프로그래밍언어 - Seoul National Universityropas.snu.ac.kr/~dreameye/PL/slide/PL2.pdf ·...

프로그래밍언어

모양Syntax

의미Semantics

구체적 문법Concrete Syntax

요약 문법Abstract Syntax

� 정적 의미 Static Semantics

동적 의미 Dynamic Semantics

•문장을 만드는 방법

•프로그램을 만드는 방법

“아버지가방에들어가신다”

구체적 문장Concrete Syntax

요약 문장Abstract Syntax

아버지가 방에 들어가신다주어 목적어 동사

•문장을 읽는 방법

•프로그램을 읽는 방법

“2 + 3 4”×

Concrete

Abstract

Concrete Syntax

•프로그램을 읽는 방법

•프로그램의 구조를 어떻게 다시 만들어 낼 것인가?

“2 + 3 4”×1차원

2차원

E → n| x| let x := E in E| −E| E + E

A → T| F| E = E| E ≤ E| ¬ A| A ∨A| A ∧A| A ⇒ A

+ : Z → Z → Z× : Z → Z → Z

= [[ 2 + 3 ]]× [[ 4 ]]= ([[ 2 ]] + [[ 3 ]])× 4= (2 + 3)× 4= 20

E → Z | E × T | T × E | TT → Z | T + T

F 0 = {s}F 1 = {zero}F 1 = {zero, succ(zero)}F 2 = {zero, succ(zero), succ(succ(zero))}

G = (N,E)

F (X) = {s} ∪X ∪ {b | ∀a ∈ X, (a, b) ∈ E}

ax2 + x+ 1 = 0

x =−1±

√1− 4a

append(l, [], c)

{P ⇒ Q,R ⇒ ¬Q,P ∧R} � S

프로그램

Concrete Syntax

•프로그램의 문법 구조를 혼동없이 결정

“2 + 3 4”×

방향성associativity

우선순위precedence

“2 + 3 + 4”

어디부터 묶을지

어떤 연산자가 먼저 계산될지

Abstract Syntax

•프로그램을 만드는 방법

•문법 구조의 핵심만!

•불필요한 것들은 모두 제거

“2 더하기 3을 하고, 그 결과에 4를 곱하기”

N → zero| succ(N )

[[ zero ]] = 0[[ succ(N ) ]] = [[ N ]] + 1

T → empty| node(T, T )

T → node(T, T )

[[ empty ]] =[[ node(T1, T2) ]] = [[ T1 ]] [[ T2 ]]

L → nil| cons(N ;L)

[[ nil ]] =[[ cons(N ;L) ]] = [[ N ]] [[ L ]]

i =n(n+ 1)

Base case: zero, 0 =0 ∗ (0 + 1)

Inductive case: succ(n),we have the induction hypothesisn�

i =n(n+ 1)

We want to shown+1�

i =(n+ 1)(n+ 2)

n+1�

i =n�

i+ (n+ 1) =n(n+ 1)

2+ (n+ 1) =

(n+ 1)(n+ 2)

Base case: empty, e = 1, n = 0Inductive case: node(T1, T2),we have the induction hypothesis e1 = n1 + 1 and e2 = n2 + 1.

We want to show e = n+ 1.e = e1 + e2 = n1 + 1 + n2 + 1 and n = n1 + n2 + 1.

E → Z| E + E| E − E| E × E| E % E

Semantics정적 의미

Static Semantics동적 의미

Dynamic Semantics

실행 전에 알 수 있는 실행해야 알 수 있는타입, 변수의 범위 값, 메모리 상태

정수의 타입 20의 값

Semantics프로그램의 의미는 그 프로그램의 문법구조가

결정되면 혼동없이 결정될 수 있어야.

[[ Z ]] = Z[[ E1 + E2 ]] = [[ E1 ]] + [[ E2 ]]

[[ E1 % E2 ]] = [[ E1 ]] mod [[ E2 ]]

9 ∗ 2 + 10/2 ∗ 7 + 3 % 2

[[ Z ]] = Z[[ E1 + E2 ]] = [[ E1 ]] + [[ E2 ]]

[[ E1 % E2 ]] = [[ E1 ]] mod [[ E2 ]]

9 ∗ 2 + 10/2 ∗ 7 + 3 % 2

= [[ 2 + 3 ]]× [[ 4 ]]= ([[ 2 ]] + [[ 3 ]])× 4= (2 + 3)× 4= 20

E → Z | E + T | T + ET → Z | T × T

G = (N,E)

F (X) = {s} ∪X ∪ {b | ∀a ∈ X, (a, b) ∈ E}

ax2 + x+ 1 = 0

x =−1±

√1− 4a

append(l, [], c)

{P ⇒ Q,R ⇒ ¬Q,P ∧R} � S

{g1, ..., gn} � f

[[ g1 ∧ .... ∧ gn ⇒ f ]] = true

∀x ∈ S.P (x)

(∀Ji.P (Ji)) ⇒ P (J)

JP (J)

J1 ... JnJ

∈ R, J1 ... Jn ∈ S ⇒ J ∈ S

F (X) = {J | J1 ... JnJ

∈ R, J1 ... Jn ∈ X}

+ : Z → Z → Z× : Z → Z → Z

= [[ 2 + 3 ]]× [[ 4 ]]= ([[ 2 ]] + [[ 3 ]])× 4= (2 + 3)× 4= 20

E → Z | E + T | T + ET → Z | T × T

G = (N,E)

F (X) = {s} ∪X ∪ {b | ∀a ∈ X, (a, b) ∈ E}

ax2 + x+ 1 = 0

x =−1±

√1− 4a

append(l, [], c)

{P ⇒ Q,R ⇒ ¬Q,P ∧R} � S

{g1, ..., gn} � f

[[ g1 ∧ .... ∧ gn ⇒ f ]] = true

∀x ∈ S.P (x)

(∀Ji.P (Ji)) ⇒ P (J)

JP (J)

J1 ... JnJ

∈ R, J1 ... Jn ∈ S ⇒ J ∈ S

왜?+ : Z → Z → Z× : Z → Z → Z

= [[ 2 + 3 ]]× [[ 4 ]]= ([[ 2 ]] + [[ 3 ]])× 4= (2 + 3)× 4= 20

E → Z | E + T | T + ET → Z | T × T

G = (N,E)

F (X) = {s} ∪X ∪ {b | ∀a ∈ X, (a, b) ∈ E}

ax2 + x+ 1 = 0

x =−1±

√1− 4a

append(l, [], c)

{P ⇒ Q,R ⇒ ¬Q,P ∧R} � S

{g1, ..., gn} � f

[[ g1 ∧ .... ∧ gn ⇒ f ]] = true

∀x ∈ S.P (x)

(∀Ji.P (Ji)) ⇒ P (J)

JP (J)

J1 ... JnJ

∈ R, J1 ... Jn ∈ S ⇒ J ∈ S

문법과 의미의 귀납적 정의Inductive Definition

선언논리+

[[ · ]] : E → Z[[ · ]] : A → bool

[[ Z ]] = Z[[ x ]] = ?

[[ let x := E1 in E2 ]] = ?[[ −E ]] = −[[ E ]]

[[ E1 + E2 ]] = [[ E1 ]] + [[ E2 ]]

E → Z| x| let x := E in E| −E| E + E

A → T| F| E = E| E ≤ E| ¬ A| A ∨A| A ∧A| A ⇒ A

+ : Z → Z → Z× : Z → Z → Z

= [[ 2 + 3 ]]× [[ 4 ]]= ([[ 2 ]] + [[ 3 ]])× 4= (2 + 3)× 4= 20

E → Z | E + T | T + ET → Z | T × T

[[ E ]] : Z[[ A ]] : bool

[[ Z ]] = Z[[ x ]] = ?

[[ let x := E1 in E2 ]] = ?[[ −E ]] = −[[ E ]]

[[ E1 + E2 ]] = [[ E1 ]] + [[ E2 ]]

E → Z| x| let x := E in E| −E| E + E

A → T| F| E = E| E ≤ E| ¬ A| A ∨A| A ∧A| A ⇒ A

+ : Z → Z → Z× : Z → Z → Z

= [[ 2 + 3 ]]× [[ 4 ]]= ([[ 2 ]] + [[ 3 ]])× 4= (2 + 3)× 4= 20

E → Z | E + T | T + ET → Z | T × T

[[ E ]] : Z[[ A ]] : bool

[[ Z ]] = Z[[ x ]] = ?

[[ let x := E1 in E2 ]] = ?[[ −E ]] = −[[ E ]]

[[ E1 + E2 ]] = [[ E1 ]] + [[ E2 ]]

E → Z| x| let x := E in E| −E| E + E

A → T| F| E = E| E ≤ E| ¬ A| A ∨A| A ∧A| A ⇒ A

+ : Z → Z → Z× : Z → Z → Z

= [[ 2 + 3 ]]× [[ 4 ]]= ([[ 2 ]] + [[ 3 ]])× 4= (2 + 3)× 4= 20

E → Z | E + T | T + ET → Z | T × T

expression assertion

σ ∈ Env = Id → Int

[[ E ]] : Env → Z[[ A ]] : bool

[[ Z ]] = Z[[ x ]] = ?

[[ let x := E1 in E2 ]] = ?[[ −E ]] = −[[ E ]]

[[ E1 + E2 ]] = [[ E1 ]] + [[ E2 ]]

[[ E1 = E2 ]] = [[ E1 ]]eq[[ E2 ]][[ E1 ≤ E2 ]] = [[ E1 ]]le[[ E2 ]]

E → n| x| let x := E in E| −E| E + E

A → T| F| E = E| E ≤ E| ¬ A| A ∨A| A ∧A| A ⇒ A

+ : Z → Z → Z× : Z → Z → Z

= [[ 2 + 3 ]]× [[ 4 ]]= ([[ 2 ]] + [[ 3 ]])× 4= (2 + 3)× 4= 20

E → Z | E + T | T + ET → Z | T × T

선언문의 의미

��

�� compositional definition

[[T ]] = true

[[F ]] = false

[[¬f ]] = not[[f ]]

[[f1 ∧ f2]] = [[f1]] andalso [[f2]]

[[f1 ∨ f2]] = [[f1]] orelse [[f2]]

[[f1 ⇒ f2]] = [[f1]] implies [[f2]]

�� f� �� .

assertion[[ E ]] : Z[[ A ]] : bool

[[ Z ]] = Z[[ x ]] = ?

[[ let x := E1 in E2 ]] = ?[[ −E ]] = −[[ E ]]

[[ E1 + E2 ]] = [[ E1 ]] + [[ E2 ]]

[[ E1 = E2 ]] = [[ E1 ]]eq[[ E2 ]][[ E1 ≤ E2 ]] = [[ E1 ]]le[[ E2 ]]

E → Z| x| let x := E in E| −E| E + E

A → T| F| E = E| E ≤ E| ¬ A| A ∨A| A ∧A| A ⇒ A

+ : Z → Z → Z× : Z → Z → Z

= [[ 2 + 3 ]]× [[ 4 ]]= ([[ 2 ]] + [[ 3 ]])× 4= (2 + 3)× 4= 20

E → Z | E + T | T + ET → Z | T × T

궁극을 드러내는denotational semantics

프로그램 식의 의미

변수의 의미를 어떻게 정의하지?

[[ E ]] : Z[[ A ]] : bool

[[ Z ]] = Z[[ x ]] = ?

[[ let x := E1 in E2 ]] = ?[[ −E ]] = −[[ E ]]

[[ E1 + E2 ]] = [[ E1 ]] + [[ E2 ]]

E → Z| x| let x := E in E| −E| E + E

A → T| F| E = E| E ≤ E| ¬ A| A ∨A| A ∧A| A ⇒ A

+ : Z → Z → Z× : Z → Z → Z

= [[ 2 + 3 ]]× [[ 4 ]]= ([[ 2 ]] + [[ 3 ]])× 4= (2 + 3)× 4= 20

E → Z | E + T | T + ET → Z | T × T

expressionσ ∈ Env = Id → Int

[[ E ]] : Env → Z[[ A ]] : bool

[[ n ]] = n[[ x ]] = ?

[[ let x := E1 in E2 ]] = ?[[ −E ]] = −[[ E ]]

[[ E1 + E2 ]] = [[ E1 ]] + [[ E2 ]]

[[ E1 = E2 ]] = [[ E1 ]]eq[[ E2 ]][[ E1 ≤ E2 ]] = [[ E1 ]]le[[ E2 ]]

E → n| x| let x := E in E| −E| E + E

A → T| F| E = E| E ≤ E| ¬ A| A ∨A| A ∧A| A ⇒ A

+ : Z → Z → Z× : Z → Z → Z

= [[ 2 + 3 ]]× [[ 4 ]]= ([[ 2 ]] + [[ 3 ]])× 4= (2 + 3)× 4= 20

E → Z | E + T | T + ET → Z | T × T

환경의 필요성!Environment

[[ E ]] : Env → Z[[ A ]] : bool

[[ Z ]] = Z[[ x ]] = ?

[[ let x := E1 in E2 ]] = ?[[ −E ]] = −[[ E ]]

[[ E1 + E2 ]] = [[ E1 ]] + [[ E2 ]]

[[ E1 = E2 ]] = [[ E1 ]]eq[[ E2 ]][[ E1 ≤ E2 ]] = [[ E1 ]]le[[ E2 ]]

E → Z| x| let x := E in E| −E| E + E

A → T| F| E = E| E ≤ E| ¬ A| A ∨A| A ∧A| A ⇒ A

+ : Z → Z → Z× : Z → Z → Z

= [[ 2 + 3 ]]× [[ 4 ]]= ([[ 2 ]] + [[ 3 ]])× 4= (2 + 3)× 4= 20

E → Z | E + T | T + ET → Z | T × T

[[ E ]] : Env → Z[[ A ]] : bool

[[ Z ]] = Z[[ x ]] = ?

[[ let x := E1 in E2 ]] = ?[[ −E ]] = −[[ E ]]

[[ E1 + E2 ]] = [[ E1 ]] + [[ E2 ]]

[[ E1 = E2 ]] = [[ E1 ]]eq[[ E2 ]][[ E1 ≤ E2 ]] = [[ E1 ]]le[[ E2 ]]

E → Z| x| let x := E in E| −E| E + E

A → T| F| E = E| E ≤ E| ¬ A| A ∨A| A ∧A| A ⇒ A

+ : Z → Z → Z× : Z → Z → Z

= [[ 2 + 3 ]]× [[ 4 ]]= ([[ 2 ]] + [[ 3 ]])× 4= (2 + 3)× 4= 20

E → Z | E + T | T + ET → Z | T × T

[[ n ]]σ = n[[ x ]]σ = σ(x)

[[ let x := E1 in E2 ]]σ = [[ E2 ]]σ{x �→ [[ E1 ]]σ}[[ −E ]]σ = −[[ E ]]σ

[[ E1 + E2 ]]σ = [[ E1 ]]σ + [[ E2 ]]σ

[[ E1 = E2 ]] = [[ E1 ]]eq[[ E2 ]][[ E1 ≤ E2 ]] = [[ E1 ]]le[[ E2 ]]

[[ E ]] : Env → Z[[ A ]] : bool

[[ n ]] = n[[ x ]] = ?

[[ let x := E1 in E2 ]] = ?[[ −E ]] = −[[ E ]]

[[ E1 + E2 ]] = [[ E1 ]] + [[ E2 ]]

[[ E1 = E2 ]] = [[ E1 ]]eq[[ E2 ]][[ E1 ≤ E2 ]] = [[ E1 ]]le[[ E2 ]]

E → n| x| let x := E in E| −E| E + E

A → T| F| E = E| E ≤ E| ¬ A| A ∨A| A ∧A| A ⇒ A

+ : Z → Z → Z× : Z → Z → Z

= [[ 2 + 3 ]]× [[ 4 ]]= ([[ 2 ]] + [[ 3 ]])× 4= (2 + 3)× 4= 20

E → Z | E + T | T + ET → Z | T × T

환경의 필요성!Environment

[[ n ]]σ = n[[ x ]]σ = σ(x)

[[ E1 + E2 ]]σ = [[ E1 ]]σ + [[ E2 ]]σ

[[ E1 = E2 ]] = [[ E1 ]]∅eq[[ E2 ]]∅[[ E1 ≤ E2 ]] = [[ E1 ]]∅le[[ E2 ]]∅

[[ let x := 2 in let y:= x + 3 in x + y ]]∅= [[ let y:= x + 3 in x + y ]]{x �→ 2}= [[ x + y ]]{x �→ 2, y �→ 5}= 7

let x := 2 in let y:= 3 in x + y

[[ E ]] : Env → Z[[ A ]] : bool

[[ n ]] = n[[ x ]] = ?

[[ let x := E1 in E2 ]] = ?[[ −E ]] = −[[ E ]]

[[ E1 + E2 ]] = [[ E1 ]] + [[ E2 ]]

[[ E1 = E2 ]] = [[ E1 ]]eq[[ E2 ]][[ E1 ≤ E2 ]] = [[ E1 ]]le[[ E2 ]]

E → n| x| let x := E in E| −E| E + E

A → T| F| E = E| E ≤ E| ¬ A| A ∨A| A ∧A| A ⇒ A

+ : Z → Z → Z× : Z → Z → Z

닫혀 있는 프로그램 = 빈 환경에서 안전하게 실행된다.

프로그램 식의 타입Γ ∈ TypeEnv = Id → Type

[[ n ]]σ = n[[ x ]]σ = σ(x)

[[ E1 + E2 ]]σ = [[ E1 ]]σ + [[ E2 ]]σ

[[ E1 = E2 ]] = [[ E1 ]]∅eq[[ E2 ]]∅[[ E1 ≤ E2 ]] = [[ E1 ]]∅le[[ E2 ]]∅

[[ E ]] : Env → Z[[ A ]] : bool

[[ n ]] = n[[ x ]] = ?

[[ let x := E1 in E2 ]] = ?[[ −E ]] = −[[ E ]]

[[ E1 + E2 ]] = [[ E1 ]] + [[ E2 ]]

[[ E1 = E2 ]] = [[ E1 ]]eq[[ E2 ]][[ E1 ≤ E2 ]] = [[ E1 ]]le[[ E2 ]]

E → n| x| let x := E in E| −E| E + E

A → T| F| E = E| E ≤ E| ¬ A| A ∨A| A ∧A| A ⇒ A

Γ ∈ TypeEnv = Id → Type

Type := τ | Int | Bool | Type → Type

Γ � n : Int (constant)

Γ(x) = τ

Γ � x : τ (variable)

Γ � E1 : τ1 Γ, x : τ1 � E2 : τ2Γ � let x := E1 in E2 : τ2 (letin)

Γ � E : IntΓ � −E : Int

Γ � E1 : Int Γ � E2 : IntΓ � E1 + E2 : Int

[[ n ]]σ = n[[ x ]]σ = σ(x)

[[ E1 + E2 ]]σ = [[ E1 ]]σ + [[ E2 ]]σ

[[ E1 = E2 ]] = [[ E1 ]]∅eq[[ E2 ]]∅[[ E1 ≤ E2 ]] = [[ E1 ]]∅le[[ E2 ]]∅

[[ E ]] : Env → Z[[ A ]] : bool

[[ n ]] = n[[ x ]] = ?

[[ let x := E1 in E2 ]] = ?[[ −E ]] = −[[ E ]]

[[ E1 + E2 ]] = [[ E1 ]] + [[ E2 ]]

[[ E1 = E2 ]] = [[ E1 ]]eq[[ E2 ]][[ E1 ≤ E2 ]] = [[ E1 ]]le[[ E2 ]]

함수 타입정의

Type → τ | Int | Bool | Type → Type

Γ(x) = τ

[[ n ]]σ = n[[ x ]]σ = σ(x)

[[ E1 + E2 ]]σ = [[ E1 ]]σ + [[ E2 ]]σ

[[ E1 = E2 ]] = [[ E1 ]]∅eq[[ E2 ]]∅[[ E1 ≤ E2 ]] = [[ E1 ]]∅le[[ E2 ]]∅

T [[ E ]] : Env → Z[[ A ]] : bool

선언문의 의미��

�� compositional definition

[[T ]] = true

[[F ]] = false

[[¬f ]] = not[[f ]]

[[f1 ∧ f2]] = [[f1]] andalso [[f2]]

[[f1 ∨ f2]] = [[f1]] orelse [[f2]]

[[f1 ⇒ f2]] = [[f1]] implies [[f2]]

�� f� �� .

assertion

[[ n ]]σ = n[[ x ]]σ = σ(x)

[[ E1 + E2 ]]σ = [[ E1 ]]σ + [[ E2 ]]σ

[[ E1 = E2 ]] = [[ E1 ]]∅eq[[ E2 ]]∅[[ E1 ≤ E2 ]] = [[ E1 ]]∅le[[ E2 ]]∅

[[ E ]] : Env → Z[[ A ]] : bool

[[ n ]] = n[[ x ]] = ?

[[ let x := E1 in E2 ]] = ?[[ −E ]] = −[[ E ]]

[[ E1 + E2 ]] = [[ E1 ]] + [[ E2 ]]

[[ E1 = E2 ]] = [[ E1 ]]eq[[ E2 ]][[ E1 ≤ E2 ]] = [[ E1 ]]le[[ E2 ]]

E → n| x| let x := E in E| −E| E + E

A → T| F| E = E| E ≤ E| ¬ A| A ∨A| A ∧A| A ⇒ A

+ : Z → Z → Z× : Z → Z → Z

= [[ 2 + 3 ]]× [[ 4 ]]= ([[ 2 ]] + [[ 3 ]])× 4= (2 + 3)× 4= 20

E → Z | E + T | T + ET → Z | T × T

[[ E ]] : Z[[ A ]] : bool

[[ Z ]] = Z[[ x ]] = ?

[[ let x := E1 in E2 ]] = ?[[ −E ]] = −[[ E ]]

[[ E1 + E2 ]] = [[ E1 ]] + [[ E2 ]]

E → Z| x| let x := E in E| −E| E + E

A → T| F| E = E| E ≤ E| ¬ A| A ∨A| A ∧A| A ⇒ A

+ : Z → Z → Z× : Z → Z → Z

= [[ 2 + 3 ]]× [[ 4 ]]= ([[ 2 ]] + [[ 3 ]])× 4= (2 + 3)× 4= 20

E → Z | E + T | T + ET → Z | T × T

환경이 굳이필요하지 않다.

프로그램 식의 타입Γ ∈ TypeEnv = Id → Type

[[ n ]]σ = n[[ x ]]σ = σ(x)

[[ E1 + E2 ]]σ = [[ E1 ]]σ + [[ E2 ]]σ

[[ E1 = E2 ]] = [[ E1 ]]∅eq[[ E2 ]]∅[[ E1 ≤ E2 ]] = [[ E1 ]]∅le[[ E2 ]]∅

[[ E ]] : Env → Z[[ A ]] : bool

[[ n ]] = n[[ x ]] = ?

[[ let x := E1 in E2 ]] = ?[[ −E ]] = −[[ E ]]

[[ E1 + E2 ]] = [[ E1 ]] + [[ E2 ]]

[[ E1 = E2 ]] = [[ E1 ]]eq[[ E2 ]][[ E1 ≤ E2 ]] = [[ E1 ]]le[[ E2 ]]

E → n| x| let x := E in E| −E| E + E

A → T| F| E = E| E ≤ E| ¬ A| A ∨A| A ∧A| A ⇒ A

함수 타입정의

사실 여기서도 환경이 꼭 필요하지는 않다.

Γ(x) = τ

[[ n ]]σ = n[[ x ]]σ = σ(x)

[[ E1 + E2 ]]σ = [[ E1 ]]σ + [[ E2 ]]σ

[[ E1 = E2 ]] = [[ E1 ]]∅eq[[ E2 ]]∅[[ E1 ≤ E2 ]] = [[ E1 ]]∅le[[ E2 ]]∅

[[ E ]] : Env → Z[[ A ]] : bool

[[ n ]] = n[[ x ]] = ?

[[ let x := E1 in E2 ]] = ?[[ −E ]] = −[[ E ]]

[[ E1 + E2 ]] = [[ E1 ]] + [[ E2 ]]

[[ E1 = E2 ]] = [[ E1 ]]eq[[ E2 ]][[ E1 ≤ E2 ]] = [[ E1 ]]le[[ E2 ]]

Γ(x) = τ

[[ n ]]σ = n[[ x ]]σ = σ(x)

[[ E1 + E2 ]]σ = [[ E1 ]]σ + [[ E2 ]]σ

[[ E1 = E2 ]] = [[ E1 ]]∅eq[[ E2 ]]∅[[ E1 ≤ E2 ]] = [[ E1 ]]∅le[[ E2 ]]∅

T [[ E ]] : Env → Z[[ A ]] : bool

안전한 프로그래밍

프로그램이 제대로 생겼나?parser1 + x +

프로그램의 타입이 올바른가?

type checkingtype inference

let x := 1 in x + “y”

프로그램의 값, 메모리가 올바른가?

static analyzer, model checking,formal verification

y / (x - 2*z + 10)

[[ E ]] : Env → Z[[ A ]] : bool

[[ Z ]] = Z[[ x ]] = ?

[[ let x := E1 in E2 ]] = ?[[ −E ]] = −[[ E ]]

[[ E1 + E2 ]] = [[ E1 ]] + [[ E2 ]]

[[ E1 = E2 ]] = [[ E1 ]]eq[[ E2 ]][[ E1 ≤ E2 ]] = [[ E1 ]]le[[ E2 ]]

E → n| x| let x := E in E| −E| E + E

A → T| F| E = E| E ≤ E| ¬ A| A ∨A| A ∧A| A ⇒ A

+ : Z → Z → Z× : Z → Z → Z

= [[ 2 + 3 ]]× [[ 4 ]]= ([[ 2 ]] + [[ 3 ]])× 4= (2 + 3)× 4= 20

E → Z | E + T | T + ET → Z | T × T

요약 문법 Γ ∈ TypeEnv = Id → Type

Γ(x) = τ

[[ n ]]σ = n[[ x ]]σ = σ(x)

[[ E1 + E2 ]]σ = [[ E1 ]]σ + [[ E2 ]]σ

[[ E1 = E2 ]] = [[ E1 ]]∅eq[[ E2 ]]∅[[ E1 ≤ E2 ]] = [[ E1 ]]∅le[[ E2 ]]∅

[[ E ]] : Env → Z[[ A ]] : bool

[[ n ]] = n[[ x ]] = ?

[[ let x := E1 in E2 ]] = ?[[ −E ]] = −[[ E ]]

[[ E1 + E2 ]] = [[ E1 ]] + [[ E2 ]]

[[ E1 = E2 ]] = [[ E1 ]]eq[[ E2 ]][[ E1 ≤ E2 ]] = [[ E1 ]]le[[ E2 ]]

타입

[[ n ]]σ = n[[ x ]]σ = σ(x)

[[ E1 + E2 ]]σ = [[ E1 ]]σ + [[ E2 ]]σ

[[ E1 = E2 ]] = [[ E1 ]]eq[[ E2 ]][[ E1 ≤ E2 ]] = [[ E1 ]]le[[ E2 ]]

[[ E ]] : Env → Z[[ A ]] : bool

[[ n ]] = n[[ x ]] = ?

[[ let x := E1 in E2 ]] = ?[[ −E ]] = −[[ E ]]

[[ E1 + E2 ]] = [[ E1 ]] + [[ E2 ]]

[[ E1 = E2 ]] = [[ E1 ]]eq[[ E2 ]][[ E1 ≤ E2 ]] = [[ E1 ]]le[[ E2 ]]

E → n| x| let x := E in E| −E| E + E

A → T| F| E = E| E ≤ E| ¬ A| A ∨A| A ∧A| A ⇒ A

+ : Z → Z → Z× : Z → Z → Z

= [[ 2 + 3 ]]× [[ 4 ]]= ([[ 2 ]] + [[ 3 ]])× 4= (2 + 3)× 4= 20

E → Z | E + T | T + ET → Z | T × T

실행 의미

프로그램의 구조, 의미귀납적 정의법, 추론 규칙

시작의 시작

앞으로 배울 것들

•기계 중심의 언어 imperative language

•값 중심의 언어 applicative language

•물건 중심의 언어 object-oriented language

syntax, semantics, motivations for various features, implementations, issues, ...

기계 중심의 언어•제어 흐름 control flow

•명령문 statement

•기계상태 memory + cpu + keyboard + monitor

Imperative Language: SyntaxProgram

P → S

StatementS → x := E

ExpressionE → n | true | false | x

| E + E | E − E | E ∗ E | E/E| E = E | E < E | not E

Γ(x) = τ

[[ n ]]σ = n[[ x ]]σ = σ(x)

[[ E1 + E2 ]]σ = [[ E1 ]]σ + [[ E2 ]]σ

[[ E1 = E2 ]] = [[ E1 ]]∅eq[[ E2 ]]∅[[ E1 ≤ E2 ]] = [[ E1 ]]∅le[[ E2 ]]∅

ProgramP → S

x := 0;y := 0;while x < 11 doy := y + x;x := x + 1;

write y

Γ(x) = τ

•Statement S: 프로그램 명령문은 기계의 상태 / 메모리를 변화시킴

•Expression E: 프로그램식은 값을 계산

Imperative Language: Semantics

M � E ⇓ v

ProgramP → S

write y

Γ(x) = τ

M � E ⇓ vM � S ⇓ M �

ProgramP → S

x := 0;y := 0;while x < 11 do

y := y + x;x := x + 1;

write y

Γ(x) = τ

M � E ⇓ vM � S ⇓ M �

E and S are syntactic objects

v and M are semantic objects

ProgramP → S

write y

집합을 만드는 방법

M � E ⇓ vM � S ⇓ M �

v ∈ Val = Z + B

M ∈ Memory = Addr → Val

A+B separated sum {a, b, ...}

A×B cartesian product {�a, b�, ...}

A → B finite functions {f, g, ..}

ProgramP → S

write y

M � E ⇓ vM � S ⇓ M �

v ∈ Val = Z + B

f ∈ A → B iff dom(f) is a finite subset of A.

f [b/a](x) =

�b if x = a

f(x) otherwise

ProgramP → S

write y

의미 표현Semantic Objects

메모리

M � E ⇓ vM � S ⇓ M �

v ∈ Val = Z + B

ProgramP → S

write y

이것들이 돌아다니는 공간을 정의

M � E ⇓ vM � S ⇓ M �

v ∈ Val = Z + B

n ∈ Z

b ∈ B = {T, F}

x ∈ Addr = Id

f [b/a](x) =

�b if x = a

f(x) otherwise

ProgramP → S

M � E ⇓ vM � S ⇓ M �

v ∈ Val = Z + B

n ∈ Z

b ∈ B = {T, F}

x ∈ Addr = Id

f [b/a](x) =

�b if x = a

f(x) otherwise

ProgramP → S

M � E ⇓ vM � S ⇓ M �

v ∈ Val = Z + B

n ∈ Z

b ∈ B = {T, F}

x ∈ Addr = Id

f [b/a](x) =

�b if x = a

f(x) otherwise

ProgramP → S

정수

참거짓

주소

프로그램식의 의미M � n ⇓ n

M � true ⇓ T

M � false ⇓ F

M(x) = v

M � x ⇓ v

M � E1 ⇓ v1 M � E2 ⇓ v2 v = v1 + v2M � E1 + E2 ⇓ v

M � E1 ⇓ v M � E2 ⇓ vM � E1 = E2 ⇓ T

M � E1 ⇓ v1 M � E2 ⇓ v2 v1 �= v2M � E1 = E2 ⇓ F

M � E ⇓ vM � S ⇓ M �

v ∈ Val = Z + B

n ∈ Z

b ∈ B = {T, F}

x ∈ Addr = Id

M � E ⇓ v

ProgramP → S

write y

Γ(x) = τ

프로그램식이 메모리를 가지고 값을 계산

큰 보폭으로big-step operational

semantics

명령문의 의미

M � n ⇓ n

M � true ⇓ T

M � false ⇓ F

M(x) = v

M � x ⇓ v

M � E1 ⇓ v1 M � E2 ⇓ v2 v = v1 + v2M � E1 + E2 ⇓ v

M � E1 ⇓ v M � E2 ⇓ vM � E1 = E2 ⇓ T

M � E1 ⇓ v1 M � E2 ⇓ v2 v1 �= v2M � E1 = E2 ⇓ F

M � E ⇓ v

M � x := E ⇓ M [v/x]

M � S1 ⇓ M1 M1 � S2 ⇓ M2

M � S1;S2 ⇓ M2

Read nM � read x ⇓ M [n/x]

Read n

M � E ⇓ v Write vM � write E ⇓ M

Write v

n ∈ Z

b ∈ B = {T, F}

x ∈ Addr = Id

명령문은 메모리를 변화시킴

M � E ⇓ vM � S ⇓ M �

ProgramP → S

x := 0;y := 0;while x < 11 do

y := y + x;x := x + 1;

write y

Γ(x) = τ

명령문의 의미M � E ⇓ T M � S1 ⇓ M1

M � if E then S1 else S2 ⇓ M1

M � E ⇓ F M � S2 ⇓ M2

M � E ⇓ FM � while E do S ⇓ M

M � E ⇓ T M � S ⇓ M1 M1 � while E do S ⇓ M2

M � while E do S ⇓ M2

M � E1 ⇓ v1 M � E2 ⇓ v2 v1 > v2M � for x := E1 to E2 do S ⇓ M

n ∈ Z

b ∈ B = {T, F}

x ∈ Addr = Id

f [b/a](x) =

�b if x = a

f(x) otherwise

응? 제대로 정의한 것 맞아?

명령문의 의미

M � E ⇓ T M � S1 ⇓ M1

M � E ⇓ F M � S2 ⇓ M2

M � E ⇓ FM � while E do S ⇓ M

M � E ⇓ T M � S ⇓ M1 M1 � while E do S ⇓ M2

M � while E do S ⇓ M2

M � E1 ⇓ v1 M � E2 ⇓ v2 v1 > v2M � for x := E1 to E2 do S ⇓ M

M � E1 ⇓ v1 M � E2 ⇓ v2 v1 ≤ v2 k = v2 − v1M [v1/x] � S ⇓ M1

M1[v1 + 1/x] � S ⇓ M2...

Mk[v1 + k/x] � S ⇓ Mk+1

M � for x := E1 to E2 do S ⇓ Mk+1

n ∈ Z

b ∈ B = {T, F}

x ∈ Addr = Id

f [b/a](x) =

�b if x = a

f(x) otherwise

ProgramP → S

write y

for x:= 0 to 10 doy := y + x;

write y

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