Epsto Em Td6

Ecole Prparatoire en Sciences et Techniques dOran

Module Phy004 : Electromagntisme & Optique Physique

Anne universitaire 2011 / 2012

22/04/2012 Semestre 2

Srie de TD n6 : Ondes lectromagntiques dans les plasmas

I. Rappel de cours : Equations de Maxwell dans les plasmas :

Un plasma est un milieu compos datomes ou de molcules ioniss mais qui reste globalement lectriquement neutre. Cet environnement est constitu dions ngatifs mobiles (lectrons) et dions positifs immobiles (noyaux donc beaucoup plus lourds).

Equation de Maxwell- Gauss

= 0

Equation de Maxwell- Faraday

=

Equation de Maxwell- Flux

= 0

Equation de Maxwell- Ampre

= 0 + 00

A haute frquence et cause de linertie des lectrons, le comportement du plasma est proche de

celui du vide et le milieu est dit transparent : les variations du champ lectrique de londe E.M. sont

trop rapide pour tre suivies par les lectrons.

A basse frquence, les ondes sont vanescentes (elles ne vont pas loin dans le plasma) car

lamplitude dcroit dune manire exponentielle et le milieu est dit dispersif.

Seules les ondes planes monochromatiques de pulsations > se propagent dans un plasma qui

se comporte alors comme un filtre passe-haut ce dernier coupe les basses frquences < .

II. Tester ses connaissances : Lois de propagation dans un plasma :

Lionosphre est la partie de la haute atmosphre (75 250 km daltitude en plusieurs couches) o

les gaz sont ioniss par le rayonnement cosmique et par le vent solaire : cest un exemple de plasma.

On sintresse la propagation dune onde E.M. plane progressive monochromatique dans ce plasma

qui se propage dans la direction des postifs.

On note et les champs lectrique et magntique associs cette onde. Ces champs agissent sur

les lectrons du plasma et les mettent en mouvement. On note la densit volumique d'lectrons

libres ainsi produits.

( , ) = 0 exp(i( . )) O , = 0 + 0

Equation de Klein-Gordon (Relation de Dispersion)

22 + 2 = 2

2 =2

2

2 ou

Vitesse de phase (propagation de

londe) =

=

2 2=

1 2

2

Vitesse de groupe

=

= 2

=

2

= 2

=

2

=

2

2

1. Ecrire lquation de propagation aux

drives partielles laquelle obit le

champ lectrique

2. Donner lquation du mouvement de

llectron, la vitesse de llectron et la

densit de courant induite par le champ .

3. Montrer que la propagation est possible

condition d'avoir une certaine relation

entre et que l'on dterminera. On fera

apparatre une pulsation de coupure

caractristique .

4. Dterminer les expressions de la vitesse de

phase de la vitesse de groupe.

5. Calculer la valeur de la frquence

caractristique dans le cas de l'ionosphre.

6. Vous tes ingnieur en

tlcommunication, vous disposez de deux

frquences (164 KHz, 105,5 MHz) pour

tablir une liaison radio interocanique et

une autre satellitaire. Comment allez vous

affectez ces frquences ?

Donnes numrique pour l'ionosphre :

Permabilit magntique 0 = 4. 107H. m1

Permittivit dilectrique 0 =1

36. 109F. m1

Charge lmentaire : = 1.6 x 1019C

Masse de l'lectron : = 9 x 1031kg

Densit volumique d'lectrons: = 1012 m3

III. Concours tranger (Polytechnique-1990): Dispersion dans le plasma interstellaire :

Le plasma interstellaire est constitu dlectron de masse , de charge , de nombre volumique ,

en mouvement non relativiste, et dions supposs fixes. Il est localement neutre et le reste au

passage dondes lectromagntiques. Avec ces hypothses, on cherche des solutions des quations

de Maxwell sous la forme dondes planes progressives monochromatiques (appeles OPPM dans la

suite) de vecteur donde , de pulsation :

( , ) = 0 exp(i( . ))

Et :

( , ) = 0 exp(i( . ))

1. Montrer que de telles solutions nexiste que si la densit de courant des lectrons est elle-mme

une OPPM de mme vecteur donde et de mme pulsation, cest--dire de la forme

( , ) = 0 exp(i( . ))

2. Montrer que est orthogonal .

3. Ecrire lquation du mouvement de llectron et montrer que leffet du champ magntique y

ngligeable. Montrer que les vecteurs et sont colinaires et dterminer la conductivit du

plasma. Commenter.

4. A laide des quations de Maxwell, exprimer 0 en fonction de , , 0 et 0 . En dduire une

nouvelle expression de .

5. En dduire la relation de dispersion () . En posant = 0n2

, tablir les expressions des

vitesses de phase et de groupe des ondes lectromagntiques dans le plasma. Quelle relation

vrifient-elles ?