ELEMENTE DE CALCULUL PR ☺ BABILITĂŢIL ☺ R

ELEMENTE DE ELEMENTE DE CALCULUL PRCALCULUL PRBABILITĂŢILBABILITĂŢILRR

Teoria Teoria probabilităţilorprobabilităţilor studiază studiază legile după care evoluează legile după care evoluează fenomenelefenomenele aleatoare. aleatoare. Principalele noţiuni matematice care Principalele noţiuni matematice care modelează fenomenele aleatoare modelează fenomenele aleatoare sunt:sunt:

**CÂMPUL DE PROBABILITATE ASOCIAT CÂMPUL DE PROBABILITATE ASOCIAT UNUI EXPERIMENT ALEATORUNUI EXPERIMENT ALEATOR

**EVENIMENTELEEVENIMENTELE

**VARIABILELE ALEATOAREVARIABILELE ALEATOARE

Prin experienţa în teoria Prin experienţa în teoria

probabilităţilorprobabilităţilor se înţelege orice act se înţelege orice act care poate fi repetat în condiţii care poate fi repetat în condiţii date.date.

Toate situaţiile legate de experienţToate situaţiile legate de experienţăă

şi despre care putem spune, cu şi despre care putem spune, cu certitudine, că s-au produs sau nu, certitudine, că s-au produs sau nu, după efectuarea experienţei, poartă după efectuarea experienţei, poartă numele de numele de evenimenteveniment..

Un Un experiment aleatorexperiment aleator este o acţiune este o acţiune ale cărei rezultate nu pot fi pronosticate ale cărei rezultate nu pot fi pronosticate cu certitudine.cu certitudine.

O efectuare a unui experiment,se O efectuare a unui experiment,se numeşte probă.numeşte probă.

Prin eveniment se Prin eveniment se îînnţţelege rezultatul elege rezultatul unei probeunei probe.. Evenimentele pot fi Evenimentele pot fi clasificate in trei mari cateclasificate in trei mari categgorii: orii:

**evenimente sigureevenimente sigure;;

** evenimente imposibile evenimente imposibile;; ** evenimente evenimente îîntntââmplmplăătoare.toare.

MULŢIMIMULŢIMI Fie o mulţime nevidă Ω=ωFie o mulţime nevidă Ω=ω11, ω, ω22,..., ω,..., ωnn. .

Dacă un element ωDacă un element ωii ,, se află în Ω , îl notăm se află în Ω , îl notăm ωωii ∈ ∈ Ω (se citeşteΩ (se citeşte : ω: ωii aparţine mulţimii aparţine mulţimii Ω).Ω).

Mulţimea A este o submulţime a lui Ω Mulţimea A este o submulţime a lui Ω dacă (dacă (∀∀) x ) x ∈ ∈ A implică x A implică x ∈ ∈ Ω. Se notează Ω. Se notează AA⊆⊆ΩΩ (se citeşte: A este inclusă în Ω). O (se citeşte: A este inclusă în Ω). O submulţime a oricărei mulţimi este submulţime a oricărei mulţimi este mulţimea vidă (fără nici un element) pe mulţimea vidă (fără nici un element) pe care o notăm Ø.care o notăm Ø.

Notăm P(Ω) toate submulţimile lui Ω, Notăm P(Ω) toate submulţimile lui Ω, adică adică P(Ω) = A | AP(Ω) = A | A⊆ ⊆ ΩΩ..

m,1 m,1

Dacă A Dacă A ∈ ∈ P(Ω)P(Ω),, atunci atunci Ā=CĀ=CΩΩA= Ω –AA= Ω –A reprezintă complementara lui A reprezintă complementara lui A îîn n raport cu Ω.raport cu Ω.

Dacă A, B Dacă A, B ∈ ∈ P(Ω), atunci P(Ω), atunci A∩B A∩B = ω= ω∈∈Ω | ωΩ | ω∈∈A şi ωA şi ω∈∈BB reprezintă reprezintă intersecţia mulţimilor A , B.intersecţia mulţimilor A , B.

Dacă A, B Dacă A, B ∈ ∈ P(Ω), atunci P(Ω), atunci AA∪∪B = ω B = ω ∈∈Ω |Ω |

ωω∈∈A A sausau ω ω∈∈BB reprezintă reprezintă reuniunea reuniunea mulţimilor A , B.mulţimilor A , B.

Pentru A,Pentru A, B B ∈ ∈ P(Ω) P(Ω) produsul produsul carteziancartezian al mulţimii A cu al mulţimii A cu mulţimea B se defineşte prinmulţimea B se defineşte prin : :

A A XX B= (a,B= (a, b) | a b) | a ∈ ∈ A şi b A şi b ∈ ∈ B B ..

Pentru A =1,2,3,4 , B= Pentru A =1,2,3,4 , B= a,b,c avem:a,b,c avem:

A A XX B = (1,a), (1,b), (1,c), (2,a), B = (1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c), (3,a), (3,b), (3,c), (4,a), (2,b), (2,c), (3,a), (3,b), (3,c), (4,a), (4,b), (4,c) .(4,b), (4,c) .

Acest produs poate fi reprezentat :Acest produs poate fi reprezentat :

1)printr-o 1)printr-o diagramădiagramă;;

2)printr-un 2)printr-un arborearbore..

UNIVERSUL PROBELORUNIVERSUL PROBELOR

DefiniţieDefiniţie : : SSe numeşte e numeşte universul probelor mulţimea Ω a universul probelor mulţimea Ω a tuturor rezultatelor posibile,tuturor rezultatelor posibile, incompatibile două câte două, incompatibile două câte două, care pot avea loc care pot avea loc îîn cazul unei n cazul unei probe a unui experiment probe a unui experiment aleatoriu.aleatoriu.

EXEMPLEEXEMPLE

1.La aruncarea monedei omogene 1.La aruncarea monedei omogene avemavem

Ω=Ω=b,sb,s, unde b este banul iar s , unde b este banul iar s este stema.este stema.

2.La aruncarea unui zar omogen 2.La aruncarea unui zar omogen avemavem

Ω=Ω=1,2,3,4,5,61,2,3,4,5,6 . .

3.O urnă conţine trei bile numerotate 3.O urnă conţine trei bile numerotate 1,2,3.Se extrag succesiv două bile din 1,2,3.Se extrag succesiv două bile din urnă:urnă:

**cu repunerea primei bile extrase în urnă cu repunerea primei bile extrase în urnă înainte de a doua extragere; Ω=înainte de a doua extragere; Ω=(1,1),(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3) (3,3)

**fără repunerea primei bile extrase în fără repunerea primei bile extrase în urnă înainte de a doua extragere;urnă înainte de a doua extragere;

Ω=Ω=(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2) (1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)

Definiţie : : FFie Ω un univers. Orice ie Ω un univers. Orice

submulţime a lui Ω se numeşte submulţime a lui Ω se numeşte eveniment.eveniment.

EXEMPLEEXEMPLE 1. Extragerea unei bile albe dintr-o 1. Extragerea unei bile albe dintr-o urnurnăă care con care conţţine numai bile albe, este ine numai bile albe, este un un eveniment sigureveniment sigur..2.2. Apari Apariţţia unui numia unui număăr de 7 puncte la o r de 7 puncte la o probprobăă a arunc a aruncăării unui zar este un rii unui zar este un eveniment imposibileveniment imposibil..33 Apari Apariţţia feia feţţei 1 la aruncarea unui zar ei 1 la aruncarea unui zar este un este un eveniment eveniment îîntntââmplmplăătortor..

EVENIMENTEEVENIMENTE

Evenimentele Evenimentele îîntntââmplmplăătoaretoare se supun se supun unor legitunor legităţăţi, numite legiti, numite legităţăţi statistice. i statistice. ÎÎn acest sens, nu se poate prevedea n acest sens, nu se poate prevedea dacdacăă îîntr-o singurntr-o singurăă aruncare a unui aruncare a unui zar se obzar se obţţine faine faţţa 1; daca 1; dacăă îînsnsăă se se efectueazefectueazăă un num un număăr suficient de mare r suficient de mare de aruncde aruncăări se poate prevedea cu ri se poate prevedea cu suficientsuficientăă precizie num precizie număărul de aparirul de apariţţii ii ale acestei feale acestei feţţe.e.

Evenimentele Evenimentele îîntntââmplmplăătoaretoare pot fi pot fi compatibile compatibile şşi incompatibile. Doui incompatibile. Douăă evenimente se numesc incompatibile, evenimente se numesc incompatibile, dacdacăă realizarea unuia exclude realizarea unuia exclude realizarea celuilalt.realizarea celuilalt.

EXEMPLE

1.Evenimentele1.Evenimentele : apari: apariţţia feia feţţei 1 la ei 1 la aruncarea unui zar aruncarea unui zar şşi respectiv i respectiv apariapariţţia feia feţţei 2 la aruncarea unui ei 2 la aruncarea unui zar, sunt zar, sunt incompatibileincompatibile..

2. Evenimentele2. Evenimentele : apari: apariţţia feia feţţei 1 la ei 1 la aruncarea unui zar aruncarea unui zar şşi respectiv i respectiv apariapariţţia unei feia unei feţţe cu un nume cu un număăr impar r impar de puncte la aruncarea unui zar, de puncte la aruncarea unui zar, sunt sunt compatibilecompatibile..

OPERAŢII CU OPERAŢII CU EVENIMENTEEVENIMENTE

NEGAŢIANEGAŢIA

DefiniţieDefiniţie : Fie A un eveniment, atunci : Fie A un eveniment, atunci Ā (se citeşte: non A) este evenimentul Ā (se citeşte: non A) este evenimentul care se realizeazcare se realizeazăă dacă şi numai dacă dacă şi numai dacă nu se realizează A. nu se realizează A.

Întrucât A aparţine P(Ω),Întrucât A aparţine P(Ω), atunci atunci ::

Ā = CA = Ω –A Ā = CA = Ω –A ∈∈ P( Ω ) P( Ω )

EXEMPLUEXEMPLU

La aruncarea zarului dacă A La aruncarea zarului dacă A =1,2,3 (care înseamnă că A se =1,2,3 (care înseamnă că A se realizează dacă la o probă apare realizează dacă la o probă apare una din feţele cu 1, 2 sau 3 una din feţele cu 1, 2 sau 3 puncte), atunci Ā = 4,5,6 (care puncte), atunci Ā = 4,5,6 (care se realizează dacă nu se se realizează dacă nu se realizează A, adică dacă într-o realizează A, adică dacă într-o probă apare una din feţele care probă apare una din feţele care conţin 4, 5 sau 6conţin 4, 5 sau 6 puncte).puncte).

REUNIUNEAREUNIUNEA

DefiniţieDefiniţie : Fie A, B două: Fie A, B două evenimente.evenimente. Definim reuniunea Definim reuniunea evenimentelor A,B evenimentul evenimentelor A,B evenimentul notat notat A∪BA∪B (se citeşte: A sau B), (se citeşte: A sau B), care se realizează dacă şi numai care se realizează dacă şi numai dacă,dacă,

se realizează cel puţin unul se realizează cel puţin unul dintre evenimentele A, B.dintre evenimentele A, B.

EXEMPLUEXEMPLU

La aruncarea zarului fie La aruncarea zarului fie evenimentele : Aevenimentele : A=1,2,3, B=4,5, =1,2,3, B=4,5, C=1,3, D=2,3,5. Atunci AC=1,3, D=2,3,5. Atunci A∪B= ∪B= 1,2,3,4,5 şi C1,2,3,4,5 şi C∪D= 1,2,3,5.Se ∪D= 1,2,3,5.Se observă că observă că AA∪B∪B este format din două este format din două evenimente pentru care A∩B=Ø, ceea evenimente pentru care A∩B=Ø, ceea ce ce îînseamnă că nseamnă că AA∪B are loc dacă are ∪B are loc dacă are loc fie A ,loc fie A , fie B. În cazul fie B. În cazul CC∪D∪D avem avem C∩D= 3, adică apariţia feţei care C∩D= 3, adică apariţia feţei care conţine trei puncte realizează atât conţine trei puncte realizează atât evenimentul C cât şi evenimentul D.evenimentul C cât şi evenimentul D.

INTERSECŢIAINTERSECŢIA

DefiniţieDefiniţie : Fie A, : Fie A, B două B două evenimente. Definim intersecţia evenimente. Definim intersecţia evenimentelor A şi B evenimentelor A şi B evenimentul notat evenimentul notat A∩BA∩B (se (se citeşte: A şi B), care se citeşte: A şi B), care se realizează dacă şi numai dacă se realizează dacă şi numai dacă se realizează simultan A şi Brealizează simultan A şi B..

EXEMPLUEXEMPLU

La aruncarea zarului fie La aruncarea zarului fie evenimentele evenimentele

A= 1,2,3,4, B= 2,4,6. Atunci A= 1,2,3,4, B= 2,4,6. Atunci

A∩BA∩B= 2,4 şi se realizează dacă = 2,4 şi se realizează dacă la aruncarea zarului apare faţa cu la aruncarea zarului apare faţa cu două puncte sau faţa cu patru două puncte sau faţa cu patru puncte.puncte.

EVENIMENTE EVENIMENTE INCOMPATIBILEINCOMPATIBILE

Definiţie : Două evenimente A, : Două evenimente A, B se numesc incompatibile dacă B se numesc incompatibile dacă şi numai dacă A∩B=Ø.şi numai dacă A∩B=Ø.

EXEMPLU Evenimentele: apariţia feţei 1 la Evenimentele: apariţia feţei 1 la aruncarea unui zar şi respectiv aruncarea unui zar şi respectiv apariţia feţei 2 la aruncarea unui apariţia feţei 2 la aruncarea unui zar, sunt zar, sunt incompatibileincompatibile..

EVENIMENTE ELEMENTAREEVENIMENTE ELEMENTARE

Definiţie Definiţie : Fie Ω un univers finit : Fie Ω un univers finit Ω=ωΩ=ω11, ω, ω22,...,ω,...,ωnn..

Evenimentele ωEvenimentele ω11,ω,ω22,…, ω,…, ωnn se se numesc evenimente elementare.numesc evenimente elementare.

EXEMPLEEXEMPLE 1)La aruncarea monedei Ω= s,b când 1)La aruncarea monedei Ω= s,b când

avem evenimentele elementare s avem evenimentele elementare s (apariţia stemei), b (apariţia (apariţia stemei), b (apariţia banului). banului).

2)La aruncarea zarului Ω= 2)La aruncarea zarului Ω= 1,2,3,4,5,6, evenimentele elementare 1,2,3,4,5,6, evenimentele elementare sunt : 1, 2, 3, 4, 5, 6.sunt : 1, 2, 3, 4, 5, 6.

FUNCŢIA PROBABILITATEFUNCŢIA PROBABILITATE

Definiţie Definiţie : Fie Ω un univers .: Fie Ω un univers . Se Se

numeşte probabilitate pe P(Ω) ,aplicaţia numeşte probabilitate pe P(Ω) ,aplicaţia P: P(Ω)P: P(Ω)R, dacă au loc axiomele:R, dacă au loc axiomele:

A1) A1) P(A) ≥ 0 P(A) ≥ 0 ,, ( (∀∀) A ) A ∈∈ P(Ω) P(Ω) (Probabilitatea oricărui eveniment este (Probabilitatea oricărui eveniment este un nr pozitiv). un nr pozitiv).

A2) A2) P(Ω)=1P(Ω)=1 (Probabilitatea (Probabilitatea evenimentului sigur este egală cu unu).evenimentului sigur este egală cu unu).

A3) A3) P(AP(A∪∪B) = P(A) + P(B)B) = P(A) + P(B), dacă , dacă A∩B A∩B =Ø=Ø (Probabilitatea reuniunii a două (Probabilitatea reuniunii a două evenimente incompatibile este egală cu evenimente incompatibile este egală cu suma probabilităţilor lor).suma probabilităţilor lor).

CÂMP DE PROBABILITATECÂMP DE PROBABILITATE

Definiţie Definiţie : Fie : Fie FF un fenomen un fenomen aleatoriu. Se numeşte câmp de aleatoriu. Se numeşte câmp de probabilitate asociat fenomenului probabilitate asociat fenomenului FF , tripletul , tripletul (Ω, P(Ω), P)(Ω, P(Ω), P)..

MulMulţimea tuturor evenimentelor ţimea tuturor evenimentelor legate de o experienţă împreună cu legate de o experienţă împreună cu probabilităţile respectiveprobabilităţile respective,, formează formează un un câmp de probabilitatecâmp de probabilitate..

EXEMPLUEXEMPLU

La aruncarea monedei ΩLa aruncarea monedei Ω==s,b,s,b,

P(Ω)= Ø, s, b, s,b iar P(Ω)= Ø, s, b, s,b iar

P : P(Ω) P : P(Ω) [ [0,∞)0,∞) , unde P( , unde P(Ø)=0Ø)=0

P(s)=P(b)=1/2 P(s)=P(b)=1/2 , , P(s,b)=1.P(s,b)=1.

DEFINIŢIA GENERALĂ A DEFINIŢIA GENERALĂ A PROBABILITĂŢIIPROBABILITĂŢII

DefiniţieDefiniţie : Se numeşte probabilitate o : Se numeşte probabilitate o funcţie funcţie

P : P(E) P : P(E) ℝ ℝ cu următoarele proprietăţi: cu următoarele proprietăţi:

1) 1) P(A)≥0P(A)≥0,, ∀ ∀ A A ∈ ∈ P(E) ;P(E) ;

2) 2) P(E)=1P(E)=1;;

3) 3) P(A∪B)=P(A∪B)= P(A) + P(B)P(A) + P(B) , , dacă dacă A∩B= Ø.A∩B= Ø.

OPERAŢII CU OPERAŢII CU PROBABILITĂŢIPROBABILITĂŢI

TEOREMĂTEOREMĂ : Fie A, B : Fie A, B ∈∈ P(Ω) , P(Ω) , atunci atunci

P(B∩Ā) = P(B) – P(B∩A)P(B∩Ā) = P(B) – P(B∩A)..

COROLARCOROLAR

1) 1) P(Ø) =0P(Ø) =0 ;;

2) 2) P(Ā)=1 – P(A)P(Ā)=1 – P(A) ;;

3) 3) P(AP(A∪∪B) = P(A) + P(B) – B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)P(A∩B) ;;

4) 4) Dacă ADacă A⊂⊂BB, , atunci atunci P(A) ≤ P(A) ≤ P(B)P(B) ;;

5) 5) 0 ≤ P(A) ≤ 1 0 ≤ P(A) ≤ 1 ; (; (∀∀) A) A⊂⊂ΩΩ ..

REMARCĂ IMPORTANTĂREMARCĂ IMPORTANTĂ ! !

Axiomele din definiţia probabilităţii Axiomele din definiţia probabilităţii şi rezultatele precedente sunt şi rezultatele precedente sunt insuficiente pentru a preciza insuficiente pentru a preciza probabilităţile diferitelor evenimente probabilităţile diferitelor evenimente ale unui univers Ωale unui univers Ω . Alte consideraţii . Alte consideraţii sau experienţe practice sau experienţe practice sunt sunt indispensabile pentru a da aceste indispensabile pentru a da aceste probabilităţi sau cel puţin o parte probabilităţi sau cel puţin o parte dintre ele.dintre ele.

EVENIMENTE ELEMENTARE EVENIMENTE ELEMENTARE ECHIPROBABILEECHIPROBABILE

DefiniţieDefiniţie : Fie Ω =ω: Fie Ω =ω11, ω, ω22,…., ω,…., ωnn.. Evenimentele elementare ωEvenimentele elementare ω11,ω,ω22,…,,…,ωωnn se numesc echiprobabile dacă au se numesc echiprobabile dacă au aceeaşi probabilitate aceeaşi probabilitate P(ωP(ω11)=P(ω)=P(ω22)=…=P(ω)=…=P(ωnn).).

TEOREMĂTEOREMĂ : Dacă Ω este un univers : Dacă Ω este un univers format din n evenimente elementare format din n evenimente elementare echiprobabile ,iar A este un eveniment echiprobabile ,iar A este un eveniment format din reuniunea a k evenimente format din reuniunea a k evenimente elementare, atunci elementare, atunci P(A)=P(A)=kk/n/n==cardcard(A)(A)/card/card((Ω Ω )) . .

PROBABILITĂŢI PROBABILITĂŢI CONDIŢIONATECONDIŢIONATE

DefiniţieDefiniţie : Fie A,B : Fie A,B ⊂⊂Ω. Numărul notat Ω. Numărul notat PPBB(A) definit prin(A) definit prin :: PPBB(A)=(A)=P(AP(A∩B∩B))/P/P(B)(B)

P(B) P(B) ≠ 0, ≠ 0, se numeşte probabilitate a se numeşte probabilitate a evenimentului A condiţionată de evenimentului A condiţionată de evenimentul B.evenimentul B.

TEOREMĂTEOREMĂ : Fie A,B,C…evenimente ale : Fie A,B,C…evenimente ale unui univers Ω.unui univers Ω. Atunci:Atunci:

1) 1) P(A∩B)=P(A∩B)= P(A) PP(A) PAA(B)(B)

2) 2) P(A∩B∩C)=P(A∩B∩C)= P(A) PP(A) PAA(B) P(B) PA∩BA∩B(C)(C)

EVENIMENTE EVENIMENTE INDEPENDENTEINDEPENDENTE

DefiniDefiniţţieie : :

1)1)Fie A,Fie A, BB⊂⊂ΩΩ . Evenimentele A,. Evenimentele A, B suntB sunt

independente dacindependente dacăă P(A∩B) =P(A) P(B)P(A∩B) =P(A) P(B) ..

ÎÎn caz contrar,n caz contrar, evenimentele sunt evenimentele sunt dependente.dependente.

2)Fie A,B,C2)Fie A,B,C⊂⊂Ω. Evenimentele A,B,C suntΩ. Evenimentele A,B,C sunt

independente dacindependente dacă:ă:

P(A∩B) = P(A) P(B)P(A∩B) = P(A) P(B) , , P(A∩C) = P(A) P(C)P(A∩C) = P(A) P(C) ,,

P(B∩C) = P(B) P(C)P(B∩C) = P(B) P(C) , , P(A∩B∩C) = P(A∩B∩C) = P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C) . .

VARIABILE ALEATOAREVARIABILE ALEATOARE

DefiniDefiniţie ţie : Fie : Fie (Ω, P(Ω), P) un câmp de (Ω, P(Ω), P) un câmp de probabilitate. Orice aplicaţie probabilitate. Orice aplicaţie X : Ω X : Ω ℝℝ ,,

se numeşte variabilă aleatoare relativă se numeşte variabilă aleatoare relativă la probabilitatea P.la probabilitatea P.

DefiniţieDefiniţie : O variabilă aleatoare se : O variabilă aleatoare se numeşte numeşte discretădiscretă dacă are o mulţime dacă are o mulţime finităfinită , sau numărabilă de valori. O , sau numărabilă de valori. O variabilă aleatoare se numeşte variabilă aleatoare se numeşte continuăcontinuă dacă are ca mulţime de valori un dacă are ca mulţime de valori un interval mărginit al dreptei reale.interval mărginit al dreptei reale.

Variabilele aleatoare întâlnite în Variabilele aleatoare întâlnite în practică sunt de două tipuri: practică sunt de două tipuri: calitativecalitative sau sau cantitativecantitative..

Variabilele aleatoare calitativeVariabilele aleatoare calitative au, de au, de obicei, un număr mic de valori distincte.obicei, un număr mic de valori distincte.

Variabilele aleatoare cantitativeVariabilele aleatoare cantitative sunt sunt mărimi măsurabile, cum ar fimărimi măsurabile, cum ar fi numărul numărul de defecţiuni care se identifică la de defecţiuni care se identifică la controlul unui aparat electronic, controlul unui aparat electronic, înălţimea unor plante,înălţimea unor plante, greutatea greutatea corporală a unor oameni, sumele corporală a unor oameni, sumele depuse de clienţi la o bancă etc.depuse de clienţi la o bancă etc.

A.A. Caracteristici de poziţie ale unei variabile Caracteristici de poziţie ale unei variabile aleatoare X,aleatoare X, pentru care pentru care P(X=xP(X=xii)=p)=pii, i=1,, i=1,…,r…,r ..

**MEDIA MEDIA este valoarea numerică asociată este valoarea numerică asociată

variabilei X care se calculează după formulavariabilei X care se calculează după formula : : M(X) = M(X) = xx11pp11 + + xx22pp22 + … + + … + xxrrpprr . . **MEDIANAMEDIANA este o valoare numericeste o valoare numerică notată ă notată

Me(X) Me(X) , care împarte valorile lui X în două , care împarte valorile lui X în două grupe de probabilităţi aproximativ egale. Ea se grupe de probabilităţi aproximativ egale. Ea se defineşte astfel : Se consideră valorile variabilei defineşte astfel : Se consideră valorile variabilei ordonate crescător , ordonate crescător ,

xx11 ≤ ≤ xx22 ≤ ...≤ ≤ ...≤ xxrr. Mediana este acea valoare a . Mediana este acea valoare a variabile X care satisface proprietăţile variabile X care satisface proprietăţile P(X<Me(X)) ≤ 1P(X<Me(X)) ≤ 1/2/2 , ,

P(X ≤ Me(X)) ≥ 1P(X ≤ Me(X)) ≥ 1/2/2.. *MOD-UL*MOD-UL (sau dominanta), notat (sau dominanta), notat Mo(X)Mo(X) , este , este

valoarea (unică sau nu) care are probabilitatea valoarea (unică sau nu) care are probabilitatea cea mai mare de apariţie.cea mai mare de apariţie.

B.B. Caracteristici de împrăştiere ale unei variabile Caracteristici de împrăştiere ale unei variabile aleatoare X, pentru care aleatoare X, pentru care P(X=xP(X=xii)=p)=pii, i=1,...,r., i=1,...,r.

*DISPERSIA*DISPERSIA este valoarea numerică asociată este valoarea numerică asociată variabilei X care se calculează după formula variabilei X care se calculează după formula

DDxxD(X)=(xD(X)=(x11 – M(X))(x – M(X))(x11 – M(X))p – M(X))p11 + … ++ … + (x (xrr – – M(X))(xM(X))(xrr – M(X))p – M(X))pr r

*ABATEREA MEDIE STANDARD*ABATEREA MEDIE STANDARD este egală cu este egală cu rădăcina pătrată pozitivă a dispersiei.rădăcina pătrată pozitivă a dispersiei.

*AMPLITUDINEA*AMPLITUDINEA este egală cu diferenţa este egală cu diferenţa dintre cea mai mare şi cea mai mică dintre dintre cea mai mare şi cea mai mică dintre valorile variabilei Xvalorile variabilei X

A(X) = maxxA(X) = maxx11,...,x,...,xrr - minx - minx11,...,x,...,xrr

)(XDxD )(XDxD )(XDxD )(XDxD

SCHEME CLASICE DE SCHEME CLASICE DE PROBABILITATEPROBABILITATE

1. SCHEMA LUI POISSON1. SCHEMA LUI POISSON

P(x) = (pP(x) = (p11x x + q+ q11)(p)(p22x + qx + q22)…(p)…(pnnx + x + qqnn))

2.2. SCHEMA LUI BERNOULLI SCHEMA LUI BERNOULLI

* * PROIECT PROIECT REALIZAT REALIZAT DEDE

STANCIU RALUCASTANCIU RALUCA

clasa a X a Aclasa a X a A

**LICEUL “ION NECULCE”LICEUL “ION NECULCE”

**Profesor coordonator: Profesor coordonator:

CARMEN TAFLARUCARMEN TAFLARU