Indice Basado en Potencia para la Comparaci on de Robots

Indice Basado en Potencia para la

Comparacion de Robots Paralelos

Juan David Lopez Gutierrez

Universidad de los Andes

Departamento de Ingenierıa Mecanica

Bogota, Colombia

2014

Indice Basado en Potencia para la

Comparacion de Robots Paralelos

Juan David Lopez Gutierrez

Trabajo de grado presentado como requisito parcial para optar al tıtulo de:

Magister en Ingenierıa Mecanica

Director:

Carlos Francisco Rodrıguez Herrera, PhD

Lınea de Investigacion:

Dinamica de Robots

Grupo de Investigacion:

Grupo de investigacion en automatizacion para la produccion (GIAP)

Universidad de los Andes

Departamento de Ingenierıa Mecanica

Bogota, Colombia

2014

Don’t only practice your art, but force your

way into its secrets; art deserves that, for it and

knowledge can raise man to the Divine.

Ludwig van Beethoven

Agradecimientos

A mis papas y mi hermano por su apoyo incondicional.

A Carlos Francisco y a Luis, por su apoyo y consejos dentro y fuera de la universidad.

A Ana por estar siempre pendiente de mı.

A Logrit.

v

ResumenUn nuevo ındice de desempeno basado en potencia es presentado, para ser utilizado en una

metodologıa de comparacion de robots paralelos. Este ındice cuantifica que tanto de la poten-

cia que se le introduce a un mecanismo se convierte en movimiento. Generalmente, numero

de condicionamiento de la matriz Jacobiana y los elipsoides de manipulabilidad son utiliza-

dos como ındices para cuantificar la relacion de fuerza o velocidad entre el efector final y

las uniones en donde se aplica la fuerza generalizada de entrada. Sin embargo estos ındices

son sensible a las dimensiones de la entrada y la salida, ya que estan basados en la matriz

Jacobiana, por lo que no puede ser utilizado para la comparacion de diferentes tipos de es-

tructuras. Para para superar el inconveniente de la incompatibilidad dimensional se plantea

el concepto de potencia reactiva para poder cuantificar las perdidas que se presentan en un

robot y, con base en este concepto, se define el Indice de Potencia Reactiva (IPR). El ındice

propuesto es utilizado como funcion objetivo en la diseno de una estructura paralela para

una aplicacion dada. Los resultados obtenidos muestran que el ındice propuesto permite la

optimizacion de diferentes tipos de estructuras paralelas, al igual que su comparacion, lo-

grando ası, la seleccion de la mejor estructura para la aplicacion propuesta.

Palabras clave: Robots Paralelos, Cinematica de Robots, Dinamica de Robots, Indices

de Desempeno Cinetoestaticos, Indices de Desempeno Dinamicos, Diseno de Robots.

AbstractA new performance index based on power is presented, to be used in a methodology for the

comparison of parallel robots. This index quantifies how much of the power that is introdu-

ced to manipulator is transformed into motion. Generally, the conditioning number of the

Jacobian matrix and the manipulability ellipsoids are used as indices to quantify the force or

speed relationship between the end effector and the input joints. However, these indices are

sensitive to the dimensions of the input and the output, since they are based on the Jacobian

matrix, therefore can not be used for the comparison of different types of structures. In order

to overcome the drawback of the dimensional incompatibility the concept of reactive power

is presented to quantify the losses that occur in a robot and, based on this concept, the Reac-

teve Power Index is presented (IPR) is defined. The proposed index is used as a objective

function in the design of a parallel structure for a given application. The results show that

the proposed index allows the optimization of different types of parallel structures, as well

as their comparison, achieving the selection of the best structure for the proposed application.

Keywords: Parallel Manipulators, Robot Kinematics, Robot Dynamics, Kinetostatic

Performance Indices, Dynamic Performance Indices, Robot Design.

Contenido

Agradecimientos IV

Resumen V

Contenido VII

Lista de Figuras IX

Lista de Tablas X

Lista de Sımbolos XI

1. INTRODUCCION 1

2. POTENCIA REACTIVA 4

2.1. Potencia Activa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1.1. Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1.2. Fuerzas activas generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.3. Potencia activa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2. Potencia Reactiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3. INDICE DE POTENCIA REACTIVA PARA MECANISMOS SIMPLES 8

3.1. Indice de Potencia Reactiva para Mecanismos Simples (IPRMS) . . . . . . . 8

3.2. Aplicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.2.1. Entrada lineal / Salida lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.2.2. Entrada rotacional / Salida lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.3. Fuerza Interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.3.1. Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.3.2. Aplicacion: Mecanismo 5 Barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4. INDICE DE POTENCIA REACTIVA GLOBAL 24

4.1. Indice de Potencia Reactiva Global (IPRG) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.2. Aplicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.2.1. Plataforma 3RPS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.2.2. Plataforma 3RRS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Contenido vii

4.3. Discusion de resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5. CASO DE ESTUDIO 32

5.1. Sıntesis Estructural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.1.1. Analisis Cinematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.1.2. Analisis Dinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.2. Sıntesis Dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.3. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6. CONCLUSIONES 44

BIBLIOGRAFIA 45

Lista de Figuras

1-1. Esquema actual de diseno de robots paralelos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1-2. Esquema propuesto para el diseno de robos paralelos. [21] . . . . . . . . . . . 2

3-1. Mecanismo Empujador Lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3-2. Representacion grafica de la velocidad del mecanismo Empujador Lineal y las

fuerzas que actuan sobre su efector final. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3-3. IPRMS y VM para el mecanismo Empujador Lineal. . . . . . . . . . . . . 11

3-4. Mecanismo Exprimidor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3-5. Representacion grafica de la velocidad del mecanismo Exprimidor y las fuerzas

que actuan sobre su efector final. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3-6. IPRMS y VM para el mecanismo Exprimidor. . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3-7. Mecanismo Biela-Manivela. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3-8. Representacion grafica de la velocidad del mecanismo Biela-Manivela y las

fuerzas que actuan sobre su efector final. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3-9. VM y IPRMS para el mecanismo Biela-Manivela. . . . . . . . . . . . . . . 16

3-10.Mecanismo de retorno rapido de Whitworth. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3-11.Representacion grafica de la velocidad del mecanismo de retorno rapido de

Whitworth y las fuerzas que actuan sobre su efector final. . . . . . . . . . . . 17

3-12.VM y IPRMS para el mecanismo de retorno rapido de Whitworth. . . . . . 18

3-13.Esquemas de una mano robotica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3-14.Mecanismo de 5 Barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3-15.Caracterısticas de mecanismo de 5 Barras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3-16.Velocidad y fuerza generalizada de los actuadores del mecanismo de 5 barras. 22

3-17.Fuerza interna y fuerza reactiva del mecanismo de 5 barras. . . . . . . . . . . 23

3-18.Indice de Potencia Reactiva para cada cadena cinematica del mecanismo de

5 barras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4-1. Trayectoria del efector final. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4-2. Plataforma 3RPS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4-3. IPRG1 y IPRG2 para la plataforma 3RPS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4-4. Numero de condicionamiento y manipulabilidad para la plataforma 3RPS. . 28

4-5. Plataforma 3RRS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4-6. IPRG1 e IPRG2 para la plataforma 3RRS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Lista de Figuras ix

4-7. Numero de condicionamiento y manipulabilidad para la plataforma 3RRS. . 30

5-1. Sıntesis estructural para el casi de estudio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5-2. Cadena cinematica de la plataforma 3RRS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5-3. Esquema general del modelo de SimMechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5-4. Esquemas de las cadenas cinematicas de los diferentes robots paralelos. . . . 38

5-5. Velocidad de los actuadores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5-6. Potencia activa de los actuadores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5-7. Velocidad reactiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5-8. Fuerza reactiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5-9. Potencia reactiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5-10.Indices de Potencia Reactiva Global. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5-11.Esquema en SimMechanics del resultado del algoritmo de optimizacion. . . . 43

Lista de Tablas

3-1. Caracterısticas del mecanismo de 5 barras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4-1. Caracterısticas de la plataforma 3RPS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4-2. Caracterısticas de la plataforma 3RRS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5-1. Caracterısticas del algoritmo genetico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5-2. Resumen de la sıntesis dimensional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5-3. Caracterısticas geometricas de la sıntesis del robot 3RPS. . . . . . . . . . . . 42

5-4. Caracterısticas geometricas de la sıntesis del robot 3RRS. . . . . . . . . . . . 43

Lista de sımbolos

En esta seccion se incluyen los sımbolos generales (con letras latinas y griegas) y abreviaturas

utilizadas a lo largo de este documento.

Sımbolos con letras latinas

Sımbolo Termino

di Longitud de la i-esima cadena cinematica de la plataforma 3RPS.

fi i-esima fuerza de contacto.

f Fuerza Reactiva.

g Aceleracion debido a la gravedad.

I Tensor de inercia del efector final.

J Matriz jacobiana.

J(x) Funcion objetivo del algoritmo de optimizacion.

l1i Longitud del cuerpo 1 de la i-esima cadena cinematica de la plataforma 3RRS.

l2i Longitud del cuerpo 2 de la i-esima cadena cinematica de la plataforma 3RRS.

m Masa del efector final.

N Marco de referencia inercial.

P Potencia activa.

P Potencia Reactiva.

qi i-esima coordenada generalizada.

R Fuerzas que actuan sobre un punto P.

ARB Matriz de rotacion del marco B al marco A.

S Sistema simple no holonomico.

ui i-esima velocidad generalizada.

vP Velocidad lineal del punto P.

vi i-esima velocidad parcial-

xii Lista de Tablas

Sımbolo Termino

x Variable de diseno del algoritmo de optimizacion.

Sımbolos con letras griegas

Sımbolo Termino

α Angulo de entrada de una cadena cinematica.

γ Indice de Potencia Reactiva para Mecanismos Simples.

Γ1 Indice de Potencia Reactiva Global 1.

Γ2 Indice de Potencia Reactiva Global 2.

κ Numero de condicionamiento de la matriz Jacobiana.

τ Fuerza generalizada.

$ Manipulabilidad.

ϕd Trayectoria de prueba deseada.

ωi i-esima velocidad angular parcial.

ω Velocidad angular del cuerpo B con respecto al cuerpo A,

Abreviaturas

Abreviatura Termino

3RPS 3 cadenas cinematicas con uniones Rotacional, Prismatica actuada y Esferica, cada una.

3RRS 3 cadenas cinematicas con uniones Rotacional actuada, Rotacional y Esferica, cada una.

GDL Grado de Libertad.

IPRMS Indice de Potencia Reactiva para Mecanismos Simples.

IPRG Indice de Potencia Reactiva Global.

VM Ventaja Mecanica.

1 INTRODUCCION

El diseno de robots o manipuladores paralelos es un campo de estudio que ha aumentado

debido a las ventajas que estos poseen con respecto a los robots seriales o antropomorficos,

ya que al repartir la carga util entre las varias cadenas cinematicas cerradas que componen

los brazos se obtiene un sistema mas ligero y con menor inercia, lo cual permite disminuir la

potencia de los actuadores y lograr un control mas preciso. Autores como Merlet [17] y Gogu

[8] plantean que el diseno conceptual de un robot paralelo puede dividirse en dos etapas: la

primera es la sıntesis estructural, que consiste en determinar el arreglo de los componentes

y el tipo de union entre ellos. La segunda es la sıntesis dimensional, en esta se determinan

las longitudes de los componentes y su ubicacion en el espacio.

Se han adelantado estudios sobre la sıntesis estructural de robots paralelos y, como se men-

ciono anteriormente, en la mayorıa de trabajos la seleccion de la mejor estructura se hace

con base en la experiencia o en la combinacion de uniones que permitan los mismos grados

de libertad (de ahora en adelante llamado GDL) de robots paralelos comunes, por ejemplo

la plataforma de 6 GDL Stewart-Gough y el Robot Delta de 3 GDL [7]. Solo muy pocos

trabajos hacen un estudio sistematico para poder seleccionar la estructura del robot paralelo

que mejor se ajuste a los requerimientos del problema. Ejemplos de estudios sistematicos son

el de Gogu [8], [9], en donde plantea un algoritmo basado en transformaciones lineales para

generar estructuras con diferentes uniones pero que posean la misa conectividad, movilidad

y redundancia. Tambien se destaca el trabajo realizado por Alejandro Villaveces [21] en la

Universidad de los Andes, donde evalua ındices de desempeno para seleccionar la estructura

que mejor se ajuste para el desarrollo de un simulador de una embarcacion.

Por otro lado, la sıntesis dimensional se realiza mediante la evaluacion de ındices de desem-

peno, en donde los mas utilizados son aquellos que se basan en la matriz Jacobiana, como por

ejemplo el numero de condicionamiento de la matriz Jacobiana [8], [9], [20] que representa

la calidad de transmision de fuerza y velocidad para una posicion del robot paralelo y el

elipsoide de manipulabilidad [17], el cual ilustra la tendencia de movimiento del efector final

sobre su eje de coordenadas dadas una entrada unitaria en las uniones actuadas.

La metodologıa de diseno de robots paralelos utilizada actualmente se muestra en la Figu-

ra 1-1, en donde se selecciona una estructura con base en la experiencia y esta es optimizada

para que maximice uno o algunos ındices de desempeno, como ya se menciono anteriormen-

te. La razon para no hacer un estudio sistematico para la seleccion de las estructuras de los

robots paralelos radica en que los ındices mencionados anteriormente, junto con otros que

tambien estan basados en la matriz Jacobiana, no pueden ser comparables ya que al calcu-

2 1 INTRODUCCION

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�� Figura 1-1: Esquema actual de diseno de robots paralelos.

lar auto vectores, auto valores o determinantes, el resultado sera una mezcla de unidades

lineales y rotacionales, que fısicamente es inconsistente y no representa comparativamente

el comportamiento de los manipuladores. Adicionalmente, para manipuladores en donde la

matriz Jacobiana no es cuadrada, algunos ındices no son viables dimensionalmente. Es por

esta razon

Por los inconvenientes que se generan al utilizar los ındices basados en la matriz Jacobiana se

han planteado ındices que pueden relacionar tanto las uniones prismaticas como las uniones

rotacionales, estos ındices estan basados en la potencia. Por ejemplo Wang [22] plantea un

ındice que relaciona la potencia que entrega cada pata con la potencia final que recibe el

efector final para poder hacer una evaluacion de la transmisibilidad de movimiento y de

fuerza en el manipulador. Se destaca el trabajo de Alejandro Villaveces [21], en donde se

plantea una metodologıa para el diseno de robots paralelos mostrada en la Figura 1-2. La

metodologıa plantea tres diferentes etapas, realizadas secuencialmente:

1. Sıntesis Estructural: Generacion de diferentes estructuras para una aplicacion dada.

2. Sıntesis Dimensional: Optimizacion de las diferentes estructuras planteadas para

encontrar las longitudes caracterısticas que minimicen el ındice de desempeno.

3. Evaluacion de Desempeno: Seleccion de la estructura con mejor ındice de desem-

peno.

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Figura 1-2: Esquema propuesto para el diseno de robos paralelos. [21]

Sin embargo, estos nuevos ındices se basan en la potencia luego solo tienen en cuenta la

fuerza o momento que genera movimiento en el efector final del manipulador [10], [6], es

por esto que se busca plantear un ındice que no solo relacione las fuerzas activas sino que

tambien tenga en cuenta las fuerzas que no generan movimiento.

3

Ya se han venido haciendo estudios con respecto a este tema y se han propuesto sımiles

con la potencia electrica reactiva [15], [5] sin embargo en este trabajo se pretende realizar

un acercamiento desde el punto de vista dinamico, partiendo de la formulacion dinamica de

Kane y las fuerzas no contributivas [10] y el concepto de fuerza interna utilizado para el

control de fuerza de robots cooperativos para el movimiento de objetos [19], [18], [4]. Este

trabajo presenta una metodologıa de comparacion de robots paralelos basada en un ındice

de potencia reactiva. Para esto, se define la potencia reactiva, como una forma de cuantificar

las perdidas que se producen en un mecanismo y, seguidamente, se plantea el ındice de

desempeno (IPRMS) relacionando la potencia reactiva con la potencia activa de mecanismos

planares de 1 GDL y comparandolo con la ventaja mecanica. Posteriormente se introduce el

concepto de fuerza interna para validar los resultados obtenidos con el ındice propuesto y a

continuacion se plantea el ındice de desempeno global (IPRG) para robots paralelos, el cual

es comparado con la el numero de condicionamiento de la matriz Jacobiana. Por ultimo, se

presenta un caso de estudio en donde se ejemplifica la utilizacion del ındice propuesto dentro

de la metodologıa planteada para la seleccion del mejor robot paralelo para una aplicacion

dada.

2 POTENCIA REACTIVA

En esta seccion se plantea el concepto de Potencia Reactiva a partir de las ecuaciones de

movimiento de Kane [10], este concepto cuantifica la cantidad de perdidas que se presentan

en un mecanismo expresadas en potencia. En primer lugar se define la Potencia Activa como

la proyeccion de las fuerzas generalizadas sobre la velocidad lineal o velocidad rotacional, y

luego, con los conceptos planteados por Kane, se introduce la velocidad reactiva y la fuerza

reactiva.

2.1. Potencia Activa

Si se tiene un sistema simple no holonomico S el cual tiene n grados de libertad en un

marco de referencia inercial N , el movimiento de cualquier punto y cuerpo que pertenezca

a S se puede expresar utilizan dos diferentes tipos de cantidades escalares. El primer tipo

son las coordenadas generalizadas (qi, . . . , qn), las cuales son el mınimo numero de escalares

necesarios para expresar el movimiento de todo el sistema S. El segundo tipo de cantidades

escalares son las rapideces generalizadas, las cuales, si se escogen adecuadamente, pueden

hacer que las velocidades lineales de puntos del sistema S o velocidades angulares de cuerpos

rıgidos de S puedan ser expresadas de formas que resultan ventajosas al momento de plantear

las ecuaciones de movimiento. Estas cantidades estan definidas de la siguiente manera:

ur ,n∑i=i

Yriqi + Zr r = 1, . . . , n (2-1)

En donde Yri y Zr son funciones de q1, . . . , qn y el tiempo.

2.1.1. Velocidad

Teniendo las rapideces generalizadas del sistema, la velocidad angular, ω, en N de un cuerpo

rıgido B que pertenece a S y la velocidad lineal, v, en N de un punto P de S se pueden

expresar como:

2.1 Potencia Activa 5

ωB =n∑i=i

ωiui + ωt (2-2)

vP =n∑i=i

viui + vt (2-3)

Donde ωi, vi para (i = 1, . . . , n), ωi y vi son funciones de las coordenadas generalizadas y

del tiempo. El vector ωi se denomina i-esima velocidad angular parcial de B en N y vi se

denomina i-esima velocidad parcial de P en N . Estos vectores muestran el cambio de la velo-

cidad del punto P y la velocidad angular de B respecto a un cambio en qi, respectivamente,

luego estos vectores van en la direccion de movimiento del punto P y del cuerpo B.

2.1.2. Fuerzas activas generalizadas

El vector resultante de todas las fuerzas que actuan sobre un punto Pi de un cuerpo S

esta definido por:

R ,n∑

i=1

fi (2-4)

En donde fi corresponde a las fuerzas de contacto (por ejemplo, las fuerzas de friccion) y

a las fuerzas de desplazamiento (por ejemplo, fuerzas gravitacionales, fuerzas magneticas,

y ası sucesivamente). De todas estas fuerzas que actuan sobre Pi, solo unas contribuyen al

movimiento, estas son llamadas fuerzas activas generalizadas y se definen como:

Fr ,n∑

i=1

vPir ·Ri r = 1, . . . , n (2-5)

Se puede observar que de todas las fuerzas R, solo aquellas que estan proyectadas sobre el

vector que determina el movimiento del cuerpo (velocidad parcial), producen movimiento.

2.1.3. Potencia activa

La potencia es la razon con la que cambia la energıa de un sistema en el tiempo, suponiendo

que todos los elementos son rıgidos y que las fuerzas inerciales son significativamente mas

grandes que las fuerzas debido a los pesos de los elementos, la potencia del sistema esta dada

por:

P = τ · v (2-6)

6 2 POTENCIA REACTIVA

2.2. Potencia Reactiva

Ası como de todo el conjunto de fuerzas que actuan sobre un sistema S hay unas que contribu-

yen al movimiento, hay otras que no tienen contribucion en las fuerzas activas generalizadas

Fr. (de hecho, es por esto razon que estas ultimas son llamadas activas). Por ejemplo las

fuerzas de contacto que son ejercidas por una superficie a las partıculas del cuerpo S no

contribuyen a Fr. Como se desea conocer el efecto de las fuerzas no contributivas, Kane [10]

plantea una forma de poner en evidencia el efecto de estas dentro de la formulacion dinamica

y es introducir una velocidad generalizada relacionada a esta fuerza en particular. Al intro-

ducir esta velocidad generalizada se esta permitiendo que se cree una velocidad parcial para

el punto donde se esta aplicando la fuerza no contributiva, esto quiere decir que el producto

de la ecuacion (2-5) no es cero.

Lo que se hace entonces, es permitir que ciertos puntos de S tengan una velocidad lineal

o que cuerpos tengan velocidades angulares que es imposible que tengan. Esto no afecta la

formulacion dinamica ni el resultado final ya que no se estan introduciendo nuevas coor-

denadas generalizadas. Al formar las expresiones de las nuevas velocidades generalizadas y

velocidades parciales, estas quedan expresadas en terminos de las coordenadas generalizadas

del sistema. De esta forma no se permite que el sistema tenga mas grados de libertad de los

posibles. Con base en lo anterior se plantean las siguientes definiciones para poder llegar al

termino de Potencia Reactiva.

Definicion 1 (Velocidad Reactiva, v) Proyeccion de la velocidad relativa del elemento

anterior al eslabon final sobre una recta perpendicular a la velocidad de salida del eslabon

final.

Para poner en evidencia las fuerzas que no contribuyen al movimiento, se introduce una

velocidad parcial que van en la direccion en donde no hay movimiento, es decir perpendicular

a la velocidad de salida del eslabon final. Una vez se tiene esta velocidad, se puede incluir la

fuerza que no contribuye al movimiento por medio de la relacion mostrada en (2-5).

Definicion 2 (Fuerza Reactiva, f) Proyeccion de todas las fuerzas ejercidas por los esla-

bones adyacentes al eslabon final sobre un vector unitario que va en direccion de la Velocidad

Reactiva (Definicion 1).

Por ultimo, se plantea la definicion de Potencia Reactiva, utilizando la misma relacion mos-

trada en (2-6).

Definicion 3 (Potencia Reactiva, P ) Potencia desarrollada en cierto instante de tiem-

po dada la expresion:

P = f · v (2-7)

2.2 Potencia Reactiva 7

Esta definicion de Potencia Reactiva permite cuantificar las fuerzas de reaccion que actuan

sobre el efector final, de una manera tal, que puede ser comparada facilmente y dimensio-

nalmente consistente con otros eslabones sin importar el tipo de movimiento de este ultimo

(Lineal o Rotacional).

3 INDICE DE POTENCIA REACTIVA

PARA MECANISMOS SIMPLES

En esta seccion se plantea el Indice de Potencia Reactiva para Mecanismos Simples (de

ahora en adelante llamado IPRMS) a partir de las definiciones de potencia activa y potencia

reactiva planteadas en la Seccion 2. Se entiende como mecanismo simple un mecanismo

planar de 1 Grado de Libertad, en donde se tiene una entrada y una salida.

3.1. Indice de Potencia Reactiva para Mecanismos

Simples (IPRMS)

Este ındice muestra la relacion que existe entre el eslabon de entrada con el efector final,

relacionando la Potencia Reactiva, que de alguna manera representa las perdidas del me-

canismo, con la Potencia Activa de entrada o que se le suministra a un mecanismo simple

planar que posee una entrada y una salida.

Definicion 4 (Indice de Potencia Reactiva Mecanismos Simples, γ ) IPRMS Razon

entre la Potencia Reactiva de salida del sistema y la Potencia Activa de entrada al sistema.

γ =P

Pin

(3-1)

Un valor de cero de este ındice quiere decir que el sistema no tiene perdidas y que toda la

potencia que se le suministra al mecanismo es transformada en potencia de salida, mientras

que un valor del ındice de uno significa que toda la potencia de entrada se esta convirtiendo

en reaccion y el mecanismo esta en un estado de singularidad.

3.2. Aplicacion

Para verificar la validez del ındice propuesto, IPRSM, se hace el analisis de dos tipos de

mecanismos simples. En primer lugar se analiza tipo de mecanismos, en donde su eslabon de

3.2 Aplicacion 9

entrada y su efector final tienen el mismo tipo de movimiento (lineal/lineal). Seguidamente

se hace el analisis del tipo de mecanismos en donde el eslabon de entrada y el efector final

tienen diferentes tipos de movimiento (rotacional/lineal). El ındice propuesto se compara

con la Ventaja Mecanica para mostrar su validez.

3.2.1. Entrada lineal / Salida lineal

Empujador Lineal

El primer mecanismo a estudiar es el .Empujador Lineal”que se muestra en la Figura 3-1.

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��

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Figura 3-1: Mecanismo Empujador Lineal.

En este mecanismo, el cilindro A esta unido al marco inercial N mediante una union rota-

cional, el vastago B esta unido al cilindro mediante una union prismatica, es en esta union

donde se genera el movimiento de entrada. Por ultimo el eslabon de salida C esta unido al

vastago mediante una union rotacional, el movimiento de este cuerpo esta restringido a solo

un movimiento lineal. En la Figura 3-2 se muestra el polıgono de velocidades del mecanismo

ası como los vectores de fuerza que actuan sobre el efector final.

En la Figura 3-2a se puede observar la direccion de los vectores de velocidad de salida y

velocidad reactiva y en la Figura 3-2a se observan los vectores de fuerza de salida y fuerza

reactiva. Con base en estos vectores se hace el analisis de las magnitudes de las velocidades

del mecanismo, Ecuacion (3-2), y el analisis de las magnitudes de las fuerzas que actuan

sobre el eslabon final, mostrado en la Ecuacion (3-3).

|vB/A| = αl1 (3-2a)

|vout| =|vC/B|sinα

=|vin|sinα

(3-2b)

|v| = |vC/B| cosα = |vin| cosα (3-2c)

10 3 INDICE DE POTENCIA REACTIVA PARA MECANISMOS SIMPLES

��

��

��

(a) Polıgono de velocidad.

��

��

��(b) Fuerzas Actuando sobre el efector final.

Figura 3-2: Representacion grafica de la velocidad del mecanismo Empujador Lineal y las

fuerzas que actuan sobre su efector final.

|Fout| = |Fin| sinα (3-3a)

|f| = |Fin| cosα (3-3b)

Habiendo obtenido las magnitudes v, f y Fout se puede encontrar la Potencia Reactiva.

P = f · v= |Fin| cosα|Vin| cosα

= Pin cos2 α

(3-4)

Ahora se hace la comparacion entre la VM y el IPRMS.

VM =Fout

Fin

=Fin sinα

Fin

= sinα (3-5)

γ =P

Pin

=Pin cos2 α

Pin

= cos2 α (3-6)

De acuerdo a la Figura 3-3 se observa que el IPRMS proporciona la misma informacion

que la VM , ya que en el punto en el que la Ventaja Mecanica es maxima, es decir cuando

se transmite la mayor cantidad de fuerza el efector final, el ındice es mınimo, es decir no se

producen perdidas en el efector final con respecto al eslabon de entrada.

3.2 Aplicacion 11

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

0.2

0.4

0.6

0.8

1

|γ|

α [°]0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

|VM

|

Figura 3-3: IPRMS y VM para el mecanismo Empujador Lineal.

Mecanismo exprimidor

El siguiente mecanismo a estudiar se muestra en la Figura 3-4.

En este mecanismo, el eslabon A esta unido al marco inercial N mediante una union rota-

cional, en este eslabon se aplica la entrada en el punto D. El eslabon B esta unido al eslabon

A mediante una union rotacional. Por ultimo el eslabon de salida C esta unido al eslabon

B mediante una union rotacional, el movimiento de este cuerpo esta restringido a solo un

movimiento lineal. En la Figura 3-5 se muestra el polıgono de velocidades del mecanismo

ası como los vectores de fuerza que actuan sobre el eslabon final.

En la Figura 3-5a se puede observar la direccion de los vectores de velocidad de salida y

velocidad reactiva y en la Figura 3-5a se observan los vectores de fuerza de salida y fuerza

reactiva. Con base en estos vectores se hace el analisis de las magnitudes de las velocidades

del mecanismo (Ecuacion (3-7)) y el analisis de las magnitudes de las fuerzas que actuan

sobre el eslabon final, (Ecuacion (3-8)).

|vB/A| = l1l1 + l2

|vin| = αl1 (3-7a)

|vout| =l1

l1 + l2|vin| cosα (3-7b)

|v| = l1l1 + l2

|vin| sinα (3-7c)


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��

��

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�

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��

Figura 3-4: Mecanismo Exprimidor.

��

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��


��

��

��(b) Fuerzas actuando sobre el efector final.

Figura 3-5: Representacion grafica de la velocidad del mecanismo Exprimidor y las fuerzas

que actuan sobre su efector final.

|Fout| =l1 + l2l1|Fin| cosα (3-8a)

|f| = l1 + l2l1|Fin| sinα (3-8b)

Habiendo obtenido las magnitudes v, f y Fout se puede encontrar la Potencia Reactiva.

P = f · v

= | l1 + l2l1|Fin| sinα

l1l1 + l2

|vin| sinα

= Pin sin2 α

(3-9)

3.2 Aplicacion 13

Ahora se hace la comparacion entre la Ventaja Mecanica y el ındice de Potencia Reactiva.

VM =Fout

Fin

=l1+l2l1|Fin| cosα

Fin

=l1 + l2l1

sinα (3-10)

γ =P

Pin

=Pin sin2 α

Pin

= sin2 α (3-11)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

0.2

0.4

0.6

0.8

1

|γ|

α [°]0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

|VM

|

Figura 3-6: IPRMS y VM para el mecanismo Exprimidor.

Al igual que en el mecanismo analizado anteriormente el ındice de Potencia Reactiva y la

Ventaja Mecanica brindan la misma informacion, como se puede observar en la Figura 3-6.

3.2.2. Entrada rotacional / Salida lineal

Mecanismo Biela Manivela

El tercer mecanismo a estudiar es la ”Biela - Manivela”que se muestra en la Figura 3-7.

En este mecanismo, la manivela A esta unida al marco inercial N mediante una union

rotacional en donde se introduce el movimiento de entrada, la biela B esta unida al cilindro

mediante una union rotacional. Por ultimo el eslabon de salida C esta unido la biela mediante

una union rotacional, el movimiento de este cuerpo esta restringido a solo un movimiento

lineal. En la Figura 3-8 se muestra el polıgono de velocidades del mecanismo ası como los

vectores de fuerza que actuan sobre el eslabon final.


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�, ��

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��

��

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�

�

��

�

Figura 3-7: Mecanismo Biela-Manivela.

Con base en los vectores de la Figura 3-8 se hace el analisis de las magnitudes de las

velocidades del mecanismo, Ecuacion (3-12), y el analisis de las magnitudes de las fuerzas

que actuan sobre el eslabon final, mostrado en la Ecuacion (3-13).

|vB/A| = αl1 (3-12a)

|vout| = |vB/A| cosα +|vB/A|l2

cosα =

(1 +

1

l2

)|vin|l1 cosα (3-12b)

|v| = |vB/A| sinα = |vin|l1 cosα (3-12c)

|Fout| =|τin|l1

cosα (3-13a)

|f| = |τin|l1

sinα (3-13b)

Una vez se obtienen las magnitudes v, f y Fout se puede encontrar la Ventaja Mecanica, la

Potencia Reactiva y con esta el IPRMS.

P = f · v= |Fin| cosα|Vin| cosα

= Pin cos2 α

(3-14)

3.2 Aplicacion 15

��

��

��


��

��

(b) Fuerzas actuando sobre el efector final.

Figura 3-8: Representacion grafica de la velocidad del mecanismo Biela-Manivela y las fuer-

zas que actuan sobre su efector final.

VM =Fout

τin=

|τin|l1

cosα

τin=

cosα

l1(3-15)

γ =P

Pin

=Pin sin2 α

Pin

= sin2 α (3-16)

Como se puede observar en la Figura 3-9, siendo 90◦ el punto en donde el mecanismo esta en

un punto de singularidad, el IPRMS toma un valor de 1 lo que quiere decir que toda la

potencia de entrada es convertida en Potencia Reactiva, es decir en reaccion.

Mecanismo de Retorno Rapido de Whitworth

El ultimo mecanismo que se analiza es el mecanismo de retorno rapido de Whitworth (Figu-

ra 3-10).

En este mecanismo, la manivela A esta unido al marco inercial N mediante una union

rotacional. En esta union se aplica el movimiento de entrada.El deslizador B esta unida a la

manivela mediante una union rotacional y unido al cuerpo C mediante una union prismatica,

en esta articulacion se transforma el movimiento giratorio en movimiento lineal. El cuerpo

C esta unido al marco inercial N por una union rotacional. Por ultimo el eslabon de salida E

esta unido al cuerpo C a traves de un cuerpo intermedio D que transmite el movimiento del

cuerpo C al cuerpo E. En la Figura 3-8 se muestra el polıgono de velocidades del mecanismo

ası como los vectores de fuerza que actuan sobre el eslabon final.

A continuacion se hace el analisis de las magnitudes de los vectores que se muestran en el


0 50 100 150 200 250 300 350 4000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

|γ|

α [°]0 50 100 150 200 250 300 350 400

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

|VM

| [1/

m]

Figura 3-9: VM y IPRMS para el mecanismo Biela-Manivela.

�� , ��

��

��

�

�

�

�

�

�

�

��

�

�

�

Figura 3-10: Mecanismo de retorno rapido de Whitworth.

las Figuras 3-11 (Ecuacion (3-17) y Ecuacion (3-18)).

|vD/C | = αl1l2 + l3l2

cos (α− β) (3-17a)

|vout| = |vD/C | cos β = |vin|l1l2 + l3l2

cos (α− β) cos β (3-17b)

|v| = |vD/C | sin β = |vin|l1l2 + l3l2

cos (α− β) sin β (3-17c)

(3-17d)

3.2 Aplicacion 17

��

��

��


��

��

��


Figura 3-11: Representacion grafica de la velocidad del mecanismo de retorno rapido de

Whitworth y las fuerzas que actuan sobre su efector final.

|Fout| =|τin|l1

l2l2 + l3

cos (α− β) cos β (3-18a)

|f| = |τin|l1

l2l2 + l3

cos (α− β) sin β (3-18b)

Por ultimo se presenta la Potencia Reactiva y el ındice asociado a esta cantidad.

P = f · v

= | |τin|l1

l2l2 + l3

cos (α− β) sin β|vin|l1l2 + l3l2

cos (α− β) sin β

= Pin cos2 (α− β) sin2 β

(3-19)

γ =P

Pin

=Pin sin2 α

Pin

= cos2 (α− β) sin2 β (3-20)

Al igual que el mecanismo de biela manivela, cuando este mecanismo llega a 90◦ y a 270◦, la

manivela no puede transmitir fuerza al mecanismo, lo cual se puede verificar en la Figura 3-

12. En estos puntos el ındice toma un valor de uno, lo que significa que toda la potencia

que se le entrega al mecanismo es transformada en Potencia Virtual, mientras que la ventaja

mecanica tomo un valor de 0, indicando que el mecanismo no puede transmitir nada de

fuerza al efector final.


0 50 100 150 200 250 300 350 4000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

|γ|

α [°]0 50 100 150 200 250 300 350 400

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

|VM

| [1/

m]

Figura 3-12: VM y IPRMS para el mecanismo de retorno rapido de Whitworth.

3.3. Fuerza Interna

Dentro del proceso de validacion del ındice de Potencia Reactiva, se buscaron teorıas alternas

que pudieran calcular las perdidas que se presentan al interior de diferentes mecanismo. La

Fuerza Interna, postulada por Salisbury y Craig [19], [16], es concepto que es utilizado en el

control de multiples dedos roboticos trabajando conjuntamente para el agarre y manipulacion

de un objeto en el espacio, cuando estos no estan rıgidamente anclados al objeto. El objetivo

del control por fuerza interna es generar una fuerza de agarre de tal manera que se garantice

que las fuerzas de contacto, entre los dedos roboticos y el objeto, sean mayores a las fuerzas de

friccion para prevenir el deslizamiento relativo entre estos dos. [18] El esquema de las manos

roboticas, en donde multiples dedos agarran un objeto, es similar al concepto de un robot

paralelo, en donde cadenas cinematicas independientes estan encargadas del movimiento

del efector final, es por esta razon que se propone este analisis, como metodo alterno de

validacion del concepto de Fuerza Reactiva, planteado en la Seccion 2.2.

3.3.1. Definicion

El planteamiento del concepto de fuerza interna esta basado en el esquema mostrado en

la Figura 3-13a, en donde la mano robotica esta compuesta por i dedos, los cuales hacen

contacto con el objeto A en los puntos de contacto Ci.

Se puede modelar la fuerza de contacto, entre la punta de los dedos roboticos y el objeto,

a partir de la formulacion dinamica de la mano, generalmente se utiliza la formulacion del

3.3 Fuerza Interna 19

(a) Esquema.

��

��

��

��


Figura 3-13: Esquemas de una mano robotica.

trabajo virtual en donde se tiene la matriz Jacobiana de la mano, la cual relaciones las

fuerzas generalizadas de enterada con las fuerzas de salida. Estas fuerzas son transmitidas al

objeto generando una fuerza neta aplicada de fneta =[f>1 · · · f>n

]>. La fuerza neta aplicada

al objeto produce una fuerza de salida en el objeto fo, la cual es la que genera el movimiento,

como se puede observar en la Figura 3-13b. Estas dos fuerzas, la fuerza neta de entrada

y la fuerza de salida, estan relacionadas por la matriz de agarre G,como se muestra en la

Ecuacion (3-21).

fo = Gfneta (3-21)

En donde G esta dada por la Ecuacion (3-22):

G =

I3 . . . I3

R1 . . . Rn

(3-22)

y Ri es la matriz que relaciona la sumatoria de fuerzas y la sumatoria de momentos alrededor

del centro del objeto.

Ri = ri× =

0 −riz riy

riz 0 −rix−riy rix 0

(3-23)

De toda la fuerza que es aplicada al efector final, solo una porcion es la que produce movi-

miento, por esta razon la fuerza neta aplicada se puede expresar como:

fo = G (fm + fi) (3-24)


En donde fm es la fuerza que produce movimiento y fi es la Fuerza Interna. Esta fuerza

interna no tiene influencia en la dinamica del efector final, ya estas fuerzas pertenecen al

espacio nulo de la matriz de agarre. Dado que fi ∈ N (G), la fuerza que produce movimiento

y la fuerza interna se presentan en la Ecuacion (3-25).

fm =(G>)−1

fo (3-25a)

fi =(I −G>

(G>)−1)

fo (3-25b)

3.3.2. Aplicacion: Mecanismo 5 Barras

Se analiza el mecanismo de 5 barras como primer sistema para comparar la Fuerza Interna

con la Fuerza Reactiva. El mecanismo, mostrado en la Figura 3-14, esta compuesta por

2 cadenas cinematicas conectadas en el punto P . Cada cadena cinematica cuenta con dos

uniones rotacionales, la primera, una union actuada entre el marco inercial N y l1i, y la

segunda entre el l1i y l2i. El efector final, P , tiene dos GDL, un movimiento lineal sobre el

eje x y un movimiento lineal sobre el eje y.

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�

��, ��

��

��

��

��

��, ��

��

��

��

��

Figura 3-14: Mecanismo de 5 Barras

Para este mecanismo, se plantean las longitudes y propiedades de masa mostradas en la

Tabla 3-1. Este mecanismo se implemento en MATLAB, como se muestra en la Figura 3-

15a. Para la prueba y validacion de fuerza interna se analizo el mecanismo en movimientos

independientes a lo largo de sus coordenadas generalizadas, x y y, como se muestra en la

Figura 3-15b.


Tabla 3-1: Caracterısticas del mecanismo de 5 barras.

a1 1 [m] a2 1 [m]

l11 1 [m] l21 1 [m]

l21 1 [m] l22 1 [m]

hinicial 0,85 [m]

mP 1 [kg]

(a) Esquema del mecanismo de 5 Barras.0 0.5 1 1.5 2

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Time (s)

Pos

ition

(m

)

x y z

(b) Posiciones deseadas del efector final.

Figura 3-15: Caracterısticas de mecanismo de 5 Barras.

Se plantea la suma del lazo vectorial de cada una de las cadenas cinematicas i = {1, 2{, se

puede realizar el la suma del lazo vectorial de la siguiente manera:

OP = OAi + AiBi +BiPAp = Aai + Al1i + Al2i

(3-26)

El eslabon inferior, el eslabon superior de la cadena cinematica y el vector Ap en la Ecua-

cion (3-26) describen un triangulo con los lados conocidos. Utilizando el teorema del seno y

el teorema del coseno se pueden determinar los angulos internos mostrados en la Figura3-14.

βi = arc cos

(|Al1i|2 + |Al2i|2 − |Ap|2

2|Al1i||Al2i|

)(3-27)

αi = arc cos

(|Adi|2 + |Al1i|2 − |Al2i|2

2|Adi||Al1i|

)+

arc cos

(|Aai|2 + |Adi|2 − |Ap|2

2|Aai||Adi|

)


La matriz de agarre del mecanismo de 5 Barras esta dada por la expresion mostrada en la

Ecuacion (3-28)

G =

1 0 0 1 0 0

0 1 0 0 1 0

0 0 1 0 0 1

(3-28)

y las fuerzas que actuan sobre el efector final, estan dadas por fneta =[f1x f1y f2x f2y

]>.

Estas fuerzas son encontradas mediante la formulacion de Newton-Euler, en donde, teniendo

la posicion deseada del efector final, se realiza el calculo de la dinamica inversa para poder

conocer las fuerzas generalizadas de entrada y la fuerza que ejerce cada cadena cinematica

sobre el efector final. Una vez se tiene las fuerzas generalizadas de entrada, se calcula la

fuerza interna de acuerdo a lo mostrado en la Ecuacion (3-25) y la Potencia Reactiva, de

acuerdo a lo presentado en la Definicion 2. Las velocidades y fuerzas generalizadas de los

actuadores, para la trayectoria deseada, se muestran en la Figura

0 0.5 1 1.5 2−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Time (s)

Vel

ocity

(m

/s)

Act1

Act2

(a) Velocidad de los actuadores.

0 0.5 1 1.5 2−80

−60

−40

−20

0

20

40

60

80

Time (s)

Tor

que

(Nm

)

Act1

Act2

(b) Fuerza generalizada de los actuadores.

Figura 3-16: Velocidad y fuerza generalizada de los actuadores del mecanismo de 5 barras.

En la Figura 3-17 se muestra la fuerza interna y la fuerza reactiva para el caso estudiado.

Por ultimo, se calculan los Indices de Potencia Reactiva Globales para el mecananismo

planteado, en primer lugar se se calcula la Potencia Reactiva utilizando la fuerza interna

como P = fi · v, los resultados de este calculo se presentan en la Figura 3-18a, y en la

Figura 3-18b

Como se puede observar, la fuerza interna permite calcular la fuerza que cada una de las

cadenas cinematicas esta ejerciendo al efector final para poder sostenerlo, mientras que la

fuerza reactiva no es capaz de lograr capturar esta informacion, sin embargo, al revisar

los ındices de desempeno planteados, cada uno calculado de diferente manera, el ındice

permanece igual. Por esta razon se valida el analisis del ındice planteado, y se valida que la


0 0.5 1 1.5 2−20

0

20

40Actuator 1

Time (s)

Inte

rnal

For

ce (

N)

0 0.5 1 1.5 2−40

−20

0

20Actuator 2

Time (s)

Inte

rnal

For

ce (

N)

x y z

(a) Fuerza interna.

0 0.5 1 1.5 2−20

0

20

40Actuator 1

Time (s)

Rea

ctiv

e F

orce

(N

)

0 0.5 1 1.5 2−40

−20

0

20

Time (s)

Rea

ctiv

e F

orce

(N

)

Actuator 2

x y z

(b) Fuerza reactiva.

Figura 3-17: Fuerza interna y fuerza reactiva del mecanismo de 5 barras.

0 0.5 1 1.5 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Time (s)

γ

Act1

Act2

(a) γ, calculado con la fuerza interna.

0 0.5 1 1.5 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Time (s)

γ

Act1

Act2

(b) γ, calculado con la fuerza interna.

Figura 3-18: Indice de Potencia Reactiva para cada cadena cinematica del mecanismo de

5 barras.

fuerza reactiva identifica las fuerzas que no contribuyen al movimiento a una nivel cinematico,

no estatico.

4 INDICE DE POTENCIA REACTIVA

GLOBAL

En esta seccion se plantea el Indice de Potencia Reactiva Global para robots paralelos (de

ahora en adelante llamado IPRG) a partir de las definiciones de potencia activa y potencia

reactiva planteadas en la Seccion 2 y del IPRMS, presentado en la Seccion 3. Este ındice se

plantea como una extension del IPRMS, considerado que cada una de las cadenas cinematicas

que compone el robot paralelo esta conformada por un mecanismo simple.

4.1. Indice de Potencia Reactiva Global (IPRG)

Se plantea este ındice como la extension a n dimensiones del IPRMS, asumiendo que cada

una de las n cadenas cinematicas que componen el robot paralelo esta compuesta por un

mecanismo al que es posible calcularle el IPRSM. Se plantean dos posibles ındices globales a

partir de las definiciones de Potencia Activa, Potencia Reactiva e Indice de Potencia Reactiva

de Mecanismo Simples. El primer ındice propuesto se calcula como la media aritmetica de

los IPRMS de cada uno de las cadenas cinematicas del robot paralelo.

Definicion 5 (Indice de Potencia Reactiva Global 1, Γ1) IPRG1 Media aritmetica

de los IPRMS, γ, de cada uno de las cadenas cinematicas del robot paralelo.

Γ1 =Σn

i=1γin

(4-1)

El segundo ındice global se plantea como la relacion entre toda la Potencia Reactiva entre

toda la Potencia Activa que es introducida al sistema.

Definicion 6 (Indice de Potencia Reactiva Global 2, Γ2) IPRG2 Razon entre toda

la Potencia Reactiva de salida del sistema y toda la Potencia Activa de entrada al sistema.

Γ2 =Σn

i=1Pi

Σni=1Pini

(4-2)

4.2 Aplicacion 25

Al igual que en el IPRSM, un valor de cero de este ındice quiere decir que el sistema no

tiene perdidas y que toda la potencia que se le suministra al mecanismo es transformada en

potencia de salida, mientras que un valor del ındice de uno significa que toda la potencia de

entrada se esta convirtiendo en reaccion y el mecanismo esta en un estado de singularidad.

4.2. Aplicacion

Para verificar la validez de los ındices propuestos, IPRG1 e IPRG2, se hace el analisis de dos

tipos de robots paralelos de tres grados de libertad, la plataforma 3RPS y la plataforma

3RRS, en donde los grados de libertad corresponden a un movimiento lineal en el eje vertical

y dos rotaciones, una en Roll y la otra en Pitch, la diferencia entre estos dos robots radica en

el movimiento de entrada; mientras que la plataforma 3RPS tiene actuadores lineales para

general el movimiento del efector final, la plataforma 3RRS tiene actuadores rotacionales.

Los resultados se comparan con numero de condicionamiento de la Matriz Jacobiana. Para

evaluar cada una de las plataformas propuestas, se plantea la trayectoria del efector final

mostrada en la Figura 4-1.

0 2 4 6−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

Time (s)

Pos

ition

(m

)

0 2 4 6−25

−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

25

Time (s)

Rot

atio

n (d

eg)

x y z

Figura 4-1: Trayectoria del efector final.

Los ındices propuestos se comparan con el numero de condicionamiento de la matriz Jaco-

biana y la manipulabilidad. El numero de condicionamiento de la matriz Jacobiana se puede

definir como el ”factor de amplificacion del error”. Este ındice esta definido como se muestra

en la Ecuacion (4-3).

26 4 INDICE DE POTENCIA REACTIVA GLOBAL

κ(J−1)

=‖ J−1 ‖‖ J ‖ (4-3)

Si se utiliza la segunda norma, el numero de condicionamiento es la raız cuadrada de la

relacion entre el mayor valor propio y el menor de J−>J−1. Utilizando la norma euclidiana, el

numero de condicionamiento es la relacion entre∑λ2i y

∏λi, donde λi son los valores propios

de J−>J−1. El numero de condicionamiento entonces solo puede tomar valores mayores o

iguales a 1, en donde ∞ corresponde a una amplificacion infinita del error, lo que significa

que la matriz Jacobiana pierde rango y el robot entra a una posicion de singularidad.

El ındice de manipulabilidad propuesto por Yoshikawa [23] es una medida de que tan lejos

esta el robot de una posicion singular. El ındice esta basado en el elipsoide de manipula-

bilidad, el cual es creado a partir de los auto vectores de la matriz Jacobiana. El ındice se

muestra en la Ecuacion (4-4).

w =√

det (JJ>) = s1s2 . . . sn (4-4)

Como w puede ser escrito como la multiplicacion de los vectores propios si de la matriz

Jacobiana J , el ındice es proporcional al volumen del elipsoide de manipulabilidad.

4.2.1. Plataforma 3RPS

La primera plataforma a estudiar es la 3RPS, mostrada en la Figura 4-2. Esta plataforma

esta compuesta por una base fija A, el efector final B y tres actuadores lineales con tres

uniones distintas, una union Rotacional entre la base y el cilindro, una union Prismatica

entre el cilindro y el vastago, y una union Esferica entre el vastago y el efector final. El

efector final, B, tiene tres GDL.

Figura 4-2: Plataforma 3RPS.

4.2 Aplicacion 27

Las caracterısticas geometricas de la plataforma a analizar se presentan en la Tabla 4-1.

Tabla 4-1: Caracterısticas de la plataforma 3RPS.

ai [m] bi [m] Actuador

Cadena 1

0,35

0

0

0,75

0

0

Exlar 350W

Cadena 2

0,35 cos 120◦

0,35 sin 120◦

0

0,75 cos 120◦

0,75 sin 120◦

0

Exlar 350W

Cadena 3

0,35 cos 240◦

0,35 sin 240◦

0

0,75 cos 240◦

0,75 sin 240◦

0

Exlar 350W

hin = 1 [m]

4.2.2. Plataforma 3RRS

La segunda plataforma a estudiar es la 3RRS, mostrada en la Figura 4-5. Esta plataforma

esta compuesta por una base fija A, el efector final B y tres actuadores cadenas cinematicas

con tres uniones distintas, una union Rotacional entre la base y la parte inferior de la cadena,

una union Rotacional entre la parte inferior y la parte superior de la cadena, y una union

Esferica entre la parte superior de la cadena y el efector final. El efector final, B, tiene tres

GDL.

Las caracterısticas geometricas de la plataforma a analizar se presentan en la Tabla 4-2.

En la Figura 4-6, se muestran los dos Indices de Potencia Reactiva Globales propuestos para

la plataforma 3RRS; se puede observar, que al igual que la plataforma 3RPS, ambos ındices

propuestos se maximizan localmente en los puntos en donde la posicion y orientacion del

efector final esta en sus valores maximos. Esto quiere decir que en estos puntos, la potencia

que esta siendo suministrada al sistema se esta transformando en reaccion. Adicionalmente,

los valores de los ındices planteados son congruentes con los del numero de condicionamiento,

en donde este ultimo incrementa su valor cuando la posicion del efector final esta en sus

valores maximos.


0 1 2 3 4 50

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

Time (s)

Γ

Γ1 = Σγ

i/n Γ

2 = ΣP

react / ΣP

act

Figura 4-3: IPRG1 y IPRG2 para la plataforma 3RPS.

0 1 2 3 4 53.3

3.4

3.5

3.6

Con

ditio

ning

Num

ber

Time (s)0 1 2 3 4 5

1.3

1.4

1.5

1.6M

anip

ulab

ility

Figura 4-4: Numero de condicionamiento y manipulabilidad para la plataforma 3RPS.

4.3 Discusion de resultados 29

Figura 4-5: Plataforma 3RRS.

Tabla 4-2: Caracterısticas de la plataforma 3RRS.

ai [m] bi [m] l1i [m] l1i [m] Actuador

Cadena 1

0,35

0

0

0,6

0

0

0.35 0.49 Yaskawa 750W

Cadena 2

0,35 cos 135◦

0,35 sin 135◦

0

0,6 cos 135◦

0,6 sin 135◦

0

0.35 0.49 Yaskawa 750W

Cadena 3

0,35 cos 225◦

0,35 sin 225◦

0

0,6 cos 225◦

0,6 sin 225◦

0

0.35 0.49 Yaskawa 750W

hin = 0,4 [m]

4.3. Discusion de resultados

Los ındices cinetoestaticos, como el numero de condicionamiento de la matriz Jacobiana y

la manipulabilidad, indican que tan cerca esta el robot en alcanzar una posicion de singula-

ridad. Cuando los robots paralelos se acercan a posiciones de singularidad, estos no pueden

transmitir movimiento de manera optima al efector final, por lo que una gran cantidad de

potencia introducida al sistema mediante los actuadores esta siendo desperdiciada. Dado que


0 1 2 3 4 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

Time (s)

Γ

Γ1 = Σγ

i/n Γ

2 = ΣP

react / ΣP

act

Figura 4-6: IPRG1 e IPRG2 para la plataforma 3RRS.

0 1 2 3 4 54

4.5

5

5.5

Con

ditio

ning

Num

ber

Time (s)0 1 2 3 4 5

0

0.02

0.04

0.06M

anip

ulab

ility

Figura 4-7: Numero de condicionamiento y manipulabilidad para la plataforma 3RRS.

en la matriz Jacobiana esta contenida la informacion de la configuracion geometrica de la

robot, esta tiene dimensiones diferentes para cada tipo de estructura, luego los valores de

4.3 Discusion de resultados 31

numero de condicionamiento y manipulabilidad son dimensionalmente diferentes entre las

plataformas analizadas.

Los Indices de Potencia Reactiva planteados poseen la misma tendencia que los ındices ci-

netoestaticos, prediciendo las posiciones de la trayectoria de prueba en la que los robots se

acercan a posiciones de singularidad, ya que se observa un aumento en el ındice, indicando que

una mayor porcion de la potencia introducida al sistema esta siendo desperdiciada porque el

efector final no puede moverse en ciertas direcciones. Adicionalmente, al ser adimensionales

para todos los casos, permite que se puedan comparar las robots paralelos planteados, cla-

sificandolos de acuerdo a las perdidas que presentan. Una ventaja que presentan los ındices

de desempeno planteados es que varıan entre 0 y 1, permitiendo que la comparacion de los

robos paralelos se haga de forma normalizada mas facilmente.

Como se menciono anteriormente, los resultados de los Indices de Potencia Reactiva Globales

para las plataformas mostradas permiten la comparacion de diferentes tipos de estructuras

de robots paralelos para una aplicacion dada. Para este caso especıfico, la plataforma 3RRS

presenta valores mas elevados del ambos ındices debido a su configuracion geometrica y las

caracterısticas de sus cadenas cinematicas.

De acuerdo a los resultados de los ındices propuestos mostrados en las Figuras 4-3 y 4-6

y de acuerdo a las definiciones planteadas y los resultados de los ındices cinetoestaticos,

se puede decir que el Indice de Potencia Reactiva Global 2 (IPRG2), Γ2, es el ındice mas

idoneo para realizar la comparacion entre los diferentes tipos de robots paralelos, ya que

este representa de manera general las perdidas del mecanismo, mientras que el Indice de

Potencia Reactiva Global 1, Γ1, supone que las tres cadenas cinematicas tienen el mismo

efecto sobre el efector final, lo cual puede no ser cierto para robots en donde estas cadenas no

esten ubicadas simetricamente alrededor de si centro. Por esta razon se selecciona el IPRG2

como funcion objetivo para el algoritmo de optimizacion necesario para realizar la Sıntesis

Dimensional.

J(x) = max (Γ2) = max

(Σn

i=1Pi

Σni=1Pini

)(4-5)

5 CASO DE ESTUDIO

Una vez validado que el IPRG es un ındice capaz de cuantificar las perdidas que se presen-

tan en un robot paralelo de manera dimensionalmente consistente para cualquier tipo de

estructura seleccionada, se procede a aplicar la metodologıa planteada para el diseno de un

robot paralelo para desarrollar un simulador de una embarcacion de 3 GDL. En este caso de

estudio se plantea la utilizacion del ındice seleccionado como funcion objetivo para ejempli-

ficar el desarrollo de la metodologıa de comparacion. Sin embargo al momento de realizar el

diseno de un robot paralelo, hay mas factores a tener en cuenta, como por ejemplo, espacio

de trabajo, ındices cinetoestaticos e ındices dinamicos de entrada, y no solo la cuantificacion

de las perdidas en el sistema.

Las propiedades de masa aproximadas de la carga util que va a ser montada sobre el efector

final de la plataforma se muestran en (5-1).

m = 350 [kg]

I =

285 0 0

0 290 0

0 0 130

[kg m2](5-1)

Se tomaron datos de la aceleracion en una embarcacion, estos datos fueron procesados para

encontrar los movimientos maximos que tiene que realizar el simulador. Para este caso, se hizo

una simplificacion de los movimientos rescatando la amplitud y la frecuencia representativa

de cada uno de los movimientos. La trayectoria seleccionada se muestra en (5-2)

ϕd =

Roll = 25 sin3 (2π (0,2) t) [deg]

Pitch = 15 sin3 (πt) [deg]

Heave = 0,15 sin3 (πt) [m]

(5-2)

5.1. Sıntesis Estructural

Como se desea disenar un robot paralelo de 3 GDL se buscan estructuras paralelas que

cumplan con los requisitos de movilidad y conectividad. Dentro de los tipos de plataformas

que cumplen este criterio se encuentran la plataforma 3RPS y 3RRS. Como este es un

ejemplo ilustrativo de como se debe seguir la metodologıa, no se seleccionan mas tipos de

5.1 Sıntesis Estructural 33

estructuras paralelas, sin embargo, se hace la aclaracion que para un proceso de diseno

exhaustivo, se deben incluir mas posibles robots paralelos que cumplan los requerimientos

de la aplicacion.

��

��

�

�

�

�

�

�

�

��

��

��

��

(a) Esquema de la plataforma 3RPS.

��

��

�

�

�

�

�

�

�

��

��

��

��

��

��

(b) Esquema de la plataforma 3RRS.

Figura 5-1: Sıntesis estructural para el casi de estudio.

5.1.1. Analisis Cinematico

En la Figura 5-1a se muestra un esquema de la plataforma 3RPS, en este esquema la base

A con vectores unitarios perpendiculares x, y, z fijos en A esta fija al marco inercial N

y el efector final B con vectores unitarios perpendiculares u, v, w fijos en B, se mueve

linealmente en las direcciones x, y, z y rota alrededor del punto P con respecto a la base A

segun los angulos de representacion en ejes fijos: Roll (φ), Pitch (θ) y Yaw (ϕ). Para cada

una de las cadenas cinematicas i = 1, . . . , n, se puede realizar el la suma del lazo vectorial

de la siguiente manera:

OP + PBi = OAi + AiBi

Ap+ ARBBbi = Aai + diAsi

(5-3)

La matriz de rotacion del efector final es calculada utilizando los angulos de orientacion

Roll-Pitch.Yaw y mostrada en (5-4)

ARB =

cosφ cos θ cosφ sin θ sinψ − sinφ cosψ cosφ sin θ cosψ + sinφ sinψ

sinφ cos θ sinφ sin θ sinψ + cosφ cosψ sinφ sin θ cosψ − cosφ sinψ

− sin θ cos θ sinψ cos θ cosψ

(5-4)

En (5-3) Ap, φ, θ y ψ son las posiciones y orientaciones deseadas del efector final, Bbi yAai sin caracterısticas geometricas de la plataforma y di y Asi son las variables de control

deseadas.

34 5 CASO DE ESTUDIO

di =∥∥Ap+ ARBBbi − Aai

∥∥ (5-5)

Asi =Ap+ ARBBbi − Aai

di(5-6)

El segundo tipo de robot paralelo a estudiar el la plataforma 3RRS, mostrada en la Figura 5-

1b, en este esquema la base A con vectores unitarios perpendiculares x, y, z fijos en A

esta fija al marco inercial N y el efector final B con vectores unitarios perpendiculares u,

v, w fijos en B, se mueve linealmente en las direcciones x, y, z y rota alrededor del punto

P con respecto a la base A segun los angulos de representacion en ejes fijos: Roll (φ), Pitch

(θ) y Yaw (ϕ). Para cada una de las cadenas cinematicas i = 1, . . . , n, se puede realizar el

la suma del lazo vectorial de la siguiente manera:

OP + PBi = OAi + AiCi + CiBi

Ap+ ARBBbi = Aai + l1iAs1i + l2i

As2i(5-7)

Ea vector de posicion de la union universal en el efector final, desde la la union rotacional

de la base es:

Adi = Ap+ ARBBbi − Aai (5-8)

El eslabon inferior, el eslabon superior de la cadena cinematica y el vector Adi en la Ecua-

cion (5-8) describen un triangulo con los lados conocidos. Utilizando el teorema del seno y el

teorema del coseno se pueden determinar los angulos internos mostrados en la Figura 5-2.

βi = arc cos

(l21i + l22i − |Adi|2

2l1il2i

)(5-9)

αi = arc cos

(|Adi|2 + l21i − l22i

2|Adi|l1i

)+

arc cos

(|Aai|2 + |Adi|2 − |Aai + Adi|2

2|Aai||Adi|

)(5-10)

5.1.2. Analisis Dinamico

A continuacion se presenta el analisis dinamico para el calculo de las fuerzas generalizadas

de los actuadores, este analisis de hace con las ecuaciones de movimiento de Newton-Euler.

Como metodos de validacion, se plantean la formulacion dinamica de trabajo Virtual y el

calculo mediante SimMechanics de MATLAB.

5.1 Sıntesis Estructural 35

��

��

�

�

�

�

�

�

�

��

��

��

��

��

��

�

Figura 5-2: Cadena cinematica de la plataforma 3RRS

Fuerzas Externas

Las fuerzas externas las cuales tiene que vencer el robot paralelo, estan dadas por las fuerzas

que son ejercidas sobre el efector final, Fext corresponde a las fuerzas externas al sistema,

como el peso y los momentos ejercidos por la carga util, y F ∗ es el vector de las fuerzas

inerciales. Dado que es

F ∗ =

−mAp

−IB/B∗AωB − AωB(IB/B∗AωB

) (5-11)

En la Ecuacion (5-11) Ap es la aceleracion lineal del efector final y es calculada como la se-

gunda derivada de Ap; AωB y AωB es la velocidad angular y la aceleracion angular del efector

final, calculado como se muestra en la Ecuacion (5-12) y la Ecuacion (5-13), respectivamente

[1].

ωx

ωy

ωz

=

0

0

1

φ+

− sinφ

cosφ

0

θ +

cosφ cos θ

sinφ cos θ

− sin θ

ψ (5-12)

ωx

ωy

ωz

=

0 − sinφ cosφ cos θ

0 cosφ sinφ cos θ

1 0 − sin θ

φ

θ

ψ

+

− cosφ − sinφ cos θ − cosφ sin θ

− sinφ cosφ cos θ − sinφ sin θ

0 0 − cos θ

φθ

φψ

θψ

(5-13)


Formulacion Newton-Euler

Para realizar el analisis dinamico de los robots paralelos, se divide este analisis en el calculo

de la dinamica de las cadenas cinematicas y la dinamica del efector final [20]. Para desarrollar

la dinamica de las cadenas cinematicas se plantea la Ecuacion (5-14).

inAi =

d

dt

(ihA

i

)(5-14)

En donde inAi es la resultante de los momentos ejercidos por la i-esima cadena sobre el punto

A, y ihAi es el momentum angular de la i-esima cadena cinematica. Por otro lado, la dinamica

del efector final se muestra en la Ecuacion (5-15) y en la Ecuacion (5-16).

n∑i=1

Afbi +mpAg = mp

Avp (5-15)

Bnp =n∑

i=1

Bbp × Bfbi (5-16)

Formulacion de trabajo Virtual

El analisis dinamico mediante las ecuaciones del Trabajo Virtual se muestra a continuacion

[20]. Su forma general esta dada por:

δW = δqTτ + δxT (Fext + F ∗) +∑i

δxTi (Fexti + F ∗i ) = 0 (5-17)

Para relacionar las variaciones de los movimientos de las fuerzas generalizadas con las varia-

ciones de las salidas del efector final, se plantea la matriz Jacobiana, como se muestra en la

Ecuacion (5-18).

Jxx = Jqq

J = J−1q Jx(5-18)

En donde x es el vector de velocidad del efector final y q es el vector de velocidad de los

actuadores. Remplazando la Ecuacion (5-18) en la Ecuacion (5-17), la ecuacion del trabajo

virtual es reducida a la Ecuacion (5-19), asumiendo que las propiedades de masa de las

cadenas cinematicas es despreciable en comparacion con las propiedades de masas del efector

final y la carga util.

(J−1)Tτ + (Fext + F ∗) = 0 (5-19)

En la Ecuacion (5-19) τ es el vector de las fuerzas generalizadas de entrada a los actuadores,

Fext corresponde a las fuerzas externas del sistema y F ∗ corresponde a las fuerzas inerciales,

como se presento en la Seccion 5.1.2.

5.2 Sıntesis Dimensional 37

SimMechanics

Como metodo de validacion de las formulaciones planteadas, se realizo el modelo de los

robos paralelos planeados en el software SimMechanics de MATALB. Este modelo permite

representar cuerpos y las uniones entre ellos para crear un modelo tridimensional, el cual

permite el calculo de las fuerzas y momentos presentes en cada union del sistemas, ası como

una visualizacion de las posicion del robot en el tiempo. El modelo general de SimMecha-

nics se muestra en la Figura 5-3 y cada bloque principal esta compuesto por los esquemas

mostrados en la Figura 5-4a y la Figura 5-4b

Figura 5-3: Esquema general del modelo de SimMechanics

5.2. Sıntesis Dimensional

Para encontrar las dimensiones caracterısticas de cada uno de los tipos de plataformas pa-

ralelas planteadas en la Sıntesis Estructural se propone el problema de optimizacion de la

siguiente forma:

minimizarx

J(x) ∀ α ∈ {0, . . . , 1}

subject to x ∈ Espacio de soluciones

Fi

vi

≤ Restricciones Fabricante

(5-20)

En donde la funcion objetivo J(x) esta definida en (4-5) y la variable de diseno x esta definida

para el caso de actuacion lineal como:


(a) Esquema de la cadena cinematica RPS.

(b) Esquema de la cadena cinematica RRS.

Figura 5-4: Esquemas de las cadenas cinematicas de los diferentes robots paralelos.

x =[ai bi dipromedio

]T∀i ∈ {1, . . . , n} (5-21)

Para el caso de actuacion rotacional, la variable de diseno x esta definida como:

x =[Aai

Bbi l1i l2i

]T∀i ∈ {1, . . . , n} (5-22)

Los metodos tradicionales de optimizacion son insuficientes ya que estos pueden converger a

optimos locales en vez de optimos globales, por esta razon se utilizan Algoritmos Geneticos,

los cuales estan inspirados en la teorıa de evolucion natural, y son idoneos para problemas

de optimizacion global. Estos algoritmos estan basados en series de soluciones generadas

aleatoriamente y operadas mediante los operadores geneticos seleccion, mutacion y mezcla,

hasta que se llega a la solucion optima. El algoritmo de optimizacion esta siendo implemen-

tado en MATLAB c© utilizando el Toolbox de Optimizacion Global con las caracterısticas

mostradas en la Tabla 5-1.

5.3 Resultados 39

Tabla 5-1: Caracterısticas del algoritmo genetico.

Tamano de poblacion 100

Maximo de generaciones 200

Funcion de seleccion Estocastica Uniforme

Fraccion de mezcla 0.8

Fraccion de mutacion 0.1

Funcion de mutacion Gaussiana

5.3. Resultados

A continuacion se presentan los resultados para el problema de optimizacion planteado, para

cada uno de los resultados planteados, se comparan las dos plataformas seleccionadas en la

sıntesis estructural.

0 1 2 3 4 5−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Time (s)

Vel

ocity

(m

/s)

Act1

Act2

Act3

(a) Plataforma 3RPS.

0 1 2 3 4 5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Time (s)

Vel

ocity

(m

/s)

Act1

Act2

Act3

(b) Plataforma 3RRS.

Figura 5-5: Velocidad de los actuadores.

En la Tabla 5-2 se presenta el resumen de los resultados obtenidos en el algoritmo de

optimizacion, eca se muestra un ındice de potencia plateando anteriormente Ip, [21], y la

funcion objetivo planteada en la Ecuacion (4-5). Adicionalmente, en la Tabla 5-3, Tabla 5-4

y en la Figura 5-11 se presentan la configuracion geometrica de los resultados obtenidos.


0 1 2 3 4 5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Time (s)

Pow

er (

kW)

Act1

Act2

Act3


0 1 2 3 4 5−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Time (s)

Pow

er (

kW)

Act1

Act2

Act3


Figura 5-6: Potencia activa de los actuadores.

0 2 4 6−0.05

0

0.05Actuator 1

Time (s)

Rea

ctiv

e V

eloc

ity (

m/s

)

0 2 4 6−0.05

0

0.05Actuator 2

Time (s)

Rea

ctiv

e V

eloc

ity (

m/s

)

0 2 4 6−0.02

0

0.02Actuator 3

Time (s)

Rea

ctiv

e V

eloc

ity (

m/s

)

ReactiveVelocity

− X −.− Y … Z


0 2 4 6−0.1

0

0.1Actuator 1

Time (s)

Rea

ctiv

e V

eloc

ity (

m/s

)

0 2 4 6−1

0

1Actuator 2

Time (s)

Rea

ctiv

e V

eloc

ity (

m/s

)

0 2 4 6−0.2

0

0.2Actuator 3

Time (s)

Rea

ctiv

e V

eloc

ity (

m/s

)

ReactiveVelocity

− X −.− Y … Z


Figura 5-7: Velocidad reactiva.

Tabla 5-2: Resumen de la sıntesis dimensional.

Ip [W ] J(x) qmax τmax Pmax [W ]

Lineal 834,74 0,104 3,28 [m/s] 5,7 [kN ] 1111

Rotacional 787,29 0,62 30,82 [RPM ] 0,735 [kNm] 1000

5.3 Resultados 41

0 5−2000

0

2000

4000Actuator 1

Time (s)

Rea

ctiv

e F

orce

(N

)

0 5−1000

−500

0

500Actuator 2

Time (s)

Rea

ctiv

e F

orce

(N

)

0 5−100

−50

0

50Actuator 3

Time (s)

Rea

ctiv

e F

orce

(N

)

ReactiveForce

− X −.− Y … Z


0 2 4 6−500

0

500Actuator 1

Time (s)

Rea

ctiv

e F

orce

(N

)

0 2 4 6−500

0

500

1000Actuator 2

Time (s)

Rea

ctiv

e F

orce

(N

)

0 2 4 6−1000

0

1000Actuator 3

Time (s)

Rea

ctiv

e F

orce

(N

)

ReactiveForce

− X −.− Y … Z


Figura 5-8: Fuerza reactiva.

0 1 2 3 4 5−150

−100

−50

0

50

100

150

Time (s)

Pow

er (

W)

Act1

Act2

Act3


0 1 2 3 4 5−600

−400

−200

0

200

400

600

Time (s)

Pow

er (

W)

Act1

Act2

Act3


Figura 5-9: Potencia reactiva.


0 1 2 3 4 50

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

Time (s)

Γ

Γ1 = Σγ

i/n Γ

2 = ΣP

react / ΣP

act


0 1 2 3 4 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Time (s)

Γ

Γ1 = Σγ

i/n Γ

2 = ΣP

react / ΣP

act


Figura 5-10: Indices de Potencia Reactiva Global.

Tabla 5-3: Caracterısticas geometricas de la sıntesis del robot 3RPS.

ai [m] bi [m]

Cadena 1

0,2

0

0

0,75

0

0

Cadena 2

0,2 cos 140◦

0,2 sin 140◦

0

0,2 cos 140◦

0,2 sin 140◦

0

Cadena 3

0,2 cos 230◦

0,2 sin 230◦

0

0,2 cos 230◦

0,2 sin 230◦

0

5.3 Resultados 43

Tabla 5-4: Caracterısticas geometricas de la sıntesis del robot 3RRS.

ai [m] bi [m] l1i [m] l1i [m]

Cadena 1

0,12

0

0

0,75

0

0

0.34 0.46

Cadena 2

0,28 cos 117◦

0,28 sin 117◦

0

0,6 cos 117◦

0,6 sin 117◦

0

0.34 0.46

Cadena 3

0,28 cos 207◦

0,28 sin 207◦

0

0,78 cos 207◦

0,78 sin 207◦

0

0.34 0.46

(a) Plataforma 3RPS.(b) Plataforma 3RRS.

Figura 5-11: Esquema en SimMechanics del resultado del algoritmo de optimizacion.

6 CONCLUSIONES

En este trabajo se presenta un ındice de desempeno basado en potencia para ser utilizado

en una metodologıa para el diseno de robots paralelos. La metodologıa planteada permite la

comparacion de diferentes tipos de estructuras paralelas para una aplicacion ya que el ındice

de desempeno planteado ası lo permite. El planteamiento del ındice se hace con base en una

nueva cantidad llamada Potencia Reactiva, la cual brinda informacion sobre la cantidad de

potencia que es disipada en un sistema. Se propone un ındice para mecanismos simples de 1

Grado de Libertad con diferente tipo de movimiento de entrada, observando que este es efec-

tivo ya que los resultados son semejantes a los obtenidos con la Ventaja Mecanica. Ası mismo,

se propone un ındice global para robots paralelos con base en el ındice de mecanismos simples

que tambien permite la comparacion de robots con diferente tipo de movimiento de entrada.

Debido a la consistencia dimensional de los ındices, estos pueden ser utilizados dentro de

la metodologıa de diseno planteada como funcion objetivo en la optimizacion de diferentes

tipos de robots paralelos para un caso de estudio especıfico, con el fin de poder seleccionar

el mejor diseno de estructura paralela que se ajuste a la aplicacion dada. Los resultados ob-

tenidos mediante algoritmos geneticos permitieron encontrar las dimensiones caracterısticas

del sistema, las cuales minimizan las perdidas de potencia del sistema. Para lograr esto el

algoritmo de optimizacion tiende a encontrar soluciones en donde la Potencia Reactiva es

baja mientras la potencia de entrada se maximiza, aumentando la fuerza generalizada de los

actuadores. Hay que tener en cuenta que realizar una sıntesis dimensional de botos paralelos

utilizando solamente el ındice propuesto en este trabajo puede llevar a soluciones no optimas

debido a que el diseno de robots paralelos es un proceso que involucra mas caracterısticas que

solo las perdidas de potencia; tambien hay que incluir la potencia activa de los actuadores y

validar que el sistema no entre en posiciones de singularidad.

Debido a los resultados de la sıntesis dimensional, se propone como trabajo futuro, incluir la

potencia activa junto con el ındice de Potencia Reactivo propuesto, dentro de un algoritmo

de optimizacion multivariable, con el fin de evitar que los mejores resultados sean aquellos en

donde la potencia es maxima. De la misma manera, se propone incluir el espacio de trabajo y

los ındices cinetoestaticos basados en la matriz Jacobiana dentro del algoritmo para validar

posibles posiciones de singularidad. Adicionalmente, se propone incluir el concepto de fuerza

interna dentro del planteamiento del concepto de potencia Activa, de manera que se pueda

obtener informacion de la cantidad de potencia que es utilizada en el agarre del efector final.

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Documents

Indice Basado en Potencia para la Comparaci on de Robots