtener 360.
El procedimiento de la Ilustración 31 enfatiza en que los estudiantes realizan intentos
razonables pero no exitosos de adaptar un conocimiento adquirido a una nueva situación;
veamos:
Ilustración 31. Confusión de algoritmos con decimales
Podríamos decir que el estudiante comparó el procedimiento de la suma con la
potenciación (22 = 2+2), para luego elaborar el procedimiento para el producto 4,5(4)
considerando erróneamente que 4x4=8, viendo el operador de la multiplicación como
adición. Se desprende de este particular la dificultad para entender la potenciación, y que
además algunos estudiantes aplican procedimientos sin razonar. Otra cuestión que se
desglosa es que los errores son producto de esquemas cognitivos equivocados y no solo
son consecuencia de falta de conocimiento o de un despiste. Esto nos permite afirmar que
las dificultades se originan por los obstáculos que no son posibles de superar e impiden
avanzar en la construcción del nuevo conocimiento (Brousseau, 1989). Un obstáculo es un
conocimiento adquirido, no una falta de conocimiento que podría manifestarse como una
dificultad para resolver problemas. En el caso de los últimos tres procedimientos
ilustrados, los errores son el resultado de un procedimiento sistemático imperfecto que los
estudiantes utilizan de modo consistente y con confianza. Otro ejemplo de esto se observa
en el procedimiento de la Ilustración 32 que sigue:
Ilustración 32. Multiplicación de decimales errada
Se observa que para multiplicar 4,5(2)2 el estudiante usó incorrectamente sus presaberes
sobre propiedades de números reales: Multiplicó los enteros de cada número (4 x 4) y sumó
las partes decimales respectivas (0,5 del primer número, con 0,0 del segundo) para obtener
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
88
la parte decimal del resultado. Formalizando lo que trató de realizar el estudiante
tendríamos:
4,5(2)2 = 4,5 x 4 = (4 + 0,5) x (4 + 0,0).
Sin embargo, si ese fuera el caso, el estudiante erró al desarrollar la propiedad distributiva.
Otra explicación a este procedimiento podría ser que el estudiante ha generalizado que la
suma y la multiplicación se operan con el mismo procedimiento; esto se corrobora al
revisar la suma de 16,5+4 la cual es correcta (óvalo azul).
Los hallazgos nos han mostrado que en cualquier situación, cuando un estudiante no
domina las reglas para realizar operaciones con decimales sin calculadora, cometerá los
errores que ya hemos señalado y éstos se manifestaran indistintamente en la resolución de
problemas sin el uso de las tecnologías (para el caso de la prueba diagnóstica). Socas (1997
en Puerto, Minnaard, y Seminara, 2006) dice que los números decimales son,
necesariamente, más complicados que los números enteros, y la experiencia con números
enteros conduce a la generalización implícita de que la “multiplicación agranda”, lo que
provoca un obstáculo cognitivo pues el estudiante al multiplicar bajo la lógica interna usada
en el último procedimiento no notará que el producto está mal porque el resultado es más
grande, pese a que no es el resultado correcto. Esta concepción aparece nuevamente en la
Ilustración 33: como se señala en el óvalo, para el estudiante “un medio por dos es igual a
cuatro”; resultado que debería llamar la atención del estudiante si tuviera claro que dados
dos números reales a y b con 0 < a <1, y b > 1 el producto ab no siempre es mayor que
los dos números.
Ilustración 33. Error al multiplicar fraccionarios
Resulta inquietante que estudiantes universitarios de primer nivel ejecuten procedimientos
aritméticos faltando a razonamientos adecuados sobre los números que manejan, sorprende
la confianza con que ejecutan procedimientos aritméticos en los cuales los algoritmos se
ajustan a concepciones que se apoyan en los números naturales evidenciando dificultad
para avanzar a conjuntos numéricos como los racionales, en donde el producto de dos
racionales puede ser menor que cualquiera de ellos. Sin embargo, la experiencia nos
permite afirmar que cuando en la clase de Matemáticas aparecen los fraccionarios, la
mayoría de estudiantes prefieren utilizar calculadora, razón por la cual las dificultades en el
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
89
dominio de los números reales y sus propiedades en el nivel de educación superior no sería
sorprendente sino consecuencia de esas prácticas matemáticas.
Los hallazgos que hemos observado se conglomeran en la dificultad para resolver
problemas y simplificar cálculos usando propiedades y relaciones de los números reales y
de las operaciones entre ellos (MEN, 2002, p. 86); las dificultades a las que se han
enfrentado los estudiantes con números racionales en su expresión decimal surgen también
en su representación fraccionaria en el problema de la partícula y en los problemas que
involucran funciones trigonométricas. El problema de la partícula pedía determinar los
valores de 𝑡 , para los cuales 𝑠’(𝑡) no existe sabiendo que 𝑠(𝑡) = |1
2𝑡 − 1| modela la
posición de una partícula.
Como se aprecia en la Ilustración 34 el estudiante registró en tres oportunidades
dificultades para resolver el polinomio aritmético del valor absoluto que define la función
del problema: en los tres óvalos se puede apreciar que el estudiantes primero restó y
después multiplicó los factores; por ejemplo:
1
21 − 1 =
1
20 = 0
Ilustración 34. Errores en la simplificación de polinomios aritméticos
En el óvalo azul se señala que la multiplicación fue sustituida por una diferencia que dio
como resultado “un medio” escrito en expresión decimal (el estudiante relacionó la
notación fraccionaria y decimal de los números racionales, para este caso).
Particularmente, en la ejecución de los procedimientos el estudiante, al igual que el 34,5%
de los estudiantes, no hizo uso del operador del valor absoluto sino que lo dejó expresado
quizás por el desconocimiento del mismo. Algo similar sucedió en la solución que se
muestra en el procedimiento de la Ilustración 35 en donde el estudiante ignoró “las barritas”
y calculó las imágenes de la función para obtener coordenadas para graficar; veamos.
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
90
Ilustración 35. Procedimiento que desconoce el valor absoluto
Al rastrear trabajos que reportan errores cuando se involucra el valor absoluto de los
números y su notación, encontramos a Cerizola, Pérez y Martínez (2000) quienes dicen que
el valor absoluto de un número real es una noción básica de la Matemática, en particular del
Cálculo Diferencial en tanto que en éste se cimentan definiciones de conceptos
fundamentales como límite y continuidad. Sin embargo, las autores expresan
explícitamente una problemática que refuerza las dificultades alrededor del valor absoluto:
[…] hemos podido constatar que en la enseñanza de Precálculo no se pone suficiente
énfasis en diseñar situaciones para que los alumnos comprendan este concepto. Sus
propiedades son simplemente enumeradas y sus primeras aplicaciones, como
resolución de igualdades y desigualdades con valor absoluto se tratan muy
someramente (p. 1).
Las autoras expresan además que los profesores al enseñar ecuaciones e inecuaciones con
valor absoluto usan procedimientos que responden al registro algebraico, relegando el
registro gráfico, recurso visual muy útil para encontrar la solución; esta representación era
parte importante (aunque no indispensable) para obtener la solución del problema de la
prueba diagnóstica.
Colín y Lázaro (2009) encontraron evidencias de que en la educación básica secundaria en
México, el tema de valor absoluto de un número es tratado con mayor frecuencia como
distancia y no se presenta su definición analítica. Precisamente, Wilhelmi, Godino y
Lacasta (2007) señalan cuatro contextos en los cuales aparece la noción de valor absoluto:
Aritmético, permite caracterizar la noción de valor relativo y valor absoluto, desde
lo numérico.
Algebraico, como una expresión equivalente a 2x .
Geométrico, como la distancia entre puntos, y
Analítico como una función definida a trozos o la función máximo.
Los autores señalan que cada una de estas definiciones lleva al estudiante a conocer
parcialmente el objeto matemático, por ende la elección de una de ellas establece las
diversas formas en que un estudiante realiza la solución de actividades con valor absoluto.
Por ejemplo, en la Ilustración 36 se podrá observar cómo las dificultades para reconocer el
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
91
valor absoluto como operador inciden en la elaboración de los procedimientos del problema
el límite de una función, pese a que para analizar el límite los estudiantes tomaron algunos
valores enteros de la variable independiente y los llevaron a la función para calcular sus
imágenes y observar su variación. (Recordemos que el problema del límite pedía
determinar el límite de 𝑓(𝑥) =|𝑥|
𝑥 cuando 𝑥 → 0).
Ilustración 36. Dificultades para emplear el valor absoluto como operador
Destaca de la Ilustración 36 el error consistente al calcular las imágenes para (-3, -2, -1, 1,
2): el valor absoluto de cada número dio uno (ver óvalos rojos), esto señala que los recursos
del estudiante para solucionar el problema eran pocos pues no recordaba la definición ni el
procedimiento rutinario requerido por el problema.
Santos (2007) nos dice que los errores consistentes en la resolución de problemas inciden
significativamente en el proceso pues existe el riesgo de que el estudiante los efectúe otra
vez. De manera análoga sucede cuando se tienen claras las definiciones y los
procedimientos, pues éstas se constituyen en un inventario que permitirá al individuo
transitar hacia la solución de manera natural, como se aprecia en la Ilustración 37 que
sigue.
Ilustración 37. Valor absoluto, uso correcto del operador
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
92
Como se observa, en el procedimiento anterior el estudiante consideró algunos números
negativos y otros positivos, pero no tomó el cero como lo hizo el 12,3% de los estudiantes
(ver a Ilustración 38).
a
b
Ilustración 38. Errores con el valor absoluto como operador e indeterminaciones
El 26,5% de los estudiantes que presentaron la prueba diagnóstica dejaron su hoja de
procesos en blanco o escribieron que no sabían cómo hacer el problema, lo cual es
preocupante pues la comprensión del concepto de valor absoluto (no solo en su aspecto
numérico sino analítico) es importante para la construcción del concepto de límite en su
definición épsilon-delta.
El análisis de los procedimientos nos ha llevado una y otra vez a observar las limitaciones
de los estudiantes en el dominio de procedimientos aritméticos que involucran números
racionales, cuestión que llama nuestra atención pues, en cualquier contexto donde estén
inmersos, emergerán las dificultades alrededor de ellos. Por ejemplo, el contexto del
problema de la Ilustración 39 es trigonométrico; en ese procedimiento se observa que el
estudiante empleó la regla de que para realizar una suma de fraccionarios, se debe tener
un común denominador, sin controlar el procedimiento que elaboraba para responder a ese
conocimiento heredado de su formación matemática anterior.
Ilustración 39. Errores reincidentes con números racionales
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
93
Lo que llamó nuestra atención es que el estudiante, para responder a esa regla y avanzar en
el procedimiento, asumió que 2 =1
2 (lo indicaba la flecha) y operó la adición de los
irracionales con el número entero como si estuviera multiplicando por uno: 1 + 𝜋
2=
𝜋
2 .
Una primera percepción que nos quedó de este procedimiento es que si las experiencias
matemáticas de los estudiantes se han centrado principalmente en el aprendizaje y la
práctica de algoritmos sin contexto, esto los conducirá a errores que aparecerán
persistentemente y dificultarán el aprendizaje de nuevos conceptos y la resolución acertada
de problemas ya que no tienen elementos asociados al control de la técnica. En la
Ilustración 40 que sigue, por ejemplo, influye en el procedimiento realizado por el
estudiante la regla aprendida de que cuando hay un cociente en donde el numerador y el
denominador son iguales, se “cancela”. Se puede observar la ausencia de control en la
ejecución de la regla pues el estudiante no observó que 2 +3𝜋
2 es diferente de
2
2+ 3𝜋.
Ilustración 40. Ratificando dificultades con los fraccionarios
El uso correcto de los algoritmos también ha sido una dificultad con la cual no dejamos de
encontrarnos, aspecto en el cual se esperaría que los estudiantes de nuevo ingreso a la
universidad no presenten dificultades ya que, como señala Brousseau,
el “algoritmo” constituye un instrumento de liberación y de solución de los conflictos
didácticos, en el sentido que permite momentáneamente una clara división de las
responsabilidades. El maestro muestra el algoritmo, el alumno lo aprende y lo
“aplica” correctamente: si no es así debe ejercitarse, pero su incertidumbre es casi
nula […] (1993 en Martínez, 2000, p. 56).
No obstante, pese a las actividades de repetición a las cuales se enfrentan los estudiantes
para aprender a dividir y multiplicar números reales, las dificultades prevalecen porque el
algoritmo se olvida o se distorsiona por lo que se convierten en causa de dificultades para
muchos estudiantes para aprenderlas, y para los profesores enseñarlas (ibíd.).
De modo que los hallazgos de la Fase 1 con el Formato DIPEVA de ASAE se constatan
con la prueba diagnóstica inicial del curso de precálculo aplicada a los estudiantes de
Matemáticas, Licenciatura en Matemáticas y Sistemas quienes evidenciaron en sus hojas de
procesos dificultades comunes en el uso de los números reales, en particular, con los
fraccionarios y los decimales: el 76,1% de los estudiantes presentó por lo menos una vez
alguna dificultad en algún problema de la prueba; una cantidad nada despreciable de
estudiantes que registraron errores comunes debido al aprendizaje deficiente de
conocimientos previos y al escaso manejo de destrezas en los procedimientos aritméticos.
Sin embargo, pese a que podríamos sorprendernos porque los estudiantes universitarios
tienen dificultades con el tratamiento de los números decimales, Centeno (1988, en Piñero,
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
94
y Azcárate, 2011, p. 19) nos da cuenta de estudios que corroboran la lentitud en la
adquisición del concepto de número decimal, afirmando que
el tiempo necesario para realizar este camino que va del primer contacto con los
números decimales hasta el dominio de los mismos, puede extenderse desde los ocho
o nueve años hasta los trece o catorce, sin que se pueda asegurar que a esta edad están
resueltas todas las dificultades que este aprendizaje plantea.
Esto nos llevaría a aceptar de manera natural que los estudiantes de nuevo ingreso a la
universidad, cuyas edades oscilan entre 16-18 años, aún evidencien dificultades en
procedimientos aritméticos aceptando que los estudiantes, como hemos documentado, aún
razonan con las reglas heredadas de los números naturales, llamando “normal” al hecho de
que los estudiantes realicen inadaptaciones que conllevan pérdidas del sentido numérico
(Ruiz, 2004).
A pesar de eso, estaremos de acuerdo en que este tipo de dificultades no se esperan que
ocurran en estudiantes universitarios quienes en el haber de sus presaberes deberían
dominar la elaboración y ejecución de procedimientos aritméticos para establecer
relaciones y diferencias entre diferentes notaciones de los números reales para decidir
sobre su uso en una situación dada (MEN, 2006).
4.2 DIFICULTADES EN PROCEDIMIENTOS GEOMÉTRICOS
Los procedimientos geométricos, como señalamos en §2.3.1, comprenden atributos y
propiedades de figuras y objetos 2D y 3D y su ubicación en el plano o el espacio; las
nociones de horizontalidad, verticalidad, paralelismo y perpendicularidad; los diseños y
construcciones utilizando representaciones de cuerpos y figuras geométricas; las
representaciones verbales y gráficas de recorridos y el reconocimiento de ángulos y de
polígonos, su clasificación y propiedades.
Las representaciones geométricas fueron empleadas por los estudiantes con la intención de
aportar ciertos rasgos de claridad en el entendimiento de tres de los problemas analizados
de la prueba diagnóstica, como se puede apreciar en la Ilustración 41 que sigue.
a
b
Ilustración 41. Representaciones geométricas del problema de la pelota
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
95
El fenómeno del rebote de la pelota fue representado de diferentes maneras por el 38,9%;
aproximadamente de los estudiantes; la mitad de ellos (19 estudiantes) hizo una
representación similar a la Ilustración 42a. En la representación de la Ilustración 42 (única
por sus características) se explicita el plano cartesiano que subyace en las gráficas, señaló
cuidadosamente la escala del eje x para el número del rebote, empleando puntos que
representan cada golpe de la pelota en el piso, al mismo tiempo que trató de cuantificar el
eje y con las alturas de la pelota siendo el punto máximo 5 metros.
Ilustración 42. Sistema de referencia para el problema de la pelota
En consecuencia, los estudiantes emplearon su capacidad para construir una imagen
geométrica de la relación funcional de las variables del problema para hacerse una
representación de la misma en el plano.
No obstante, como se explicitará con más detalle en §4.4, las dificultades en el
entendimiento del fenómeno impactó, en este caso, directamente la percepción espacial
que no sólo se reduce a lo geométrico, pues se trata de una representación que favorecerá
(o no) la resolución de problemas: en este problema era importante comprender que no se
trataba de la altura que alcanzaba la pelota en cada rebote, sino de representar la relación
funcional entre el número de rebotes de la pelota y la distancia recorrida por la misma, con
base en las condiciones del problema.
Godino y Ruiz (2002) llaman la atención sobre el problema crucial de la enseñanza de las
matemáticas para dibujar objetos matemáticos que son de naturaleza abstracta que “como
entidades abstractas que son, parece obvio que no se puede dibujar una recta o un triángulo.
Lo que se dibuja es un objeto perceptible que evoca o simboliza el objeto abstracto
correspondiente” (p. 456).
Sin embargo, los estudiantes desde temprana edad escolar dibujan, por ejemplo, polígonos
sin pensar en las características geométricas de, por ejemplo, el cuadrado. En el problema
del cuadrado, que recordaremos a continuación, los estudiantes intentaron representar la
situación empleando dibujos geométricos diferentes procurando, posteriormente, trasladar
las ideas geométricas al lenguaje algebraico sin mucho éxito: el 38,05% de los estudiantes
consideró pertinente realizar nuevos pasos en el proceso de partición del cuadrilátero o
representar el proceso en un único cuadrado como se puede apreciar en la Ilustración 43.
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
96
a
b
Ilustración 43. Representaciones geométricas del problema del cuadrado
De los datos de esta investigación resulta necesario resaltar que los procedimientos
geométricos empleados en la prueba se dieron a la luz del uso de representaciones
geométricas como apoyo para el respectivo proceso de resolución; aunque para este
problema el 22,1% de los estudiantes no avanzó en la solución del mismo. Algunos
estudiantes (14,1%) asociaron a la representación geométrica el área correspondiente a
cada nuevo paso, pero la efectividad en la ejecución de los procedimientos aritméticos no
les permitió solucionar completamente el problema, como se aprecia en la Ilustración 44.
Ilustración 44. Procedimiento geométrico-aritmético inconcluso
De manera similar sucedió en el problema del folleto en el cual la representación gráfica
del cuadrado tuvo lugar en el 17,6% de los procesos de solución; el problema del folleto
pedía encontrar el modelo que representaba su área respecto a uno de sus lados. El proceso
de solución del problema requería que el estudiante interpretara el problema, quizá con el
apoyo de una representación pictórica para identificar variables, establecer los lados del
margen y crear la función que daría cuenta del modelo del área del folleto en función de
uno de sus lados (poner en juego procesos algebraicos y el análisis de funciones).
Los procedimientos de la Ilustración 45 ejemplifican que los estudiantes expresaron los
lados del rectángulo usando variables.
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
97
a
b
c
Ilustración 45. Representaciones geométricas del problema del folleto
Sin embargo, solo el 3,5% de los estudiantes restó la medida del margen en cada lado a la
respectiva dimensión de la hoja, de modo que la representación geométrico-algebraica no
fue elaborada para representar en su totalidad el problema, salvo el procedimiento de la
Ilustración 46 en donde se observa que el estudiante empleó adecuadamente una
representación geométrica para expresar una imagen visual de la relación variacional.
Ilustración 46. Representaciones geométricas del problema del folleto
Es importante abrir un paréntesis para señalar que las representaciones matemáticas las
entendemos en sentido amplio desde Castro, Rico y Romero (1997, p. 1) “como aquellas
herramientas –signos o gráficos– mediante las cuales los sujetos particulares abordan e
interactúan con el conocimiento matemático”. El NCTM señala que “el término
representación se refiere tanto al proceso como al producto (resultado), esto es, al acto de
captar un concepto matemático o una relación en una forma determinada y a la forma en sí
misma” (2003, p. 71). Afirman además que las representaciones son procedimientos de
comunicación y, a la vez, poderosas herramientas de pensamiento e insisten en que los
programas de enseñanza de todas las etapas deberían capacitar a todos los estudiantes para:
1. Crear y utilizar representaciones para organizar, registrar y comunicar ideas
matemáticas.
2. Seleccionar, aplicar y traducir representaciones matemáticas para resolver
problemas.
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
98
3. Usar representaciones para modelizar e interpretar fenómenos físicos, sociales y
matemáticos.
Otro aspecto que notamos respecto a las representaciones geométricas para la resolución de
problemas es que si la representación elaborada es producto de un proceso de recuperación
de la memoria, su puesta en escena no resulta significativa para la elaboración de nuevos
procedimientos, como le sucedió al estudiante que, al querer calcular el valor de 𝑐𝑜𝑠(2𝛼)
sabiendo que sen α =√3
2, y α está en el segundo cuadrante, empleó infructuosamente al
círculo trigonométrico para analizar la variación del seno y coseno en relación a un ángulo
coterminal (Ilustración 47).
Ilustración 47. El círculo unitario como representación geométrico
De modo que el estudiante que empleó este procedimiento, intentó sin éxito hallar con un
proceso geométrico el valor del coseno pues no logró atribuirle significado a la
representación para solucionar el problema, lo cual llama la atención sobre el aprendizaje
memorístico: aunque ayude al estudiante a recuperar conocimiento, no será un recurso que
apoye la resolución de problemas si el estudiante no logra elaborar procedimientos ni
razonamientos nuevos con él.
En los estándares de matemáticas del grado noveno (dos años antes de terminar la
secundaria) el MEN (2006) señala que el estudiante usará representaciones geométricas
para resolver y formular problemas en las matemáticas y en otras disciplinas. No obstante,
los procedimientos en la solución de la prueba diagnóstica no evidencian que las
representaciones geométricas les permitan resolver los problemas; durante la revisión de las
hojas de procesos fue claro que los estudiantes intentaron crear y utilizar representaciones
geométricas. Sin embargo la dificultad para la construcción de procedimientos (ya fueran
aritméticos o variacionales) sobre ellos nos resulta inquietante dado que el aprendizaje del
Cálculo Diferencial exige la conexión entre las diferentes representaciones de los objetos
matemáticos para favorecer no solo la resolución de problemas, sino la construcción de
conceptos (esto no quiere decir que no reconozcamos, incluso, que las representaciones
asiladas podrían ser una limitante para generar ciertos conceptos).
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
99
4.3 DIFICULTADES EN PROCEDIMIENTOS MÉTRICOS
En la prueba diagnóstica identificamos seis problemas que incorporan objetos matemáticos
de los procedimientos métricos; en la Tabla 20 se relacionan.
PROBLEMA ENUNCIADO
De la pelota
Una pelota de tenis se lanza hacia arriba de modo que alcanza una
altura de 5 m desde el piso, y se deja rebotar hasta que quede en
reposo. Supóngase que en cada rebote sube hasta la mitad de la altura
máxima anterior. La distancia total (aproximada) que recorre la pelota
antes de quedar en reposo es: […].
Del cuadrado
Un cuadrado de lado 1 cm se divide en dos partes iguales y se
sombrea una de ellas (paso 1). La mitad no sombreada se divide a la
mitad y nuevamente se sombrea una de las partes (paso 2), Si se
continúa el proceso indefinidamente, ¿a cuánto se aproxima la suma
de las áreas sombreadas del cuadrado? […].
Del carrito de
juguete
Un carrito de juguete se desliza a lo largo de un plano inclinado, de tal
manera que su función de posición después de segundos está dada por
𝑠 = 𝑓(𝑡) = 4,5𝑡2 + 2𝑡 , donde s está en metros. La siguiente tabla
muestra los datos de tiempo y posición del carrito. […]. Según la tabla
anterior, ¿cuál es la velocidad instantánea en t=2 segundos?
Del folleto
Un folleto debe contener 48 de espacio impreso, con márgenes de 3
pulgadas en la parte superior e inferior, y márgenes laterales de 1
pulgada. ¿Cuál será el modelo que representa el área del folleto
respecto a uno de sus lados? […].
De la empresa
láctea
En una empresa láctea se registran los datos de dos tanques que
almacenan leche. La siguiente gráfica representa la relación entre
volumen y el tiempo de dos tanques A y B, respectivamente. Se tiene
que estos tanques descargan la leche por un orificio en la parte inferior
de cada uno de ellos. ¿Cuáles son las expresiones algebraicas que
modelan el desagüe para los tanques de leche A y B, respectivamente?
[…].
Tabla 20. Problemas que incorporan objetos matemáticos de procedimientos métricos
Como se puede deducir de la tabla, la elaboración de procedimientos para solucionar los
problemas no exigía procedimientos métricos. No obstante, el 46,9% de los estudiantes
realizó algún procedimiento con el sistema métrico decimal, lo que llamó nuestra atención
ya que en la fase de análisis de los problemas no contemplamos que los estudiantes
consideraran la conversión de unidades en el problema de la pelota.
Chamorro (1995 citado por Abrate, Pochulu, y Vargas, 2006, p. 124) hace una precisión
importante sobre la línea que diferencia lo “aritmético” de lo “métrico” en el currículo de
matemáticas:
En la enseñanza habitual se evitan las prácticas efectivas de medición, lo que
convierte la enseñanza de la medida en un discurso teórico, que versa
fundamentalmente sobre cuestiones aritméticas más que de medida. (...) Esta invasión
de la medida por parte de la aritmética, fundamentalmente por razones de comodidad
práctica: es más fácil manejar números, puede a nuestro juicio constituir un obstáculo
en la concepción de la medida por parte de los alumnos y alumnas.
Ciertamente nosotros nos enfrentamos a ese dilema de distinguir el siguiente procedimiento
como aritmético o métrico, pero concluimos que era métrico dado que está dando cuenta de
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
100
la longitud de la altura de la pelota. Para facilitar la lectura de la Ilustración 48, realizamos
en la Tabla 21 la conversión correcta de metros a centímetros para los nueve datos que
consideró el estudiante y trascribimos también el registro del estudiante.
Ilustración 48. Cambio indiscriminado de unidad de medida
Tabla 21. Contrastando acciones de conversión
CONVERSIÓN Metros
5
2,5
1,25
6,25
0,3125
0,15625
0,078125
0,3980625
0,01953125
Sumatoria: 15,96446875 m
a
=
=
=
=
=
=
=
=
=
Centímetros
500
250
125
62,5
31,25
15,625
7,8125
3,980625
1,953125
Del Estudiante
5 m
2,5 m
1,25 m
62 cm
31 cm
15 cm
7,75 cm
3,6 cm
1,8 cm
Diremos que el estudiante intentó seleccionar unidades de medida apropiadas para cada
nueva medición de la altura, pero salta a la vista que realizó mal la conversión de unidades
además de que las mezcló arbitrariamente. Se podría decir que el estudiante no prestó
suficiente atención para planificar y monitorear el progreso de su solución al no inquietarse
frente al contraste entre la opción elegida como respuesta (9,99 metros) y la suma de los
datos recolectados: solo al sumar los tres primeros datos obtendría 8,75 m.
Según lo anterior, podríamos decir que algunos estudiantes presentan dificultades para
identificar relaciones entre distintas unidades utilizadas para medir cantidades de la
misma magnitud (MEN, 2006), siendo este un estándar para el grado séptimo (segundo año
escolar de secundaria). No obstante, algunos estudiantes fueron cuidadosos al emplear en el
procedimiento de solución las unidades de medida, como bien se puede observar en la
Ilustración 49 (el 26,5% de los estudiantes empleó unidades en el problema del cuadrado).
metros
centímetros
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
101
Ilustración 49. Uso correcto de unidades de medida
En lo que hemos visto del estudio, hemos notado que en algunos procedimientos, como los
anteriores, los estudiantes emplean la unidad de medida en sus respuestas, sin embargo esto
podría estar influenciado porque en las opciones de respuesta de los problemas se
emplearon las unidades de medida pues en varios procedimientos los estudiantes
proporcionaron resultados numéricos carentes de unidades (ver Ilustración 50), lo cual
evidencia que las opciones de respuesta juegan un rol en el control de los procedimientos.
Ilustración 50. Procedimientos métricos sin unidades de medida
Las unidades del sistema internacional de unidades suelen ser familiares para los
estudiantes, por lo que al enfrentarse a problemas que incluyan una unidad de medida
distinta podrían tener dificultades a tal punto que no elaboran ningún tipo de procedimiento
(Ilustración 51a) o bien trabajan con ellas sin inconvenientes (Ilustración 51b).
a
b
Ilustración 51. La pulgada como unidad de medida
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
102
De los 67 estudiantes que realizaron procedimientos analíticos para resolver este problema,
el 43,2% no tuvo dificultades con la pulgada pues hicieron uso de la cantidad de la
magnitud dada en el problema. De modo que ese porcentaje de estudiantes no tuvo
dificultad para reconocer que la unidad es un atributo de la magnitud y que no es necesario
comparar unidades.
El siguiente procedimiento elaborado para solucionar el problema de la pelota destacó entre
todos por ser un procedimiento no rutinario elaborado, desde el cálculo mental de sumar
cantidades de longitud las cuales se pueden comparar entre sí. Godino, Batanero y Roa
(2002, p. 626-627) definen la suma de longitudes como sigue:
Dados dos segmentos generales [a] y [b] (caracterizados cada uno de ellos por una
longitud), siempre es posible encontrar dos representantes consecutivos y que, por
tanto, se pueden sumar. Este nuevo segmento suma pertenece a una nueva clase de
equivalencia, que por definición se considerará el segmento general (cantidad de
longitud) suma de [a] y [b]. O sea [c] = [a] + [b]
Como L es el conjunto de las cantidades de longitud (o conjunto de longitudes) se
acaba de definir la suma de longitudes.
Los autores también señalan que en el trabajo con magnitudes es necesario comparar
distintas cantidades. La comparación se ve facilitada si se toma una cierta cantidad [u]
como referente y se determina cuántas veces contiene una cantidad dada [a] a [u]. Esto
lleva a considerar la suma como operación de las magnitudes la cual debe tener
propiedades de asociatividad y conmutatividad, para que se pueda hablar de magnitud.
Veamos el procedimiento en la Ilustración 52.
Ilustración 52. Sumando cantidades de longitud
Interpretando la Ilustración 52 notamos que el estudiante, después del primer rebote,
acumuló en un segmento las alturas para los siguientes cuatro rebotes; señaló cada rebote
con una marca en el segmento; de manera que completó otro segmento de igual longitud al
que representa la máxima altura del primer rebote concluyendo que la distancia total es 10
m.
Esta representación fue considerada en una de las soluciones del problema de nuestro
análisis del problema, pero el estudiante intuitivamente aprovechó la representación para
comparar y ordenar las distintas alturas de la pelota determinando que ellas se podían
contener en sí mismas de manera que al “unir” (sumar) los extremos de los segmentos que
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
103
representan cada altura nueva, obtendría de referente otra altura igual a la primera, análisis
que nosotros no contemplamos pues recurrimos a la sumatoria de términos. El análisis
realizado por el estudiante del fenómeno de cambio de la pelota no fue correcto pues
consideró la altura de la pelota lo cual inválida el procedimiento; sin embargo, destaca su
habilidad para desarrollar referentes de medida para hacer comparaciones y estimaciones
(NCMT, 2003).
A lo largo de esta sesión ratificamos la postura del NCTM (ibíd.) al afirmar que “las
representaciones que hacen los estudiantes cuando resuelven problemas e investigan ideas
matemáticas, pueden jugar un importante papel ayudándoles a comprender y resolver los
problemas” (p. 72). Sin embargo, el mismo Consejo nos dice que “investigaciones indican,
sin embargo, que los estudiantes de todos los niveles necesitan trabajar para desarrollar su
comprensión de las complejas ideas encerradas en las representaciones convencionales”
(ibíd.). Una representación tan aparentemente clara como la variable x puede resultar difícil
de entender para los estudiantes, como lo veremos en la siguiente categoría.
4.4 DIFICULTADES EN PROCEDIMIENTOS ANALÍTICOS
La revisión de los datos de esta investigación, a la luz del pensamiento variacional, resulta
muy interesante porque distinguimos los ejes conceptuales en la taxonomía de
procedimientos. Subcategorizamos los resultados de los procedimientos analíticos, de
modo tal que a través de éstas expondremos aquellas actuaciones en que los estudiantes
emplearon tablas de valores, ecuaciones y conceptos como el de variable, sumatoria,
infinito, límite y derivadas empleando los ejes temáticos así:
Dificultades analíticas asociadas a los patrones y las regularidades.
Dificultades analíticas asociadas a los procesos algebraicos.
Dificultades analíticas asociadas al análisis de funciones.
Para ubicar los datos en alguna subcategoría nos centraremos en eje temático que más
incidencia tenga en el proceso de solución ya que, al igual que los procedimientos, resultan
fuertemente conectados unos con otros. A medida que desarrollemos el análisis, iremos
trayendo a mención algunos resultados de las categorías anteriores para articularlos con los
hallazgos emergentes de las dificultades detectadas en los procedimientos analíticos.
4.4.1 Dificultades analíticas asociadas a los patrones y las regularidades
El cambio como noción articuladora del Cálculo se halla en situaciones que implican
determinar y emplear variables como cantidades mensurables de fenómenos de variación.
Las evidencias de este estudio dejan ver que los estudiantes de nuevo ingreso no reconocen
la interdependencia de las variables involucradas en una situación, independientemente de
la representación involucrada en ella. Dichas derivaciones constatan la existencia de
dificultades para generalizar los resultados de operaciones aritméticas y para manipular
operaciones algebraicas; Escalante y Cuesta (2012, p. 109) dicen que “ambas dificultades
se hallan en estrecha relación con la experiencia personal del estudiante, lo cual hace
suponer que algunos de los problemas de comprensión emergen, precisamente, del
contexto de representación de los problemas planteados”.
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
104
Precisamente, el problema de la pelota puso en jaque a los estudiantes al momento de
analizar la situación para representarla pues debían interpretar correctamente la variación
del fenómeno físico: establecer que por cada acción hay una reacción igual y opuesta. La
variación implica distinguir cómo se relacionan las magnitudes en el problema particular,
así como medir y analizar cómo éstas cambian. Los dibujos en las hojas de procesos nos
comunican la dificultad de los estudiantes para comprender el fenómeno y considerar todas
sus características.
En efecto, la mayoría de estudiantes realizó un modelo gráfico para representar y
solucionar el problema (Ilustración 53); este ejercicio de dibujar supone el empleo de
convenios para expresar una imagen visual de un concepto o relación; en este caso la
representación de la relación de la altura máxima con el desplazamiento de la pelota en el
piso.
Ilustración 53. Representaciones pictóricas del problema de la pelota
Los estudiantes, entonces, evidenciaron dificultades asociadas con la interpretación del
movimiento del objeto (el cambio de un rebote a otro implicaba que la altura máxima
alcanzada por la pelota se recorría tanto subiendo como bajando), esta dificultad condujo a
los estudiantes a considerar los procedimientos ejecutados como correctos pese a ser
erróneos, como algunos de los presentados en las categorías de los procedimientos
aritméticos.
Según los datos, el 38,9% de los estudiantes de las tres carreras escribieron en sus hojas de
procesos que la distancia total recorrida por la pelota antes de quedar en reposo era de 9,99
metros, y el 23,1% que era 10 metros, estando estas dos opciones influenciadas por la
atención estricta sobre la altura alcanzada por la pelota en cada rebote. Por lo tanto, las
dificultades en la resolución de este problema se produjeron, fundamentalmente, porque los
estudiantes no analizaron correctamente la situación de cambio, lo cual incidió en la
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
105
creación de una representación inadecuada de la situación y en la elaboración de
procedimientos errados.
Desde ese punto de vista, podríamos interpretar que los estudiantes no ven en el Álgebra
una manera de pensar la Matemática ya que encontraron muchas dificultades para
trascender de lo numérico en la solución de este y otros problemas de fenómenos
variacionales.
Al respecto, el MEN (1998) dice que desde la educación básica primaria se deben
favorecer experiencias en el aula para que los estudiantes desarrollen su pensamiento
variacional desde el reconocimiento de patrones y regularidades, enfrentándolos a
situaciones relacionadas con la búsqueda de un patrón que implica reflexionar frente a lo
que cambia, frente a lo que se conserva. Seduca (2005) enfatiza en que fundamentalmente
se debe permitir a los estudiantes comunicar lo que observan y explicitar dichas relaciones,
que las transformen, que las expresen de diferentes formas, que hagan conjeturas y por
tanto, que formulen hipótesis sobre la situación que analizan.
Al llegar a la universidad se espera que los estudiantes empleen sin dificultad tablas de
valores para comprender el cambio de la variable y, a su vez, observar patrones o
regularidades que les permitan establecer procesos de generalización, pese a ello solo el
5,3% de los estudiantes consideró el uso de tablas para observar el cambio y la
interdependencia de las magnitudes variables del problema de la pelota. Como se observa
en la Ilustración 54, el estudiante consideró como variable independiente “pelota tenis” y
como variable dependiente los “rebotes”:
Ilustración 54. Diseño de una tabla de valores
Llaman la atención del procedimiento anterior los siguientes aspectos:
La manera de registrar de las alturas, aunque comprendemos que quizás solo
intentaba expresar el cociente entre dos en cada nuevo rebote.
La falta de claridad sobre qué hacer con la tabla de valores, lo que indica que el
estudiante no reconoce la variación conjunta de las variables.
El estudiante invirtió las columnas de las magnitudes involucradas considerando
como variable independiente a la altura de la pelota, esto señala su dificultad para
establecer correctamente la interdependencia entre las magnitudes variables y para
transferir los datos a otra forma de representación (ecuación).
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
106
Lo anterior evidencia, en términos de Aleksandrov et al. (1994), que los estudiantes tienen
dificultades para reconocer que una variable es una imagen abstracta de una magnitud que
varía al no identificar un proceso de generalización en el problema.
Al respecto de las tablas de valores, el MEN señala que la organización de la variación en
tablas permite la comprensión de la variable y de las fórmulas, e incluso pueden usarse para
iniciar en los estudiantes el desarrollo del pensamiento variacional a temprana edad pues
“el uso de filas con variables ayuda a que el estudiante comprenda que una variable puede
tener un número infinito de valores de reemplazo” (1998, p. 73).
Además, el uso de variables en la tabla también ayuda a la escritura de las expresiones
algebraicas, tipo retórico o fórmulas para describir la variación o el cambio”; el 5,3% de los
estudiantes intentó elaborar una tabla de valores en el problema de la pelota; insistimos en
el verbo “intentar” porque los estudiantes evidenciaron dificultades para coordinar valores
de dos columnas diferentes y responder preguntas referentes a la situación con el propósito
de explorar relaciones entre ambas columnas.
El procedimiento presentado en la Ilustración 55 muestra la dificultad para identificar y
relacionar las variables, usando más bien los datos numéricos que aporta el problema para
introducirlos en una ecuación.
Ilustración 55. Ecuación que relaciona los datos del problema
Como se puede observar en los óvalos, para el estudiante fue ambiguo qué representaba la
variable equis pues en la parte superior derecha establece que es el número de rebotes, pero
al montar la ecuación vendría siendo la altura de la pelota pues ésta está relacionada con
“la mitad”. Se puede apreciar que el estudiante entendía a la variable como incógnita
específica al reconocer la existencia de algo desconocido que se puede determinar.
En lo que no queda duda es que el estudiante simbolizó la cantidad desconocida y la utilizó
para plantear la ecuación; determinó correctamente la cantidad desconocida que aparece en
la ecuación y realizó las operaciones algebraicas pertinentes para despejar. Estos primeros
resultados nos han acercado a un hallazgo que reportaron Ursini y Trigueros (2006, p. 5)
respecto al concepto de variable: “se ha demostrado que el concepto de variable es difícil
para los estudiantes de distintas edades, y que en los diferentes niveles educativos, los
estudiantes tienen dificultades para comprender los varios usos y aspectos que caracterizan
a la variable”.
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
107
Las autoras comprobaron que en los cursos de álgebra elemental, aparecen esencialmente
tres usos (o niveles de abstracción) de la variable: el número general, las variables en
relación funcional y la incógnita específica (como lo observamos en el anterior
procedimiento).
1. Se entiende a la variable como incógnita específica, cuando se reconoce la
existencia de algo desconocido que se puede determinar; cuando se simboliza y
posteriormente se comprueba dicho resultado mediante una sustitución.
2. La variable como número general, abarca la interpretación de una literal como la
representación de un número, el reconocimiento de patrones y deducción de
métodos generales: tautologías, fórmulas y parámetros en ecuaciones.
3. La variable en una relación funcional se refiere al reconocimiento de que existe una
correspondencia entre los valores de las variables involucradas, la determinación de
una de las variables cuando se conoce el valor de la otra; identificando a su vez la
relación entre cantidades y la variación de una cantidad que afecta a la otra
independientemente de cómo se proporcione la información (verbal, tabla o
gráfica).
Un aspecto que corresponden al tercer nivel de abstracción de la variable es simbolizar una
relación funcional, basados en el análisis de los datos de un problema; este nivel fue
revelado por un estudiante quien además puso en juego sus “nociones formales” de cálculo
diferencial en la ejecución del procedimiento de la Ilustración 56 que sigue.
Ilustración 56. Simbolización de una relación funcional
Observamos en la ilustración anterior que el estudiante obtuvo una función RNf :
para simbolizar la altura de la pelota en función del número del rebote, esto nos sorprendió
en gran manera ya que en el análisis del problema no consideramos este procedimiento. Al
revisar el procedimiento podemos decir que:
𝑓(𝑟) no modela bien el fenónemo porque el estudiante no analizó correctamente la
situación de cambio (la pelota, en su caso, solo bajó o subió); además, al revisar la
función para casos particulares, falla significativamente:
20
555)0(f no está definida;
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
108
,5051
555)1(
2
f ,
4
35
4
155
2
555)2(
2
f
,...9
85
9
405
3
555)3(
2
f
El estudiante tuvo dificultad para expresar acertadamente el hecho de que tras cada
nuevo rebote, la pelota alcanza la mitad de la altura anterior. Esto podría deberse a
una dificultad en el uso del lenguaje algebraico pues confundió 5/2r con 5/r2 .
Podríamos entonces interpretar que el estudiante trabajó con la noción de que como
para expresar “la mitad” con una fracción el 2 “está abajo” entonces está bien
expresar la “mitad” de cada r-paso como 5/r2 ya que el 2 está abajo.
Pero estas dificultades no quitan que el procedimiento sea interesante (incluso es el único):
El estudiante intentó modelar el cambio de la nueva altura considerando una
diferencia que implica que para cada nuevo r obtendrá la distancia total acumulada.
Intentó capturar la tendencia de la distancia total cuando el número de rebotes
tienden a infinito, aproximando la convergencia de la serie con el límite cuando n
tiende a infinito de )(rf .
Nos queda la inquietud de cómo el estudiante llegó a la función pues no hubo evidencia de
ello en su registro. Podríamos considerar que el estudiante podría estar familiarizado con el
problema: el estudiante construyó, desde esas experiencias previas, la función pero tuvo
dificultad para compararlas con las exigencias de esta y generar un nuevo procedimiento
acorde con la situación, lo cual podría ser efecto de la enseñanza que siempre propone a la
función como modelo matemático.
El problema del cuadrado implicaba la coordinación del creciente número de divisiones y
la decreciente área que va quedando. Los procedimientos de la Ilustración 57 muestran que
algunos estudiantes resolvieron el problema teniendo en cuenta una parte de la información
presentada en el enunciado, sesgando con ello el análisis para la elaboración de los
procedimientos.
a
b
Ilustración 57. Procedimientos con datos sesgados
Estas interpretaciones muestran que los estudiantes no establecen correctamente las
variables del fenómeno; es decir, en lugar de analizar qué sucedía con el área del cuadrado
a medida que los pasos de sombreado tendían a infinito, analizaron “cuántas veces se puede
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
109
realizar el proceso de sombreado a medida que el número de pasos aumenta” por lo que
bajo esta relación incorrecta de las magnitudes se tejieron diferentes razonamientos y
procedimientos: “se aproxima la suma a infinito porque cada vez que se divide el cuadrado
por la mitad hay otro que se puede seguir dividiendo y llegar a infinito”.
Las evidencias de los problemas de la pelota y el cuadrado han resultado un significativo y
rico conjunto de procedimientos y dificultades que nos permiten unirnos a una conclusión
preocupante que reportaron Ursini y Trigueros (2006) respecto al concepto de variable
[…] la capacidad de pensamiento algebraico de los estudiantes no está tan
desarrollada como sería deseable y que, aunque los estudiantes de secundaria ya
muestran cierta capacidad para integrar los distintos usos de la variable y sus distintos
aspectos, esta capacidad no se desarrolla en su paso por la escuela (p. 35).
La comprensión del concepto de variable proporciona la base para la transición de la
aritmética al álgebra y es necesario para el uso significativo de toda la matemática
avanzada. El no explorar las distintas caracterizaciones del uso de la variable se torna
frecuentemente un obstáculo que bloquea el aprendizaje de la matemática; en otras
palabras, los estudiantes no sólo deben aprender a utilizar muchos tipos de símbolos
literales en un problema, sino que deben aprender que un símbolo literal puede asumir más
de un papel dentro de un problema dado (Morales y Díaz, 2003, p. 110).
Otra dificultad marcada en las actuaciones de los estudiantes frente al problema de la
pelota fue el paso del lenguaje natural a una expresión algebraica, por lo que hemos visto
en los procedimientos revisados que la lectura analítica del enunciado del problema se
redujo a realizar una lista de cantidades de magnitud de la altura. Se pudo constatar que los
estudiantes no tienen la competencia para trasladar las ideas geométricas ni aritméticas a
sistemas analíticos. El problema del cuadrado corrobora este resultado; otro problema en el
cual se asientan los hallazgos de las dificultades alrededor de procesos algebraicos es el de
la empresa láctea:
En una empresa láctea se registran los datos de dos tanques que almacenan leche. La
siguiente gráfica representa la relación entre volumen y el tiempo de dos tanques A y B,
respectivamente. Se tiene que estos tanques descargan la leche por un orificio en la
parte inferior de cada uno de ellos. ¿Cuáles son las expresiones algebraicas que
modelan el desagüe para los tanques de leche A y B, respectivamente? […]
De las 113 hojas de procesos, en el 77% de ellas no hallamos procedimientos matemáticos
alrededor de este problema; la mayoría de los estudiantes dejó la hoja en blanco o escribió
que no entendía la situación. En el 23% restante, como se mencionó, la acción
predominante fue elegir una de las respuestas de selección múltiple para evaluar la función
en algún valor, en particular en 𝑥 = 2. En la ejecución de esos procedimientos advertimos
que los estudiantes, como se puede observar en la Ilustración 58, interpretaron la variable
como una incógnita específica porque sin dificultad asociaron que hay que despejar para
encontrar un valor para la variable (procedimiento que es válido para conocer el
comportamiento de 𝑓(𝑥) para algunas preimágenes y luego contrastarlas con los datos
proporcionados en el problema, sin embargo no hay evidencia de esto). Observando el
procedimiento de la Ilustración 58 podemos encontrar errores para despejar.
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UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
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Ilustración 58. Errores en procedimientos aritméticos y analíticos
Lo anterior nos permiten señalar un hallazgo muy valioso: los fenómenos de variación no
pueden ser comprendidos, interpretados, representados, etc. si no se ha consolidado la
noción de variable; una noción que se supone según nuestros estándares se empieza a
manejar en los primeros grados de la educación básica primaria.
Los procesos de solución de la Ilustración 59 que responden al problema del folleto que
pedía encontrar el modelo que representa el área respecto a uno de los lados. En ellos se
puede observar que los estudiantes tomaron algún valor de la variable independiente para
reemplazar y hallar una respuesta numérica que representara la magnitud del área, actividad
que no se solicitaba en el problema.
a
b
Ilustración 59. Aritmetizar, una tendencia en la resolución de problemas
El problema del folleto resultó exigente para los estudiantes pues ninguno estableció
algebraicamente la relación entre las variables que daban cuenta de las dimensiones del
rectángulo para expresar el área en términos de un lado. En la Ilustración 60 se observa el
procedimiento en el que uno de ellos estableció la relación funcional entre los lados del
folleto determinando sin dificultad la altura en función del ancho del folleto. El estudiante
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
111
relacionó correctamente los datos en el problema sin necesidad de realizar algún
procedimiento geométrico para visualizar la información.
Ilustración 60. Modelo para el área del folleto en función de uno de sus lados
Los hallazgos alrededor de la variable ratifican que el aprendizaje del concepto de variable
logrado por los estudiantes a través de su paso por el sistema escolar es poco significativo;
en relación a esto Ursini y Trigueros (1997 en Morales y Díaz, 2003) afirman que aunque
ellos reconocen el papel que juega la variable en expresiones y problemas muy simples, un
leve aumento en la exigencia de los mismos induce a generalizaciones incorrectas y a la
búsqueda de soluciones memorizadas o por inspección que no son afines al nivel requerido
para el estudio de matemáticas más avanzadas.
Las estrategias de los estudiantes están dominadas por procedimientos que no han
sido interiorizados, lo cual los deja anclados a un nivel de acción que se manifiesta,
por ejemplo, en la necesidad de hacer explícitos los pasos que siguen en el proceso
mental de solución y usarlos como soporte para continuar, sin ser capaces de
analizarlos, y detectar posibles errores (ibid., p. 109).
Estar en capacidad de expresar una variable en términos de otra resultaba, determinante en
este problema pero los estudiantes reflejaron no tener claridad de lo que esto significa. De
los estudiantes que intentaron generalizar, encontramos que el 20,3% empleó la fórmula del
área del rectángulo para concluir que éste era el modelo que representa el área del folleto
respecto a uno de sus lados, como se observa en la Ilustración 61.
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
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a
b
Ilustración 61. Modelo del folleto erróneo
Las tres primeras líneas del registro Ilustración 62 nos hicieron pensar que el estudiante
sabía lo que analizaba en relación al problema; sin embargo, en las dos últimas líneas se
evidencia su dificultad para distinguir una relación funcional apoyado en el análisis de los
datos del problema.
Ilustración 62. Expresar una variable en términos de otra: una dificultad
Nuevamente las evidencias de las hojas de procesos muestran que los hallazgos de la Fase 2
no fueron al azar sino que responden ciertamente a dificultades relacionadas con los
procesos algebraicos y el tratamiento del cambio y la variación: en el indicador “Modela
con propiedad una situación de cambio a través de una función” el 54,52% de los
estudiantes solucionaron mal el problema del folleto, el cual está asociado al anterior
indicador.
Alimentamos, por último, esta categoría con los procedimientos emergentes en la
resolución de los dos problemas que implican las relaciones y funciones trigonométricas.
El problema del coseno (¿cuál es el valor de cos(2α), si se tiene que sen α =√3
2 y α está
en el segundo cuadrante?) admitía diferentes soluciones, la más sencilla de ellas relacionar
el signo de la función coseno con el cuadrante en el cual está el lado terminal del ángulo y
observar que solo una de las opciones de respuesta tenía esta cualidad.
Para contextualizar un poco sobre la Trigonometría en el currículo de Colombia, en los
Lineamientos Curriculares (MEN, 1998), en torno al aprendizaje y enseñanza de la
trigonometría pareciera que quedó relegada porque no se dan orientaciones acerca de su
enseñanza; pareciera además que podría ser parte de los conocimientos básicos del
pensamiento espacial y variacional sin mencionar específicamente la trigonometría en
alguna parte. En los estándares para los grados 10° y 11° (MEN, 2003, 2006), se propone
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
113
que el estudiante debe estar en capacidad de describir y modelar fenómenos periódicos del
mundo real usando relaciones y funciones trigonométricas, esto en el marco del
pensamiento espacial; y de modelar situaciones de variación periódica con funciones
trigonométricas, para el pensamiento variacional. El problema de la prueba diagnóstica
busca saber si el estudiante domina correctamente las razones y las identidades
trigonométricas en contextos matemáticos o no matemáticos; no obstante no todos los
estudiantes no emplearon razones, ni identidades trigonométricas en sus procedimientos;
veamos la Ilustración 63 que sigue.
Ilustración 63. Respuesta correcta al problema del coseno
Como se puede apreciar en la anterior ilustración, la respuesta del estudiante fue muy
precisa y sus argumentos también. Al revisar las opciones de respuesta del problema
observamos que en éstas había una única respuesta negativa lo cual, consideramos facilitó
el trabajo matemático a realizar para quienes tenían claro el comportamiento del coseno en
posición normal. En la Ilustración 64, como se previó en el análisis del problema, el
estudiante elaboró el procedimiento determinando 𝛼 , calculó el 𝑐𝑜𝑠 (2𝛼) tomando en
cuenta el signo de las funciones según el cuadrante (sin embargo, de esto no hay evidencia
en el registro).
Ilustración 64. Calculando el ángulo para hallar el 𝑐𝑜𝑠 (2𝛼)
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
114
Otro procedimiento correcto es el de la Ilustración 65, allí se observa que el estudiante
logró: determinar el ángulo para el cual se cumple la igualdad dada con el seno, relacionó el
ángulo obtenido con 2𝛼 para obtener su valor; graficó el ángulo en posición normal y halló
el ángulo de referencia para finalmente dar el valor de 𝑐𝑜𝑠 2𝛼.
Ilustración 65. Ángulos de referencia en la solución del problema del coseno
También se puede observar el orden con el cual él ejecutó el procedimiento, lo cual hace
destacable su trabajo y habla de cómo aprendió a solucionar este tipo de problemas que, al
parecer, son rutinarios para él.
Aunque presentamos tres procedimientos que llevan a la solución esperada, el 27,4% de los
estudiantes no realizó el problema manifestando que no sabía hacerlo o dejó la hoja en
blanco, el porcentaje restante intentó elaborar procedimientos que no llevaron a la solución
pero que sí nos permitieron ver las dificultades para trascender de lo aritmético a lo
analítico. Por ejemplo, en la Ilustración 66 llama la atención que el estudiante introdujo el
dato 1sen y después intentó “cancelar” elementos para obtener 𝑐𝑜𝑠 √3.
Ilustración 66. Dificultades en lo trigonométrico
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
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En la Ilustración 67 la respuesta del procedimiento es la misma de la Ilustración 66. Se
observará que el estudiante interpretó erróneamente que 𝛼 =√3
2 y sustituyó este dato en el
𝑐𝑜𝑠 (2𝛼 ). Además son evidentes, incluso, las dificultades para operar números racionales
ya que para el estudiante 2.√3
2= 2
√3
4= √3 lo cual es incorrecto.
Ilustración 67. Dificultades para diferenciar el ángulo de una función
En los dos procedimientos anteriores se observa la tendencia a “aritmetizar” la actividad
trigonométrica propuesta ejecutando procedimientos aritméticos desmedidamente. Las
dificultades vistas resultan concordantes con los hallazgos de la Fase 2, en la cual el
64,37% de los estudiantes que presentaron la prueba realizaron incorrectamente este
problema. No obstante, Van Hiele (1957) señala que normalmente se suelen enseñar
muchas fórmulas en trigonometría lo cual le deja la estudiante la noción de que para
dominar la trigonometría se necesitan muchas fórmulas. Pero cuando éstas faltan el
estudiante no hace ningún esfuerzo por alcanzar resultados a pesar de que se pueden
alcanzar perfectamente con los medios de que dispone, como sí se realizó en el
procedimiento de la Ilustración 68, en la cual el estudiante no se empleó fórmula alguna
pero evidenció habilidad para interpretar la gráfica como información geométrica y
numérica combinada, de manera que conectando sus saberes logró justificar por qué la
respuesta al problema es -1/2.
Ilustración 68. Creando procedimiento sin fórmulas
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
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116
Los procedimientos que hemos visto reflejan el derrotero de la enseñanza de la
trigonometría que señalan algunos libros del país: se definen y analizan las funciones
trigonométricas en el plano cartesiano, para luego introducir algunas identidades con
ángulos de referencia y el círculo unitario; después se proponen las funciones
trigonométricas definidas en la circunferencia unitarias para realizar las representaciones y
el análisis gráfico de las mismas. Después aparecen las leyes del seno y del coseno y sus
aplicaciones. Y al final las identidades y ecuaciones trigonométricas, de tal suerte que los
estudiantes, ante la resolución de problemas que impliquen conceptos trigonométricos,
contarán con un buen bagaje de conocimientos para emplear.
En la Ilustración 69 se elaboró una representación geométrica con los datos del problema
empleando un triángulo, esto orientó al estudiante hacia el procedimiento analítico para
obtener el valor del cateto faltante y, posteriormente, obtener el valor del coseno; sin
embargo, el estudiante no tuvo en cuenta que el ángulo estaba en el segundo cuadrante y
allí el valor del coseno es negativo. Además de que en la escritura del resultado de lo que
sería el valor del coseno omitió el ángulo en su notación simbólica.
Ilustración 69. Tratamiento del ángulo y del seno en lo algorítmico
Para entender una operación trigonométrica como función Weber (2008, en Montiel, 2013,
p. 21) señala que “los estudiantes necesitan conocer un proceso que puedan usar para
evaluar dicha función para cualquier ángulo dado, y deben ser capaces de anticipar
aproximadamente el resultado de este método y razonar sobre las propiedades del resultado
sin llevar a cabo los pasos del proceso”. Sin embargo estas dos habilidades resultaron de
gran dificultad para nuestros estudiantes partiendo del hecho de que los errores con los
números racionales tuvieron su protagonismo aquí también.
En la Ilustración 70 se observa que el estudiante trató el seno y el ángulo como dos
elementos que están en una relación multiplicativa por lo que aplicó el criterio heredado de
los números naturales “lo que está multiplicando, pasa a dividir” para despejar el ángulo
(ver óvalo morado). Además resaltan errores alrededor de las operaciones con los
fraccionarios (ver óvalos rojos), más exactamente en el cociente.
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
117
Ilustración 70. El seno y su ángulo tratados como relación multiplicativa
En el problema de la temperatura se pidió modelar un fenómeno periódico del mundo real
usando relaciones y funciones trigonométricas; sin embargo el 61,9% de los estudiantes
escribió en la hoja de procesos no saber cómo hacer el modelo; ese porcentaje es muy
cercano al obtenido en los resultados de la Fase 2: el 64,30% de los estudiantes no
contestaron acertadamente el problema.
Ilustración 71. Problema de la temperatura
El 4,4% de los estudiantes encontró que el modelo que corresponde a la gráfica de la
función es 𝑓(𝑡) = 2 cos (𝑡 +𝜋
2) + 1 (este no es el modelo que corresponde a la respuesta
esperada); en la Ilustración 72 se podrá observar uno de estos procedimiento en el cual el
estudiante encontró el modelo analizando las opciones de respuesta y hallando una
característica en la gráfica que validara su elección: 𝑓(0) = 1.
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
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Ilustración 72. Problema de la variación de la temperatura del agua
Se ratifica que un porcentaje muy bajo de estudiantes logró establecer conexiones entre las
representaciones de las funciones, en este caso, trigonométricas. El 32,7% de los
estudiantes elaboró algún procedimiento inconcluso entre los cuales destacan aquellos que
reemplazaban en la función para obtener algún valor. Llamó nuestra atención el
procedimiento de la Ilustración 73 en el cual el estudiante tomó una de las funciones de las
opciones de respuestas que también relaciona al seno y, pareciera, que la sumó con la
original, veamos:
Ilustración 73. Sumando funciones trigonométricas
De modo tal que, según los datos de las hojas de procesos, ningún estudiante de las tres
carreras dejó evidencia de realizar correctamente el problema por lo que salta como
conclusión de ello que la formación matemática alrededor de la trigonometría presentan
dificultades para reconocer el cambio y la variación en los problemas propios del área pues
las prácticas escolares de la trigonometría están arraigadas al tratamiento algebraico de las
situaciones presentadas. Pero ese “tratamiento algebraico” está muy lejano de tratar las
variables de un fenómeno variacional bajo una relación funcional que conciba el cambio en
ella.
Por lo que de esta categoría, las dificultades que más nos resultan alarmantes en la
resolución de problemas que implican fenómenos de variación son las que competen a la
variable pues ésta es la base para la generalización, para las funciones y los demás
“No sé como abordar el problema
pero creo que la respuesta
es: 𝑓(𝑡) = 2 𝑐𝑜𝑠 (𝑡 +𝜋
2) + 1,
porque: 𝑐𝑜𝑠𝜋
2= 0, lo cual
no afecta a t, como en la
fórmula genérica”.
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
119
constructos del Cálculo Diferencial, sin embargo, esta preocupación no deja de reconocer
que el concepto de variable es sorprendentemente difícil de definir, además de que al
interior de las Matemáticas se utiliza de distintas formas; pero pese a esto, Ursini (1993,
citado por Morales y Díaz, 2003) afirma que, las variables se emplean habitualmente en
textos escolares sin preparar una práctica introductoria que pudiera servir como plataforma
en la cual la idea de variable se desarrolle en sus diferentes significados.
Veamos cómo las dificultades reportadas en esta subcategoría impactan como “efecto
dominó” a las nociones de tendencia y aproximación.
4.4.2 Dificultades analíticas asociadas a los procesos algebraicos
Un patrón es una propiedad, una regularidad, una cualidad invariante que expresa una
relación estructural entre los elementos de un fenómeno; el análisis cuidadoso de patrones y
regularidades permite establecer generalizaciones por lo que es importante elegir una
representación que permita identificar ese patrón para alcanzar la generalización, cuestión
en la cual los estudiantes que presentaron la prueba diagnóstica tuvieron dificultades: en el
análisis de la primera categoría quedó explícito que cuando los estudiantes realizan sus
procedimientos aritméticos no analizan la incidencia de “evitar” las cifras decimales en
situaciones en las cuales subyace el infinito, noción en el cual los decimales no son
menospreciables al hacer un acercamiento numérico.
En el problema de la pelota, los estudiantes cuantificaron la situación pero no lograron
identificar el patrón de cambio en la situación, ni la tendencia de la sucesión; la tendencia
exige una visualización de tipo numérico de los procesos infinitos de aproximación como
un todo (García, Serrano y Díaz, 2002), aspecto en el cual los estudiantes evidenciaron
significativas y preocupantes dificultades. A continuación precisaremos cómo los
estudiantes trataron la noción de infinito que subyace en el problema.
Empecemos revisando el procedimiento de un estudiante (Ilustración 74) que tomó 10
rebotes en los cuales la pelota sí “subía y bajaba” (por ello multiplicó por dos cada altura) y
concluyó que la distancia recorrida es 19,9 metros.
Ilustración 74. Tendencia de la suma a 19,9 m considerando una o dos cifras decimales
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
120
Podríamos deducir que el estudiante elaboró un procedimiento aritmético despreciando
arbitrariamente decimales en cada nueva altura para aproximarse al resultado final, lo cual
nos resulta válido. Particularmente que la suma le haya dado 19,9 metros nos lleva a pensar
que el estudiante “forzó” el procedimiento diseñado al compararlo con las respuestas de
selección múltiple ya que al realizar la suma, el resultado sería 20,77 metros. No obstante,
esta fue la respuesta considerada por quienes contemplaron más de dos cifras decimal en la
recolección de datos, como se aprecia a continuación.
Ilustración 75. Tendencia de la suma a 19,9 m considerando varias cifras decimales
En la Ilustración 75 la respuesta 19,99 metros puede tener por justificación que los
estudiantes (el 7,9%) interpretaron la aparición de ceros a la izquierda en cada nuevo rebote
como un proceso que nunca va a terminar, por lo que esto los pudo conducir a no
considerar la convergencia de la aproximación numérica realizada. El “infinito”
interpretado por el estudiante es aquel relacionado con una cantidad de cifras tan grande
como se desee. Si bien acepta que tiene infinitas cifras decimales, las corta en determinado
momento con “tantas cifras como desea”, pero opera con estas aproximaciones sin
comprender que no se trata del número correspondiente, sino de una aproximación (Crespo,
2009).
Por ende, esa noción del infinito condujo al estudiante a no considerar la convergencia de la
sucesión a un número entero en un proceso numérico de números racionales, por lo que se
podría afirmar que la elección de la notación decimal para registrar los datos llevó al
estudiante a no considerar 20 metros como la convergencia de la sucesión pues la notación
lo indujo a pensar que la respuesta sería también en notación decimal.
En la categoría de los procedimientos aritméticos encontramos que el 38,7% de los
estudiantes eligió trabajar con los números racionales en su expresión decimal, un sistema
de representación numérico en el cual a veces no es sencillo encontrar una regularidad y
esto podría acentuarse si se consideran pocos datos, estos dos aspectos podrían haber
dificultado la caracterización de la sucesión a través de su término general. De modo que
los pocos datos considerados y el sistema simbólico elegido por los estudiantes dificultó
reconocer la regularidad entre los términos conocidos de la sucesión para obtener el
término general; todo esto representó para nuestros estudiantes una cadena cognitivamente
exigente por el alto grado de abstracción que supone.
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
121
Resulta interesante mencionar que Mason (1999 en Seduca, 2005, p. 51) relaciona tres
habilidades que se pueden movilizar desde el estudio de patrones:
Ver, que hace relación a la identificación mental de un patrón o una relación, y con
frecuencia esto sucede cuando se logra la identificación de un algo común.
El decir, ya sea a uno mismo o alguien en particular, es un intento de articular, en
palabras, esto que se ha reconocido.
Registrar para hacer visible el lenguaje, lo cual requiere un movimiento hacia los
símbolos y la comunicación escrita (incluyendo los dibujos).
De modo que la manera como un estudiante vea el cambio, entendido “una modificación
de estado, en tanto que el vocablo variación la (sic) entendemos como cuantificación de
dicho cambio” (Cantoral, 2013, p. 5), le permitirá comunicarlo y realizar un registro que
contribuya a la solución del problema, o que lo aleje de la misma. En el procedimiento de la
Ilustración 76 se observa que el estudiante, a través de un registro lingüístico, señaló que
“nunca va a poder llegar a 20 porque va a dar infinidad de decimales…” evidenciando la
dificultad ya señalada respecto a la incidencia de elección de la representación numérica
para cuantificar el cambio.
Ilustración 76. Registro de que la imposibilidad de convergencia
El infinito ha sido un concepto inspirador, pero difícil para los matemáticos y aún más para
los estudiantes.
El concepto de infinito desde la perspectiva filosófica ha sido ampliamente discutido
pues induce a contradicciones y paradojas, desde Euclides, (el todo no es mayor que
las partes), la paradoja de Zenon (¿cómo recorrer una infinidad de mitades en un
tiempo finito?) o la Russell (el conjunto de conjuntos que no pertenecen a sí mismo).
O el Hotel de Hilbert. Fue en el siglo XVII cuando se introdujo lo que se podría
llamar la concepción moderna al considerar que el mundo finito y el infinito están
regidos por leyes y preceptos diferentes (Costa y Otto, 2005, p. 3).
Las dificultades frente a este concepto no son nuevas, se corroboran en estudios como los
que han puesto en evidencia que estudiantes de los últimos años de la educación secundaria
e incluso en la universidad, encuentran dificultades de conceptualización cuando se
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
122
enfrentan con situaciones que implican el infinito (Artigue, 1995; Fischbein, Tirosh y
Hess, 1979; Moreno-Armella y Waldegg, 1991).
En los dos siguientes procedimientos, además de observar un registro numérico de la forma
a/b, podremos notar que los estudiantes esgrimieron dos acciones matemáticas que dan
cuenta de la noción del infinito (aunque construyeron los procedimientos sobre la
dificultad para identificar que la pelota “subía y bajaba” en cada rebote). En la Ilustración
77 el estudiante usó los puntos suspensivos, como expresión algebraica, para representar
que la suma, como un proceso numérico, es infinita: la posibilidad de dividir infinitamente
al número 1.
Ilustración 77. Puntos suspensivos como registro del infinito
Siendo más específicos tenemos que en la Ilustración 77, el estudiante usó las fracciones
para registrar numéricamente la mitad de la altura en cada nuevo repique, por ello dejó
invariante el denominador de cada fracción, y concluyó en términos de la altura máxima
que ésta sería 9,99 metros justificando el resultado con la expresión “… la pelota siempre
va alcanzar casi su altura máxima…”.
Dicha expresión da cuenta de que el estudiante razonó que la tendencia de la altura máxima
no podría ser 10 metros porque siempre le faltaría a la pelota una cantidad
infinitesimalmente pequeña que cubrir en su rebote. Esta percepción manifiesta un
tratamiento intuitivo del infinito que viene a convertirse en obstáculo cognitivo para la
resolución del problema.
Hitt (2003) señala que los estudiantes que ingresan por primera vez a un curso de cálculo,
generalmente han tenido un acercamiento intuitivo del infinito, muy probablemente con
aspectos de la “vida real” (p.e. que el universo es infinito), sin haber reflexionado sobre
aspectos propios del infinito en matemáticas; ello impide en cierta medida su comprensión
en un contexto matemático.
Esta situación resulta preocupante ya que en la enseñanza secundaria prevalecen los
esquemas concretos y finitos; razón por la cual los profesores debemos estar prestos a que
el estudiante supere sus esquemas finitos para que conozca el mundo de lo infinito, que
hablando desde lo cognitivo no es fácil de manejar ni comprender al entrar en conflicto con
los esquemas finitos previos: ¿la pelota hará un número infinito de rebotes?
En medio de las dificultades que hemos reportado, nos encontramos que las nociones de
infinito y convergencia fueron puestas en juego por un estudiante en la elaboración del
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
123
siguiente procedimiento razonado sobre la tendencia de las alturas al infinito; veamos la
Ilustración 78.
Ilustración 78. Solución correcta del problema de la pelota
El procedimiento anterior, como se observaba, se elaboró desde la aproximación numérica
a lo analítico; veamos el procedimiento de la Ilustración 79 que, desde un análisis numérico
y empleando otro sistema de registro para los datos, en el cual el estudiante elaboró una
generalización.
Ilustración 79. Generalización del proceso infinito
del problema de la pelota
“2(5) + 2(2,5)
2 (5
20) + (
5
21) + (
5
22)
∑ 2 (5
2𝑛)?𝑛=0 ”
En la Ilustración 79, el estudiante construyó el término n-ésimo de la sucesión 2 (5
2𝑛) y la
llevó a la sumatoria pero su conocimiento conceptual no le permitió avanzar en lo
procedimental para registrar una respuesta. No está demás resaltar que en este
procedimiento la generalización realizada está, de una manera u otra, favorecida por el
sistema simbólico de los números racionales empleado por el estudiante: fraccionarios.
Las actuaciones alrededor de la resolución del problema de la pelota también recuperaron
elementos del contexto de la física. En la solución de la Ilustración 80a se puede observar
que el estudiante conectó el saber de otra disciplina para dar respuesta al problema, sin
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
124
embargo, el único dato que empleó en su procedimiento, y que corresponde al problema es
“la mitad”.
a b
Ilustración 80. Elaboración de procedimientos analíticos desde la Física
En la Ilustración 80b, el estudiante tomó las alturas máxima y mínima de la pelota y
consideró que ésta rebotaba cuatro veces antes de quedar en reposo, de modo que parece
que el estudiante intentó usar los datos proporcionados para llegar a una de las respuestas
de las opciones dadas.
Como se ha observado a través del análisis, el proceso de resolución de problemas suele
evocar antiguas experiencias y conocimientos. Incluso notamos, al revisar los datos, que
los estudiantes recurren a concepciones y nociones vagas para resolver los problemas. Por
ejemplo, la palabra "límite" en sí tiene muchas connotaciones en la vida cotidiana que
están en desacuerdo con la idea matemática. Tall (1992) señala que a diario un límite es a
menudo algo que no puede o no debe ser pasado, como un "límite de velocidad".
Efectivamente nuestros estudiantes evidenciaron en sus soluciones dicha concepción al
considerar que la sumatoria de la sucesión no puede ser igual al límite: el 15,1% de los
estudiantes señaló que la respuesta al problema es 9,99 metros, mientras que el 7,9% que
era 19,99 metros.
La Ilustración 81 muestra que el estudiante elaboró un procedimiento intentando poner en
juego conocimientos de sumatoria y límite sin éxito:
Ilustración 81. Procedimientos analíticos para el problema de la pelota
Al observar la anterior ilustración se pueden interpretar varias cosas:
1. El estudiante intentó emplear la propiedad genérica del límite.
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
125
2. Intentó emplear los recursos de sucesiones y límites vistos en el colegio que, según
la evidencia, no aprendió completamente como tampoco los procedimientos
implicados para la solución, sino que trató de emplear la memoria para adaptarlos
ya que mezcló las notaciones de límites y sumatoria arbitrariamente.
Del registro realizado podemos afirmar que el estudiante:
1. No expresó correctamente el término general de la sucesión pues no notó que 1
2
𝑥5 =
5
2 y no
1
2𝑥 5 como quizás lo razonaba.
2. Tiene dificultades para simbolizar la sumatoria de una sucesión y para comprender
que ∑𝑖=0 𝑥=∞ no expresa nada.
3. No tiene claridad sobre el problema a resolver, esto se convierte en un factor que
obstruye la resolución de problemas acertadamente.
Si bien es cierto, en las hojas de procesos que respaldaron la prueba diagnóstica no
encontramos sino dos estudiantes que emplearon la sumatoria, esto nos permite afirmar que
algunos estudiantes tienen dificultades con las series numéricas al considerar una suma
infinita como una operación aritmética, evidenciando dificultades en el paso de lo finito a
lo infinito.
De la experiencia podemos afirmar que, según las directrices del MEN y de la planeación
curricular de las instituciones educativas, las sucesiones se enseñan formalmente en el
grado noveno y se retoman en el grado undécimo, precisamente tiempo antes de enseñar
límites. No obstante, la realidad es que sucesiones no se suele enseñar por lo que no son
extraños los resultados obtenidos frente a este concepto, los cuales reflejan
desconocimiento del mismo. Por lo que, como afirma Socas (1997), las dificultades del
aprendizaje de las matemáticas derivan generalmente el microsistema educativo: estudiante,
asignatura, profesor e institución escolar.
El problema del cuadrado respeta la divisibilidad infinita en mitades y subyace un proceso
de convergencia en él. Veamos algunos procedimientos y las dificultades que emergen
desde un contexto geométrico que exigía analizar la tendencia de la serie infinita que
resultaba de particiones infinitamente pequeñas para pasos muy grandes en el proceso.
Ilustración 82. Dato del problema es un distractor en la resolución
“Rta: 0,5 cm2 porque
siempre se dividirá a la
mitad de su área normal”.
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
126
En la Ilustración 82 anterior, el estudiante representó la variación del área del cuadrado
hasta el cuarto paso empleando las medidas correspondientes a cada nueva partición; no
obstante terminó concluyendo que la respuesta era “0,5 cm2 porque siempre se dividirá a la
mitad de su área normal”, esto evidencia que el estudiante no analizó el problema sino que
comparó un dato específico del problema con las opciones de selección múltiple y escogió
la que más coherencia tuviera con el dato.
En los procedimientos de la Ilustración 83 se evidencia la postura de los estudiantes frente a
que la suma infinita de las mitades del cuadrado, no converge a un número finito:
a
b
Ilustración 83. El infinito como respuesta en procesos de convergencia
En la solución Ilustración 83a, el estudiante empleó lenguaje simbólico para
expresar el área de la mitad de cada nueva partición, señalando con los puntos
suspensivos el proceso infinito de esa suma; concluyó que la suma es indeterminada
empleando los puntos suspensivos y el signo de infinito juntos.
En la solución Ilustración 83b, el estudiante usó la lengua natural como registro
lingüístico para expresar que la convergencia no es posible porque en el problema
no se dice “el número de veces (que se divide el cuadrado) para dar un resultado”.
Con estos hallazgos se fortalece el resultado de que los estudiantes tienen dificultades
superar la noción de intuitiva del infinito lo cual representa un obstáculo para la
construcción del infinito matemático.
Es valioso observar en la Ilustración 84 que sigue que el estudiante inicialmente consideró
“a infinito” como solución (está tachado), sin embargo parece que reflexionó sobre su
respuesta y la evaluó tomando en cuenta las características del proceso de partición en un
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
127
área limitada lo que lo llevó a pensar en que “con los pasos cada vez se va tapando más de
sombreado”.
Ilustración 84. Razonamiento sobre el área sombreada
En la solución de la Ilustración 85, la representación escrita evidencia que el estudiante
también observó que a medida que se realizan los pasos, el área sombreada iba llenando el
área del cuadrado pero como es un proceso interminable, consideró que siempre hará falta
una pequeña parte para llenar, por ello no consideró 1 cm2 como solución al problema;
razonamiento que se ajusta a la concepción que señaló Tall (1992) de que la sumatoria de
la sucesión no puede ser igual al límite.
Ilustración 85. Razonamiento proceso interminable
Las siguientes son respuestas (transcritas de las hojas de trabajo de los estudiantes) que se
acercan a dicha concepción:
“se aprox a 0,9 cm2 pues el cuadrado se seguirá dividiendo infinitas veces y la
suma de áreas sombreadas no podrá dar 1 cm2”,
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
128
“al final el área sombreada va a ocupar la mayoría del cuadrado, pero NUNCA lo
va a llenar completamente asi que NUNCA va a ser 1 m2 el área sombreada se
aproxima a 0,999 m2”,
“0,9 el proceso sera infinito por pequeño que sea siempre habrá un cuadrilátero
que se divida y se sombreará →nunca se llenara la mitad de ese cuadrado porq’
siempre se le sacara mitad”.
Observamos que en la imagen mental que los estudiantes tienen sobre un proceso infinito
está asociada con los números racionales que consideran los decimales periódicos infinitos.
Interpretando lo que dice Tall (1992), los estudiantes que no tienen bien desarrolladas las
estructuras cognitivas, son engañados por las falsas imágenes.
Lo anterior nos permite afirmar que quienes esgrimieron el razonamiento “como nunca se
deja de dividir el cuadrado, entonces el área nunca será 1 cm2” tienen sus propios esquemas
conceptuales asociados al concepto de infinito potencial y a la noción de tendencia,
esquemas desarrollados a través de (y desde) sus propias experiencias previas y que se
convierten en un obstáculo epistemológico: ¿cuándo terminaríamos de contar la arena del
mar?: Nunca.
Estas concepciones han sido reportadas por investigadores como Fischbein (1989) y
D’Amore, Bonilla, Fandiño, et al. (2006), quienes en su estudio encontraron que las
personas asocian 0,9 con la sucesión 0.9, 0,99, 0,999, … por lo que argumentan que nunca
será 1 pese a algunos sujetos declaran que no se excluye que matemáticamente esta
igualdad pueda ser válida, pero, en la realidad esto no es posible, manifestando la conocida
“divergencia” entre matemática y realidad.
«Si yo escribo 0,9, esto es casi 1, pero no es 1 porque le falta 0,1; pero si yo agrego
0,09 me encuentro a 0,99 que es siempre más cerca de 1, pero no es 1 porque le falta
0,01; pero si yo agrego 0,009 me encuentro ya a 0,999; siempre así, la suma crece y
crece pero le falta siempre 0,0000001 también con infinitos ceros, siempre alguna
cosa falta, a 1 no se llega nunca porque cada vez le falta un poco» (ibíd., p. 21).
Hemos venido observando a través del análisis de los procedimientos alrededor del
problema de la pelota y el cuadrado que los estudiantes interpretan el infinito en su sentido
intuitivo.
Garbin (2005) nos orienta al decir el infinito potencial se diferencia del infinito actual
porque éste no acepta significados conductuales como sí lo hace el concepto aristotélico de
infinito potencial cuya noción descansa en lo conductual: “un objeto potencialmente
infinito (por ejemplo una línea que puede ser extendida indefinidamente) tiene un
significado <<conductual>>” (p. 5).
La autora interpreta el “infinito actual, como el que está asociado a la idea de totalidad, de
completes y de unidad. Un proceso (potencialmente infinito en sus orígenes) se considera
acabo y los límites alcanzados”.
En el siguiente procedimiento (Ilustración 86) veremos que el estudiante obtuvo la
respuesta correcta pero en el razonamiento sobre el infinito emerge nuevamente la
concepción potencial del infinito que ha caracterizado la elaboración de los procedimientos
alrededor de este problema respuestas que acabamos de señalar, veamos:
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
129
Ilustración 86. Un registro incoherente
Se ratifica entonces el uso de la noción del infinito potencial que se ha caracterizado en
nuestros estudiantes por la idea de uno más pues es interpretado por ellos como un proceso
acumulativo; la idea que prima es que siempre hay uno más (menos), uno posterior
(anterior) que si bien no acepta “el límite” sí habla de una tendencia, un comportamiento
que nunca llega a su fin. Aunque aquí se presentan incoherencias pues las respuestas 0,9
cm2 no representa precisamente ese estado de nunca llegar a su fin.
Particularmente en esa solución se aprecian tres tipos de representaciones en la elaboración
de procedimientos: geométrico, algebraico y escrito-analítico, lo mismo sucede en la
Ilustración 87 que muestra el procedimiento de otro estudiante.
Ilustración 87. Diferentes procedimientos en una solución
“El area total sombreada
esde 0,9 por que al final
siempre debe quedar un
recuadro asi sea lo mas
minimo sin sombrear”.
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
130
Este último procedimiento tiene algo interesante: el tratamiento rico en representaciones
que llevó al estudiante a concluir que el área era un centímetro cuadrado. El estudiante
utilizó las representaciones gráfica, tabular y algebraica de un proceso infinito para
analizar su comportamiento en cuanto a: cómo cambia la variable, qué comportamiento
sigue, cuáles son los valores siguientes, qué tan parecidos son y, a la larga, cómo son
éstos.
Hipotéticamente consideramos, según esto, que cuando un estudiante tiene la capacidad de
esgrimir diferentes procedimientos y representaciones en un mismo problema, la estrategia
de solución puede ser más acertada que cuando considera uno solo ya que se favorece la
mediación entre el objeto matemático y sus representaciones para favorecer la resolución
de problemas. Moreno (2014) ofrece un argumento para nuestra consideración: los objetos
matemáticos tienen una naturaleza semiótica y, por lo tanto, solo se puede entrar en
contacto con ellos mediante alguna de sus representaciones. En el caso de la cognición
matemática, los sistemas de representación aritméticos, geométricos, algebraicos, métricos,
gráficos, analíticos, entre otros, desempeñan la función de mediación. El acceso a los
objetos matemáticos no sería posible sin dichos sistemas.
De la Ilustración 88 notamos, además, que el estudiante representó correctamente el
proceso de partición de cada nuevo paso, pero esto no ocurrió en todos los casos: se podrá
notar en el siguiente procedimiento que a partir del paso cinco el estudiante se equivocó al
realizar las particiones; además el estudiante halló suficiencia en lo perceptivo de la
representación para concluir que el área es de 0,9 cm2.
Ilustración 88. Error de ejecución procedimiento analítico de representación gráfica
Respecto a 0,9 cm2 como respuesta a la pregunta del problema, esto lo interpretamos de dos
formas que están conectadas entre sí:
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
131
1. En términos no formales podríamos decir que los estudiantes que consideraron
como respuesta 0,9 cm2 razonaron así: la cantidad de cuadrados que se obtendrán
del proceso de partición es infinita y todos están contenidos en el grande. Se sabe
que el todo es mayor que las partes; en este caso el todo (que es el cuadrado
inicial) contiene a la infinitud de cuadriláteros sombreados pero el cuadrado que
los contiene es mayor entonces ambos infinitos deberían ser distintos: el uno menor
que el otro.
2. También podríamos decir que las opciones de respuesta del problema reforzaron las
nociones débiles de los estudiantes alrededor del proceso infinito que algunos
alcanzaron a vislumbrar y que bajo el razonamiento de sus concepciones no
consideraron que el área fuera 1 cm2 porque se habla de un proceso que se daría
indefinidamente: el límite no se alcanza.
Este problema se repite una y otra vez; Hitt (2013) nos dice que este tipo de razonamiento
no es único de los estudiantes universitarios pues frente a un problema de cuadrados
encajados, unos profesores de matemáticas “creen que no se llega a un valor, que estas
sumas se acercan cada vez más a la unidad pero nunca se llegará a este valor, esto debido a
que el proceso de construcción de los cuadrados es infinito, o sea, no se llega a un fin…”
(p. 115).
El autor también dice que el infinito y su aprendizaje en cálculo no es fácil porque en la
historia de la matemática misma, esto ha inspirado distintas posiciones a lo largo del
tiempo. Y enfatiza: “La historia nos ha mostrado que la manipulación del infinito merece
que lo tratemos con respeto y de acuerdo a la noción de obstáculo epistemológico [citando
a Brousseau], se le trate como tal” (ibíd., p. 111).
Analizamos a continuación unas soluciones que llegan a la respuesta correcta pero
evidencian dificultades en el proceso de elaboración, comparación y ejecución de
procedimientos relacionadas al pensamiento variacional: para la Ilustración 89 el estudiante
registró primero su respuesta y después elaboró sus procedimientos para sustentarla
expresando que el área se aproxima “a 1 cm2 porque al infinito se aproximará al total del
cuadrado”. Veamos.
“a 1 cm2
porque al infinito se aproximará
al total del cuadrado.
1
2+
1
4+
1
8+
1
16
𝑙𝑖𝑚𝑛→∞
1
2𝑛 “”
Ilustración 89. Procedimientos que se complementan
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
132
Como se observa, el estudiante empleó un procedimiento aritmético (con racionales) para
expresar el área sombreada hasta el cuarto paso (n) y construyó un límite para cuando n→∞
empleando el término n-ésimo de la serie. El estudiante no tuvo dificultad para definir una
sucesión como una función cuyo dominio son los números enteros positivos que
representan los pasos de la partición.
Lo que queremos resaltar es que aun cuando el estudiante elaboró procedimientos
significativos no halló suficiencia en su conocimiento conceptual para establecer ni
desarrollar la sumatoria ∑1
2𝑛𝑛→∞𝑖=0 , ni para llegar a 1 cm2 desde el procedimientos analítico
que planteó pues lim𝑛→∞
1
2𝑛 = 0. Ante esto, incluso, podríamos decir que el estudiante evadió
la suma infinita, observando sólo el comportamiento de la sucesión 1
2𝑛 . Rescatamos que el
estudiante usó sus presaberes sobre límites como un recurso para intentar capturar la
convergencia de la sucesión.
En el siguiente procedimiento, ante las limitaciones de los presaberes, el estudiante
concluyó que “no recuerdo mucho hacerca de sumatorias y límites pero va a tender al
Area del cuadrado total” como se aprecia en la Ilustración 90 que sigue.
Ilustración 90. Elaboración fallida de procedimientos analíticos
De modo tal que tanto el lenguaje simbólico empleado y el lenguaje natural registrado son
coherentes ya que en el primero hay rezagos de que en algún momento trabajó con
sumatorias, esto señala la dificultad del estudiante para reconocer que el álgebra es una
manera razonar para generalizar y no información que recuperar para aplicar
indiscriminadamente.
La siguiente actuación resalta entre todas ya que el estudiante realizó una elaboración de
procedimientos significativa en contraste con los demás estudiantes de las tres carreras:
inicialmente el estudiante relacionó el área del cuadrado, el área no sombreada y el área
sombreada para afirmar que el área no sombreada era 1
𝑥2. Veamos la Ilustración 91.
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
133
Ilustración 91. Procedimiento analítico destacado
Se puede apreciar que el estudiante escribió las unidades de la magnitud en la expresión
analítica y que además dio el resultado del límite sin mostrar el procedimiento rutinario que
le corresponde. Nos queda la inquietud de dónde obtuvo la certeza para la igualdad
establecida pues si analizamos la función cuando x→∞, efectivamente el límite es 1.
El estudiante incurrió en un error que analizamos en la primera categoría: expresar la
“mitad” de cada x-paso como 1/x2 y no como 1/2x, aspecto que se presentó en otro
procedimiento anteriormente. En esta solución también se usó la notación del límite, lo que
habla de que el estudiante ha conectado este constructo con situaciones que tratan la
tendencia de una variable cuando el infinito está involucrado pues expresa x→∞ sin
dificultad (aquí salta una dificultad: el estudiante no tiene claridad de que equis la está
usando como una variable real en una situación discreta). De aquí es importante señalar,
evocando a Tall (1992), que el símbolo ∞ representa la idea de infinito potencial pues el
estudiante representó con él el proceso inacabado de la partición del cuadrado.
Los hallazgos de los problemas de la pelota y el cuadrado nos hacen reflexionar sobre las
dificultades para, incluso, reconocer la presencia de una sucesión, aumentado la
complejidad al tratarse de una sucesión con números racionales. Castro, Rico y Romero
(1997) señalan que de por sí el concepto de sucesión de números naturales es un concepto
complejo, en cuya base se encuentran las nociones de conjunto totalmente ordenado con
primer elemento y de proceso infinito: para todo término de la sucesión hay uno siguiente.
Es importante señalar que al revisar cuidadosamente los Estándares en Competencias en
Matemáticas, no encontramos un estándar asociado directamente con el límite de
sucesiones; sin embargo, el MEN (2006, p. 66) señala que al “identificar en qué se parecen
y en qué se diferencian los términos de estas sucesiones o secuencias, se desarrolla la
capacidad para identificar en qué consiste la repetición de un patrón y la capacidad para
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
134
reproducirlo por medio de un cierto procedimiento, algoritmo o fórmula”, por lo que se
esperaría que los estudiantes estén en capacidad de establecer el término general de la serie,
actividad que realizaron pocos estudiantes que presentaron la prueba diagnóstica.
Los dos problemas, además, tienen algo en común: la convergencia de la sucesión. La
característica más importante que se estudia en una sucesión es su comportamiento en el
infinito, es decir, la tendencia de los términos de la sucesión hacia un valor. Sin embargo,
hemos visto la magnitud de la dificultad en torno a la convergencia de las sucesiones la cual
se distinguió porque los estudiantes no reconocen el carácter de variable del número de
rebotes (problema de la pelota) y de los pasos (problema del cuadrado). Por lo que resultan,
entonces, inquietantes las dificultades observadas para modelar situaciones y problemas
tanto de la actividad practica del hombre como de las ciencias y las matemáticas donde la
variación se encuentra como sustrato de ellos (MEN, 1998).
En general, los estudiantes respondieron los problemas:
a) Dejándose llevar por la intuición o por el contexto del problema.
b) Sumando y / o aproximando valores.
c) Aceptando sin demostración, la convergencia o divergencia de la serie 1/2n.
En general los estudiantes usaron pocos argumentos matemáticos formales para responder
a las preguntas, y un menor número de estudiantes recurrieron a los conceptos de límite,
sucesiones o series. Fue visible la dificultad de los estudiantes para evidenciar coherencia
entre procedimientos y respuesta elegida porque en algunos casos los primeros apuntaban a
la divergencia del proceso pero la respuesta hablaba de convergencia.
Adicionalmente, los estudiantes generalmente necesitaron un cambio de representación, la
mayoría de las veces el dibujo de la situación descrita en el problema. También
observamos que los estudiantes trataron de “aproximar” un resultado en los problemas de
la pelota y el cuadrado, movidos por la concepción de que el comportamiento de la
sucesión jamás podrá ser el límite. Notamos que en el problema del cuadrado,
precisamente la figura geométrica finita causó conflictos frente a un proceso infinito de
partición, por ello la elección de las respuestas con notación decimal.
Como recordaremos, en los resultados de la prueba diagnóstica realizada en el período
2014-1 del curso de precálculo, el estándar “utilizo las técnicas de aproximación en
procesos infinitos numéricos” registró un 37,92% de dificultad en nivel cinco lo cual llama
la atención frente a los hallazgos emergentes en las hojas de procesos de los estudiantes
pues los procedimientos registrados se inclinan más hacia una dificultad generalizada en el
uso de las técnicas de aproximación en procesos infinitivos que una fortaleza.
Para concluir esta subcategoría, traemos a mención a Garbin (2005) quien empleó el
problema del cuadrado en un estudio con jóvenes de 16-17 años para analizar la percepción
de los estudiantes preuniversitarios y universitarios frente al “infinito pequeño” en
preguntas planteadas en distintos lenguajes matemáticos y contextos matemáticos, los
resultados obtenidos en nuestra investigación están en consonancia con los hallazgos de la
autora quien concluyó que
las respuestas de los estudiantes son sensibles al nuevo registro de representación
semiótica que usa el alumno al convertir el enunciado del problema que está escrito
en lenguaje natural. La limitación del problema está sujeto a la limitación del nuevo
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
135
registro de representación semiótica empleado por el alumno, dibujo del recorrido de
la pelota, cálculo de la distancia recorrida por la pelota, la suma infinita o infinita del
recorrido, influenciado éste por el objeto: la pelota. La finitud o infinitud del proceso
dependerá de cada representación, así mismo si la infinitud es actual o potencial
(ibíd., p. 182).
Resulta muy significativo entonces cómo la representación ha venido resaltando en este
análisis pues parece que es, entonces, trascendental en la resolución del problemas: cada
una de las representaciones ayuda a producir sentido, no produce todos los sentidos, y un
cambio de representación puede activar un sentido diferente, que facilite o dificulte la
resolución de una determinada actividad.
4.4.3 Dificultades analíticas asociadas al análisis de funciones
A lo largo de la historia, los tópicos de sucesiones y series numéricas han sido objeto de
controversia por arrastrar consigo conceptos tan complejos como el de infinito, el límite y
la derivada ya que “ante la incapacidad de poder adelantar el tiempo para observar los
resultados de los acontecimientos, se han desarrollado diversas herramientas basadas en el
estudio del cambio para lograr anticipar el comportamiento de sistemas complejos”
(Cantoral, 2013, p. 45).
El siguiente problema trata con uno de los temas más abordados en la investigación en
educación matemática: el límite; el cual se aborda desde su noción ya que no tiene por
objetivo el uso de la definición métrica de épsilon-delta.
El problema del límite solicitaba elegir una pareja de representaciones (gráfica y algebraica;
ver Ilustración 92) para determinar el límite de 𝑓(𝑥) =|𝑥|
𝑥 cuando x se acerca a cero.
a)
b)
c)
d)
lim𝑥→0
𝑓(𝑥) = 1 lim𝑥→0
𝑓(𝑥) 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 lim𝑥→0
𝑓(𝑥) = 0 lim𝑥→0
𝑓(𝑥) = 0
Ilustración 92. Opciones de respuesta del problema del límite
Las preguntas que el estudiante debería hacerse frente a este problema son: ¿qué tipo de
función es ésta? ¿Para cuáles valores no está definida la función? ¿Cómo afecta el valor
absoluto del numerador a la función? ¿Conozco la gráfica de la función? ¿Cómo elaboro
la gráfica?, entre otras. Para empezar diremos que 30,9% de los estudiantes escribieron
que no sabían el tema, no lo habían tratado en el colegio o simplemente no lo recordaban.
Sin embargo, encontramos esbozos de procedimientos que fueron abandonados, veamos:
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
136
Ilustración 93. Uso de una tabla de valores
En las Ilustración 93 y 94 los estudiantes usaron una representación numérica dentro de un
procedimiento analítico empleando el cálculo del valor numérico de una expresión
algebraica y, en el caso de la Ilustración 92, construyendo una tabla de valores
Ilustración 94. Tabulación de datos
Tenemos de estos procedimientos que los estudiantes intentaron analizar el
comportamiento de la función tomando valores “cercanos” a x = 0 para estudiar la
tendencia de las imágenes correspondientes para, interpretamos nosotros, obtener una
noción del límite. El análisis numérico de ambas soluciones tiene en común el uso de
números enteros, particularmente en la solución b el estudiante escribió “No” para señalar
la indeterminación para x=0. Lamentablemente no hay registro de la solución a la cual
condujeron estos procedimientos (en el caso de haber existido).
De éstas soluciones se podría decir que se puso en juego la interpretación numérica de
límites laterales para observar el comportamiento de la función, sin embargo, el
acercamiento con números enteros cercanos a x=0 evidencia dificultades en la
comprensión de lo infinitesimalmente cercano que debe ser la aproximación.
Ilustración 95. Graficación de la función comprometida en el límite
En las soluciones de la Ilustración 95 se observa que el valor absoluto en el numerador de
la función llevó a los estudiantes a no considerar los valores negativos del denominador
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
137
que sí afectan a la función, esto podría deberse a un obstáculo didáctico (relacionado con
los procesos de transposición) pues el valor absoluto suele enseñarse como “el número sin
el signo o la distancia a partir del cero sobre la recta numérica la distancia” (Colín y
Lázaro, 2009). Esto llevó a que los estudiantes obtuvieran una recta paralela al eje x con
corte en (0, 1) definida en todos los reales (Ilustración 95; el 7,9% realizó lo mismo); o en
los reales no negativos (Ilustración 96; el 15,1% hizo la misma gráfica), esto como
resultado de un análisis de lo que ocurre con un conjunto de imágenes de la función.
Ilustración 96. Representación gráfica errónea
Precisamos en el procedimiento anterior algunas confusiones que nos quedan: no es claro si
el estudiante intentó expresar en su primera línea lim𝑥→𝑜
𝑓(𝑥) = 1 o si escribió lim𝑥→𝑜
por un
lado y por otro 𝑓(𝑥) = 1; esta confusión se debe a dos razones:
i. La gráfica corresponde a 𝑓(𝑥) = 1 para un dominio restringido a los reales no
negativos.
ii. La conclusión que realiza daría por sentado que pensaba en 𝑓(𝑥) = 1 por lo que
podría razonar que lim𝑥→𝑜
𝑓(𝑥) = lim𝑥→𝑜
1 =kte.
Este procedimiento nos hace resaltar una de las habilidades de control señaladas para el
proceso ECEP (tratadas en §4.3.2 las cuales tratan de habilidades que los estudiantes deben
esgrimir frente a los procedimientos en la resolución de problemas: Recordar y seguir la
secuencia correcta de los procedimientos para resolver el problema. Nos permitimos intuir
la influencia del trabajo algorítmico alrededor de los límites ya que una de las propiedades
de límites versa: El límite de la función constante f(x)=k es la misma constante, cualquiera
sea el valor al que tiende. Se observa además la ligereza sobre la representación en el plano
cartesiano: ausencia de variables y el manejo de la escala.
El siguiente procedimiento (ver Ilustración 97) se desarrolla sobre un contexto analítico del
valor absoluto (recordemos que §4.1 mencionamos que Wilhelmi, Godino y Lacasta (2007)
señalan cuatro contextos en los cuales aparece la noción de valor absoluto: aritmético,
algebraico, geométrico, analítico); resaltamos del procedimiento que:
El estudiante analizó la función y razonó que “como |x| siempre va a ser positivo el
signo lo determina x”,
luego emplea lenguaje simbólico para indicar el comportamiento de la función por
partes.
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
138
Ilustración 97. Contexto analítico del valor absoluto
En el siguiente procedimiento de la Ilustración 98, destacable también, el estudiante empleó
el valor absoluto como una función por partes:
Ilustración 98. Valor absoluto contemplado como función por partes
Estos tratamientos del valor absoluto son uno de las tres que están contempladas como
modelo analítico del valor absoluto. Los autores Wilhelmi, Godino y Lacasta (2007) nos
ofrecen una visión completa de los modelos y significados asociados a este objeto
matemático; veamos la Ilustración 99 siguiente.
Ilustración 99. Estructura de los modelos y significados del valor absoluto Fuente: Original del Wilhelmi, Godino y Lacasta (2007, p. 5).
Los autores señalan que cada definición representa un objeto que emerge de un sistema de
prácticas en un contexto dado de uso, por lo que ninguna definición puede ser privilegiada a
priori.
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
139
Continuando con el problema, la variable de la función es una variable real, sin embargo el
manejo discreto de conjuntos densos y la tendencia a generalizar el comportamiento de la
variable con pocos datos predominó en las soluciones; las conclusiones presentadas en
lenguaje no simbólico también tuvieron lugar, como se aprecia en la Ilustración 100.
Ilustración 100. Justificación verbal a un problema de límites
En la anterior ilustración se observan dificultades en dos habilidades de control
importantes: ejecutar procedimientos fiable y eficientemente, y verificar los pasos de un
procedimiento ya que el estudiante no notó que el segundo cociente estaba errado ni
analizó que la generalización 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2 ) … = 𝑓(𝑥𝑛) = 1 era apresurada para el pobre
análisis cuantitativo realizado con números enteros positivos. El 20,3% de los estudiantes
usó 𝑍+ para observar la variación de f(x) a medida que x cambiaba; uno, dos y cuatro
números enteros máximo fueron condición necesaria y suficiente para los estudiantes darse
una idea de la gráfica de la función; esto se ve en el procedimiento de la Ilustración 101.
Ilustración 101. Elaboración de procedimientos analíticos sin conocer de límites
Un aspecto a resaltar de ese procedimiento es que pese a que el estudiante escribió que no
sabía límites, elaboró un procedimiento analítico cuya conclusión usó la notación de límite,
“Ya que se dividen por el mismo
numero el límite siempre va
a ser uno por ello es una
grafica lineal y siempre seguirá
asi con valores positivos”.
“No vi limites en el
colegio
No se responder a la
pregunta.
Sin embargo según el
problema dice que
cuando el limite se
acerca a cero se
puede evidenciar en la
gráfica”.
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
140
lo cual nos resulta contradictorio; sin embargo, también podríamos dar una explicación a
ello: el estudiante usó las opciones de respuesta.
Al momento de realizar el análisis del problema del límite esperábamos que los estudiantes
no tuvieran mucha dificultad para analizar el límite de una función usando la gráfica
correspondiente para luego analizar lo que sucede con el comportamiento de la función en
las vecindades de x = 0; el 23% de los estudiantes realizaron sin éxito una gráfica para
analizar el límite de la función.
Ilustración 102. Graficando la función del límite
Observando la Ilustración 102, nos llama la atención de éste y el anterior procedimiento
que los estudiantes graficaron la función constante 𝑓(𝑥) = 1 considerando con ello que el
haber analizado la función con dos o tres valores de x era suficiente para obtener la gráfica
de 𝑓(𝑥) =|𝑥|
𝑥 pasando por alto, por ejemplo, que la función no está definida para 𝑥 = 0. En
contraste, el siguiente procedimiento evidencia que los estudiantes no tienen presente los
conceptos matemáticos a la hora de elaborar procedimientos pues hacen cálculos
arbitrariamente, como se aprecia en la Ilustración 103 donde el estudiante sustituyó en la
función el valor al cual tiende 𝑥 para obtener el valor del límite de la función; veamos:
Ilustración 103. Sustituir para hallar el límite
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
141
En la solución de la Ilustración 104 el estudiante sustituyó empleando números decimales
positivos para:
i. Realizar la gráfica considerando que los dos valores positivos de 𝑥 eran
suficientes para trazar la recta 𝑦 = 1 sin tener conocimiento del comportamiento
de la función para algún valor de 𝑥 < 0.
ii. Analizar el límite lateral por la derecha teniendo en cuenta que primero evalúa la
función en x = 0,5 y después en x = 0,3 y después relacionar los resultados con la
representación gráfica que valida su inicial conjetura.
Ilustración 104. Análisis de límite lateral por la derecha
No obstante, salta a la vista que el estudiante no tiene clara la condición para que un límite
exista en un punto dado. Las evidencias anteriores nos permiten señalar que los
procedimientos que emergen de la solución de problemas son, de una manera u otra, reflejo
de la formación matemática recibida. Hitt, por ejemplo, señala que
algunas dificultades que los estudiantes tienen en el aprendizaje del concepto de
límite, son debidas por la manera como el profesor introduce el tema pues no se
introduce en ningún momento un proceso al infinito sino que todo se reduce a una
sustitución lo cual influye a lo largo de los estudios de los estudiantes y son pocos los
que logran sobrepasar el obstáculo (2003, p. 11).
De modo que las dificultades halladas en este aspecto podrían deberse a un obstáculo
didáctico que viene desde el colegio, y que ahora debe ser resuelto en la universidad o por
el propio el estudiante pues este obstruye su desempeño en la resolución de problemas de
fenómenos variaciones, por lo que afectará negativamente las competencias necesarias
para la construcción de conceptos como el límite.
Emplear lo que se sabe para diseñar nuevos procedimientos que se ajusten a nuevos
problemas se considera importante para resolver problemas; sin embargo, esto reincide
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
142
como dificultad porque siendo la función de valor absoluto y las funciones racionales
conocidas por los estudiantes, el conocimiento sobre ellas es usado de manera aislada para
dar respuesta al problema, es decir pasaron por alto que la función es una función racional
que contiene el valor absoluto por lo que esto no implica que la gráfica sea de la función de
valor absoluto, como sucedió con el 16,8% de los estudiantes que así lo consideraron;
observemos las representaciones de la Ilustración 105.
a b
Ilustración 105. Representaciones gráficas erróneas
La gráfica fue empleada como representación acertada para resolver el problema por pocos
estudiantes (el 8,8%), como se puede apreciar en la Ilustración 106.
a
b
Ilustración 106. Soluciones al límite desde lo gráfico
Precisando en los óvalos, tenemos que en la solución a hubo un error en la escritura del
límite; sin embargo el estudiante evidenció que está en capacidad de aproximarse al límite
de una función al analizar en la representación gráfica el comportamiento de la función en
un punto dado. En la solución b el estudiante se confundió al escribir qué era lo que no
existía cuando x→0.
Recordando la Fase 2 de la investigación, mencionaremos que este problema tiene
asociado el indicador “Utiliza aproximaciones numéricas o gráficas para deducir
intuitivamente el límite de una función”, en esa etapa de la investigación se obtuvo que el
40,98% de los 409 estudiantes que presentaron la prueba presentaron dificultad de nivel
cinco en la solución del problema, es decir, lo solucionaron mal. De modo tal, que las hojas
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
143
de procesos nos han permitido entender que tales resultados se deben a que los estudiantes
tienen dificultad para reconocer las funciones en sí mismas, que no tienen claridad de que
sus diferentes representaciones sirven como recurso para aproximarse a nociones
importantes del cálculo diferencial como lo es el límite.
Volviendo al problema, en nuestro análisis de los problemas la definición delta-épsilon no
la consideramos para éste por no ser pertinente para este problema. No obstante, como se
aprecia en la Ilustración 107 un estudiante recurrió a ella empleándola vagamente.
Ilustración 107. Vestigios de la definición épsilon-delta de límite
Se podría inferir, de la Ilustración 107, el esfuerzo que el estudiante más que elaborar un
procedimiento intentaba ejecutar uno ya conocido tratando de recuperar de la memoria
cómo emplear la técnica aprendida. El procedimiento de la Ilustración 108 que no fue
contemplada en el análisis del problema, al revisarlo notamos que el estudiante analizó la
función como una función racional determinando la indeterminación presente (ver óvalo).
Ilustración 108. Una solución satisfactoria
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
144
En esta solución se aprecia que el estudiante ordenó sus razonamientos para ejecutar los
procedimientos: analizó la función y encontró la indeterminación, clasificó la función y la
llamó “función por secciones”, recuperó la definición de valor absoluto y con ello revisó
los límites laterales algebraicamente, y concluyó en términos de la continuidad de la
función en x = 0 que el límite no existe.
En relación al análisis de los procedimientos y las soluciones emergentes en la resolución
de problemas de los 113 estudiantes de las carreras de Matemáticas, Licenciatura en
Matemáticas e Ingeniería en Sistemas alrededor del problema de la pelota, el cuadrado y el
límite, se observa el impacto de las representaciones en los problemas: una representación
gráfica, se conecta con las potencialidades conceptualizadoras de la visualización y se
relaciona con la geometría; la representación en forma de tabla, pone de manifiesto los
aspectos numéricos y cuantitativos; las expresiones simbólicas, se relacionan con el
pensamiento variacional (Godino y Font, 2003, p. 777), por lo que se esperaría que los
estudiantes, como resultado de una formación en funciones desde noveno grado, no
presenten dificultades para establecer conexiones entre sus representaciones ni menos
ponerlas en marcha en la resolución de problemas.
El análisis además nos ha permitido acercarnos a las imágenes mentales que los
estudiantes evocan y que resultan conflictivas en la solución del problema ya que son
imágenes vagas de conceptos o procedimientos que en algún momento quedaron de rezago
de una etapa de enseñanza que, quizás, favoreció la construcción de obstáculos didácticos;
cuestión que se validada con el 26,5% de las respuestas halladas en las hojas de procesos
en el problema del límite que acabamos de revisar, fueron en las cuales los estudiantes
expresaron: “no reconozco la gráfica”, “no recuerdo el tema”; “no sé”, “lastimosamente
no vi límites en el colegio”.
El porcentaje de estudiantes que manifestó no recordar o no saber cómo solucionar el
problema de velocidad instantánea es cercano al 21,2%. Veamos los hallazgos sobre este
problema; recordémoslo con la Ilustración 109.
Ilustración 109. El problema del carrito de juguete
La velocidad es un concepto que emerge de la física, en especial la velocidad media (v) de
una partícula se define como la razón del desplazamiento (𝛥𝑥) y el intervalo de tiempo
(𝛥𝑡) ; y la velocidad instantánea es el límite de tal razón cuando 𝛥𝑡 → 0 . Cuatro
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
145
estudiantes (3,5%) emplearon la derivada de la función posición evaluada en 𝑡 = 2 para
dar solución del problema, veamos en la Ilustración 110 dos de ellas:
a
b
Ilustración 110. Uso de la derivada para calcular la velocidad instantánea
Una diferencia que salta a la vista entre las dos soluciones es la economía del simbolismo
empleado en la solución b; en la solución a el estudiante tuvo dos descuidos en la escritura
señalados con el óvalo rojo: al evaluar la función escribió 𝑓’(𝑡) en lugar de 𝑓(2), y
𝑓’(2) = 2 en lugar de 𝑓’(2) = 20; no obstante eso no obstaculizó el procedimiento pues
concluyó con palabras que la velocidad instantánea es 20 𝑚/𝑠. La Ilustración 111 muestra
otro procedimiento considerado por el 26,5% de los estudiantes en este problema fue
evaluar la función posición en 𝑡 = 2 𝑠𝑒𝑔.
Ilustración 111. Evaluando la función para hallar la velocidad instantánea
Otros estudiantes además de evaluar la función posición en t = 2 también dividieron entre
2 el resultado, como se puede apreciar en la Ilustración 112 que sigue.
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
146
a b
Ilustración 112. Influencia de contextos de física en los procedimientos
Una explicación a esto la ofrece la misma solución b de la Ilustración 112: el
procedimiento elaborado es orientado por las imágenes mentales que trae la palabra
“velocidad” por lo que relacionaron el procedimiento con la fórmula v = s / t (hallaron la
posición y luego dividieron entre el tiempo); 11 m/s fue la respuesta registrada en el
44,2% de las hojas de procesos. De esto se infiere, como lo señalaron Valdivé y Garbin
(2013), que la estructura cognitiva asociada a los conceptos está permeada por las ideas
que el sujeto tiene asociadas al concepto.
Continuando con esa idea, para otro estudiante la “velocidad instantánea” estaba asociada
con la velocidad “en exactamente el tiempo que se pide”, es decir la velocidad instantánea
se refiere a la velocidad que lleva el coche en “exactamente 2 seg”; en la Ilustración 113 se
observa que para ello el estudiante determinó el cambio de una variable respecto de otra en
un instante; es decir calculó la velocidad media Δ𝑠
Δ𝑡 y con ello llegó a la respuesta correcta.
Ilustración 113. “Velocidad instantánea” asociada con la “velocidad en un instante”
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
147
Al calcular Δ𝑠
Δ𝑡 y después decir que “pues creo que al referirse a la velocidad instantanea
es el valor de velocidad que lleva en exactamente 2 sg” se evidencia un conflicto en los
esquemas del estudiante pues según lo último que dijo no era necesario calcular Δ𝑠
Δ𝑡 sino
que hubiese dicho que era 22 m/seg tomando ese dato de la tabla de valores dada en el
problema, como sí lo consideró el 13,5% de los estudiantes de las tres carreras, veamos
dos ejemplos en los procedimientos de la Ilustración 114 que sigue.
a
b
Ilustración 114. Usos de la tabla de valores para obtener información
Estos últimos procedimientos nos permiten señalar una fortaleza de los estudiantes a
diferencia del 68,7% que evaluó la función en t=2: usar la tabla de valores proporcionada
en el problema para obtener la posible posición del carrito en ese tiempo lo cual significa
que este porcentaje de estudiantes relacionan las representaciones de la función, pese a que
el procedimiento no es correcto. Quienes no emplearon la tabla para identificar la
correspondencia entre 𝑡 = 2 𝑠𝑒𝑔 y 𝑓(2) evidencian dificultades para identificar y analizar
la información que encierra la representación numérica en lo relativo a la aproximación
covariacional, siendo este un acercamiento variacional mínimo que se espera traigan los
estudiantes de su formación del colegio.
La tabla de datos es una representación de una función, la claridad sobre esto fue una
dificultad para los estudiantes al igual que considerar la gráfica de la función como
procedimiento para solucionar el problema. El problema de la partícula, se podía resolver a
través de la gráfica, como fue previsto en una de las soluciones del análisis del problema
(Ilustración 115).
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
148
Supóngase que una partícula se desplaza de acuerdo a la función posición
𝑠(𝑡) = |1
2𝑡 − 1|, donde 𝑠 está dada en metros y 𝑡 en segundos. ¿Para qué
valores de 𝑡, cuando 0 < t < 5, 𝑠’(𝑡) no existe?
Solución 2
En 𝑡 = 2 hay un pico, entonces la
función no es derivable en ese punto.
Ilustración 115. Problema de la partícula con una solución
Sin embargo, en las hojas de procesos encontramos que el 15,9% de los estudiantes no
resolvieron el problema dejando la hoja en blanco, el 30,9% manifestaron no recordar el
tema, el 39,8% evaluó la función en algunos puntos (por lo general, los extremos del
intervalo y otro entero) y el 13,2% razonó sobre los extremos del intervalo para dar una
respuesta.
Este problema está asociado al indicador “desarrolla métodos para hallar las derivadas
de algunas funciones básicas en contextos matemáticos y no matemáticos” pero, como se
infiere de los porcentajes anteriores, nuestros estudiantes tienen dificultades para resolver
problemas en los cuales la derivada esté involucrada; salvo el caso de la Ilustración 116
donde se puede apreciar que el estudiante evaluó la función en 𝑡 = 2 𝑠𝑒𝑔 y al obtener
𝑠(2) = 0, el estudiante concluyó que la derivada no existe en 𝑡 = 2 porque la función
tiene un pico en ese punto.
Ilustración 116. Solución correcta del problema de la derivada
Este procedimiento nos causa inquietud pues no hay evidencia de cómo el estudiante llega
a esa conclusión; pensaríamos que quizás empleó su conocimiento sobre el tema y al hallar
𝑠(2) usó una imagen mental de la gráfica y la coordenada (2, 0) para visualizar el pico que
allí se presenta. Aplicar el criterio si en la gráfica de una función existe un pico o punto
anguloso, entonces en ese punto no existe la derivada surgió en el 3,5% de los estudiantes,
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
149
sin embargo ellos no supieron cómo aplicar ese conocimiento como bien lo explícita la
Ilustración 117.
Ilustración 117. Infinitas tangentes
Este procedimiento llama la atención por la situación subyacente: una formación
matemática que ha priorizado proporcionarle a los estudiantes recetas para emplear en
lugar de facilitar la construcción del conocimiento, esto se infiere porque el estudiante
conoce el criterio del pico pero no cuenta con las habilidades para elaborar un
procedimiento que le permita llegar a la solución del problema.
Al revisar todas las hojas de procesos encontramos que un único estudiante tabuló para
graficar (ver Ilustración 118); sin embargo, la gráfica es incorrecta por errores en los
procedimientos aritméticos que corresponden al valor absoluto, los cuales fueron tratados
en la primera categoría.
Ilustración 118. Tabular para graficar una función
Hallamos que el 17,6% de los estudiantes evaluó la función con uno y hasta seis números
enteros positivos sin dejar escrita alguna conclusión ni haber graficado; tres estudiantes
emplearon algunos números decimales (ver Ilustración 119).
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
150
Ilustración 119. Evaluando la función
Dos estudiantes realizaron la gráfica tomando como referencia sus conocimientos sobre la
función, no obstante la función graficada corresponde a 𝑓(𝑥) = |𝑥| restringida (ver
Ilustración 120). Esto nos permite afirmar, desde lo que hemos venido observando, que las
imágenes mentales que los estudiantes traen de algunos conceptos nos son aprovechadas
para elaborar nuevos procedimientos sino, la tendencia que hemos observado es,
ejecutarlas sin comparar con la exigencia nueva que trae el concepto y el problema.
Ilustración 120. Conclusiones erradas con imágenes mentales antiguas
Otro procedimiento que vale la pena revisar corresponde al de un estudiante que evaluó la
función en 𝑡 = 2 y al obtener que 𝑓(2) = 0 concluyendo que la derivada no existía en ese
punto (ver Ilustración 121). Ciertamente, esta es la respuesta correcta al problema pero
percibimos que la interpretación de este estudiante fue dada pensando en que ésta no
existía porque en ese tiempo t no existía posición para la partícula, mas no porque supiera
que allí había un pico (por ejemplo) y que esta es una razón gráfica para afirmar que la
derivada no existe.
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
151
Ilustración 121. Asociación de ideas incorrectas
Por otra parte, el dominio de los números reales y sus propiedades supondría que pensar un
intervalo como subconjunto IR, y comprender que en los extremos de éste la función
podría no estar definida no tendría dificultades ni conflictos. Esta idea de que “los
extremos del intervalo no se toman” incidió en que los estudiantes relacionaran conceptos
que no tienen relación entre sí: relaciones de orden de los números con “la no existencia de
la derivada”. Observemos los tres procedimientos de la Ilustración 122.
a
b
c
Ilustración 122. Interpretación errónea de los extremos de un intervalo
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
152
Interpretamos que estos procedimientos se deben a la influencia de las opciones de
respuesta y a la notación presentada en el problema para expresar el subconjunto del
dominio de la función en el cual se debía analizar la derivada, lo cual evocó un análisis
erróneo que llevó a los estudiantes a concluir que la derivada no está definida en t=0 y t=5.
El 7,07% de los estudiantes halló la misma solución pero la expresaron en palabras, como
se ejemplificó en el procedimiento c de la ilustración anterior. También podríamos inferir
que este grupo de estudiantes no reconoce la notación de la derivada de la función posición
empleada en el enunciado del problema (s’(t)) lo cual los llevó a validar que los extremos
del intervalo eran la respuesta al problema (en ellos no existe la función o en los puntos
donde s(t)=0, es decir en t=2).
Con los datos analizados, tenemos entonces que nuestros estudiantes tienen dificultades
para usar su conocimiento sobre la derivada en la resolución de problemas y, por ende,
para desarrollar métodos para hallar las derivadas de algunas funciones básicas en
contextos matemáticos y no matemáticos pues, como Cantoral (2013) lo señala:
Se enseña el cálculo como un aparato algorítmico, la derivada por ejemplo, se
presenta como la “regla de los cuatro pasos” y se apoya en el empleo de fórmulas
para derivar, inhibiendo de este modo el desarrollo de ideas propiamente
variacionales. Es decir, a pesar de que la derivada surge como una herramienta para
el estudio del cambio, y con ello sirve para predecir comportamientos futuros, no
obstante, el discurso escolar reduce su tratamiento a la enseñanza de técnicas de
derivación y métodos de integración. (p. 22)
Cuando hay una expresión algebraica (sea o no función) la predilección (como se ha
observado) de los estudiantes es reemplazar valores en ella y no saber qué hacer con ese
procedimiento (o forzar la respuesta para que se ajuste al problema). Esto se observó en
los problemas de la función cúbica y de la empresa de lácteos. Recordemos el problema de
la función cúbica con la Ilustración 123.
A continuación se encuentra la gráfica de la función
𝑓(𝑥) = −𝑥3 − 5𝑥2 + 18𝑥 + 72, indica en qué
intervalos se tiene que 𝑓′(𝑥) < 0 y 𝑓(𝑥) > 0.
Ilustración 123. Problema de la función cúbica
Este problema requería de la habilidad analítica de relacionar la derivada de la función con
el crecimiento o decrecimiento de la misma, además de reconocer que la función no es
monótona pues en algunos intervalos crece y en otros decrece. En nuestro análisis de
problema consideramos que los estudiantes podrían emplear la recta tangente para analizar
el comportamiento de la función, no obstante, el 61,9% manifestó no saber del tema (e
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
153
incluso dejaron en blanco el espacio de trabajo). El 15,9% reemplazó valores en la función
o dejaron implícita la intención de realizar este procedimiento (Ilustración 124).
Ilustración 124. Intención de reemplazar
Del procedimiento de la Ilustración 125 no podemos decir si el estudiante reconoce o no la
notación para la derivada de la función ya que transcribió parte del enunciado y luego
reescribió incorrectamente los intervalos (podríamos interpretar esto como una respuesta a
la necesidad de elaborar un procedimiento).
Ilustración 125. Dificultades para resolver problemas con derivadas
De los procedimientos anteriores emerge que los estudiantes:
No comprenden que la derivada de las funciones se relaciona con el crecimiento o
decrecimiento de la función.
No reconocen la derivada de una función a partir de la gráfica (la pendiente de la
recta tangente asociada a cada punto de la gráfica); por ende,
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
154
No identifican dónde las rectas tangentes a la curva tienen pendientes negativas,
(como sí lo consideramos nosotros en el análisis del problema).
Las dificultades anteriores resultan significativas frente a las expectativas que señala el
MEN (2006) en los estándares respecto a la derivada: Interpreto la noción de derivada
como razón de cambio y como valor de la pendiente de la tangente a una curva y
desarrollo métodos para hallar las derivadas de algunas funciones básicas en contextos
matemáticos. No obstante, las dificultades halladas en los datos de las hojas de procesos
están en concordancia con los resultados de la Fase 2 de este trabajo: los resultados de la
prueba diagnóstica inicial de 2014-1 fueron que el 35,20% de ellos tenían dificultad de
nivel cinco en el indicador “interpreta la derivada en un punto como la pendiente de la
recta tangente a la curva”, el cual está asociado a este problema.
Ante esta situación nada insignificante, Artigue (1995) señala que aunque se puede enseñar
a los alumnos a realizar de forma más o menos mecánica algunos cálculos de derivadas, se
encuentran grandes dificultades para que los estudiantes logren alcanzar una comprensión
satisfactoria de los conceptos y métodos de pensamiento de esta rama de las matemáticas.
Godino, Pino-Fan y Font (2010, p. 208) señalan un aspecto importante a dicha
problemática: “si bien es cierto que los múltiples problemas a los que se enfrentan los
alumnos se deben, en cierto modo, a la naturaleza compleja de la noción de derivada, esta
problemática, en gran parte, se debe a cómo el profesor enseña los conocimientos sobre
dicho concepto a los alumnos”.
En concordancia con lo anterior, los autores realizan una afirmación que nos pone de frente
a otra realidad que va ligada a la problemáticas de las dificultades de los estudiantes en la
resolución de problemas de fenómenos variaciones: “El desarrollo del pensamiento y de las
competencias matemáticas de los alumnos de una institución, depende de manera esencial
de la formación de sus respectivos profesores”10 (ibíd.).
Esto coincide con la posición de Hitt (2003, p. 9) quien manifiesta qu, para el caso del
límite de una función, las prácticas de enseñanza centradas en la sustitución se constituyen
en un obstáculo didáctico que traerán “encima todas las dificultades del mundo” para el
estudiante: “unas que son naturales por la complejidad de la noción de límite, que
involucra el uso coherente de los procesos infinitos, y la otra por las ideas erróneas que
recibe por parte del profesor”.
Volvamos a los procedimientos de los estudiantes; queremos ejemplificar con el problema
de las empresas lácteas (ver Ilustración 126) cómo se articulan las dificultades que hemos
señalado alrededor de variable, y la dificultad de los estudiantes para reconocer que las
distintas representaciones de la función hablan en sí mismas del cambio y la variación de
las magnitudes involucradas en el fenómeno de variación.
10 De los 113 estudiantes que hacen de muestra de esta investigación el 93,8% egresaron de colegios oficiales
que están distribuidos en instituciones educativas de Santander –ciudad de ubicación de la UIS– y Santiago
de Cali; a Santander están adscritas 56 instituciones educativas de 19 municipios diferentes; del municipio de
Bucaramanga (donde está la sede principal de la UIS) ingresó a la universidad el 64,6% de nuestros
estudiantes, siendo estos egresados de 32 instituciones diferentes.
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
155
En una empresa láctea se registran los datos de dos tanques que almacenan leche.
La siguiente gráfica representa la relación entre volumen y el tiempo de dos
tanques A y B, respectivamente. Se tiene que estos tanques descargan la leche por
un orificio en la parte inferior de cada uno de ellos. ¿Cuáles son las expresiones
algebraicas que modelan el desagüe para los tanques de leche A y B,
respectivamente?
Ilustración 126. Problema de la empresa láctea
Para resolver este problema se requería analizar la tabla adjunta en el problema y que da
cuenta la variación de las variables; si tomamos en cuenta las opciones de respuesta del
problema, también exigiría analizar las ecuaciones de las funciones presentadas y transitar
de una representación a otra para establecer las expresiones algebraicas que modelan el
desagüe para los tanques de leche. No obstante los resultados fueron que:
El 59,2% de los estudiantes escribieron en sus hojas de procesos no conocer el tema
o no saber qué hacer o, dejaron su hoja en blanco.
El 17,6% sustituyó algunos valores en la función (un ejemplo de ello es la
Ilustración 127b);y,
Otros realizaron procedimientos que no aportan a la solución del problema, como
podemos apreciar en la Ilustración 127a que sigue.
a
b
Ilustración 127. Sustituir como procedimiento para modelar
Sorprende la solución a de la ilustración anterior: la imagen mental “pasar a un lado del
igual las equis, y dejar en el otro los números” emergió como respuesta en una tarea
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
156
matemática de modelación. También llaman la atención los errores señalados con los
óvalos:
𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥) sencillamente desaparecieron.
Las funciones son tratadas como una ecuación.
La variable equis es tratada como un número.
Los procedimientos errados al simplificar.
La solución b ratifica la dificultad de reconocer el uso de la sustitución de valores de la
variable independiente en la ecuación de una función: analizar cuantitativamente la
covariación de las variables; en otras palabras, reconocer la variación conjunta de las
variables involucradas en la relación funcional.
El 1,76% de los estudiantes realizaron procedimientos puntuales y acertados al
problema. En la solución Ilustración 128a se observa que el estudiante estableció
relaciones entre las gráficas dadas y las características de las funciones polinómicas
correspondientes; la solución b de la Ilustración 128 responde a la solución
contemplada para el problema en nuestro análisis (ver Tabla 14 de §3.4.1): el
estudiante analizó cada opción de respuesta usando como control los puntos de
corte con el eje y de cada gráfica, lo cual le permitió asociar cada gráfica con la
ecuación correspondiente de la función (en el registro lingüístico el estudiante se
equivocó al escribir “lineal” en lugar de “cuadrática”).
a
b
Ilustración 128. Análisis para obtener el modelo de los tanques
Al contrastar los pares de soluciones de la Ilustración 127 y 128 salta la diferencia de la
enseñanza orientada por procesos y aquella centrada en procedimientos aislados y
descontextualizados lo cual incide directamente en la competencia matemática de los
estudiantes. Morales y Díaz (2003) señalan que “históricamente se ha observado la
enseñanza actual no produce los resultados deseados pues no forma en el estudiante
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
157
nociones y operaciones nuevas”; afirman que incluso se origina un conjunto de ideas
confusas que difícilmente el estudiante asimila y retiene, lo cual provoca una serie de
dificultades para la correcta comprensión de las nociones y conceptos matemáticos.
Desde el inicio de este análisis hemos encontrado que la mayoría de los estudiantes tienden
a “aritmetizar” y “algebrizar” los problemas para dar una solución sin revisar, incluso, qué
tan pertinente resulta la respuesta al fenómeno variacional que enmarca al problema (frente
a esta reflexión emergente del análisis, es importante sentar la siguiente advertencia:
Empleamos el término “aritmetizar” para referirnos a que los estudiantes emplean los
números y su operatividad en los problemas sin reflexionar en si tienen o no cabida. Esta
apreciación se aleja significativamente del término “aritmetización” que se refiere al
proceso de fundamental del cálculo como fue la construcción o la validación de los
números reales buscando con ello independizarlo del apoyo geométrico).
Los problemas pusieron a prueba los contenidos y los procesos matemáticos que los
estudiantes tienen para aplicar en la resolución de problemas de fenómenos variacionales
con una exigencia de diferente nivel al que, quizás, enfrentaron en sus colegios. De manera
tal que las dificultades establecidas en este trabajo surgieron de un proceso que pone en
evidencia las herramientas conceptuales y cognitivas que los estudiantes tienen desde una
plataforma en la cual priman sus elecciones y decisiones sobre los procedimientos a
ejecutar.
CONCLUSIONES
“Las oportunidades para
reflexionar sobre la práctica educativa y
perfeccionarla son fundamentales”,
NCTM (2003, p. 19).
El NCTM (2003) dice que las decisiones tomadas por los diferentes actores (directos e
indirectos) de la educación en relación con el contenido y el carácter de las matemáticas
escolares tienen consecuencias importantes tanto para los estudiantes como para la
sociedad. Los Principios y Estándares del NCTM, los Lineamientos Curriculares de
Matemáticas y los Estándares Básicos en Competencias en Matemáticas del MEN
constituyen una visión para orientar a los profesores de matemáticas en su esfuerzo por
formar a los estudiantes no solo en conocimientos sino en procesos matemáticos que les
enseñe a aprender a aprender y a resolver problemas a lo largo de la vida. Sin embargo, este
trabajo nos ha mostrado que no se comprenden lo que los lineamientos curriculares
pretenden orientar pues pese a los esfuerzos y estrategias que se desarrollan desde el MEN
y el NCTM para alentar la enseñanza y el aprendizaje que supere los procedimientos
algorítmicos, estas exigencias aún no se han adaptado del todo en los colegios ya que los
estudiantes que recién ingresan a la universidad evidencian dificultades en el pensamiento
variacional desde el dominio conceptual y procedimental de los números reales aun cuando
su construcción se realiza desde temprana edad escolar. Por lo anterior, hace falta fortalecer
la formación de profesores de la educación básica y media.
Recordemos que para dar respuesta al objetivo de caracterizar algunas de las dificultades
que enfrentan los estudiantes cuando resuelven problemas que implican fenómenos de
variación, específicamente desde el proceso matemático de elaboración, comparación y
ejercitación de procedimientos (proceso ECEP), consideramos analizar la resolución de 10
problemas de la prueba diagnóstica inicial del curso de precálculo de la UIS, curso en el
cual participan estudiantes de nuevo ingreso a la universidad.
Las conclusiones de esta investigación las presentaremos en tres secciones que formulamos
desde la categorización planteada para el análisis de los datos. Paralelamente procederemos
a dar cuenta de algunas cuestiones que quedaron abiertas en la investigación las cuales
ofrecen, por otro lado, posibles líneas de profundización.
La caracterización de las dificultades a las cuales se enfrentaron los estudiantes la
relacionaremos explicitando los descriptores que surgieron paulatinamente a través del
análisis de los datos en cada categoría pues, como definimos en §2.3.2, estos son
expresiones verbales escritas, relacionadas con la habilidad de tipo aritmético, geométrico,
métrico o analítico y que tiene como fin contribuir a describir las actuaciones de los
estudiantes en las diferentes tareas variacionales que exigían los problemas.
Pero antes de dar cuenta de las sesiones, recapitulemos, de acuerdo a lo desarrollado en el
marco teórico respecto al proceso ECEP, que:
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
159
Los procedimientos son las actuaciones, destrezas, estrategias, métodos, técnicas,
usos y aplicaciones diversas que un estudiante realiza para resolver problemas de
manera cada vez más hábil e independiente;
Dichos procedimientos pueden ser de tipo aritmético, geométrico, métrico y
analítico.
Este proceso, desde la resolución de problemas que implican fenómenos de
variación, implica la capacidad del estudiante para transformar procedimientos
fijando su atención en las ideas centrales del cálculo diferencial (cambio y
variación) y estableciendo relaciones entre sus ejes temáticos para efectuar nuevos
procedimientos específicos que respondan al fenómeno variacional que subyacen en
el problema.
1. Dificultades emergentes a los procedimientos de tipo aritmético
Los problemas de la prueba diagnóstica nos permitieron observar diferentes dificultades
asociadas al estándar del pensamiento numérico “establezco relaciones y diferencias entre
diferentes notaciones de números reales para decidir sobre su uso en una situación dada”
(MEN, 2006), lo cual nos resulta muy preocupante dado que los Números Reales
constituyen la base del Cálculo Diferencial. Al revisar cuidadosamente la elaboración y la
ejecución de este tipo procedimientos en las hojas de procesos, encontramos que los
estudiantes tienen dificultades específicamente para:
Establecer relaciones y diferencias entre diferentes notaciones de números reales
para decidir sobre su uso en una situación dada (habilidad a priori).
Realizar cálculos mentales poniendo en juego relaciones y propiedades numéricas.
Utilizar las propiedades asociativa, conmutativa de la suma y propiedad distributiva
de la multiplicación para simplificar los cálculos con números racionales tanto en su
expresión fraccionaria y decimal.
Reconocer y usar el valor absoluto como operador.
Emplear diferentes representaciones para escribir los números y reconocer el efecto
de una representación u otra en la resolución de un problema.
Identificar y analizar la información que encierra la representación numérica en lo
relativo a la aproximación covariacional.
Emplear correctamente las razones y las identidades trigonométricas en contextos
matemáticos o no matemáticos.
Durante el análisis observamos una fuerte incidencia de concepciones concernientes a los
números naturales en los procedimientos con los números racionales, entre ellos
destacaron:
El cero a la izquierda no tiene valor.
El todo es mayor que las partes.
Dados dos números, el que tenga más cifras es el mayor.
Al multiplicar dos números se obtiene siempre uno más grande.
Al dividir reiteradamente un número decimal entre un entero es suficiente agregar
un cero decimal cada vez pues así el resultado es más pequeño.
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
160
De otra parte, observamos que las dificultades en la resolución de problemas se producen,
inicialmente, porque los estudiantes no comprenden la situación problemática lo cual se
reflejaba en no crear una representación adecuada de la situación denotada por el
enunciado, o porque no cuentan con el conocimiento conceptual específico necesario para
cada problema, aunque estos aspectos están íntimamente relacionados ya que el
conocimiento conceptual en muchos casos es necesario para acceder a dicha representación
la cual, como expusimos a través del análisis, es imprescindible para comunicar ideas
matemáticas e interviene de manera importante en los procesos de construcción de nuevos
conceptos y desarrollo de procedimientos matemáticos. Consideramos que esta observación
vale la pena estudiarse y documentarse en futuras investigaciones de la educación
matemática.
2. Dificultades emergentes a los procedimientos de tipo geométrico y métrico
Los hallazgos en estas categorías fueron escasos ya que los problemas, como expusimos,
no ameritaron procedimientos de este tipo. De la ejecución del proceso ECEP asociados a
los procedimientos geométricos fue importante observar que pocos estudiantes emplearon
representaciones geométricas en los problemas como recurso para la elaboración de
procedimientos nuevos que llevaran a la solución, lo cual llama la atención teniendo en
cuenta que el MEN (2006) espera a que, al terminar su formación matemática, el estudiante use representaciones geométricas para resolver y formular problemas en las matemáticas y
en otras disciplinas. Respecto a los procedimientos métricos, se observaron debilidades
para:
Identificar relaciones entre distintas unidades utilizadas para medir cantidades de la
misma magnitud.
Emplear las operaciones entre magnitudes, sus propiedades y las relaciones entre
ellas para representar y analizar procesos infinitos.
Desarrollar referentes de medida para hacer comparaciones y estimaciones.
Particularmente notamos que los estudiantes, en la resolución de problemas, brindaban
respuestas que prescinden de las unidades de medida en problemas que involucran
magnitudes. Durante la revisión de las hojas de procesos fue claro que los estudiantes
intentaron crear y utilizar representaciones geométricas, sin embargo la dificultad para la
construcción de nuevos procedimientos merece atención ya que, como lo hemos venido
mencionando, el aprendizaje del Cálculo Diferencial exige la conexión entre las diferentes
representaciones de los objetos matemáticos para favorecer no solo la resolución de
problemas, sino la construcción de conceptos.
3. Dificultades emergentes a los procedimientos de tipo analítico
Al subcategorizar las evidencias con los ejes temáticos surgió un resultado importante de
esta categoría: la emergencia de el cambio, la tendencia y la aproximación como elementos
articuladores de los fenómenos de variación y, por ende, de los ejes temáticos. El eje de
patrones y regularidades está fuertemente articulado por el cambio en tanto que este eje
pretende estudiar las modificaciones del estado del fenómeno de variación; en los procesos
algebraicos la tendencia articula en tanto que se refiere a procesos variacionales en los
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
161
cuales el continuo numérico y el infinito permean el comportamiento del cambio; en el
análisis de funciones la aproximación surge como esencia de la modelación que se deriva
de la necesidad de predecir los fenómenos de variación (este resultado es de gran
importancia para la comunidad de investigadores matemáticos del Grupo EDUMAT-UIS
ya que sobre este referente se viene adelantando una estructura conceptual).
Como se observó en el capítulo anterior, los hallazgos de esta categoría fueron muy
significativos en cantidad y en profundidad. Las dificultades emergentes en el proceso nos
resultan muy inquietantes pues los estudiantes evidenciaron conflictos en la puesta en
marcha de su pensamiento variacional al no reconocer ni caracterizar la variación ni el
cambio en los diferentes contextos ya que éstos demandan conocimientos más allá de los
matemáticos y eso suma complejidad a los estudiantes.
Veamos los descriptores que nos permiten ver específicamente en qué radican las
dificultades de los estudiantes al momento de elaborar, comparar y ejecutar procedimientos
asociados al pensamiento variacional:
Dificultades analíticas asociadas a los patrones y regularidades
De manera preocupante encontramos en los hallazgos que los estudiantes de nuevo ingreso
tienen significativas dificultades para:
Identificar mentalmente un patrón o una relación.
Reconocer que una variable es una imagen abstracta de una magnitud que varía.
Distinguir una relación funcional apoyado en el análisis de los datos del problema
(Ursini y Tigueros, 2013).
Reconocer la variación conjunta de las variables involucradas en una relación
funcional, independientemente de la representación utilizada (tablas, gráficas,
problemas verbales, expresiones analíticas) (Ursini y Trigueros, 2006).
Distinguir cómo se relacionan las magnitudes en el problema particular, por ende,
reflexionar frente a lo que cambia, frente a lo que se conserva.
Establecer correctamente la interdependencia entre las magnitudes variables para
transferir los datos a otra forma de representación.
Generalizar los resultados de operaciones aritméticas y para manipular operaciones
algebraicas.
Usar tablas para observar el cambio y la interdependencia de las magnitudes
variables del problema.
Emplear tablas de valores para observar patrones o regularidades que permitan
establecer procesos de generalización.
Simbolizar una relación funcional apoyándose en el análisis de los datos del
problema (Ursini y Tigueros, 2013).
Establecer conexiones entre las representaciones de la funciones y asociar la
información proporcionada por éstas con los esquemas mentales sobre funciones
para la resolución de problemas.
Utilizar tablas, expresiones orales, expresiones algebraicas, ecuaciones y gráficas y
hacer traducciones entre estas representaciones para analizar funciones (MEN,
2004).
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
162
Al revisar los descriptores propuestos por Seduca (2005) para este eje encontramos que a
las dificultades que acabamos de señalar les preceden otras que corresponden a estándares
que los estudiantes deberían alcanzar al término de la educación básica primaria, a saber:
Reconocer y describir regularidades y patrones en distintos contextos (numérico,
geométrico, musical, entre otros).
Describir cualitativamente situaciones de cambio y variación utilizando el lenguaje
natural, dibujos y gráfica.
Describir e interpretar variaciones representadas en gráfico.
Predecir patrones de variación en una secuencia numérica, geométrica o gráfica.
Estas dificultades señalan que los fenómenos de variación no podrán ser comprendidos,
interpretados, representados, etc. si no se ha consolidado la noción de variable ni se han
explorado las distintas caracterizaciones del uso de la variable lo cual podría tornarse en un
obstáculo que bloquea el aprendizaje de la matemática ya que la comprensión del concepto
de variable proporciona la base para la transición de la aritmética al álgebra y es necesario
para el uso significativo de toda la matemática avanzada.
Dificultades analíticas asociadas a los procesos algebraicos
Como mencionamos en §4.4.2, la tendencia exige una visualización de tipo numérico de
los procesos infinitos de aproximación como un todo, aspecto en el cual los estudiantes
evidenciaron significativas y preocupantes dificultades. De esta subcategoría quedó
explícita la dificultad que los estudiantes tienen para comprender el infinito actual pues sus
razonamientos se desarrollaron, mayoritariamente, a la luz del infinito potencial. De la
misma manera que observamos dificultades para:
Analiza los procesos infinitos que subyacen en las notaciones decimales (descriptor
a priori).
Identificar en qué se parecen y en qué se diferencian los términos una sucesión.
Encontrar la expresión de una sucesión a partir de sus términos.
Emplear métodos numéricos y analíticos para analizar la convergencia de una serie.
Reconocer características de los procesos infinitos utilizando diversas
representaciones: gráficas, tablas o explicaciones verbales.
En general los estudiantes usaron pocos argumentos matemáticos formales para responder
a las preguntas, y un menor número de estudiantes recurrieron a los conceptos de límite,
sucesiones o series. Generalmente necesitaron un cambio de representación, la mayoría de
las veces el dibujo de la situación descrita en el problema.
Con relación a los procesos algebraicos los documentos oficiales del país siguieren que
cuando los estudiantes culminan sus estudios de educación básica primaria, deben estar en
capacidad de:
Reconocer y generar equivalencias entre expresiones numéricas.
Construir secuencias numéricas y geométricas utilizando propiedades de los
números y de las figuras geométricas.
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
163
Un hecho importante que queda del análisis es la emergente necesidad de ofrecer a los
estudiantes discusiones acerca del infinito que les permita avanzar en la construcción del
infinito matemático ya que en la universidad se asume que el infinito potencial ha perdido
fuerza en los razonamientos matemáticos de los estudiantes de nuevo ingreso. También se
refuerza la necesidad de tomar siempre en cuenta los obstáculos epistemológicos y
didácticos de los conceptos ya que estos le permitirán al profesor de matemáticas conocer y
comprender las dificultades a las cuales se enfrentan sus estudiantes en el proceso de
aprendizaje del Cálculo. Estas dos ideas nos llevan a considerar la problemática
relacionada con el infinito como una plataforma didáctica que podría permitirle a los
estudiantes construir imágenes mentales correctas del concepto.
Dificultades analíticas asociadas al análisis de funciones
Esta subcategoría emergieron dificultades alrededor del tratamiento de las funciones
específicamente al:
Analizar en representaciones gráficas cartesianas los comportamientos de cambio de
funciones racionales.
Utilizar aproximaciones numéricas o gráficas de la función para deducir
intuitivamente el límite de una función.
Ante estas dificultades es necesario que el estudio de las funciones contemple, desde la
básica primaria, sus diferentes representaciones y las conexiones entre ellas, de manera que
esto propenda por mayores niveles de comprensión de los conceptos que se desprenden de
este objeto matemático que actualmente parecen inalcanzables por nuestros jóvenes en la
educación básica secundaría, media y universitaria, como se ha ratificado este trabajo.
Llamó nuestra atención el escaso tratamiento de los conceptos de límites y derivadas que se
observó en las hojas de procesos, más aún fue significativo el número de estudiantes que en
los problemas de fenómenos variacionales que involucraba estos conceptos no encontramos
estudiantes que los dominaran pero sí muchos jóvenes que escribieron en sus hojas que no
habían visto el tema en el colegio.
Consecuentemente, los hallazgos de dificultades alrededor de la derivada fueron escasos
pues los estudiantes no realizaron procedimientos usando la derivada en los dos problemas
de la prueba diagnóstica donde se empleaba este concepto, por lo que éstas se sintetizan en
que los estudiantes que han recibido alguna enseñanza sobre este objeto matemático, no
desarrollan ni aplican métodos para hallar las derivadas de algunas funciones básicas en
contextos matemáticos y no matemáticos; no emplean la representación geométrica de
derivada de una función para analizar el crecimiento o decrecimiento de una función.
Otra dificultad común que hallamos en el análisis de esta subcategoría fue la inclinación de
los estudiantes a “aritmetizar” y “algebrizar” los conceptos, un fenómeno que fue
generalizado en la mayoría de los problemas de la prueba diagnóstica. Un concepto, como
el del límite o de la derivada, se aritmetiza cuando se reduce a cálculos numéricos; a su vez
que se algebriza cuando el estudiante aplica algoritmos algebraicos sin razonar en la
pertinencia de su aplicación, de manera que lo que expone en la elaboración de
procedimientos son unas cuantas “recetas” que ayudan a obtener una respuesta, por lo
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
164
general, numérica, tarea en la que los estudiantes tampoco mostraron fortalezas. Es posible
que en las clases se dedique atención a los conceptos en los cuales emergieron dificultades,
pero si en las evaluaciones y en las actividades de aula sólo se proponen ejercicios
rutinarios, la formación que propenda por la resolución de problemas que implican
fenómenos variacionales resultará insignificante.
De otra parte, consideramos que esta investigación fue muy rica en tanto que no solo
permitió observar las dificultades alrededor del proceso de elaboración, comparación y
ejecución de procedimientos sino que, adicionalmente, encontramos que los estudiantes
tienen dificultades para seleccionar el sistema matemático (ya sea numérico, algebraico o
analítico) más apropiado para elaborar y ejecutar los procedimientos necesarios para
elaborar y completar la solución de un problema; para contener los aspectos del problema
en la mente mientras que acceden y aplican procedimientos; para emplear la capacidad de
mantener la atención al detalle, para planear una solución, para monitorear el progreso y
verificar los pasos de un procedimiento.
Otras consideraciones y nuevas perspectivas de investigación
Es deber nuestro, como parte de la objetividad que debe caracterizar la investigación,
reconocer que gran parte de nuestro marco teórico es local. No obstante, estamos seguros
de que esta investigación, y los descubrimientos emergentes, servirán de base para analizar
otros contextos ya que la problemática alrededor del Cálculo Diferencial es tanto de
carácter nacional como internacional.
Este trabajo, más que concretar, desde el proceso de elaboración, comparación y ejecución
de procedimientos, las dificultades a las cuales se enfrentan los estudiantes cuando resuelve
problemas que implican fenómenos variacionales, es una invitación para que la comunidad
de educación matemática centre esfuerzos en indagar con mayor profundidad en la
Didáctica del Cálculo Diferencial desde la resolución de problemas ya que, aunque
nosotros aunamos esfuerzos por rescatar los hallazgos importantes sobre dificultades
alrededor de números reales, variables, funciones, infinito, tendencia, convergencia y
aproximación, sabemos que dejamos abierta la puerta para estudiar con más fineza cada
objeto matemático11.
El proceso desde cual estudiamos las dificultades alrededor del Cálculo Diferencial de
estudiantes de nuevo ingreso a la universidad amplió nuestra propia visión y comprensión
del mismo: aunque es importante que los estudiantes sepan cómo ejecutar procedimientos
matemáticos de forma fiable y eficiente, un conocimiento de los procedimientos implica
mucho más que simple ejecución, aspecto que resultó determinante para 113 estudiantes
quienes aplicaron a la prueba diagnóstica del curso de precálculo.
El análisis de las soluciones de la prueba diagnóstica evidenció que los estudiantes
responden a los problemas planteados en función de las ideas previas, percepciones y
experiencias que han aprendido a lo largo de su formación escolar. Establecer conexiones
11 Estamos a la expectativa por conocer resultados de investigaciones relacionadas con los demás procesos
matemáticos (comunicación, representación y demostración) referentes a los fenómenos de variación, tanto de
los estudios realizados al interior de nuestro grupo de investigación (EDUMAT-UIS) como en otros contextos
o comunidades de investigación.
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
165
entre las experiencias antiguas y las nuevas no fue una destreza que destacara en la
resolución de problemas, muy posiblemente por la significativa tendencia de los profesores
a trabajar con problemas rutinarios y descontextualizados.
Una evidencia de ello es que los problemas en los cuales los estudiantes presentaron más
dificultades fueron: el de la pelota, el cuadrado, la empresa de lácteos, el del folleto y el de
la variación de la temperatura del agua. Mientras que los problemas de la derivada, del
coseno, la velocidad instantánea, la función cúbica y el de la partícula presentaron más
elaboración de procedimientos independientemente de su calidad.
Otra dificultad que emergió del estudio de las hojas de procesos y de la resolución de
problemas fue la dificultad de los estudiantes para analizar e interpretar correctamente el
fenómeno variacional que caracterizaba al problema.
De lo anterior surge una conclusión importante sobre la incidencia de los contextos, los
cuales el MEN considera que tienen que ver con los ambientes que rodean al estudiante y
que le dan sentido a la Matemática que aprende: los contextos en los problemas demandan
conocimientos más allá de los matemáticos y eso suma complejidad a la actividad
matemática que requiere la resolución de problemas. Consideramos este hallazgo muy
interesante para ser analizado a profundidad en próximos estudios.
Otro aspecto importante que tomó fuerza durante el análisis responde a las opciones de
respuesta; para futuras investigaciones consideramos que sería interesante analizar cómo
éstas influyen en los procedimientos realizados por los estudiantes ya que observamos que
las opciones resultaban ser una herramienta de control que validaba el procedimiento
elaborado, lo cual aumentaba la confianza de los estudiantes ignorando la posibilidad de un
razonamiento y, por ende, un procedimiento errado (lo cual está atado, incluso, a las
habilidades de control del proceso ECEP en las cuales nuestros estudiantes evidenciaron
significativas dificultades, en particular para reconocer si un procedimiento es fiable y
eficiente).
El análisis además nos permitió acercarnos a las imágenes mentales que los estudiantes
evocan en la resolución de problemas y que resultan conflictivas en la puesta en marcha
del proceso ECEP ya que son imágenes vagas de conceptos o procedimientos que en algún
momento quedaron de rezago de una etapa de enseñanza que, quizás, favoreció la
construcción de obstáculos didácticos. Incluso, observamos que la estructura cognitiva que
los estudiantes tienen de los conceptos está permeada por las ideas asociadas al mismo y
que las imágenes mentales no son aprovechadas para elaborar nuevos procedimientos.
Los resultados obtenidos en este trabajo sugieren que no es de sorprender el desempeño
bajo de los estudiantes de nuevo ingreso en el curso de Cálculo Diferencial el cual requiere
(y así lo asumen los profesores universitarios) el dominio de las habilidades emergentes del
proceso ECEP asociadas al pensamiento variacional, las cuales vienen a definir la
competencia matemática del estudiante frente a situaciones de variación y cambio. Los
conceptos (o nociones de ellos) y procedimientos que los estudiantes han adquirido en el
colegio requieren fortalecerse para restablecer la conexión entre ellos de manera que se
favorezcan su competencia matemática.
Para ayudar a los estudiantes a desarrollar el proceso ECEP, sería necesario, a la luz de los
resultados de este trabajo, ofrecerles un mayor número de oportunidades para resolver
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
166
problemas no rutinarios que les permita reflexionar sobre sus nociones conceptuales y
socializar las imágenes mentales que construyen en el diario escolar para llevarlos a tomar
conciencia de sus debilidades y fortalezas conceptuales, procedimentales y a fortalecer el
desarrollo de mecanismos internos de control.
De modo que, frente a la enseñanza reducida a las definiciones de los conceptos de
función, límite, y derivada, es imprescindible una ruptura con las formas algebraicas de
tratamiento de estos objetos, para dar lugar a las ideas de cambio y variación. De los
hallazgos de esta investigación (y de otros estudios importantes) es emergente la necesidad
de desarrollar una acción didáctica a partir de la educación básica secundaria y media
vocacional (tanto para profesores como estudiantes) que coadyuve a la formación del
pensamiento variacional desde sus nociones conceptuales (el cambio y la variación).
Finalmente, el estudio del proceso ECEP y su influencia en la resolución de problemas
permitió palpar la conexión entre ambos procesos, resaltando que las dificultades
relacionadas con un cierto concepto (en este caso del Cálculo Diferencial) permitirá
proponer algunas acciones en la universidad para apoyar a los estudiantes en el tratamiento
de las mismas. En este sentido las dificultades estudiadas y reportadas en este trabajo
resultan ser ahora un abanico de oportunidades de intervención. Pensar en cómo
concretar esas acciones y cómo, incluso, llevar estos resultados a la educación básica y
media es ahora una tarea de la comunidad investigadora de la educación matemática y
nuestra.
ANEXOS
Anexo 1. Organización de la educación en Colombia
La educación en Colombia se estructura en tres niveles diferenciados: educación preescolar,
la educación básica (incluye los ciclos primaria y secundaria), la educación media, y la
educación superior; en la Ilustración 129 se puede observar con más detalle dicha
organización. El Ministerio de Educación Nacional asume la responsabilidad de formular y
difundir lineamientos curriculares para guiar el proceso de formulación del Proyecto
Educativo Institucional; de modo que da orientaciones curriculares que se centran en ideas
relacionadas con expectativas de aprendizaje: objetivos (MEN, 1994), logros e indicadores
de logros (MEN,1998b), competencias y estándares (MEN, 2006).
Ilustración 129. Organización de la educación en Colombia Fuente: Adaptación de la investigadora de lo publicado en MEN (2012)
El Instituto Colombiano para la Evaluación de la Educación (ICFES) es una entidad
especializada en ofrecer servicios de evaluación de la educación en todos sus niveles, y en
particular apoya al Ministerio de Educación Nacional en la realización de los Exámenes de
Estado y en adelantar investigaciones sobre los factores que inciden en la calidad educativa,
para ofrecer información pertinente y oportuna para contribuir al mejoramiento de la
calidad de la educación.
A partir de la década de los 90´s, el ICFES ha adelantado una serie de acciones con el fin de
obtener información relacionada con las competencias de los estudiantes. Específicamente,
en el área de matemáticas evaluando a los estudiantes de los grados tercero, quinto, séptimo
y noveno de la educación básica (Prueba Saber) y undécimo en la educación media (Prueba
Saber 11), esta última prueba es requisito de admisión de las universidades públicas
nacionales para ingresar a cualquier programa de pregrado.
Los resultados de estas pruebas y el análisis de los factores que inciden en los mismos
permiten que los establecimientos educativos, las secretarías de educación, el
Ministerio de Educación Nacional y la sociedad en general identifiquen los
conocimientos, habilidades y valores que todos los estudiantes colombianos
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
169
desarrollan durante la trayectoria escolar, independientemente de su procedencia,
condiciones sociales, económicas y culturales y, a partir de las mismas, definan
planes de mejoramiento en sus respectivos ámbitos de actuación (ICFES, 2014).
El ministerio establece las normas técnicas curriculares y pedagógicas para los niveles de la
educación preescolar, básica y media, sin que esto vaya en contra de la autonomía de las
instituciones educativas y de las características regionales. El currículo que se adopte en
cada establecimiento educativo debe tener en cuenta los siguientes tres elementos:
La Ley General de Educación (MEN, 1994) señala los fines de la educación y los
objetivos de cada nivel y ciclo educativo, prescribe la autonomía curricular de los centros
educativos que se responsabilizan de la formulación y registro de un Proyecto Educativo
Institucional (PEI). La intención de superar la enseñanza tradicional que favorece la
trasmisión del conocimiento y la memorización de los contenidos motivó la formulación de
los Lineamientos Curriculares de Matemáticas (MEN, 1998) y de los Estándares
Básicos en Competencias en Matemáticas (MEN, 2006) con el ánimo de dar paso a una
pedagogía que promueva la comprensión de conceptos para usarlos dentro y fuera del
contexto educativo, según las exigencias de cada contexto.
.
Anexo 2. Lineamientos Curriculares de Matemáticas
Empecemos citando la definición que el MEN (2003) da a “lineamientos curriculares”:
Son las orientaciones epistemológicas, pedagógicas y curriculares que define el MEN
con el apoyo de la comunidad académica educativa para apoyar el proceso de
fundamentación y planeación de las áreas obligatorias y fundamentales definidas por
la Ley General de Educación en su artículo 23.
En el documento de los lineamientos se declara además que “el enfoque de estos
lineamientos está orientado a la conceptualización por parte de los estudiantes, a la
comprensión de sus posibilidades y al desarrollo de competencias que les permitan afrontar
los retos actuales como son la complejidad de la vida y del trabajo, el tratamiento de
conflictos, el manejo de la incertidumbre y el tratamiento de la cultura para conseguir una
vida sana” (MEN, 1998b, p. 7). Así, el MEN da orientaciones para la formulación del
currículo de matemáticas e introduce tres ideas claves, todos expuestos en la Ilustración
130Ilustración 12.
Ilustración 130. Elementos directrices del currículo de Matemáticas en Colombia Fuente: Adaptación de la investigadora de lo publicado en MEN (1998)
Los procesos generales que tienen que ver con el aprendizaje matemático y que explicitan
lo que significa ser matemáticamente competente; los conocimientos básicos están
organizados en cinco tipos de pensamiento matemático y el contexto tiene que ver con los
ambientes que rodean al estudiante y que le dan sentido a la Matemática que aprende.
Es así, como enriqueciendo el contexto [el profesor] deberá crear situaciones
problemáticas que permitan al alumno explorar problemas, construir estructuras,
plantear preguntas y reflexionar sobre modelos; estimular representaciones
informales y múltiples y, al mismo tiempo, propiciar gradualmente la adquisición de
niveles superiores de formalización y abstracción; diseñar además situaciones que
generen conflicto cognitivo teniendo en cuenta el diagnóstico de dificultades y los
posibles errores (MEN, 1998, p. 20).
El documento de los lineamientos intenta mostrar que los tres componentes están
relacionados y concretan el espacio para el diseño de situaciones problemáticas. Para
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
171
finalizar, en los lineamientos se habla de los cinco tipos de pensamiento matemático ya
mencionados, sin incluir en ellos el lógico ya que en todos estos cinco tipos es necesario
atender al uso y al desarrollo del pensamiento lógico de los estudiantes y, a su vez, el
progreso en el pensamiento lógico potencia y refina los cinco tipos de pensamiento
matemático (MEN, 2006, p. 58).
Anexo 3. Estándares Básicos en Competencias en Matemáticas
En Colombia, como en Chile y Guatemala, la elaboración de estándares educativos fue
iniciativa del propio Estado, lo cual supuso varios años de trabajo. El proceso fue una
decisión del Ministerio de Educación Nacional en el período 2002-2003, a través del
Instituto Colombiano para la Evaluación de la Educación (ICFES) y la División de
Evaluación y Estándares. Allí también se partió de los Lineamientos Curriculares existentes
desde 1998, organizados no por contenidos temáticos sino por procesos y competencias.
Los estándares fueron definidos como “un criterio claro y público que permite juzgar si un
estudiante, una institución o el sistema educativo en su conjunto cumplen con unas
expectativas comunes de calidad” (MEN, 2006, p. 11). Estos estándares cumplen una
función de guía para diversos instrumentos educativos, como: el currículo, el plan de
estudios, los proyectos y trabajos en aula, la producción de textos y materiales escolares, las
evaluaciones y la capacitación docente. Además, resultan ser un referente para evaluar los
niveles de desarrollo de las competencias que van alcanzando los estudiantes en el
transcurrir de su vida escolar aunque el MEN (2012) aclara que un estándar no es un
objetivo, una meta o un propósito sino que éste específica lo mínimo que el estudiante debe
saber y ser capaz de hacer para el ejercicio de la ciudadanía, el trabajo y la realización
persona
Los estándares señalan que cada estudiante, al terminar su formación matemática, debe “ser
matemáticamente competente” lo cual no es definido explícitamente pero para aproximarse
a una interpretación enriquecida de esta expresión se dice que está estrechamente ligada
tanto al hacer como al comprender; es decir, la competencia está relacionada con el saber
qué, el saber qué hacer y el saber cómo, cuándo y por qué hacerlo por lo que el ser
matemáticamente competente (MEN, 2006, p. 56):
Requiere ser diestro, eficaz y eficiente en el desarrollo de cada uno de los procesos
generales, en los cuales cada estudiante va pasando por distintos niveles de
competencia en su trayectoria escolar.
Se concreta de manera específica en el pensamiento lógico y el pensamiento
matemático el cual también es contemplado en los cinco tipos de pensamiento
propuestos en los lineamientos.
Los estándares contemplados para el pensamiento variacional en décimo y undécimo grado
en relación a las competencias matemáticas que se espera habrán de desarrollar los
estudiantes al culminar su colegiatura son:
1. Utilizo las técnicas de aproximación en procesos infinitos numéricos;
2. Interpreto la noción de derivada como razón de cambio y como valor de la
pendiente de la tangente a una curva y desarrollo métodos para hallar las derivadas de
algunas funciones básicas en contextos;
3. Analizo las relaciones y propiedades entre las expresiones algebraicas y las gráficas
de funciones polinómicas y racionales y de sus derivadas;
4. Modelo situaciones de variación periódica con funciones trigonométricas e
interpreto y utilizo sus derivadas.
Las directrices de los estándares y de los lineamientos suponen la calidad en la formación
matemática de los estudiantes del país; no obstante, las tasas de deserción universitaria y
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
173
los estudios de la UIS alrededor de esta problemática muestran la disonancia que existe
entre la realidad académica y las expectativas del MEN lo cual, consideramos, señala la
pertinencia de esta investigación para el contexto universitario y nos lleva (tras múltiples
reflexiones) a aproximarnos a las dificultades del pensamiento variacional desde lo
procedimental, en particular, desde la acción escrita que ejecuta el estudiante en la
resolución de problemas de fenómenos variacionales.
A continuación señalaremos cómo es entendido cada uno de los pensamientos desde los
lineamientos y los estándares colombianos precisando que no se presenta una definición
como tal de cada uno.
PENSAMIENTO NUMÉRICO (MEN, 1998)
“…el pensamiento numérico se refiere a la comprensión en general que tiene una
persona sobre los números y las operaciones junto con la habilidad y la inclinación a
usar esta comprensión en formas flexibles para hacer juicios matemáticos y para
desarrollar estrategias útiles al manejar números y operaciones”.
PENSAMIENTO ESPACIAL (MEN, 2006, p. 61)
Entendido como “… el conjunto de los procesos cognitivos mediante los cuales se
construyen y se manipulan las representaciones mentales de los objetos del espacio,
las relaciones entre ellos, sus transformaciones, y sus diversas traducciones o
representaciones materiales” contempla las actuaciones del sujeto en todas sus
dimensiones y relaciones espaciales para interactuar de diversas maneras con los
objetos situados en el espacio, desarrollar variadas representaciones y, a través de la
coordinación entre ellas, hacer acercamientos conceptuales que favorezcan la
creación y manipulación de nuevas representaciones mentales.
PENSAMIENTO MÉTRICO (MEN, 2006, p. 63)
Los conceptos y procedimientos propios de este pensamiento hacen referencia a la
comprensión general que tiene una persona sobre las magnitudes y las cantidades, su
medición y el uso flexible de los sistemas métricos o de medidas en diferentes
situaciones.
PENSAMIENTO ALEATORIO (MEN, 2006, p. 64-65)
Este tipo de pensamiento, llamado también probabilístico o estocástico, ayuda a
tomar decisiones en situaciones de incertidumbre, de azar, de riesgo o de ambigüedad
por falta de información confiable, en las que no es posible predecir con seguridad lo
que va a pasar. El pensamiento aleatorio se apoya directamente en conceptos y
procedimientos de la teoría de probabilidades y de la estadística inferencial, e
indirectamente en la estadística descriptiva y en la combinatoria. Ayuda a buscar
soluciones razonables a problemas en los que no hay una solución clara y segura,
abordándolos con un espíritu de exploración y de investigación mediante la
construcción de modelos de fenómenos físicos, sociales o de juegos de azar y la
ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:
UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN
174
utilización de estrategias como la exploración de sistemas de datos, la simulación de
experimentos y la realización de conteos.
PENSAMIENTO VARIACIONAL (MEN, 2006, p. 66)
Este tipo de pensamiento tiene que ver con el reconocimiento, la percepción, la
identificación y la caracterización de la variación y el cambio en diferentes contextos,
así como con su descripción, modelación y representación en distintos sistemas o
registros simbólicos, ya sean verbales, icónicos, gráficos o algebraico.
Anexo 4. Conjuntos de grado para los Estándares
Los Estándares Básicos en Competencias en Matemáticas son instaurados por grados de
acuerdo con conocimientos verticales que dan cuenta la relación de un estándar con los
demás estándares del mismo pensamiento en los otros conjuntos de grados; además se teje
una coherencia horizontal del currículo que comprende la relación que tiene un estándar
determinado con los estándares de los demás pensamientos dentro del mismo conjunto de
grados. La Ilustración 131 que sigue nos ayuda a comprender lo anterior.
Ilustración 131. Estructura de los Estándares Básicos en Competencias en Matemáticas
Fuente: Adaptación de la investigadora de lo publicado en MEN (2006, pp. 80-89).
Anexo 5. Estándares asociados a los ejes temáticos de Seduca (2005)
EJE
CONCEPTUAL 1º a 3º 4º a 5º 6º a 7º 8º a 9º 10º a 11º
PA
TR
ON
ES
Y
RE
GU
LA
RID
AD
ES
Reconocer y describir
regularidades y patrones
en distintos contextos
(numérico, geométrico,
musical, entre otros).
Describir cualitativamente
situaciones de cambio y
variación utilizando
el lenguaje natural,
dibujos y gráfica
Describir e interpretar
variaciones
representadas
en gráfico.
Predecir patrones de
variación en una
secuencia numérica,
geométrica o gráfica.
Describir y representar
situaciones de
variación
relacionando
diferentes
representaciones
(diagramas,
expresiones
verbales generalizadas
y tablas).
Analizar los procesos
infinitos que
subyacen en las
notaciones
decimales.
PR
OC
ES
OS
AL
GE
BR
AIC
OS
Reconocer y generar
equivalencias entre
expresiones numéricas.
Construir secuencias
numéricas y
geométricas utilizando
propiedades de los
números y de las figuras
geométricas.
Construir ecuaciones
e inecuaciones
aritméticas como
representación
de las relaciones
entre datos numéricos.
Utilizar métodos
informales
(ensayo – error,
complementación) en
la solución de
ecuaciones.
Construir expresiones
algebraicas
equivalentes
a una expresión
algebraica dada.
Usar procesos
inductivos
y lenguaje algebraico
para verificar
conjeturas.
Identificar diferentes
métodos para
solucionar sistemas
de ecuaciones
lineales.
Identificar relaciones
entre propiedades de
las gráficas y
propiedades
de las ecuaciones
algebraicas.
Utilizar las técnicas
de aproximación en
procesos infinitos
numéricos.
Analizar las
relaciones
y propiedades entre
las expresiones
algebraicas y las
gráficas
de funciones
polinómicas y
racionales.
FU
NC
ION
ES
Analizar y explicar
relaciones
de dependencia
en situaciones
económicas,
sociales y de
las ciencias naturales.
Representar y
relacionar
patrones numéricos
con tablas y reglas
verbales.
Reconocer el conjunto
de valores de una
variable en situaciones
concretas de cambio
(variación).
Analizar las
propiedades
de variación lineal
e inversa en contextos
aritméticos y
geométricos.
Identificar las
características
de las diversas
gráficas cartesianas
(de puntos, continuas,
formadas por
segmentos,
etc) en relación
con la situación
que representan.
Modelar situaciones
de variación con
funciones
polinómicas.
Interpretar la relación
entre el parámetro de
funciones con la
familia de funciones
que genera.
Interpretar los
diferentes
significados de la
pendiente en
situaciones de
variación.
Analizar en
representaciones
gráficas
cartesianas los
comportamientos
de cambio de
funciones
polinómicas,
racionales y
exponenciales.
Interpretar la noción
de derivada como
razón de cambio
instantánea en
contextos
matemáticos y no
matemáticos.
Modelar situaciones
de variación
periódica con
funciones
trigonométricas
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