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Equação de 1º Grau
Expressões algébricas
A resolução de vários problemas
matemáticos faz uso de uma ferramenta
muito poderosa
ÁLGEBRA
Imagem: Kwtleonard / Creative
Commons Attribution-Share Alike 3.0
Unported
É o ramo que estuda a manipulação formal de
equações, operações matemáticas, polinômios e
estruturas algébricas.
ÁLGEBRA
As expressões matemáticas formadas por letras e
números são denominadas
ÁLGEBRA
Imagem: Kwtleonard / Creative
Commons Attribution-Share Alike 3.0
Unported
Consideremos um número racional qualquer, que
denominamos x.
ÁLGEBRA
O dobro desse número 2 · x ou 2x
O terço desse número 1/3 · x ou x/3
O quadrado desse número menos 5 x² - 5
O triplo desse número mais o próprio número 3 · x + x ou 3x + x
A terça parte desse número mais o próprio
número
1/3 · x + x ou x/3 + x
Diferença entre esse número e
Podemos representar muitas situações
do dia a dia com expressões algébricas.
Acompanhe alguns exemplos.
APLICAÇÃO DA ÁLGEBRA
EM SITUAÇÕES REAIS
Uma blusa custa x reais e um short custa
y reais. Qual é o valor total desses dois
produtos?
Exemplo 1
Preço da blusa: x reais
Preço do short: y reais
Valor total: (x + y) reais
Uma dúzia de ovos custa x reais. Qual é o
preço da bandeja com 30 ovos?
Exemplo 2
Preço da dúzia de ovos: x reais
Quantidade de dúzia de ovos em uma
bandeja dúzias.
Preço da bandeja: x reais
O comprimento de um terreno retangular
é 50 metros maior que a largura. Qual a
área desse terreno? E qual é o
perímetro?
Exemplo 3
X + 50
XTerreno
Exemplo 3
X + 50
XTerreno
Largura: x
Área do terreno: x·(x +50)
Comprimento: x + 50
Perímetro do terreno:
x+(x+50)+x+(x+50)
Podemos substituir as letras por alguns
números racionais.
Valor numérico de uma
expressão algébrica
Quando calculamos a expressão para
determinado número, o resultado é:
Valor numérico
Uma blusa custa x reais e um short custa
y reais. Qual é o valor total desses dois
produtos?
Exemplo 1
Se o preço da blusa for 10,00 reais?
Se o preço do short for 17,00 reais?
(x + y) = ?
(10,00 + 17,00) = 27,00
Uma dúzia de ovos custa x reais. Qual é o
preço da bandeja com 30 ovos?
Exemplo 2
Preço da dúzia de ovos: 3,00 reais
Quantidade de dúzia de ovos em uma
bandeja: dúzias.
O comprimento de um terreno retangular
é 50 metros maior que a largura. Qual a
área desse terreno? E qual é o
perímetro?
Exemplo 3
X + 50
XTerreno
Admitindo que x = 40 metros.
Exemplo 3
X + 50
X
Terreno
Largura: x = 40 metros
Área do terreno: x·(x +50)
Comprimento: x + 50
40·(40 +50)=1600+2000 = 3600m²
Exemplo 3
X + 50
XTerrenoLargura: x = 40 metros
Comprimento: x + 50
Perímetro do terreno:
x+(x+50)+x+(x+50)
40+(40+50)+40+(40+50) = 260 m
EQUAÇÃO
Uma sentença matemática com sinal de
igualdade que apresenta, pelo menos, uma
letra representando um número desconhecido
chama-se:
Equação
Imagem: Kwtleonard / Creative
Commons Attribution-Share Alike 3.0
Unported
Exemplos de equação
Observe estas sentenças:
2x = 4
a² = 4
3x – 5y = 7
m/2 + n = 3 4 + m = 5
3x – 2x = 5
Não são exemplo de equação
Observe estas sentenças:
2x > 4
a² < 4
3x – 5y < 7
5 + 3 = 8
Cada letra de uma equação representa um
termo desconhecido da equação. Ela é
denominada
Incógnita
Imagem: Kwtleonard / Creative Commons
Attribution-Share Alike 3.0 Unported
Exemplos de incógnita
2x = 4
a² = 4
3x – 5y = 7
A incógnita é x
A incógnita é a
As incógnitas são x e y
Raiz ou solução de uma equação
A incógnita de uma equação pode assumir
diversos valores, mas apenas para alguns
desses valores a sentença será verdadeira.
Raiz ou solução de uma equação é um
número que, ao substituir a incógnita, torna a
sentença verdadeira.
Imagem: Kwtleonard / Creative
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Exemplo 1
Vamos verificar se o número –1 é raiz da equação 8x + 3 = - 5.
8x + 3 = - 5 Substituímos x por (-1)
8 · (-1) + 3 = - 5 -8 + 3 = - 5 - 5 = - 5
PORTANTO, - 1 é RAIZ (ou solução)
da equação 8x + 3 = - 5.
Exemplo 2
Qual é o valor de n na equação n + 10 = 25,
para ela ser verdadeira?
n + 10 = 25
n = 25 - 10 n = 15
PORTANTO, 15 é RAIZ (ou solução)
da equação n+ 10 = 25.
Exemplo 3
Qual é o valor de a na equação a/3 = 45, para ela ser
verdadeira?
a/3 = 45
a = 3 · 45 a = 135
PORTANTO, 135 é RAIZ (ou solução)
da equação a/3 = 45.
EQUAÇÃO DO 1º GRAU
Elas possuem 2 membros, o 1º está à
esquerda da igualdade, e o 2º está à direita.
É uma sentença aberta, ou seja, uma
sentença que apresenta letras, expressa por
uma igualdade envolvendo expressões
matemáticas.
EQUAÇÃO DO 1º GRAU
Na equação de 1º grau o expoente da
variável é sempre dado por 1.
Ex: x + 5 = 11
1º MEMBRO 2º MEMBRO
1) Qual é o peso do cachorro?
x + 16 = 25
9kg
2) Desenvolva a Equação.
3) Os dois sacos tem pesos iguais.
Quanto pesa cada saco?
2x = 12
6kg
4) Desenvolva a Equação.
5) As 3 caixas possuem o mesmo peso.
Qual o peso de cada caixa?
3x = 18
6kg
6) Desenvolva a Equação.
7) Qual o peso do coelho?
x + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1
2kg
8) Desenvolva a Equação. x + 3 = 5
9) As bolsas são iguais. Qual o peso de
cada uma?
2x = x + 3 + 2
5kg
10) Desenvolva a Equação. 2x = x + 5
EQUAÇÃO DO 2º GRAU
QUAL É O NÚMERO QUE ELEVADO
AO QUADRADO DÁ 25?
EXISTE OUTRO NÚMERO QUE
RESPONDE A ESSA PERGUNTA
SABIAM?
É O NÚMERO -5, OBSERVEM:
VAMOS CHAMAR ESSE NÚMERO
DESCONHECIDO (INCÓGNITA) DE X, LOGO
TEMOS A EQUAÇÃO:
X² = 25
PARA X = 5 TEMOS: 5² = 5 . 5 = 25
PARA X = - 5 TEMOS: (-5)² = (-5) . (-5) = 25
OBSERVE QUA A EXPRESSÃO X² = 25 É UMA
EQUAÇÃO E COMO O EXPOENTE DA
INCÓGNITA É 2, DIZEMOS QUE ELA É DO
2º GRAU E CONSEGUENTEMENTE POSSUI
COMO SOLUÇÃO DOIS NÚMEROS.
RESOLVENDO EQUAÇÕES DO 2º GRAU
OS NÚMEROS 5 E -5 SÃO DENOMINADOS SOLUÇÃO OU RAÍZES DA
EQUAÇÃO DO 2º GRAU DADA
NOTE AINDA QUE A EQUAÇÃO X² = 25 PODE SER ESCRITA ASSIM: X² - 25 = 0
RAIZ OU SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DE 2º GRAU COM UMA INCÓGNITA
É O VALOR QUE, QUANDO ATRIBUÍDO À INCÓGNITA, TRANSFORMA A
EQUAÇÃO EM UMA SENTENÇA VERDADEIRA.
VEJA COMO PODEMOS RESOLVÊ-LA:
x² - 25 = 0
x² - 25 + 25 = 0 + 25
x² = 25
√x² = ± √25
x = ± 5
X’ = - 5 ou X” = + 5 De modo geral, uma equação
do tipo x² = c, em que c ≥ 0,
tem como raízes √c e -√c
OBSERVE QUE AS RAÍZES
ENCONTRADAS SÃO
OPOSTAS.
As equações do 2º grau ou equações quadráticas são da forma:
em que a, b e c são números reais com adiferente de zero.
• a é o coeficiente de x²
• b é o coeficiente de x
• c é o termo independente.
ax² + bx + c = 0
37
Uma equação do 2º grau é completa
quando a, b e c são diferentes de zero.
Exemplos:
2 x² - 7x + 5 = 0 ( a = 2, b = -7, c = 5 )
3 x² + x + 2 = 0 ( a = 3 ,b = 1, c = 2 )
Equações Completas do 2ºgrau
38Equações incompletas do 2º grau
Exemplos:
4 x² + 6x = 0 ( a = 4, b = 6, c = 0 )
-3 x² - 9 = 0 ( a = -3, b = 0, c = -9 )
2 x² = 0 ( a = 2, b = 0, c = 0 )
Uma equação do segundo grau é incompleta se
b = 0 ou c = 0 ou b = c = 0.
Na equação incompleta o coeficiente a é
diferente de zero.
Raízes de uma equação do 2º grau
Resolver uma equação do 2º grau significa determinarsuas raízes.
Raiz é o número real que, ao substituir a
incógnita de uma equação, transforma-a numa
sentença verdadeira.
O conjunto formado pelas raízes de uma equação
denomina-se conjunto verdade ou conjunto solução.
Resolução de Equações Incompletas
Equações do tipo ax² = 0: Basta dividir toda a
equação por a para obter: x² = 0.
Significando que a equação possui duas raízes
iguais a zero.
Resolução de Equações Incompletas
Equações do tipo ax² + bx = 0:
Neste caso, fatoramos a equação para obter: x (ax + b) = 0 e a equação terá duas raízes:
x' = 0 ou x" = -b/a.
AGORA OBSERVE A EQUAÇÃO: X² - 4X = 0
QUAIS SÃO SUAS RAÍZES?
INICIANDO A RESOLUÇÃO TEMOS:
X² - 4X = 0 Fatorando o primeiro membro:
Colocando o fator comum em
evidência.
X.( X – 4) = 0
Qual a condição
necessária para que o
produto entre dois ou
mais fatores seja igual?
UM DOS FATORES DEVE
SER IGUAL A ZERO!!!!!
X = 0
X – 4 = 0
OU
X – 4 + 4= 0 + 4 X = 4
PORTANTO AS RAÍZES SÃO:
X’ = 0 OU X’’= 4
Equações do tipo ax² + c = 0:
Novamente dividimos toda a equação por a e passamos o termo constante para o segundo membro para obter: x² = -c/a.
Se -c/a for negativo, não existe solução no conjunto dos números reais.
Se -c/a for positivo, a equação terá duas raízes com o mesmo valor absoluto (módulo) mas de sinais contrários.
43
QUAL É A SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO X² + 36 = 0?
X² + 36 = 0
X² + 36 - 36 = 0 - 36
X² = - 36
√x² = ± √-36
Não existe no conjunto dos números
reais, ou seja, não existe um número
real cujo quadrado é um número
negativo.
X = √-36
Logo, ESSA EQUAÇÃO NÃO TEM
SOLUÇÃO NO CONJUNTO DOS
NÚMEROS REAIS
2X² - 18 = 0
2X² - 18 + 18 = 0 + 18
2X² = 18
2X² = 18
2 2
X² = 9
√x² = ± √9
X1 = - 3 ou X2 = + 3
De modo geral, uma
equação do tipo ax² + c = 0,
com a ≠ 0, pode ser
transformada na equação
ax² = - c, e esta em
x² = - c .
a
Luís tem um terreno na forma de um quadrado. Ele pretende comprar
um terreno de 90 m² que faz divisa com o que ele já possui. Desse
modo, ele ficaria com um terreno retangular de 414 m². Qual é a
medida do lado do terreno de formato quadrado de Luís?
REPRESENTANDO O NOVO
TERRENO DE LUÍS POR
UMA FIGURA :
X
X
90 m²
EQUACIONANDO O PROBLEMA TEMOS:
X²
A área do
terreno na
forma de um
quadrado
corresponde a
X².
Luís pretende
comprar um
terreno de 90
m²
Após a compra
Luís ficará
com um
terreno de 414
m².
X² + 90 = 414
X² + 90 = 414
RESOLVENDO A EQUAÇÃO TEMOS:
X² + 90 = 414
X² + 90 - 90 = 414 - 90
X² = 324
√X² = ± √324
X = ± 18
X’ = - 18 OU X’’ = + 18
COMO A MEDIDA DO LADO DEVE SER UM
NÚMERO POSITIVO, CONCLUÍMOS:
O LADO DO
QUADRADO
MEDE 18 m.
OBSERVE QUE A
EQUAÇÃO X² + 90 =
414 FOI REDUZIDA AO
TIPO X² = C
Fórmula Geral
2a
4acbbx
2
Resolução de Equações Completas
48Delta ou Discriminante
De acordo com o valor de delta, é possível tirar algumas conclusões sobre a
equação.
•Se , a equação terá duas raízes reais e distintas.
•Se , a equação terá duas raízes reais e iguais.
•Se , a equação terá duas raízes complexas.
O polinômio dentro da raiz da fórmula
resolutiva ou geral é chamado de delta ou
discriminante.
A fórmula geral pode ser escrita na forma:
49Relações entre os coeficientes e as raízes de uma equação do 2º grau
Soma das raízes (S )
Produto das raízes (P )
Denominamos essas relações de relações de Girard.
P = x' . x" = c/a
S = x' + x" = -b/a
Exercícios
Situações-problema
Exemplo 1.
Dois pacotes juntos pesam 30 kg. Quanto pesa cada umdeles, se o maior tem 8 kg a mais que o menor?
Pacote menor: x
Pacote maior: x + 8
Exemplo 1
Equação
x + (x + 8) = 30 Pacote maior: 11 + 8 = 19 kg
2x + 8 = 30 Pacote menor: 11 kg
2x = 30 – 8
2x = 22
x= 22/2
x = 11
Pacote maior = 19 kgPacote menor = 11 kg
Situações-problema
Exemplo 2.
Uma estante custa quatro vezes o preço de uma cadeira. Qual o preço da estante, se as duas mercadorias juntas custam R$ 120,00?
Preço da cadeira: x
Preço da estante: 4x
Exemplo 2
Equação
x + 4x = 120
5x = 120
x = 120/5
x = 24 4x=96
O preço da estante é R$ 96,00
Situações-problema
Exemplo 3.
Um relógio que custa R$ 250,00 está sendo vendido com oseguinte plano de pagamento: R$ 30,00 de entrada e orestante em 4 prestações iguais, sem juros. Qual é o valor decada prestação?
Exemplo 3
Equação
30 + 4x = 250
4x = 250 – 30
4x = 220
x = 220/4
x = 55
O valor de cada prestação é R$ 55,00.
R$ 250 – R$ 30 = R$ 220
Situações-problema
Exemplo 4. Um número adicionado ao seu dobro e ao seuquádruplo resulta em 84. Qual é o número?
Um número: x
Dobro: 2x
Quádruplo: 4x
Exemplo 4
Equação
x + 2x + 4x = 84
7x = 84
x = 84/7
x = 12O número é igual a 12.
Ex. Comprei 4 lanches a um certo valor unitário. De outro tipode lanche, com o mesmo preço unitário, a quantidadecomprada foi igual ao valor unitário de cada lanche. Pagueicom duas notas de cem reais e recebi R$ 8,00 de troco. Qual opreço unitário de cada produto?
O enunciado nos diz que:
Os dois tipos de lanche têm o mesmo valor
unitário. Vamos denominá-lo então de x;
De um dos produtos eu comprei 4 unidades e do
outro eu comprei x unidades.
Recebi R$ 8,00 de troco ao pagar R$ 200,00 pela
mercadoria.
http://bestanimations.com/Food/animated-sandwich.gif
Situações-problema
Definindo a incógnita como x, temos:
3x2 equivale ao triplo do quadrado do número;
15x equivale a 15 vezes este número.
http://bestanimations.com/Books/boy-reading-book-animation-3.gif
Podemos escrever esta sentença da seguinte forma:
3x2 = 15x
Ou ainda como:
3x2 – 15x = 0
Há dois números cujo triplo do quadrado é a igual 15 vezesestes números. Quais números são estes?
Situações-problema
Pai e filho têm hoje 45 e 15 anos, respectivamente. Há quantos anos a idade do pai era igual ao quadrado da idade
do filho?
Em problemas como esse que envolvem tempo decorrido o sinal de menos (–),não significa “retirar” uma quantidade e sim, voltar no tempo.
Representação algébrica das idades do pai e do filho, há x anos:
idade do pai há x anos: 45 – x
idade do filho há x anos: 15 – x
Equalizando as informações “idade do pai era igual ao quadrado da idade dofilho”: 45 – x = (15 – x)².
http://w
ww.heathersanim
ations.com/school/sc28.gif
Situações-problema
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