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EntscheidungstheorieTeil 1
Thomas Kämpke
Entscheidungstheorie | Teil 1Seite 2
Inhalt
– Kompakteinstieg Wahrscheinlichkeitsrechnung– Wahrscheinlichkeitsmaß P auf Grundraum !– Einfaches Lotto– Stochastische Unabhängigkeit– Verknüpfung von stochastisch Unabhängig mit
Präferenzrelationen – Würfel von Efron– Stochastische Unabhängigkeit– Bedingte Wahrscheinlichkeit– Rechnen mit bedingten Wahrscheinlichkeiten– Zufallsvariablen– Erwartungswert und Varianz– Entscheidungsbäume– Verteilungsfunktionen
"""""
""""""""
Entscheidungstheorie | Teil 1Seite 3
Kompakteinstieg Wahrscheinlichkeitsrechnung (1/2)
Wahrscheinlichkeits-Rechnung oder Wahrscheinlichkeits-Theoriebeschreibt Vorgänge mit unsicherem/unvorhersehbarem Ergebnis.
Ergebnis „vollkommen“ unvorhersehbar ! Würfel, Lotto etc.Ergebnis „teilweise“ vorhersehbar ! Längenmessung mitSchwankungen
WichtigDas Kausalitätsprinzip „gleiche Ursache haben gleiche Wirkungen“ wirdnicht verletzt, aber umgangen.Es wird nicht nach (letzten) Ursachen gesucht.
Wahrscheinlichkeiten beziehen sich immer auf Ereignisse. Nicht weiterteilbare Ereignisse sind Elementarereignisse.
Beim Würfeln: {2, 4, 6} ist das Ereignis „gerades Ergebnis“{5} ist ein Elementarereignis
Entscheidungstheorie | Teil 1Seite 4
Kompakteinstieg Wahrscheinlichkeitsrechnung (2/2)
Ereignisse sind nicht unbedingt numerisch, z.B. Ampelsignal.
Zufall weder gut noch schlecht !!(" Zentrales Motiv der Entscheidungstheorie; denn oft gibt es kein„richtig oder falsch“ oder nur ein „dies bevorzugt gegenüber jenem“)
Zufall könnte negativ sein, da Kausalität fehlt.Bei Börsenkursen ist dies aber generell unklar.
Entscheidungstheorie | Teil 1Seite 5
Wahrscheinlichkeitsmaß P auf Grundraum # (1/2)
Der Wert P(E ) ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E.
( ) !"=##$
%&&'
(
=!
!"))
*+
=
+
=i
ii
ii EEPEP
P
EEPO
Ereignisse disjunkte paarweise für
,
11
1)(
1)(
U
Entscheidungstheorie | Teil 1Seite 6
Wahrscheinlichkeitsmaß P auf Grundraum # (2/2)
Beispiel:
Wahrscheinlichkeiten können ohneBeachtung von Häufigkeiten angesetztwerden!
Dies ist aber nicht sinnvoll.
{ }6,5,4,3,2,1 =!
{}( )
{ }( )
{}( )
{ }( )
{}( )
{}( )626
615
614
1213
1212
611
=
=
=
=
=
=
P
P
P
P
P
P
{ }( ) { }( ) { }( ) {}( )
127
62
61
121
6426,4,2
=++=
++= PPPP
Entscheidungstheorie | Teil 1Seite 7
Einfaches Lotto (1/3)
Nur 1 von 49 Kugeln wird gezogen,alle Kugeln mit derselben Wahrscheinlichkeit ! = {1, … , 49}.
Wahrscheinlichkeit hat mit Zählen zu tun!
Alle Wahrscheinlichkeiten gleich gross:„Prinzip des unzureichenden Grundes“
{}( ) { }( ) { }( )
{ }( ) {}( ) { }( ) d.h. ,
...
4914949...149,...,11
4921
=!"=++==
====
ccPPP
cPPP
reignisseElementare #reignisElementare für lichkeitWahrschein 1
=
Entscheidungstheorie | Teil 1Seite 8
Einfaches Lotto (2/3)
Wahrscheinlichkeit für 2 Kugeln,Ziehen ohne zurücklegen.
Reihenfolge spielt keine Rolle, aber Berechnungeinfacher bei Berücksichtigung der Reihenfolge.
Allgemein:
für jedes ungeordnete Paargibt es 2 geordnete Paare!!
"
#$$%
&=
'=
'=
249
24849
4849
Paare enungeordnet der #
Paare ngerordnete der #
( ) ( )
. :Kugeln gezogenen bei " über "
... Einheiten. mit theitGrundgesam in
ung Wiederholohne Paare eungeordnet gibt Es
6
2
108,136...144...49
649
6649
221
!"!!
!!=##
$
%&&'
(
=##$
%&&'
(=
)!
n
nOnnn
Entscheidungstheorie | Teil 1Seite 9
Einfaches Lotto (3/3)
{ }
( )Teilmengen elementige- #
von Teilmengen elementige-2 #
ung Wiederholohne Paare erungeordnet #
kkknn
kn
n
n
=!!
+"!!=##
$
%&&'
(
=
=##$
%&&'
(
...11...
...,,12
{ {
)Rechnung! (ohne
Teilmengen aller #
n
nn
nnnn
2
1...
1011
=
=!!"
#$$%
&+!!"
#$$%
&
'++!!
"
#$$%
&+!!"
#$$%
&
Entscheidungstheorie | Teil 1Seite 10
Stochastische Unabhängigkeit (1/3)
Zwei Ereignisse sind unabhängig oder stochastisch unabhängig, wenn P(E,F) = P(E) ·P(F) für Ereignisse E, F.
Wenn E und F jeweils alle Ereignisse durchlaufen, bezeichnetP(E,F) = PProd(E,F) = Pgem(E,F) = PVerbund(E,F)
die gemeinsame Wahrscheinlichkeit oder gemeinsamer Verteilung und
P(E) = P1(E), P(F) = P2(F)die Randverteilungen oder Marginalverteilungen.
Zweimaliges Würfeln ist stochastisch unabhängig, wenn
Es können aber auch Ereignisse E " S # T betrachtet werden.Dann Formulierung P(E $ F) = P(E) · P(F).
Ereignisse unabhängig bei unabhängigem Würfeln?
( ){ }( ) { }( ) { }( )
.6...,,1,361
61
61
.2.121
Wurf Wurf Wurf , Wurf
==!=
=!====
ji
jPiPj.i.P
Entscheidungstheorie | Teil 1Seite 11
Stochastische Unabhängigkeit (2/3)
Beispiel:Zweimaliges Würfeln bei unabhängigen Würfeln
E: Summe der Ergebnisse ist 6F: Im ersten Wurf 5
Ereignisse E und F trotzunabhängigem Würfelnsabhängig!!
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }( )( ){ }( ) ( ){ }( )
( ) {}( )
( ) ( ){ }( )
( ) ( ) ( )FPEPFEP
PFEP
PFP
PPPEP
!="==
=!==
==
=!++!=
++=
=
2165
2166
361,
361
61
611,5,
615
365
61
61...
61
61
1,5...5,11,5,2,4,3,3,4,2,5,1
Entscheidungstheorie | Teil 1Seite 12
Stochastische Unabhängigkeit (3/3)
Beispiel:Zweimaliges Würfeln bei unabhängigen Würfeln
E: Summe der Ergebnisse ist 7F: Im ersten Wurf 5
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }( )
( )
( ) ( ){ }( )
( ) ( ) ( )FPEPFEP
PFEP
FP
PEP
!==
=!==
=
===
361,
361
61
612,5,
61
61
3661,6,2,5,3,4,4,3,5,2,6,1
oben siehe
Diese Ereignisse sind (stochastisch)unabhängig beim selben Vorgang.D.h. stochastische Unabhängigkeithängt nicht nur vom Zufallsvorgangoder „Zufallsexperiment“ ab, sondernauch von der Fragestellung.
Entscheidungstheorie | Teil 1Seite 13
Verknüpfung von stochastisch Unabhängig mitPräferenzrelationen (1/1)
A B „A besser als B“„A wird als besser angesehen als B“„A wird gegenüber B bevorzugt“
Präferenzrelation ist binär, mit einer Mindestanforderung:
Transitivität
Entscheidungstheorie | Teil 1Seite 14
Würfel von Efron (1/2)
Gegenseiten haben jeweils dieselbe Zahl.
Jeder Würfel kann grösseres oder kleineres Ergebnis haben als jederandere! Eine binäre Relation zwischen den Würfeln wird angesetzt zu
1
9
5
A B C
3
8
4 2
7
6
( )2121
21>>! mit Wurfbei Augenzahl mit Wurfbei Augenzahl:
Würfel WürfelP
f
Entscheidungstheorie | Teil 1Seite 15
Würfel von Efron (2/2)
Dann ist A B C A, denn:
Würfelergebnisse stochastisch unabhängig %
% Überraschungen bei Transitivität und Wahrscheinlichkeit möglich!
( )BAP von Augenzahl von Augenzahl >
( )( )
21
>>=
>=
ACPCBP von Augenzahl von Augenzahl
von Augenzahl von Augenzahl
( )BAP von Augenzahl von Augenzahl >
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
953,54,53,94,98,9
3,5,4,5,3,9,4,9,8,9
91
=++++=
=
PPPPPP
43421
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )952,3,2,4,2,8,6,8,7,8 ==> von Augenzahl von Augenzahl PCBP
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )951,2,1,6,5,6,1,7,3,7 ==> von Augenzahl von Augenzahl PACP
Entscheidungstheorie | Teil 1Seite 16
Stochastische Unabhängigkeit (1/2)
Mehr als zwei Ereignisse E1, …, Er sind stochastisch unabhängig,wenn jede Auswahl dieser Ereignisse die Produktbedingungen
erfüllt.
Stochastische Unabhängigkeit ergibt sich nicht aus paarweiserstochastischer Unabhängigkeit.
( ) ( ) ( ) nrEPEPEEPrr iiii !""= ......,,
11
Entscheidungstheorie | Teil 1Seite 17
Stochastische Unabhängigkeit (2/2)
Beispiel:Behälter mit 4 Kugeln, 1, 2, 3, 4.Es wird einmal gezogen.
Ereignisse: E = {1, 2}, F = {1, 3}, G = {1, 4} (keine Elementarereignisse)
( ) ( ) ( )
{}( )
( ) {}( )
( ) {}( )
( ) ( ) ( )
( ) {}( ) ( ) ( ) ( )GPFPEPPEFGP
FPEPEFP
PFGP
PEGP
PEFP
GPFPEP
!!="==
!=
==
==
==
===
81
411
411
411
411)(
21
aber etc.,
Entscheidungstheorie | Teil 1Seite 18
Bedingte Wahrscheinlichkeit (1/5)
Bedingte Wahrscheinlichkeit A, B " S
Grundidee:Was besagt das bedingende Ereignis B über das bedingte Ereignis A?
Würfelt A = {5} und B = {2, 4, 6}. Dann ist P(A | B) die Wahrscheinlich-keit dafür, dass 5 fällt unter der Kenntnis, dass gerade Zahl fällt.
D.h. P(A | B) ! P(A) ! P(A | B) möglich.
( ) ( )( )
( ) 0| >!
= BPBPBAPBAP für
{} { }( ) {} { }( ){ }( )
( ){ }( )
{ } { }( ) { }( ){ }( ) 3
1
6361
6,4,246,4,2|4
06,4,26,4,2
6,4,256,4,2|5
===
=/
=!
=
PPP
POP
PPP
Das gemeinsame Eintreten von2 Ereignissen ist ihr Durchschnitt
Entscheidungstheorie | Teil 1Seite 19
Bedingte Wahrscheinlichkeit (2/5)
Was ist bei Gleichheit?
d.h. die Ereignisse sind unabhängig & bedingte Wahrscheinlichkeit
= unbedingte Wahrscheinlichkeit
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )BAPBPAPBPBAPBAP
!="#
!=|
Entscheidungstheorie | Teil 1Seite 20
Bedingte Wahrscheinlichkeit (3/5)
Beispiel:Ein Arzt besitzt folgende Daten über die Wirksamkeit einer Behandlungs-methode, die bei fast der Hälfte der 21.100 kranken Bewohner einerRegion angewendet wurde:
Um zu entscheiden, ob die Behandlungsmethode in Zukunft weiter ange-wendet werden soll oder nicht, berechnet der Arzt die Wahrscheinlichkeitzu überleben unter der Bedingung, dass behandelt wurde und die Wahr-scheinlichkeit zu überleben, unter der Bedingung, dass nicht behandeltwurde.
Es gilt P(A | B) = 0,1084 und P(A | BC) = 0,4591.
Bedeutet dies, dass nicht behandeln besser ist als behandeln?
5.00059509.000gestorben
5.00095501.000überlebend
unbehandeltbehandeltunbehandeltbehandelt
LandbewohnerStadtbewohner Es bedeutet:
A = überlebend
B = behandelt
C = Stadtbewohner
Entscheidungstheorie | Teil 1Seite 21
Bedingte Wahrscheinlichkeit (4/5)
Die gesuchten Wahrscheinlichkeiten:
Für Stadt- und Landbewohner (getrennt) erhöhen sich also diejeweiligen Überlebenswahrscheinlichkeiten durch Behandlung.
Stadtbewohner Landbewohner
( ) ( )( )
( ) ( )( ) 4591,0
110005050
5000500095050500050|
1084,0101001095
59590001000951000|
==+++
+=
!=
==+++
+=
!=
C
CC
BPBAPBAP
BPBAPBAP '
'
( ) ( )( )
( ) ( )( ) 4591,0
110005050|1084,0
101001095| ====== C
CC
BPABPBAP
BPABPBAP und
( ) ( )( )
( ) ( )( ) 05,0
100050|
1,0100001000|
===
===
CBPCABPCBAP
BCPABCPBCAP
C
CC
( ) ( )( )
( ) ( )( ) 5,0
100005000|
95,010095|
===
===
CC
CCCC
C
CC
CBPCABPCBAP
BCPABCPBCAP
Entscheidungstheorie | Teil 1Seite 22
Bedingte Wahrscheinlichkeit (5/5)
Zwei Effekte beeinflussen das Überleben:Behandlung und Wohnort. Es ist
P(A | BC) = 0,1 < 0,5 = P(A | BCCC),
d.h. die Wahrscheinlichkeit zu überleben ist für Landbewohner ohneBehandlung viel größer als für Stadtbewohner mit Behandlung!Da aber unter den behandelten Einwohnern relativ vieleStadtbewohner sind
unterscheiden sich P(A | B) und P(A | BC) nur kaum.
Der unkontrollierbare Effekt „Wohnort“ dominiert den kontrollierbarenEffekt „Behandlung“.
% Jeweils Detailbetrachtung erforderlich!
( ) ( )( ) !!
"
#$$%
&== 1 bei nahe
100.10000.10|
BPCBPBCP
Entscheidungstheorie | Teil 1Seite 23
Rechnen mit bedingten Wahrscheinlichkeiten (1/2)
Wenn ! = E1 (…( En mit Ei paarweise disjunkt, dann
„Formel der totalen Zerlegung“
bedingte Wahrscheinlichkeit auf unbedingte zurückgeführt. Umkehrung evtl. sinnvoll!
( ) ( )( )BPBAPBAP !
=:|
( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )!
!
=
=
"="++"=
#=#++#=
#$$#=
$$#=%#=
n
iiinn
n
iin
n
n
EPEAPEPEAPEPEAP
EAPEAPEAP
EAEAP
EEAPAPAP
111
11
1
1
||...|
...
...
...
3211E!
321nE!
disjukt paarweise iEA!
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )iiii
ii EAPEPEAP
EPEAPEAP !="#
!= ||
Entscheidungstheorie | Teil 1Seite 24
Rechnen mit bedingten Wahrscheinlichkeiten (2/2)
Bayes (Umkehrformel)
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )!=
"
"=
"=#
="
"="$
=$="#
$=
n
jjj
iiiii
EPEAP
EPEAPAP
EPEAPAEP
ABPAPBPBAP
APABPAPAPABPABPBPBAP
BPBAPBAP
1|
|||
||
||
|
totale Zerlegungfür A
Entscheidungstheorie | Teil 1Seite 25
Zufallsvariablen (1/1)
Idee:Ergebnisse von zufälligen Vorgängen werden als Werte einerFunktion aufgefasst. Funktion heisst Zufallsvariable.
Gewöhnungsbedürftig ist:1. Eine Funktion wird „Variable“ genannt2. Von dieser Funktion werden Werte betrachtet, Argumente
werden selten betrachtet und Funktionsvorschriften sind i.a.unbekannt.
Beispiel Würfeln:X ist eine Zufallsvariable mit Werten 1, 2, … , 6.
Bei trig. Funktionen y = sin x oder Polynomen y = x2 + 7 ist jeweilsArgument und Funktionsvorschrift bekannt, bei Zufallsvariablenergibt sich der Wert ohne ein erkennbares Argument.
Entscheidungstheorie | Teil 1Seite 26
Erwartungswert und Varianz (1/1)
Zufallsvariable X reellwertig. Dann sind
Würfel:
( )
( ) ( ) ( )!
!
=
=
"=#="=
=#=
n
iii
n
iii
XxXPxXXX
xXPxX
1
222
1
EEEVa
E
Varianz
wertErwartungs
( ) 9167,25,36136...
614
611Va
5,3616...
612
611E
2 =!"++"+"=
="++"+"=
X
X
Entscheidungstheorie | Teil 1Seite 27
Entscheidungsbäume (1/10)
Bäume, bei denen sämtliche Äste aus Aktions- und Ereignisknotenbestehen.
Aktionsknoten = Entscheidungsknoten:
Aktionsknoten mit drei Aktionen; mind eine Aktion.
Ereignisknoten mit vier verschiedenen Ereignissen; terminale Knotensind Ereignisknoten ohne anschließende Ereignisse oder Aktionen.
Entscheidungstheorie | Teil 1Seite 28
Entscheidungsbäume (2/10)
Beispiel:
Es wird ein- oder zweimal gewürfelt. Zweiter Wurf nur, wenn imersten eine 6 gewürfelt wurde.
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
Würfeln
Würfeln
61
61
Entscheidungstheorie | Teil 1Seite 29
Entscheidungsbäume (3/10)
Beispiel:
An oil Wildcatter is considering drilling a well at a specific site. Wewill assume that:
1) If the well is drilled, it will be drilled for a fixed price of $150.0002) The results of drilling a well will be either:
I. finding a major source of oilII. finding a minor source of oilIII. finding no oil
3) Only one test, a seismic survey may be performed beforedesiding whether to drill. This experiment costs $20.000 andindicates for certain if the substructure of the earth is of type I(very favorable to oil), type II (less favorable) or type III(unfavorable).
Entscheidungstheorie | Teil 1Seite 30
Entscheidungsbäume (4/10)
4) The following probabilities are assigned by the companygeologist:
P(major source / type I) = 0.4 P(minor source / type I) = 0.3P(major source / type II) = 0.1 P(minor source / type II) = 0.4P(major source / type III) = 0 P(minor source / type III) = 0.3
and
P(type I) = 0.2 P(type II) = 0.3P(type III) = 0.5
5) If a major source is found, the wildcatter will immediately sell outfor $900.000. If a minor source is found, he will sell for $300.000.
Entscheidungstheorie | Teil 1Seite 31
Entscheidungsbäume (5/10)
Assume the decision maker wishes to maximize expected profits andanswer the following:
a) Draw the decision tree for this problem and clearly label all theprobabilities and all dollar consequences at the end of the tree.
b) What is the probability that oil (either a major or minor source) ispresent at the site?
c) What is the optimal strategy to follow for this problem?
d) What is the expected value of the sample imformation(i.e., the seismic survey)?
e) What is the maximum amount the wildcatter should pay forperfect information?
f) Calculate P(type I/major source) and P(type II/ minor source).
Entscheidungstheorie | Teil 1Seite 32
Entscheidungsbäume (6/10)
Beispiel (Ölbohrung)
a)bohren
nichtbohren
Test
gQ
kQ
keine Quelle
$ 750.000
$ 150.000
$ -150.000
$ 0
Typ I
Typ II
Typ III
bohren
nicht bohren
bohren
nicht bohren
bohren
nicht bohren
gQ
kQ
keine Quelle$ -20.000
gQ
kQ
keine Quelle$ -20.000
gQ
kQ
keine Quelle$ -20.000
$ 730.000
$ 130.000
$ -170.000
$ 730.000
$ 130.000
$ -170.000
$ 730.000
$ 130.000
$ -170.000
gQ: große QuellekQ: kleine Quelle0,11
0,330,56
0,2
0,3
0,5
0,40,30,3
0,10,40,5
0,30,7
Entscheidungstheorie | Teil 1Seite 33
Entscheidungsbäume (7/10)
Die Wahrscheinlichkeiten im Ast „bohren“ ergeben sich (nach der Formel der„totalen Zerlegung“) wie folgt:
Beispiel
Pr(gQ) = Pr(gQ | Typ I)* Pr(Typ I) + Pr(gQ | Typ II) * Pr(Typ II)+ Pr(gQ | Typ III) * Pr(Typ III)
= 0,4 * 0,2 + 0,1 * 0,3 + 0 * 0,5
= 0,11
Weitere WahrscheinlichkeitenBeispiel
Pr(keine Quelle | Typ II) = 1 - Pr(gQ | Typ II) - Pr(kQ | Typ II)
= 1 - 0,1 - 0,4
= 0,5
Entscheidungstheorie | Teil 1Seite 34
Entscheidungsbäume (8/10)
b)
Pr(Öl) = Pr(gQ oder kQ) = Pr(gQ) + Pr(kQ) = 0,11 + 0,33 = 0,44
c)
E(„bohren“) = 0,11 * 750.000 + 0,33 * 150.000 + 0,56 * (-150.000)= 48.000
E(„nicht bohren) = 0
E(„Test, dann weiter gemäß ) = 0,2 [0,4 * 730.000 + 0,3 * 130.000 + 0,3 * (-170.000)] + 0,3 [0,1 * 730.000 + 0,4 * 130.000 + 0,5 * (-170.000)] + 0,5 * (-20.000)= 58.000
a)
Ereignissedisjunkt
dies ist dieoptimaleStrategie
Entscheidungstheorie | Teil 1Seite 35
Entscheidungsbäume (9/10)
d)
Der Test kostet $ 20.000, mit ihm kann aber ein erwarteter Gewinn erzieltwerden, der nun $ 10.000 über dem der besten Strategie ohne Test liegt.Somit ist der erwartete Wert des Tests $ 30.000.
e)
Bei vollständiger Information:
erwarteter Gewinn bei vollständiger Information = 0,11 * 750.000 + 0,33 * 150.000 + 0,56 * 0= 132.000
erwarteter Gewinn ohne Information = 48.000
% Wert der vollständigen Information = 132.000 – 48.000 = 84.000
gQ
kQ
keine Quelle
$ 750.000
$ 150.000
$ 0
bohren
bohren
nicht bohren
0,110,33
0,56
Entscheidungstheorie | Teil 1Seite 36
Entscheidungsbäume (10/10)
f)
Pr(Typ I | gQ) = =
= = =
Pr(Typ II | kQ) = = =
#r(Typ I ⋂ gQ)
#r(gQ)#r(grQ ⋂ Typ I) * #r(Typ I) #r(Typ I) #r(gQ)
#r(grQ | Typ I) * #r(Typ I)
#r(gQ)
0,080,11
811
#r(kQ | Typ II ) * #r(Typ II)
#r(kQ)
0,120,33
411
Entscheidungstheorie | Teil 1Seite 37
Verteilungsfunktionen (1/4)
F(x) = P(X ! x) für beliebige x ) und reellwertige Zufallsvariable
Exponentialverteilung hat die „Dichte“ ! e–!x für x " 0, ! > 0.
D.h.
61
62
1
1 2 3 4 5 6
asymptotisch!
( )
!"#
<
$%=
&!
&"
#
<
$='
%
%(
000e1
00
0e0
xx
x
xdyxXP
x
xy
, ,
,
,
)
))
Entscheidungstheorie | Teil 1Seite 38
Verteilungsfunktionen (2/4)
Berechnung
!!
!
!!
!
!
!!
!!
!
1e100
10
ee
ee
eE
0
0
00
00
0
="#
$%&
'()
*+,
-..+=
.+=
+.=
+./=
/=
0.
0.0.
0.
0.
0.
1
1
1
x
xx
xx
x
e
dxx
dxx
dxxX
{1
{ 321gf !
Entscheidungstheorie | Teil 1Seite 39
Verteilungsfunktionen (3/4)
Bei Verteilungen mit Dichte darf man nicht bilden
wegen P(X = b) = 0. Das bedingte Ereignis muss mit positiverWahrscheinlichkeit eintreten!
Also z.B.
( ) ( )( )bXP
bXXPbXXP=
=!==!
...,|...
( ) ( )( )
( )( )
( )( )
( )( )( )
( ) ( )xXP
yXPyxXP
yXPyxXPyXP
yXyxXPyXyxXP
x
xy
yx
y
yx
>=!!=
==
!!
!!=
"!
+"!=
>
+>=
>
>+>=>+>
!
!!
!!
!
+!
#
##
##
#
#
e11
eeee
e11e11
11
,|
Entscheidungstheorie | Teil 1Seite 40
Verteilungsfunktionen (4/4)
D.h. P(X > x + y | X > y) = P(X > x)
z.B. P(X > 5 | X > 3) = P(X > 2) * „Gedächtnislosigkeit“der Exponentialfunktion
P(X > 2 | X > 0) – Mehrere gedächtnisloseVerteilungen
– Kein deterministischesAnalogon!
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Entscheidungstheorie | Teil 1Seite 41
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